משולשים

משולשדמות נקראת דמות המורכבת משלוש נקודות שאינן שוכנות על קו ישר אחד, ושלושה קטעים המחברים את הנקודות הללו בזוגות. הנקודות נקראות פסגותמשולש, והמקטעים - שלה מסיבות.

סוגי משולשים

המשולש נקרא שְׁוֵה שׁוֹקַיִםאם שתי צלעותיו שוות. צלעות שוות אלו נקראות צדדים,והצד השלישי נקרא בָּסִיסמשולש.

משולש שבו כל הצלעות שוות נקרא שְׁוֵה צְלָעוֹתאוֹ נכון.

המשולש נקרא מַלבֵּנִי,אם יש לו זווית ישרה, אז יש זווית של 90°. הצלע של משולש ישר זווית מול הזווית הישרה נקראת אֲלַכסוֹןשני הצדדים האחרים נקראים רגליים.

המשולש נקרא בעל זווית חדהאם כל שלוש הזוויות שלו חדות, כלומר פחות מ-90 מעלות.

המשולש נקרא קֵהֶה,אם אחת מהזוויות שלו קהה, כלומר גדולה מ-90°.

הקווים הראשיים של המשולש

חֲצִיוֹן

חֲצִיוֹןמשולש הוא קטע קו המחבר את קודקוד המשולש עם נקודת האמצע של הצלע הנגדית של משולש זה.

מאפיינים חציוניים של משולש

החציון מחלק את המשולש לשני משולשים מאותו שטח.

החציונים של משולש מצטלבים בנקודה אחת, המחלקת כל אחד מהם ביחס של 2:1, בספירה מלמעלה. נקודה זו נקראת מרכז כוח המשיכהמשולש.

המשולש כולו מחולק לפי החציונים שלו לשישה משולשים שווים.

חוֹצֶה

חוצה זוויתהיא קרן שמקורה בקודקוד שלה, עוברת בין צלעותיה וחוצה את הזווית הנתונה. חוצה של משולשקטע של חוצה של זווית של משולש המחבר קודקוד לנקודה בצד הנגדי של המשולש נקרא.

תכונות חוצה משולש

גוֹבַה

גוֹבַהמשולש נקרא מאונך הנמשך מקודקוד המשולש אל הישר המכיל את הצלע הנגדית של משולש זה.

מאפייני גובה המשולש

IN משולש ישר זוויתהגובה שנמשך מקודקוד זווית ישרה מחלק אותה לשני משולשים, דוֹמֶהמְקוֹרִי.

IN משולש חריףשני גבהיו מנותקים ממנו דוֹמֶהמשולשים.

חציון ניצב

ישר העובר דרך נקודת האמצע של קטע מאונך אליו נקרא חוצה מאונךלקטע .

מאפיינים של חצויים מאונכים של משולש

כל נקודה של חוצה הניצב לקטע נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע הזה. האמירה ההפוכה נכונה גם היא: כל נקודה הנמצאת במרחק שווה מקצוות הקטע נמצאת על חוצה הניצב אליה.

נקודת החיתוך של חצויים הניצבים הנמשכים אליה צלעות של משולש, הוא המרכז מעגל מוקף סביב המשולש הזה.

קו אמצעי

הקו האמצעי של המשולשקטע קו המחבר את נקודות האמצע של שתיים מצלעותיו נקרא.

תכונה של קו האמצע של משולש

קו האמצע של משולש מקביל לאחת מצלעותיו ושווה למחצית הצלע.

נוסחאות ויחסים

סימני שוויון של משולשים

שני משולשים חופפים אם הם חופפים בהתאמה:

שני צדדים והזווית ביניהם;

שתי פינות וצד צמוד אליהן;

שלושה צדדים.

סימני שוויון של משולשים ישרים

שתיים משולש ישר זוויתשווים אם הם שווים בהתאמה:

אֲלַכסוֹןוזווית חדה

רגלוהפינה הנגדית;

רגלוזווית סמוכה;

שתיים רגל;

אֲלַכסוֹןו רגל.

דמיון של משולשים

שני משולשים דומיםאם מתקיים אחד מהתנאים הבאים, נקרא סימני דמיון:

שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של משולש אחר;

שתי צלעות של משולש אחד פרופורציונליות לשתי צלעות של משולש אחר, והזוויות שנוצרות על ידי צלעות אלו שוות;

שלוש הצלעות של משולש אחד פרופורציונליות בהתאמה לשלוש הצלעות של המשולש השני.

