סִינוּס זוית חדהα של משולש ישר זווית הוא היחס מולקטטר ליותר התחתון.
הוא מסומן כדלקמן: sin α.
קוסינוסזווית חדה α של משולש ישר זווית היא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית.
הוא מסומן כדלקמן: cos α.
מַשִׁיקזווית חדה α היא היחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה.
הוא מסומן באופן הבא: tg α.
קוטנגנטזווית חדה α היא היחס בין הרגל הסמוכה לרגל הנגדית.
הוא מסומן כדלקמן: ctg α.
הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית תלויים רק בגודל הזווית.
כללים:
זהויות טריגונומטריות בסיסיות במשולש ישר זווית:
(α - זווית חדה מול הרגל ב ובצמוד לרגל א . צַד עם - hypotenuse. β - הזווית החדה השנייה).
ב | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
א | 1 | |
ב | 1 | |
א | 1 1 | |
sinα |
ככל שהזווית החדה גדלהsinα וtg α עלייה, וcos α יורד.
לכל זווית חדה α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
דוגמה מסבירה:
הכניסו משולש ישר זווית ABC
AB = 6,
BC = 3,
זווית A = 30º.
גלה את הסינוס של זווית A ואת הקוסינוס של זווית B.
פתרון.
1) ראשית, אנו מוצאים את הערך של זווית B. הכל פשוט כאן: מכיוון שבמשולש ישר זווית סכום הזוויות החדות הוא 90º, ואז זווית B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) חשב את חטא A. אנו יודעים שהסינוס שווה ליחס בין הרגל הנגדית למתח התחתון. עבור זווית A, הרגל הנגדית היא הצלע BC. כך:
לפני הספירה 3 1
חטא א = -- = - = -
AB 6 2
3) כעת אנו מחשבים את cos B. אנו יודעים שהקוסינוס שווה ליחס בין הרגל הסמוכה לתחתית. עבור זווית B, הרגל הסמוכה היא אותה צד BC. זה אומר שאנחנו שוב צריכים לחלק את BC ב-AB - כלומר לבצע את אותן פעולות כמו בעת חישוב הסינוס של זווית A:
לפני הספירה 3 1
כי B = -- = - = -
AB 6 2
התוצאה היא:
sin A = cos B = 1/2.
חטא 30º = cos 60º = 1/2.
מכאן נובע שבמשולש ישר זווית הסינוס של זווית חדה אחת שווה לקוסינוסזווית חדה נוספת ולהיפך. זו בדיוק המשמעות של שתי הנוסחאות שלנו:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
בוא נבדוק את זה שוב:
1) תן ל-α = 60º. החלפת הערך של α בנוסחת הסינוס, נקבל:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
חטא 30º = cos 60º.
2) תן α = 30º. החלפת הערך של α בנוסחת הקוסינוס, נקבל:
cos (90° - 30º) = חטא 30º.
cos 60° = חטא 30º.
(למידע נוסף על טריגונומטריה, ראה סעיף אלגברה)
היכן שנחשבו המשימות לפתרון משולש ישר זווית, הבטחתי להציג טכניקה לשינון ההגדרות של סינוס וקוסינוס. באמצעותו, תמיד תזכרו במהירות איזו רגל שייכת לתחתית (סמוך או ממול). החלטתי לא לדחות את זה ללא הגבלת זמן, החומר הדרוש נמצא למטה, נא לקרוא אותו 😉
העובדה היא שראיתי שוב ושוב כיצד תלמידים בכיתות י'-י"א מתקשים לזכור את ההגדרות הללו. הם זוכרים היטב שהרגל מתייחסת לתחתית, אבל איזה מהם- לשכוח ו מְבוּלבָּל. המחיר של טעות, כפי שאתה יודע בבחינה, הוא ציון אבוד.
למידע שאציג ישירות למתמטיקה אין שום קשר. היא מזוהה עם חשיבה פיגורטיבית, ובשיטות של חיבור מילולי-לוגי. נכון, אני עצמי, זכרתי אחת ולתמידנתוני הגדרה. אם אתה עדיין שוכח אותם, אז בעזרת הטכניקות המוצגות זה תמיד קל לזכור.
הרשו לי להזכיר לכם את ההגדרות של סינוס וקוסינוס במשולש ישר זווית:
קוסינוסזווית חדה במשולש ישר זווית היא היחס בין הרגל הסמוכה ליותר התחתון:
סִינוּסזווית חדה במשולש ישר זווית היא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית:
אז אילו אסוציאציות המילה קוסינוס מעוררת בכם?
כנראה שלכל אחד יש את שלוזכור את הקישור:
כך, מיד יהיה לך ביטוי בזיכרון שלך -
«… יחס בין רגל ADJACENT לבין hypotenuse».
הבעיה עם ההגדרה של קוסינוס נפתרה.
אם אתה צריך לזכור את ההגדרה של הסינוס במשולש ישר זווית, ואז לזכור את ההגדרה של הקוסינוס, אתה יכול בקלות לקבוע שהסינוס של זווית חדה במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית. אחרי הכל, יש רק שתי רגליים, אם הרגל הסמוכה "תפוסה" על ידי הקוסינוס, אז רק הצד הנגדי נשאר עבור הסינוס.
מה לגבי משיק וקוטנגנט? אותו בלבול. התלמידים יודעים שזהו היחס בין הרגליים, אבל הבעיה היא לזכור איזו מהן מתייחסת לאיזה - או הפוכה לסמוך, או להיפך.
