במאה החמישית לפני הספירה פילוסוף יווני עתיקזינו מאלאה ניסח את האפוריות המפורסמות שלו, המפורסמת שבהן היא האפוריה "אכילס והצב". כך זה נשמע:

נניח שאכילס רץ פי עשר מהר יותר מהצב ונמצא אחריו אלף צעדים. במהלך הזמן שבו אכילס רץ את המרחק הזה, הצב זוחל מאה צעדים באותו כיוון. כשאכילס רץ מאה צעדים, הצב יזחל עוד עשרה צעדים, וכן הלאה. התהליך יימשך ללא הגבלת זמן, אכילס לעולם לא ישיג את הצב.

נימוק זה הפך לזעזוע הגיוני עבור כל הדורות הבאים. אריסטו, דיוגנס, קאנט, הגל, גילברט... כולם, בדרך זו או אחרת, נחשבו לאפוריות של זנון. ההלם היה כל כך חזק ש" ... דיונים נמשכים בזמן הנוכחי, הקהילה המדעית עדיין לא הצליחה להגיע לדעה משותפת לגבי מהות הפרדוקסים ... ניתוח מתמטי, תורת הקבוצות, גישות פיזיקליות ופילוסופיות חדשות היו מעורבות בחקר הנושא; אף אחד מהם לא הפך לפתרון מקובל לבעיה..."[ויקיפדיה", האפוריות של זינו "]. כולם מבינים שמטעים אותם, אבל אף אחד לא מבין מהי ההונאה.

מנקודת המבט של המתמטיקה, זנון באפוריה שלו הדגים בבירור את המעבר מהערך ל. מעבר זה מרמז על יישום במקום קבועים. עד כמה שהבנתי, המנגנון המתמטי להחלת יחידות מדידה משתנות או שעדיין לא פותח, או שהוא לא הוחל על האפוריה של זנון. יישום ההיגיון הרגיל שלנו מוביל אותנו למלכודת. אנו, על ידי האינרציה של החשיבה, מיישמים יחידות זמן קבועות על ההדדיות. מנקודת מבט פיזית, זה נראה כאילו הזמן מאט עד לעצירה מוחלטת ברגע שבו אכילס משיג את הצב. אם הזמן עוצר, אכילס כבר לא יכול לעקוף את הצב.

אם נהפוך את ההיגיון אליו אנו רגילים, הכל יסתדר. אכילס רץ במהירות קבועה. כל קטע עוקב של הנתיב שלו קצר פי עשרה מהקודם. בהתאם לכך, הזמן המושקע בהתגברות עליו קטן פי עשרה מהקודם. אם ניישם את המושג "אינסוף" במצב זה, אז נכון יהיה לומר "אכילס יעקוף את הצב במהירות אינסופית".

איך להימנע מהמלכודת ההגיונית הזו? תשאר יחידות קבועותמדידות זמן ואל תקפוץ ל הדדיות. בשפתו של זינו, זה נראה כך:

בזמן שלוקח לאכילס לרוץ אלף צעדים, הצב זוחל מאה צעדים באותו כיוון. במהלך מרווח הזמן הבא, שווה לראשון, אכילס ירוץ עוד אלף צעדים, והצב יזחל מאה צעדים. כעת אכילס מקדים את הצב בשמונה מאות צעדים.

גישה זו מתארת ​​בצורה נאותה את המציאות ללא כל פרדוקסים לוגיים. אבל זה לא פתרון מלאבעיות. האמירה של איינשטיין על הבלתי עבירות של מהירות האור דומה מאוד לאפוריה של זנון "אכילס והצב". טרם למדנו, לחשוב מחדש ולפתור את הבעיה הזו. ואת הפתרון יש לחפש לא במספרים גדולים לאין שיעור, אלא ביחידות מדידה.

אפוריה מעניינת נוספת של זינו מספרת על חץ מעופף:

חץ מעופף הוא ללא תנועה, שכן בכל רגע של זמן הוא במנוחה, ומכיוון שהוא במנוחה בכל רגע של זמן, הוא תמיד במנוחה.

באפוריה זו מתגברים על הפרדוקס הלוגי בפשטות רבה - מספיק להבהיר שבכל רגע של זמן החץ המעופף נח בנקודות שונות במרחב, שהיא, למעשה, תנועה. יש כאן נקודה נוספת שצריך לציין. מתצלום אחד של מכונית על הכביש, אי אפשר לקבוע לא את עובדת תנועתה ולא את המרחק אליה. כדי לקבוע את עובדת תנועת המכונית, יש צורך בשני תצלומים שצולמו מאותה נקודה בנקודות זמן שונות, אך לא ניתן להשתמש בהם כדי לקבוע את המרחק. כדי לקבוע את המרחק למכונית, אתה צריך שני תמונות שצולמו מנקודות שונות בחלל בו זמנית, אבל אתה לא יכול לקבוע את עובדת התנועה מהם (מטבע הדברים, אתה עדיין צריך נתונים נוספים לחישובים, טריגונומטריה תעזור לך). במה אני רוצה להתמקד תשומת - לב מיוחדת, הוא ששתי נקודות זמן ושתי נקודות במרחב הן דברים שונים שאסור לבלבל, כי הם מספקים הזדמנויות שונות לחקר.