במשולשים דומים, הקווים המתאימים ( גבהים, חציונים, חצוייםוכו') הם פרופורציונליים.

משפט סינוס

צלעות המשולש פרופורציונליות לסינוסים של הזוויות הנגדיות, ומקדם המידתיות שווה ל קוֹטֶר עיגול מוקף על משולש:

משפט קוסינוס

הריבוע של צלע במשולש שווה לסכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות פחות פי שניים המכפלה של הצלעות הללו כפול הקוסינוס של הזווית ביניהן:

א 2 = ב 2 + ג 2 - 2לִפנֵי הַסְפִירָהחַסַת עָלִים

נוסחאות שטח משולש

משולש שרירותי

א ב ג -צדדים; - זווית בין הצדדים או ב- חצי היקפי; ר-רדיוס המעגל המוקף; ר-רדיוס המעגל הכתוב; S-כיכר; ח א - גובה לצד א.

משימות:

1. הציגו לתלמידים סוגים שוניםמשולשים בהתאם לסוג הזוויות (מלבני, חד, קהה). למד למצוא משולשים וסוגיהם בציורים. לתקן את המושגים הגיאומטריים הבסיסיים ותכונותיהם: קו ישר, קטע, קרן, זווית.

2. פיתוח חשיבה, דמיון, דיבור מתמטי.

3. חינוך קשב, פעילות.

במהלך השיעורים

א. רגע ארגוני.

כמה אנחנו צריכים בחורים?
לידיים המיומנות שלנו?
צייר שני ריבועים
ויש להם מעגל גדול.
ואז עוד כמה מעגלים
כובע משולש.
אז זה יצא מאוד מאוד
עליז מוזר.

II. הודעה על נושא השיעור.

היום בשיעור נצא לטיול בעיר הגיאומטריה ונבקר במיקרו-מחוז משולשים (כלומר נכיר סוגי משולשים שונים בהתאם לזוויות שלהם, נלמד למצוא את המשולשים הללו בציורים.) יערוך שיעור בצורה של "משחק תחרות" לפי פקודות.

צוות 1 - "פלח".

צוות 2 - "ריי".

צוות 3 - "פינה".

והאורחים ייצגו את חבר השופטים.

חבר השופטים ינחה אותנו לאורך כל הדרך

ולא יעזוב בלי תשומת לב. (הערך לפי נקודות 5,4,3,...).

ועל מה נטייל בעיר הגיאומטריה? זוכרים אילו סוגי הסעות נוסעים יש בעיר? יש כל כך הרבה מאיתנו, באיזה מהם נבחר? (אוֹטוֹבּוּס).

אוֹטוֹבּוּס. ברור, בקצרה. מתחילה העלייה למטוס.

בואו נהיה נוח ונתחיל את המסע שלנו. קברניטי הקבוצה מקבלים כרטיסים.

אבל הכרטיסים האלה לא קלים, והכרטיסים הם "משימות".

III. חזרה על החומר המכוסה.

עצירה ראשונה"חזור."

שאלה לכל הקבוצות.

מצא קו ישר בשרטוט ותן שם למאפיינים שלו.

ללא קצה וקצה, הקו ישר!
לפחות מאה שנים עוברות על זה,
לא תמצא את סוף הדרך!

• לקו הישר אין לא התחלה ולא סוף - הוא אינסופי, ולכן לא ניתן למדוד אותו.

בואו נתחיל את התחרות שלנו.

הגנה על שמות הצוות שלך.

(כל הצוותים קוראים את השאלות הראשונות ודנים. בתורם, קברניטי הקבוצה קוראים את השאלות, קבוצה אחת קוראת שאלה אחת).

1. הצג קטע בשרטוט. מה שנקרא חתך. תן שם למאפיינים שלו.

• החלק של ישר התחום בשתי נקודות נקרא קטע ישר. לקטע קו יש התחלה וסוף, ולכן ניתן למדוד אותו בעזרת סרגל.

(צוות 2 קורא שאלה אחת).

1. הצג את הקורה בציור. מה שנקרא קורה. תן שם למאפיינים שלו.

• אם מסמנים נקודה ומציירים ממנה חלק מקו ישר, מקבלים תמונה של קורה. הנקודה שממנה נמשך חלק מהקו נקראת תחילת הקרן.