הגדרות:
מַשִׁיקזווית חדה במשולש ישר זווית היא היחס בין הרגל הנגדית לזו הסמוכה:
קוטנגנטזווית חדה במשולש ישר זווית היא היחס בין הרגל הסמוכה למול:
איך לזכור? יש שתי דרכים. האחד משתמש גם בקשר מילולי-לוגי, השני - מתמטי.
שיטה מתמטית
יש הגדרה כזו - הטנגנס של זווית חדה הוא היחס בין הסינוס של זווית לקוסינוס שלה:
* כשזוכרים את הנוסחה, תמיד אפשר לקבוע שהטנגנס של זווית חדה במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית לזו הסמוכה.
כְּמוֹ כֵן.הקוטנגנט של זווית חדה הוא היחס בין הקוסינוס של זווית לסינוס שלה:
כך! לזכור את הנוסחאות האלה, אתה תמיד יכול לקבוע ש:
- הטנגנס של זווית חדה במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה
- הקוטנגנט של זווית חדה במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הסמוכה לזה הנגדית.
שיטה מילולית-לוגית
לגבי משיק. זכור את הקישור:
כלומר, אם אתה צריך לזכור את ההגדרה של המשיק, באמצעות החיבור הלוגי הזה, אתה יכול בקלות לזכור מה זה
"... היחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה"
אם זה נוגע לקוטנג'נט, אם נזכור את ההגדרה של משיק, אתה יכול בקלות להשמיע את ההגדרה של קוטנגנט -
"... היחס בין הרגל הסמוכה להפוכה"
ישנה טכניקה מעניינת לשינון טנגנס וקוטנגנט באתר " טנדם מתמטי " , תראה.
שיטה אוניברסלית
אתה יכול פשוט לטחון.אבל כפי שמראה בפועל, הודות לקשרים מילוליים-לוגיים, אדם זוכר מידע במשך זמן רב, ולא רק מתמטי.
אני מקווה שהחומר היה שימושי עבורך.
בברכה, אלכסנדר קרוטיסקיך
נ.ב: אודה לך אם תספר על האתר ברשתות החברתיות.
הסינוס הוא אחת הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות, שהיישום שלה אינו מוגבל לגיאומטריה בלבד. טבלאות לחישוב פונקציות טריגונומטריות, כמו מחשבונים הנדסיים, אינן תמיד בהישג יד, ולעתים יש צורך בחישוב הסינוס כדי לפתור בעיות שונות. באופן כללי, חישוב הסינוס יעזור לגבש מיומנויות ציור וידע של זהויות טריגונומטריות.
משחקי סרגל ועיפרון
משימה פשוטה: איך למצוא את הסינוס של זווית מצוירת על נייר? כדי לפתור, אתה צריך סרגל רגיל, משולש (או מצפן) ועיפרון. הדרך הפשוטה ביותר לחשב את הסינוס של זווית היא על ידי חלוקת הרגל הרחוקה של משולש עם זווית ישרה בצלע הארוכה - התחתון. לפיכך, ראשית עליך להשלים את הזווית החדה לדמות של משולש ישר זווית על ידי ציור קו מאונך לאחת הקרניים במרחק שרירותי מקודקוד הזווית. יהיה צורך לצפות בזווית של 90 מעלות בדיוק, שעבורה אנו צריכים משולש פקידותי.
השימוש במצפן הוא קצת יותר מדויק, אבל ייקח יותר זמן. על אחת הקרניים צריך לסמן 2 נקודות במרחק מסוים, להגדיר רדיוס על המצפן השווה בערך למרחק בין הנקודות ולצייר חצאי עיגולים עם מרכזים בנקודות אלו עד שהקווים הללו מצטלבים. על ידי חיבור נקודות החיתוך של המעגלים שלנו זה עם זה, נקבל ניצב קפדני לקרן הזווית שלנו, נותר רק להאריך את הקו עד שהוא יחצה עם קרן אחרת.
במשולש המתקבל, אתה צריך למדוד את הצלע מול הפינה ואת הצלע הארוכה על אחת הקרניים עם סרגל. היחס בין המדידה הראשונה לשנייה יהיה הערך הרצוי של הסינוס של הזווית החדה.
מצא את הסינוס לזווית הגדולה מ-90°
עבור זווית קהה, המשימה לא הרבה יותר קשה. צייר קרן מקודקוד ל הצד הנגדיבאמצעות סרגל ליצור קו ישר עם אחת מקרני הזווית המעניינת אותנו. עם הזווית החדה שהתקבלה, המשך כמתואר לעיל, הסינוסים פינות סמוכות, היוצרים יחד זווית מפותחת של 180 מעלות, שווים.
חישוב הסינוס מפונקציות טריגונומטריות אחרות
כמו כן, חישוב הסינוס אפשרי אם ידועים הערכים של פונקציות טריגונומטריות אחרות של הזווית או לפחות אורך צלעות המשולש. זהויות טריגונומטריות יעזרו לנו בכך. בואו נסתכל על דוגמאות נפוצות.
איך למצוא את הסינוס עם קוסינוס ידוע של זווית? הזהות הטריגונומטרית הראשונה, המגיעה ממשפט פיתגורס, אומרת שסכום הריבועים של הסינוס והקוסינוס של אותה זווית שווה לאחד.
