2.3. המרת מספרים ממערכת מספרים אחת לאחרת

2.3.1. המרת מספרים שלמים ממערכת מספרים אחת לאחרת

אפשר לנסח אלגוריתם להמרת מספרים שלמים ממערכת עם בסיס ע לתוך מערכת עם בסיס ש :

1. קרן מערכת חדשהלבטא את המספרים במערכת המספרים המקורית ולבצע את כל הפעולות הבאות במערכת המספרים המקורית.

2. בצעו בעקביות את החלוקה של המספר הנתון והמונות השלמות המתקבלות לפי בסיס מערכת המספרים החדשה עד שנקבל מנה קטנה מהמחלק.

3. יש להתאים את השאריות המתקבלות, שהן ספרות של מספר במערכת המספרים החדשה, עם האלפבית של מערכת המספרים החדשה.

4. חבר מספר במערכת המספרים החדשה, רשום אותו החל מהשארית האחרונה.

דוגמה 2.12.המרת מספר עשרוני 173 10 למערכת מספרים אוקטליים:

אנחנו מקבלים: 173 10 \u003d 255 8

דוגמה 2.13.המרת מספר עשרוני 173 10 למערכת מספרים הקסדצימלית:

נקבל: 173 10 = AD 16 .

דוגמה 2.14.המרת מספר עשרוני 11 10 למערכת מספרים בינארית. רצף הפעולות שנחשב לעיל (אלגוריתם תרגום) מתואר בצורה נוחה יותר כדלקמן:

אנחנו מקבלים: 11 10 \u003d 1011 2.

דוגמה 2.15.לפעמים יותר נוח לכתוב את אלגוריתם התרגום בצורה של טבלה. נתרגם את המספר העשרוני 363 10 למספר בינארי.

מחיצה

אנחנו מקבלים: 363 10 \u003d 101101011 2

2.3.2. תרגום של מספרים שברים ממערכת מספרים אחת לאחרת

אפשר לנסח אלגוריתם להמרת שבר תקין עם בסיס ע לשבר עם בסיס ש:

1. הביעו את הבסיס של מערכת המספרים החדשה מבחינת מערכת המספרים המקורית ובצעו את כל הפעולות הבאות במערכת המספרים המקורית.

2. הכפלו ברצף את המספר הנתון ואת חלקי השברים המתקבלים של התוצרים בבסיס המערכת החדשה עד שהחלק השברי של המוצר ישתווה לאפס או להגיע לדיוק הנדרש של ייצוג המספר.

3. החלקים השלמים המתקבלים של התוצרים, שהם ספרות של מספר במערכת המספרים החדשה, מובאים בקו אחד עם האלפבית של מערכת המספרים החדשה.

4. חבר את החלק השברי של המספר במערכת המספרים החדשה, החל מהחלק השלם של המכפלה הראשונה.

דוגמה 2.17.המר את המספר 0.65625 10 למערכת המספרים האוקטלית.

נקבל: 0.65625 10 \u003d 0.52 8

דוגמה 2.17.המר את המספר 0.65625 10 למערכת מספרים הקסדצימלית.

	איקס 16

אנו מקבלים: 0.65625 10 \u003d 0.A8 1

דוגמה 2.18.המר עשרוני 0.5625 10 למערכת מספרים בינארית.

	איקס 2
	איקס 2
	איקס 2
	איקס 2

אנו מקבלים: 0.5625 10 \u003d 0.1001 2

דוגמה 2.19.המר לעשרוני בינארי 0.7 10 .

ברור, תהליך זה יכול להימשך ללא הגבלה, נותן יותר ויותר סימנים בתמונה של המקבילה הבינארית של המספר 0.7 10. אז, בארבעה שלבים נקבל את המספר 0.1011 2, ובשבעה שלבים את המספר 0.1011001 2, שהוא ייצוג מדויק יותר של המספר 0.7 10 בבינארי מערכת המספרים, ווכו' תהליך אינסופי שכזה נקטע בשלב מסוים, כאשר נחשב שהדיוק הנדרש של ייצוג המספר הושג.