יום רביעי, 4 ביולי, 2018

טוב מאוד ההבדלים בין קבוצה למולטי-ערכה מתוארים בויקיפדיה. אנחנו מסתכלים.

כפי שניתן לראות, "לסט לא יכולים להיות שני אלמנטים זהים", אבל אם יש אלמנטים זהים בסט, קבוצה כזו נקראת "רב-ערכה". יצורים סבירים לעולם לא יבינו היגיון אבסורד שכזה. זו הרמה של תוכים מדברים וקופים מאומנים, שבה הנפש נעדרת מהמילה "לגמרי". מתמטיקאים פועלים כמאמנים רגילים, ומטיפים לנו את הרעיונות האבסורדיים שלהם.

פעם, המהנדסים שבנו את הגשר היו בסירה מתחת לגשר במהלך בדיקות הגשר. אם הגשר קרס, המהנדס הבינוני מת מתחת להריסות יצירתו. אם הגשר היה יכול לעמוד בעומס, המהנדס המוכשר בנה גשרים אחרים.

לא משנה איך מתמטיקאים מסתתרים מאחורי המשפט "תזכור לי, אני בבית", או ליתר דיוק "מתמטיקה חוקרת מושגים מופשטים", יש חבל טבור אחד שמקשר אותם באופן בלתי נפרד עם המציאות. חבל הטבור הזה הוא כסף. הבה ניישם את תורת הקבוצות המתמטית על המתמטיקאים עצמם.

למדנו מתמטיקה טוב מאוד ועכשיו אנחנו יושבים ליד הקופה ומשלמים משכורות. כאן בא אלינו מתמטיקאי בשביל הכסף שלו. אנחנו סופרים לו את כל הסכום ופורסים אותו על שולחננו לערימות שונות, שבהן שמים שטרות מאותה ערך. אחר כך אנחנו לוקחים שטר אחד מכל ערימה ונותנים למתמטיקאי את "ערכת השכר המתמטית" שלו. אנו מסבירים את המתמטיקה שהוא יקבל את שאר השטרות רק כאשר יוכיח שהקבוצה ללא יסודות זהים אינה שווה לקבוצה עם יסודות זהים. כאן מתחיל הכיף.

קודם כל, ההיגיון של הצירים יעבוד: "אתה יכול להחיל את זה על אחרים, אבל לא עליי!" יתרה מכך, יתחילו הבטחות שישנם מספרי שטרות שונים על שטרות מאותה ערכה, מה שאומר שהם לא יכולים להיחשב אלמנטים זהים. ובכן, אנחנו סופרים את השכר במטבעות - אין מספרים על המטבעות. כאן המתמטיקאי יזכור בטירוף פיזיקה: למטבעות שונים יש כמויות שונות של לכלוך, מבנה הגביש וסידור האטומים לכל מטבע הוא ייחודי ...

ועכשיו יש לי הכי הרבה עניין שאל: היכן נמצא הגבול שמעבר לו הופכים אלמנטים של קבוצה למרכיבים של קבוצה ולהיפך? קו כזה לא קיים - הכל נקבע על ידי שמאנים, המדע כאן אפילו לא קרוב.

תסתכל כאן. אנו בוחרים אצטדיוני כדורגל עם אותו שטח מגרש. שטח השדות זהה, מה שאומר שיש לנו ריבוי ערכות. אבל אם ניקח בחשבון את השמות של אותם אצטדיונים, נקבל הרבה, כי השמות שונים. כפי שאתה יכול לראות, אותה קבוצה של אלמנטים היא גם קבוצה וגם קבוצה מרובת בו-זמנית. כמה נכון? והנה המתמטיקאי-שמאן-שולר מוציא אס מנצח מהשרוול שלו ומתחיל לספר לנו או על סט או על רב-סט. בכל מקרה הוא ישכנע אותנו שהוא צודק.

כדי להבין כיצד שמאנים מודרניים פועלים עם תורת הקבוצות, קושרים אותה למציאות, מספיק לענות על שאלה אחת: במה שונים האלמנטים של קבוצה אחת מהאלמנטים של קבוצה אחרת? אני אראה לך, בלי שום "מתקבל על הדעת כמכלול אחד" או "אינו מתקבל על הדעת כמכלול אחד".

