בסרטון זה ננתח קבוצה שלמה של משוואות ליניאריות שנפתרות באמצעות אותו אלגוריתם - לכן הן נקראות הפשוטות ביותר.

ראשית, בואו נגדיר: מהי משוואה לינארית ואיזו מהן נקראת הפשוטה ביותר?

משוואה לינארית היא כזו שיש בה רק משתנה אחד, ורק במעלה הראשונה.

המשוואה הפשוטה ביותר פירושה הבנייה:

כל שאר המשוואות הליניאריות מצטמצמות לפשוטה ביותר באמצעות האלגוריתם:

1. הרחב סוגריים, אם יש;
2. העבר מונחים המכילים משתנה לצד אחד של סימן השוויון, ומונחים ללא משתנה לצד השני;
3. תן מונחים דומים לשמאל ולימין של סימן השוויון;
4. חלקו את המשוואה המתקבלת במקדם של המשתנה $x$.

כמובן, אלגוריתם זה לא תמיד עוזר. העובדה היא שלפעמים לאחר כל התכסיסים הללו, מקדם המשתנה $x$ מתברר כשווה לאפס. במקרה זה, שתי אפשרויות אפשריות:

1. למשוואה אין פתרונות כלל. לדוגמה, כאשר מתברר משהו כמו $0\cdot x=8$, כלומר. משמאל הוא אפס, ומימין מספר שאינו אפס. בסרטון למטה נבחן מספר סיבות מדוע מצב זה אפשרי.
2. הפתרון הוא כל המספרים. המקרה היחיד שבו זה אפשרי הוא כאשר המשוואה הצטמצמה למבנה $0\cdot x=0$. זה די הגיוני שלא משנה באיזה $x$ נחליף, עדיין יתברר ש"אפס שווה לאפס", כלומר. שוויון מספרי נכון.

עכשיו בואו נראה איך כל זה עובד באמצעות דוגמאות מהחיים האמיתיים.

דוגמאות לפתרון משוואות

היום אנחנו עוסקים במשוואות ליניאריות, ורק בפשוטות שבהן. באופן כללי, משוואה ליניארית פירושה כל שוויון שמכיל בדיוק משתנה אחד, והוא מגיע רק לדרגה הראשונה.

מבנים כאלה נפתרים בערך באותו אופן:

1. קודם כל, אתה צריך להרחיב את הסוגריים, אם יש כאלה (כמו בדוגמה האחרונה שלנו);
2. ואז לשלב דומה
3. לבסוף, לבודד את המשתנה, כלומר. להעביר את כל מה שקשור למשתנה - המונחים שבהם הוא כלול - לצד אחד, ולהעביר את כל מה שנשאר בלעדיו לצד השני.

לאחר מכן, ככלל, אתה צריך להביא דומים בכל צד של השוויון המתקבל, ואחרי זה כל מה שנותר הוא לחלק במקדם של "x", ונקבל את התשובה הסופית.

בתיאוריה זה נראה נחמד ופשוט, אבל בפועל, אפילו תלמידי תיכון מנוסים יכולים לעשות טעויות פוגעניות במשוואות ליניאריות פשוטות למדי. בדרך כלל, שגיאות נעשות בעת פתיחת סוגריים או בעת חישוב ה"פלוסים" וה"מינוסים".

בנוסף, קורה שלמשוואה לינארית אין פתרונות כלל, או שהפתרון הוא כל קו המספרים, כלומר. כל מספר. נסתכל על הדקויות הללו בשיעור של היום. אבל נתחיל, כפי שכבר הבנתם, עם העצם משימות פשוטות.

תכנית לפתרון משוואות ליניאריות פשוטות

ראשית, הרשו לי לכתוב שוב את כל הסכימה לפתרון המשוואות הליניאריות הפשוטות ביותר:

1. הרחב את הסוגריים, אם יש.
2. אנו מבודדים את המשתנים, כלומר. אנחנו מעבירים את כל מה שמכיל "X" לצד אחד, וכל מה שאין "X" לצד השני.
3. אנו מציגים מונחים דומים.
4. אנו מחלקים הכל במקדם של "x".

כמובן, תוכנית זו לא תמיד עובדת; יש בה דקויות וטריקים מסוימים, ועכשיו נכיר אותם.

פתרון דוגמאות אמיתיות של משוואות ליניאריות פשוטות

משימה מס' 1

השלב הראשון מחייב אותנו לפתוח את הסוגריים. אבל הם לא בדוגמה הזו, אז אנחנו מדלגים על שלב זה. בשלב השני עלינו לבודד את המשתנים. הערה: אנחנו מדברים עלרק לגבי מונחים בודדים. בוא נרשום את זה:

אנו מציגים מונחים דומים משמאל ומימין, אבל זה כבר נעשה כאן. לכן, נעבור לשלב הרביעי: חלקו במקדם:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

אז קיבלנו את התשובה.

משימה מס' 2

אנו יכולים לראות את הסוגריים בבעיה זו, אז בואו נרחיב אותם:

גם משמאל וגם מימין רואים בערך את אותו עיצוב, אבל בואו נפעל לפי האלגוריתם, כלומר. הפרדת המשתנים:

הנה כמה דומים:

באילו שורשים זה עובד? תשובה: לכל. לכן, נוכל לכתוב ש$x$ הוא כל מספר.

משימה מס' 3

המשוואה הליניארית השלישית מעניינת יותר:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

יש כאן כמה סוגריים, אבל הם לא מוכפלים בכלום, פשוט קודמים להם סימנים שונים. בואו נפרק אותם:

אנו מבצעים את השלב השני שכבר ידוע לנו:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

בוא נעשה את החישוב:

אנחנו מבצעים צעד אחרון- חלקו הכל במקדם של "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

דברים שכדאי לזכור בעת פתרון משוואות ליניאריות

אם נתעלם ממשימות פשוטות מדי, ברצוני לומר את הדברים הבאים:

• כפי שאמרתי למעלה, לא לכל משוואה לינארית יש פתרון - לפעמים פשוט אין שורשים;
• גם אם יש שורשים, יכול להיות שיש ביניהם אפס - אין בזה שום פסול.

אפס הוא אותו מספר כמו האחרים; אתה לא צריך להפלות אותו בשום צורה או להניח שאם אתה מקבל אפס, אז עשית משהו לא בסדר.

תכונה נוספת קשורה לפתיחת סוגריים. שימו לב: כשיש מולם "מינוס" אנחנו מסירים אותו, אבל בסוגריים משנים את הסימנים ל מול. ואז נוכל לפתוח אותו באמצעות אלגוריתמים סטנדרטיים: נקבל את מה שראינו בחישובים למעלה.

