המושגים סינוס (), קוסינוס (), טנגנס (), קוטנגנט () קשורים קשר בל יינתק עם מושג הזווית. כדי להבין אותם היטב במבט ראשון, מושגים מורכבים(שגורמים למצב של אימה אצל תלמידי בית ספר רבים), ולוודא ש"השטן לא מפחיד כמו שהוא מצוייר", נתחיל מההתחלה ונבין את המושג זווית.

מושג הזווית: רדיאן, תואר

בואו נסתכל על התמונה. הווקטור "הסתובב" ביחס לנקודה בכמות מסוימת. אז המדד של הסיבוב הזה ביחס למיקום ההתחלתי יהיה פינה.

מה עוד אתה צריך לדעת על מושג הזווית? ובכן, יחידות זווית, כמובן!

ניתן למדוד זווית, הן בגיאומטריה והן בטריגונומטריה, במעלות וברדיאנים.

זווית של (מעלה אחת) נקראת פינה מרכזיתבמעגל, על בסיס קשת מעגלית השווה לחלק מהמעגל. לפיכך, המעגל כולו מורכב מ"חתיכות" של קשתות מעגליות, או שהזווית המתוארת על ידי המעגל שווה.

כלומר, האיור שלמעלה מציג זווית שווה, כלומר זווית זו מבוססת על קשת מעגלית בגודל ההיקף.

זווית ברדיאנים נקראת הזווית המרכזית במעגל, על בסיס קשת מעגלית שאורכה שווה לרדיוס המעגל. נו, הבנת? אם לא, אז בואו נסתכל על התמונה.

אז, האיור מציג זווית השווה לרדיאן, כלומר זווית זו מבוססת על קשת מעגלית, שאורכה שווה לרדיוס המעגל (האורך שווה לאורכו או הרדיוס שווה לרדיוס המעגל. אורך הקשת). לפיכך, אורך הקשת מחושב על ידי הנוסחה:

איפה הזווית המרכזית ברדיאנים.

ובכן, אם אתה יודע את זה, אתה יכול לענות כמה רדיאנים מכילים זווית המתוארת על ידי מעגל? כן, בשביל זה אתה צריך לזכור את הנוסחה של היקף מעגל. הנה היא:

ובכן, עכשיו בואו נקשר בין שתי הנוסחאות הללו ונקבל שהזווית המתוארת על ידי המעגל שווה. כלומר, מתאם את הערך במעלות וברדיאנים, אנחנו מקבלים את זה. בהתאמה,. כפי שניתן לראות, בניגוד ל"מעלות", המילה "רדיאן" נשמטת, שכן יחידת המדידה ברורה בדרך כלל מההקשר.

כמה רדיאנים יש? זה נכון!

הבנת? ואז מהדקים קדימה:

יש קשיים? ואז הסתכל תשובות:

משולש ישר זווית: סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט של זווית

אז, עם מושג הזווית הבין. אבל מהו הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס, הקוטנגנט של זווית? בוא נבין את זה. בשביל זה, משולש ישר זווית יעזור לנו.

איך נקראות הצלעות של משולש ישר זווית? נכון, התחתון והרגליים: התחתון הוא הצלע שנמצאת מול הזווית הישרה (בדוגמה שלנו, זו הצלע); הרגליים הן שני הצדדים הנותרים ו(אלה הסמוכים ל זווית נכונה), יתר על כן, אם ניקח בחשבון את הרגליים ביחס לזווית, אז הרגל היא הרגל הסמוכה, והרגל היא הפוכה. אז, עכשיו בואו נענה על השאלה: מה הם הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית?

סינוס של זוויתהוא היחס בין הרגל המנוגדת (הרחוקה) לתחתית.

במשולש שלנו.

קוסינוס של זווית- זהו היחס בין הרגל הסמוכה (הצמודה) ליותר התחתון.

במשולש שלנו.

משיק זווית- זהו היחס בין הרגל הנגדית (הרחוקה) לסמוך (קרוב).

במשולש שלנו.

קוטנגנט של זווית- זהו היחס בין הרגל הסמוכה (הצמודה) להפוכה (הרחוקה).

במשולש שלנו.

הגדרות אלו נחוצות זכור! כדי שיהיה קל יותר לזכור באיזו רגל לחלק במה, עליך להבין זאת בבירור מַשִׁיקו קוטנגנטרק הרגליים יושבות, והתחתון מופיע רק בפנים סִינוּסו קוסינוס. ואז אתה יכול להמציא שרשרת של אסוציאציות. לדוגמה, זה:

קוסינוס → מגע → מגע → סמוך;

קוטנגנט → מגע → מגע → סמוך.

קודם כל, יש לזכור שהסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי כיחסים של צלעות משולש אינם תלויים באורכי הצלעות הללו (בזוית אחת). לא מאמינים? לאחר מכן ודא על ידי התבוננות בתמונה:

קחו למשל את הקוסינוס של זווית. בהגדרה, ממשולש: , אבל אנחנו יכולים לחשב את הקוסינוס של זווית ממשולש: . אתה מבין, אורכי הצלעות שונים, אבל הערך של הקוסינוס של זווית אחת זהה. לפיכך, הערכים של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט תלויים אך ורק בגודל הזווית.

אם אתה מבין את ההגדרות, אז קדימה ותתקן אותן!

עבור המשולש המוצג באיור למטה, אנו מוצאים.

נו, הבנת? ואז נסה את זה בעצמך: חשב את אותו הדבר עבור הפינה.

מעגל יחידה (טריגונומטרי).

מתוך הבנת המושגים של מעלות ורדיאנים, שקלנו מעגל עם רדיוס שווה ל. מעגל כזה נקרא יחיד. זה מאוד שימושי בחקר הטריגונומטריה. לכן, אנו מתעכבים על זה קצת יותר בפירוט.

כפי שניתן לראות, מעגל זה בנוי במערכת הקואורדינטות הקרטזית. רדיוס המעגל שווה לאחד, בעוד שמרכז המעגל נמצא במקור, המיקום ההתחלתי של וקטור הרדיוס קבוע לאורך הכיוון החיובי של הציר (בדוגמה שלנו, זהו הרדיוס).

כל נקודה במעגל מתאימה לשני מספרים: הקואורדינטה לאורך הציר והקואורדינטה לאורך הציר. מהם מספרי הקואורדינטות האלה? ובכלל, מה הם קשורים לנושא הנדון? כדי לעשות זאת, זכור לגבי המשולש בעל הזווית הנחשבת. באיור למעלה, ניתן לראות שני משולשים ישרים שלמים. קחו בחשבון משולש. הוא מלבני כי הוא מאונך לציר.