יום ראשון, 18 במרץ, 2018

סכום הספרות של מספר הוא ריקוד של שמאנים עם טמבורין, שאין לו שום קשר למתמטיקה. כן, בשיעורי מתמטיקה מלמדים אותנו למצוא את סכום הספרות של מספר ולהשתמש בו, אבל בשביל זה הם שמאנים, כדי ללמד את צאצאיהם את כישוריהם וחוכמתם, אחרת השמאנים פשוט ימותו.

אתה צריך הוכחה? פתח את ויקיפדיה ונסה למצוא את הדף "סכום ספרות של מספר". היא לא קיימת. אין נוסחה במתמטיקה לפיה ניתן למצוא את סכום הספרות של כל מספר. הרי מספרים הם סמלים גרפיים איתם אנו כותבים מספרים, ובשפת המתמטיקה המשימה נשמעת כך: "מצא את סכום הסמלים הגרפיים המייצגים מספר כלשהו". מתמטיקאים לא יכולים לפתור בעיה זו, אבל שמאנים יכולים לעשות זאת באופן יסודי.

בואו נבין מה ואיך אנחנו עושים כדי למצוא את סכום הספרות של מספר נתון. וכך, נניח שיש לנו את המספר 12345. מה צריך לעשות כדי למצוא את סכום הספרות של המספר הזה? בואו נשקול את כל השלבים לפי הסדר.

1. רשום את המספר על פיסת נייר. מה עשינו? המרנו את המספר לסמל גרפי של מספר. זו לא פעולה מתמטית.

2. חתכנו תמונה אחת שהתקבלה למספר תמונות המכילות מספרים נפרדים. חיתוך תמונה אינו פעולה מתמטית.

3. המר תווים גרפיים בודדים למספרים. זו לא פעולה מתמטית.

4. חבר את המספרים המתקבלים. עכשיו זה מתמטיקה.

סכום הספרות של המספר 12345 הוא 15. אלו הם "קורסי הגזירה והתפירה" משמאנים שבהם השתמשו מתמטיקאים. אבל זה לא הכל.

מנקודת מבט של מתמטיקה, אין זה משנה באיזו מערכת מספרים נכתוב את המספר. אז, ב מערכות שונותבחשבון, סכום הספרות של אותו מספר יהיה שונה. במתמטיקה, מערכת המספרים מצוינת כמנוי מימין למספר. עם מספר גדול 12345 אני לא רוצה לשטות בראש, קחו בחשבון את המספר 26 מהמאמר על. בוא נכתוב את המספר הזה במערכות מספרים בינאריות, אוקטליות, עשרוניות והקסדצימליות. לא נשקול כל שלב במיקרוסקופ, כבר עשינו את זה. בואו נסתכל על התוצאה.

כפי שניתן לראות, במערכות מספרים שונות, סכום הספרות של אותו מספר שונה. לתוצאה הזו אין שום קשר למתמטיקה. זה כמו למצוא את השטח של מלבן במטרים ובסנטימטרים ייתן לך תוצאות שונות לחלוטין.

אפס בכל מערכות המספרים נראה אותו הדבר ואין לו סכום ספרות. זוהי טענה נוספת בעד העובדה ש. שאלה למתמטיקאים: איך זה מסומן במתמטיקה מה שאינו מספר? מה, עבור מתמטיקאים, לא קיים דבר מלבד מספרים? עבור שמאנים, אני יכול לאפשר זאת, אבל עבור מדענים, לא. המציאות היא לא רק מספרים.

יש לראות בתוצאה המתקבלת כהוכחה לכך שמערכות מספרים הן יחידות מדידה של מספרים. אחרי הכל, אנחנו לא יכולים להשוות מספרים עם יחידות מדידה שונות. אם אותן פעולות עם יחידות מדידה שונות של אותה כמות מביאות לתוצאות שונות לאחר השוואה ביניהן, אז אין לזה שום קשר למתמטיקה.

מהי מתמטיקה אמיתית? זה כאשר התוצאה פעולה מתמטיתאינו תלוי בערך המספר, ביחידת המדידה שבה נעשה שימוש ובמי שמבצע פעולה זו.

שלט על הדלת פותח את הדלת ואומר:

הו! זה לא שירות הנשים?
- אישה צעירה! זוהי מעבדה ללימוד קדושת הנשמות הבלתי מוגבלת עם עליית השמים! נימבוס למעלה וחץ למעלה. איזה עוד שירותים?

נקבה... הילה למעלה וחץ למטה הוא זכר.