הבנת העובדה הפשוטה הזו תעזור לכם להימנע מטעויות מטופשות ופוגעות בתיכון, כאשר עשיית דברים כאלה מובנים מאליהם.

פתרון משוואות לינאריות מורכבות

נעבור למשוואות מורכבות יותר. כעת הקונסטרוקציות יהפכו מורכבות יותר וכאשר מבצעים טרנספורמציות שונות תופיע פונקציה ריבועית. עם זאת, אל לנו לפחד מכך, כי אם, על פי התוכנית של המחבר, אנו פותרים משוואה ליניארית, אז במהלך תהליך הטרנספורמציה כל המונומיאלים המכילים פונקציה ריבועית בהחלט יתבטלו.

דוגמה מס' 1

ברור שהשלב הראשון הוא לפתוח את הסוגריים. בוא נעשה זאת בזהירות רבה:

עכשיו בואו נסתכל על הפרטיות:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

הנה כמה דומים:

ברור שלמשוואה זו אין פתרונות, אז נכתוב זאת בתשובה:

\[\varnothing\]

או שאין שורשים.

דוגמה מס' 2

אנחנו מבצעים את אותן פעולות. צעד ראשון:

בוא נעביר כל דבר עם משתנה שמאלה, ובלעדיו - ימינה:

הנה כמה דומים:

ברור שלמשוואה לינארית זו אין פתרון, אז נכתוב אותה כך:

\[\varnothing\],

או שאין שורשים.

ניואנסים של הפתרון

שתי המשוואות נפתרות לחלוטין. אם השתמשנו בשני הביטויים הללו כדוגמה, שוב השתכנענו שאפילו במשוואות הליניאריות הפשוטות ביותר, אולי הכל לא כל כך פשוט: יכול להיות או אחד, או אף אחד, או אינסוף שורשים. במקרה שלנו, שקלנו שתי משוואות, לשתיהן פשוט אין שורשים.

אבל אני רוצה להסב את תשומת לבכם לעובדה נוספת: איך עובדים עם סוגריים ואיך פותחים אותם אם יש לפניהם סימן מינוס. שקול את הביטוי הזה:

לפני הפתיחה, אתה צריך להכפיל הכל ב- "X". שימו לב: מכפיל כל מונח בודד. בפנים יש שני איברים - בהתאמה, שני איברים וכפול.

ורק לאחר שהושלמו התמורות היסודיות לכאורה, אך חשובות ומסוכנות אלו, ניתן לפתוח את הסוגר מנקודת מבט של העובדה שיש אחריו סימן מינוס. כן, כן: רק עכשיו, כשהטרנספורמציות מסתיימות, אנחנו זוכרים שיש סימן מינוס מול הסוגריים, מה שאומר שכל מה שלמטה פשוט משנה סימנים. במקביל, הסוגריים עצמם נעלמים, והכי חשוב, גם ה"מינוס" הקדמי נעלם.

אנחנו עושים את אותו הדבר עם המשוואה השנייה:

לא סתם אני שם לב לעובדות הקטנות האלה, לכאורה חסרות משמעות. כי פתרון משוואות הוא תמיד רצף של טרנספורמציות יסודיות, שבהן חוסר היכולת לבצע בצורה ברורה ומוכשרת צעדים פשוטיםמוביל לכך שתלמידי תיכון מגיעים אליי ושוב לומדים לפתור משוואות פשוטות כאלה.

כמובן, יבוא היום שבו תחדד את המיומנויות הללו עד כדי אוטומטיות. לא תצטרך עוד לבצע כל כך הרבה טרנספורמציות בכל פעם; אתה תכתוב הכל בשורה אחת. אבל בזמן שאתה רק לומד, אתה צריך לכתוב כל פעולה בנפרד.

פתרון משוואות לינאריות מורכבות עוד יותר

מה שאנחנו הולכים לפתור עכשיו בקושי יכול להיקרא המשימה הפשוטה ביותר, אבל המשמעות נשארת זהה.

משימה מס' 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

בוא נכפיל את כל המרכיבים בחלק הראשון:

בואו נעשה קצת פרטיות:

הנה כמה דומים:

בוא נשלים את השלב האחרון:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

הנה התשובה הסופית שלנו. ולמרות העובדה שבתהליך הפתרון היו לנו מקדמים עם פונקציה ריבועית, הם ביטלו זה את זה, מה שהופך את המשוואה ללינארית ולא ריבועית.

משימה מס' 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

בואו נבצע בזהירות את השלב הראשון: נכפיל כל אלמנט מהסוגר הראשון בכל אלמנט מהשני. אמורים להיות בסך הכל ארבעה מונחים חדשים לאחר השינויים:

כעת נבצע בזהירות את הכפל בכל איבר:

בואו נעביר את המונחים עם "X" שמאלה, ואלה ללא - ימינה:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

הנה מונחים דומים:

שוב קיבלנו את התשובה הסופית.

ניואנסים של הפתרון

ההערה החשובה ביותר לגבי שתי המשוואות הללו היא הבאה: ברגע שאנו מתחילים להכפיל סוגריים המכילים יותר מאיבר אחד, הדבר נעשה על פי הכלל הבא: אנו לוקחים את האיבר הראשון מהראשון ומכפילים עם כל אלמנט מ השני; אז ניקח את האלמנט השני מהראשון ובאופן דומה נכפיל עם כל אלמנט מהשני. כתוצאה מכך, יהיו לנו ארבע קדנציות.

לגבי הסכום האלגברי

עם הדוגמה האחרונה הזו, אני רוצה להזכיר לתלמידים מה סכום אלגברי. במתמטיקה הקלאסית, ב-$1-7$ אנחנו מתכוונים לבנייה פשוטה: מפחיתים שבעה מאחד. באלגברה, אנו מתכוונים בכך: למספר "אחד" אנו מוסיפים מספר נוסף, כלומר "מינוס שבע". כך שונה סכום אלגברי מסכום אריתמטי רגיל.

ברגע שבביצוע כל התמורות, כל חיבור וכפל, אתה מתחיל לראות מבנים דומים לאלו שתוארו לעיל, פשוט לא יהיו לך בעיות באלגברה בעבודה עם פולינומים ומשוואות.

לבסוף, בואו נסתכל על עוד כמה דוגמאות שיהיו מורכבות אפילו יותר מאלו שראינו זה עתה, וכדי לפתור אותן נצטרך להרחיב מעט את האלגוריתם הסטנדרטי שלנו.

פתרון משוואות עם שברים

כדי לפתור משימות כאלה, נצטרך להוסיף עוד שלב אחד לאלגוריתם שלנו. אבל ראשית, הרשו לי להזכיר לכם את האלגוריתם שלנו:

1. לפתוח את הסוגריים.
2. הפרד משתנים.
3. תביא דומים.
4. מחלקים ביחס.