למה שווה ממשולש? זה נכון. בנוסף, אנו יודעים שזהו הרדיוס של מעגל היחידה, ולכן, . החלף את הערך הזה בנוסחת הקוסינוס שלנו. זה מה שקורה:

ולמה שווה ממשולש? ובכן, כמובן, ! החלף את ערך הרדיוס בנוסחה זו וקבל:

אז, אתה יכול להגיד לי מהן הקואורדינטות של נקודה ששייכת למעגל? ובכן, אין מצב? ואם אתה מבין את זה והם רק מספרים? לאיזו קואורדינטה זה מתאים? ובכן, כמובן, הקואורדינטה! לאיזו קואורדינטה זה מתאים? נכון, תיאום! לפיכך, הנקודה.

ומה אם כן שווים ו? זה נכון, בואו נשתמש בהגדרות המתאימות של משיק וקוטנגנט ונקבל את זה, א.

מה אם הזווית גדולה יותר? הנה, למשל, כמו בתמונה הזו:

מה השתנה בדוגמה זו? בוא נבין את זה. לשם כך נפנה שוב למשולש ישר זווית. קחו בחשבון משולש ישר זווית: זווית (כסמוך לזווית). מהו הערך של הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית? זה נכון, אנו נצמדים להגדרות המתאימות של פונקציות טריגונומטריות:

ובכן, כפי שאתה יכול לראות, הערך של הסינוס של הזווית עדיין מתאים לקואורדינטה; ערך הקוסינוס של הזווית - הקואורדינטה; והערכים של משיק וקוטנגנט ליחסים המתאימים. לפיכך, יחסים אלה ישימים לכל סיבוב של וקטור הרדיוס.

כבר הוזכר שהמיקום ההתחלתי של וקטור הרדיוס הוא לאורך הכיוון החיובי של הציר. עד כה סובבנו את הווקטור הזה נגד כיוון השעון, אבל מה קורה אם נסובב אותו עם כיוון השעון? שום דבר יוצא דופן, תקבל גם זווית בגודל מסוים, אבל רק היא תהיה שלילית. לפיכך, כאשר מסובבים את וקטור הרדיוס נגד כיוון השעון, אנו מקבלים זוויות חיוביות, וכאשר מסתובבים בכיוון השעון - שלילי.

אז, אנחנו יודעים שמהפכה שלמה של וקטור הרדיוס סביב המעגל היא או. האם ניתן לסובב את וקטור הרדיוס לפי או לפי? ובכן, כמובן שאתה יכול! במקרה הראשון, אם כן, וקטור הרדיוס יבצע סיבוב אחד שלמה ויעצור בעמדה או.

במקרה השני, כלומר, וקטור הרדיוס יבצע שלוש סיבובים שלמים ויעצור במיקום או.

לפיכך, מהדוגמאות לעיל, אנו יכולים להסיק שזוויות השונות או (היכן הוא מספר שלם) מתאימות לאותו מיקום של וקטור הרדיוס.

האיור שלהלן מציג זווית. אותה תמונה מתאימה לפינה, וכן הלאה. ניתן להמשיך ברשימה זו ללא הגבלת זמן. ניתן לכתוב את כל הזוויות הללו עם הנוסחה הכללית או (היכן הוא כל מספר שלם)

כעת, הכרת ההגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות ושימוש במעגל היחידה, נסה לענות למה הערכים שווים:

להלן מעגל יחידות שיעזור לך:

יש קשיים? אז בואו נבין את זה. אז אנחנו יודעים ש:

מכאן, אנו קובעים את הקואורדינטות של הנקודות המתאימות למידות מסוימות של הזווית. ובכן, בואו נתחיל לפי הסדר: הפינה ב מתאימה לנקודה עם קואורדינטות, לכן:

לא קיים;

יתרה מכך, תוך הקפדה על אותו היגיון, אנו מגלים שהפינות מתאימות לנקודות עם קואורדינטות, בהתאמה. בידיעה זו, קל לקבוע את הערכים של פונקציות טריגונומטריות בנקודות המתאימות. נסה את זה בעצמך קודם, ואז בדוק את התשובות.

תשובות:

לא קיים

לא קיים

לא קיים

לא קיים

לפיכך, נוכל ליצור את הטבלה הבאה:

אין צורך לזכור את כל הערכים הללו. די לזכור את ההתאמה בין קואורדינטות הנקודות במעגל היחידה לבין ערכי הפונקציות הטריגונומטריות:

אבל הערכים של הפונקציות הטריגונומטריות של הזוויות ב, ובנתונים בטבלה שלהלן, חייבים לזכור:

אל תפחד, עכשיו נראה את אחת הדוגמאות שינון פשוט למדי של הערכים המתאימים:

כדי להשתמש בשיטה זו, חיוני לזכור את ערכי הסינוס עבור כל שלושת המידות של הזווית (), כמו גם את הערך של הטנגנס של הזווית ב. הכרת הערכים הללו, די קל לשחזר את כל הטבלה - ערכי הקוסינוס מועברים בהתאם לחצים, כלומר:

בידיעה זו, אתה יכול לשחזר את הערכים עבור. המונה " " יתאים והמכנה " " יתאים. ערכי קוטנגנטים מועברים בהתאם לחצים המוצגים באיור. אם אתה מבין את זה ותזכור את הדיאגרמה עם החצים, אז זה יהיה מספיק כדי לזכור את כל הערך מהטבלה.

קואורדינטות של נקודה במעגל

האם ניתן למצוא נקודה (קואורדינטות שלה) על מעגל, הכרת הקואורדינטות של מרכז המעגל, הרדיוס וזווית הסיבוב שלו?

ובכן, כמובן שאתה יכול! בואו נוציא נוסחה כללית למציאת הקואורדינטות של נקודה.

כאן, למשל, יש לנו מעגל כזה:

ניתן לנו שהנקודה היא מרכז המעגל. רדיוס המעגל שווה. יש צורך למצוא את הקואורדינטות של הנקודה המתקבלת על ידי סיבוב הנקודה במעלות.

כפי שניתן לראות מהאיור, הקואורדינטה של ​​הנקודה מתאימה לאורך הקטע. אורך הקטע מתאים לקואורדינטת מרכז המעגל, כלומר שווה ל. ניתן לבטא את אורכו של קטע באמצעות ההגדרה של קוסינוס:

אז יש לנו את זה עבור הנקודה הקואורדינטה.

לפי אותו היגיון, אנו מוצאים את הערך של קואורדינטת y עבור הנקודה. לכן,

אז פנימה השקפה כלליתקואורדינטות נקודות נקבעות על ידי הנוסחאות:

קואורדינטות מרכז מעגל,

רדיוס מעגל,

זווית סיבוב של וקטור הרדיוס.

