בסרטון זה, נסקור את הסט כולו. משוואות ליניאריות, שנפתרים על ידי אותו אלגוריתם - לכן הם נקראים הפשוטים ביותר.

ראשית, נגדיר: מהי משוואה לינארית ואיזו מהן צריכה להיקרא הפשוטה ביותר?

משוואה לינארית היא כזו שיש בה רק משתנה אחד, ורק במעלה הראשונה.

המשוואה הפשוטה ביותר פירושה הבנייה:

כל שאר המשוואות הליניאריות מצטמצמות לפשוטות ביותר באמצעות האלגוריתם:

1. סוגריים פתוחים, אם יש;
2. העבר מונחים המכילים משתנה לצד אחד של סימן השוויון, ומונחים ללא משתנה לצד השני;
3. הביאו מונחים דומים לשמאל ולימין של סימן השוויון;
4. חלקו את המשוואה המתקבלת במקדם של המשתנה $x$ .

כמובן, אלגוריתם זה לא תמיד עוזר. העובדה היא שלפעמים, אחרי כל התחבולות האלה, מקדם המשתנה $x$ מתברר כשווה לאפס. במקרה זה, שתי אפשרויות אפשריות:

1. למשוואה אין פתרונות כלל. לדוגמה, כאשר אתה מקבל משהו כמו $0\cdot x=8$, כלומר. משמאל הוא אפס, ומימין מספר שאינו אפס. בסרטון למטה, נבחן מספר סיבות מדוע מצב זה אפשרי.
2. הפתרון הוא כל המספרים. המקרה היחיד שבו זה אפשרי הוא כאשר המשוואה הצטמצמה למבנה $0\cdot x=0$. זה די הגיוני שלא משנה באיזה $x$ נחליף, עדיין יתברר ש"אפס שווה לאפס", כלומר. שוויון מספרי נכון.

ועכשיו בואו נראה איך הכל עובד על הדוגמה של בעיות אמיתיות.

דוגמאות לפתרון משוואות

היום אנו עוסקים במשוואות ליניאריות, ורק בפשוטות ביותר. באופן כללי, משוואה ליניארית פירושה כל שוויון שמכיל בדיוק משתנה אחד, והוא מגיע רק לדרגה הראשונה.

מבנים כאלה נפתרים בערך באותו אופן:

1. קודם כל, אתה צריך לפתוח את הסוגריים, אם יש כאלה (כמו בדוגמה האחרונה שלנו);
2. אז תביא דומה
3. לבסוף, לבודד את המשתנה, כלומר. כל מה שקשור במשתנה - המונחים שבהם הוא כלול - מועבר לצד אחד, וכל מה שנשאר בלעדיו מועבר לצד השני.

אז, ככלל, אתה צריך להביא דומה בכל צד של השוויון המתקבל, ואחרי זה נשאר רק לחלק במקדם ב-"x", ונקבל את התשובה הסופית.

בתיאוריה זה נראה נחמד ופשוט, אבל בפועל, אפילו תלמידי תיכון מנוסים יכולים לעשות טעויות פוגעניות במשוואות ליניאריות פשוטות למדי. בדרך כלל, טעויות נעשות גם בעת פתיחת סוגריים, או כאשר סופרים "פלוסים" ו"מינוסים".

בנוסף, קורה שלמשוואה לינארית אין פתרונות כלל, או כך שהפתרון הוא כל קו המספרים, כלומר. כל מספר. ננתח את הדקויות הללו בשיעור של היום. אבל נתחיל, כפי שכבר הבנתם, בהכי הרבה משימות פשוטות.

תכנית לפתרון משוואות ליניאריות פשוטות

ראשית, הרשו לי לכתוב שוב את כל הסכימה לפתרון המשוואות הליניאריות הפשוטות ביותר:

1. הרחב את הסוגריים, אם יש.
2. הסר משתנים, כלומר. כל מה שמכיל "x" מועבר לצד אחד, וללא "x" - לצד השני.
3. אנו מציגים מונחים דומים.
4. אנו מחלקים הכל במקדם ב- "x".

כמובן, תוכנית זו לא תמיד עובדת, יש לה דקויות וטריקים מסוימים, ועכשיו נכיר אותם.

פתרון דוגמאות אמיתיות של משוואות ליניאריות פשוטות

משימה 1

בשלב הראשון, אנו נדרשים לפתוח את הסוגריים. אבל הם לא בדוגמה הזו, אז אנחנו מדלגים על שלב זה. בשלב השני, עלינו לבודד את המשתנים. הערה: אנחנו מדבריםרק לגבי מונחים בודדים. בוא נכתוב:

אנחנו נותנים מונחים דומים בשמאל ובימין, אבל זה כבר נעשה כאן. לכן, אנו ממשיכים לשלב הרביעי: מחלקים בגורם:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

כאן קיבלנו את התשובה.

משימה מס' 2

במשימה זו נוכל לצפות בסוגריים, אז בואו נרחיב אותם:

גם בצד שמאל וגם בצד ימין, אנחנו רואים בערך את אותה הבנייה, אבל בואו נפעל לפי האלגוריתם, כלומר. משתני רצף:

הנה כמה כאלה:

באילו שורשים זה עובד? תשובה: לכל. לכן, נוכל לכתוב ש$x$ הוא כל מספר.

משימה מס' 3

המשוואה הליניארית השלישית כבר מעניינת יותר:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

יש כאן כמה סוגריים, אבל הם לא מוכפלים בכלום, רק יש לפניהם סימנים שונים. בואו נפרק אותם:

אנו מבצעים את השלב השני שכבר ידוע לנו:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

בוא נעשה חישוב:

אנחנו מבצעים צעד אחרון- חלקו הכל במקדם ב-"x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

דברים שכדאי לזכור בעת פתרון משוואות ליניאריות

אם נתעלם ממשימות פשוטות מדי, אז אני רוצה לומר את הדברים הבאים:

• כפי שאמרתי למעלה, לא לכל משוואה לינארית יש פתרון - לפעמים פשוט אין שורשים;
• גם אם יש שורשים, אפס יכול להיכנס ביניהם - אין בזה שום פסול.

אפס הוא אותו מספר כמו השאר, אתה לא צריך איכשהו להבחין אותו או להניח שאם אתה מקבל אפס, אז עשית משהו לא בסדר.

תכונה נוספת קשורה להרחבת סוגריים. שימו לב: כשיש מולם "מינוס" אנחנו מסירים אותו, אבל בסוגריים משנים את הסימנים ל מול. ואז נוכל לפתוח אותו לפי אלגוריתמים סטנדרטיים: נקבל את מה שראינו בחישובים למעלה.

הבנת העובדה הפשוטה הזו תעזור לך להימנע מטעויות מטופשות ופוגעות בתיכון, כאשר ביצוע פעולות כאלה הוא מובן מאליו.

פתרון משוואות לינאריות מורכבות

בואו נעבור לעוד משוואות מורכבות. כעת הקונסטרוקציות יהפכו מסובכות יותר ותופיע פונקציה ריבועית בעת ביצוע טרנספורמציות שונות. עם זאת, אתה לא צריך לפחד מזה, כי אם, על פי כוונת המחבר, נפתור משוואה ליניארית, אז בתהליך הטרנספורמציה כל המונומיאלים המכילים פונקציה ריבועית יצטמצמו בהכרח.

דוגמה מס' 1

ברור שהשלב הראשון הוא לפתוח את הסוגריים. בוא נעשה זאת בזהירות רבה:

עכשיו בואו ניקח פרטיות:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

הנה כמה כאלה:

ברור שלמשוואה זו אין פתרונות, אז בתשובה אנו כותבים כך:

\[\מגוון \]

או בלי שורשים.

דוגמה מס' 2

אנו מבצעים את אותם שלבים. צעד ראשון:

בוא נעביר כל דבר עם משתנה שמאלה, ובלעדיו - ימינה:

הנה כמה כאלה:

ברור שלמשוואה לינארית זו אין פתרון, אז אנחנו כותבים אותה כך:

\[\varnothing\],

או בלי שורשים.

ניואנסים של הפתרון

שתי המשוואות נפתרות לחלוטין. בדוגמה של שני הביטויים הללו, שוב וידאנו שאפילו במשוואות הליניאריות הפשוטות ביותר, הכל יכול להיות לא כל כך פשוט: יכול להיות אחד, או אף אחד, או אינסוף הרבה. במקרה שלנו שקלנו שתי משוואות, בשתיהן פשוט אין שורשים.