אם יש לך יצירת אומנות עיצובית כזו מהבהבת לנגד עיניך מספר פעמים ביום,

אז זה לא מפתיע שפתאום אתה מוצא אייקון מוזר במכונית שלך:

באופן אישי, אני עושה מאמץ על עצמי לראות מינוס ארבע מעלות באדם עושה קקי (תמונה אחת) (הרכב של מספר תמונות: סימן מינוס, מספר ארבע, ציון מעלות). ואני לא מחשיב את הבחורה הזאת כטיפשה שלא יודעת פיזיקה. יש לה פשוט סטריאוטיפ קשת של תפיסה של תמונות גרפיות. ומתמטיקאים מלמדים אותנו את זה כל הזמן. הנה דוגמא.

1A אינו "מינוס ארבע מעלות" או "א אחת". זה "איש עושה קקי" או המספר "עשרים ושש" ב מערכת הקסדצימליתחשבון נפש. אותם אנשים שעובדים כל הזמן במערכת המספרים הזו תופסים אוטומטית את המספר והאות כסמל גרפי אחד.

אקספוננציה היא פעולה הקשורה באופן הדוק לכפל, פעולה זו היא תוצאה של כפל כפול של מספר בפני עצמה. נציג את הנוסחה: a1 * a2 * ... * an = an.

לדוגמה, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

באופן כללי, לעתים קרובות נעשה שימוש באקספונציה בנוסחאות שונות במתמטיקה ובפיסיקה. לפונקציה זו יש מטרה מדעית יותר מארבע הבסיסיות: חיבור, חיסור, כפל, חילוק.

העלאת מספר לעוצמה

העלאת מספר לעוצמה אינה פעולה קשה. זה קשור לכפל כמו הקשר בין כפל לחיבור. רשום an - רישום קצר של המספר ה-n של המספרים "a" כפול זה בזה.

שקול את האקספונציהציה לכל היותר דוגמאות פשוטותעוברים למורכבים.

לדוגמה, 42. 42 = 4 * 4 = 16. ארבע בריבוע (בחזקה השנייה) שווה שש עשרה. אם אינך מבין את הכפל 4 * 4, קרא את המאמר שלנו על הכפל.

בואו נסתכל על דוגמה נוספת: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . חמש קוביות (בחזקה שלישית) שווה למאה עשרים וחמש.

דוגמה נוספת: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . תשע קוביות שווה שבע מאות עשרים ותשע.

נוסחאות אקספוננציה

כדי להעלות נכון לחזקה, עליך לזכור ולדעת את הנוסחאות שלהלן. אין בזה שום דבר מעבר לטבעי, העיקר להבין את המהות ואז הם לא רק ייזכרו, אלא גם ייראו קלים.

העלאת מונומיאל לעוצמה

מהו מונומיאל? זהו מכפלה של מספרים ומשתנים בכל כמות. לדוגמה, שניים הם מונומיאל. והמאמר הזה עוסק בהעלאת מונומיאלים כאלה לכוח.

באמצעות נוסחאות האקספונציה, לא יהיה קשה לחשב את האקספונציה של מונומיאל לחזקה.

לדוגמה, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; אם אתה מעלה מונומיאל לחזקה, אז כל רכיב של המונומיאל מועלה לחזקה.

כאשר מעלים משתנה שכבר יש לו מידה לחזקה, המעלות מוכפלות. לדוגמה, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

העלאת כוח שלילי

מעריך שלילי הוא ההדדיות של מספר. מה זה הדדיות? עבור כל מספר X, ההדדיות היא 1/X. כלומר X-1=1/X. זו תמצית הדרגה השלילית.

שקול את הדוגמה (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

למה? מכיוון שיש מינוס במידה, אנחנו פשוט מעבירים את הביטוי הזה למכנה, ואז מעלים אותו לחזקה שלישית. בדיוק כמו שצריך?

העלאה לעוצמה חלקית

בואו נתחיל את הדיון על דוגמה ספציפית. 43/2. מה המשמעות של כוח 3/2? 3 - מונה, פירושו העלאת מספר (במקרה זה 4) לקובייה. המספר 2 הוא המכנה, זהו החילוץ של השורש השני של המספר (במקרה זה 4).

אז נקבל את השורש הריבועי של 43 = 2^3 = 8 . תשובה: 8.

אז המכנה של תואר חלקי יכול להיות 3 או 4, ועד אינסוף כל מספר, והמספר הזה קובע את המעלה שורש ריבועימופק מהמספר הנתון. כמובן שהמכנה לא יכול להיות אפס.

הרמת שורש לכוח

אם השורש מורם לעוצמה השווה לכוחו של השורש עצמו, אז התשובה היא הביטוי הרדיקלי. לדוגמה, (√x)2 = x. וכך בכל מקרה של שוויון מידת השורש ומידת העלאת השורש.

אם (√x)^4. ואז (√x)^4=x^2. כדי לבדוק את הפתרון, נתרגם את הביטוי לביטוי בעל דרגת שבר. מכיוון שהשורש הוא ריבוע, המכנה הוא 2. ואם השורש מועלה בחזקת רביעית, אז המונה הוא 4. נקבל 4/2=2. תשובה: x = 2.