כפי שאתה יכול לראות, עבור מעגל היחידה שאנו שוקלים, נוסחאות אלה מופחתות באופן משמעותי, מכיוון שהקואורדינטות של המרכז הן אפס, והרדיוס שווה לאחד:

ובכן, בואו ננסה את הנוסחאות האלה לטעום, נתרגל מציאת נקודות על עיגול?

1. מצא את הקואורדינטות של נקודה במעגל יחידה המתקבלת על ידי הפעלת נקודה.

2. מצא את הקואורדינטות של נקודה במעגל יחידה המתקבלת על ידי הפעלת נקודה.

3. מצא את הקואורדינטות של נקודה במעגל יחידה המתקבלת על ידי הפעלת נקודה.

4. נקודה - מרכז המעגל. רדיוס המעגל שווה. יש צורך למצוא את הקואורדינטות של הנקודה המתקבלת על ידי סיבוב וקטור הרדיוס הראשוני על ידי.

5. נקודה - מרכז המעגל. רדיוס המעגל שווה. יש צורך למצוא את הקואורדינטות של הנקודה המתקבלת על ידי סיבוב וקטור הרדיוס הראשוני על ידי.

מתקשים למצוא את הקואורדינטות של נקודה במעגל?

פתרו את חמש הדוגמאות הללו (או הבינו היטב את הפתרון) ותלמדו כיצד למצוא אותן!

1.

אפשר לראות ש. ואנחנו יודעים מה מתאים לסיבוב מלא של נקודת ההתחלה. לפיכך, הנקודה הרצויה תהיה באותו מיקום כמו בעת הפנייה. בידיעה זו, אנו מוצאים את הקואורדינטות הרצויות של הנקודה:

2. המעגל הוא יחידה עם מרכז בנקודה, מה שאומר שאנו יכולים להשתמש בנוסחאות מפושטות:

אפשר לראות ש. אנו יודעים מה מתאים לשני סיבובים שלמים של נקודת ההתחלה. לפיכך, הנקודה הרצויה תהיה באותו מיקום כמו בעת הפנייה. בידיעה זו, אנו מוצאים את הקואורדינטות הרצויות של הנקודה:

סינוס וקוסינוס הם ערכים טבלאריים. אנו זוכרים את הערכים שלהם ומקבלים:

לפיכך, לנקודה הרצויה יש קואורדינטות.

3. המעגל הוא יחידה עם מרכז בנקודה, מה שאומר שאנו יכולים להשתמש בנוסחאות מפושטות:

אפשר לראות ש. בואו נתאר את הדוגמה הנחשבת באיור:

הרדיוס יוצר זוויות כשהציר שווה ל- ו. בידיעה שהערכים הטבלאריים של הקוסינוס והסינוס שווים, ולאחר שקבענו שהקוסינוס כאן מקבל ערך שלילי, והסינוס חיובי, יש לנו:

דוגמאות דומות מנותחות ביתר פירוט בעת לימוד הנוסחאות להפחתת פונקציות טריגונומטריות בנושא.

לפיכך, לנקודה הרצויה יש קואורדינטות.

4.

זווית סיבוב של וקטור הרדיוס (לפי תנאי)

כדי לקבוע את הסימנים המתאימים של סינוס וקוסינוס, אנו בונים מעגל יחידה וזווית:

כפי שאתה יכול לראות, הערך, כלומר חיובי, והערך, כלומר, שלילי. הכרת הערכים הטבלאיים של הפונקציות הטריגונומטריות המתאימות, אנו משיגים כי:

בואו נחליף את הערכים שהתקבלו בנוסחה שלנו ונמצא את הקואורדינטות:

לפיכך, לנקודה הרצויה יש קואורדינטות.

5. כדי לפתור בעיה זו, אנו משתמשים בנוסחאות בצורה כללית, איפה

הקואורדינטות של מרכז המעגל (בדוגמה שלנו,

רדיוס עיגול (לפי מצב)

זווית סיבוב של וקטור הרדיוס (לפי תנאי).

החלף את כל הערכים בנוסחה וקבל:

וכן - ערכי טבלה. אנו זוכרים ומחליפים אותם בנוסחה:

לפיכך, לנקודה הרצויה יש קואורדינטות.

תקציר ונוסחה בסיסית

הסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית (הרחוקה) לבין היריעה.

הקוסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הסמוכה (הצמודה) ליותר התחתון.

הטנגנס של זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית (הרחוקה) לסמוך (קרוב).

הקוטנגנט של זווית הוא היחס בין הרגל הסמוכה (קרוב) למול (הרחוק).

להשתמש עבור 4? אתה לא מתפקע מאושר?

השאלה, כמו שאומרים, מעניינת... אתה יכול, אתה יכול להעביר 4! ויחד עם זאת, לא להתפוצץ... התנאי העיקרי הוא להתאמן באופן קבוע. לפניכם ההכנה הבסיסית לבחינה במתמטיקה. עם כל הסודות והמסתורין של בחינת המדינה המאוחדת, שלא תקראו עליהם בספרי לימוד... למדו את הסעיף הזה, תפתרו עוד משימות ממקורות שונים - והכל יסתדר! ההנחה היא שהסעיף הבסיסי "מספיק לך ולשלושה!" לא גורם לך לבעיות. אבל אם פתאום ... עקבו אחר הקישורים, אל תתעצלו!

ונתחיל בנושא גדול ונורא.

טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה

תשומת הלב!
ישנם נוספים
חומר בסעיף מיוחד 555.
למי ש"לא מאוד..."
ולמי ש"מאוד...")

נושא זה נותן הרבה בעיות לתלמידים. זה נחשב לאחד החמורים ביותר. מה זה סינוס וקוסינוס? מהו משיק וקוטנגנטי? מה קרה מעגל מספרים? כדאי לשאול את השאלות הלא מזיקות הללו, שכן אדם מחוויר ומנסה להסיט את השיחה הצידה... אך לשווא. אלו מושגים פשוטים. והנושא הזה לא קשה יותר מאחרים. אתה רק צריך להבין בבירור את התשובות לשאלות האלה ממש מההתחלה. זה מאוד חשוב. אם הבנת את זה, תאהב טריגונומטריה. כך,

מה זה סינוס וקוסינוס? מהו משיק וקוטנגנטי?

נתחיל מימי קדם. אל דאגה, נעבור את כל 20 המאות של טריגונומטריה תוך 15 דקות. ובאופן בלתי מורגש עבור עצמנו, נחזור על פיסת גיאומטריה מכיתה ח'.