כיצד למצוא את הסינוס עם טנגנס ידוע של זווית? הטנגנס מתקבל על ידי חלוקת הרגל הרחוקה בסמוך או על ידי חלוקת הסינוס בקוסינוס. לפיכך, הסינוס יהיה המכפלה של הקוסינוס והטנגנס, וריבוע הסינוס יהיה הריבוע של מכפלה זה. נחליף את הקוסינוס בריבוע בהפרש בין אחדות לסינוס בריבוע לפי הראשון זהות טריגונומטריתועל ידי מניפולציות פשוטות אנו מביאים את המשוואה לחישוב הסינוס הריבועי דרך הטנגנס, בהתאמה, כדי לחשב את הסינוס, תצטרך לחלץ את השורש מהתוצאה שהתקבלה.
כיצד למצוא את הסינוס עם קוטנגנט ידוע של זווית? ניתן לחשב את ערך הקוטנגנט על ידי חלוקת אורך הרגל הקרובה מזווית הרגל באורך הרחוקה, וכן חלוקת הקוסינוס בסינוס, כלומר, הקוטנגנט הוא הפונקציה ההפוכה של הטנגנס. ביחס למספר 1. כדי לחשב את הסינוס, ניתן לחשב את הטנגנס באמצעות הנוסחה tg α \u003d 1 / ctg α ולהשתמש בנוסחה שבאופציה השנייה. ניתן גם לגזור נוסחה ישירה באנלוגיה לטנגנס, שתיראה כך.
כיצד למצוא את הסינוס של שלוש הצלעות של משולש
יש נוסחה למציאת אורך הצלע הלא ידועה של כל משולש, לא רק משולש ישר זווית, בהינתן שתי צלעות ידועות באמצעות הפונקציה הטריגונומטרית של הקוסינוס של הזווית הנגדית. היא נראית ככה.
מהו הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס, הקוטנגנט של זווית יעזור לך להבין משולש ישר זווית.
איך נקראות הצלעות של משולש ישר זווית? נכון, התחתון והרגליים: התחתון הוא הצלע שנמצאת מול הזווית הישרה (בדוגמה שלנו, זו הצלע \ (AC \) ); הרגליים הן שתי הצלעות הנותרות \ (AB \) ו-\ (BC \) (אלה שצמודות ל זווית נכונה), יתר על כן, אם ניקח בחשבון את הרגליים ביחס לזווית \ (BC \) , אז הרגל \ (AB \) היא הרגל הסמוכה, והרגל \ (BC \) היא הפוכה. אז, עכשיו בואו נענה על השאלה: מה הם הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית?
סינוס של זווית- זהו היחס בין הרגל הנגדית (הרחוקה) לתחתית.
במשולש שלנו:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
קוסינוס של זווית- זהו היחס בין הרגל הסמוכה (הצמודה) ליותר התחתון.
במשולש שלנו:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
משיק זווית- זהו היחס בין הרגל הנגדית (הרחוקה) לסמוך (קרוב).
במשולש שלנו:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
קוטנגנט של זווית- זהו היחס בין הרגל הסמוכה (הצמודה) להפוכה (הרחוקה).
במשולש שלנו:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
הגדרות אלו נחוצות זכור! כדי שיהיה קל יותר לזכור באיזו רגל לחלק במה, עליך להבין זאת בבירור מַשִׁיקו קוטנגנטרק הרגליים יושבות, והתחתון מופיע רק בפנים סִינוּסו קוסינוס. ואז אתה יכול להמציא שרשרת של אסוציאציות. לדוגמה, זה:
קוסינוס → מגע → מגע → סמוך;
קוטנגנט → מגע → מגע → סמוך.
קודם כל, יש לזכור שהסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי כיחסים של צלעות משולש אינם תלויים באורכי הצלעות הללו (בזוית אחת). לא מאמינים? לאחר מכן ודא על ידי התבוננות בתמונה:
שקול, למשל, את הקוסינוס של הזווית \(\beta \) . בהגדרה, ממשולש \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), אבל אנחנו יכולים לחשב את הקוסינוס של הזווית \(\beta \) מהמשולש \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). אתה מבין, אורכי הצלעות שונים, אבל הערך של הקוסינוס של זווית אחת זהה. לפיכך, הערכים של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט תלויים אך ורק בגודל הזווית.
אם אתה מבין את ההגדרות, אז קדימה ותתקן אותן!
עבור המשולש \(ABC \) , המוצג באיור למטה, אנו מוצאים \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
נו, הבנת? לאחר מכן נסה זאת בעצמך: חשב את אותו הדבר עבור הזווית \(\beta \) .
תשובות: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
מעגל יחידה (טריגונומטרי).
בהבנת המושגים תואר ורדיאן, חשבנו על מעגל עם רדיוס שווה ל-\ (1 \) . מעגל כזה נקרא יחיד. זה מאוד שימושי בחקר הטריגונומטריה. לכן, אנו מתעכבים על זה קצת יותר בפירוט.
כפי שניתן לראות, מעגל זה בנוי במערכת הקואורדינטות הקרטזית. רדיוס המעגל שווה לאחד, בעוד שמרכז המעגל נמצא במקור, המיקום ההתחלתי של וקטור הרדיוס קבוע לאורך הכיוון החיובי של ציר \(x \) (בדוגמה שלנו, זהו ה- רדיוס \(AB \) ).
