כֶּפֶל עשרונים מתרחש בשלושה שלבים.
שברים עשרוניים נכתבים בעמודה ומוכפלים כמו מספרים רגילים.
אנו סופרים את מספר המקומות העשרוניים עבור השבר העשרוני הראשון והשני. נחבר את מספרם.
בתוצאה המתקבלת, נספור מימין לשמאל את אותו מספר של מספרים כפי שקיבלנו בפסקה למעלה ונשים פסיק.
כיצד להכפיל מספרים עשרוניים
אנו כותבים את השברים העשרוניים בעמודה ומכפילים אותם כמספרים טבעיים, תוך התעלמות מהפסיקים. כלומר, אנו מחשיבים 3.11 כ-311, ו-0.01 כ-1.
קיבלנו 311. כעת נספור את מספר הסימנים (הספרות) לאחר הנקודה העשרונית עבור שני השברים. לעשרוני הראשון יש שתי ספרות ולשני יש שתיים. מספר כולל של מקומות עשרוניים:
אנו סופרים מימין לשמאל 4 סימנים (ספרות) של המספר המתקבל. התוצאה המתקבלת מכילה פחות מספרים ממה שצריך להיות מופרדים בפסיק. במקרה זה אתה צריך שמאלההוסף את מספר האפסים החסר.
חסרה לנו ספרה אחת, אז נוסיף אפס אחד לשמאל.
כאשר מכפילים שבר עשרוני כלשהוב-10; 100; 1000 וכו'. הנקודה העשרונית זזה ימינה בכמה מקומות שיש אפסים אחרי האחד.
להכפיל עשרוני ב-0.1; 0.01; 0.001 וכו', עליך להזיז את הנקודה העשרונית בשבר זה שמאלה בכמה מקומות שיש אפסים לפני האחד.
אנחנו סופרים אפס מספרים שלמים!
- 12 0.1 = 1.2
- 0.05 · 0.1 = 0.005
- 1.256 · 0.01 = 0.012 56
- מבלי לשים לב לפסיקים, בצע כפל לפי כל כללי הכפל בעמודה של מספרים טבעיים;
- במספר המתקבל, הפרידו בנקודה עשרונית כמה ספרות מימין כמו שיש מקומות עשרוניים בשני הגורמים יחד, ואם אין מספיק ספרות במכפלה, אז יש להוסיף את מספר האפסים הנדרש משמאל.
כדי להבין כיצד להכפיל עשרוניות, הבה נסתכל על דוגמאות ספציפיות.
כלל להכפלת עשרונים
1) הכפל מבלי לשים לב לפסיק.
2) כתוצאה מכך, אנו מפרידים כמה ספרות אחרי הנקודה העשרונית כמו שיש אחרי הנקודות העשרוניות בשני הגורמים יחד.
מצא את המכפלה של שברים עשרוניים:
כדי להכפיל שברים עשרוניים, נכפיל מבלי לשים לב לפסיקים. כלומר, אנחנו לא מכפילים 6.8 ו-3.4, אלא 68 ו-34. כתוצאה מכך, אנחנו מפרידים כמה ספרות אחרי הנקודה העשרונית כמו שיש אחרי הנקודות העשרוניות בשני הגורמים יחד. בגורם הראשון יש ספרה אחת אחרי הנקודה העשרונית, בשני יש גם ספרה אחת. בסה"כ נפריד שני מספרים אחרי הנקודה העשרונית. כך קיבלנו את התשובה הסופית: 6.8∙3.4=23.12.
אנו מכפילים מספרים עשרוניים מבלי לקחת בחשבון את הנקודה העשרונית. כלומר, למעשה, במקום להכפיל את 36.85 ב-1.14, נכפיל 3685 ב-14. נקבל 51590. כעת בתוצאה הזו אנחנו צריכים להפריד כמה ספרות עם פסיק שיש בשני הגורמים יחד. למספר הראשון יש שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית, לשני יש אחת. בסך הכל, אנו מפרידים שלוש ספרות עם פסיק. מכיוון שיש אפס אחרי הנקודה העשרונית בסוף הערך, לא נכתוב אותו בתשובה: 36.85∙1.4=51.59.
כדי להכפיל את העשרונים הללו, נכפיל את המספרים מבלי לשים לב לפסיקים. כלומר, נכפיל את המספרים הטבעיים 2315 ו-7. נקבל 16205. במספר זה צריך להפריד ארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית - כמה שיש בשני הגורמים יחד (שתיים בכל אחד). תשובה סופית: 23.15∙0.07=1.6205.
הכפלת עשרוני ב מספר טבעיבוצע באופן דומה. נכפיל את המספרים מבלי לשים לב לפסיק, כלומר נכפיל 75 ב-16. התוצאה המתקבלת צריכה להכיל את אותו מספר של סימנים אחרי הנקודה העשרונית כפי שיש בשני הגורמים יחד - אחד. לפיכך, 75∙1.6=120.0=120.
אנו מתחילים להכפיל שברים עשרוניים על ידי הכפלת מספרים טבעיים, מכיוון שאיננו שמים לב לפסיקים. לאחר מכן, אנו מפרידים כמה ספרות אחרי הנקודה העשרונית כמו שיש בשני הגורמים יחד. למספר הראשון יש שני מקומות עשרוניים, לשני יש גם שניים. בסך הכל, התוצאה צריכה להיות ארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית: 4.72∙5.04=23.7888.
ועוד כמה דוגמאות על הכפלת שברים עשרוניים:
www.for6cl.uznateshe.ru
הכפלת עשרונים, כללים, דוגמאות, פתרונות.
הבה נעבור ללימוד הפעולה הבאה עם שברים עשרוניים, כעת ניקח מבט מקיף על הכפלת מספרים עשרוניים. בוא נדבר קודם עקרונות כללייםהכפלת שברים עשרוניים. לאחר מכן נעבור להכפלת שבר עשרוני בשבר עשרוני, נראה כיצד מכפילים שברים עשרוניים בעמודה ונחשוב על פתרונות לדוגמאות. לאחר מכן, נבחן הכפלת שברים עשרוניים במספרים טבעיים, במיוחד ב-10, 100 וכו'. לבסוף, בואו נדבר על הכפלת עשרונים בשברים ומספרים מעורבים.
בוא נגיד מיד שבמאמר זה נדבר רק על הכפלת שברים עשרוניים חיוביים (ראה חיובי ו מספרים שליליים). מקרים אחרים נדונים בכפל המאמרים מספר רציונליו הכפלת מספרים ממשיים.
ניווט בדף.
עקרונות כלליים של כפל עשרונים
הבה נדון בעקרונות הכלליים שיש להקפיד עליהם בעת הכפלה בעשרוניות.
מכיוון שמספרים עשרוניים סופיים ושברים מחזוריים אינסופיים הם הצורה העשרונית של שברים נפוצים, הכפלה של שברים עשרוניים כאלה היא בעצם הכפלת שברים נפוצים. במילים אחרות, הכפלת מספרים עשרוניים סופיים, הכפלת שברים עשרוניים סופיים ומחזוריים, ו הכפלת מספרים עשרוניים תקופתייםמסתכם בכפל שברים רגילים לאחר המרת שברים עשרוניים לשברים רגילים.
בואו נסתכל על דוגמאות ליישום העיקרון המוצהר של הכפלת שברים עשרוניים.
הכפל את העשרוניות 1.5 ו-0.75.
הבה נחליף את השברים העשרוניים המוכפלים בשברים הרגילים המתאימים. מאז 1.5=15/10 ו-0.75=75/100, אז. אתה יכול להקטין את השבר, ואז לבודד את כל החלק מהשבר הלא תקין, ונוח יותר לכתוב את השבר הרגיל המתקבל 1 125/1 000 כשבר עשרוני 1.125.
יש לציין שנוח להכפיל שברים עשרוניים סופיים בעמודה; על שיטה זו של הכפלת שברים עשרוניים נדבר בפסקה הבאה.
בואו נסתכל על דוגמה של הכפלת שברים עשרוניים תקופתיים.
חשב את המכפלה של השברים העשרוניים המחזוריים 0,(3) ו-2,(36) .
הבה נמיר שברים עשרוניים תקופתיים לשברים רגילים:
לאחר מכן. אתה יכול להמיר את השבר הרגיל המתקבל לשבר עשרוני: 
אם בין השברים העשרוניים המוכפלים יש אינסוף שברים לא מחזוריים, אז יש לעגל את כל השברים המוכפלים, כולל סופיים ומחזוריים, לספרה מסוימת (ראה עיגול מספרים), ולאחר מכן הכפל את השברים העשרוניים הסופיים שהתקבלו לאחר עיגול.
הכפל את העשרוניות 5.382... ו-0.2.
ראשית, בוא נעגל שבר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי, עיגול יכול להיעשות למייות, יש לנו 5.382...≈5.38. אין צורך לעגל את השבר העשרוני הסופי 0.2 למאית הקרובה ביותר. לפיכך, 5.382...·0.2≈5.38·0.2. נותר לחשב את המכפלה של שברים עשרוניים סופיים: 5.38·0.2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1.076.
הכפלת שברים עשרוניים לפי עמודה
הכפלת שברים עשרוניים סופיים יכולה להתבצע בעמודה, בדומה להכפלת מספרים טבעיים בעמודה.
בואו ננסח כלל להכפלת שברים עשרוניים בעמודה. כדי להכפיל שברים עשרוניים בעמודה, עליך:
בואו נסתכל על דוגמאות של הכפלת שברים עשרוניים בעמודות.
הכפל את העשרוניות 63.37 ו-0.12.
בואו נכפיל שברים עשרוניים בעמודה. ראשית, נכפיל את המספרים, תוך התעלמות מפסיקים: 
כל שנותר הוא להוסיף פסיק למוצר המתקבל. היא צריכה להפריד 4 ספרות מימין כי לגורמים יש בסך הכל ארבעה מקומות עשרוניים (שניים בשבר 3.37 ושתיים בשבר 0.12). יש שם מספיק מספרים, אז אתה לא צריך להוסיף אפסים משמאל. בואו נסיים להקליט: 
כתוצאה מכך, יש לנו 3.37·0.12=7.6044.
חשב את המכפלה של העשרוניות 3.2601 ו-0.0254.
לאחר ביצוע הכפל בעמודה מבלי לקחת בחשבון פסיקים, אנו מקבלים את התמונה הבאה: 
עכשיו במוצר אתה צריך להפריד את 8 הספרות בצד ימין עם פסיק, שכן סה"כהמקומות העשרוניים של השברים המוכפלים שווים לשמונה. אבל יש רק 7 ספרות במוצר, לכן, אתה צריך להוסיף כמה אפסים משמאל כדי שתוכל להפריד 8 ספרות עם פסיק. במקרה שלנו, עלינו להקצות שני אפסים: 
זה משלים את הכפל של שברים עשרוניים לפי עמודה.
הכפלת מספרים עשרוניים ב-0.1, 0.01 וכו'.
לעתים קרובות אתה צריך להכפיל שברים עשרוניים ב-0.1, 0.01 וכן הלאה. לכן, רצוי לנסח כלל להכפלת שבר עשרוני במספרים אלו, הנובע מעקרונות הכפלת השברים העשרוניים שנדונו לעיל.
כך, הכפלת עשרוני נתון ב-0.1, 0.01, 0.001 וכן הלאהנותן שבר שמתקבל מהמקורי אם בסימון שלו הפסיק הוזז שמאלה ב-1, 2, 3 וכן הלאה ספרות, בהתאמה, ואם אין מספיק ספרות כדי להזיז את הפסיק, אז אתה צריך להוסיף לשמאל כמות נדרשתאפסים.