לקורה אין סוף, ולכן לא ניתן למדוד אותה.

(צוות 3 קורא שאלה אחת).

1. הצג את הזווית בציור. מה שנקרא זווית. תן שם למאפיינים שלו.

• ציור שתי קרניים מנקודה אחת, מתקבלת דמות גיאומטרית, הנקראת זווית. לזווית יש קודקוד, והקרניים עצמן נקראות צלעות של הזווית. זוויות נמדדות במעלות באמצעות מד זווית.

פיזקולטמינוטקה (למוזיקה).

IV. מתכוננים ללימוד חומר חדש.

תחנה שניה"מהמם".

בטיול, העיפרון פגש זוויות שונות. רציתי להגיד להם שלום, אבל שכחתי את השם של כל אחד מהם. עיפרון יצטרך לעזור.

(זוויות המחקר נבדקות באמצעות מודל של זווית ישרה).

שיבוץ לצוותים. קראו את שאלות מס' 2 ודנו.

צוות 1 קורא את שאלה 2.

2. מצא זווית ישרה, תן הגדרה.

• זווית של 90° נקראת זווית ישרה.

צוות 2 קורא את שאלה 2.

2. מצא זווית חדה, תן הגדרה.

• זווית קטנה מזווית ישרה נקראת זווית חדה.

צוות 3 קורא את שאלה 2.

2. מצא זווית קהה, תן הגדרה.

זווית גדולה מזווית ישרה נקראת קהה.

באזור המיקרו שבו עיפרון אהב לטייל, כל הפינות היו שונות משאר התושבים בכך ששלושתנו תמיד טיילנו, שלושתנו שתינו תה ושלושתנו הלכנו לקולנוע. והעיפרון לא הצליח להבין איזו דמות גיאומטרית מרכיבות שלוש זוויות ביחד?

שיר ייתן לך רמז.

אתה עלי, אתה עליו
תסתכל על כולנו.
יש לנו הכל, יש לנו הכל
יש לנו רק שלושה!

לאיזו צורה מתייחסים?

• לגבי המשולש.

איזו צורה נקראת משולש?

• משולש הוא דמות גיאומטרית שיש לה שלושה קודקודים, שלוש זוויות ושלוש צלעות.

(הלומדים מציגים משולש בציור, שמות את הקודקודים, הזוויות והצלעות).

קודקודים: A, B, C (נקודות)

זוויות: BAC, ABC, BCA.

צדדים: AB, BC, CA (מקטעים).

V. חינוך גופני:

רקע ברגל 8 פעמים,
מחאו כפיים 9 פעמים
נכריע 10 פעמים,
ולהתכופף 6 פעמים
נקפוץ ישר
כל כך הרבה (צג משולש)
היי, כן, ספור! משחק ועוד!

VI. לימוד חומר חדש.

עד מהרה הפינות הפכו לידידות והפכו בלתי נפרדות.

ועכשיו נקרא למיקרו-מחוז: מיקרו-מחוז המשולשים.

התחנה השלישית היא "זנאיקה".

מהם שמות המשולשים הללו?

בואו ניתן להם שמות. וננסה לנסח את ההגדרה בעצמנו.

2. מצאו משולשים מסוגים שונים

צוות אחד ימצא ויציג משולשים קהים.

פקודה 2 תמצא ותציג משולשים ישרים.

פקודה 3 תמצא ותציג משולשים חדים.

ח. התחנה הבאה היא חשיבה.

משימה לכל הצוותים.

לאחר העברת 6 מקלות, צור 4 משולשים שווים מהפנס.

איזה סוג של זוויות הם משולשים? (בזוית חדה).

ט. סיכום השיעור.

באיזו שכונה ביקרנו?

אילו סוגי משולשים אתם מכירים?

המצולע הפשוט ביותר שנלמד בבית הספר הוא משולש. זה מובן יותר לתלמידים ונתקל בפחות קשיים. למרות העובדה שיש סוגים שוניםמשולשים בעלי תכונות מיוחדות.

איזו צורה נקראת משולש?

נוצר על ידי שלוש נקודות ומקטעי קו. הראשונים נקראים קודקודים, האחרונים נקראים צדדים. יתר על כן, יש לחבר את כל שלושת הקטעים כך שייווצרו פינות ביניהם. מכאן שמה של הדמות "משולש".