כל נקודה במעגל מתאימה לשני מספרים: הקואורדינטה לאורך הציר \(x \) והקואורדינטה לאורך הציר \(y \) . מהם מספרי הקואורדינטות האלה? ובכלל, מה הם קשורים לנושא הנדון? כדי לעשות זאת, זכור לגבי המשולש בעל הזווית הנחשבת. באיור למעלה, ניתן לראות שני משולשים ישרים שלמים. שקול את המשולש \(ACG \) . הוא מלבני מכיוון ש-\(CG \) מאונך לציר \(x\).
מהו \(\cos \ \alpha \) מהמשולש \(ACG \) ? זה נכון \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). חוץ מזה, אנחנו יודעים ש\(AC \) הוא הרדיוס של מעגל היחידה, אז \(AC=1 \) . החלף את הערך הזה בנוסחת הקוסינוס שלנו. זה מה שקורה:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
ומה זה \(\sin \ \alpha \) מהמשולש \(ACG \) ? ובכן, כמובן, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! החלף את הערך של הרדיוס \ (AC \) בנוסחה זו וקבל:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
אז, אתה יכול להגיד לי מהן הקואורדינטות של הנקודה \(C \) , השייכת למעגל? ובכן, אין מצב? אבל מה אם אתה מבין ש-\(\cos \ \alpha \) ו-\(\sin \alpha \) הם רק מספרים? לאיזו קואורדינטה מתאימה \(\cos \alpha \)? ובכן, כמובן, הקואורדינטה \(x \) ! ולאיזו קואורדינטה מתאימה \(\sin \alpha \)? נכון, הקואורדינטה \(y\)! אז הנקודה \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
מה הם אם כן \(tg \alpha \) ו-\(ctg \alpha \) ? זה נכון, בואו נשתמש בהגדרות המתאימות של משיק וקוטנגנט ונקבל את זה \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), א \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
מה אם הזווית גדולה יותר? הנה, למשל, כמו בתמונה הזו:
מה השתנה בדוגמה זו? בוא נבין את זה. לשם כך נפנה שוב למשולש ישר זווית. ראה משולש ישר זווית \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : זווית (כסמוך לזווית \(\beta \) ). מהו הערך של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט לזווית \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? זה נכון, אנו נצמדים להגדרות המתאימות של פונקציות טריגונומטריות:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(מערך) \)
ובכן, כפי שאתה יכול לראות, הערך של הסינוס של הזווית עדיין מתאים לקואורדינטה \ (y \) ; הערך של הקוסינוס של הזווית - הקואורדינטה \ (x \) ; והערכים של משיק וקוטנגנט ליחסים המתאימים. לפיכך, יחסים אלה ישימים לכל סיבוב של וקטור הרדיוס.
כבר הוזכר שהמיקום ההתחלתי של וקטור הרדיוס הוא לאורך הכיוון החיובי של ציר \(x\). עד כה סובבנו את הווקטור הזה נגד כיוון השעון, אבל מה קורה אם נסובב אותו עם כיוון השעון? שום דבר יוצא דופן, תקבל גם זווית בגודל מסוים, אבל רק היא תהיה שלילית. לפיכך, כאשר מסובבים את וקטור הרדיוס נגד כיוון השעון, אנו מקבלים זוויות חיוביות, וכאשר מסתובבים בכיוון השעון - שלילי.
אז, אנחנו יודעים שכל הסיבוב של וקטור הרדיוס סביב המעגל הוא \(360()^\circ \) או \(2\pi \) . האם ניתן לסובב את וקטור הרדיוס ב-\(390()^\circ \) או ב-\(-1140()^\circ \) ? ובכן, כמובן שאתה יכול! במקרה הראשון, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), אז וקטור הרדיוס יעשה סיבוב אחד מלא ויעצור ב-\(30()^\circ \) או \(\dfrac(\pi )(6) \) .
במקרה השני, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), כלומר, וקטור הרדיוס יבצע שלוש סיבובים שלמים ויעצור במיקום \(-60()^\circ \) או \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
לפיכך, מהדוגמאות לעיל, אנו יכולים להסיק שזוויות השונות ב-\(360()^\circ \cdot m \) או \(2\pi \cdot m \) (כאשר \(m \) הוא כל מספר שלם ) תואמים לאותו מיקום של וקטור הרדיוס.
האיור שלהלן מציג את הזווית \(\beta =-60()^\circ \) . אותה תמונה מתאימה לפינה \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)וכו ' ניתן להמשיך ברשימה זו ללא הגבלת זמן. את כל הזוויות האלה אפשר לכתוב עם הנוסחה הכללית \(\beta +360()^\circ \cdot m \)או \(\beta +2\pi \cdot m \) (כאשר \(m \) הוא כל מספר שלם)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(מערך) \)
כעת, הכרת ההגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות ושימוש מעגל יחידה, נסה לענות למה הערכים שווים:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(מערך) \)
להלן מעגל יחידות שיעזור לך:
יש קשיים? אז בואו נבין את זה. אז אנחנו יודעים ש:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(מערך) \)
מכאן, אנו קובעים את הקואורדינטות של הנקודות המתאימות למידות מסוימות של הזווית. ובכן, בואו נתחיל לפי הסדר: הפינה פנימה \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)מתאים לנקודה עם קואורדינטות \(\left(0;1 \right) \), לכן:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- לא קיים;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
יתר על כן, תוך הקפדה על אותו היגיון, אנו מגלים שהפינות פנימה \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\\ )מתאימות לנקודות עם קואורדינטות \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), בהתאמה. בידיעה זו, קל לקבוע את הערכים של פונקציות טריגונומטריות בנקודות המתאימות. נסה את זה בעצמך קודם, ואז בדוק את התשובות.