2.3.3. תרגום של מספרים שרירותיים

תרגום של מספרים שרירותיים, כלומר. מספרים המכילים חלקים שלמים ושברים מבוצעים בשני שלבים: החלק השלם מתורגם בנפרד, והחלק השבר מתורגם בנפרד. ברשומה הסופית של המספר המתקבל, החלק השלם מופרד מהפסיק השבר (נקודה).

דוגמה 2.20. המרת מספר 17.25 10 למערכת מספרים בינארית.

אנחנו מקבלים: 17.25 10 \u003d 1001.01 2

דוגמה 2.21.המר את המספר 124.25 10 למערכת אוקטלית.

אנחנו מקבלים: 124.25 10 \u003d 174.2 8

2.3.4. המרת מספרים ממערכת מספרים עם בסיס 2 למערכת מספרים עם בסיס 2 n ולהיפך

תרגום של מספרים שלמים.אם הבסיס של מערכת המספרים הקארית הוא חזקת 2, אזי ההמרה של מספרים ממערכת המספרים הקארית למערכת המספרים הדו-אררית ולהיפך יכולה להתבצע ביותר מ- כללים פשוטים. כדי לכתוב מספר שלם בינארי במערכת מספרים עם בסיס q=2 n, אתה צריך:

1. חלקו מספר בינארי מימין לשמאל לקבוצות של n ספרות כל אחת.

2. אם יש פחות מ- n ספרות בקבוצה השמאלית האחרונה, אז יש להוסיף אותה משמאל עם אפסים למספר הספרות הדרוש.

דוגמה 2.22.נתרגם את המספר 101100001000110010 2 למערכת המספרים האוקטלית.

נחלק את המספר מימין לשמאל לשלשות ומתחת לכל אחת מהן נכתוב את הספרה האוקטלית המתאימה:

נקבל את הייצוג האוקטלי של המספר המקורי: 541062 8 .

דוגמה 2.23.המספר 1000000000111110000111 2 יומר למערכת מספרים הקסדצימלית.

נחלק את המספר מימין לשמאל לטטראדים ונכתוב את הספרה ההקסדצימלית המתאימה מתחת לכל אחד מהם:

נקבל את הייצוג ההקסדצימלי של המספר המקורי: 200F87 16 .

תִרגוּם מספרים שברים. כדי לכתוב מספר בינארי חלקי במערכת מספרים עם בסיס q=2 n, אתה צריך:

1. חלקו מספר בינארי משמאל לימין לקבוצות של n ספרות כל אחת.

2. אם יש פחות מ- n ספרות בקבוצה הימנית האחרונה, יש להוסיף אותה מימין עם אפסים למספר הספרות הנדרש.

3. ראה כל קבוצה כמספר בינארי של n-bit ורשום אותה עם הספרה המתאימה במערכת המספרים עם בסיס q=2 n .

דוגמה 2.24.נתרגם את המספר 0.10110001 2 למערכת המספרים האוקטאלית.

נחלק את המספר משמאל לימין לשלשות ונכתוב את הספרה האוקטלית המתאימה מתחת לכל אחת מהן:

נקבל את הייצוג האוקטלי של המספר המקורי: 0.542 8 .

דוגמה 2.25.נתרגם את המספר 0.100000000011 2 למערכת מספרים הקסדצימלית. נחלק את המספר משמאל לימין לטטראדים ונכתוב את הספרה ההקסדצימלית המתאימה מתחת לכל אחד מהם:

נקבל את הייצוג ההקסדצימלי של המספר המקורי: 0.803 16

תרגום של מספרים שרירותיים.כדי לכתוב מספר בינארי שרירותי במערכת המספרים עם בסיס q=2 n, אתה צריך:

1. חלקו את החלק השלם של המספר הבינארי הזה מימין לשמאל, ואת החלק השברי משמאל לימין לקבוצות של n ספרות כל אחת.

2. אם יש פחות מ- n ספרות בקבוצה השמאלית ו/או הימנית האחרונה, יש להוסיף אותן משמאל ו/או ימין באפסים עד למספר הספרות הנדרש;

3. ראה כל קבוצה כמספר בינארי של n-bit ורשום אותו בתור הספרה המתאימה במערכת המספרים עם בסיס q=2 n

דוגמה 2.26.נתרגם את המספר 111100101.0111 2 למערכת המספרים האוקטאלית.