לדוגמה, כדי להכפיל את השבר העשרוני 54.34 ב-0.1, עליך להזיז את הנקודה העשרונית בשבר 54.34 שמאלה בספרה 1, מה שייתן לך את השבר 5.434, כלומר 54.34·0.1=5.434. בוא ניתן דוגמה נוספת. הכפל את השבר העשרוני 9.3 ב-0.0001. לשם כך, עלינו להזיז את הנקודה העשרונית 4 ספרות שמאלה בשבר העשרוני המוכפל 9.3, אך הסימון של השבר 9.3 אינו מכיל כל כך הרבה ספרות. לכן, אנחנו צריכים להקצות כל כך הרבה אפסים משמאל לשבר 9.3 כדי שנוכל בקלות להעביר את הנקודה העשרונית ל-4 ספרות, יש לנו 9.3·0.0001=0.00093.
שימו לב שהכלל המוצהר להכפלת שבר עשרוני ב-0.1, 0.01, ... תקף גם עבור שברים עשרוניים אינסופיים. לדוגמה, 0.(18)·0.01=0.00(18) או 93.938…·0.1=9.3938… .
הכפלת עשרוני במספר טבעי
בבסיס שלו הכפלת מספרים עשרוניים במספרים טבעייםלא שונה מכפל עשרוני בעשרוני.
הכי נוח להכפיל שבר עשרוני סופי במספר טבעי בעמודה; במקרה זה, עליך להקפיד על הכללים להכפלת שברים עשרוניים בעמודה, שנדונו באחת הפסקאות הקודמות.
חשב את המוצר 15·2.27.
בוא נכפיל מספר טבעי בשבר עשרוני בעמודה: 
כאשר מכפילים שבר עשרוני מחזורי במספר טבעי, יש להחליף את השבר המחזורי בשבר רגיל.
הכפל את השבר העשרוני 0.(42) במספר הטבעי 22.
ראשית, בואו נמיר את השבר העשרוני המחזורי לשבר רגיל:
כעת נעשה את הכפל: . תוצאה זו כעשרונית היא 9,(3) .
וכאשר מכפילים שבר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי במספר טבעי, תחילה עליך לבצע עיגול.
הכפל 4·2.145….
לאחר שעיגל את השבר העשרוני האינסופי למאיות, אנו מגיעים לכפל של מספר טבעי ושבר עשרוני סופי. יש לנו 4·2.145…≈4·2.15=8.60.
הכפלת עשרוני ב-10, 100, ...
לעתים קרובות אתה צריך להכפיל שברים עשרוניים ב-10, 100, ... לכן, מומלץ להתעכב על מקרים אלה בפירוט.
בואו נשמיע את זה כלל להכפלת שבר עשרוני ב-10, 100, 1,000 וכו'.כאשר מכפילים שבר עשרוני ב-10, 100, ... בסימון שלו, עליך להזיז את הנקודה העשרונית ימינה ל-1, 2, 3, ... ספרות, בהתאמה, ולבטל את האפסים הנוספים משמאל; אם לסימון השבר המוכפל אין מספיק ספרות כדי להזיז את הנקודה העשרונית, עליך להוסיף את המספר הנדרש של אפסים ימינה.
הכפל את השבר העשרוני 0.0783 ב-100.
נזיז את השבר 0.0783 שתי ספרות ימינה, ונקבל 007.83. הפלת שני האפסים משמאל נותנת את השבר העשרוני 7.38. לפיכך, 0.0783·100=7.83.
הכפל את השבר העשרוני 0.02 ב-10,000.
כדי להכפיל 0.02 ב-10,000, עלינו להזיז את הנקודה העשרונית 4 ספרות ימינה. ברור שבשבר 0.02 אין מספיק ספרות כדי להזיז את הנקודה העשרונית ב-4 ספרות, אז נוסיף כמה אפסים ימינה כדי שניתן יהיה להזיז את הנקודה העשרונית. בדוגמה שלנו, מספיק להוסיף שלושה אפסים, יש לנו 0.02000. לאחר הזזת הפסיק, נקבל את הערך 00200.0. אם נזרוק את האפסים משמאל, יש לנו את המספר 200.0, ששווה למספר הטבעי 200, שהוא תוצאה של הכפלת השבר העשרוני 0.02 ב-10,000.
הכלל האמור נכון גם להכפלת שברים עשרוניים אינסופיים ב-10, 100, ... כאשר מכפילים שברים עשרוניים מחזוריים, צריך להיזהר עם פרק הזמן של השבר שהוא תוצאה של הכפל.
הכפל את השבר העשרוני המחזורי 5.32(672) ב-1,000.
לפני הכפל, נכתוב את השבר העשרוני המחזורי כ-5.32672672672..., זה יאפשר לנו להימנע מטעויות. כעת הזיזו את הפסיק ימינה ב-3 מקומות, יש לנו 5 326.726726…. כך, לאחר הכפל, מתקבל השבר העשרוני המחזורי 5 326,(726).
5.32(672)·1,000=5,326,(726) .
כאשר מכפילים שברים אינסופיים לא-מחזוריים ב-10, 100, ..., תחילה עליך לעגל את השבר האינסופי לספרה מסוימת, ולאחר מכן לבצע את הכפל.
הכפלת עשרוני בשבר או מספר מעורב
כדי להכפיל שבר עשרוני סופי או שבר עשרוני מחזורי אינסופי בשבר משותף או מספר מעורב, עליך לייצג את השבר העשרוני בצורה שבר נפוץ, ולאחר מכן בצע את הכפל.
הכפלו את השבר העשרוני 0.4 במספר מעורב.
מאז 0.4=4/10=2/5 ואז. ניתן לכתוב את המספר המתקבל כשבר עשרוני מחזורי 1.5(3).
כאשר מכפילים שבר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי בשבר או מספר מעורב, החלף את השבר או המספר המעורב בשבר עשרוני, ולאחר מכן עיגל את השברים המוכפלים וסיים את החישוב.
מאז 2/3=0.6666..., אז. לאחר עיגול השברים המוכפלים לאלפיות, אנו מגיעים למכפלה של שני שברים עשרוניים סופיים 3.568 ו-0.667. בוא נעשה כפל עמודים: 
יש לעגל את התוצאה המתקבלת לאלף הקרוב ביותר, מכיוון שהשברים המוכפלים נלקחו מדויקים לאלף, יש לנו 2.379856≈2.380.
www.cleverstudents.ru
29. הכפלת מספרים עשרוניים. כללים
מצא את השטח של מלבן עם צלעות שוות
1.4 ד"מ ו-0.3 ד"מ. בואו נמיר דצימטרים לסנטימטרים:
1.4 ד"מ = 14 ס"מ; 0.3 ד"מ = 3 ס"מ.
כעת נחשב את השטח בסנטימטרים.
S = 14 3 = 42 ס"מ 2.
המרת סנטימטרים רבועים לסנטימטרים רבועים
דצימטרים:
d m 2 = 0.42 d m 2.
משמעות הדבר היא S = 1.4 דמ"מ 0.3 דמ"מ = 0.42 דמ"מ 2.
הכפלת שני שברים עשרוניים מתבצעת כך:
1) מספרים מוכפלים מבלי לקחת בחשבון פסיקים.
2) הפסיק במוצר ממוקם כך שיפריד אותו בצד ימין
אותו מספר של סימנים המופרדים בשני הגורמים
מְשׁוּלָב. לדוגמה:
1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .
דוגמאות להכפלת שברים עשרוניים בעמודה:
במקום להכפיל כל מספר ב-0.1; 0.01; 0.001
אתה יכול לחלק את המספר הזה ב-10; 100 ; או 1000 בהתאמה.
לדוגמה:
22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .
כאשר מכפילים שבר עשרוני במספר טבעי, עלינו:
1) הכפל מספרים מבלי לשים לב לפסיק;
2) במוצר שהתקבל, הצב פסיק כך שבצד ימין
היה לו אותו מספר ספרות כמו שבר עשרוני.
בוא נמצא את המוצר 3.12 10. לפי הכלל הנ"ל
ראשית נכפיל 312 ב-10. נקבל: 312 10 = 3120.
כעת אנו מפרידים את שתי הספרות מימין בפסיק ומקבלים:
3,12 10 = 31,20 = 31,2 .
זה אומר שכאשר מכפילים 3.12 ב-10, הזזנו את הנקודה העשרונית באחד
מספר מימין. אם נכפיל 3.12 ב-100, נקבל 312, כלומר
הפסיק הוזז שתי ספרות ימינה.
3,12 100 = 312,00 = 312 .
כאשר מכפילים שבר עשרוני ב-10, 100, 1000 וכו', עליך
בשבר זה הזיזו את הנקודה העשרונית ימינה בכמה מקומות שיש אפסים
שווה את המכפיל. לדוגמה:
0,065 1000 = 0065, = 65 ;
2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .
בעיות בנושא "כפל עשרונים"
school-assistant.ru
חיבור, חיסור, כפל וחלוקת עשרונים
חיבור והפחתה של מספרים עשרוניים דומה לחיבור והפחתה של מספרים טבעיים, אך בתנאים מסוימים.
כְּלָל. מבוצע על פי הספרות של החלקים השלמים והשברים כמספרים טבעיים.
בכתב חיבור והפחתה של עשרוניםהפסיק המפריד בין החלק השלם לחלק השבר צריך להיות ממוקם בחיבורים ובסכום או ב-minuend, subtrahend והפרש בעמודה אחת (פסיק מתחת לפסיק מכתיבת התנאי ועד סוף החישוב).
חיבור והפחתה של עשרוניםלקו:
243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651
843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589
חיבור והפחתה של עשרוניםבעמודה:
הוספת מספרים עשרוניים דורשת שורה עליונה נוספת כדי לרשום מספרים כאשר סכום ערך המקום חורג מעשרה. הפחתת עשרונים מצריכה שורה עליונה נוספת כדי לסמן את המקום שבו ה-1 מושאל.
אם אין מספיק ספרות של החלק השבר מימין לתוספת או המינואנד, אז מימין בחלק השבר ניתן להוסיף כמה אפסים (להגדיל את הספרה של החלק השבר) כפי שיש ספרות בתוספת השנייה או מינוד.
הכפלת ספרות עשרוניותמתבצעת באותו אופן כמו הכפלה של מספרים טבעיים, לפי אותם כללים, אבל במכפלה שמים פסיק לפי סכום ספרות הגורמים בחלק השבר, בספירה מימין לשמאל (סכום ה ספרות של מכפילים הוא מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית של הגורמים ביחד).
בְּ הכפלת מספרים עשרונייםבעמודה, הספרה המשמעותית הראשונה מימין חתומה מתחת לספרה המשמעותית הראשונה מימין, כמו במספרים טבעיים:
תקליט הכפלת מספרים עשרונייםבעמודה:
תקליט חלוקה של עשרוניםבעמודה:
התווים המסומנים בקו תחתון הם התווים שאחריהם מופיע פסיק מכיוון שהמחלק חייב להיות מספר שלם.
כְּלָל. בְּ חלוקת שבריםהמחלק העשרוני גדל במספר ספרות כמו שיש ספרות בחלק השבר. כדי להבטיח שהשבר לא ישתנה, הדיבידנד גדל באותו מספר ספרות (בדיבידנד ובמחלק הנקודה העשרונית מועברת לאותו מספר ספרות). פסיק ממוקם במנה באותו שלב של החלוקה כאשר כל החלק של השבר מחולק.
עבור שברים עשרוניים, כמו עבור מספרים טבעיים, הכלל נשאר: אי אפשר לחלק שבר עשרוני באפס!