אבל אני רוצה להסב את תשומת לבכם לעובדה נוספת: איך עובדים עם סוגריים ואיך מרחיבים אותם אם יש לפניהם סימן מינוס. שקול את הביטוי הזה:

לפני הפתיחה, אתה צריך להכפיל הכל ב- "x". שימו לב: להכפיל כל מונח בודד. בפנים יש שני איברים - בהתאמה, שני איברים ומוכפל.

ורק לאחר שהושלמו התמורות היסודיות לכאורה, אך חשובות ומסוכנות אלו, ניתן לפתוח את הסוגר מנקודת מבט שלאחריה יש סימן מינוס. כן, כן: רק עכשיו, כשהשינויים נעשים, אנחנו זוכרים שיש סימן מינוס לפני הסוגריים, כלומר כל מה שמתחתיו רק משנה סימנים. במקביל, הסוגריים עצמם נעלמים, והכי חשוב, גם ה"מינוס" הקדמי נעלם.

אנחנו עושים את אותו הדבר עם המשוואה השנייה:

זה לא מקרי שאני שם לב לעובדות הקטנות האלה, לכאורה חסרות משמעות. מכיוון שפתרון המשוואות הוא תמיד רצף של טרנספורמציות יסודיות, שבהן חוסר היכולת לבצע בצורה ברורה ומוכשרת צעדים פשוטיםמוביל לכך שתלמידי תיכון מגיעים אלי ולומדים שוב לפתור משוואות פשוטות כאלה.

כמובן, יבוא היום שבו תחדד את המיומנויות הללו לאוטומטיזם. אתה כבר לא צריך לבצע כל כך הרבה טרנספורמציות בכל פעם, אתה תכתוב הכל בשורה אחת. אבל בזמן שאתה רק לומד, אתה צריך לכתוב כל פעולה בנפרד.

פתרון משוואות לינאריות מורכבות עוד יותר

מה שאנחנו הולכים לפתור עכשיו בקושי יכול להיקרא המשימה הפשוטה ביותר, אבל המשמעות נשארת זהה.

משימה 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

בוא נכפיל את כל המרכיבים בחלק הראשון:

בואו נעשה נסיגה:

הנה כמה כאלה:

בוא נעשה את השלב האחרון:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

הנה התשובה הסופית שלנו. ולמרות העובדה שבתהליך הפתרון היו לנו מקדמים עם פונקציה ריבועית, עם זאת, הם ביטלו זה את זה, מה שהופך את המשוואה ללינארית בדיוק, לא ריבועית.

משימה מס' 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

בוא נעשה את הצעד הראשון בזהירות: נכפיל כל אלמנט בסוגר הראשון בכל אלמנט בשני. בסך הכל, יש להשיג ארבעה מונחים חדשים לאחר טרנספורמציות:

ועכשיו בצע בזהירות את הכפל בכל איבר:

הבה נעביר את המונחים עם "x" שמאלה, ובלי - לימין:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

הנה מונחים דומים:

קיבלנו תשובה חד משמעית.

ניואנסים של הפתרון

ההערה החשובה ביותר לגבי שתי המשוואות הללו היא זו: ברגע שמתחילים להכפיל סוגריים שבהם יש יותר מאיבר, אז זה נעשה על פי הכלל הבא: לוקחים את האיבר הראשון מהראשון ומכפילים עם כל אלמנט מהשני; אז ניקח את האלמנט השני מהראשון ובאופן דומה נכפיל עם כל אלמנט מהשני. כתוצאה מכך, אנו מקבלים ארבע קדנציות.

על הסכום האלגברי

בדוגמה האחרונה, אני רוצה להזכיר לתלמידים מה זה סכום אלגברי. במתמטיקה הקלאסית, ב-$1-7$ אנו מתכוונים לבנייה פשוטה: אנו מפחיתים שבעה מאחד. באלגברה אנו מתכוונים בכך למספר הבא: למספר "אחד" נוסיף עוד מספר, כלומר "מינוס שבע". סכום אלגברי זה שונה מהסכום האריתמטי הרגיל.

ברגע שמבצעים את כל התמורות, כל חיבור וכפל, מתחילים לראות מבנים דומים לאלו שתוארו לעיל, פשוט לא יהיו לכם בעיות באלגברה בעבודה עם פולינומים ומשוואות.

לסיכום, בואו נסתכל על עוד כמה דוגמאות שיהיו מורכבות אפילו יותר מאלו שראינו זה עתה, וכדי לפתור אותן, נצטרך להרחיב מעט את האלגוריתם הסטנדרטי שלנו.

פתרון משוואות עם שבר

כדי לפתור משימות כאלה, יהיה צורך להוסיף עוד שלב אחד לאלגוריתם שלנו. אבל קודם כל אזכיר לאלגוריתם שלנו:

1. פתח סוגריים.
2. הפרד משתנים.
3. תביא דומה.
4. מחלקים בגורם.

אבוי, האלגוריתם הנפלא הזה, עם כל היעילות שלו, לא לגמרי מתאים כשיש לפנינו שברים. ובמה שנראה להלן, יש לנו שבר משמאל ומימין בשתי המשוואות.

איך עובדים במקרה זה? כן, זה מאוד פשוט! כדי לעשות זאת, אתה צריך להוסיף עוד שלב אחד לאלגוריתם, אותו ניתן לבצע הן לפני הפעולה הראשונה והן אחריה, כלומר להיפטר משברים. לפיכך, האלגוריתם יהיה כדלקמן:

1. היפטר משברים.
2. פתח סוגריים.
3. הפרד משתנים.
4. תביא דומה.
5. מחלקים בגורם.

מה זה אומר "להיפטר משברים"? ולמה אפשר לעשות זאת גם אחרי וגם לפני הצעד הסטנדרטי הראשון? למעשה, במקרה שלנו, כל השברים הם מספריים במונחים של המכנה, כלומר. בכל מקום המכנה הוא רק מספר. לכן, אם נכפיל את שני חלקי המשוואה במספר זה, נפטר משברים.

דוגמה מס' 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

בואו נפטר מהשברים במשוואה הזו:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2)))-1 \right)\cdot 4\]

שימו לב: הכל מוכפל ב"ארבע" פעם אחת, כלומר. זה שיש לך שני סוגריים לא אומר שאתה צריך להכפיל כל אחד מהם ב"ארבע". בוא נכתוב:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

עכשיו בואו נפתח את זה:

אנו מבצעים בידוד של משתנה:

אנו מבצעים הפחתת תנאים דומים:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

קיבלנו את הפתרון הסופי, אנחנו עוברים למשוואה השנייה.

דוגמה מס' 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

כאן אנו מבצעים את כל אותן הפעולות:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

הבעיה נפתרה.

זה, למעשה, כל מה שרציתי לספר היום.

נקודות מפתח

הממצאים העיקריים הם כדלקמן:

• הכר את האלגוריתם לפתרון משוואות ליניאריות.
• יכולת פתיחת סוגריים.
• אל תדאג אם יש לך פונקציות ריבועיות איפשהו, ככל הנראה, בתהליך של טרנספורמציות נוספות, הן יצטמצמו.
• השורשים במשוואות לינאריות, אפילו הפשוטות ביותר, הם משלושה סוגים: שורש אחד בודד, כל קו המספרים הוא שורש, אין שורשים כלל.

אני מקווה ששיעור זה יעזור לך לשלוט בנושא פשוט, אך חשוב מאוד להבנה נוספת של כל המתמטיקה. אם משהו לא ברור, כנסו לאתר, פתרו את הדוגמאות המוצגות שם. הישארו מעודכנים, יש עוד הרבה דברים מעניינים שמחכים לכם!

החלק הזה של המשוואה הוא הביטוי בסוגריים. כדי לפתוח סוגריים, הסתכלו על השלט שלפני הסוגריים. אם יש סימן פלוס, שום דבר לא ישתנה בעת הרחבת הסוגריים ברשומת הביטוי: פשוט הסר את הסוגריים. אם יש סימן מינוס, בעת פתיחת הסוגריים, יש צורך לשנות את כל הסימנים שנמצאים בתחילה בסוגריים להפוכים. לדוגמה, -(2x-3)=-2x+3.