אבוי, האלגוריתם הנפלא הזה, עם כל היעילות שלו, מתברר כלא מתאים כשיש לפנינו שברים. ובמה שנראה להלן, יש לנו שבר גם בשמאל וגם בימין בשתי המשוואות.

איך עובדים במקרה זה? כן, זה מאוד פשוט! כדי לעשות זאת, אתה צריך להוסיף עוד שלב אחד לאלגוריתם, שניתן לעשות גם לפני ואחרי הפעולה הראשונה, כלומר להיפטר משברים. אז האלגוריתם יהיה כדלקמן:

1. היפטר משברים.
2. לפתוח את הסוגריים.
3. הפרד משתנים.
4. תביא דומים.
5. מחלקים ביחס.

מה זה אומר "להיפטר משברים"? ולמה אפשר לעשות זאת גם אחרי וגם לפני הצעד הסטנדרטי הראשון? למעשה, במקרה שלנו, כל השברים הם מספריים במכנה שלהם, כלומר. בכל מקום המכנה הוא רק מספר. לכן, אם נכפיל את שני הצדדים של המשוואה במספר זה, נפטר משברים.

דוגמה מס' 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

בואו נפטר מהשברים במשוואה הזו:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2)))-1 \right)\cdot 4\]

שימו לב: הכל מוכפל ב"ארבע" פעם אחת, כלומר. זה שיש לך שני סוגריים לא אומר שאתה צריך להכפיל כל אחד ב"ארבע". בואו נרשום:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

עכשיו נרחיב:

אנו מבודדים את המשתנה:

אנו מבצעים הפחתת מונחים דומים:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

קיבלנו את הפתרון הסופי, נעבור למשוואה השנייה.

דוגמה מס' 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

כאן אנו מבצעים את כל אותן הפעולות:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

הבעיה נפתרה.

זה, למעשה, כל מה שרציתי לומר לך היום.

נקודות מפתח

הממצאים העיקריים הם:

• הכר את האלגוריתם לפתרון משוואות ליניאריות.
• יכולת פתיחת סוגריים.
• אל תדאג אם אתה רואה פונקציות ריבועיותסביר להניח, בתהליך של טרנספורמציות נוספות הם יפחתו.
• ישנם שלושה סוגים של שורשים במשוואות ליניאריות, אפילו הפשוטות ביותר: שורש אחד, כל קו המספרים הוא שורש, וללא שורשים כלל.

אני מקווה ששיעור זה יעזור לך לשלוט בנושא פשוט, אך חשוב מאוד להבנה נוספת של כל המתמטיקה. אם משהו לא ברור, היכנסו לאתר ופתרו את הדוגמאות המוצגות שם. הישארו מעודכנים, עוד הרבה דברים מעניינים מחכים לכם!

משוואות לינאריות. פתרון, דוגמאות.

תשומת הלב!
ישנם נוספים
חומרים בסעיף מיוחד 555.
למי שהם מאוד "לא מאוד..."
ולמי ש"מאוד...")

משוואות לינאריות.

משוואות לינאריות- לא הנושא הקשה ביותר מתמטיקה בבית הספר. אבל יש שם כמה טריקים שיכולים להפתיע אפילו תלמיד מאומן. בואו נבין את זה?)

בדרך כלל משוואה לינארית מוגדרת כמשוואה של הצורה:

גַרזֶן + ב = 0 איפה א ו-ב- כל מספר.

2x + 7 = 0. כאן a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 כאן a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 כאן a=12, b=1/2

שום דבר מסובך, נכון? במיוחד אם אתה לא שם לב למילים: "כאשר a ו-b הם מספרים כלשהם"... ואם אתה שם לב וחושב על זה ברישול?) הרי אם a=0, b=0(אפשר מספרים כלשהם?), ואז נקבל ביטוי מצחיק:

אבל זה לא הכל! אם, נגיד, a=0,א b=5,מסתבר שזה משהו יוצא דופן לחלוטין:

וזה מעצבן ומערער את הביטחון במתמטיקה, כן...) במיוחד בזמן מבחנים. אבל מתוך הביטויים המוזרים האלה צריך למצוא גם X! מה שלא קיים בכלל. ובאופן מפתיע, קל מאוד למצוא את ה-X הזה. נלמד לעשות זאת. בשיעור זה.

איך לזהות משוואה לינארית לפי המראה שלה? תלוי מה מראה חיצוני.) החוכמה היא שלא רק משוואות של הצורה נקראות משוואות ליניאריות גַרזֶן + ב = 0 , אלא גם כל משוואות שניתן לצמצם לצורה זו על ידי טרנספורמציות והפשטות. ומי יודע אם זה יורד או לא?)

ניתן לזהות בבירור משוואה לינארית במקרים מסוימים. נניח, אם יש לנו משוואה שבה יש רק אלמונים במעלה הראשונה ומספרים. ובמשוואה אין שברים חלקי לא ידוע , זה חשוב! וחלוקה לפי מספר,או שבר מספרי - זה מבורך! לדוגמה:

זוהי משוואה לינארית. יש כאן שברים, אבל אין איקסים בריבוע, בקובייה וכו', ואין איקסים במכנים, כלומר. לא חלוקה ב-x. והנה המשוואה

לא יכול להיקרא ליניארי. כאן ה-X כולם נמצאים בדרגה הראשונה, אבל יש חלוקה לפי ביטוי עם x. לאחר הפשטות ותמורות, אתה יכול לקבל משוואה לינארית, משוואה ריבועית או כל דבר שתרצה.

מסתבר שאי אפשר לזהות את המשוואה הליניארית באיזו דוגמה מסובכת עד שכמעט פותרים אותה. זה מרגיז. אבל במשימות, ככלל, הם לא שואלים על צורת המשוואה, נכון? המטלות מבקשות משוואות לְהַחלִיט.זה משמח אותי.)

פתרון משוואות ליניאריות. דוגמאות.

כל הפתרון של משוואות ליניאריות מורכב מתמורות זהות של המשוואות. אגב, התמורות הללו (שתיים מהן!) הן הבסיס לפתרונות כל המשוואות של המתמטיקה.במילים אחרות, הפתרון כלהמשוואה מתחילה עם הטרנספורמציות האלה. במקרה של משוואות לינאריות, הוא (הפתרון) מבוסס על התמרות אלו ומסתיים בתשובה מלאה. הגיוני לעקוב אחר הקישור, נכון?) יתרה מכך, יש שם גם דוגמאות לפתרון משוואות ליניאריות.