בכל מקרה האופציה הטובה ביותרפשוט המיר את הביטוי לביטוי בעל כוח שבר. אם השבר לא יקטן, אז תשובה כזו תהיה, בתנאי שלא יוקצה שורש המספר הנתון.

אקספוננציה של מספר מרוכב

מהו מספר מרוכב? מספר מרוכב הוא ביטוי בעל הנוסחה a + b * i; a, b הם מספרים ממשיים. i הוא המספר שכשהוא בריבוע נותן את המספר -1.

שקול דוגמה. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

הירשם לקורס "לזרז את ספירת הנפש, לא חשבון נפש" כדי ללמוד כיצד להוסיף, לגרוע, להכפיל, לחלק, מספרים מרובעים ואפילו להשתרש במהירות ובצורה נכונה. תוך 30 יום תלמד כיצד להשתמש בטריקים קלים כדי לפשט פעולות חשבון. כל שיעור מכיל טכניקות חדשות, דוגמאות ברורות ומשימות שימושיות.

אקספוננציציה באינטרנט

בעזרת המחשבון שלנו, אתה יכול לחשב את האקספונציה של מספר בחזקת:

ציון 7

העלאה לכוח מתחילה לעבור את תלמידי בית הספר רק בכיתה ז'.

אקספוננציה היא פעולה הקשורה באופן הדוק לכפל, פעולה זו היא תוצאה של כפל כפול של מספר בפני עצמה. בואו נציג את הנוסחה: a1 * a2 * … * an=an .

לדוגמה, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

דוגמאות לפתרונות:

מצגת אקספוננציה

מצגת על אקספונציה, מיועדת לתלמידי כיתות ז'. המצגת עשויה להבהיר כמה נקודות לא מובנות, אבל כנראה שלא יהיו נקודות כאלה בזכות המאמר שלנו.

תוֹצָאָה

שקלנו רק את קצה הקרחון, כדי להבין טוב יותר את המתמטיקה - הירשמו לקורס שלנו: האץ את ספירת הנפש - לא חשבון נפש.

מהקורס, לא רק תלמדו עשרות טריקים לפשוט ו כפל מהיר, חיבור, כפל, חישוב, חישוב אחוזים, אבל גם תעבדו אותם במשימות מיוחדות ובמשחקים חינוכיים! ספירה מנטלית דורשת גם הרבה תשומת לב וריכוז, אשר מאומנים באופן פעיל בפתרון בעיות מעניינות.

אחד המאפיינים העיקריים באלגברה, ובאמת בכל המתמטיקה, הוא תואר. כמובן שבמאה ה-21 אפשר לבצע את כל החישובים במחשבון מקוון, אבל עדיף ללמוד איך לעשות זאת בעצמך לפיתוח המוח.

במאמר זה, נסתכל על המרב שאלות חשובותלגבי הגדרה זו. כלומר, נבין מה זה בכלל ומה הפונקציות העיקריות שלו, אילו תכונות קיימות במתמטיקה.

בואו נסתכל על דוגמאות איך נראה החישוב, מהן הנוסחאות הבסיסיות. בואו ננתח את סוגי הכמויות העיקריים וכיצד הם שונים מפונקציות אחרות.

נבין כיצד לפתור בעיות שונות באמצעות ערך זה. נראה עם דוגמאות איך להעלות לדרגת אפס, לא רציונלי, שלילי וכו'.

מחשבון אקספוננציה מקוון

מהי המידה של מספר

מה הכוונה בביטוי "להעלות מספר לעוצמה"?

דרגת n של מספר a היא מכפלה של גורמים בגודל n פעמים ברציפות.

מבחינה מתמטית זה נראה כך:

a n = a * a * a * …a n .

לדוגמה:

• 2 3 = 2 בשלב השלישי. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 בשלב. שני = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 בשלב. ארבע = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 ב-5 צעדים. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 ב-4 שלבים. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

להלן טבלה של ריבועים וקוביות מ-1 עד 10.

טבלת מעלות מ-1 עד 10

להלן תוצאות הבנייה מספרים טבעייםלכוחות חיוביים - "מ-1 עד 100".

צ'-לו	כיתה ב	כיתה ג'
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

מאפייני תואר

מה מאפיין פונקציה מתמטית כזו? בואו נסתכל על המאפיינים הבסיסיים.

מדענים קבעו את הדברים הבאים סימנים האופייניים לכל הדרגות:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (א ב) מ =(א) (ב*מ) .

בואו נבדוק עם דוגמאות:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. מצד שני 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

באופן דומה: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. אחרת 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. מה אם זה שונה? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

כפי שאתה יכול לראות, הכללים עובדים.