צייר משולש ישר זווית עם צלעות א ב גוזווית איקס. הנה אחד.

הרשו לי להזכיר לכם שהצלעות היוצרות זווית ישרה נקראות רגליים. א ו-ג- גלגיליות. יש שניים מהם. הצד השני נקרא hypotenuse. עם- hypotenuse.

משולש ומשולש, תחשבו על זה! מה לעשות איתו? אבל האנשים הקדמונים ידעו מה לעשות! בואו נחזור על מעשיהם. בואו נמדוד את הצד V. באיור, התאים מצוירים במיוחד, כמו ב השתמש במטלותזה קורה. צַד Vשווה לארבעה תאים. בסדר. בואו נמדוד את הצד א.שלושה תאים.

כעת נחלק את אורך הצלע אלכל אורך צד V. או כמו שאומרים, בואו ניקח את הגישה אל V. מיזוג אוויר= 3/4.

לחלופין, אתה יכול לשתף Vעַל א.אנחנו מקבלים 4/3. פחית Vמחולק ב עם.אֲלַכסוֹן עםלא סופרים לפי תאים, אבל זה שווה ל-5. אנחנו מקבלים מיזוג אוויר= 4/5. בקיצור, אפשר לחלק את אורכי הצלעות זו בזו ולקבל כמה מספרים.

אז מה? מה המשמעות של פעילות מעניינת זו? עד כה אף אחד. עבודה מטופשת, למען האמת.)

ועכשיו בואו נעשה את זה. בואו נגדיל את המשולש. בואו נרחיב את הצדדים אל ומ, אבל כך שהמשולש יישאר ישר זווית. פינה איקסכמובן, לא משתנה. כדי לראות אותו, העבר את העכבר מעל התמונה, או גע בה (אם יש לך טאבלט). מסיבות א, ב ו-גלהפוך ל מ, נ, ק, וכמובן, אורכי הצדדים ישתנו.

אבל הקשר ביניהם לא!

יַחַס מיזוג אווירהיה: מיזוג אוויר= 3/4, הפך m/n= 6/8 = 3/4. גם קשרים של גורמים רלוונטיים אחרים לא ישתנה . אתה יכול לשנות באופן שרירותי את אורכי הצלעות במשולש ישר זווית, להגדיל, להקטין, מבלי לשנות את הזווית x – היחסים בין הצדדים לא ישתנו . אתה יכול לבדוק, או שאתה יכול לקחת את המילה של אנשים עתיקים.

עכשיו זה מאוד חשוב! יחסי הצלעות במשולש ישר זווית אינם תלויים בשום אופן באורכי הצלעות (עבור אותה זווית). זה כל כך חשוב שיחסי הצדדים זכו לשמותיהם המיוחדים. שמותיהם, כביכול.) הכירו.

מהו הסינוס של זווית x ? זהו היחס בין הרגל הנגדית לבין היפוטנוזה:

sinx = a/c

מהו הקוסינוס של זווית x ? זהו היחס בין הרגל הסמוכה ליותר התחתון:

עםosx= מיזוג אוויר

מהו הטנגנס של הזווית x ? זהו היחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה:

tgx=מיזוג אוויר

מהו הקוטנגנט של זווית x ? זהו היחס בין הרגל הסמוכה להפוכה:

ctgx = in/a

הכל מאוד פשוט. סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט הם כמה מספרים. חסר מימדים. רק מספרים. לכל פינה - משלהם.

למה אני חוזר על עצמי בצורה כל כך משעממת? אז מה זה צריך לזכור. באופן אירוני זוכר. ניתן להקל על השינון. המשפט "בוא נתחיל מרחוק..." מוכר? אז תתחיל מרחוק.

סִינוּסזווית היא היחס רָחוֹקמהזווית של הרגל אל ההיפוטנוזה. קוסינוסהוא היחס בין הקרוב ביותר לתחתית.

מַשִׁיקזווית היא היחס רָחוֹקמהזווית של הצנתר לקרוב. קוטנגנט- להיפך.

כבר יותר קל, נכון?

ובכן, אם אתה זוכר שרק הרגליים יושבות בטנגנס ובקוטנגנט, והיפותנוזה מופיעה בסינוס ובקוסינוס, אז הכל יהפוך פשוט למדי.

כל המשפחה המפוארת הזו - סינוס, קוסינוס, טנג'נס וקוטנגנט נקראת גם פונקציות טריגונומטריות.

ועכשיו שאלה לשיקול.

למה אנחנו אומרים סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי פינה?אנחנו מדברים על מערכת היחסים של הצדדים, כמו... מה זה קשור פינה?

בואו נסתכל על התמונה השנייה. בדיוק כמו הראשון.

העבר את העכבר מעל התמונה. שיניתי את הזווית איקס. הגדיל אותו מ x עד x.כל מערכות היחסים השתנו! יַחַס מיזוג אווירהיה 3/4, והיחס המקביל פַּחהפך ל-6/4.

וכל מערכות היחסים האחרות הפכו שונות!

לכן, יחסי הצלעות אינם תלויים בשום צורה באורכין (בזווית אחת x), אלא תלויים מאוד בזווית זו! ורק ממנו.לכן, המונחים סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט מתייחסים אליהם פינה.הפינה כאן היא המרכזית.

יש להבין באופן אירוני שהזווית קשורה קשר בל יינתק עם הפונקציות הטריגונומטריות שלה. לכל זווית יש סינוס וקוסינוס משלה. וכמעט לכל אחד יש את המשיק והקוטנגנט שלו.זה חשוב. מאמינים שאם נותנים לנו זווית, אז הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי שלה אנחנו יודעים ! ולהיפך. נתון סינוס, או כל אחר פונקציה טריגונומטריתאז אנחנו יודעים את הזווית.

יש טבלאות מיוחדות שבהן עבור כל זווית נכתבות הפונקציות הטריגונומטריות שלה. השולחנות של בריידיס נקראים. הם נוצרו הרבה מאוד זמן. עוד כשלא היו מחשבונים או מחשבים...

כמובן שלא ניתן לשנן את הפונקציות הטריגונומטריות של כל הזוויות. אתה צריך להכיר אותם רק בכמה זוויות, על כך בהמשך. אבל הכישוף אני מכיר זווית, אז אני יודע את הפונקציות הטריגונומטריות שלה" -תמיד עובד!

אז חזרנו על פיסת גיאומטריה מכיתה ח'. אנחנו צריכים את זה לבחינה? נחוץ. הנה בעיה אופיינית מהבחינה. לפתרון שלו מספיקה כיתה ח'. תמונה שניתנה:

את כל. אין יותר נתונים. אנחנו צריכים למצוא את אורך הרגל לפני הספירה.