אנו מחלקים את החלקים השלמים והשברים של המספר לשלשות וכותבים את הספרה האוקטלית המתאימה מתחת לכל אחת מהן:

נקבל את הייצוג האוקטלי של המספר המקורי: 745.34 8 .

דוגמה 2.27.המספר 11101001000,11010010 2 יומר למערכת מספרים הקסדצימלית.

אנו מחלקים את החלקים השלמים והשברים של המספר למחברות, ומתחת לכל אחד מהם נכתוב את הספרה ההקסדצימלית המתאימה:

נקבל את הייצוג ההקסדצימלי של המספר המקורי: 748,D2 16 .

תרגום מספרים ממערכות מספרים עם בסיס q=2n לבינארי.על מנת להמיר מספר שרירותי שנכתב במערכת מספרים עם בסיס q=2 n למערכת מספרים בינארית, צריך להחליף כל ספרה של מספר זה עם המקבילה ה-n-ספרתית שלה במערכת המספרים הבינארית.

דוגמה 2.28.בוא נתרגם את המספר ההקסדצימלי 4AC35 16 למערכת המספרים הבינארית.

לפי האלגוריתם:

אנחנו מקבלים: 1001010110000110101 2 .

משימות להגשמה עצמית (תשובות)

2.38. מלאו את הטבלה, שבכל שורה שלה יש לכתוב את אותו מספר שלם במערכות מספרים שונות.

בינארי	אוקטלי	נקודה	הקסדצימלי

2.39. מלאו את הטבלה, שבכל שורה שלה יש לכתוב את אותו מספר שבר במערכות מספרים שונות.

בינארי	אוקטלי	נקודה	הקסדצימלי

2.40. מלאו את הטבלה, שבכל שורה שלה יש לכתוב את אותו מספר שרירותי (המספר יכול להכיל גם חלק שלם וגם חלק שברי) במערכות מספרים שונות.

בינארי	אוקטלי	נקודה	הקסדצימלי
			59 ב

1. ספירה סידורית במערכות מספרים שונות.

IN חיים מודרניםאנו משתמשים במערכות מספר מיקום, כלומר, מערכות שבהן המספר המסומן בספרה תלוי במיקום הספרה בסימון המספר. לכן, בעתיד נדבר רק עליהם, תוך השמטת המונח "פוזיציוני".

על מנת ללמוד כיצד לתרגם מספרים ממערכת אחת לאחרת, בואו נבין כיצד מתבצעת הרישום הרציף של מספרים באמצעות המערכת העשרונית כדוגמה.

מכיוון שיש לנו מערכת מספרים עשרוניים, יש לנו 10 תווים (ספרות) לבניית מספרים. אנחנו מתחילים את הספירה הסידורית: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. נגמרו המספרים. אנו מגדילים את הקיבולת של המספר ומאפסים את הסדר הנמוך: 10. לאחר מכן שוב מגבירים את הסדר הנמוך עד שכל הספרות נגמרות: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. הגדל את הסדר הגבוה ב-1 והגדר את הסדר הנמוך לאפס: 20. כאשר אנו משתמשים בכל הספרות עבור שתי הספרות (נקבל את המספר 99), אנו מגדילים שוב את קיבולת הספרות של המספר ומאפסים את הספרות הקיימות: 100. וכן הלאה.

בואו ננסה לעשות את אותו הדבר בשיטה השנייה, השלישית והחמישית (בואו נציג את הסימון עבור השיטה השנייה, עבור השיטה השלישית וכו'):

0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

אם למערכת המספרים יש בסיס גדול מ-10 אז נצטרך להזין תווים נוספים, נהוג להזין אותיות אלפבית לטיני. לדוגמה, עבור המערכת הקסדצימלית, בנוסף לעשר ספרות, אנו זקוקים לשתי אותיות (ו):

0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2. העברה ממערכת מספרים עשרוניים לכל מערכת אחרת.

כדי להמיר מספר עשרוני חיובי שלם למערכת מספרים עם בסיס שונה, עליך לחלק את המספר הזה בבסיס. המנה המתקבלת מחולקת שוב בבסיס, ועוד עד שהמנה קטנה מהבסיס. כתוצאה מכך, כתוב את המנה האחרונה ואת כל השאריות בשורה אחת, החל מהאחרונה.