ראשית, בואו נסתכל על הדוגמה הפשוטה ביותר. בלי שום מלכודות. נניח שאנחנו צריכים לפתור את המשוואה הזו.

x - 3 = 2 - 4x

זוהי משוואה לינארית. ה-X כולם בחזקת ראשון, אין חלוקה לפי X. אבל, למעשה, זה לא משנה לנו באיזו משוואה מדובר. אנחנו צריכים לפתור את זה. התכנית כאן פשוטה. אספו הכל עם X בצד שמאל של המשוואה, הכל בלי X (מספרים) בצד ימין.

כדי לעשות זאת אתה צריך להעביר - 4x פנימה צד שמאל, עם שינוי שלט, כמובן, ו - 3 - לימין. אגב, זהו השינוי הזהה הראשון של משוואות.מוּפתָע? זה אומר שלא הלכת על הקישור, אבל לשווא...) אנחנו מקבלים:

x + 4x = 2 + 3

להלן דומים, אנו רואים:

מה אנחנו צריכים בשביל אושר מוחלט? כן, כדי שיהיה איקס טהור בצד שמאל! חמישה עומדים בדרך. להיפטר מהחמישה בעזרת העזרה השינוי הזהה השני של משוואות.כלומר, נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-5. נקבל תשובה מוכנה:

דוגמה אלמנטרית, כמובן. זה לחימום.) לא מאוד ברור למה זכרתי כאן טרנספורמציות זהות? בסדר. בוא ניקח את השור בקרניו.) בוא נחליט משהו יותר מוצק.

לדוגמה, הנה המשוואה:

איפה אנחנו מתחילים? עם X - לשמאל, בלי X - לימין? יכול להיות שכן. צעדים קטנים לאורך דרך ארוכה. או שאתה יכול מיד, אוניברסלית ו בצורה עוצמתית. אם, כמובן, יש לך טרנספורמציות זהות של משוואות בארסנל שלך.

אני שואל אותך שאלה מרכזית: מה אתה הכי לא אוהב במשוואה הזו?

95 מתוך 100 אנשים יענו: שברים ! התשובה נכונה. אז בואו ניפטר מהם. לכן, אנחנו מתחילים מיד עם שינוי זהות שני. במה אתה צריך כדי להכפיל את השבר משמאל כדי שהמכנה יקטן לחלוטין? נכון, בגיל 3. ומימין? ב-4. אבל המתמטיקה מאפשרת לנו להכפיל את שני הצדדים ב- אותו מספר. איך נוכל לצאת? בואו נכפיל את שני הצדדים ב-12! הָהֵן. למכנה משותף. אז יצטמצמו גם השלושה וגם הארבעה. אל תשכח שאתה צריך להכפיל כל חלק לַחֲלוּטִין. כך נראה הצעד הראשון:

הרחבת הסוגריים:

הערה! מוֹנֶה (x+2)שמתי את זה בסוגריים! הסיבה לכך היא שכאשר מכפילים שברים, כל המונה מוכפל! עכשיו אתה יכול לצמצם שברים:

הרחב את שאר הסוגריים:

לא דוגמה, אלא הנאה צרופה!) עכשיו בואו נזכור את הלחש מ כיתות צעירות: עם X - לשמאל, ללא X - לימין!ויישם את השינוי הזה:

הנה כמה דומים:

ומחלקים את שני החלקים ב-25, כלומר. החל את השינוי השני שוב:

זה הכל. תשובה: איקס=0,16

שימו לב: כדי להביא את המשוואה המבלבלת המקורית לצורה יפה, השתמשנו בשניים (רק שניים!) שינויי זהות– תרגום שמאל-ימין עם שינוי סימן וכפל-חלוקה של משוואה באותו מספר. זֶה שיטה אוניברסלית! נעבוד בצורה זו עם כל משוואות! ממש כל אחד. זו הסיבה שאני חוזר על הטרנספורמציות הזהות האלה באופן מייגע כל הזמן.)

כפי שאתה יכול לראות, העיקרון של פתרון משוואות ליניאריות הוא פשוט. אנחנו לוקחים את המשוואה ומפשטים אותה באמצעות טרנספורמציות זהות עד שנקבל את התשובה. הבעיות העיקריות כאן הן בחישובים, לא בעקרון הפתרון.

אבל... יש הפתעות כאלה בתהליך פתרון המשוואות הליניאריות הכי אלמנטריות שהן יכולות להכניס אותך לקהה חזקה...) למרבה המזל, יכולות להיות רק שתי הפתעות כאלה. בואו נקרא להם מקרים מיוחדים.

מקרים מיוחדים בפתרון משוואות ליניאריות.

הפתעה ראשונה.

נניח שנתקלת במשוואה מאוד בסיסית, משהו כמו:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

קצת משועממים, אנחנו מזיזים אותו עם X שמאלה, בלי X - ימינה... עם שינוי סימן הכל מושלם... מקבלים:

2x-5x+3x=5-2-3

אנחנו סופרים, ו... אופס!!! אנחנו מקבלים:

שוויון זה כשלעצמו אינו מעורר התנגדות. אפס הוא באמת אפס. אבל X חסר! ועלינו לרשום בתשובה, למה שווה x?אחרת, הפתרון לא נחשב, נכון...) מבוי סתום?

לְהַרְגִיעַ! במקרים מפוקפקים כאלה, הכללים הכלליים ביותר יצילו אותך. איך פותרים משוואות? מה זה אומר לפתור משוואה? זה אומר, מצא את כל הערכים של x שכאשר יוחלפו במשוואה המקורית, יתנו לנו את השוויון הנכון.

אבל יש לנו שוויון אמיתי כְּבָרקרה! 0=0, כמה יותר מדויק?! נותר להבין באילו x זה קורה. באילו ערכים של X ניתן להחליף מְקוֹרִימשוואה אם ​​האיקסים האלה האם הם עדיין יצטמצמו לאפס?בחייך?)

כן!!! ניתן להחליף X כל!איזה מהם אתה רוצה? לפחות 5, לפחות 0.05, לפחות -220. הם עדיין יתכווצו. אם אתה לא מאמין לי, אתה יכול לבדוק את זה.) החלף כל ערכים של X לתוך מְקוֹרִימשוואה ולחשב. כל הזמן תקבל את האמת הצרופה: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 וכן הלאה.

הנה התשובה שלך: x - כל מספר.

ניתן לכתוב את התשובה בסמלים מתמטיים שונים, המהות לא משתנה. זוהי תשובה נכונה ומלאה לחלוטין.

הפתעה שנייה.