הכפלת שני סוגריים.
אם המשוואה מכילה מכפלה של שני סוגריים, הרחב את הסוגריים לפי הכלל הסטנדרטי. כל איבר בסוגריים הראשון מוכפל עם כל איבר של הסוגרי השני. המספרים המתקבלים מסוכמים. במקרה זה, המכפלה של שני "פלוסים" או שני "מינוסים" נותנת למונח סימן "פלוס", ואם לגורמים יש סימנים שונים, אז הוא מקבל סימן "מינוס".
לשקול .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

על ידי הרחבת סוגריים, לפעמים העלאת ביטוי ל. יש לדעת בעל פה ולזכור את הנוסחאות לריבוע ולקוביה.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
ניתן לעשות נוסחאות להעלאת ביטוי גדול משלושה באמצעות המשולש של פסקל.

מקורות:

• נוסחת פתיחת סוגריים

בסוגריים פעולות מתמטיותעשוי להכיל משתנים וביטויים מעלות משתנותקשיים. כדי להכפיל ביטויים כאלה, יהיה צורך לחפש פתרון ב השקפה כללית, הרחבת הסוגריים ופשטת התוצאה. אם הסוגריים מכילים פעולות ללא משתנים, רק עם ערכים מספריים, אז אין צורך לפתוח את הסוגריים, שכן אם מחשב זמין למשתמש שלו, זמינים משאבי מחשוב משמעותיים מאוד - קל יותר להשתמש בהם מאשר לפשט את הביטוי.

הוראה

הכפל ברצף כל אחד (או מופחת) הכלול בסוגריים אחד בתוכן של כל הסוגריים האחרים אם ברצונך לקבל תוצאה כללית. לדוגמה, תנו לביטוי המקורי להיכתב כך: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). ואז כפל עוקב (כלומר, הרחבת הסוגריים) ייתן את התוצאה הבאה: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

פשט לאחר התוצאה על ידי קיצור ביטויים. לדוגמה, ניתן לפשט את הביטוי שהתקבל בשלב הקודם באופן הבא: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

השתמש במחשבון אם אתה צריך להכפיל x שווה ל-4.75, כלומר (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). כדי לחשב ערך זה, היכנסו לאתר מנוע החיפוש גוגל או Nigma והזן את הביטוי בשדה השאילתה בצורתו המקורית (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). גוגל תציג 82.265625 באופן מיידי ללא לחיצה על כפתור, בעוד Nigma צריכה לשלוח את הנתונים לשרת בלחיצת כפתור.

כעת נעבור רק לסוגריים פתיחה בביטויים בהם הביטוי בסוגריים מוכפל במספר או בביטוי. הבה ננסח את הכלל לפתיחת סוגריים שלפניהם סימן מינוס: הסוגריים יחד עם סימן המינוס מושמטים, והסימנים של כל האיברים בסוגריים מוחלפים בסוגריים מנוגדים.

סוג אחד של שינוי ביטוי הוא הרחבת סוגריים. מספרי, ביטויים מילולייםוביטויים עם משתנים מורכבים באמצעות סוגריים, שיכולים להצביע על סדר ביצוע הפעולות, להכיל מספר שלילי וכן הלאה. נניח שבביטויים שתוארו לעיל, במקום מספרים ומשתנים, יכולים להיות כל ביטוי.

ונשים לב לנקודה נוספת הנוגעת למוזרויות של כתיבת הפתרון בעת ​​פתיחת הסוגריים. בפסקה הקודמת עסקנו במה שנקרא הרחבת סוגריים. לשם כך, ישנם כללים לפתיחת סוגריים, אותם אנו בודקים כעת. כלל זה מוכתב על ידי העובדה שמקובל לכתוב מספרים חיוביים ללא סוגריים, סוגריים במקרה זה מיותרים. ניתן לכתוב את הביטוי (-3.7)-(-2)+4+(-9) ללא סוגריים כ-3.7+2+4-9.

לבסוף, החלק השלישי של הכלל נובע פשוט מהמוזרויות של הסימון מספרים שליליים, עומד בצד שמאל בביטוי (שהזכרנו בסעיף בסוגריים לכתיבת מספרים שליליים). אתה עלול להיתקל בביטויים המורכבים ממספר, סימני מינוס וזוגות מרובים של סוגריים. אם תרחיב את הסוגריים, תעבור מהפנים לחיצוניות, הפתרון יהיה: −(−((−(−(5)))))=−(−((−5))))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

איך פותחים סוגריים?

הנה הסבר: −(−2 x) הוא +2 x, ומכיוון שהביטוי הזה בא ראשון, אז ניתן לכתוב +2 x כ-2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x ו-(2 x y2:z)=−2 x y2:z. החלק הראשון של הכלל הכתוב לפתיחת סוגריים נובע ישירות מהכלל להכפלת מספרים שליליים. החלק השני שלו הוא תוצאה של הכלל להכפלת מספרים עם סימנים שונים. נעבור לדוגמאות של הרחבת סוגריים במוצרים ובמנות של שני מספרים עם סימנים שונים.

פתיחת סוגריים: כללים, דוגמאות, פתרונות.

הכלל הנ"ל לוקח בחשבון את כל שרשרת הפעולות הללו ומאיץ משמעותית את תהליך פתיחת הסוגריים. אותו כלל מאפשר לפתוח סוגריים בביטויים שהם מוצרים וביטויים פרטיים עם סימן מינוס שאינם סכומים והפרשים.

שקול דוגמאות ליישום כלל זה. אנו נותנים את הכלל המתאים. למעלה, כבר נתקלנו בביטויים של הצורה −(a) ו-(−a), אשר ללא סוגריים נכתבים כ-a ו-a, בהתאמה. לדוגמה, −(3)=3, ו. אלו מקרים מיוחדים של הכלל האמור. כעת שקול דוגמאות לסוגריים פתיחה כאשר סכומים או הפרשים מוקפים בהם. נציג דוגמאות לשימוש בכלל זה. סמן את הביטוי (b1+b2) כ-b, ולאחר מכן נשתמש בכלל להכפלת הסוגר בביטוי מהפסקה הקודמת, יש לנו (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

על ידי אינדוקציה, ניתן להרחיב הצהרה זו למספר שרירותי של מונחים בכל סוגר. נותר לפתוח את הסוגריים בביטוי המתקבל, באמצעות הכללים מהפסקאות הקודמות, כתוצאה מכך, נקבל 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

הכלל במתמטיקה הוא פתיחת סוגריים אם יש (+) ו-(-) מול הסוגריים, כלל הכרחי מאוד

ביטוי זה הוא מכפלה של שלושה גורמים (2+4), 3 ו-(5+7 8). יש לפתוח את הסוגריים ברצף. כעת אנו משתמשים בכלל להכפלת סוגר במספר, יש לנו ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). כוחות שהבסיסים שלהם הם כמה ביטויים הכתובים בסוגריים, עם אינדיקטורים טבעייםניתן לחשוב על תוצר של מספר סוגריים.

לדוגמה, בואו נשנה את הביטוי (a+b+c)2. ראשית, נכתוב אותו כמכפלה של שתי סוגריים (a + b + c) (a + b + c), כעת נכפיל את הסוגריים בסוגריים, נקבל a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

אנחנו גם אומרים שכדי להעלות את הסכומים וההפרשים של שני מספרים לחזקה טבעית, רצוי להשתמש בנוסחה הבינומית של ניוטון. לדוגמה, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. לא פחות נוח להחליף את החלוקה במכפלה, ולאחר מכן להשתמש בכלל המתאים לפתיחת סוגריים במוצר.

נותר להבין את סדר הפתיחה של סוגריים באמצעות דוגמאות. קח את הביטוי (-5)+3 (-2):(-4)-6 (-7). החליפו את התוצאות הללו בביטוי המקורי: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . נותר רק להשלים את פתיחת הסוגריים, כתוצאה מכך יש לנו −5+3 2:4+6 7. המשמעות היא שבעוברים מצד שמאל של השוויון לצד ימין נפתחו הסוגריים.

שימו לב שבכל שלוש הדוגמאות, פשוט הסרנו את הסוגריים. ראשית, הוסיפו 445 ל-889. ניתן לבצע את הפעולה המנטאלית הזו, אך היא לא קלה במיוחד. בואו נפתח את הסוגריים ונראה שסדר הפעולות שהשתנה יפשט מאוד את החישובים.