תשובות:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(ctg)\\pi \)- לא קיים
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- לא קיים
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- לא קיים
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- לא קיים
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
לפיכך, נוכל ליצור את הטבלה הבאה:
אין צורך לזכור את כל הערכים הללו. די לזכור את ההתאמה בין קואורדינטות הנקודות במעגל היחידה לבין ערכי הפונקציות הטריגונומטריות:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(צריך לזכור או להיות מסוגל להוציא!! \) !}
והנה הערכים של הפונקציות הטריגונומטריות של הזוויות ב- ו \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)המופיע בטבלה למטה, עליך לזכור:
אין צורך לפחד, כעת נראה את אחת הדוגמאות לשינון פשוט למדי של הערכים המתאימים:
כדי להשתמש בשיטה זו, חיוני לזכור את ערכי הסינוס עבור כל שלושת מדדי הזווית ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), כמו גם הערך של הטנגנס של הזווית ב-\(30()^\circ \) . הכרת ערכי \(4\) אלה, די קל לשחזר את כל הטבלה - ערכי הקוסינוס מועברים בהתאם לחצים, כלומר:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(מערך) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), בידיעה זאת, ניתן לשחזר את הערכים עבור \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). המונה "\(1 \) " יתאים ל-\(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , והמכנה "\(\sqrt(\text(3)) \)" יתאים ל-\ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . ערכי קוטנגנטים מועברים בהתאם לחצים המוצגים באיור. אם אתה מבין את זה וזוכר את הסכימה עם חיצים, זה יספיק לזכור רק ערכי \(4 \) מהטבלה.
קואורדינטות של נקודה במעגל
האם ניתן למצוא נקודה (קואורדינטות שלה) על מעגל, לדעת את הקואורדינטות של מרכז המעגל, הרדיוס וזווית הסיבוב שלו? ובכן, כמובן שאתה יכול! בואו נגזר נוסחה כללית למציאת הקואורדינטות של נקודה. כאן, למשל, יש לנו מעגל כזה:
ניתנת לנו הנקודה הזו \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)הוא מרכז המעגל. רדיוס המעגל הוא \(1,5 \) . יש צורך למצוא את הקואורדינטות של הנקודה \(P \) המתקבלת על ידי סיבוב הנקודה \(O \) ב-\(\delta \) מעלות.
כפי שניתן לראות מהאיור, הקואורדינטה \ (x \) של הנקודה \ (P \) מתאימה לאורך הקטע \ (TP=UQ=UK+KQ \) . אורך הקטע \ (UK \) מתאים לקואורדינטה \ (x \) של מרכז המעגל, כלומר שווה ל-\ (3 \) . ניתן לבטא את אורך הקטע \(KQ \) באמצעות ההגדרה של קוסינוס:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
אז יש לנו את זה עבור הנקודה \(P \) הקואורדינטה \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
לפי אותו היגיון, אנו מוצאים את הערך של קואורדינטת y עבור הנקודה \(P\) . לכן,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
אז פנימה השקפה כלליתקואורדינטות נקודות נקבעות על ידי הנוסחאות:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(מערך) \), איפה
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - קואורדינטות של מרכז המעגל,
\(r\) - רדיוס מעגל,
\(\delta \) - זווית סיבוב של רדיוס הווקטור.
כפי שאתה יכול לראות, עבור מעגל היחידה שאנו שוקלים, נוסחאות אלה מופחתות באופן משמעותי, מכיוון שהקואורדינטות של המרכז הן אפס, והרדיוס שווה לאחד:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript מושבת בדפדפן שלך.יש להפעיל פקדי ActiveX כדי לבצע חישובים!
המושגים סינוס (), קוסינוס (), טנגנס (), קוטנגנט () קשורים קשר בל יינתק עם מושג הזווית. כדי להבין אותם היטב במבט ראשון, מושגים מורכבים(שגורמים למצב של אימה אצל תלמידי בית ספר רבים), ולוודא ש"השטן לא מפחיד כמו שהוא מצוייר", נתחיל מההתחלה ונבין את המושג זווית.
מושג הזווית: רדיאן, תואר
בואו נסתכל על התמונה. הווקטור "הסתובב" ביחס לנקודה בכמות מסוימת. אז המדד של הסיבוב הזה ביחס למיקום ההתחלתי יהיה פינה.
מה עוד אתה צריך לדעת על מושג הזווית? ובכן, יחידות זווית, כמובן!
ניתן למדוד זווית, הן בגיאומטריה והן בטריגונומטריה, במעלות וברדיאנים.
זווית של (מעלה אחת) נקראת פינה מרכזיתבמעגל, על בסיס קשת מעגלית השווה לחלק מהמעגל. לפיכך, המעגל כולו מורכב מ"חתיכות" של קשתות מעגליות, או שהזווית המתוארת על ידי המעגל שווה.
כלומר, האיור שלמעלה מציג זווית שווה, כלומר זווית זו מבוססת על קשת מעגלית בגודל ההיקף.
זווית ברדיאנים נקראת הזווית המרכזית במעגל, על בסיס קשת מעגלית שאורכה שווה לרדיוס המעגל. נו, הבנת? אם לא, אז בואו נסתכל על התמונה.