הבדלים בשמות בפינות

מכיוון שהם יכולים להיות חדים, קהים וישרים, סוגי המשולשים נקבעים לפי שמות אלה. בהתאם לכך, ישנן שלוש קבוצות של דמויות כאלה.

• ראשון. אם כל הזוויות של משולש חדות, אז זה ייקרא משולש חד. הכל הגיוני.

• שְׁנִיָה. אחת הזוויות היא קהה, ולכן המשולש קהה. יותר קל בשום מקום.

• שְׁלִישִׁי. יש זווית השווה ל-90 מעלות, שנקראת זווית ישרה. המשולש הופך למלבני.

הבדלים בשמות בצדדים

בהתאם לתכונות הצלעות, נבדלים הסוגים הבאים של משולשים:

המקרה הכללי הוא רב תכליתי, שבו לכל הצדדים יש אורך שרירותי;

שווה שוקיים, שלשני צדדים יש אותם ערכים מספריים;

שווה שוקיים, אורכי כל צלעותיו זהים.

אם המשימה לא צוינה תצוגה ספציפיתמשולש, אז אתה צריך לצייר אחד שרירותי. שבו כל הזוויות חדות, והצלעות באורכים שונים.

מאפיינים משותפים לכל המשולשים

1. אם מחברים את כל הזוויות של משולש, תקבל מספר השווה ל-180º. וזה לא משנה איזה סוג זה. כלל זה תקף תמיד.
2. הערך המספרי של כל צלע במשולש קטן משני האחרים בחיבור יחד. יתר על כן, זה גדול מההבדל ביניהם.
3. לכל פינה חיצונית יש ערך שמתקבל על ידי הוספת שתי פינות פנימיות שאינן צמודות לה. יתר על כן, הוא תמיד גדול יותר מהפנימי הסמוך.
4. הצלע הקטנה ביותר במשולש נמצאת תמיד מול הזווית הקטנה ביותר. לעומת זאת, אם הצלע גדולה, אז הזווית תהיה הגדולה ביותר.

מאפיינים אלה תקפים תמיד, לא משנה אילו סוגי משולשים נחשבים בבעיות. כל השאר נובעים מתכונות ספציפיות.

תכונות של משולש שווה שוקיים

• הזוויות הסמוכות לבסיס שוות.
• הגובה שנמשך לבסיס הוא גם החציון והחציון.
• הגבהים, החציונים והחציים, הבנויים לצלעות המשולש, שווים זה לזה בהתאמה.

תכונות של משולש שווה צלעות

אם יש נתון כזה, אז כל המאפיינים שתוארו קצת למעלה יהיו נכונים. כי שווה שוקיים תמיד יהיה שווה שוקיים. אבל לא להיפך, משולש שווה שוקיים לא בהכרח יהיה שווה צלעות.

• כל הזוויות שלו שוות זו לזו ובעלות ערך של 60º.
• כל חציון של משולש שווה צלעות הוא הגובה והחציו שלו. וכולם שווים זה לזה. כדי לקבוע את ערכיהם, יש נוסחה המורכבת ממכפלת הצלע והשורש הריבועי של 3 חלקי 2.

תכונות של משולש ישר זווית

• שתי זוויות חדות מסתכמות ב-90º.
• אורך התחתון תמיד גדול מזה של כל אחת מהרגליים.
• הערך המספרי של החציון הנמשך אל תת-המנוזה שווה למחציתו.
• הרגל שווה לאותו ערך אם היא מונחת מול זווית של 30º.
• לגובה, המצויר מלמעלה בערך של 90º, יש תלות מתמטית מסוימת ברגליים: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / ב-2. כאן: a, c - רגליים, n - גובה.

בעיות עם סוגים שונים של משולשים

מס' 1. נתון משולש שווה שוקיים. היקפו ידוע ושווה ל-90 ס"מ. נדרש להכיר את הצדדים שלו. כתנאי נוסף: הצד הרוחבי קטן פי 1.2 מהבסיס.

ערך ההיקף תלוי ישירות בכמויות שצריך למצוא. סכום כל שלוש הצלעות ייתן 90 ס"מ. עכשיו אתה צריך לזכור את הסימן של משולש, לפיו הוא שווה שוקיים. כלומר, שני הצדדים שווים. אתה יכול ליצור משוואה עם שני לא ידועים: 2a + b \u003d 90. כאן a הוא הצלע, b הוא הבסיס.