איך פותחים סוגריים בדרגה אחרת

דוגמה וכלל להמחשה. שקול דוגמה: . אתה יכול למצוא את הערך של הביטוי על ידי הוספת 2 ו-5, ולאחר מכן לקחת את המספר המתקבל עם הסימן ההפוך. הכלל לא משתנה אם אין שניים, אלא שלושה איברים או יותר בסוגריים. תגובה. סימנים הפוכים רק מול המונחים. על מנת לפתוח את הסוגריים, במקרה זה, עלינו לזכור את הרכוש החלוקתי.

מספרים בודדים בסוגריים

הטעות שלך היא לא בסימנים, אלא בעבודה לא נכונה עם שברים? בכיתה ו' התוודענו למספרים חיוביים ושליליים. כיצד נפתור דוגמאות ומשוואות?

כמה זה בסוגריים? מה ניתן לומר על ביטויים אלו? כמובן שהתוצאה של הדוגמה הראשונה והשנייה זהה, אז אפשר לשים ביניהן סימן שוויון: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. אז מה עשינו עם הסוגריים?

הדגמה של שקופית 6 עם הכללים לפתיחת סוגריים. לפיכך, הכללים לפתיחת סוגריים יעזרו לנו לפתור דוגמאות, לפשט ביטויים. לאחר מכן, התלמידים מוזמנים לעבוד בזוגות: יש צורך לחבר את הביטוי המכיל סוגריים עם הביטוי המתאים ללא סוגריים עם חיצים.

שקופית 11 פעם אחת בעיר השמש, זנייקה ודנו התווכחו מי מהם פתר את המשוואה בצורה נכונה. לאחר מכן, התלמידים פותרים את המשוואה באופן עצמאי, תוך יישום הכללים לפתיחת סוגריים. פתרון משוואות "מטרות השיעור: חינוכיות (תיקון ZUNs על הנושא:" פתיחת סוגריים.

נושא השיעור: "פתיחת סוגריים. במקרה זה, עליך להכפיל כל איבר מהסוגריים הראשונים עם כל איבר מהסוגריים השניים ולאחר מכן להוסיף את התוצאות. ראשית, לוקחים את שני הגורמים הראשונים, סגורים בסוגריים אחד נוסף, ובתוך סוגריים אלה, הסוגריים נפתחים לפי אחד הכללים הידועים כבר.

rawalan.freezeet.ru

פתיחת סוגריים: כללים ודוגמאות (כיתה ז')

התפקיד העיקרי של סוגריים הוא לשנות את סדר הפעולות בעת חישוב ערכים ביטויים מספריים . לדוגמה, בביטוי המספרי \(5 3+7\) תחושב תחילה הכפל, ולאחר מכן החיבור: \(5 3+7 =15+7=22\). אבל בביטוי \(5·(3+7)\), תחושב תחילה חיבור בסוגריים, ורק לאחר מכן כפל: \(5·(3+7)=5·10=50\).

עם זאת, אם אנו עוסקים ביטוי אלגברי מֵכִיל מִשְׁתַנֶה- למשל, כך: \ (2 (x-3) \) - אז אי אפשר לחשב את הערך בסוגריים, המשתנה מפריע. לכן, במקרה זה, הסוגריים "נפתחים", תוך שימוש בכללים המתאימים לכך.

כללי הרחבת סוגריים

אם יש סימן פלוס לפני הסוגר, אז הסוגר פשוט מוסר, הביטוי בו נשאר ללא שינוי. במילים אחרות:

כאן צריך להבהיר שבמתמטיקה, כדי לצמצם ערכים, נהוג לא לכתוב את סימן הפלוס אם הוא הראשון בביטוי. לדוגמה, אם נוסיף שני מספרים חיוביים, למשל, שבע ושלוש, נכתוב לא \(+7+3\), אלא פשוט \(7+3\), למרות העובדה ששבע הוא גם מספר חיובי . באופן דומה, אם אתה רואה, למשל, את הביטוי \((5+x)\) - דע את זה יש פלוס לפני הסוגר, שאינו כתוב.

דוגמא . פתח את הסוגר ותן מונחים דומים: \((x-11)+(2+3x)\).
פִּתָרוֹן : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

אם יש סימן מינוס לפני הסוגר, אז כאשר מסירים את הסוגר, כל איבר בביטוי שבתוכו משנה סימן להפך:

כאן צריך להבהיר של-a, בזמן שהוא היה בסוגריים, היה סימן פלוס (פשוט לא כתבו אותו), ולאחר הסרת הסוגר, הפלוס הזה השתנה למינוס.

דוגמא : פשט את הביטוי \(2x-(-7+x)\).
פִּתָרוֹן : יש שני איברים בתוך הסוגר: \(-7\) ו-\(x\), ויש מינוס לפני הסוגר. זה אומר שהסימנים ישתנו - והשבעה יהיו כעת עם פלוס, וה-x עם מינוס. לפתוח את התושבת ו להביא מונחים דומים .

דוגמא. הרחב את הסוגר ותן מונחים דומים \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
פִּתָרוֹן : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

אם יש גורם לפני הסוגר, אז כל איבר בסוגר מוכפל בו, כלומר:

דוגמא. הרחב את הסוגריים \(5(3-x)\).
פִּתָרוֹן : יש לנו \(3\) ו-\(-x\) בסוגריים, וחמישייה לפני הסוגריים. זה אומר שכל איבר בסוגריים מוכפל ב-\ (5 \) - אני מזכיר לכם את זה סימן הכפל בין מספר לסוגריים במתמטיקה לא נכתב כדי להקטין את גודל הרשומות.

דוגמא. הרחב את הסוגריים \(-2(-3x+5)\).
פִּתָרוֹן : כמו בדוגמה הקודמת, המוכפלים בסוגריים \(-3x\) ו-\(5\) ב-\(-2\).

נותר לשקול את המצב האחרון.

כאשר מכפילים סוגריים בסוגריים, כל איבר של הסוגרי הראשון מוכפל עם כל איבר של השני:

דוגמא. הרחב את הסוגריים \((2-x)(3x-1)\).
פִּתָרוֹן : יש לנו תוצר של סוגריים וניתן לפתוח אותו מיד באמצעות הנוסחה שלמעלה. אבל כדי לא להתבלבל, בואו נעשה הכל צעד אחר צעד.
שלב 1. אנו מסירים את הסוגר הראשון - כל אחד מהאיברים שלו מוכפל בסוגר השני:

שלב 2. הרחב את המוצרים של התושבת לפי הגורם כמתואר לעיל:
- הראשון ראשון...

שלב 3. כעת נכפיל ונביא מונחים דומים:

אין צורך לצייר את כל התמורות בפירוט, אתה יכול מיד להכפיל. אבל אם אתה רק לומד לפתוח סוגריים - כתוב בפירוט, יהיה פחות סיכוי לטעות.

הערה לכל הסעיף.למעשה, אתה לא צריך לזכור את כל ארבעת הכללים, אתה צריך לזכור רק אחד, זה: \(c(a-b)=ca-cb\) . למה? כי אם נחליף אחד במקום c, נקבל את הכלל \((a-b)=a-b\) . ואם נחליף מינוס אחד, נקבל את הכלל \(-(a-b)=-a+b\) . ובכן, אם תחליף סוגר אחר במקום c, אתה יכול לקבל את הכלל האחרון.

סוגריים בתוך סוגריים

לפעמים בפועל יש בעיות עם סוגריים המקוננים בתוך סוגריים אחרים. הנה דוגמה למשימה כזו: לפשט את הביטוי \(7x+2(5-(3x+y))\).

כדי להצליח במשימות אלו, עליך:
- להבין היטב את קינון הסוגריים - איזה מהם נמצא;
- פתח את הסוגריים ברצף, החל, למשל, מהפנימי ביותר.

זה חשוב בעת פתיחת אחד מהסוגריים אל תיגע בשאר הביטוי, פשוט לשכתב אותו כפי שהוא.
ניקח את המשימה למעלה כדוגמה.