במדריך זה נסתכל על כל אחת מהפעולות הללו בנפרד.
תוכן השיעורהוספת ספרות עשרוניות
כידוע, לשבר עשרוני יש מספר שלם וחלק שברי. בעת הוספת עשרוניות, החלקים השלמים והשברים מתווספים בנפרד.
לדוגמה, בואו נוסיף את השברים העשרוניים 3.2 ו-5.3. נוח יותר להוסיף שברים עשרוניים בעמודה.
תחילה נכתוב את שני השברים הללו בטור, כאשר החלקים השלמים נמצאים בהכרח מתחת למספרים השלמים, והחלקים השברים מתחת לחלקים השברים. בבית הספר דרישה זו נקראת "פסיק מתחת לפסיק".
בוא נכתוב את השברים בעמודה כך שהפסיק יהיה מתחת לפסיק:
אנו מתחילים להוסיף את החלקים השברים: 2 + 3 = 5. אנו כותבים את החמישה בחלק השבר של התשובה שלנו:
כעת נחבר את החלקים השלמים: 3 + 5 = 8. נכתוב שמונה בכל החלק של התשובה שלנו:
כעת אנו מפרידים את כל החלק מהחלק השברי באמצעות פסיק. כדי לעשות זאת, אנו שוב פועלים לפי הכלל "פסיק מתחת לפסיק":
קיבלנו תשובה של 8.5. אז הביטוי 3.2 + 5.3 שווה ל-8.5
למעשה, לא הכל פשוט כמו שזה נראה במבט ראשון. יש כאן גם מלכודות, עליהן נדבר כעת.
מקומות בעשרונים
לשברים עשרוניים, כמו למספרים רגילים, יש ספרות משלהם. אלו מקומות של עשיריות, מקומות של מאיות, מקומות של אלפיות. במקרה זה, הספרות מתחילות אחרי הנקודה העשרונית.
הספרה הראשונה אחרי הנקודה העשרונית אחראית למקום העשיריות, הספרה השנייה אחרי הנקודה העשרונית למקום המאיות, והספרה השלישית אחרי הנקודה העשרונית למקום האלפיות.
מקומות בשברים עשרוניים מכילים חלק מידע שימושי. באופן ספציפי, הם אומרים לך כמה עשיריות, מאיות ואלפיות יש בעשרוניות.
לדוגמה, שקול את השבר העשרוני 0.345
העמדה שבה נמצאים השלושה נקראת מקום עשירי
המיקום שבו ממוקמים הארבע נקרא מקום מאיות
המיקום שבו נמצא החמישה נקרא מקום אלף
בואו נסתכל על הציור הזה. אנחנו רואים שיש שלשה במקום העשיריות. זה אומר שיש שלוש עשיריות בשבר העשרוני 0.345.
אם נוסיף את השברים, נקבל את השבר העשרוני המקורי 0.345
ניתן לראות שבהתחלה קיבלנו את התשובה, אבל המרנו אותה לשבר עשרוני וקיבלנו 0.345.
כאשר מוסיפים שברים עשרוניים, פועלים לפי אותם עקרונות וכללים כמו בהוספת מספרים רגילים. הוספת שברים עשרוניים מתרחשת בספרות: עשיריות מתווספות לעשיריות, מאיות עד מאיות, אלפיות לאלף.
לכן, בעת הוספת שברים עשרוניים, עליך לפעול לפי הכלל "פסיק מתחת לפסיק". הפסיק מתחת לפסיק מספק את עצם הסדר שבו מתווספות עשיריות לעשיריות, מאיות עד מאיות, אלפיות לאלף.
דוגמה 1.מצא את הערך של הביטוי 1.5 + 3.4
קודם כל, נחבר את החלקים השברים 5 + 4 = 9. נכתוב תשעה בחלק השבר של התשובה שלנו:
כעת נוסיף את החלקים השלמים 1 + 3 = 4. נכתוב את הארבעה בחלק השלם של התשובה שלנו:
כעת אנו מפרידים את כל החלק מהחלק השברי באמצעות פסיק. לשם כך, אנו שוב פועלים לפי כלל "פסיק בפסיק":
קיבלנו תשובה של 4.9. זה אומר שהערך של הביטוי 1.5 + 3.4 הוא 4.9
דוגמה 2.מצא את הערך של הביטוי: 3.51 + 1.22
אנו כותבים את הביטוי הזה בעמודה, תוך הקפדה על כלל "פסיק בפסיק".
קודם כל, נחבר את החלק השברי, כלומר מאיות 1+2=3. אנו כותבים משולש בחלק המאה של התשובה שלנו:
כעת הוסף את העשיריות 5+2=7. אנו כותבים שבעה בחלק העשירי של התשובה שלנו:
כעת נוסיף את החלקים השלמים 3+1=4. אנו כותבים את הארבעה בכל החלק של התשובה שלנו:
אנו מפרידים את כל החלק מהחלק השברי באמצעות פסיק, תוך הקפדה על כלל "פסיק בפסיק":
התשובה שקיבלנו הייתה 4.73. המשמעות היא שהערך של הביטוי 3.51 + 1.22 שווה ל-4.73
3,51 + 1,22 = 4,73
כמו במספרים רגילים, בעת הוספת עשרוניות, . במקרה זה, ספרה אחת כתובה בתשובה, והשאר מועברים לספרה הבאה.
דוגמה 3.מצא את הערך של הביטוי 2.65 + 3.27
אנו כותבים את הביטוי הזה בעמודה:
הוסף את חלקי המאיות 5+7=12. המספר 12 לא יתאים לחלק המאה של התשובה שלנו. לכן, בחלק המאה נכתוב את המספר 2, ונעביר את היחידה לספרה הבאה:
כעת נוסיף את העשיריות של 6+2=8 בתוספת היחידה שקיבלנו מהפעולה הקודמת, נקבל 9. נכתוב את המספר 9 בעשירית של התשובה שלנו:
כעת נוסיף את החלקים השלמים 2+3=5. אנו כותבים את המספר 5 בחלק השלם של התשובה שלנו:
התשובה שקיבלנו הייתה 5.92. המשמעות היא שהערך של הביטוי 2.65 + 3.27 שווה ל-5.92
2,65 + 3,27 = 5,92
דוגמה 4.מצא את הערך של הביטוי 9.5 + 2.8
אנו כותבים את הביטוי הזה בעמודה
נוסיף את החלקים השבריים 5 + 8 = 13. המספר 13 לא יתאים לחלק השבר של התשובה שלנו, אז קודם כל רושמים את המספר 3, ומעבירים את היחידה לספרה הבאה, או יותר נכון, מעבירים אותה ל- חלק שלם:
כעת נוסיף את החלקים השלמים 9+2=11 בתוספת היחידה שקיבלנו מהפעולה הקודמת, נקבל 12. נכתוב את המספר 12 בחלק השלם של התשובה שלנו:
הפרד את כל החלק מהחלק השברי באמצעות פסיק:
קיבלנו את התשובה 12.3. זה אומר שהערך של הביטוי 9.5 + 2.8 הוא 12.3
9,5 + 2,8 = 12,3
בעת הוספת ספרות עשרוניות, מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית בשני השברים חייב להיות זהה. אם אין מספיק מספרים, אז המקומות האלה בחלק השברי מלאים באפסים.
דוגמה 5. מצא את הערך של הביטוי: 12.725 + 1.7
לפני כתיבת ביטוי זה בעמודה, הבה נהפוך את מספר הספרות לאחר הנקודה העשרונית בשני השברים זהה. לשבר העשרוני 12.725 יש שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית, אבל לשבר 1.7 יש רק אחת. זה אומר שבשבר 1.7 צריך להוסיף שני אפסים בסוף. אז נקבל את השבר 1.700. עכשיו אתה יכול לכתוב את הביטוי הזה בעמודה ולהתחיל לחשב:
הוסף את חלקי האלפית 5+0=5. אנו כותבים את המספר 5 בחלק האלף של התשובה שלנו:
הוסף את חלקי המאיות 2+0=2. אנו כותבים את המספר 2 בחלק המאה של התשובה שלנו:
הוסף את העשיריות 7+7=14. המספר 14 לא יתאים לעשירית מהתשובה שלנו. לכן, ראשית נכתוב את המספר 4, ונעביר את היחידה לספרה הבאה:
כעת נוסיף את החלקים השלמים 12+1=13 בתוספת היחידה שקיבלנו מהפעולה הקודמת, נקבל 14. נכתוב את המספר 14 בחלק השלם של התשובה שלנו:
הפרד את כל החלק מהחלק השברי באמצעות פסיק:
קיבלנו תשובה של 14,425. המשמעות היא שהערך של הביטוי 12.725+1.700 הוא 14.425
12,725+ 1,700 = 14,425
הפחתת עשרוניות
בעת הפחתת שברים עשרוניים, עליך לפעול לפי אותם כללים כמו בעת הוספה: "פסיק מתחת לנקודה העשרונית" ו"מספר שווה של ספרות אחרי הנקודה העשרונית".
דוגמה 1.מצא את הערך של הביטוי 2.5 - 2.2
אנו כותבים את הביטוי הזה בעמודה, תוך הקפדה על כלל "פסיק בפסיק":
אנו מחשבים את החלק השברי 5−2=3. אנו כותבים את המספר 3 בחלק העשירי של התשובה שלנו:
אנו מחשבים את החלק השלם 2−2=0. אנו כותבים אפס בחלק השלם של התשובה שלנו:
הפרד את כל החלק מהחלק השברי באמצעות פסיק:
קיבלנו תשובה של 0.3. המשמעות היא שהערך של הביטוי 2.5 - 2.2 שווה ל-0.3
2,5 − 2,2 = 0,3
דוגמה 2.מצא את הערך של הביטוי 7.353 - 3.1
לביטוי זה מספר שונה של מקומות עשרוניים. לשבר 7.353 יש שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית, אבל לשבר 3.1 יש רק אחת. זה אומר שבשבר 3.1 צריך להוסיף שני אפסים בסוף כדי שמספר הספרות בשני השברים יהיה זהה. אז נקבל 3,100.
עכשיו אתה יכול לכתוב את הביטוי הזה בעמודה ולחשב אותו:
קיבלנו תשובה של 4,253. המשמעות היא שהערך של הביטוי 7.353 - 3.1 שווה ל-4.253
7,353 — 3,1 = 4,253
כמו במספרים רגילים, לפעמים תצטרך לשאול אחד מספרה סמוכה אם חיסור הופך לבלתי אפשרי.