בואו ניקח את אותה משוואה לינארית יסודית ונשנה רק מספר אחד בה. זה מה שנחליט:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

לאחר אותן טרנספורמציות זהות, אנו מקבלים משהו מסקרן:

ככה. פתרנו משוואה לינארית וקיבלנו שוויון מוזר. במונחים מתמטיים, קיבלנו שוויון כוזב.ומדבר בשפה פשוטה, זה לא נכון. לְהִשְׁתוֹלֵל. אבל בכל זאת, השטות הזו היא סיבה טובה מאוד לפתרון הנכון של המשוואה.)

שוב אנחנו חושבים על סמך חוקים כלליים. מה ש-x, כאשר יוחלפו במשוואה המקורית, ייתן לנו נָכוֹןשוויון? כן, אף אחד! אין X כאלה. לא משנה מה תכניס, הכל יצטמצם, רק שטויות יישארו.)

הנה התשובה שלך: אין פתרונות.

גם זו תשובה מלאה לחלוטין. במתמטיקה, תשובות כאלה נמצאות לעתים קרובות.

ככה. כעת, אני מקווה, היעלמותם של X's בתהליך של פתרון משוואה כלשהי (לא רק לינארית) לא תבלבל אותך כלל. זה כבר עניין מוכר.)

כעת, לאחר שעסקנו בכל המלכודות במשוואות ליניאריות, הגיוני לפתור אותן.

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.

משוואה ליניארית היא משוואה אלגברית שדרגת הפולינומים הכוללת שלה שווה לאחד. פתרון משוואות ליניאריות - חלק מערכת של ביהס, ולא הכי קשה. עם זאת, חלקם עדיין מתקשים להשלים נושא זה. אנו מקווים כי לאחר קריאת חומר זה, כל הקשיים עבורך יישארו בעבר. אז בוא נבין את זה. איך לפתור משוואות לינאריות.

טופס כללי

המשוואה הליניארית מיוצגת כך:

• ax + b = 0, כאשר a ו-b הם כל מספר.

למרות ש-a ו-b יכולים להיות כל מספר, הערכים שלהם משפיעים על מספר הפתרונות למשוואה. ישנם מספר מקרים מיוחדים של פתרון:

• אם a=b=0, למשוואה יש אינסוף פתרונות;
• אם a=0, b≠0, למשוואה אין פתרון;
• אם a≠0, b=0, למשוואה יש פתרון: x = 0.

במקרה שלשני המספרים יש ערכים שאינם אפס, יש לפתור את המשוואה כדי לגזור את הביטוי הסופי עבור המשתנה.

איך להחליט?

פתרון משוואה לינארית פירושו למצוא למה שווה המשתנה. איך לעשות את זה? כן, זה מאוד פשוט - באמצעות פעולות אלגבריות פשוטות וביצוע כללי ההעברה. אם המשוואה מופיעה לפניך בצורה כללית, יש לך מזל; כל מה שאתה צריך לעשות הוא:

1. העבר את b ל צד ימיןמשוואה, לא לשכוח לשנות את הסימן (כלל התרגום!), לפיכך, מביטוי של הצורה ax + b = 0, יש לקבל ביטוי של הצורה: ax = -b.
2. החל את הכלל: כדי למצוא את אחד הגורמים (x - במקרה שלנו), צריך לחלק את המכפלה (-b במקרה שלנו) בגורם אחר (a - במקרה שלנו). לפיכך, אתה אמור לקבל ביטוי של הצורה: x = -b/a.

זהו - נמצא פתרון!

עכשיו בואו נסתכל על דוגמה ספציפית:

1. 2x + 4 = 0 - הזז את b, שווה ל-4 במקרה זה, לצד ימין
2. 2x = -4 - חלק את b ב-a (אל תשכח את סימן המינוס)
3. x = -4/2 = -2

זה הכל! הפתרון שלנו: x = -2.

כפי שאתה יכול לראות, הפתרון למשוואה לינארית עם משתנה אחד הוא די פשוט למצוא, אבל הכל כל כך פשוט אם יתמזל מזלנו להיתקל במשוואה בצורתה הכללית. ברוב המקרים, לפני פתרון משוואה בשני השלבים שתוארו לעיל, עדיין צריך להביא את הביטוי הקיים לצורה כללית. עם זאת, גם זו לא משימה קשה במיוחד. בואו נסתכל על כמה מקרים מיוחדים באמצעות דוגמאות.

פתרון מקרים מיוחדים

ראשית, נסתכל על המקרים שתיארנו בתחילת המאמר ונסביר מה זה אומר שיש אינסוף פתרונות וללא פתרון.

• אם a=b=0, המשוואה תיראה כך: 0x + 0 = 0. בביצוע הצעד הראשון נקבל: 0x = 0. מה המשמעות של השטויות האלה, אתה צועק! אחרי הכל, לא משנה באיזה מספר תכפילו באפס, תמיד תקבלו אפס! ימין! לכן אומרים שלמשוואה יש אינסוף פתרונות - לא משנה איזה מספר תיקחו, השוויון יהיה נכון, 0x = 0 או 0 = 0.
• אם a=0, b≠0, המשוואה תיראה כך: 0x + 3 = 0. בצע את השלב הראשון, נקבל 0x = -3. שוב שטויות! ברור שהשוויון הזה לעולם לא יהיה נכון! לכן אומרים שלמשוואה אין פתרונות.
• אם a≠0, b=0, המשוואה תיראה כך: 3x + 0 = 0. בביצוע הצעד הראשון נקבל: 3x = 0. מה הפתרון? זה קל, x = 0.

אבד בתרגום

המקרים המיוחדים המתוארים אינם כל מה שמשוואות ליניאריות יכולות להפתיע אותנו איתם. לפעמים קשה לזהות את המשוואה במבט ראשון. בואו נסתכל על דוגמה:

• 12x - 14 = 2x + 6

האם זו משוואה לינארית? מה עם האפס בצד ימין? לא נמהר להסיק מסקנות, נפעל - נעביר את כל מרכיבי המשוואה שלנו לצד שמאל. אנחנו מקבלים:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

כעת נחסר כמו מ-like, נקבל:

• 10x - 20 = 0

מְלוּמָד? המשוואה הכי לינארית אי פעם! הפתרון לו הוא: x = 20/10 = 2.

מה אם יש לנו את הדוגמה הזו:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

כן, זו גם משוואה ליניארית, רק צריך לבצע טרנספורמציות נוספות. ראשית, בואו נפתח את הסוגריים:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - כעת אנו מבצעים את ההעברה:
4. 25x - 4 = 0 - נותר למצוא פתרון באמצעות הסכימה הידועה כבר:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0.16

כפי שאתה יכול לראות, הכל ניתן לפתור, העיקר לא לדאוג, אלא לפעול. זכור, אם המשוואה שלך מכילה רק משתנים מהמעלה הראשונה ומספרים, יש לך משוואה לינארית, שלא משנה איך היא נראית בהתחלה, ניתן לצמצם אותה לצורה כללית ולפתור אותה. אנו מקווים שהכל יסתדר עבורך! בהצלחה!