דוגמא. פתח את הסוגריים ותן מונחים דומים \(7x+2(5-(3x+y))\).
פִּתָרוֹן:

נתחיל את המשימה בפתיחת התושבת הפנימית (זו שבתוכה). כשפותחים אותו, אנחנו עוסקים רק בעובדה שהוא קשור אליו ישירות - זוהי התושבת עצמה והמינוס שלפניה (מודגש בירוק). כל השאר (לא נבחר) נכתב מחדש כפי שהיה.

פתרון בעיות במתמטיקה באינטרנט

מחשבון מקוון.
פישוט פולינומי.
כפל פולינומים.

עם תוכנית מתמטיקה זו, אתה יכול לפשט פולינום.
בזמן שהתוכנית פועלת:
- מכפיל פולינומים
- מסכם מונומיאלים (נותן כאלה כמו)
- פותח סוגריים
- מעלה פולינום לחזקה

תוכנית פישוט הפולינום לא רק נותנת את התשובה לבעיה, היא נותנת פתרון מפורט עם הסברים, כלומר. מציג את תהליך הפתרון כך שתוכל לבדוק את הידע שלך במתמטיקה ו/או אלגברה.

תוכנית זו עשויה להיות שימושית עבור תלמידים בתי ספר לחינוך כללילקראת עבודת בקרהובחינות, כאשר בודקים ידע לפני הבחינה, ההורים לשלוט בפתרון בעיות רבות במתמטיקה ובאלגברה. או שאולי זה יקר מדי בשבילך לשכור מורה או לקנות ספרי לימוד חדשים? או שאתה פשוט רוצה לעשות את שיעורי הבית שלך במתמטיקה או אלגברה כמה שיותר מהר? במקרה זה, תוכל גם להשתמש בתוכנות שלנו עם פתרון מפורט.

בדרך זו, אתה יכול לערוך אימון משלך ו/או להכשיר את שלך אחים צעירים יותראו אחיות, בעוד שרמת ההשכלה בתחום המשימות הנפתרות עולה.

כי יש הרבה אנשים שרוצים לפתור את הבעיה, הבקשה שלך עומדת בתור.
לאחר מספר שניות, הפתרון יופיע למטה.
אנא המתן שניה.

קצת תיאוריה.

המכפלה של מונום ופולינום. הרעיון של פולינום

בין הביטויים השונים הנחשבים באלגברה, מקום חשובהם סכומים של מונומיאלים. להלן דוגמאות לביטויים כאלה:

סכום המונוומים נקרא פולינום. המונחים בפולינום נקראים איברים של הפולינום. מונונומים מכונים גם פולינומים, בהתחשב במונום כפולינום המורכב מאיבר אחד.

אנו מייצגים את כל המונחים כמונומיות של הטופס הסטנדרטי:

אנו נותנים מונחים דומים בפולינום המתקבל:

התוצאה היא פולינום, שכל איבריו הם מונומיאלים מהצורה הסטנדרטית, וביניהם אין דומים. פולינומים כאלה נקראים פולינומים של צורה סטנדרטית.

מֵאָחוֹר תואר פולינוםטופס סטנדרטי לוקח את הסמכויות הגדולות ביותר של חבריה. אז, לבינומיאל יש מדרגה שלישית, ולטרינום יש שנייה.

בדרך כלל, המונחים של פולינומים בצורה סטנדרטית המכילים משתנה אחד מסודרים בסדר יורד של המעריכים שלו. לדוגמה:

ניתן להמיר (לפשט) את הסכום של מספר פולינומים לפולינום בצורה סטנדרטית.

לפעמים יש לחלק את איברי הפולינום לקבוצות, ולכלול כל קבוצה בסוגריים. מכיוון שסוגריים הם ההפך מסוגריים, קל לנסח אותו חוקי פתיחת סוגריים:

אם הסימן + ממוקם לפני הסוגריים, אז המונחים המוקפים בסוגריים נכתבים באותם סימנים.

אם מוצב סימן "-" לפני הסוגריים, אז המונחים המוקפים בסוגריים נכתבים בסימנים מנוגדים.

טרנספורמציה (פישוט) של המכפלה של מונום ופולינום

באמצעות התכונה החלוקתית של הכפל, ניתן להפוך (לפשט) את המכפלה של מונום ופולינום לפולינום. לדוגמה:

המכפלה של מונום ופולינום שווה באופן זהה לסכום המכפלות של מונום זה ושל כל אחד מהאיברים של הפולינום.

תוצאה זו מנוסחת בדרך כלל ככלל.

כדי להכפיל מונום בפולינום, יש להכפיל את המונום הזה בכל אחד מהאיברים של הפולינום.

השתמשנו שוב ושוב בכלל זה להכפלה בסכום.

מכפלה של פולינומים. טרנספורמציה (פישוט) של המכפלה של שני פולינומים

באופן כללי, המכפלה של שני פולינומים שווה באופן זהה לסכום המכפלה של כל איבר של פולינום אחד ושל כל איבר של השני.

בדרך כלל השתמש בכלל הבא.

כדי להכפיל פולינום בפולינום, עליך להכפיל כל איבר של פולינום אחד בכל איבר של השני ולהוסיף את התוצרים המתקבלים.

נוסחאות כפל מקוצרת. ריבועי סכום, הפרש והפרש

יש לטפל בביטויים מסוימים בטרנספורמציות אלגבריות לעתים קרובות יותר מאחרים. אולי הביטויים הנפוצים ביותר הם, כלומר ריבוע הסכום, ריבוע ההפרש והפרש הריבועים. שמתם לב שהשמות של הביטויים האלה נראים לא שלמים, אז, למשל, - זה כמובן לא רק ריבוע הסכום, אלא ריבוע הסכום של a ו-b. עם זאת, הריבוע של הסכום של a ו-b אינו נפוץ כל כך, ככלל, במקום האותיות a ו-b, הוא מכיל ביטויים שונים, לעתים מורכבים למדי.

קל להמיר (לפשט) ביטויים לפולינומים מהצורה הסטנדרטית, למעשה, כבר נתקלת במשימה כזו בעת הכפלת פולינומים:

הזהויות המתקבלות שימושיות לזכור וליישם ללא חישובי ביניים. ניסוחים מילוליים קצרים עוזרים לכך.

הוא ריבוע הסכום שווה לסכוםריבועים ומוצר כפול.

- ריבוע ההפרש שווה לסכום הריבועים ללא המכפלה הכפולה.

- הפרש הריבועים שווה למכפלת ההפרש בסכום.

שלוש הזהויות הללו מאפשרות בטרנספורמציות להחליף את חלקיהן השמאליים בימניים ולהיפך – חלקים ימניים בשמאליים. הדבר הקשה ביותר במקרה זה הוא לראות את הביטויים התואמים ולהבין מה משתנים a ו-b מוחלפים בהם. בואו נסתכל על כמה דוגמאות לשימוש בנוסחאות כפל מקוצר.

ספרים (ספרי לימוד) תקצירים של בחינת המדינה המאוחדת ומבחני OGE משחקים מקוונים, חידות גרף של פונקציות מילון אורתוגרפי של השפה הרוסית מילון סלנג לנוער מדריך של בתי ספר רוסים מדריך של בתי ספר תיכוניים ברוסיה קטלוג אוניברסיטאות ברוסיה רשימת משימות מציאת GCD ו-LCM שברים מספרייםפתרון בעיות עבור אחוזים מספרים מורכבים: סכום, הפרש, מכפלה ומנה מערכות של 2 משוואות ליניאריות עם שני משתנים פתרון משוואה ריבועיתבחירת ריבוע של בינומי ופיריזציה של טרינום ריבועי פתרון אי שוויון פתרון מערכות אי שוויון שרטוט גרף פונקציה ריבועיתשרטוט פונקציה ליניארית-שברית פתרון אריתמטי ו התקדמות גיאומטריתפתרון טריגונומטרי, אקספוננציאלי, משוואות לוגריתמיותחישוב גבולות, נגזרת, משיק אינטגרל, אנטי נגזרת פתרון משולשים חישוב פעולות עם וקטורים חישוב פעולות עם קווים ומישורים שטח צורות גיאומטריות היקף צורות גיאומטריות נפח של גופים גיאומטריים שטח פנים של גופים גיאומטריים
בונה מצבי תנועה
מזג אוויר - חדשות - הורוסקופים

www.mathsolution.ru

הרחבת סוגר

אנו ממשיכים ללמוד את יסודות האלגברה. בשיעור זה נלמד כיצד לפתוח סוגריים בביטויים. להרחיב סוגריים פירושו להיפטר מהביטוי של סוגריים אלה.