אבל איך להיות עם חיבור וחיסור? הכל פשוט. תחילה מבצעים אקספונציה, ורק לאחר מכן חיבור וחיסור.

בואו נסתכל על דוגמאות:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

אבל במקרה זה, תחילה עליך לחשב את התוספת, מכיוון שיש פעולות בסוגריים: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

איך מייצרים חישובים במקרים מורכבים יותר? הסדר זהה:

• אם יש סוגריים, אתה צריך להתחיל איתם;
• ואז אקספוננציה;
• ואז לבצע פעולות של כפל, חילוק;
• לאחר חיבור, חיסור.

ישנם מאפיינים ספציפיים שאינם אופייניים לכל התארים:

1. שורש המעלה ה-n מהמספר a ועד המדרגה m ייכתב כך: a m / n .
2. כאשר מעלים שבר לחזקה: גם המונה וגם המכנה שלו כפופים לנוהל זה.
3. בעת בניית יצירה מספרים שוניםלחזקה, הביטוי יתאים למכפלת המספרים הללו בחזקת נתון. כלומר: (a * ב) n = a n * b n .
4. כאשר מעלים מספר לחזקה שלילית, עליך לחלק את 1 במספר באותו שלב, אך עם סימן "+".
5. אם המכנה של שבר הוא בחזקת שלילית, אזי הביטוי הזה יהיה שווה למכפלת המונה והמכנה בחזקת חיובית.
6. כל מספר בחזקת 0 = 1, ובשלב. 1 = לעצמו.

כללים אלו חשובים במקרים בודדים, נשקול אותם ביתר פירוט להלן.

תואר עם מעריך שלילי

מה לעשות מתי מינוס תואר, כלומר מתי המעריך שלילי?

מבוסס על נכסים 4 ו-5(ראה נקודה למעלה) מתברר:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

ולהיפך:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

מה אם זה שבריר?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

תואר עם אינדיקטור טבעי

זה מובנה כדרגה עם מעריכים שווים למספרים שלמים.

דברים שכדאי לזכור:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1... וכו'.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... וכו'.

כמו כן, אם (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... אז התוצאה תהיה עם סימן "+". אם מספר שלילי מועלה לחזקה אי זוגית, אז להיפך.

מאפיינים כלליים, וכל המאפיינים הספציפיים שתוארו לעיל, אופייניים גם להם.

תואר חלקי

תצוגה זו יכולה להיכתב כסכמה: A m / n. הוא נקרא כך: שורש המדרגה ה-n של המספר A בחזקת m.

עם מחוון שבר, אתה יכול לעשות הכל: להפחית, לפרק לחלקים, להעלות לדרגה אחרת וכו'.

תואר עם מעריך לא רציונלי

תנו ל-α להיות מספר אי-רציונלי ו- А ˃ 0.

כדי להבין את מהות התואר עם אינדיקטור כזה, בואו נסתכל על מקרים אפשריים שונים:

• A \u003d 1. התוצאה תהיה שווה ל-1. מכיוון שיש אקסיומה - 1 שווה לאחד בכל החזקות;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 הם מספרים רציונליים;

• 0˂А˂1.

במקרה זה, להיפך: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 באותם תנאים כמו בפסקה השנייה.

לדוגמה, המעריך הוא המספר π.זה רציונלי.

r 1 - במקרה זה הוא שווה ל-3;

r 2 - יהיה שווה ל-4.

לאחר מכן, עבור A = 1, 1 π = 1.

A = 2, ואז 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, ואז (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

תארים כאלה מאופיינים בכל הפעולות המתמטיות והמאפיינים הספציפיים שתוארו לעיל.

סיכום

בואו נסכם - בשביל מה הערכים האלה, מה היתרונות של פונקציות כאלה? כמובן, קודם כל, הם מפשטים את חייהם של מתמטיקאים ומתכנתים בפתרון דוגמאות, שכן הם מאפשרים מזעור חישובים, צמצום אלגוריתמים, שיטת נתונים ועוד הרבה יותר.

היכן עוד ידע זה יכול להועיל? בכל התמחות עבודה: רפואה, פרמקולוגיה, רפואת שיניים, בנייה, טכנולוגיה, הנדסה, עיצוב וכו'.

ניתן למצוא באמצעות הכפל. לדוגמה: 5+5+5+5+5+5=5x6. אומרים על ביטוי כזה שסכום האיברים השווים קופל למוצר. ולהיפך, אם נקרא את השוויון הזה מימין לשמאל, נקבל שהרחבנו את סכום האיברים השווים. באופן דומה, ניתן לקפל את המכפלה של מספר גורמים שווים 5x5x5x5x5x5=5 6 .

כלומר, במקום להכפיל שישה גורמים זהים 5x5x5x5x5x5, הם כותבים 5 6 ואומרים "חמש בחזקת השישית".