התאים עוזרים מעט, המשולש איכשהו ממוקם בצורה שגויה.... בכוונה, אני מניח... מהמידע יש את אורך התחתון. 8 תאים. מסיבה כלשהי, ניתנת זווית.

כאן עלינו לזכור מיד על טריגונומטריה. יש זווית, אז אנחנו יודעים את כל הפונקציות הטריגונומטריות שלה. איזו פונקציה מתוך הארבע כדאי להפעיל? בוא נראה מה אנחנו יודעים, נכון? אנחנו מכירים את התחתון, את הזווית, אבל אנחנו צריכים למצוא סמוךלקטטה הזו בפינה! ברור שצריך להוציא את הקוסינוס לפעולה! הנה אנחנו יוצאים לדרך. אנחנו פשוט כותבים, בהגדרה של קוסינוס (יחס סמוךרגל עד תחתית הדם):

cosC = BC/8

זווית C היא 60 מעלות והקוסינוס שלה הוא 1/2. אתה צריך לדעת את זה, בלי שום טבלאות! זה:

1/2 = שמש/8

יְסוֹדִי משוואה לינארית. לא ידוע - שמש. מי שכח איך לפתור משוואות, צא לטיול בקישור, השאר פותרים:

שמש = 4

כשהאנשים הקדמונים הבינו שלכל זווית יש מערכת משלה של פונקציות טריגונומטריות, הייתה להם שאלה הגיונית. האם הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט אינם קשורים זה לזה איכשהו?אז שלדעת פונקציה אחת של הזווית, אתה יכול למצוא את השאר? בלי לחשב את הזווית עצמה?

ככה הם היו חסרי מנוחה...)

חיבור בין פונקציות טריגונומטריות של זווית אחת.

כמובן, הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של אותה זווית קשורים זה לזה. כל קשר בין ביטויים ניתן במתמטיקה על ידי נוסחאות. בטריגונומטריה, יש מספר עצום של נוסחאות. אבל כאן נסתכל על הבסיסיים ביותר. נוסחאות אלו נקראות: זהויות טריגונומטריות בסיסיות.הנה הם:

נוסחאות אלו צריכות לדעת ברזל. בלעדיהם, אין מה לעשות בטריגונומטריה בכלל. שלוש זהויות עזר נוספות נובעות מהזהויות הבסיסיות הללו:

אני מיד מזהיר אותך ששלושת הנוסחאות האחרונות נושרות במהירות מהזיכרון. מסיבה כלשהי.) אתה יכול, כמובן, לגזור את הנוסחאות הללו משלושת הראשונים. אבל ב זמנים קשים... אתה מבין.)

במשימות סטנדרטיות כמו אלה למטה, יש דרך לעקוף את הנוסחאות הבלתי נשכחות הללו. ו להפחית באופן דרסטי שגיאותמתוך שכחה, ​​וגם בחישובים. תרגול זה נמצא בסעיף 555, שיעור "קשר בין פונקציות טריגונומטריות של זווית אחת".

באילו משימות וכיצד משתמשים בזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות? המשימה הפופולרית ביותר היא למצוא פונקציה כלשהי של הזווית, אם ניתנת אחרת. בבחינה קיימת משימה כזו משנה לשנה.) לדוגמה:

מצא את הערך של sinx אם x הוא זווית חדה ו-cosx=0.8.

המשימה היא כמעט אלמנטרית. אנחנו מחפשים נוסחה שבה יש סינוס וקוסינוס. הנה הנוסחה הזו:

sin 2 x + cos 2 x = 1

אנו מחליפים כאן ערך ידוע, כלומר 0.8 במקום הקוסינוס:

sin 2 x + 0.8 2 = 1

ובכן, אנו שוקלים, כרגיל:

sin 2 x + 0.64 = 1

sin 2 x \u003d 1 - 0.64

כאן, כמעט הכל. חישבנו את הריבוע של הסינוס, נשאר לחלץ את השורש הריבועי והתשובה מוכנה! השורש של 0.36 הוא 0.6.

המשימה היא כמעט אלמנטרית. אבל המילה "כמעט" אינה לשווא כאן... העובדה היא שגם התשובה sinx = - 0.6 מתאימה... (-0.6) 2 יהיה גם 0.36.

מתקבלות שתי תשובות שונות. ואתה צריך אחד. השני שגוי. איך להיות!? כן, כרגיל.) קרא את המשימה בעיון. משום מה כתוב... אם x הוא זווית חדה...ובמשימות לכל מילה יש משמעות, כן... הביטוי הזה הוא מידע נוסף לפתרון.

זווית חדה היא זווית פחות מ-90 מעלות. ובזוויות כאלה את כלפונקציות טריגונומטריות - הן סינוס והן קוסינוס, ומשיק עם קוטנגנט - חִיוּבִי.הָהֵן. אנחנו פשוט פוסלים כאן את התשובה השלילית. יש לנו את הזכות.

למעשה, תלמידי כיתה ח' לא צריכים דקויות כאלה. הם עובדים רק עם משולשים ישרים, כאשר הפינות יכולות להיות חדות בלבד. והם לא יודעים, שמחים, שיש זוויות שליליות, וזוויות של 1000 מעלות ... ולכל הזוויות המסויטות האלה יש פונקציות טריגונומטריות משלהן עם גם פלוס וגם מינוס ...

אבל לתלמידי תיכון בלי לקחת בחשבון את השלט - אין מצב. ידע רב מכפיל צער, כן...) ולמען הפתרון הנכון המשימה חייבת להכיל מידע נוסף (במידת הצורך). לדוגמה, זה יכול להינתן כ:

או בדרך אחרת. אתה תראה בדוגמאות למטה.) כדי לפתור דוגמאות כאלה, אתה צריך לדעת לאיזה רובע זה שייך זווית קבועה מראש x ואיזה סימן יש לפונקציה הטריגונומטרית הרצויה ברבע זה.

היסודות הללו של טריגונומטריה נידונים בשיעורים מהו מעגל טריגונומטרי, ספירת הזוויות על מעגל זה, מידת הרדיאן של זווית. לפעמים צריך גם לדעת את טבלת הסינוסים של הקוסינוסים של טנג'ים וקוטנגנטים.

אז, בואו נציין את החשוב ביותר:

טיפים מעשיים:

1. זכרו את ההגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי. שימושי מאוד.

2. אנו מטמיעים בבירור: סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט מחוברים היטב עם זוויות. אנחנו יודעים דבר אחד, אז אנחנו יודעים משהו אחר.