הגיע הזמן לתנאי נוסף. בעקבותיו מתקבלת המשוואה השנייה: b \u003d 1.2a. אתה יכול להחליף את הביטוי הזה בביטוי הראשון. מתברר: 2a + 1.2a \u003d 90. לאחר טרנספורמציות: 3.2a \u003d 90. מכאן \u003d 28.125 (ס"מ). עכשיו קל לגלות את הסיבה. עדיף לעשות זאת מהתנאי השני: v \u003d 1.2 * 28.125 \u003d 33.75 (ס"מ).

כדי לבדוק, אתה יכול להוסיף שלושה ערכים: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (ס"מ). בסדר.

תשובה: צלעות המשולש הן 28.125 ס"מ, 28.125 ס"מ, 33.75 ס"מ.

מס' 2. הצלע של משולש שווה צלעות היא 12 ס"מ. אתה צריך לחשב את גובהו.

פִּתָרוֹן. כדי לחפש תשובה, מספיק לחזור לרגע שבו תוארו תכונות המשולש. זוהי הנוסחה למציאת הגובה, החציון והחציו של משולש שווה צלעות.

n \u003d a * √3 / 2, כאשר n הוא הגובה, a הוא הצלע.

החלפה וחישוב נותנים את התוצאה הבאה: n = 6 √3 (ס"מ).

אין צורך לשנן את הנוסחה הזו. די לזכור שהגובה מחלק את המשולש לשניים מלבניים. יתרה מכך, מסתבר שזו רגל, והתחתון בה הוא הצד של זו המקורית, הרגל השנייה היא חצי מהצד המוכר. כעת עליך לרשום את משפט פיתגורס ולהסיק נוסחה לגובה.

תשובה: הגובה הוא 6 √3 ס"מ.

מספר 3. MKR נתון - משולש, 90 מעלות שבו עושה זווית K. הצלעות MP ו-KR ידועות, הן שוות ל-30 ו-15 ס"מ, בהתאמה. אתה צריך לגלות את הערך של הזווית P.

פִּתָרוֹן. אם אתה מצייר ציור, מתברר ש-MP הוא התחתון. יתר על כן, הוא גדול פי שניים מהרגל של התקליטור. שוב, אתה צריך לפנות למאפיינים. אחד מהם קשור רק לפינות. ממנו ברור שזווית ה-KMR היא 30º. אז הזווית הרצויה P תהיה שווה ל-60º. הדבר נובע מנכס אחר הקובע כי הסכום של שניים פינות חדותצריך להיות 90º.

תשובה: זווית R היא 60º.

מס' 4. אתה צריך למצוא את כל הזוויות של משולש שווה שוקיים. ידוע עליו שהזווית החיצונית מהזווית בבסיס היא 110º.

פִּתָרוֹן. מכיוון שרק הפינה החיצונית ניתנת, יש להשתמש בזה. הוא נוצר עם זווית פנימית מפותחת. אז הם מסתכמים ב-180º. כלומר, הזווית בבסיס המשולש תהיה שווה ל-70º. מכיוון שהיא שווה שוקיים, לזווית השנייה יש אותו ערך. נותר לחשב את הזווית השלישית. לפי תכונה משותפת לכל המשולשים, סכום הזוויות הוא 180º. אז השלישי מוגדר כ-180º - 70º - 70º = 40º.

תשובה: הזוויות הן 70º, 70º, 40º.

מס' 5. ידוע שבמשולש שווה שוקיים הזווית מול הבסיס היא 90º. נקודה מסומנת על הבסיס. הקטע המחבר אותו בזווית ישרה מחלק אותו ביחס של 1 ל-4. אתה צריך לדעת את כל הזוויות של המשולש הקטן יותר.

פִּתָרוֹן. אחת הפינות ניתן לקבוע מיד. מכיוון שהמשולש הוא ישר זווית ושווה שוקיים, אלו שנמצאים בבסיסו יהיו 45º, כלומר 90º / 2.

השני מהם יעזור למצוא את הקשר הידוע במצב. מכיוון שהוא שווה ל-1 עד 4, החלקים שאליהם הוא מחולק הם רק 5. אז כדי לגלות את הזווית הקטנה יותר של המשולש, אתה צריך 90º / 5 = 18º. נותר לגלות את השלישי. כדי לעשות זאת, מ-180º (סכום כל הזוויות של משולש), עליך להחסיר 45º ו- 18º. החישובים פשוטים, ומתברר: 117º.