דוגמה 1נתרגם את המספר העשרוני 46 למערכת המספרים הבינארית.

דוגמה 2נתרגם את המספר העשרוני 672 למערכת המספרים האוקטליים.

דוגמה 3נתרגם את המספר העשרוני 934 למערכת המספרים ההקסדצימליים.

3. תרגום מכל מערכת מספרים לעשרוני.

על מנת ללמוד כיצד לתרגם מספרים מכל מערכת אחרת לעשרוני, בואו ננתח את הסימון העשרוני המוכר לנו.
לדוגמה, המספר העשרוני 325 הוא 5 יחידות, 2 עשרות ו-3 מאות, כלומר.

המצב זהה לחלוטין במערכות מספרים אחרות, רק שנכפיל לא ב-10, 100 וכו', אלא במידת הבסיס של מערכת המספרים. לדוגמה, ניקח את המספר 1201 במערכת המספרים השלישיים. אנו ממספרים את הספרות מימין לשמאל החל מאפס ומייצגים את המספר שלנו כסכום המכפלה של ספרה בשלושה בדרגה של ספרה מספרת:

זה מה שזה סימון עשרוניהמספר שלנו, כלומר.

דוגמה 4בואו נמיר את המספר האוקטלי 511 למערכת המספרים העשרונית.

דוגמה 5בואו נמיר את המספר ההקסדצימלי 1151 למערכת המספרים העשרונית.

4. תרגום מ מערכת בינאריתלמערכת בעלת בסיס "כוח של שניים" (4, 8, 16 וכו').

כדי להמיר מספר בינארי למספר בעל בסיס "חזקה של שתיים", יש צורך לחלק את הרצף הבינארי לקבוצות לפי מספר הספרות השווה למעלה מימין לשמאל ולהחליף כל קבוצה בספרה המתאימה של מערכת המספרים החדשה.

לדוגמה, בואו נמיר את המספר הבינארי 1100001111010110 לאוקטלי. לשם כך, בואו נחלק אותה לקבוצות של 3 תווים החל מימין (כי ), ולאחר מכן נשתמש בטבלת ההתכתבויות ונחליף כל קבוצה במספר חדש:

למדנו איך לבנות טבלת התכתבות בפסקה 1.

0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

הָהֵן.

דוגמה 6בואו נמיר את המספר הבינארי 1100001111010110 למערכת הקסדצימלית.

0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	א
1011	ב
1100	ג
1101	ד
1110	ה
1111	ו

5. העברה ממערכת בעלת בסיס "חזקה של שתיים" (4, 8, 16 וכו') לבינארית.

תרגום זה דומה לתרגום הקודם שנעשה ב צד הפוך: נחליף כל ספרה בקבוצת ספרות במערכת הבינארית מטבלת החיפוש.

דוגמה 7נתרגם את המספר ההקסדצימלי C3A6 למערכת המספרים הבינארית.

לשם כך, נחליף כל ספרה של המספר בקבוצה של 4 ספרות (מכיוון ) מטבלת ההתאמות, ונשלים את הקבוצה באפסים בהתחלה במידת הצורך:

המרת מספרים ממערכת מספרים אחת לאחרת היא חלק חשוב באריתמטיקה במכונה. שקול את הכללים הבסיסיים של תרגום.

1. כדי להמיר מספר בינארי לעשרוני, יש צורך לכתוב אותו כפולינום המורכב ממכפלת ספרות המספר והחזקה המקבילה של המספר 2, ולחשב לפי כללי החשבון העשרוני:

בעת תרגום, נוח להשתמש בטבלת הכוחות של שניים:

טבלה 4. סמכויות 2

n (תואר)

דוגמא.

2. כדי לתרגם מספר אוקטלי לעשרוני, יש צורך לכתוב אותו כפולינום המורכב ממכפלת ספרות המספר והחזקה המקבילה של המספר 8, ולחשב לפי כללי החשבון העשרוני:

בעת תרגום, נוח להשתמש בטבלת החזקות של שמונה:

טבלה 5. חזקה של 8

n (תואר)

דוגמא.המר את המספר למערכת מספרים עשרוניים.