וכו', הגיוני להכיר משוואות מסוגים אחרים. הבאים בתור הם משוואות ליניאריות, שלימודו הממוקד מתחיל בשיעורי אלגברה בכיתה ז'.

ברור שקודם כל צריך להסביר מהי משוואה לינארית, לתת הגדרה של משוואה לינארית, המקדמים שלה, להראות את זה צורה כללית. אז אתה יכול להבין כמה פתרונות יש למשוואה לינארית בהתאם לערכי המקדמים, וכיצד נמצא השורשים. זה יאפשר לך לעבור לפתרון דוגמאות, ובכך לגבש את התיאוריה הנלמדת. במאמר זה נעשה זאת: נתעכב בפירוט על כל הנקודות התיאורטיות והמעשיות הנוגעות למשוואות לינאריות ולפתרונות שלהן.

נגיד מיד שכאן נשקול רק משוואות לינאריות עם משתנה אחד, ובמאמר נפרד נלמד את עקרונות הפתרון משוואות לינאריות עם שני משתנים.

ניווט בדף.

מהי משוואה לינארית?

ההגדרה של משוואה ליניארית ניתנת בדרך הכתיבה. יתרה מכך, בספרי לימוד שונים במתמטיקה ואלגברה, לניסוחים של ההגדרות של משוואות ליניאריות יש כמה הבדלים שאינם משפיעים על מהות הנושא.

לדוגמה, בספר האלגברה לכיתה ז' מאת Yu N. Makarychev וחב', משוואה לינארית מוגדרת באופן הבא:

הַגדָרָה.

משוואה של הצורה a x=b, כאשר x הוא משתנה, a ו-b הם כמה מספרים, נקרא משוואה לינארית עם משתנה אחד.

הבה ניתן דוגמאות למשוואות ליניאריות העונות על ההגדרה המוצהרת. לדוגמה, 5 x = 10 היא משוואה לינארית עם משתנה אחד x, כאן המקדם a הוא 5, והמספר b הוא 10. דוגמה נוספת: −2.3·y=0 היא גם משוואה לינארית, אך עם משתנה y, שבו a=−2.3 ו-b=0. ובמשוואות ליניאריות x=−2 ו−x=3.33 a אינם נוכחים במפורש ושווים ל-1 ול-1, בהתאמה, בעוד שבמשוואה הראשונה b=−2, ובשנייה - b=3.33.

ושנה קודם לכן, בספר הלימוד למתמטיקה מאת נ' יא וילנקין, משוואות לינאריות עם אחד לא ידוע, בנוסף למשוואות בצורה a x = b, נחשבו גם משוואות שניתן להביא לצורה זו על ידי העברת איברים מחלק אחד של המשוואה לאחר עם הסימן ההפוך, וכן על ידי הפחתת איברים דומים. לפי הגדרה זו, משוואות בצורה 5 x = 2 x + 6 וכו'. גם ליניארי.

בתורו, בספר האלגברה לכיתה ז' מאת A.G. Mordkovich ניתנת ההגדרה הבאה:

הַגדָרָה.

משוואה לינארית עם משתנה אחד xהוא משוואה בצורה a·x+b=0, כאשר a ו-b הם כמה מספרים הנקראים מקדמי המשוואה הליניארית.

לדוגמה, משוואות לינאריות מסוג זה הן 2 x−12=0, כאן המקדם a הוא 2, ו-b שווה ל-12, ו-0.2 y+4.6=0 עם מקדמים a=0.2 ו-b=4.6. אבל יחד עם זאת, יש דוגמאות למשוואות ליניאריות בצורתן לא a·x+b=0, אלא a·x=b, למשל, 3·x=12.

הבה, כדי שלא יהיו לנו אי התאמות בעתיד, במשוואה לינארית עם משתנה אחד x ומקדמים a ו-b נתכוון למשוואה בצורה a x + b = 0. נראה שסוג זה של משוואה לינארית הוא המוצדק ביותר, שכן משוואות ליניאריות כן משוואות אלגבריות תואר ראשון. וכל שאר המשוואות שצוינו לעיל, כמו גם משוואות שבאמצעות טרנספורמציות שוות, מצטמצמות לצורה a x + b = 0, נקרא משוואות שמצטמצמות למשוואות ליניאריות. בגישה זו, המשוואה 2 x+6=0 היא משוואה לינארית, ו-2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 וכו'. - אלו משוואות שמצטמצמות ללינאריות.

איך לפתור משוואות לינאריות?

עכשיו הגיע הזמן להבין כיצד נפתרות משוואות לינאריות a·x+b=0. במילים אחרות, הגיע הזמן לברר האם למשוואה לינארית יש שורשים, ואם כן, כמה מהם וכיצד למצוא אותם.

נוכחותם של שורשים של משוואה לינארית תלויה בערכי המקדמים a ו-b. במקרה זה, יש למשוואה הליניארית a x+b=0

• השורש היחיד עבור a≠0,
• אין שורשים עבור a=0 ו-b≠0,
• יש אינסוף שורשים עבור a=0 ו-b=0, ובמקרה זה כל מספר הוא שורש של משוואה לינארית.

הבה נסביר כיצד הושגו תוצאות אלו.

אנחנו יודעים שכדי לפתור משוואות אנחנו יכולים לעבור מהמשוואה המקורית למשוואות שוות, כלומר למשוואות עם אותם שורשים או, כמו המקורית, ללא שורשים. כדי לעשות זאת, אתה יכול להשתמש בטרנספורמציות השקולות הבאות:

• העברת איבר מצד אחד של המשוואה לצד אחר עם הסימן ההפוך,
• כמו גם הכפלה או חלוקה של שני הצדדים של משוואה באותו מספר שאינו אפס.

אז במשוואה לינארית עם אחד משתנה של הטופס a x+b=0 נוכל להעביר את האיבר b מהצד השמאלי אליו צד ימיןעם הסימן ההפוך. במקרה זה, המשוואה תקבל את הצורה a·x=−b.

ואז עולה השאלה של חלוקת שני הצדדים של המשוואה במספר a. אבל יש דבר אחד: המספר a יכול להיות שווה לאפס, ובמקרה כזה חלוקה כזו היא בלתי אפשרית. כדי להתמודד עם בעיה זו, נניח תחילה שהמספר a אינו אפס, ונבחן את המקרה של הוויה שווה לאפס בנפרד מעט מאוחר יותר.