דוגמה 3.מצא את הערך של הביטוי 3.46 - 2.39
הורידו מאיות מ-6-9. אתה לא יכול להחסיר את המספר 9 מהמספר 6. לכן, אתה צריך לשאול אחד מהספרה הסמוכה. בהשאלה אחת מהספרה הסמוכה, המספר 6 הופך למספר 16. כעת ניתן לחשב את המאיות של 16−9=7. אנו כותבים שבעה בחלק המאה של התשובה שלנו:
עכשיו אנחנו מפחיתים עשיריות. מכיוון שלקחנו יחידה אחת במקום העשיריות, הנתון שהיה ממוקם שם ירד ביחידה אחת. במילים אחרות, במקום העשיריות אין כעת המספר 4, אלא המספר 3. בוא נחשב את העשיריות של 3−3=0. אנו כותבים אפס בחלק העשירי של התשובה שלנו:
כעת נחסר את החלקים השלמים 3−2=1. אנו כותבים אחד בחלק השלם של התשובה שלנו:
הפרד את כל החלק מהחלק השברי באמצעות פסיק:
קיבלנו תשובה של 1.07. המשמעות היא שהערך של הביטוי 3.46-2.39 שווה ל-1.07
3,46−2,39=1,07
דוגמה 4. מצא את הערך של הביטוי 3−1.2
דוגמה זו מפחיתה עשרוני ממספר שלם. בוא נכתוב את הביטוי הזה בעמודה כך שכל החלק של השבר העשרוני 1.23 יהיה מתחת למספר 3
כעת נהפוך את מספר הספרות לאחר הנקודה העשרונית להיות זהה. לשם כך, אחרי המספר 3 נכניס פסיק ונוסיף אפס אחד:
כעת נחסר עשיריות: 0-2. אתה לא יכול להחסיר את המספר 2 מאפס. לכן, אתה צריך לשאול אחד מהספרה הסמוכה. לאחר ששאלתי אחד מהספרה השכנה, 0 הופך למספר 10. כעת אתה יכול לחשב את העשיריות של 10−2=8. אנו כותבים שמונה בחלק העשירי של התשובה שלנו:
כעת אנו מפחיתים את כל החלקים. בעבר, המספר 3 היה ממוקם במכלול, אבל לקחנו ממנו יחידה אחת. כתוצאה מכך, הוא הפך למספר 2. לכן, מ-2 נחסר 1. 2−1=1. אנו כותבים אחד בחלק השלם של התשובה שלנו:
הפרד את כל החלק מהחלק השברי באמצעות פסיק:
התשובה שקיבלנו הייתה 1.8. זה אומר שהערך של הביטוי 3−1.2 הוא 1.8
הכפלת ספרות עשרוניות
הכפלת ספרות עשרוניות היא פשוטה ואפילו מהנה. כדי להכפיל עשרוניות, אתה מכפיל אותם כמו מספרים רגילים, תוך התעלמות מהפסיקים.
לאחר קבלת התשובה, עליך להפריד את כל החלק מהחלק השברי באמצעות פסיק. כדי לעשות זאת, עליך לספור את מספר הספרות לאחר הנקודה העשרונית בשני השברים, ולאחר מכן לספור את אותו מספר הספרות מימין בתשובה ולשים פסיק.
דוגמה 1.מצא את הערך של הביטוי 2.5 × 1.5
בואו נכפיל את השברים העשרוניים האלה כמו מספרים רגילים, תוך התעלמות מהפסיקים. כדי להתעלם מהפסיקים, אתה יכול לדמיין זמנית שהם נעדרים לחלוטין:
קיבלנו 375. במספר הזה, אתה צריך להפריד את החלק השלם מהחלק השבר עם פסיק. כדי לעשות זאת, עליך לספור את מספר הספרות לאחר הנקודה העשרונית בשברים 2.5 ו-1.5. לשבר הראשון יש ספרה אחת אחרי הנקודה העשרונית, וגם לשבר השני יש ספרה אחת. סה"כ שני מספרים.
אנחנו חוזרים למספר 375 ומתחילים לנוע מימין לשמאל. עלינו לספור שתי ספרות מימין ולשים פסיק:
קיבלנו תשובה של 3.75. אז הערך של הביטוי 2.5 × 1.5 הוא 3.75
2.5 × 1.5 = 3.75
דוגמה 2.מצא את הערך של הביטוי 12.85 × 2.7
בואו נכפיל את השברים העשרוניים האלה, תוך התעלמות מהפסיקים:
קיבלנו 34695. במספר זה אתה צריך להפריד את החלק השלם מהחלק השבר עם פסיק. כדי לעשות זאת, עליך לספור את מספר הספרות לאחר הנקודה העשרונית בשברים 12.85 ו-2.7. לשבר 12.85 יש שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית, ולשבר 2.7 יש ספרה אחת - בסך הכל שלוש ספרות.
אנחנו חוזרים למספר 34695 ומתחילים לנוע מימין לשמאל. עלינו לספור שלוש ספרות מימין ולשים פסיק:
קיבלנו תשובה של 34,695. אז הערך של הביטוי 12.85 × 2.7 הוא 34.695
12.85 × 2.7 = 34.695
הכפלת עשרוני במספר רגיל
לפעמים נוצרים מצבים שבהם צריך להכפיל שבר עשרוני במספר רגיל.
כדי להכפיל עשרוני ומספר, אתה מכפיל אותם מבלי לשים לב לפסיק בעשרוני. לאחר קבלת התשובה, עליך להפריד את כל החלק מהחלק השברי באמצעות פסיק. כדי לעשות זאת, צריך לספור את מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית בשבר העשרוני, ואז לספור את אותו מספר הספרות מימין בתשובה ולשים פסיק.
לדוגמה, הכפל 2.54 ב-2
הכפלו את השבר העשרוני 2.54 במספר הרגיל 2, תוך התעלמות מהפסיק:
קיבלנו את המספר 508. במספר זה אתה צריך להפריד את החלק השלם מהחלק השבר עם פסיק. לשם כך, עליך לספור את מספר הספרות לאחר הנקודה העשרונית בשבר 2.54. לשבר 2.54 יש שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
אנחנו חוזרים למספר 508 ומתחילים לנוע מימין לשמאל. עלינו לספור שתי ספרות מימין ולשים פסיק:
קיבלנו תשובה של 5.08. אז הערך של הביטוי 2.54 × 2 הוא 5.08
2.54 × 2 = 5.08
הכפלת מספרים עשרוניים ב-10, 100, 1000
הכפלת מספרים עשרוניים ב-10, 100 או 1000 מתבצעת באותו אופן כמו הכפלת עשרונים במספרים רגילים. אתה צריך לבצע את הכפל, בלי לשים לב לפסיק בשבר העשרוני, ואז בתשובה, להפריד את כל החלק מהחלק השבר, לספור מימין את אותו מספר ספרות כמו שהיו ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
לדוגמה, הכפל 2.88 ב-10
הכפל את השבר העשרוני 2.88 ב-10, תוך התעלמות מהפסיק בשבר העשרוני:
קיבלנו 2880. במספר הזה אתה צריך להפריד את החלק השלם מהחלק השבר עם פסיק. כדי לעשות זאת, עליך לספור את מספר הספרות לאחר הנקודה העשרונית בשבר 2.88. אנו רואים שלשבר 2.88 יש שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
אנחנו חוזרים למספר 2880 ומתחילים לנוע מימין לשמאל. עלינו לספור שתי ספרות מימין ולשים פסיק:
קיבלנו תשובה של 28.80. בוא נשאיר את האפס האחרון ונקבל 28.8. המשמעות היא שהערך של הביטוי 2.88×10 הוא 28.8
2.88 × 10 = 28.8
יש דרך שנייה להכפיל שברים עשרוניים ב-10, 100, 1000. שיטה זו הרבה יותר פשוטה ונוחה. זה מורכב מהזזת הנקודה העשרונית ימינה במספר ספרות כמו שיש אפסים בגורם.
לדוגמה, בואו נפתור את הדוגמה הקודמת 2.88×10 כך. מבלי לתת חישובים, אנו מיד מסתכלים על הפקטור 10. אנו מתעניינים בכמה אפסים יש בו. אנו רואים שיש בו אפס אחד. כעת בשבר 2.88 נעביר את הנקודה העשרונית לספרה אחת הימנית, נקבל 28.8.
2.88 × 10 = 28.8
ננסה להכפיל את 2.88 ב-100. מיד נסתכל על הפקטור 100. מעניין אותנו כמה אפסים יש בו. אנו רואים שיש בו שני אפסים. כעת בשבר 2.88 נעביר את הנקודה העשרונית לשתי הספרות הימניות, נקבל 288
2.88 × 100 = 288
בואו ננסה להכפיל את 2.88 ב-1000. מיד נסתכל על הפקטור 1000. מעניין אותנו כמה אפסים יש בו. אנו רואים שיש בו שלושה אפסים. כעת בשבר 2.88 נעביר את הנקודה העשרונית ימינה בשלוש ספרות. אין שם ספרה שלישית, אז נוסיף עוד אפס. כתוצאה מכך, אנו מקבלים 2880.
2.88 × 1000 = 2880
הכפלת מספרים עשרוניים ב-0.1 0.01 ו-0.001
הכפלת עשרונים ב-0.1, 0.01 ו-0.001 פועלת באותו אופן כמו הכפלת עשרוני בעשרוני. יש צורך להכפיל את השברים כמו מספרים רגילים, ולשים פסיק בתשובה, סופרים כמה ספרות ימינה כמו שיש ספרות אחרי הנקודה העשרונית בשני השברים.
לדוגמה, הכפל 3.25 ב-0.1
אנחנו מכפילים את השברים האלה כמו מספרים רגילים, תוך התעלמות מהפסיקים:
קיבלנו 325. במספר הזה אתה צריך להפריד את החלק השלם מהחלק השבר עם פסיק. לשם כך, עליך לספור את מספר הספרות לאחר הנקודה העשרונית בשברים 3.25 ו-0.1. לשבר 3.25 יש שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית, ולשבר 0.1 יש ספרה אחת. בסך הכל שלושה מספרים.
אנחנו חוזרים למספר 325 ומתחילים לנוע מימין לשמאל. אנחנו צריכים לספור שלוש ספרות מימין ולשים פסיק. לאחר ספירה לאחור של שלוש ספרות, אנו מגלים שהמספרים אזלו. במקרה זה, עליך להוסיף אפס אחד ולהוסיף פסיק:
קיבלנו תשובה של 0.325. המשמעות היא שהערך של הביטוי 3.25 × 0.1 הוא 0.325
3.25 × 0.1 = 0.325
ישנה דרך שנייה להכפיל עשרוניות ב-0.1, 0.01 ו-0.001. שיטה זו הרבה יותר פשוטה ונוחה. זה מורכב מהזזת הנקודה העשרונית שמאלה במספר ספרות ככל שיש אפסים בגורם.
לדוגמה, בואו נפתור את הדוגמה הקודמת 3.25 × 0.1 כך. מבלי לתת חישובים, אנו מיד מסתכלים על המכפיל של 0.1. מעניין אותנו כמה אפסים יש בו. אנו רואים שיש בו אפס אחד. כעת בשבר 3.25 נעביר את הנקודה העשרונית שמאלה בספרה אחת. על ידי הזזת הפסיק ספרה אחת שמאלה, אנו רואים שאין יותר ספרות לפני השלוש. במקרה זה, הוסף אפס אחד ושם פסיק. התוצאה היא 0.325
3.25 × 0.1 = 0.325
בוא ננסה להכפיל את 3.25 ב-0.01. מיד נסתכל על המכפיל של 0.01. מעניין אותנו כמה אפסים יש בו. אנו רואים שיש בו שני אפסים. כעת בשבר 3.25 נעביר את הנקודה העשרונית לשתי הספרות השמאלית, נקבל 0.0325
3.25 × 0.01 = 0.0325
בוא ננסה להכפיל את 3.25 ב-0.001. מיד נסתכל על המכפיל של 0.001. מעניין אותנו כמה אפסים יש בו. אנו רואים שיש בו שלושה אפסים. כעת בשבר 3.25 נעביר את הנקודה העשרונית שמאלה בשלוש ספרות, נקבל 0.00325
3.25 × 0.001 = 0.00325
אל תבלבלו בין הכפלת שברים עשרוניים ב-0.1, 0.001 ו-0.001 לבין הכפלה ב-10, 100, 1000. טעות נפוצהרוב האנשים.
כאשר מכפילים ב-10, 100, 1000, הנקודה העשרונית מוזזת ימינה באותו מספר ספרות כמו שיש אפסים במכפיל.
וכאשר מכפילים ב-0.1, 0.01 ו-0.001, הנקודה העשרונית מוזזת שמאלה באותו מספר ספרות כמו שיש אפסים במכפיל.