ככלל, שני משולשים נחשבים דומים אם יש להם אותה צורה, גם אם הם בגדלים שונים, מסובבים או אפילו הפוכים.

הייצוג המתמטי של שני משולשים דומים A 1 B 1 C 1 ו- A 2 B 2 C 2 המוצגים באיור נכתב באופן הבא:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

שני משולשים דומים אם:

1. כל זווית של משולש אחד שווה לזווית המתאימה של משולש אחר:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2ו ∠C1 = ∠C2

2. היחסים בין הצלעות של משולש אחד לצלעות המתאימות של משולש אחר שווים זו לזו:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. מערכות יחסים שני צדדיםשל משולש אחד לצלעות המתאימות של משולש אחר שוות זו לזו ובאותו הזמן
הזוויות בין הצלעות הללו שוות:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ ו-$\angle A_1 = \angle A_2$
אוֹ
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ ו-$\angle B_1 = \angle B_2$
אוֹ
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ ו-$\angle C_1 = \angle C_2$

אין לבלבל בין משולשים דומים למשולשים שווים. למשולשים חופפים יש אורכי צלעות מתאימים. אז למשולשים שווים:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

מכאן נובע שכל משולשים שוויםדומים. עם זאת, לא כל המשולשים הדומים שווים.

למרות שהסימון לעיל מראה שכדי לגלות אם שני משולשים דומים או לא, עלינו לדעת את הערכים של שלוש הזוויות או את אורכי שלושת הצלעות של כל משולש, כדי לפתור בעיות עם משולשים דומים, זה מספיק כדי לדעת כל שלושה מהערכים של האמור לעיל עבור כל משולש. ערכים אלה יכולים להיות בשילובים שונים:

1) שלוש זוויות של כל משולש (אין צורך לדעת את אורכי הצלעות של המשולשים).

או שלפחות 2 זוויות של משולש אחד חייבות להיות שוות ל-2 זוויות של משולש אחר.
מכיוון שאם 2 זוויות שוות, אז גם הזווית השלישית תהיה שווה.(ערך הזווית השלישית הוא 180 - זווית1 - זווית2)

2) אורכי הצלעות של כל משולש (אין צורך לדעת את הזוויות);

3) אורכי שתי הצלעות והזווית ביניהן.

לאחר מכן, נשקול את הפתרון של כמה בעיות עם משולשים דומים. תחילה נסתכל על בעיות שניתן לפתור על ידי שימוש ישיר בכללים לעיל, ולאחר מכן נדון בכמה משימות מעשיות, שנפתרים בשיטה של ​​משולשים דומים.

בעיות מעשיות עם משולשים דומים

דוגמה מס' 1: הראה ששני המשולשים באיור למטה דומים.

פִּתָרוֹן:
מכיוון שאורכים של הצלעות של שני המשולשים ידועים, ניתן ליישם את הכלל השני כאן:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC) )=\frac(15)(5)=3$

דוגמה מס' 2: הראה ששני משולשים נתונים דומים ומצא את אורכי הצלעות PQו יחסי ציבור.

פִּתָרוֹן:
∠A = ∠Pו ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(כי ∠C = 180 - ∠A - ∠B ו-∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

מכאן נובע שהמשולשים ∆ABC ו-∆PQR דומים. לָכֵן:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ ו
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

דוגמה מס' 3: קבע את האורך א.בבמשולש הזה.

פִּתָרוֹן:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDו ∠ אמשותף => משולשים ΔABCו ΔADEדומים.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

דוגמה מס' 4: קבע אורך AD(x)דמות גיאומטרית באיור.

משולשים ∆ABC ו- ∆CDE דומים כי AB || DE ויש להם פינה עליונה משותפת C.
אנו רואים שמשולש אחד הוא גרסה בקנה מידה של השני. עם זאת, עלינו להוכיח זאת מתמטית.

א.ב || DE, CD || AC ו-BC || אירופה
∠BAC = ∠EDC ו∠ABC = ∠DEC

בהתבסס על האמור לעיל ובהתחשב בנוכחות של זווית משותפת ג, נוכל לקבוע שמשולשים ∆ABC ו- ∆CDE דומים.