לכן, כאשר a אינו שווה לאפס, אז נוכל לחלק את שני הצדדים של המשוואה a·x=−b ב-a, ולאחר מכן היא תהפוך לצורה x=(−b):a, תוצאה זו יכולה להיות נכתב באמצעות האלכסון השבר כ.

לפיכך, עבור a≠0, המשוואה הליניארית a·x+b=0 שווה ערך למשוואה, שממנה נראה השורש שלה.

קל להראות שהשורש הזה הוא ייחודי, כלומר למשוואה הליניארית אין שורשים אחרים. זה מאפשר לך לעשות את השיטה ההפוכה.

נסמן את השורש כ-x 1. נניח שישנו שורש נוסף של המשוואה הליניארית, אותו אנו מציינים כ-x 2, ו-x 2 ≠x 1, שבגלל הגדרות מספרים שוויםדרך ההבדלשווה ערך לתנאי x 1 −x 2 ≠0. מכיוון ש-x 1 ו-x 2 הם שורשים של המשוואה הליניארית a·x+b=0, אזי השוויון המספרי a·x 1 +b=0 ו-a·x 2 +b=0 מתקיימים. נוכל להחסיר את החלקים המתאימים של השוויון הללו, מה שתכונות השוויון המספריות מאפשרות לנו לעשות, יש לנו a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, שממנו a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 ולאחר מכן a·(x 1 −x 2)=0 . אבל השוויון הזה הוא בלתי אפשרי, מכיוון שגם a≠0 וגם x 1 − x 2 ≠0. אז הגענו לסתירה, שמוכיחה את הייחודיות של שורש המשוואה הליניארית a·x+b=0 עבור a≠0.

אז פתרנו את המשוואה הליניארית a·x+b=0 עבור a≠0. התוצאה הראשונה שניתנה בתחילת פסקה זו מוצדקת. נותרו עוד שניים שעומדים בתנאי a=0.

כאשר a=0, המשוואה הליניארית a·x+b=0 מקבלת את הצורה 0·x+b=0. מהמשוואה הזו ומהתכונה של הכפלת מספרים באפס נובע שלא משנה איזה מספר ניקח כ-x, כאשר הוא מוחלף למשוואה 0 x + b=0, יתקבל השוויון המספרי b=0. שוויון זה נכון כאשר b=0, ובמקרים אחרים כאשר b≠0 שוויון זה שקרי.

כתוצאה מכך, עם a=0 ו-b=0, כל מספר הוא השורש של המשוואה הליניארית a·x+b=0, שכן בתנאים אלה, החלפת כל מספר ב-x נותן את השוויון המספרי הנכון 0=0. וכאשר a=0 ו-b≠0, למשוואה הליניארית a·x+b=0 אין שורשים, שכן בתנאים אלו, החלפה של כל מספר במקום x מובילה לשוויון המספרי השגוי b=0.

ההצדקות שניתנו מאפשרות לנו לגבש רצף של פעולות המאפשר לנו לפתור כל משוואה לינארית. כך, אלגוריתם לפתרון משוואה לינאריתהוא:

• ראשית, על ידי כתיבת המשוואה הליניארית, אנו מוצאים את ערכי המקדמים a ו-b.
• אם a=0 ו-b=0, אז למשוואה הזו יש אינסוף שורשים, כלומר כל מספר הוא שורש של המשוואה הליניארית הזו.
• אם a אינו אפס, אז
• המקדם b מועבר לצד ימין עם הסימן ההפוך, והמשוואה הליניארית הופכת לצורה a·x=−b,
• לאחר מכן שני הצדדים של המשוואה המתקבלת מחולקים במספר שאינו אפס a, מה שנותן את השורש הרצוי של המשוואה הליניארית המקורית.

האלגוריתם הכתוב הוא תשובה מקיפה לשאלה כיצד לפתור משוואות ליניאריות.

לסיכום נקודה זו, כדאי לומר שאלגוריתם דומה משמש לפתרון משוואות בצורה a·x=b. ההבדל שלו הוא שכאשר a≠0, שני הצדדים של המשוואה מחולקים מיד במספר זה, כאן b כבר נמצא בחלק הנדרש של המשוואה ואין צורך להעביר אותו.

כדי לפתור משוואות בצורה a x = b, נעשה שימוש באלגוריתם הבא:

• אם a=0 ו-b=0, אז למשוואה יש אינסוף שורשים, שהם כל מספר.
• אם a=0 ו-b≠0, אז למשוואה המקורית אין שורשים.
• אם a אינו אפס, אז שני הצדדים של המשוואה מחולקים במספר שאינו אפס, a, שממנו נמצא השורש היחיד של המשוואה, שווה ל-b/a.

דוגמאות לפתרון משוואות לינאריות

בואו נעבור לתרגול. הבה נבחן כיצד נעשה שימוש באלגוריתם לפתרון משוואות ליניאריות. הבה ניתן פתרונות לדוגמאות טיפוסיות המקבילות ל משמעויות שונותמקדמים של משוואות ליניאריות.

דוגמא.

פתרו את המשוואה הליניארית 0·x−0=0.

פִּתָרוֹן.

במשוואה לינארית זו, a=0 ו-b=−0 , שזהה ל-b=0 . לכן, למשוואה הזו יש אינסוף שורשים; כל מספר הוא שורש של המשוואה הזו.

תשובה:

x - כל מספר.

דוגמא.

האם למשוואה הליניארית 0 x + 2.7 = 0 יש פתרונות?

פִּתָרוֹן.

במקרה זה, מקדם a שווה לאפס, ומקדם b של משוואה לינארית זו שווה ל-2.7, כלומר שונה מאפס. לכן, למשוואה ליניארית אין שורשים.

כאשר פותרים משוואות ליניאריות אנו שואפים למצוא את השורש, כלומר את הערך של המשתנה שיהפוך את המשוואה לשוויון נכון.

כדי למצוא את שורש המשוואה אתה צריך טרנספורמציות שוות מביאות את המשוואה שניתנה לנו לצורה

\(x=[מספר]\)

מספר זה יהיה השורש.

כלומר, אנו הופכים את המשוואה, הופכים אותה לפשוטה יותר עם כל שלב, עד שנקטין אותה למשוואה פרימיטיבית לחלוטין "x = מספר", שבה השורש ברור. הטרנספורמציות הנפוצות ביותר בעת פתרון משוואות ליניאריות הן הבאות:

לדוגמה: הוסף \(5\) לשני הצדדים של המשוואה \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

שימו לב שנוכל לקבל את אותה תוצאה מהר יותר על ידי כתיבת החמישה בצד השני של המשוואה ושינוי הסימן שלה. למעשה, כך בדיוק מתבצעת בית הספר "העברה דרך שווים עם שינוי סימן להיפך".