אם בהתחלה קשה לזכור, אפשר להשתמש בשיטה הראשונה, שבה מבוצע הכפל כמו במספרים רגילים. בתשובה, תצטרך להפריד את החלק השלם מהחלק השבר, לספור את אותו מספר ספרות בצד ימין כמו שיש ספרות אחרי הנקודה העשרונית בשני השברים.
חלוקת מספר קטן במספר גדול יותר. שלב מתקדם.
באחד השיעורים הקודמים אמרנו שכאשר מחלקים מספר קטן במספר גדול יותר מתקבל שבר שהמונה שלו הוא הדיבידנד והמכנה הוא המחלק.
לדוגמה, כדי לחלק תפוח אחד בין שניים, צריך לכתוב 1 (תפוח אחד) במונה, ולכתוב 2 (שני חברים) במכנה. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את השבר . זה אומר שכל חבר יקבל תפוח. במילים אחרות, חצי תפוח. השבר הוא התשובה לבעיה "איך לחלק תפוח אחד לשניים"
מסתבר שאפשר לפתור את הבעיה הזו הלאה אם מחלקים 1 ב-2. הרי קו השבר בכל שבר פירושו חלוקה, ולכן החלוקה הזו מותרת בשבר. אבל איך? אנחנו רגילים לכך שהדיבידנד תמיד גדול מהמחלק. אבל כאן, להיפך, הדיבידנד קטן מהמחלק.
הכל יתבהר אם נזכור ששבר פירושו ריסוק, חלוקה, חלוקה. המשמעות היא שניתן לפצל את היחידה לכמה חלקים שתרצה, ולא רק לשני חלקים.
כאשר מחלקים מספר קטן במספר גדול יותר, מקבלים שבר עשרוני שבו החלק השלם הוא 0 (אפס). החלק השברי יכול להיות כל דבר.
אז בואו נחלק 1 ב-2. בואו נפתור את הדוגמה הזו עם פינה:
אי אפשר לחלק אחד לגמרי לשניים. אם תשאל שאלה "כמה שניים יש באחד" , אז התשובה תהיה 0. לכן, במנה נכתוב 0 ונשים פסיק:
כעת, כרגיל, נכפיל את המנה במחלק כדי לקבל את היתרה:
הגיע הרגע שבו ניתן לפצל את היחידה לשני חלקים. כדי לעשות זאת, הוסף אפס נוסף מימין לאפס שהתקבל:
קיבלנו 10. נחלק 10 ב-2, נקבל 5. נכתוב את החמישה בחלק השבר של התשובה שלנו:
כעת אנו מוציאים את השארית האחרונה כדי להשלים את החישוב. הכפל 5 על 2 כדי לקבל 10
קיבלנו תשובה של 0.5. אז השבר הוא 0.5
ניתן לכתוב חצי תפוח גם באמצעות השבר העשרוני 0.5. אם נוסיף את שני החצאים האלה (0.5 ו-0.5), נקבל שוב את התפוח המקורי השלם: 
ניתן להבין את הנקודה הזו גם אם תדמיינו איך 1 ס"מ מתחלק לשני חלקים. אם מחלקים 1 ס"מ ל-2 חלקים, מקבלים 0.5 ס"מ
דוגמה 2.מצא את הערך של הביטוי 4:5
כמה חמישיות יש בארבע? בכלל לא. נכתוב 0 במנה ונשים פסיק:
נכפיל את 0 ב-5, נקבל 0. נכתוב אפס מתחת לארבעה. הפחיתו מיד את האפס הזה מהדיבידנד:
כעת נתחיל לפצל (לחלק) את הארבעה ל-5 חלקים. לשם כך נוסיף אפס מימין ל-4 ונחלק 40 ב-5, נקבל 8. נכתוב שמונה במנה.
אנו משלימים את הדוגמה על ידי הכפלה של 8 ב-5 כדי לקבל 40:
קיבלנו תשובה של 0.8. זה אומר שהערך של הביטוי 4:5 הוא 0.8
דוגמה 3.מצא את הערך של ביטוי 5: 125
כמה מספרים הם 125 בחמישה? בכלל לא. נכתוב 0 במנה ונשים פסיק:
נכפיל 0 ב-5, נקבל 0. נכתוב 0 מתחת לחמש. מחסירים מיד 0 מחמש
עכשיו בואו נתחיל לפצל (לחלק) את החמישה ל-125 חלקים. כדי לעשות זאת, נכתוב אפס מימין לחמישה:
חלקו 50 ב-125. כמה מספרים הם 125 במספר 50? בכלל לא. אז במנה נכתוב שוב 0
תכפילו 0 ב-125, נקבל 0. כתוב את האפס הזה מתחת ל-50. נחסר מיד 0 מ-50
כעת חלקו את המספר 50 ל-125 חלקים. כדי לעשות זאת, נכתוב אפס נוסף מימין ל-50:
חלקו 500 ב-125. כמה מספרים יש 125 במספר 500? יש ארבעה מספרים 125 במספר 500. כתוב את הארבעה במנה:
אנו משלימים את הדוגמה על ידי הכפלה של 4 ב-125 כדי לקבל 500
קיבלנו תשובה של 0.04. המשמעות היא שהערך של ביטוי 5: 125 הוא 0.04
חלוקת מספרים ללא שארית
אז, בואו נשים פסיק אחרי היחידה במנה, ובכך מציין שהחלוקה של חלקים שלמים הסתיימה ואנחנו ממשיכים לחלק השבר:
בוא נוסיף אפס לשאר 4
כעת נחלק 40 ב-5, נקבל 8. נכתוב שמונה במנה:
40–40=0. נשאר לנו 0. המשמעות היא שהחלוקה הושלמה לחלוטין. חלוקה של 9 ב-5 נותן את השבר העשרוני 1.8:
9: 5 = 1,8
דוגמה 2. חלקו 84 ב-5 ללא שארית
ראשית, חלקו 84 ב-5 כרגיל עם השאר:
קיבלנו 16 בפרטי ונשארו עוד 4. כעת נחלק את השארית הזו ב-5. שים פסיק במנה, ונוסיף 0 לשארית 4
כעת נחלק 40 ב-5, נקבל 8. נכתוב את השמונה במנה אחרי הנקודה העשרונית:
והשלם את הדוגמה על ידי בדיקה אם עדיין יש שארית:
חלוקת עשרוני במספר רגיל
שבר עשרוני, כידוע, מורכב ממספר שלם וחלק שברי. כאשר מחלקים שבר עשרוני במספר רגיל, תחילה עליך:
- חלקו את כל החלק של השבר העשרוני במספר זה;
- לאחר חלוקת כל החלק, עליך לשים מיד פסיק במנה ולהמשיך בחישוב, כמו בחלוקה רגילה.
לדוגמה, חלקו 4.8 ב-2
בוא נכתוב את הדוגמה הזו בפינה:
כעת נחלק את כל החלק ב-2. ארבע חלקי שניים שווה שניים. אנחנו כותבים שניים במנה ומיד שמים פסיק:
כעת נכפיל את המנה במחלק ונראה אם יש שארית מהחילוק:
4-4=0. השאר הוא אפס. אנחנו עדיין לא רושמים אפס, מכיוון שהפתרון לא הושלם. לאחר מכן, נמשיך לחשב כמו בחלוקה רגילה. הורידו 8 וחלקו ב-2
8: 2 = 4. נכתוב את הארבעה במנה ומיד נכפיל אותה במחלק:
קיבלנו תשובה של 2.4. הערך של הביטוי 4.8:2 הוא 2.4
דוגמה 2.מצא את הערך של הביטוי 8.43: 3
נחלק 8 ב-3, נקבל 2. שים מיד פסיק אחרי ה-2:
כעת נכפיל את המנה במחלק 2 × 3 = 6. נכתוב את השישה מתחת לשמונה ונמצא את היתרה:
נחלק 24 ב-3, נקבל 8. נכתוב שמונה במנה. הכפל אותו מיד במחלק כדי למצוא את יתרת החלוקה:
24–24=0. השאר הוא אפס. אנחנו עדיין לא רושמים אפס. נוציא את שלושת האחרונים מהדיבידנד ונחלק ב-3, נקבל 1. נכפיל מיד 1 ב-3 כדי להשלים את הדוגמה הזו:
התשובה שקיבלנו הייתה 2.81. המשמעות היא שהערך של הביטוי 8.43: 3 הוא 2.81
חלוקת עשרוני בעשרוני
כדי לחלק שבר עשרוני בשבר עשרוני, צריך להזיז את הנקודה העשרונית בדיווידנד ובמחלק ימינה באותו מספר ספרות שיש אחרי הנקודה העשרונית במחלק, ולאחר מכן לחלק במספר הרגיל.
לדוגמה, חלקו 5.95 ב-1.7
בואו נכתוב את הביטוי הזה עם פינה
עכשיו בדיווידנד ובמחלק נעביר את הנקודה העשרונית ימינה באותו מספר ספרות כמו שיש אחרי הנקודה העשרונית במחלק. למחלק יש ספרה אחת אחרי הנקודה העשרונית. זה אומר שבדיבידנד ובמחלק עלינו להזיז את הנקודה העשרונית ימינה בספרה אחת. אנחנו מעבירים:
לאחר הזזת הנקודה העשרונית לספרה אחת הימנית, השבר העשרוני 5.95 הפך לשבר 59.5. והשבר העשרוני 1.7, לאחר הזזת הנקודה העשרונית ימינה בספרה אחת, הפך למספר הרגיל 17. וכבר יודעים לחלק שבר עשרוני במספר רגיל. חישוב נוסף לא קשה:
הפסיק מועבר ימינה כדי להקל על החלוקה. זה מותר כי כאשר מכפילים או מחלקים את הדיבידנד והמחלק באותו מספר, המנה לא משתנה. מה זה אומר?
זה אחד מ תכונות מעניינותחֲלוּקָה. זה נקרא תכונת המנה. חשבו על ביטוי 9: 3 = 3. אם בביטוי זה הדיבידנד והמחלק מוכפלים או מחולקים באותו מספר, אזי המנה 3 לא תשתנה.
בוא נכפיל את הדיבידנד והמחלק ב-2 ונראה מה יוצא מזה:
(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3
כפי שניתן לראות מהדוגמה, המנה לא השתנתה.
אותו דבר קורה כאשר אנו מזיזים את הפסיק בדיבידנד ובמחלק. בדוגמה הקודמת, שבה חילקנו 5.91 ב-1.7, הזזנו את הפסיק בדיווידנד ובמחלק ספרה אחת ימינה. לאחר הזזת הנקודה העשרונית, השבר 5.91 הומר לשבר 59.1 והשבר 1.7 הומר למספר הרגיל 17.
למעשה, בתוך התהליך הזה היה מכפלה ב-10. כך זה נראה:
5.91 × 10 = 59.1
לכן, מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית במחלק קובע במה יוכפל הדיבידנד והמחלק. במילים אחרות, מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית במחלק יקבע כמה ספרות בדיבידנד ובמחלק הנקודה העשרונית תוזז ימינה.
מחלקים עשרוני ב-10, 100, 1000
חלוקת עשרוני ב-10, 100 או 1000 מתבצעת באותו אופן כמו . לדוגמה, חלקו 2.1 ב-10. פתרו את הדוגמה הזו באמצעות פינה:
אבל יש דרך שנייה. זה קל יותר. המהות של שיטה זו היא שהפסיק בדיבידנד מועבר שמאלה במספר ספרות כמו שיש אפסים במחלק.