3. כדי לתרגם מספר הקסדצימלי לעשרוני, יש צורך לכתוב אותו כפולינום המורכב ממכפלת ספרות המספר והחזקה המקבילה של המספר 16, ולחשב לפי כללי החשבון העשרוני:

בעת תרגום, זה נוח לשימוש בזק של כוחות של 16:

טבלה 6. כוחות של 16

n (תואר)

דוגמא.המר את המספר למערכת מספרים עשרוניים.

4. כדי להמיר מספר עשרוני למערכת הבינארית, יש לחלק אותו ברציפות ב-2 עד שתהיה שארית קטנה או שווה ל-1. מספר במערכת הבינארית נכתב כרצף של התוצאה האחרונה של החלוקה וה- שאר החלוקה בסדר הפוך.

דוגמא.המרת המספר למערכת מספרים בינארית.

5. כדי להמיר מספר עשרוני למערכת האוקטלית, יש לחלק אותו ברציפות ב-8 עד שיש שארית קטנה או שווה ל-7. מספר במערכת האוקטלית נכתב כרצף של ספרות של התוצאה האחרונה של החלוקה ושאר החלוקה בסדר הפוך.

דוגמא.המרת המספר למערכת מספרים אוקטלית.

6. כדי להמיר מספר עשרוני למערכת הקסדצימלית, יש לחלק אותו ברציפות ב-16 עד שתהיה שארית קטנה או שווה ל-15. המספר במערכת ההקסדצימלית נכתב כרצף של ספרות של תוצאת החלוקה האחרונה. ושאר החלוקה בסדר הפוך.

דוגמא.המר את המספר להקסדצימלי.

התוצאה כבר התקבלה!

מערכות מספרים

ישנן מערכות מספר מיקום ולא מיקומי. מערכת הספרות הערבית שבה אנו משתמשים חיי היום - יום, הוא מיקום, בעוד רומן לא. במערכות מספר מיקום, מיקומו של מספר קובע באופן ייחודי את גודל המספר. שקול זאת באמצעות הדוגמה של המספר 6372 במערכת המספרים העשרונית. בואו נספר את המספר הזה מימין לשמאל החל מאפס:

אז ניתן לייצג את המספר 6372 באופן הבא:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

המספר 10 מגדיר את מערכת המספרים (במקרה זה הוא 10). ערכי המיקום של המספר הנתון נלקחים כמעלות.

קחו בחשבון את המספר העשרוני האמיתי 1287.923. אנו מספרים אותו החל ממיקום האפס של המספר מהנקודה העשרונית שמאלה וימינה:

אז המספר 1287.923 יכול להיות מיוצג כ:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

באופן כללי, ניתן לייצג את הנוסחה באופן הבא:

ג נ ס n + C n-1 ס n-1 +...+C 1 ס 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

כאשר C n הוא מספר שלם במיקום נ, D -k - מספר חלקי במיקום (-k), ס- מערכת מספרים.

כמה מילים על מערכות מספרים מספר במערכת המספרים העשרונית מורכב מקבוצת ספרות (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), במערכת המספרים האוקטלית הוא מורכב מ קבוצת ספרות (0,1, 2,3,4,5,6,7), במערכת הבינארית - מקבוצת הספרות (0.1), במערכת המספרים ההקסדצימליים - מקבוצת הספרות (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), כאשר A,B,C,D,E,F תואמים למספרים 10,11, 12,13,14,15. בטבלה 1 הוצגו מספרים ב מערכות שונותחשבון נפש.

שולחן 1
סִמוּן
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	א
11	1011	13	ב
12	1100	14	ג
13	1101	15	ד
14	1110	16	ה
15	1111	17	ו

המרת מספרים ממערכת מספרים אחת לאחרת

כדי לתרגם מספרים ממערכת מספרים אחת לאחרת, הדרך הקלה ביותר היא להמיר תחילה את המספר למערכת המספרים העשרונית, ולאחר מכן, ממערכת המספרים העשרונית, לתרגם אותו למערכת המספרים הנדרשת.