2. הכפלה או חלוקה של שני הצדדים של משוואה באותו מספר או ביטוי.

לדוגמה: חלק את המשוואה \(-2x=8\) במינוס שניים

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

בדרך כלל שלב זה מתבצע ממש בסוף, כאשר המשוואה כבר הצטמצמה לצורה \(ax=b\), ונחלק ב-\(a\) כדי להסיר אותה משמאל.

3. שימוש בתכונות וחוקי המתמטיקה: פתיחת סוגריים, הבאת מונחים דומים, צמצום שברים וכו'.

הוסף \(2x\) שמאלה וימין

הפחת את \(24\) משני הצדדים של המשוואה

אנו מציגים שוב מונחים דומים

כעת נחלק את המשוואה ב-\(-3\), ובכך נסיר את ה-X הקדמי בצד שמאל.

תשובה : \(7\)

נמצאה התשובה. עם זאת, בואו נבדוק את זה. אם שבע הוא באמת שורש, אז כאשר מחליפים אותו במקום X במשוואה המקורית, יש לקבל את השוויון הנכון - אותם מספרים משמאל ומימין. בוא ננסה.

בְּדִיקָה:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

זה הסתדר. זה אומר ששבע הוא אכן השורש של המשוואה הליניארית המקורית.

אל תתעצלו לבדוק את התשובות שמצאתם על ידי החלפה, במיוחד אם אתם פותרים משוואה במבחן או בחינה.

נותרה השאלה - איך לקבוע מה לעשות עם המשוואה בשלב הבא? איך בדיוק להמיר אותו? לחלק במשהו? או להחסיר? ומה בדיוק אני צריך לגרוע? לחלק במה?

התשובה פשוטה:

המטרה שלכם היא להביא את המשוואה לצורה \(x=[מספר]\), כלומר משמאל נמצא x ללא מקדמים ומספרים, ומימין רק מספר ללא משתנים. לכן, תראה מה עוצר אותך ו לעשות את ההיפך ממה שעושה הרכיב המפריע.

כדי להבין זאת טוב יותר, בואו נסתכל על הפתרון של המשוואה הליניארית \(x+3=13-4x\) צעד אחר צעד.

בואו נחשוב: במה שונה המשוואה הזו מ-\(x=[מספר]\)? מה עוצר אותנו? מה לא בסדר?

ובכן, ראשית, השלושה מפריעים, שכן בצד שמאל צריך להיות רק איקס בודד, ללא מספרים. מה הטרויקה "עושה"? נוסףל-X. אז כדי להסיר את זה - להחסיראותם שלוש. אבל אם נגרע שלוש משמאל, צריך להחסיר מימין כדי שלא יפגע השוויון.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

בסדר גמור. עכשיו מה עוצר אותך? \(4x\) בצד ימין, כי צריכים להיות שם רק מספרים. \(4x\) נוכה- אנו מסירים על ידי הוספה.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

כעת אנו מציגים מונחים דומים משמאל ומימין.

זה כמעט מוכן. כל מה שנותר הוא להסיר את החמישה משמאל. מה היא עושה"? מכפיליםעל x. אז בואו נסיר אותו חֲלוּקָה.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

הפתרון הושלם, שורש המשוואה הוא שניים. ניתן לבדוק על ידי החלפה.

שים לב ש לרוב יש רק שורש אחד במשוואות ליניאריות. עם זאת, שני מקרים מיוחדים עשויים להתרחש.

מקרה מיוחד 1 - אין שורשים במשוואה לינארית.

דוגמא . פתרו את המשוואה \(3x-1=2(x+3)+x\)

פִּתָרוֹן :

תשובה : אין שורשים.

למעשה, העובדה שנגיע לתוצאה כזו נראתה קודם לכן, גם כשקיבלנו \(3x-1=3x+6\). תחשוב על זה: איך \(3x\) שממנו הפחתנו \(1\), ו-\(3x\) שאליהם הוספנו \(6\) יכולים להיות שווים? ברור, אין סיכוי, כי הם עשו דברים שונים עם אותו הדבר! ברור שהתוצאות ישתנו.

מקרה מיוחד 2 - למשוואה לינארית יש מספר אינסופי של שורשים.

דוגמא . פתרו משוואה לינארית \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

פִּתָרוֹן :

תשובה : כל מספר.

זה, אגב, היה מורגש עוד קודם לכן, בשלב: \(8x+12=8x+12\). אכן, שמאל וימין הם אותם ביטויים. כל X שתחליף, זה יהיה אותו מספר גם שם וגם שם.

משוואות לינאריות מורכבות יותר.

המשוואה המקורית לא תמיד נראית מיידית כמו ליניארית; לפעמים היא "מסוכה" כאחרת, יותר משוואות מורכבות. עם זאת, בתהליך הטרנספורמציה, התחפושת נעלמת.

דוגמא . מצא את השורש של המשוואה \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

פִּתָרוֹן :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		נראה שיש כאן x בריבוע - זו לא משוואה לינארית! אבל אל תמהר. בואו נגיש מועמדות
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		מדוע תוצאת ההרחבה \((x-4)^(2)\) בסוגריים, אבל התוצאה \((3+x)^(2)\) לא? כי יש מינוס מול הריבוע הראשון, שישנה את כל הסימנים. וכדי לא לשכוח את זה, אנחנו לוקחים את התוצאה בסוגריים, שאנחנו פותחים כעת.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		אנו מציגים מונחים דומים
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		אנו מציגים דומים שוב.
		ככה. מסתבר שהמשוואה המקורית היא לינארית למדי, וה-X בריבוע הוא לא יותר ממסך שיבלבל אותנו. :) נשלים את הפתרון על ידי חלוקת המשוואה ב-\(2\), ונקבל את התשובה.

תשובה : \(x=5\)

דוגמא . פתרו משוואה לינארית \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6) )\)

פִּתָרוֹן :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		המשוואה לא נראית ליניארית, זה סוג של שברים... עם זאת, בואו נפטר מהמכנים על ידי הכפלת שני הצדדים של המשוואה במכנה המשותף של כולם - שישה
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		הרחב את התושבת משמאל
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		עכשיו בואו נצמצם את המכנים
\(3(x+2)-2=9+7x\)		עכשיו זה נראה כמו ליניארי רגיל! בוא נסיים את זה.
		על ידי תרגום באמצעות שווים אנו אוספים X מימין ומספרים משמאל
		ובכן, מחלקים את הצד הימני והשמאלי ב-\(-4\), נקבל את התשובה

תשובה : \(x=-1.25\)