כדי לפתוח סוגריים, אתה צריך ללמוד בעל פה רק שני כללים. עם תרגול קבוע, אתה יכול לפתוח סוגריים עם עיניים עצומות, והכללים האלה שצריך לשנן יכולים להישכח בבטחה.

הכלל הראשון של הרחבת סוגריים

שקול את הביטוי הבא:

הערך של ביטוי זה הוא 2 . בואו נפתח את הסוגריים בביטוי הזה. להרחיב סוגריים פירושו להיפטר מהם מבלי להשפיע על משמעות הביטוי. כלומר, לאחר שנפטרים מהסוגריים, ערך הביטוי 8+(−9+3) עדיין צריך להיות שווה לשניים.

כלל הרחבת הסוגריים הראשון נראה כך:

בפתיחת סוגריים, אם יש פלוס לפני הסוגריים, אז הפלוס הזה מושמט יחד עם הסוגריים.

אז אנחנו רואים את זה בביטוי 8+(−9+3) יש פלוס מול הסוגריים. יש להשמיט את הפלוס הזה יחד עם הסוגריים. במילים אחרות, הסוגריים ייעלמו יחד עם הפלוס שעמד מולם. ומה שהיה בסוגריים ייכתב ללא שינוי:

8−9+3 . ביטוי זה שווה ל 2 , כמו הביטוי הקודם בסוגריים היה שווה ל 2 .

8+(−9+3) ו 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

דוגמה 2הרחב סוגריים בביטוי 3 + (−1 − 4)

יש פלוס לפני הסוגריים, אז הפלוס הזה מושמט יחד עם הסוגריים. מה שהיה בסוגריים יישאר ללא שינוי:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

דוגמה 3הרחב סוגריים בביטוי 2 + (−1)

בדוגמה זו, הרחבת סוגריים הפכה למעין פעולה הפוכה של החלפת חיסור בחיבור. מה זה אומר?

בביטוי 2−1 מתרחשת חיסור, אך ניתן להחליפו בחיבור. ואז אתה מקבל את הביטוי 2+(−1) . אבל אם בביטוי 2+(−1) פתח את הסוגריים, אתה מקבל את המקור 2−1 .

לכן, ניתן להשתמש בכלל ההרחבה בסוגריים הראשונים כדי לפשט ביטויים לאחר כמה טרנספורמציות. כלומר, להיפטר מסוגריים ולהקל עליו.

לדוגמה, בואו נפשט את הביטוי 2a+a−5b+b .

כדי לפשט את הביטוי הזה, אנחנו יכולים להוסיף מונחים דומים. זכור שכדי לצמצם מונחים דומים, עליך להוסיף את המקדמים של מונחים דומים ולהכפיל את התוצאה בחלק האותיות המשותפת:

יש הבעה 3a+(-4b). בביטוי זה, פתח את הסוגריים. יש פלוס לפני הסוגריים, אז אנחנו משתמשים בכלל הראשון לפתיחת סוגריים, כלומר אנחנו משמיטים את הסוגריים יחד עם הפלוס שמגיע לפני הסוגריים האלה:

אז הביטוי 2a+a−5b+bמפושט ל 3a-4b .

לאחר פתיחת סוגריים אחד, אחרים עשויים להיפגש בדרך. אנו מיישמים עליהם את אותם כללים כמו על הראשון. לדוגמה, בואו נרחיב את הסוגריים בביטוי הבא:

ישנם שני מקומות שבהם אתה צריך להרחיב את הסוגריים. במקרה זה, הכלל הראשון להרחבת סוגריים חל, כלומר השמטת הסוגריים יחד עם הפלוס שבא לפני סוגריים אלה:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

דוגמה 3הרחב סוגריים בביטוי 6+(−3)+(−2)

בשני המקומות שבהם יש סוגריים, מקדים אותם סימן פלוס. גם כאן, כלל הרחבת הסוגריים הראשון חל:

לפעמים המונח הראשון בסוגריים כתוב ללא סימן. למשל, בביטוי 1+(2+3−4) קדנציה ראשונה בסוגריים 2 כתוב ללא סימן. נשאלת השאלה, איזה סימן יבוא לפני הצמד לאחר השמטת הסוגריים והפלוס שלפני הסוגריים? התשובה מציעה את עצמה - יהיה פלוס מול הצמד.

למעשה, גם בהיותו בסוגריים, יש פלוס מול הצמד, אבל אנחנו לא רואים אותו בגלל העובדה שהוא לא כתוב. כבר אמרנו שהסימון המלא של מספרים חיוביים נראה כך +1, +2, +3. אבל הפלוסים לא נרשמים באופן מסורתי, ולכן אנו רואים את המספרים החיוביים המוכרים לנו. 1, 2, 3 .

לכן, לפתוח סוגריים בביטוי 1+(2+3−4) , עליך להשמיט את הסוגריים כרגיל יחד עם הפלוס לפני סוגריים אלה, אך כתוב את המונח הראשון שהיה בסוגריים עם סימן פלוס:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

דוגמה 4הרחב סוגריים בביטוי −5 + (2 − 3)

יש פלוס לפני הסוגריים, אז אנחנו מיישמים את הכלל הראשון לפתיחת סוגריים, כלומר, אנחנו משמיטים את הסוגריים יחד עם הפלוס שמגיע לפני סוגריים אלה. אבל המונח הראשון, שנכתב בסוגריים עם סימן פלוס:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

דוגמה 5הרחב סוגריים בביטוי (−5)

יש פלוס לפני הסוגריים, אבל הוא לא נכתב בגלל העובדה שלא היו מספרים או ביטויים אחרים לפניו. המשימה שלנו היא להסיר את הסוגריים על ידי יישום הכלל הראשון להרחבת סוגריים, כלומר השמטת הסוגריים יחד עם הפלוס הזה (גם אם הוא בלתי נראה)

דוגמה 6הרחב סוגריים בביטוי 2a + (-6a + b)

יש פלוס לפני הסוגריים, אז הפלוס הזה מושמט יחד עם הסוגריים. מה שהיה בסוגריים ייכתב ללא שינוי:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

דוגמה 7הרחב סוגריים בביטוי 5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d)

בביטוי זה, יש שני מקומות שבהם אתה צריך לפתוח את הסוגריים. בשני הסעיפים יש פלוס לפני הסוגריים, כלומר הפלוס הזה מושמט יחד עם הסוגריים. מה שהיה בסוגריים ייכתב ללא שינוי:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

הכלל השני לפתיחת סוגריים

כעת נסתכל על כלל הרחבת הסוגריים השני. הוא משמש כאשר יש מינוס לפני הסוגריים.

אם יש מינוס לפני הסוגריים, אז המינוס הזה מושמט יחד עם הסוגריים, אבל המונחים שהיו בסוגריים משנים את הסימן שלהם להיפך.

לדוגמה, בואו נרחיב את הסוגריים בביטוי הבא

אנו רואים שיש מינוס לפני הסוגריים. אז אתה צריך ליישם את כלל ההרחבה השני, כלומר, להשמיט את הסוגריים יחד עם המינוס שלפני הסוגריים האלה. במקרה זה, המונחים שהיו בסוגריים ישנו את הסימן שלהם להיפך:

קיבלנו הבעה ללא סוגריים 5+2+3 . ביטוי זה שווה ל-10, בדיוק כמו שהביטוי הקודם עם סוגריים היה שווה ל-10.