המרת מספרים מכל מערכת מספרים למערכת מספרים עשרוניים

באמצעות נוסחה (1), ניתן להמיר מספרים מכל מערכת מספרים למערכת המספרים העשרונית.

דוגמא 1. המר את המספר 1011101.001 ממערכת המספרים הבינארית (SS) ל-SS עשרוני. פִּתָרוֹן:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4+ 1 2 3+ 1 2 2+ 0 2 1+ 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

דוגמא2. המר את המספר 1011101.001 ממערכת המספרים האוקטלית (SS) ל-SS עשרוני. פִּתָרוֹן:

דוגמא 3 . המר את המספר AB572.CDF מהקסדצימלי ל-SS עשרוני. פִּתָרוֹן:

כאן א-מוחלף ב-10, ב- ב 11, ג- ב 12, ו- בשעה 15.

המרת מספרים ממערכת מספרים עשרוניים למערכת מספרים אחרת

כדי להמיר מספרים ממערכת מספרים עשרוניים למערכת מספרים אחרת, עליך לתרגם בנפרד את החלק השלם של המספר ואת החלק השברי של המספר.

החלק השלם של המספר מתורגם מ-SS העשרוני למערכת מספרים אחרת - על ידי חלוקה ברציפות של החלק השלם של המספר בבסיס מערכת המספרים (עבור SS בינארי - ב-2, עבור SS בן 8 ספרות - ב-8, עבור 16 ספרות - על ידי 16 וכו') כדי להשיג שארית שלמה, פחות מבסיס ה-SS.

דוגמא 4 . נתרגם את המספר 159 מ-SS עשרוני ל-SS בינארי:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

כפי שניתן לראות מאיור. 1, המספר 159, כאשר מחלקים ב-2, נותן את המנה 79 והשאר הוא 1. יתרה מכך, המספר 79, כאשר מחלקים ב-2, נותן את המנה 39 והשאר הוא 1, וכן הלאה. כתוצאה מכך, על ידי בניית מספר משאר החלוקה (מימין לשמאל), נקבל מספר ב-SS בינארי: 10011111 . לכן נוכל לכתוב:

159 10 =10011111 2 .

דוגמא 5 . בואו נמיר את המספר 615 מ-SS עשרוני ל-SS אוקטלי.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

בעת המרת מספר מ-SS עשרוני ל-SS אוקטלי, עליך לחלק את המספר ברצף ב-8 עד שתקבל שארית מספר שלם פחות מ-8. כתוצאה מכך, בונים מספר משאר החלוקה (מימין לשמאל) אנו קבל מספר באוקטלי SS: 1147 (ראה איור 2). לכן, נוכל לכתוב:

615 10 =1147 8 .

דוגמא 6 . נתרגם את המספר 19673 ממערכת המספרים העשרוניים ל-SS הקסדצימלי.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

כפי שניתן לראות מאיור 3, על ידי חלוקה ברציפות של המספר 19673 ב-16, קיבלנו את השאריות 4, 12, 13, 9. במערכת המספרים הקסדצימלית, המספר 12 מתאים ל-C, המספר 13 - D. לכן, המספר ההקסדצימלי שלנו הוא 4CD9.

כדי להמיר שברים עשרוניים נכונים (מספר ממשי עם חלק שלם אפס) למערכת מספרים עם בסיס s, יש להכפיל את המספר הזה ברציפות ב-s עד שחלק השבר יהיה אפס טהור, או שנקבל את מספר הספרות הנדרש. אם הכפל מביא למספר עם חלק שלם שאינו אפס, אז החלק השלם הזה לא נלקח בחשבון (הם נכללים ברצף בתוצאה).

הבה נסתכל על האמור לעיל עם דוגמאות.

דוגמא 7 . נתרגם את המספר 0.214 ממערכת המספרים העשרונית ל-SS בינארי.