אז, האיור מציג זווית השווה לרדיאן, כלומר זווית זו מבוססת על קשת מעגלית, שאורכה שווה לרדיוס המעגל (האורך שווה לאורכו או הרדיוס שווה לרדיוס המעגל. אורך הקשת). לפיכך, אורך הקשת מחושב על ידי הנוסחה:
איפה הזווית המרכזית ברדיאנים.
ובכן, אם אתה יודע את זה, אתה יכול לענות כמה רדיאנים מכילים זווית המתוארת על ידי מעגל? כן, בשביל זה אתה צריך לזכור את הנוסחה של היקף מעגל. הנה היא:
ובכן, עכשיו בואו נקשר בין שתי הנוסחאות הללו ונקבל שהזווית המתוארת על ידי המעגל שווה. כלומר, מתאם את הערך במעלות וברדיאנים, אנחנו מקבלים את זה. בהתאמה,. כפי שניתן לראות, בניגוד ל"מעלות", המילה "רדיאן" נשמטת, שכן יחידת המדידה ברורה בדרך כלל מההקשר.
כמה רדיאנים יש? זה נכון!
הבנת? ואז מהדקים קדימה:
יש קשיים? ואז הסתכל תשובות:
משולש ישר זווית: סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט של זווית
אז, עם מושג הזווית הבין. אבל מהו הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס, הקוטנגנט של זווית? בוא נבין את זה. בשביל זה, משולש ישר זווית יעזור לנו.
איך נקראות הצלעות של משולש ישר זווית? נכון, התחתון והרגליים: התחתון הוא הצלע שנמצאת מול הזווית הישרה (בדוגמה שלנו, זו הצלע); הרגליים הן שתי הצלעות הנותרות ו(אלה שצמודות לזווית הימנית), יתרה מכך, אם ניקח בחשבון את הרגליים ביחס לזווית, אז הרגל היא הרגל הסמוכה, והרגל היא הפוכה. אז, עכשיו בואו נענה על השאלה: מה הם הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית?
סינוס של זוויתהוא היחס בין הרגל המנוגדת (הרחוקה) לתחתית.
במשולש שלנו.
קוסינוס של זווית- זהו היחס בין הרגל הסמוכה (הצמודה) ליותר התחתון.
במשולש שלנו.
משיק זווית- זהו היחס בין הרגל הנגדית (הרחוקה) לסמוך (קרוב).
במשולש שלנו.
קוטנגנט של זווית- זהו היחס בין הרגל הסמוכה (הצמודה) להפוכה (הרחוקה).
במשולש שלנו.
הגדרות אלו נחוצות זכור! כדי שיהיה קל יותר לזכור באיזו רגל לחלק במה, עליך להבין זאת בבירור מַשִׁיקו קוטנגנטרק הרגליים יושבות, והתחתון מופיע רק בפנים סִינוּסו קוסינוס. ואז אתה יכול להמציא שרשרת של אסוציאציות. לדוגמה, זה:
קוסינוס → מגע → מגע → סמוך;
קוטנגנט → מגע → מגע → סמוך.
קודם כל, יש לזכור שהסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי כיחסים של צלעות משולש אינם תלויים באורכי הצלעות הללו (בזוית אחת). לא מאמינים? לאחר מכן ודא על ידי התבוננות בתמונה:
קחו למשל את הקוסינוס של זווית. בהגדרה, ממשולש: , אבל אנחנו יכולים לחשב את הקוסינוס של זווית ממשולש: . אתה מבין, אורכי הצלעות שונים, אבל הערך של הקוסינוס של זווית אחת זהה. לפיכך, הערכים של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט תלויים אך ורק בגודל הזווית.
אם אתה מבין את ההגדרות, אז קדימה ותתקן אותן!
עבור המשולש המוצג באיור למטה, אנו מוצאים.
נו, הבנת? ואז נסה את זה בעצמך: חשב את אותו הדבר עבור הפינה.
מעגל יחידה (טריגונומטרי).
מתוך הבנת המושגים של מעלות ורדיאנים, שקלנו מעגל עם רדיוס שווה ל. מעגל כזה נקרא יחיד. זה מאוד שימושי בחקר הטריגונומטריה. לכן, אנו מתעכבים על זה קצת יותר בפירוט.
כפי שניתן לראות, מעגל זה בנוי במערכת הקואורדינטות הקרטזית. רדיוס המעגל שווה לאחד, בעוד שמרכז המעגל נמצא במקור, המיקום ההתחלתי של וקטור הרדיוס קבוע לאורך הכיוון החיובי של הציר (בדוגמה שלנו, זהו הרדיוס).
כל נקודה במעגל מתאימה לשני מספרים: הקואורדינטה לאורך הציר והקואורדינטה לאורך הציר. מהם מספרי הקואורדינטות האלה? ובכלל, מה הם קשורים לנושא הנדון? כדי לעשות זאת, זכור לגבי המשולש בעל הזווית הנחשבת. באיור למעלה, ניתן לראות שני משולשים ישרים שלמים. קחו בחשבון משולש. הוא מלבני כי הוא מאונך לציר.
למה שווה ממשולש? זה נכון. בנוסף, אנו יודעים שזהו הרדיוס של מעגל היחידה, ולכן, . החלף את הערך הזה בנוסחת הקוסינוס שלנו. זה מה שקורה:
ולמה שווה ממשולש? ובכן, כמובן, ! החלף את ערך הרדיוס בנוסחה זו וקבל:
אז, אתה יכול להגיד לי מהן הקואורדינטות של נקודה ששייכת למעגל? ובכן, אין מצב? ואם אתה מבין את זה והם רק מספרים? לאיזו קואורדינטה זה מתאים? ובכן, כמובן, הקואורדינטה! לאיזו קואורדינטה זה מתאים? נכון, תיאום! לפיכך, הנקודה.