בואו נפתור את הדוגמה הקודמת כך. 2.1: 10. אנחנו מסתכלים על המחלק. מעניין אותנו כמה אפסים יש בו. אנחנו רואים שיש אפס אחד. זה אומר שבדיבידנד של 2.1 צריך להזיז את הנקודה העשרונית שמאלה בספרה אחת. מזיזים את הפסיק לשמאל ספרה אחת ורואים שלא נשארו עוד ספרות. במקרה זה, הוסף עוד אפס לפני המספר. כתוצאה מכך נקבל 0.21
ננסה לחלק את 2.1 ב-100. יש שני אפסים ב-100. זה אומר שבדיבידנד 2.1 אנחנו צריכים להזיז את הפסיק שמאלה בשתי ספרות:
2,1: 100 = 0,021
בוא ננסה לחלק את 2.1 ב-1000. יש שלושה אפסים ב-1000. זה אומר שבדיבידנד 2.1 אתה צריך להזיז את הפסיק שמאלה בשלוש ספרות:
2,1: 1000 = 0,0021
חלוקת עשרוני ב-0.1, 0.01 ו-0.001
חלוקת שבר עשרוני ב-0.1, 0.01 ו-0.001 מתבצעת באותו אופן כמו . בדיווידנד ובמחלק, אתה צריך להזיז את הנקודה העשרונית ימינה במספר ספרות שיש אחרי הנקודה העשרונית במחלק.
לדוגמה, בואו נחלק את 6.3 ב-0.1. קודם כל, נזיז את הפסקים בדיווידנד ובמחלק ימינה באותו מספר ספרות כמו שיש אחרי הנקודה העשרונית במחלק. למחלק יש ספרה אחת אחרי הנקודה העשרונית. זה אומר שאנחנו מזיזים את הפסקים בדיווידנד ובמחלק ימינה בספרה אחת.
לאחר הזזת הנקודה העשרונית לספרה אחת הימנית, השבר העשרוני 6.3 הופך למספר הרגיל 63, והשבר העשרוני 0.1 לאחר הזזת הנקודה העשרונית לימין ספרה אחת הופך לאחד. ולחלק 63 ב-1 זה מאוד פשוט:
המשמעות היא שהערך של הביטוי 6.3: 0.1 הוא 63
אבל יש דרך שנייה. זה קל יותר. המהות של שיטה זו היא שהפסיק בדיבידנד מועבר ימינה במספר ספרות כמו שיש אפסים במחלק.
בואו נפתור את הדוגמה הקודמת כך. 6.3: 0.1. בואו נסתכל על המחלק. מעניין אותנו כמה אפסים יש בו. אנחנו רואים שיש אפס אחד. זה אומר שבדיבידנד של 6.3 צריך להזיז את הנקודה העשרונית ימינה בספרה אחת. הזז את הפסיק לספרה אחת הימנית וקבל 63
בוא ננסה לחלק את 6.3 ב-0.01. למחלק של 0.01 יש שני אפסים. זה אומר שבדיבידנד 6.3 אנחנו צריכים להזיז את הנקודה העשרונית ימינה בשתי ספרות. אבל בדיבידנד יש רק ספרה אחת אחרי הנקודה העשרונית. במקרה זה, אתה צריך להוסיף עוד אפס בסוף. כתוצאה מכך נקבל 630
בוא ננסה לחלק את 6.3 ב-0.001. למחלק של 0.001 יש שלושה אפסים. המשמעות היא שבדיבידנד 6.3 עלינו להזיז את הנקודה העשרונית ימינה בשלוש ספרות:
6,3: 0,001 = 6300
משימות לפתרון עצמאי
אהבתם את השיעור?
הצטרף אלינו קבוצה חדשה VKontakte והתחל לקבל הודעות על שיעורים חדשים
הבה נעבור ללימוד הפעולה הבאה עם שברים עשרוניים, כעת ניקח מבט מקיף על הכפלת מספרים עשרוניים. ראשית, הבה נדון בעקרונות הכלליים של הכפלת עשרונים. לאחר מכן נעבור להכפלת שבר עשרוני בשבר עשרוני, נראה כיצד מכפילים שברים עשרוניים בעמודה ונחשוב על פתרונות לדוגמאות. לאחר מכן, נבחן הכפלת שברים עשרוניים במספרים טבעיים, במיוחד ב-10, 100 וכו'. לבסוף, בואו נדבר על הכפלת עשרונים בשברים ומספרים מעורבים.
נגיד מיד שבמאמר זה נדבר רק על הכפלת שברים עשרוניים חיוביים (ראה מספרים חיוביים ושליליים). המקרים הנותרים נדונים במאמרים כפל מספרים רציונליים ו הכפלת מספרים ממשיים.
ניווט בדף.
עקרונות כלליים של כפל עשרונים
הבה נדון בעקרונות הכלליים שיש להקפיד עליהם בעת הכפלה בעשרוניות.
מכיוון שמספרים עשרוניים סופיים ושברים מחזוריים אינסופיים הם הצורה העשרונית של שברים נפוצים, הכפלה של שברים עשרוניים כאלה היא בעצם הכפלת שברים נפוצים. במילים אחרות, הכפלת מספרים עשרוניים סופיים, הכפלת שברים עשרוניים סופיים ומחזוריים, ו הכפלת מספרים עשרוניים תקופתייםמסתכם בכפל שברים רגילים לאחר המרת שברים עשרוניים לשברים רגילים.
בואו נסתכל על דוגמאות ליישום העיקרון המוצהר של הכפלת שברים עשרוניים.
דוגמא.
הכפל את העשרוניות 1.5 ו-0.75.
פִּתָרוֹן.
הבה נחליף את השברים העשרוניים המוכפלים בשברים הרגילים המתאימים. מאז 1.5=15/10 ו-0.75=75/100, אז . אתה יכול להקטין את השבר, ואז לבודד את כל החלק מהשבר הלא תקין, ונוח יותר לכתוב את השבר הרגיל המתקבל 1,125/1,000 כשבר עשרוני 1.125.
תשובה:
1.5·0.75=1.125.
יש לציין שנוח להכפיל שברים עשרוניים סופיים בעמודה; נדבר על שיטה זו של הכפלת שברים עשרוניים בעמודה.
בואו נסתכל על דוגמה של הכפלת שברים עשרוניים תקופתיים.
דוגמא.
חשב את המכפלה של השברים העשרוניים המחזוריים 0,(3) ו-2,(36) .
פִּתָרוֹן.
הבה נמיר שברים עשרוניים תקופתיים לשברים רגילים:
לאחר מכן . אתה יכול להמיר את השבר הרגיל המתקבל לשבר עשרוני:
תשובה:
0,(3)·2,(36)=0,(78) .
אם בין השברים העשרוניים המוכפלים יש אינסוף שברים לא מחזוריים, אז יש לעגל את כל השברים המוכפלים, כולל סופיים ומחזוריים, לספרה מסוימת (ראה עיגול מספרים), ולאחר מכן הכפל את השברים העשרוניים הסופיים שהתקבלו לאחר עיגול.
דוגמא.
הכפל את העשרוניות 5.382... ו-0.2.
פִּתָרוֹן.
ראשית, בוא נעגל שבר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי, עיגול יכול להיעשות למייות, יש לנו 5.382...≈5.38. אין צורך לעגל את השבר העשרוני הסופי 0.2 למאית הקרובה ביותר. לפיכך, 5.382...·0.2≈5.38·0.2. נותר לחשב את המכפלה של שברים עשרוניים סופיים: 5.38·0.2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1.076.
תשובה:
5.382…·0.2≈1.076.
הכפלת שברים עשרוניים לפי עמודה
הכפלת שברים עשרוניים סופיים יכולה להתבצע בעמודה, בדומה להכפלת מספרים טבעיים בעמודה.
בואו ננסח כלל להכפלת שברים עשרוניים בעמודה. כדי להכפיל שברים עשרוניים בעמודה, עליך:
- מבלי לשים לב לפסיקים, בצע כפל לפי כל כללי הכפל בעמודה של מספרים טבעיים;
- במספר המתקבל, הפרידו בנקודה עשרונית כמה ספרות מימין כמו שיש מקומות עשרוניים בשני הגורמים יחד, ואם אין מספיק ספרות במכפלה, אז יש להוסיף את מספר האפסים הנדרש משמאל.
בואו נסתכל על דוגמאות של הכפלת שברים עשרוניים בעמודות.
דוגמא.
הכפל את העשרוניות 63.37 ו-0.12.
פִּתָרוֹן.
בואו נכפיל שברים עשרוניים בעמודה. ראשית, נכפיל את המספרים, תוך התעלמות מפסיקים: 
כל שנותר הוא להוסיף פסיק למוצר המתקבל. היא צריכה להפריד 4 ספרות מימין, מכיוון שלגורמים יש בסך הכל ארבעה מקומות עשרוניים (שניים בשבר 3.37 ושתיים בשבר 0.12). יש שם מספיק מספרים, אז אתה לא צריך להוסיף אפסים משמאל. בואו נסיים להקליט: 
כתוצאה מכך, יש לנו 3.37·0.12=7.6044.
תשובה:
3.37·0.12=7.6044.
דוגמא.
חשב את המכפלה של העשרוניות 3.2601 ו-0.0254.
פִּתָרוֹן.
לאחר ביצוע הכפל בעמודה מבלי לקחת בחשבון פסיקים, אנו מקבלים את התמונה הבאה:
עכשיו במוצר אתה צריך להפריד את 8 הספרות בצד ימין עם פסיק, שכן המספר הכולל של מקומות עשרוניים של השברים המוכפלים הוא שמונה. אבל יש רק 7 ספרות במוצר, לכן, אתה צריך להוסיף כמה אפסים משמאל כדי שתוכל להפריד 8 ספרות עם פסיק. במקרה שלנו, עלינו להקצות שני אפסים: 
זה משלים את הכפל של שברים עשרוניים לפי עמודה.
תשובה:
3.2601·0.0254=0.08280654.
הכפלת מספרים עשרוניים ב-0.1, 0.01 וכו'.
לעתים קרובות אתה צריך להכפיל שברים עשרוניים ב-0.1, 0.01 וכן הלאה. לכן, רצוי לנסח כלל להכפלת שבר עשרוני במספרים אלו, הנובע מעקרונות הכפלת השברים העשרוניים שנדונו לעיל.
כך, הכפלת עשרוני נתון ב-0.1, 0.01, 0.001 וכן הלאהנותן שבר שמתקבל מהמקורי אם בסימון שלו הפסיק הוזז שמאלה ב-1, 2, 3 וכן הלאה ספרות, בהתאמה, ואם אין מספיק ספרות כדי להזיז את הפסיק, אז אתה צריך הוסף את המספר הנדרש של אפסים לשמאל.
לדוגמה, כדי להכפיל את השבר העשרוני 54.34 ב-0.1, עליך להזיז את הנקודה העשרונית בשבר 54.34 שמאלה בספרה 1, מה שייתן לך את השבר 5.434, כלומר 54.34·0.1=5.434. בוא ניתן דוגמה נוספת. הכפל את השבר העשרוני 9.3 ב-0.0001. לשם כך, עלינו להזיז את הנקודה העשרונית 4 ספרות שמאלה בשבר העשרוני המוכפל 9.3, אך הסימון של השבר 9.3 אינו מכיל כל כך הרבה ספרות. לכן, אנחנו צריכים להקצות כל כך הרבה אפסים משמאל לשבר 9.3 כדי שנוכל בקלות להעביר את הנקודה העשרונית ל-4 ספרות, יש לנו 9.3·0.0001=0.00093.