כך, בין ביטויים 5−(−2−3) ו 5+2+3 אתה יכול לשים סימן שווה, מכיוון שהם שווים לאותו ערך:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

דוגמה 2הרחב סוגריים בביטוי 6 − (−2 − 5)

יש מינוס לפני הסוגריים, אז אנחנו מיישמים את הכלל השני לפתיחת סוגריים, כלומר, אנחנו משמיטים את הסוגריים יחד עם המינוס שמגיע לפני סוגריים אלה. במקרה זה, המונחים שהיו בסוגריים כתובים בסימנים הפוכים:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

דוגמה 3הרחב סוגריים בביטוי 2 − (7 + 3)

יש מינוס לפני הסוגריים, אז אנו מיישמים את הכלל השני לפתיחת סוגריים:

דוגמה 4הרחב סוגריים בביטוי −(−3 + 4)

דוגמה 5הרחב סוגריים בביטוי −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

ישנם שני מקומות שבהם אתה צריך להרחיב את הסוגריים. במקרה הראשון, אתה צריך ליישם את הכלל השני לפתיחת סוגריים, וכאשר התור מגיע לביטוי +(−9−2) אתה צריך ליישם את הכלל הראשון:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

דוגמה 6הרחב סוגריים בביטוי −(−a−1)

דוגמה 7הרחב סוגריים בביטוי −(4a + 3)

דוגמה 8הרחב סוגריים בביטוי א −(4b + 3) + 15

דוגמה 9הרחב סוגריים בביטוי 2א + (3b - b) - (3c + 5)

ישנם שני מקומות שבהם אתה צריך להרחיב את הסוגריים. במקרה הראשון, אתה צריך ליישם את הכלל הראשון להרחבת סוגריים, וכאשר התור מגיע לביטוי −(3c+5)אתה צריך ליישם את הכלל השני:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

דוגמה 10הרחב סוגריים בביטוי -א − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

ישנם שלושה מקומות שבהם אתה צריך להרחיב את הסוגריים. ראשית עליך ליישם את הכלל השני להרחבת סוגריים, לאחר מכן את הראשון, ואז שוב את השני:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

מנגנון הרחבת סוגריים

הכללים לפתיחת סוגריים, שעליהם שקלנו כעת, מבוססים על החוק החלוקתי של הכפל:

למעשה סוגרי פתיחהקרא את ההליך כאשר הגורם המשותף מוכפל בכל איבר בסוגריים. כתוצאה מכפל כזה, הסוגריים נעלמים. לדוגמה, בואו נרחיב את הסוגריים בביטוי 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

לכן, אם אתה צריך להכפיל מספר בביטוי בסוגריים (או להכפיל ביטוי בסוגריים במספר), אתה צריך לומר לפתוח את הסוגריים.

אבל איך חוק הכפל החלוקתי קשור לכללי הפתיחה של סוגריים ששקלנו קודם?

העובדה היא שלפני כל סוגריים יש גורם משותף. בדוגמה 3×(4+5)הגורם המשותף הוא 3 . ובדוגמה a(b+c)גורם משותף הוא משתנה א.

אם אין מספרים או משתנים לפני הסוגריים, הגורם המשותף הוא 1 אוֹ −1 , תלוי איזה תו מגיע לפני הסוגריים. אם יש פלוס מול הסוגריים, אז הגורם המשותף הוא 1 . אם יש מינוס לפני הסוגריים, אז הגורם המשותף הוא −1 .

לדוגמה, בואו נרחיב את הסוגריים בביטוי −(3b−1). יש מינוס לפני הסוגריים, אז אתה צריך להשתמש בכלל השני לפתיחת סוגריים, כלומר, להשמיט את הסוגריים יחד עם המינוס לפני הסוגריים. והביטוי שהיה בסוגריים, כתוב בסימנים הפוכים:

הרחבנו את הסוגריים באמצעות כלל הרחבת הסוגריים. אבל ניתן לפתוח את אותן סוגריים באמצעות החוק החלוקתי של הכפל. לשם כך, נכתוב תחילה את הגורם המשותף 1 לפני הסוגריים, שלא נכתב:

המינוס שעמד בעבר מול הסוגריים התייחס ליחידה זו. כעת ניתן לפתוח את הסוגריים על ידי יישום חוק הכפל החלוקתי. בשביל זה, הגורם המשותף −1 עליך להכפיל בכל איבר בסוגריים ולהוסיף את התוצאות.

מטעמי נוחות, אנו מחליפים את ההפרש בסוגריים בסכום:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

כמו בפעם הקודמת, קיבלנו את הביטוי −3b+1. כולם יסכימו שהפעם הושקע יותר זמן בפתרון דוגמה פשוטה כל כך. לכן, סביר יותר להשתמש בכללים המוכנים לפתיחת סוגריים, עליהם שקלנו בשיעור זה:

אבל זה לא מזיק לדעת איך הכללים האלה עובדים.

בשיעור זה, למדנו עוד שינוי זהה. יחד עם פתיחת הסוגריים, הוצאת הגנרל מהסוגריים והבאת מונחים דומים, אפשר להרחיב מעט את מגוון המשימות לפתרון. לדוגמה:

כאן אתה צריך לבצע שתי פעולות - ראשית לפתוח את הסוגריים, ולאחר מכן להביא מונחי לייק. אז לפי הסדר:

1) הרחב את הסוגריים:

2) אנו נותנים תנאים דומים:

בביטוי המתקבל −10b+(−1)אתה יכול לפתוח את הסוגריים:

דוגמה 2פתחו סוגריים והוסיפו מונחים דומים בביטוי הבא:

1) הרחב את הסוגריים:

2) אנו מציגים מונחים דומים.הפעם, כדי לחסוך זמן ומקום, לא נכתוב כיצד מכפילים את המקדמים בחלק האות המשותפת

דוגמה 3פשט את הביטוי 8 מ'+3 מ'ולמצוא את ערכו ב m=−4

1) בואו נפשט את הביטוי תחילה. כדי לפשט את הביטוי 8 מ'+3 מ', אתה יכול להוציא את הגורם המשותף בו Mעבור סוגריים:

2) מצא את הערך של הביטוי m(8+3)בְּ- m=−4. בשביל זה, בביטוי m(8+3)במקום משתנה Mלהחליף את המספר −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

התפקיד העיקרי של סוגריים הוא לשנות את סדר הפעולות בעת חישוב ערכים. לדוגמה, בביטוי המספרי \(5 3+7\) תחושב תחילה הכפל, ולאחר מכן החיבור: \(5 3+7 =15+7=22\). אבל בביטוי \(5·(3+7)\), תחושב תחילה חיבור בסוגריים, ורק לאחר מכן כפל: \(5·(3+7)=5·10=50\).

דוגמא. הרחב את הסוגר: \(-(4m+3)\).
פִּתָרוֹן : \(-(4m+3)=-4m-3\).

דוגמא. הרחב את הסוגר ותן מונחים דומים \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
פִּתָרוֹן : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

דוגמא. הרחב את הסוגריים \(5(3-x)\).
פִּתָרוֹן : יש לנו \(3\) ו-\(-x\) בסוגריים, וחמישה לפני הסוגר. זה אומר שכל איבר בסוגריים מוכפל ב-\ (5 \) - אני מזכיר לכם את זה סימן הכפל בין מספר לסוגריים במתמטיקה לא נכתב כדי להקטין את גודל הרשומות.

דוגמא. הרחב את הסוגריים \(-2(-3x+5)\).
פִּתָרוֹן : כמו בדוגמה הקודמת, המוכפלים בסוגריים \(-3x\) ו-\(5\) ב-\(-2\).

דוגמא. פשט את הביטוי: \(5(x+y)-2(x-y)\).
פִּתָרוֹן : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

נותר לשקול את המצב האחרון.

כאשר מכפילים סוגריים בסוגריים, כל איבר של הסוגרי הראשון מוכפל עם כל איבר של השני:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

דוגמא. הרחב את הסוגריים \((2-x)(3x-1)\).
פִּתָרוֹן : יש לנו תוצר של סוגריים וניתן לפתוח אותו מיד באמצעות הנוסחה שלמעלה. אבל כדי לא להתבלבל, בואו נעשה הכל צעד אחר צעד.
שלב 1. הסר את הסוגר הראשון - כל אחד מהאיברים שלו מוכפל בסוגר השני:

שלב 2. הרחב את המוצרים של התושבת לפי הגורם כמתואר לעיל:
- הראשון ראשון...

ואז השני.

שלב 3. כעת נכפיל ונביא מונחים דומים:

אין צורך לצייר את כל התמורות בפירוט, אתה יכול מיד להכפיל. אבל אם אתה רק לומד לפתוח סוגריים - כתוב בפירוט, יהיה פחות סיכוי לטעות.