הביטוי 5 6 הוא חזקה של מספר, כאשר:

5 - בסיס התואר;

6 - מַעֲרִיך.

הפעולות שבאמצעותן מקופל המכפלה של גורמים שווים לחזקה נקראות אקספוננציה.

IN השקפה כלליתתואר עם בסיס "a" ומעריך "n" נכתב כ

העלאת המספר a בחזקת n פירושה מציאת המכפלה של n גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-

אם הבסיס של התואר "a" הוא 1, אז הערך של התואר עבור כל n טבעי יהיה שווה ל-1. לדוגמה, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

אם תעלה את המספר "a" תעלה ל תואר ראשון, אז נקבל את המספר a עצמו: a 1 = א

אם תעלה מספר כלשהו ל תואר אפס, אז כתוצאה מחישובים נקבל אחד. a 0 = 1

החזקות השנייה והשלישית של מספר נחשבות למיוחדות. מצאו להם שמות: הדרגה השניה נקראת הריבוע של מספר, שלישי - קוּבִּיָההמספר הזה.

ניתן להעלות כל מספר לחזקה - חיובי, שלילי או אפס. עם זאת, לא נעשה שימוש בכללים הבאים:

כשמוצאים את המידה של מספר חיובי, מתקבל מספר חיובי.

כשמחשבים אפס בעין, נקבל אפס.

x מ х n = x m + n

לדוגמה: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

ל לחלוק תארים עם אותם נימוקים אנחנו לא משנים את הבסיס, אלא מפחיתים את המעריכים:

x מ / x n \u003d x m - n , איפה, מ > נ

לדוגמה: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

בעת חישוב אקספוננציהאנחנו לא משנים את הבסיס, אבל אנחנו מכפילים את המעריכים זה בזה.

(במ )נ = y m נ

לדוגמה: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(איקס · י) נ = x n · M ,

לדוגמה: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

בעת ביצוע חישובים עבור אקספוננציה של שברנעלה את המונה והמכנה של השבר לחזקה הנתונה

(x/y)n = x n / y n

לדוגמה: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

רצף ביצוע החישובים בעבודה עם ביטויים המכילים תואר.

כשמבצעים חישובים של ביטויים ללא סוגריים, אך מכילים חזקות, קודם כל מבצעים אקספונציה, לאחר מכן פעולות הכפל והחילוק, ורק אחר כך פעולות החיבור והחיסור.

אם יש צורך להעריך ביטוי המכיל סוגריים, תחילה, בסדר המצוין לעיל, אנו מבצעים את החישובים בסוגריים, ולאחר מכן את שאר הפעולות באותו סדר משמאל לימין.

באופן נרחב מאוד בחישובים מעשיים, כדי לפשט חישובים, משתמשים בטבלאות מוכנות של תארים.

כפי שאתה יודע, במתמטיקה יש לא רק מספרים חיוביים, אלא גם שליליים. אם היכרות עם דרגות חיוביות מתחילה בקביעת שטח הריבוע, אז עם אלו השליליות הכל קצת יותר מסובך.

צריך לדעת את זה:

1. העלאת מספר ל תואר טבעיהכפל של מספר נקרא (המושג מספר ודמות במאמר ייחשב שווה ערך) בפני עצמו בכמות כזו כמו המעריך (בהמשך נשתמש במקביל ובפשטות במילה אינדיקטור). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. באופן כללי, זה נראה כך: m^n = m*m*m*...*m (n פעמים).
2. יש לזכור שכאשר מספר שלילי מועלה לעוצמה טבעית, הוא יהפוך לחיובי אם המעריך זוגי.
3. העלאת מספר למעריך של 0 נותן יחידה, בתנאי שהיא לא שווה לאפס. אפס בחזקת אפס נחשב ללא מוגדר. 17^0 = 1.
4. חילוץ שורש במידה מסוימת ממספר נקרא מציאת מספר שכאשר מועלה לאינדיקטור מתאים, ייתן את הערך הרצוי. אז שורש הקובייה של 125 הוא 5 כי 5^3 = 125.
5. אם אתה רוצה להעלות מספר לחזקה שברית חיובית, אז אתה צריך להעלות את המספר למכנה ולחלץ ממנו את שורש המונה. 6^5/7 = השורש השביעי מתוך 6*6*6*6*6.
6. אם אתה רוצה להעלות מספר למעריך שלילי, אז אתה צריך למצוא את ההדדיות של זה. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

העלאת מספר למודולו של הספק שלילי מאפס לאחד

ראשית, עלינו לזכור מהו מודול. זהו המרחק על קו הקואורדינטות מהערך שבחרנו למקור (אפס של קו הקואורדינטות). בהגדרה, זה לעולם לא יכול להיות שלילי.