שימו לב שהכלל המוצהר להכפלת שבר עשרוני ב-0.1, 0.01, ... תקף גם עבור שברים עשרוניים אינסופיים. לדוגמה, 0.(18)·0.01=0.00(18) או 93.938…·0.1=9.3938… .
הכפלת עשרוני במספר טבעי
בבסיס שלו הכפלת מספרים עשרוניים במספרים טבעייםלא שונה מכפל עשרוני בעשרוני.
הכי נוח להכפיל שבר עשרוני סופי במספר טבעי בעמודה; במקרה זה, עליך להקפיד על הכללים להכפלת שברים עשרוניים בעמודה, שנדונו באחת הפסקאות הקודמות.
דוגמא.
חשב את המוצר 15·2.27.
פִּתָרוֹן.
בוא נכפיל מספר טבעי בשבר עשרוני בעמודה: 
תשובה:
15·2.27=34.05.
כאשר מכפילים שבר עשרוני מחזורי במספר טבעי, יש להחליף את השבר המחזורי בשבר רגיל.
דוגמא.
הכפל את השבר העשרוני 0.(42) במספר הטבעי 22.
פִּתָרוֹן.
ראשית, בואו נמיר את השבר העשרוני המחזורי לשבר רגיל:
כעת נעשה את הכפל: . תוצאה זו כעשרונית היא 9,(3) .
תשובה:
0,(42)·22=9,(3) .
וכאשר מכפילים שבר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי במספר טבעי, תחילה עליך לבצע עיגול.
דוגמא.
הכפל 4·2.145….
פִּתָרוֹן.
לאחר שעיגל את השבר העשרוני האינסופי למאיות, אנו מגיעים לכפל של מספר טבעי ושבר עשרוני סופי. יש לנו 4·2.145…≈4·2.15=8.60.
תשובה:
4·2.145…≈8.60.
הכפלת עשרוני ב-10, 100, ...
לעתים קרובות אתה צריך להכפיל שברים עשרוניים ב-10, 100, ... לכן, מומלץ להתעכב על מקרים אלה בפירוט.
בואו נשמיע את זה כלל להכפלת שבר עשרוני ב-10, 100, 1,000 וכו'.כאשר מכפילים שבר עשרוני ב-10, 100, ... בסימון שלו, עליך להזיז את הנקודה העשרונית ימינה ל-1, 2, 3, ... ספרות, בהתאמה, ולבטל את האפסים הנוספים משמאל; אם לסימון השבר המוכפל אין מספיק ספרות כדי להזיז את הנקודה העשרונית, עליך להוסיף את המספר הנדרש של אפסים ימינה.
דוגמא.
הכפל את השבר העשרוני 0.0783 ב-100.
פִּתָרוֹן.
נזיז את השבר 0.0783 שתי ספרות ימינה, ונקבל 007.83. הפלת שני האפסים משמאל נותנת את השבר העשרוני 7.38. לפיכך, 0.0783·100=7.83.
תשובה:
0.0783·100=7.83.
דוגמא.
הכפל את השבר העשרוני 0.02 ב-10,000.
פִּתָרוֹן.
כדי להכפיל 0.02 ב-10,000, עלינו להזיז את הנקודה העשרונית 4 ספרות ימינה. ברור שבסימון השבר 0.02 אין מספיק ספרות להזיז את הנקודה העשרונית ב-4 ספרות, אז נוסיף כמה אפסים ימינה כדי שניתן יהיה להזיז את הנקודה העשרונית. בדוגמה שלנו, מספיק להוסיף שלושה אפסים, יש לנו 0.02000. לאחר הזזת הפסיק, נקבל את הערך 00200.0. אם נזרוק את האפסים משמאל, יש לנו את המספר 200.0, ששווה למספר הטבעי 200, שהוא תוצאה של הכפלת השבר העשרוני 0.02 ב-10,000.
במאמר זה נבחן את פעולת הכפלת העשרונים. נתחיל בקביעת העקרונות הכלליים, ואז נראה כיצד להכפיל שבר עשרוני אחד בשני ונשקול את שיטת הכפל בעמודה. כל ההגדרות יומחשו בדוגמאות. לאחר מכן נבחן כיצד להכפיל נכון שברים עשרוניים במספרים רגילים, כמו גם במספרים מעורבים וטבעיים (כולל 100, 10 וכו')
בחומר זה ניגע רק בכללי הכפלת שברים חיוביים. מקרים עם מספרים שליליים מטופלים בנפרד במאמרים על הכפלה של מספרים רציונליים וממשיים.
Yandex.RTB R-A-339285-1
הבה ננסח עקרונות כלליים שיש לפעול לפיהם בעת פתרון בעיות הכרוכות בכפל שברים עשרוניים.
הבה נזכור תחילה ששברים עשרוניים הם לא יותר מאשר צורה מיוחדת של כתיבת שברים רגילים, לכן, תהליך הכפלתם יכול להיות מופחת לשברים רגילים דומה. כלל זה עובד גם על שברים סופיים וגם על שברים אינסופיים: לאחר המרתם לשברים רגילים, קל להכפיל איתם לפי הכללים שכבר למדנו.
בואו נראה איך פותרים בעיות כאלה.
דוגמה 1
חשב את המכפלה של 1.5 ו-0.75.
פתרון: ראשית, בואו נחליף שברים עשרוניים בשברים רגילים. אנו יודעים ש-0.75 הוא 75/100, ו-1.5 הוא 15/10. נוכל לצמצם את השבר ולבחור את כל החלק. נכתוב את התוצאה המתקבלת 125 1000 כ-1, 125.
תשובה: 1 , 125 .
אנו יכולים להשתמש בשיטת ספירת העמודות, בדיוק כמו עבור מספרים טבעיים.
דוגמה 2
הכפל שבר מחזורי אחד 0, (3) ב-2 אחר, (36).
ראשית, בואו נצמצם את השברים המקוריים לשברים רגילים. אנו נקבל:
0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11
לכן, 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.
ניתן לצמצם את השבר הרגיל המתקבל ל צורה עשרונית, חלוקת המונה במכנה בעמודה:
תשובה: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .
אם יש לנו אינסוף שברים לא מחזוריים בהצהרת הבעיה, אז עלינו לבצע עיגול ראשוני (ראה מאמר על עיגול מספרים אם שכחת איך עושים זאת). לאחר מכן, ניתן לבצע את פעולת הכפל עם שברים עשרוניים מעוגלים כבר. בואו ניתן דוגמה.
דוגמה 3
חשב את המכפלה של 5, 382... ו-0, 2.
פִּתָרוֹן
בבעיה שלנו יש לנו שבר אינסופי שקודם כל יש לעגל אותו לאיתות. מסתבר ש5.382... ≈ 5.38. אין שום היגיון לעגל את הגורם השני למאייות. כעת תוכל לחשב את המוצר הנדרש ולרשום את התשובה: 5.38 0.2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1.076.
תשובה: 5.382…·0.2 ≈ 1.076.
ניתן להשתמש בשיטת ספירת העמודות לא רק עבור מספרים טבעיים. אם יש לנו עשרונים, נוכל להכפיל אותם בדיוק באותו אופן. בואו נגזר את הכלל:
הגדרה 1
הכפלת שברים עשרוניים לפי עמודה מתבצעת בשני שלבים:
1. בצע כפל עמודות, בלי לשים לב לפסיקים.
2. הציבו נקודה עשרונית במספר הסופי, והפרידו אותו במספר ספרות בצד ימין שכן שני הגורמים מכילים מקומות עשרוניים יחד. אם התוצאה אינה מספיקה מספרים לכך, הוסף אפסים משמאל.
בואו נסתכל על דוגמאות לחישובים כאלה בפועל.
דוגמה 4
הכפל את הספרות העשרוניות 63, 37 ו-0, 12 בעמודות.
פִּתָרוֹן
ראשית, הבה נכפיל מספרים, תוך התעלם מנקודות עשרוניות.
כעת עלינו לשים את הפסיק במקום הנכון. זה יפריד בין ארבע הספרות בצד ימין מכיוון שסכום העשרונים בשני הגורמים הוא 4. אין צורך להוסיף אפסים, כי מספיק סימנים:
תשובה: 3.37 0.12 = 7.6044.
דוגמה 5
חשב כמה זה 3.2601 כפול 0.0254.
פִּתָרוֹן
אנחנו סופרים בלי פסיקים. נקבל את המספר הבא:
נשים פסיק מפריד בין 8 ספרות בצד ימין, כי לשברים המקוריים יחד יש 8 מקומות עשרוניים. אבל לתוצאה שלנו יש רק שבע ספרות, ואנחנו לא יכולים להסתדר בלי אפסים נוספים:
תשובה: 3.2601 · 0.0254 = 0.08280654.
כיצד להכפיל עשרוני ב-0.001, 0.01, 01 וכו'.
הכפלת מספרים עשרוניים במספרים כאלה היא דבר נפוץ, ולכן חשוב להיות מסוגל לעשות זאת במהירות ובדייקנות. נרשום כלל מיוחד בו נשתמש לכפל זה:
הגדרה 2
אם נכפיל נקודה עשרונית ב-0, 1, 0, 01 וכו', נקבל מספר דומה לשבר המקורי, כאשר הנקודה העשרונית הוזזה שמאלה את מספר המקומות הנדרש. אם אין מספיק מספרים להעברה, עליך להוסיף אפסים משמאל.
לכן, כדי להכפיל את 45, 34 ב-0, 1, עליך להזיז את הנקודה העשרונית בשבר העשרוני המקורי במקום אחד. נסיים עם 4, 534.
דוגמה 6
הכפל 9.4 ב-0.0001.
פִּתָרוֹן
נצטרך להזיז את הנקודה העשרונית ארבעה מקומות לפי מספר האפסים בגורם השני, אבל המספרים בגורם הראשון לא מספיקים לכך. אנו מקצים את האפסים הדרושים ומגלים ש-9.4 · 0.0001 = 0.00094.
תשובה: 0 , 00094 .
עבור אינסוף מספרים עשרוניים אנו משתמשים באותו כלל. כך, למשל, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) או 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... וכו.
תהליך הכפל הזה אינו שונה מפעולת הכפלת שני שברים עשרוניים. נוח להשתמש בשיטת הכפל העמודות אם הצהרת הבעיה מכילה שבר עשרוני סופי. במקרה זה, יש צורך לקחת בחשבון את כל הכללים שדיברנו עליהם בפסקה הקודמת.
דוגמה 7
חשב כמה זה 15 · 2.27.
פִּתָרוֹן
נכפיל את המספרים המקוריים בעמודה ונפריד בין שני פסיקים.
תשובה: 15 · 2.27 = 34.05.
אם נכפיל שבר עשרוני מחזורי במספר טבעי, עלינו לשנות תחילה את השבר העשרוני לשבר רגיל.
דוגמה 8
חשב את המכפלה של 0, (42) ו-22.
הבה נצמצם את השבר המחזורי לצורה רגילה.
0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33
0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3
נוכל לכתוב את התוצאה הסופית בצורה של שבר עשרוני מחזורי כ-9, (3).
תשובה: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .
ראשית יש לעגל שברים אינסופיים לפני חישובים.
דוגמה 9
חשב כמה 4 · 2, 145... יהיה.
פִּתָרוֹן
הבה נעגל את השבר העשרוני האינסופי האינסופי למאייות. לאחר מכן אנו מגיעים להכפלת מספר טבעי ושבר עשרוני סופי:
4 2.145… ≈ 4 2.15 = 8.60.
תשובה: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.
כיצד להכפיל עשרוני ב-1000, 100, 10 וכו'.