		0.214
	איקס	2
0		0.428
	איקס	2
0		0.856
	איקס	2
1		0.712
	איקס	2
1		0.424
	איקס	2
0		0.848
	איקס	2
1		0.696
	איקס	2
1		0.392

כפי שניתן לראות מאיור 4, המספר 0.214 מוכפל ברציפות ב-2. אם תוצאת הכפל היא מספר עם חלק שלם שאינו אפס, אז החלק השלם נכתב בנפרד (משמאל למספר), והמספר נכתב בחלק שלם אפס. אם, כאשר מכפילים, מתקבל מספר עם חלק שלם אפס, אז אפס נכתב משמאל לו. תהליך הכפל נמשך עד שמתקבל אפס טהור בחלק השבר או קבלת מספר הספרות הנדרש. כתיבת מספרים מודגשים (איור 4) מלמעלה למטה, נקבל את המספר הנדרש במערכת הבינארית: 0. 0011011 .

לכן, נוכל לכתוב:

0.214 10 =0.0011011 2 .

דוגמא 8 . נתרגם את המספר 0.125 ממערכת המספרים העשרונית ל-SS הבינארי.

		0.125
	איקס	2
0		0.25
	איקס	2
0		0.5
	איקס	2
1		0.0

כדי להמיר את המספר 0.125 מ-SS עשרוני לבינארי, מספר זה מוכפל ברציפות ב-2. בשלב השלישי התקבל 0. לכן התקבלה התוצאה הבאה:

0.125 10 =0.001 2 .

דוגמא 9 . נתרגם את המספר 0.214 ממערכת המספרים העשרוניים ל-SS הקסדצימלי.

		0.214
	איקס	16
3		0.424
	איקס	16
6		0.784
	איקס	16
12		0.544
	איקס	16
8		0.704
	איקס	16
11		0.264
	איקס	16
4		0.224

בעקבות דוגמאות 4 ו-5, נקבל את המספרים 3, 6, 12, 8, 11, 4. אבל ב-SS הקסדצימלית, המספרים C ו-B תואמים למספרים 12 ו-11. לכן, יש לנו:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

דוגמא 10 . נתרגם את המספר 0.512 ממערכת המספרים העשרונית ל-SS האוקטלי.

		0.512
	איקס	8
4		0.096
	איקס	8
0		0.768
	איקס	8
6		0.144
	איקס	8
1		0.152
	איקס	8
1		0.216
	איקס	8
1		0.728

יש:

0.512 10 =0.406111 8 .

דוגמא 11 . נתרגם את המספר 159.125 ממערכת המספרים העשרונית ל-SS בינארי. לשם כך, אנו מתרגמים בנפרד את החלק השלם של המספר (דוגמה 4) ואת החלק השבר של המספר (דוגמה 8). בשילוב תוצאות אלו, אנו מקבלים:

159.125 10 =10011111.001 2 .

דוגמא 12 . נתרגם את המספר 19673.214 ממערכת המספרים העשרונית ל-SS הקסדצימלי. לשם כך, אנו מתרגמים בנפרד את החלק השלם של המספר (דוגמה 6) ואת החלק השבר של המספר (דוגמה 9). שילוב נוסף של תוצאות אלו אנו מקבלים.

המחשבון מאפשר להמיר מספרים שלמים ושברים ממערכת מספרים אחת לאחרת. הבסיס של מערכת המספרים לא יכול להיות קטן מ-2 וגדול מ-36 (10 ספרות ו-26 אותיות לטיניותעל כל פנים). מספרים לא יעלו על 30 תווים. כדי להזין מספרים שברים, השתמש בסמל. או, . כדי להמיר מספר ממערכת אחת לאחרת, הזינו את המספר המקורי בשדה הראשון, את הבסיס של מערכת המספרים המקורית בשדה השני, ואת בסיס מערכת המספרים שאליה תרצו להמיר את המספר בשדה השלישי, לאחר מכן לחץ על הלחצן "קבל כניסה".

מספר מקורי נרשם ב-2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3 -מערכת המספרים.

אני רוצה לקבל תיעוד של מספר 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -מערכת המספרים.

קבלו כניסה

העברות שהושלמו: 1237200

מערכות מספרים

מערכות המספרים מתחלקות לשני סוגים: מקומיו לא עמדתי. אנחנו משתמשים בשיטה הערבית, היא פוזיציונית, ויש גם את הרומית - היא פשוט לא עמדה. במערכות מיקום, המיקום של ספרה במספר קובע באופן ייחודי את הערך של אותו מספר. קל להבין זאת על ידי התבוננות בדוגמה של מספר כלשהו.