לָכֵן:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = $23.57
x = AC - DC = 23.57 - 15 = 8.57

דוגמאות מעשיות

דוגמה מס' 5: המפעל משתמש במסוע משופע להובלת מוצרים מרמה 1 לרמה 2, שנמצאת 3 מטר מעל מפלס 1, כפי שמוצג באיור. המסוע המשופע מטופל מקצה אחד למפלס 1 ומקצהו השני לתחנת עבודה הממוקמת במרחק של 8 מטרים מנקודת ההפעלה של רמה 1.

המפעל מבקש לשדרג את המסוע לגישה למפלס החדש שנמצא בגובה 9 מטר מעל מפלס 1 תוך שמירה על זווית המסוע.

קבעו את המרחק שבו עליכם להקים עמדת עבודה חדשה כדי לאפשר למסוע לפעול בקצהו החדש ברמה 2. חשבו גם את המרחק הנוסף שיעבור המוצר בעת מעבר למפלס חדש.

פִּתָרוֹן:

ראשית, נסמן כל נקודת חיתוך באות מסוימת, כפי שמוצג באיור.

בהתבסס על ההיגיון שניתנו לעיל בדוגמאות הקודמות, אנו יכולים להסיק שהמשולשים ∆ABC ו- ∆ADE דומים. לָכֵן,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 מיליון דולר
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 מ'

לפיכך, יש להתקין את הנקודה החדשה במרחק של 16 מטר מהנקודה הקיימת.

ומכיוון שהמבנה מורכב ממשולשים ישרים, נוכל לחשב את מרחק הנסיעה של המוצר באופן הבא:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54 m$

באופן דומה, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 m$
שהוא המרחק שהמוצר עובר ברגע שהוא מגיע לרמה הקיימת.

y = AC - AE = 25.63 - 8.54 = 17.09 מ'
זהו המרחק הנוסף שמוצר צריך לעבור כדי להגיע לרמה חדשה.

דוגמה מס' 6: סטיב רוצה לבקר את חבר שלו שעבר לאחרונה בית חדש. מפת הדרכים להגיע אל סטיב וחברו, יחד עם המרחקים הידועים לסטיב, מוצגת באיור. עזור לסטיב להגיע לביתו של חברו בדרך הקצרה ביותר.

פִּתָרוֹן:

ניתן לייצג את מפת הדרכים בצורה גיאומטרית בצורה הבאה, כפי שמוצג באיור.

אנו רואים שמשולשים ∆ABC ו- ∆CDE דומים, לכן:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

בהצהרת המשימה נאמר כי:

AB = 15 ק"מ, AC = 13.13 ק"מ, CD = 4.41 ק"מ ו-DE = 5 ק"מ

בעזרת מידע זה, נוכל לחשב את המרחקים הבאים:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

סטיב יכול להגיע לביתו של חברו באמצעות המסלולים הבאים:

A -> B -> C -> E -> G, המרחק הכולל הוא 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 ק"מ

F -> B -> C -> D -> G, המרחק הכולל הוא 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 ק"מ

F -> A -> C -> E -> G, המרחק הכולל הוא 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 ק"מ

F -> A -> C -> D -> G, המרחק הכולל הוא 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 ק"מ

לכן, מסלול מס' 3 הוא הקצר ביותר וניתן להציעו לסטיב.

דוגמה 7:
טרישה רוצה למדוד את גובה הבית, אבל אין לה את הכלים המתאימים. היא הבחינה שעץ גדל בחזית הבית והחליטה להשתמש בתושייתה ובידע שלה בגיאומטריה שנרכשו בבית הספר כדי לקבוע את גובה הבניין. היא מדדה את המרחק מהעץ לבית, התוצאה הייתה 30 מ' ואז היא עמדה מול העץ והתחילה לסגת עד קצה עליוןמבנים נראו מעל צמרת העץ. טרישה סימנה את הנקודה ומדדה את המרחק ממנה אל העץ. מרחק זה היה 5 מ'.

גובה העץ 2.8 מ' וגובה העיניים של טרישה 1.6 מ' עזרו לטרישה לקבוע את גובה המבנה.

פִּתָרוֹן:

הייצוג הגיאומטרי של הבעיה מוצג באיור.

ראשית אנו משתמשים בדמיון של משולשים ∆ABC ו- ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5) + AC) = 8 + 1.6 \ פעמים AC$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

לאחר מכן נוכל להשתמש בדמיון המשולש ΔACB ו- ΔAFG או ΔADE ו- ΔAFG. בוא נבחר באפשרות הראשונה.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \rightarrow H = \frac(1.6) )(0.16) = 10 m$