הכפלת שבר עשרוני ב-10, 100 וכו' נתקלת לעתים קרובות בבעיות, ולכן ננתח את המקרה הזה בנפרד. הכלל הבסיסי של הכפל הוא:
הגדרה 3
כדי להכפיל שבר עשרוני ב-1000, 100, 10 וכו', עליך להזיז את הנקודה העשרונית שלו ל-3, 2, 1 ספרות בהתאם למכפיל ולבטל את האפסים הנוספים משמאל. אם אין מספיק מספרים כדי להזיז את הפסיק, נוסיף כמה אפסים ימינה שנצטרך.
בואו נראה עם דוגמה בדיוק איך לעשות זאת.
דוגמה 10
הכפל 100 ו-0.0783.
פִּתָרוֹן
לשם כך, עלינו להזיז את הפסיק בשבר העשרוני ל-2 ספרות פנימה צד ימין. נסיים עם 007, 83 ניתן למחוק את האפסים משמאל ולכתוב את התוצאה כ-7, 38.
תשובה: 0.0783 100 = 7.83.
דוגמה 11
תכפילו 0.02 ב-10 אלף.
פתרון: נעביר את הפסיק ארבע ספרות ימינה. אין לנו מספיק סימנים לכך בשבר העשרוני המקורי, אז נצטרך להוסיף אפסים. במקרה זה, שלושה 0 יספיקו. התוצאה היא 0, 02000, הזז את הפסיק וקבל 00200, 0. בהתעלם מהאפסים משמאל, נוכל לכתוב את התשובה כ-200.
תשובה: 0.02 · 10,000 = 200.
הכלל שנתנו יעבוד כך גם במקרה של שברים עשרוניים אינסופיים, אבל כאן כדאי להקפיד מאוד על התקופה של השבר הסופי, שכן קל לטעות בו.
דוגמה 12
חשב את המכפלה של 5.32 (672) כפול 1,000.
פתרון: קודם כל, נכתוב את השבר המחזורי כ-5, 32672672672 ..., כך שההסתברות לטעות תהיה קטנה יותר. לאחר מכן, נוכל להעביר את הפסיק למספר התווים הנדרש (שלושה). התוצאה תהיה 5326, 726726... נניח את התקופה בסוגריים ונכתוב את התשובה כ-5,326, (726).
תשובה: 5, 32 (672) · 1,000 = 5,326, (726) .
אם תנאי הבעיה מכילים אינסוף שברים לא מחזוריים שיש להכפיל בעשר, מאה, אלף וכו', אל תשכחו לעגל אותם לפני הכפלה.
כדי לבצע כפל מסוג זה, עליך לייצג את השבר העשרוני כשבר רגיל ולאחר מכן להמשיך לפי הכללים המוכרים ממילא.
דוגמה 13
הכפל 0, 4 על 3 5 6
פִּתָרוֹן
ראשית, הבה נמיר את השבר העשרוני לשבר רגיל. יש לנו: 0, 4 = 4 10 = 2 5.
קיבלנו את התשובה בצורה של מספר מעורב. אתה יכול לכתוב אותו כשבר מחזורי 1, 5 (3).
תשובה: 1 , 5 (3) .
אם בחישוב מעורב שבר אינסופי שאינו מחזורי, עליך לעגל אותו למספר מסוים ולאחר מכן להכפיל אותו.
דוגמה 14
חשב את המוצר 3, 5678. . . · 2 3
פִּתָרוֹן
אנחנו יכולים לייצג את הגורם השני בתור 2 3 = 0, 6666…. לאחר מכן, עגלו את שני הגורמים למקום האלף. לאחר מכן, נצטרך לחשב את המכפלה של שני שברים עשרוניים סופיים 3.568 ו-0.667. בואו נספור עם עמודה ונקבל את התשובה:
יש לעגל את התוצאה הסופית לאלפיות, מכיוון שלספרה זו עיגלנו את המספרים המקוריים. מסתבר ש-2.379856 ≈ 2.380.
תשובה: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380
אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter
אחורה קדימה
תשומת הלב! תצוגות מקדימות של השקופיות מיועדות למטרות מידע בלבד וייתכן שאינן מייצגות את כל התכונות של המצגת. אם אתה מעוניין העבודה הזו, אנא הורד את הגרסה המלאה.
מטרת השיעור:
- בצורה מהנה, הציגו לתלמידים את הכלל להכפלת שבר עשרוני במספר טבעי, ביחידת ערך מקום ואת הכלל להבעת שבר עשרוני באחוזים. לפתח את היכולת ליישם ידע נרכש בעת פתרון דוגמאות ובעיות.
- לפתח ולהפעיל חשיבה לוגיתהתלמידים, היכולת לזהות דפוסים ולהכליל אותם, לחזק את הזיכרון, את היכולת לשתף פעולה, להעניק סיוע, להעריך את עבודתם שלהם ואת עבודתם של זה.
- לטפח עניין במתמטיקה, פעילות, ניידות ומיומנויות תקשורת.
צִיוּד:לוח אינטראקטיבי, פוסטר עם ציפרגרם, כרזות עם הצהרות של מתמטיקאים.
במהלך השיעורים
- ארגון זמן.
- חשבון בעל פה – הכללה של חומר שנלמד בעבר, הכנה ללימוד חומר חדש.
- הסבר על חומר חדש.
- שיעורי בית.
- חינוך גופני מתמטי.
- הכללה ושיטתיות של ידע נרכש ב צורת משחקלהשתמש במחשב.
- תִשׁבּוּץ.
2. חבר'ה, היום השיעור שלנו יהיה קצת יוצא דופן, כי אני לא אלמד אותו לבד, אלא עם חבר שלי. וגם החבר שלי יוצא דופן, אתה תראה אותו עכשיו. (מחשב מצויר מופיע על המסך.) לחבר שלי יש שם והוא יכול לדבר. איך קוראים לך, חבר? קומפוזה עונה: "שמי קומפוזה." האם אתה מוכן לעזור לי היום? כן! טוב אז בואו נתחיל את השיעור.
היום קיבלתי ציפרגרם מוצפן, חבר'ה, שעלינו לפתור ולפענח ביחד. (על הלוח תלוי פוסטר עם חישוב בעל פה לחיבור והפחתה של שברים עשרוניים, כתוצאה מכך הילדים מקבלים את הקוד הבא 523914687. )
| 5 | 2 | 3 | 9 | 1 | 4 | 6 | 8 | 7 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
קומפוזה עוזרת לפענח את הקוד שהתקבל. התוצאה של הפענוח היא המילה MULTIPLICATION. כפל היא מילת המפתח של נושא השיעור של היום. נושא השיעור מוצג על הצג: "כפל שבר עשרוני במספר טבעי"
חבר'ה, אנחנו יודעים להכפיל מספרים טבעיים. היום נסתכל על הכפל מספרים עשרונייםלמספר טבעי. הכפלת שבר עשרוני במספר טבעי יכולה להיחשב כסכום של איברים, שכל אחד מהם שווה לשבר עשרוני זה, ומספר האיברים שווה למספר הטבעי הזה. לדוגמה: 5.21 ·3 = 5.21 + 5.21 + 5.21 = 15.63זה אומר 5.21·3 = 15.63. הצגת 5.21 כשבר משותף למספר טבעי, נקבל
ובמקרה הזה קיבלנו את אותה תוצאה: 15.63. כעת, תוך התעלמות מהפסיק, במקום המספר 5.21, קחו את המספר 521 והכפילו אותו במספר הטבעי הזה. כאן עלינו לזכור שבאחד הגורמים הפסיק הוזז שני מקומות ימינה. כשמכפילים את המספרים 5, 21 ו-3, נקבל מכפלה השווה ל-15.63. כעת בדוגמה זו אנו מזיזים את הפסיק לשני מקומות שמאלה. לפיכך, בכמה פעמים גדל אחד הגורמים, בכמה פעמים ירד המוצר. בהתבסס על קווי הדמיון של שיטות אלה, נסיק מסקנה.
כדי להכפיל שבר עשרוני במספר טבעי, עליך:
1) מבלי לשים לב לפסיק, הכפל מספרים טבעיים;
2) במכפל המתקבל, הפרד כמה ספרות מימין באמצעות פסיק כמו שיש בשבר העשרוני.
הדוגמאות הבאות מוצגות על המוניטור, אותם אנו מנתחים יחד עם קומפוזה והחבר'ה: 5.21·3 = 15.63 ו-7.624·15 = 114.34. ואז אני מראה כפל במספר עגול 12.6·50 = 630. לאחר מכן, אני עובר להכפלת שבר עשרוני ביחידת ערך מקום. אני מציג את הדוגמאות הבאות: 7.423 ·100 = 742.3 ו-5.2·1000 = 5200. לכן, אני מציג את הכלל להכפלת שבר עשרוני ביחידת ספרות:
כדי להכפיל שבר עשרוני ביחידות ספרות 10, 100, 1000 וכו', עליך להזיז את הנקודה העשרונית בשבר זה ימינה בכמה מקומות שיש אפסים ביחידת הספרות.
אני מסיים את ההסבר שלי בביטוי השבר העשרוני באחוזים. אני מציג את הכלל:
כדי לבטא שבר עשרוני באחוזים, עליך להכפיל אותו ב-100 ולהוסיף את הסימן %.
אני אתן דוגמה במחשב: 0.5 100 = 50 או 0.5 = 50%.
4. בסוף ההסבר, אני נותן לחבר'ה שיעורי בית, שמוצגים גם על צג המחשב: № 1030, № 1034, № 1032.
5. כדי שהחבר'ה ינוחו קצת, אנחנו עושים מפגש חינוך גופני מתמטי יחד עם קומפוזה לאיחוד הנושא. כולם קמים, מציגים את הדוגמאות שנפתרו לכיתה, ועליהם לענות האם הדוגמה נפתרה נכון או לא נכון. אם הדוגמה נפתרה נכון, אז הם מרימים את זרועותיהם מעל לראשיהם ומוחאים כפיים. אם הדוגמה לא נפתרה נכון, החבר'ה מותחים את הידיים לצדדים ומותחתים את האצבעות.
6. ועכשיו נחתם קצת, תוכלו לפתור את המשימות. פתח את ספר הלימוד שלך לעמוד 205, № 1029. במשימה זו עליך לחשב את הערך של הביטויים:
המשימות מופיעות במחשב. כשהם נפתרים, מופיעה תמונה עם תמונה של סירה שצפה משם בהרכבה מלאה.
מס' 1031 חשב:
על ידי פתרון משימה זו במחשב, הרקטה מתקפלת בהדרגה; לאחר פתרון הדוגמה האחרונה, הרקטה עפה משם. המורה מוסרת מידע קטן לתלמידים: "כל שנה ממריאות חלליות מהקוסמודרום בייקונור מאדמת קזחסטן אל הכוכבים. קזחסטן בונה את קוסמודרום Baiterek החדש שלה ליד בייקונור.
מס' 1035. בעיה.
כמה רחוק תיסע מכונית נוסעים ב-4 שעות אם מהירות רכב הנוסעים היא 74.8 קמ"ש.
משימה זו מלווה בעיצוב קול ובמצב קצר של המשימה המוצגת על הצג. אם הבעיה נפתרה, נכון, המכונית מתחילה לנוע קדימה עד לדגל הסיום.
№ 1033. כתוב את העשרוניות כאחוזים.
0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.
על ידי פתרון כל דוגמה, כאשר מופיעה התשובה, מופיעה אות, וכתוצאה מכך מילה כל הכבוד.
המורה שואל את קומפוזה מדוע המילה הזו תופיע? קומפוזה עונה: "כל הכבוד, חבר'ה!" ונפרד מכולם.
המורה מסכמת את השיעור ונותנת ציונים.