ומה אם כן שווים ו? זה נכון, בואו נשתמש בהגדרות המתאימות של משיק וקוטנגנט ונקבל את זה, א.
מה אם הזווית גדולה יותר? הנה, למשל, כמו בתמונה הזו:
מה השתנה בדוגמה זו? בוא נבין את זה. לשם כך נפנה שוב למשולש ישר זווית. קחו בחשבון משולש ישר זווית: זווית (כסמוך לזווית). מהו הערך של הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית? זה נכון, אנו נצמדים להגדרות המתאימות של פונקציות טריגונומטריות:
ובכן, כפי שאתה יכול לראות, הערך של הסינוס של הזווית עדיין מתאים לקואורדינטה; ערך הקוסינוס של הזווית - הקואורדינטה; והערכים של משיק וקוטנגנט ליחסים המתאימים. לפיכך, יחסים אלה ישימים לכל סיבוב של וקטור הרדיוס.
כבר הוזכר שהמיקום ההתחלתי של וקטור הרדיוס הוא לאורך הכיוון החיובי של הציר. עד כה סובבנו את הווקטור הזה נגד כיוון השעון, אבל מה קורה אם נסובב אותו עם כיוון השעון? שום דבר יוצא דופן, תקבל גם זווית בגודל מסוים, אבל רק היא תהיה שלילית. לפיכך, כאשר מסובבים את וקטור הרדיוס נגד כיוון השעון, אנו מקבלים זוויות חיוביות, וכאשר מסתובבים בכיוון השעון - שלילי.
אז, אנחנו יודעים שמהפכה שלמה של וקטור הרדיוס סביב המעגל היא או. האם ניתן לסובב את וקטור הרדיוס לפי או לפי? ובכן, כמובן שאתה יכול! במקרה הראשון, אם כן, וקטור הרדיוס יבצע סיבוב אחד שלמה ויעצור בעמדה או.
במקרה השני, כלומר, וקטור הרדיוס יבצע שלוש סיבובים שלמים ויעצור במיקום או.
לפיכך, מהדוגמאות לעיל, אנו יכולים להסיק שזוויות השונות או (היכן הוא מספר שלם) מתאימות לאותו מיקום של וקטור הרדיוס.
האיור שלהלן מציג זווית. אותה תמונה מתאימה לפינה, וכן הלאה. ניתן להמשיך ברשימה זו ללא הגבלת זמן. ניתן לכתוב את כל הזוויות הללו עם הנוסחה הכללית או (היכן הוא כל מספר שלם)
כעת, הכרת ההגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות ושימוש במעגל היחידה, נסה לענות למה הערכים שווים:
להלן מעגל יחידות שיעזור לך:
יש קשיים? אז בואו נבין את זה. אז אנחנו יודעים ש:
מכאן, אנו קובעים את הקואורדינטות של הנקודות המתאימות למידות מסוימות של הזווית. ובכן, בואו נתחיל לפי הסדר: הפינה ב מתאימה לנקודה עם קואורדינטות, לכן:
לא קיים;
יתרה מכך, תוך הקפדה על אותו היגיון, אנו מגלים שהפינות מתאימות לנקודות עם קואורדינטות, בהתאמה. בידיעה זו, קל לקבוע את הערכים של פונקציות טריגונומטריות בנקודות המתאימות. נסה את זה בעצמך קודם, ואז בדוק את התשובות.
תשובות:
לא קיים
לא קיים
לא קיים
לא קיים
לפיכך, נוכל ליצור את הטבלה הבאה:
אין צורך לזכור את כל הערכים הללו. די לזכור את ההתאמה בין קואורדינטות הנקודות במעגל היחידה לבין ערכי הפונקציות הטריגונומטריות:
אבל הערכים של הפונקציות הטריגונומטריות של הזוויות ב, ובנתונים בטבלה שלהלן, חייבים לזכור:
אל תפחד, עכשיו נראה את אחת הדוגמאות שינון פשוט למדי של הערכים המתאימים:
כדי להשתמש בשיטה זו, חיוני לזכור את ערכי הסינוס עבור כל שלושת המידות של הזווית (), כמו גם את הערך של הטנגנס של הזווית ב. הכרת הערכים הללו, די קל לשחזר את כל הטבלה - ערכי הקוסינוס מועברים בהתאם לחצים, כלומר:
בידיעה זו, אתה יכול לשחזר את הערכים עבור. המונה " " יתאים והמכנה " " יתאים. ערכי קוטנגנטים מועברים בהתאם לחצים המוצגים באיור. אם אתה מבין את זה ותזכור את הדיאגרמה עם החצים, אז זה יהיה מספיק כדי לזכור את כל הערך מהטבלה.
קואורדינטות של נקודה במעגל
האם ניתן למצוא נקודה (קואורדינטות שלה) על מעגל, הכרת הקואורדינטות של מרכז המעגל, הרדיוס וזווית הסיבוב שלו?
ובכן, כמובן שאתה יכול! בואו נוציא נוסחה כללית למציאת הקואורדינטות של נקודה.