הערה לכל הסעיף.למעשה, אתה לא צריך לזכור את כל ארבעת הכללים, אתה צריך לזכור רק אחד, זה: \(c(a-b)=ca-cb\) . למה? כי אם נחליף אחד במקום c, נקבל את הכלל \((a-b)=a-b\) . ואם נחליף מינוס אחד, נקבל את הכלל \(-(a-b)=-a+b\) . ובכן, אם תחליף סוגר אחר במקום c, אתה יכול לקבל את הכלל האחרון.

סוגריים בתוך סוגריים

לפעמים בפועל יש בעיות עם סוגריים המקוננים בתוך סוגריים אחרים. הנה דוגמה למשימה כזו: לפשט את הביטוי \(7x+2(5-(3x+y))\).

כדי להצליח במשימות אלו, עליך:
- להבין היטב את קינון הסוגריים - איזה מהם נמצא;
- פתח את הסוגריים ברצף, החל, למשל, מהפנימי ביותר.

זה חשוב בעת פתיחת אחד מהסוגריים אל תיגע בשאר הביטוי, פשוט לשכתב אותו כפי שהוא.
ניקח את המשימה למעלה כדוגמה.

דוגמא. פתח את הסוגריים ותן מונחים דומים \(7x+2(5-(3x+y))\).
פִּתָרוֹן:

דוגמא. הרחב את הסוגריים ותן מונחים דומים \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
פִּתָרוֹן :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		זהו קינון משולש של סוגריים. אנחנו מתחילים עם הפנימי ביותר (מודגש בירוק). יש פלוס לפני הסוגריים, אז זה פשוט מוסר.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		עכשיו אתה צריך לפתוח את הסוגר השני, ביניים. אבל לפני כן, נפשט את הביטוי על ידי הצגת מונחים דומים בסוגר השני הזה.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		כעת אנו פותחים את הסוגר השני (מסומן בכחול). יש מכפיל מול הסוגריים - כך שכל איבר בסוגריים מוכפל בו.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		ופתח את הסוגריים האחרונים. לפני הסוגר מינוס - אז כל הסימנים הפוכים.

פתיחת סוגריים היא מיומנות בסיסית במתמטיקה. ללא מיומנות זו, אי אפשר לקבל ציון מעל שלוש בכיתות ח' ו-ט'. לכן, אני ממליץ על הבנה טובה של נושא זה.

ניתן לכתוב A + (b + c) ללא סוגריים: a + (b + c) \u003d a + b + c. פעולה זו נקראת הרחבת סוגריים.

דוגמה 1נפתח את הסוגריים בביטוי a + (- b + c).

פִּתָרוֹן. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.

אם יש סימן "+" לפני הסוגריים, אז אתה יכול להשמיט את הסוגריים ואת הסימן "+" הזה, תוך שמירה על סימני המונחים בסוגריים. אם האיבר הראשון בסוגריים כתוב ללא סימן, יש לכתוב אותו בסימן "+".

דוגמה 2בוא נמצא את הערך של הביטוי -2.87+ (2.87-7.639).

פִּתָרוֹן.פתיחת הסוגריים, נקבל - 2.87 + (2.87 - 7.639) \u003d - - 2.87 + 2.87 - 7.639 \u003d 0 - 7.639 \u003d - 7.639.

כדי למצוא את הערך של הביטוי - (- 9 + 5), עליך להוסיף מספרים-9 ו-5 ומצא את המספר המנוגד לסכום שהתקבל: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

ניתן לקבל את אותו ערך בצורה שונה: תחילה רשום את המספרים הפוכים למונחים אלה (כלומר שנה את הסימנים שלהם), ולאחר מכן הוסף: 9 + (- 5) = 4. כך, - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

כדי לכתוב את הסכום המנוגד לסכום של מספר מונחים, יש צורך לשנות את הסימנים של מונחים אלו.

אז - (a + b) \u003d - a - b.

דוגמה 3מצא את הערך של הביטוי 16 - (10 -18 + 12).

פִּתָרוֹן. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

כדי לפתוח את הסוגריים שלפניהם הסימן "-", עליך להחליף את הסימן הזה ב-"+", לשנות את הסימנים של כל המונחים בסוגריים לאלה הפוכים, ולאחר מכן לפתוח את הסוגריים.

דוגמה 4בואו נמצא את הערך של הביטוי 9.36-(9.36 - 5.48).

פִּתָרוֹן. 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) == 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5.48.

פתיחת סוגר ושימוש במאפיינים קומוטטיביים ואסוציאטיביים תוספותלהקל על החישובים.

דוגמה 5מצא את הערך של הביטוי (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

פִּתָרוֹן.ראשית, אנו פותחים את הסוגריים, ואז אנו מוצאים בנפרד את הסכום של כל החיובים ובנפרד את הסכום של כל המספרים השליליים, ולבסוף, מוסיפים את התוצאות:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

דוגמה 6מצא את הערך של הביטוי

פִּתָרוֹן.ראשית, אנו מייצגים כל איבר כסכום של החלקים השלמים והשברים שלהם, לאחר מכן נפתח את הסוגריים, ולאחר מכן נוסיף את השלם ובנפרד חֶלקִיחלקים ולבסוף לסכם את התוצאות:

איך פותחים סוגריים שלפניהם סימן "+"? איך אפשר למצוא את הערך של ביטוי שהוא ההפך מסכום של מספר מספרים? כיצד לפתוח סוגריים שלפניהם סימן "-"?

1218. הרחב את הסוגריים:

א) 3.4+(2.6+ 8.3); ג) m+(n-k);

ב) 4.57+(2.6 - 4.57); ד) c+(-a + b).

1219. מצא את הערך של הביטוי:

1220. הרחב את הסוגריים:

א) 85+(7.8+ 98); ד) -(80-16) + 84; ז) א-(ב-ק-נ);
ב) (4.7 -17) + 7.5; ה) -a + (m-2.6); ח) - (א-ב + ג);
ג) 64-(90 + 100); ה) c+(-a-b); i) (מ-נ)-(פ-ק).

1221. הרחב את הסוגריים ומצא את הערך של הביטוי:

1222. פשט את הביטוי:

1223. כתוב כמותשני ביטויים ולפשט את זה:

א) - 4 - מ' ו-m + 6.4; ד) a + b ו-p - b
ב) 1.1+a ו-26-א; ה) - m + n ו -k - n;
ג) a + 13 ו -13 + b; e)m - n ו-n - מ.

1224. כתבו את ההבדל בין שני ביטויים ופשטו אותו:

1226. השתמש במשוואה כדי לפתור את הבעיה:

א) במדף אחד יש 42 ספרים, ובשני 34. מהמדף השני הוצאו מספר ספרים, וכמה שנותרו על השני מהראשון. לאחר מכן נותרו 12 ספרים על המדף הראשון. כמה ספרים הורדו מהמדף השני?

ב) בכיתה א' יש 42 תלמידים, בשנייה 3 תלמידים פחות מאשר בשלישית. כמה תלמידים יש בכיתה ג' אם יש 125 תלמידים בשלוש כיתות אלו?

1227. מצא את הערך של הביטוי:

1228. חשב בעל פה:

1229. מצא הערך הגבוה ביותרביטויים:

1230. הזן 4 מספרים שלמים עוקבים אם:

א) הקטן שבהם שווה ל-12-; ג) הקטן שבהם שווה ל-n;
ב) הגדול שבהם שווה ל-18; ד) הגדול שבהם שווה ל-k.

תוכן השיעור סיכום שיעורתמיכה מסגרת שיעור מצגת שיטות האצה טכנולוגיות אינטראקטיביות תרגול משימות ותרגילים סדנאות בדיקה עצמית, הדרכות, מקרים, קווסטים שאלות דיון שיעורי בית שאלות רטוריות של תלמידים איורים אודיו, וידאו קליפים ומולטימדיהתצלומים, תמונות גרפיקה, טבלאות, תוכניות הומור, אנקדוטות, בדיחות, משלי קומיקס, אמרות, תשבצים, ציטוטים תוספות תקציריםמאמרים שבבים עבור גיליונות רמאות סקרנים ספרי לימוד בסיסי ומילון מונחים נוסף של מונחים אחרים שיפור ספרי לימוד ושיעוריםתיקון שגיאות בספר הלימודעדכון קטע בספר הלימוד אלמנטים של חדשנות בשיעור החלפת ידע מיושן בידע חדש רק למורים שיעורים מושלמים תוכנית לוח שנהלשנה הנחיותתוכניות דיון שיעורים משולבים