ערך גדול מאפס

עם ערך של ספרה בטווח מאפס לאחד, אינדיקטור שלילי נותן עלייה בספרה עצמה. זה קורה בגלל שהמכנה פוחת, תוך שהוא נשאר חיובי.

בואו נסתכל על דוגמאות:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

יתר על כן, ככל שמודול המחוון גדול יותר, כך הדמות גדלה באופן פעיל יותר. כשהמכנה שואף לאפס, השבר עצמו שואף לפלוס אינסוף.

ערך נמוך מאפס

עכשיו שקול כיצד להעלות לחזקה שלילית אם המספר פחות מאפס. העיקרון זהה לחלק הקודם, אבל הסימן של המעריך חשוב כאן.

בואו נסתכל שוב על הדוגמאות:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

במקרה הזה אנחנו רואים את זה המודול ממשיך לגדול, אבל הסימן תלוי אם המעריך זוגי או אי זוגי.

יש לציין שאם נבנה יחידה, היא תמיד תישאר עצמה. אם אתה צריך להעלות מספר מינוס אחד, אז עם מעריך זוגי זה יהפוך לאחד, עם אי זוגי זה יישאר מינוס אחד.

העלאה לחזקת מספר שלם שלילי אם המודולוס גדול מאחד

עבור ספרות שהמודלוס שלהן גדול מאחד,יש מאפייני פעולה משלהם. קודם כל, אתה צריך להמיר את כל החלק של השבר למונה, כלומר, להמיר אותו לשבר לא תקין. אם יש לנו נקודה, אז יש להמיר אותו לרגיל. זה נעשה באופן הבא:

• 6 מספרים שלמים 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

עכשיו שקול כיצד להעלות מספר לעוצמה שלילית בתנאים אלה. כבר מהאמור לעיל, אנו יכולים להניח למה עלינו לצפות מתוצאת החישובים. מכיוון שהשבר הכפול מתהפך במהלך הפשטות, מודול הספרה יקטן ככל שהמודלוס של המחוון יגדל מהר יותר.

ראשית, שקול את המצב שבו המספר הנתון חיובי.

קודם כל, מתברר שהתוצאה הסופית תהיה גדולה מאפס, כי חלוקת שתי חיוביות תמיד נותנת חיובית. שוב, בואו נסתכל על דוגמאות כיצד זה נעשה:

• 6 שלמים 1/20 בחזקת מינוס חמישית = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0.00012;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

כפי שניתן לראות, הפעולות אינן גורמות לקשיים מיוחדים, וכל ההנחות הראשוניות שלנו התבררו כנכונות.

כעת נפנה למקרה של ספרה שלילית.

מלכתחילה, אנו יכולים להניח שאם המחוון זוגי, אז התוצאה תהיה חיובית, אם המחוון הוא אי זוגי, אז התוצאה תהיה שלילית. כל החישובים הקודמים שלנו בחלק זה ייחשבו תקפים כעת. בואו נסתכל שוב על הדוגמאות:

• -3 מספר שלם 1/2 בחזקת מינוס שישית = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2*2*2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 404 = 04 = 04 = 4.
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

לפיכך, כל הנימוקים שלנו התבררו כנכונים.

העלאה במקרה של מעריך שבר שלילי

כאן אתה צריך לזכור שקיימת זקפה כזו חילוץ שורש מידת המכנה מהמספר בדרגת המונה. כל ההיגיון הקודם שלנו נשאר נכון גם הפעם. בואו נסביר את הפעולות שלנו עם דוגמה:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

במקרה זה, אתה צריך לזכור כי לחלץ את השורשים רמה גבוההזה אפשרי רק בצורה שנבחרה במיוחד, וסביר להניח שלא תוכל להיפטר מהסימן של הרדיקל (שורש מרובע, שורש מעוקב, וכן הלאה) עם חישובים מדויקים.

עם זאת, לאחר שלמדנו בפירוט את הפרקים הקודמים, אין לצפות לקשיים בחישובי בית הספר.

יצוין כי תיאור פרק זה כולל גם זקפה עם אקספוננט לא רציונלי בכוונה, למשל, אם המחוון הוא מינוס PI. עליך לפעול על פי העקרונות שתוארו לעיל. עם זאת, חישובים במקרים כאלה הופכים למורכבים כל כך שרק מחשבים אלקטרוניים חזקים יכולים לעשות זאת.

סיכום

הפעולה שלמדנו היא אחת הבעיות הקשות במתמטיקה(במיוחד במקרה של ערך רציונלי או לא רציונלי באופן חלקי). עם זאת, לאחר לימוד בפירוט ושלב אחר שלב מדריך זה, אתה יכול ללמוד איך לעשות את זה על אוטומטי מלא ללא בעיות.