כאן, למשל, יש לנו מעגל כזה:
ניתן לנו שהנקודה היא מרכז המעגל. רדיוס המעגל שווה. יש צורך למצוא את הקואורדינטות של הנקודה המתקבלת על ידי סיבוב הנקודה במעלות.
כפי שניתן לראות מהאיור, הקואורדינטה של הנקודה מתאימה לאורך הקטע. אורך הקטע מתאים לקואורדינטת מרכז המעגל, כלומר שווה ל. ניתן לבטא את אורכו של קטע באמצעות ההגדרה של קוסינוס:
אז יש לנו את זה עבור הנקודה הקואורדינטה.
לפי אותו היגיון, אנו מוצאים את הערך של קואורדינטת y עבור הנקודה. לכן,
אז, באופן כללי, הקואורדינטות של הנקודות נקבעות על ידי הנוסחאות:
קואורדינטות מרכז מעגל,
רדיוס מעגל,
זווית סיבוב של וקטור הרדיוס.
כפי שאתה יכול לראות, עבור מעגל היחידה שאנו שוקלים, נוסחאות אלה מופחתות באופן משמעותי, מכיוון שהקואורדינטות של המרכז הן אפס, והרדיוס שווה לאחד:
ובכן, בואו ננסה את הנוסחאות האלה לטעום, נתרגל מציאת נקודות על עיגול?
1. מצא את הקואורדינטות של נקודה במעגל יחידה המתקבלת על ידי הפעלת נקודה.
2. מצא את הקואורדינטות של נקודה במעגל יחידה המתקבלת על ידי הפעלת נקודה.
3. מצא את הקואורדינטות של נקודה במעגל יחידה המתקבלת על ידי הפעלת נקודה.
4. נקודה - מרכז המעגל. רדיוס המעגל שווה. יש צורך למצוא את הקואורדינטות של הנקודה המתקבלת על ידי סיבוב וקטור הרדיוס הראשוני על ידי.
5. נקודה - מרכז המעגל. רדיוס המעגל שווה. יש צורך למצוא את הקואורדינטות של הנקודה המתקבלת על ידי סיבוב וקטור הרדיוס הראשוני על ידי.
מתקשים למצוא את הקואורדינטות של נקודה במעגל?
פתרו את חמש הדוגמאות הללו (או הבינו היטב את הפתרון) ותלמדו כיצד למצוא אותן!
1.
אפשר לראות ש. ואנחנו יודעים מה מתאים לסיבוב מלא של נקודת ההתחלה. לפיכך, הנקודה הרצויה תהיה באותו מיקום כמו בעת הפנייה. בידיעה זו, אנו מוצאים את הקואורדינטות הרצויות של הנקודה:
2. המעגל הוא יחידה עם מרכז בנקודה, מה שאומר שאנו יכולים להשתמש בנוסחאות מפושטות:
אפשר לראות ש. אנו יודעים מה מתאים לשני סיבובים שלמים של נקודת ההתחלה. לפיכך, הנקודה הרצויה תהיה באותו מיקום כמו בעת הפנייה. בידיעה זו, אנו מוצאים את הקואורדינטות הרצויות של הנקודה:
סינוס וקוסינוס הם ערכים טבלאריים. אנו זוכרים את הערכים שלהם ומקבלים:
לפיכך, לנקודה הרצויה יש קואורדינטות.
3. המעגל הוא יחידה עם מרכז בנקודה, מה שאומר שאנו יכולים להשתמש בנוסחאות מפושטות:
אפשר לראות ש. בואו נתאר את הדוגמה הנחשבת באיור:
הרדיוס יוצר זוויות כשהציר שווה ל- ו. בידיעה שהערכים הטבלאריים של הקוסינוס והסינוס שווים, ולאחר שקבענו שהקוסינוס כאן מקבל ערך שלילי, והסינוס חיובי, יש לנו:
דוגמאות דומות מנותחות ביתר פירוט בעת לימוד הנוסחאות להפחתת פונקציות טריגונומטריות בנושא.
לפיכך, לנקודה הרצויה יש קואורדינטות.
4.
זווית סיבוב של רדיוס הווקטור (לפי תנאי)
כדי לקבוע את הסימנים המתאימים של סינוס וקוסינוס, אנו בונים מעגל יחידה וזווית:
כפי שאתה יכול לראות, הערך, כלומר חיובי, והערך, כלומר, שלילי. הכרת הערכים הטבלאיים של הפונקציות הטריגונומטריות המתאימות, אנו משיגים כי:
בואו נחליף את הערכים שהתקבלו בנוסחה שלנו ונמצא את הקואורדינטות:
לפיכך, לנקודה הרצויה יש קואורדינטות.
5. כדי לפתור בעיה זו, אנו משתמשים בנוסחאות בצורה כללית, איפה
הקואורדינטות של מרכז המעגל (בדוגמה שלנו,
רדיוס מעגל (לפי מצב)
זווית סיבוב של וקטור הרדיוס (לפי תנאי).
החלף את כל הערכים בנוסחה וקבל:
וכן - ערכי טבלה. אנו זוכרים ומחליפים אותם בנוסחה:
לפיכך, לנקודה הרצויה יש קואורדינטות.
תקציר ונוסחה בסיסית
הסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית (הרחוקה) לבין היריעה.
הקוסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הסמוכה (הצמודה) ליותר התחתון.
הטנגנס של זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית (הרחוקה) לסמוך (קרוב).
הקוטנגנט של זווית הוא היחס בין הרגל הסמוכה (קרוב) למול (הרחוק).