3. אנו מטמיעים בבירור: הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית אחת מחוברים זה לזה על ידי זהויות טריגונומטריות. אנחנו מכירים פונקציה אחת, מה שאומר שאנחנו יכולים (אם יש לנו את המידע הנוסף הדרוש) לחשב את כל האחרות.

ועכשיו בואו נחליט, כרגיל. ראשית, משימות בכרך כיתה ח'. אבל תלמידי תיכון יכולים גם...)

1. חשב את הערך של tgA אם ctgA = 0.4.

2. β - זווית במשולש ישר זווית. מצא את הערך של tgβ אם sinβ = 12/13.

3. הגדר סינוס זוית חדה x אם tgx = 4/3.

4. מצא את הערך של ביטוי:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. מצא את הערך של ביטוי:

(1-cosx)(1+cosx), אם sinx = 0.3

תשובות (מופרדות בפסיקים, באי סדר):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

קרה? גדול! תלמידי כיתה ח' כבר יכולים לעקוב אחר ה-A שלהם.)

לא הכל הסתדר? משימות 2 ו-3 איכשהו לא מאוד...? אין בעיה! יש טכניקה אחת יפה למשימות כאלה. הכל נקבע, מעשית, ללא נוסחאות כלל! ולכן, ללא שגיאות. טכניקה זו מתוארת בשיעור: "קשר בין פונקציות טריגונומטריות של זווית אחת" בסעיף 555. גם כל שאר המשימות מפורקות שם.

אלה היו בעיות כמו בחינת המדינה המאוחדת, אבל בגרסה מופשטת. USE - קל). ועכשיו כמעט אותן משימות, אבל בצורה מלאה. לתלמידי תיכון עמוסי ידע.)

6. מצא את הערך של tgβ אם sinβ = 12/13 ו

7. קבע את sinx אם tgx = 4/3, ו-x שייך למרווח (- 540°; - 450°).

8. מצא את הערך של הביטוי sinβ cosβ אם ctgβ = 1.

תשובות (בחוסר סדר):

0,8; 0,5; -2,4.

כאן, בבעיה 6, הזווית ניתנת איכשהו לא מאוד חד משמעית... אבל בבעיה 8, היא לא מוגדרת כלל! זה בכוונה). מידע נוסףלא רק נלקח מהמשימה, אלא גם מהראש.) אבל אם תחליטו - מובטחת משימה אחת נכונה!

מה אם לא החלטת? אממ... ובכן, סעיף 555 יעזור כאן. שם, הפתרונות לכל המשימות הללו מתוארים בפירוט, קשה שלא להבין.

בשיעור זה ניתן מושג מוגבל מאוד של פונקציות טריגונומטריות. בתוך כיתה ח'. לקשישים יש שאלות...

למשל, אם הזווית איקס(ראה את התמונה השנייה בעמוד זה) - לעשות את זה מטומטם!? המשולש יתפרק! ואיך להיות? לא תהיה רגל, לא תת-נוזה... הסינוס נעלם...

אם האנשים הקדמונים לא היו מוצאים דרך לצאת מהמצב הזה, לא היו לנו טלפונים ניידים, טלוויזיה או חשמל עכשיו. כן כן! בסיס תיאורטיכל הדברים האלה בלי פונקציות טריגונומטריות - אפס בלי שרביט. אבל האנשים הקדמונים לא אכזבו. איך הם יצאו - בשיעור הבא.

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. למידה - בעניין!)

אתה יכול להכיר פונקציות ונגזרות.

נתוני התייחסות עבור טנגנס (tg x) וקוטנגנט (ctg x). הגדרה גיאומטרית, מאפיינים, גרפים, נוסחאות. טבלת משיקים וקוטנגנטים, נגזרות, אינטגרלים, הרחבות סדרות. ביטויים באמצעות משתנים מורכבים. חיבור עם פונקציות היפרבוליות.

הגדרה גיאומטרית

|BD| - אורך קשת המעגל שמרכזה בנקודה A.
α היא הזווית המתבטאת ברדיאנים.

טנג'נט ( tgα) הינה פונקציה טריגונומטרית התלויה בזווית α בין התחתון לרגל של משולש ישר זווית, שווה ליחס אורך הרגל הנגדית |BC| לאורך הרגל הסמוכה |AB| .

קוטנגנט ( ctgα) הינה פונקציה טריגונומטרית התלויה בזווית α בין התחתון לרגל של משולש ישר זווית, שווה ליחס אורך הרגל הסמוכה |AB| לאורך הרגל הנגדית |BC| .

מַשִׁיק

איפה נ- שלם.

בספרות המערבית, המשיק מסומן באופן הבא:
.
;
;
.

גרף של פונקציית המשיק, y = tg x

קוטנגנט

איפה נ- שלם.

בספרות המערבית, הקוטנגנט מסומן באופן הבא:
.
הסימון הבא אומץ גם:
;
;
.

גרף של הפונקציה הקוטנגנטית, y = ctg x

מאפיינים של טנגנס וקוטנגנט

תְקוּפָתִיוּת

פונקציות y= tg xו-y= ctg xהם מחזוריים עם נקודה π.

שִׁוּוּי

הפונקציות משיק וקוטנגנט הן מוזרות.

תחומי הגדרה וערכים, עולים, יורדים

הפונקציות משיק וקוטנגנט הן רציפות בתחום ההגדרה שלהן (ראה הוכחת המשכיות). המאפיינים העיקריים של המשיק והקוטנגנט מוצגים בטבלה ( נ- מספר שלם).

	y= tg x	y= ctg x
היקף והמשכיות
טווח ערכים	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
עולה		-
יורד	-
קיצוניות	-	-
אפסים, y= 0
נקודות חיתוך עם ציר y, x = 0	y= 0	-

נוסחאות

ביטויים במונחים של סינוס וקוסינוס

; ;
; ;
;

נוסחאות למשיק ולקוטנגנט של סכום והפרש

שאר הנוסחאות קלות להשגה, למשל

תוצר של משיקים

הנוסחה לסכום והפרש של משיקים

טבלה זו מציגה את הערכים של משיקים וקוטנגנטים עבור חלק מהערכים של הטיעון.

ביטויים במונחים של מספרים מרוכבים

ביטויים במונחים של פונקציות היפרבוליות

;
;

נגזרים

; .

.
נגזרת של הסדר ה-n ביחס למשתנה x של הפונקציה:
.
גזירת נוסחאות למשיק > > > ; עבור cotangent > > >

אינטגרלים

הרחבות לסדרות

כדי לקבל את הרחבת המשיק בחזקות x, עליך לקחת מספר איברים של הרחבה בסדרת חזקות עבור הפונקציות חטא xו כי xולחלק את הפולינומים הללו זה לזה , . כתוצאה מכך נוצרות הנוסחאות הבאות.