דוגמה 1. ניקח את המספר 5921 במערכת המספרים העשרונית. אנו מספרים את המספר מימין לשמאל החל מאפס:

ניתן לכתוב את המספר 5921 בצורה הבאה: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . המספר 10 הוא מאפיין המגדיר את מערכת המספרים. ערכי המיקום של המספר הנתון נלקחים כמעלות.

דוגמה 2. שקול את המספר העשרוני האמיתי 1234.567. אנו מספרים אותו החל ממיקום האפס של המספר מהנקודה העשרונית שמאלה וימינה:

ניתן לכתוב את המספר 1234.567 באופן הבא: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 6 +7 10 -3 .

המרת מספרים ממערכת מספרים אחת לאחרת

רוב בצורה פשוטההעברת מספר ממערכת מספרים אחת לאחרת היא תרגום המספר תחילה למערכת המספרים העשרונית, ולאחר מכן, התוצאה המתקבלת למערכת המספרים הנדרשת.

המרת מספרים מכל מערכת מספרים למערכת מספרים עשרוניים

כדי להמיר מספר ממערכת מספרים כלשהי לעשרוני, מספיק למספר את הספרות שלו, החל מאפס (הספרה משמאל לנקודה העשרונית) בדומה לדוגמאות 1 או 2. בוא נמצא את סכום מכפלות הספרות של המספר בבסיס מערכת המספרים בחזקת המיקום של ספרה זו:

1. המרת מספר 1001101.1101 2 למערכת מספרים עשרוניים.
פִּתָרוֹן: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0.5 +0.25+0.0625 = 19.8125 10
תשובה: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. המר את המספר E8F.2D 16 למערכת מספרים עשרוניים.
פִּתָרוֹן: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
תשובה: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

המרת מספרים ממערכת מספרים עשרוניים למערכת מספרים אחרת

כדי להמיר מספרים ממערכת מספרים עשרוניים למערכת מספרים אחרת, יש לתרגם בנפרד את החלקים השלמים והשברים של המספר.

המרת החלק השלם של מספר ממערכת מספרים עשרוניים למערכת מספרים אחרת

החלק השלם מתורגם ממערכת המספרים העשרונית למערכת מספרים אחרת על ידי חלוקה ברציפות של החלק השלם של המספר בבסיס של מערכת המספרים עד שמתקבלת שארית שלמה, קטנה מבסיס מערכת המספרים. תוצאת ההעברה תהיה תיעוד מהשרידים, החל מהאחרון.

3. המרת מספר 273 10 למערכת מספרים אוקטלית.
פִּתָרוֹן: 273 / 8 = 34 והשאר 1, 34 / 8 = 4 והשאר 2, 4 הוא פחות מ-8, כך שהחישוב הושלם. הרשומה מהשרידים תיראה כך: 421
בְּדִיקָה: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , התוצאה זהה. אז התרגום נכון.
תשובה: 273 10 = 421 8

שקול להמיר מספרים עשרוניים נאותים ל מערכות שונותחשבון נפש.

המרת החלק השברי של מספר ממערכת מספרים עשרוניים למערכת מספרים אחרת

זכור את הנכון נקודהשקוראים לו מספר אמיתי עם חלק שלם אפס. כדי לתרגם מספר כזה למערכת מספרים עם בסיס N, עליך להכפיל באופן עקבי את המספר ב-N עד שחלק השבר יאפס או שיתקבל מספר הספרות הנדרש. אם במהלך הכפל מתקבל מספר עם חלק שלם שאינו אפס, אז החלק השלם לא נלקח בחשבון יותר, מכיוון שהוא מוזן ברצף לתוצאה.

4. המרת מספר 0.125 10 למערכת מספרים בינארית.
פִּתָרוֹן: 0.125 2 = 0.25 (0 הוא החלק השלם, שיהיה הספרה הראשונה של התוצאה), 0.25 2 = 0.5 (0 היא הספרה השנייה של התוצאה), 0.5 2 = 1.0 (1 היא הספרה השלישית של התוצאה , ומכיוון שחלק השבר הוא אפס , התרגום הושלם).
תשובה: 0.125 10 = 0.001 2