בשעה .

בשעה .
איפה ב נ- מספרי ברנולי. הם נקבעים או מיחס החזרה:
;
;
איפה .
או לפי נוסחת לפלס:

פונקציות הפוכות

פונקציות הפוכותל-tangens ו-cotangent הם arctangent ו- arccotangent, בהתאמה.

ארקטנג'נט, ארקטג

, איפה נ- שלם.

קשת משנית, arcctg

, איפה נ- שלם.

הפניות:
I.N. ברונשטיין, ק.א. Semendyaev, מדריך מתמטיקה למהנדסים וסטודנטים של מוסדות חינוך גבוהים, Lan, 2009.
G. Korn, מדריך מתמטיקה לחוקרים ומהנדסים, 2012.

היכן שנחשבו המשימות לפתרון משולש ישר זווית, הבטחתי להציג טכניקה לשינון ההגדרות של סינוס וקוסינוס. באמצעותו, תמיד תזכרו במהירות איזו רגל שייכת לתחתית (סמוך או ממול). החלטתי לא לדחות את זה ללא הגבלת זמן, החומר הדרוש נמצא למטה, נא לקרוא אותו 😉

העובדה היא שראיתי שוב ושוב כיצד תלמידים בכיתות י'-י"א מתקשים לזכור את ההגדרות הללו. הם זוכרים היטב שהרגל מתייחסת לתחתית, אבל איזה מהם- לשכוח ו מְבוּלבָּל. המחיר של טעות, כפי שאתה יודע בבחינה, הוא ציון אבוד.

למידע שאציג ישירות למתמטיקה אין שום קשר. היא מזוהה עם חשיבה פיגורטיבית, ובשיטות של חיבור מילולי-לוגי. נכון, אני עצמי, זכרתי אחת ולתמידנתוני הגדרה. אם אתה עדיין שוכח אותם, אז בעזרת הטכניקות המוצגות זה תמיד קל לזכור.

הרשו לי להזכיר לכם את ההגדרות של סינוס וקוסינוס במשולש ישר זווית:

קוסינוסזווית חדה במשולש ישר זווית היא היחס בין הרגל הסמוכה ליותר התחתון:

סִינוּסזווית חדה במשולש ישר זווית היא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית:

אז אילו אסוציאציות המילה קוסינוס מעוררת בכם?

כנראה שלכל אחד יש את שלוזכור את הקישור:

כך, מיד יהיה לך ביטוי בזיכרון שלך -

«… יחס בין רגל ADJACENT לבין hypotenuse».

הבעיה עם ההגדרה של קוסינוס נפתרה.

אם אתה צריך לזכור את ההגדרה של הסינוס במשולש ישר זווית, ואז לזכור את ההגדרה של הקוסינוס, אתה יכול בקלות לקבוע שהסינוס של זווית חדה במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית. אחרי הכל, יש רק שתי רגליים, אם הרגל הסמוכה "תפוסה" על ידי הקוסינוס, אז רק הצד הנגדי נשאר עבור הסינוס.

מה לגבי משיק וקוטנגנט? אותו בלבול. התלמידים יודעים שזהו היחס בין הרגליים, אבל הבעיה היא לזכור איזו מהן מתייחסת לאיזה - או הפוכה לסמוך, או להיפך.

הגדרות:

מַשִׁיקזווית חדה במשולש ישר זווית היא היחס בין הרגל הנגדית לזו הסמוכה:

קוטנגנטזווית חדה במשולש ישר זווית היא היחס בין הרגל הסמוכה למול:

איך לזכור? יש שתי דרכים. האחד משתמש גם בקשר מילולי-לוגי, השני - מתמטי.

שיטה מתמטית

יש הגדרה כזו - הטנגנס של זווית חדה הוא היחס בין הסינוס של זווית לקוסינוס שלה:

* כשזוכרים את הנוסחה, תמיד אפשר לקבוע שהטנגנס של זווית חדה במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית לזו הסמוכה.

כְּמוֹ כֵן.הקוטנגנט של זווית חדה הוא היחס בין הקוסינוס של זווית לסינוס שלה:

כך! לזכור את הנוסחאות האלה, אתה תמיד יכול לקבוע ש:

- הטנגנס של זווית חדה במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה

- הקוטנגנט של זווית חדה במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הסמוכה לזה הנגדית.

שיטה מילולית-לוגית

לגבי משיק. זכור את הקישור:

כלומר, אם אתה צריך לזכור את ההגדרה של המשיק, באמצעות החיבור הלוגי הזה, אתה יכול בקלות לזכור מה זה

"... היחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה"

אם זה נוגע לקוטנג'נט, אם נזכור את ההגדרה של משיק, אתה יכול בקלות להשמיע את ההגדרה של קוטנגנט -

"... היחס בין הרגל הסמוכה להפוכה"

ישנה טכניקה מעניינת לשינון טנגנס וקוטנגנט באתר " טנדם מתמטי " , תראה.

שיטה אוניברסלית

אתה יכול פשוט לטחון.אבל כפי שמראה בפועל, הודות לקשרים מילוליים-לוגיים, אדם זוכר מידע במשך זמן רב, ולא רק מתמטי.

אני מקווה שהחומר היה שימושי עבורך.

בברכה, אלכסנדר קרוטיסקיך

נ.ב: אודה לך אם תספר על האתר ברשתות החברתיות.

אחד מענפי המתמטיקה איתם מתמודדים תלמידי בית הספר עם הקשיים הגדולים ביותר הוא הטריגונומטריה. לא פלא: כדי לשלוט בחופשיות בתחום הידע הזה, אתה צריך חשיבה מרחבית, היכולת למצוא סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים, קוטנגנטים באמצעות נוסחאות, לפשט ביטויים ולהיות מסוגלים להשתמש במספר pi בחישובים. בנוסף, אתה צריך להיות מסוגל ליישם טריגונומטריה בעת הוכחת משפטים, וזה דורש או זיכרון מתמטי מפותח או יכולת להסיק שרשראות לוגיות מורכבות.

מקורות הטריגונומטריה

היכרות עם המדע הזה צריכה להתחיל בהגדרת הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של הזווית, אבל קודם כל צריך להבין מה עושה טריגונומטריה באופן כללי.

מבחינה היסטורית, מושא המחקר העיקרי של חלק זה מדע מתמטיהיו משולשים ישרים. הנוכחות של זווית של 90 מעלות מאפשרת לבצע פעולות שונות, המאפשר לקבוע את הערכים של כל הפרמטרים של הדמות הנבדקת לפי שני צדדים ופינה אחת או לפי שתי פינות וצד אחד. בעבר אנשים שמו לב לדפוס הזה והחלו להשתמש בו באופן פעיל בבניית מבנים, ניווט, אסטרונומיה ואפילו אמנות.

במה ראשונה

בתחילה, אנשים דיברו על הקשר של זוויות וצלעות אך ורק בדוגמה של משולשים ישרים. אז התגלו נוסחאות מיוחדות שאפשרו להרחיב את גבולות השימוש ב חיי היום - יוםהענף הזה של המתמטיקה.

לימודי הטריגונומטריה בבית הספר כיום מתחילים במשולשים ישרים, ולאחר מכן הידע שנצבר משמש את התלמידים בפיזיקה ובפתרון בעיות מופשטות. משוואות טריגונומטריות, עבודה איתה מתחילה בתיכון.

טריגונומטריה כדורית

מאוחר יותר, כשהמדע הגיע לשלב הבא של התפתחות, החלו להשתמש בנוסחאות עם סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט בגיאומטריה כדורית, שבה חלים כללים אחרים, וסכום הזוויות במשולש הוא תמיד יותר מ-180 מעלות. חלק זה לא נלמד בבית הספר, אבל צריך לדעת על קיומו, לפחות בגלל פני כדור הארץ, והמשטח של כל כוכב אחר הוא קמור, מה שאומר שכל סימון של פני השטח יהיה "בצורת קשת" במרחב התלת מימדי.

קח את הגלובוס והחוט. חבר את החוט לכל שתי נקודות על הגלובוס כך שיהיה מתוח. שימו לב - הוא קיבל צורה של קשת. עם צורות כאלה עוסקת גיאומטריה כדורית, המשמשת בגיאודזיה, אסטרונומיה ותחומים תיאורטיים ויישומיים אחרים.

משולש ישר זווית

לאחר שלמדנו מעט על דרכי השימוש בטריגונומטריה, נחזור לטריגונומטריה הבסיסית על מנת להבין יותר מה הם סינוס, קוסינוס, טנג'נס, אילו חישובים ניתן לבצע בעזרתם ובאילו נוסחאות להשתמש.

הצעד הראשון הוא להבין את המושגים הקשורים למשולש ישר זווית. ראשית, התחתון הוא הצלע המנוגדת לזווית של 90 מעלות. היא הכי ארוכה. אנו זוכרים שלפי משפט פיתגורס, שלה ערך מספרישווה לשורש סכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות.

לדוגמה, אם שתי צלעות הן 3 ו-4 סנטימטרים בהתאמה, אורך התחתון יהיה 5 סנטימטרים. אגב, המצרים הקדמונים ידעו על כך לפני כארבעה וחצי אלף שנה.

שתי הצלעות הנותרות היוצרות זווית ישרה נקראות רגליים. בנוסף, עלינו לזכור שסכום הזוויות במשולש במערכת קואורדינטות מלבנית הוא 180 מעלות.

הַגדָרָה

לבסוף, עם הבנה מוצקה של הבסיס הגיאומטרי, נוכל לפנות להגדרת הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של זווית.

הסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית (כלומר הצלע המנוגדת לזווית הרצויה) לבין התחתון. הקוסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית.

זכור שלא סינוס ולא קוסינוס יכולים להיות גדולים מאחד! למה? מכיוון שהתחתון הוא כברירת מחדל הארוך ביותר, לא משנה כמה אורך הרגל, הוא יהיה קצר יותר מהתחתון, כלומר היחס שלהם תמיד יהיה פחות מאחד. לפיכך, אם אתה מקבל סינוס או קוסינוס עם ערך גדול מ-1 בתשובה לבעיה, חפש שגיאה בחישובים או בנימוקים. ברור שהתשובה הזו שגויה.

לבסוף, הטנגנס של זווית הוא היחס בין הצלע הנגדי לצלע הסמוכה. אותה תוצאה תיתן את חלוקת הסינוס בקוסינוס. תראה: בהתאם לנוסחה נחלק את אורך הצלע בתחתית, לאחר מכן נחלק באורך הצלע השניה ומכפילים בתחתית. לפיכך, אנו מקבלים את אותו יחס כמו בהגדרה של משיק.

הקוטנגנט, בהתאמה, הוא היחס בין הצד הסמוך לפינה לצד הנגדי. אנו מקבלים את אותה תוצאה על ידי חלוקת היחידה בטנגנס.

אז שקלנו את ההגדרות של מה הם סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, ואנחנו יכולים להתמודד עם נוסחאות.

הנוסחאות הפשוטות ביותר

בטריגונומטריה אי אפשר בלי נוסחאות - איך למצוא סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט בלעדיהם? וזה בדיוק מה שנדרש כשפותרים בעיות.

הנוסחה הראשונה שאתה צריך לדעת כשאתה מתחיל ללמוד טריגונומטריה אומרת שסכום הריבועים של הסינוס והקוסינוס של זווית שווה לאחד. נוסחה זו היא תוצאה ישירה של משפט פיתגורס, אך היא חוסכת זמן אם אתה רוצה לדעת את ערך הזווית, לא הצלע.

תלמידים רבים אינם זוכרים את הנוסחה השנייה, גם היא מאוד פופולרית בעת פתרון בעיות בית ספר: סכום האחד וריבוע הטנגנס של זווית שווה לאחד חלקי הריבוע של הקוסינוס של הזווית. תסתכל מקרוב: אחרי הכל, זו אותה אמירה כמו בנוסחה הראשונה, רק שני הצדדים של הזהות חולקו בריבוע של הקוסינוס. מסתבר שפעולה מתמטית פשוטה כן נוסחה טריגונומטריתבלתי מזוהה לחלוטין. זכרו: לדעת מהו סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, כללי ההמרה וכמה נוסחאות בסיסיות, תוכלו בכל עת בעצמכם לגזור את האפשרויות הנוספות הנדרשות. נוסחאות מורכבותעל חתיכת נייר.

נוסחאות זווית כפולה והוספת ארגומנטים

שתי נוסחאות נוספות שאתה צריך ללמוד קשורות לערכים של הסינוס והקוסינוס עבור הסכום וההפרש של הזוויות. הם מוצגים באיור למטה. שימו לב שבמקרה הראשון, הסינוס והקוסינוס מוכפלים בשתי הפעמים, ובמקרה השני מתווסף המכפלה הזוגית של הסינוס והקוסינוס.

יש גם נוסחאות הקשורות לארגומנטים של זווית כפולה. הם נגזרים לחלוטין מהקודמים - כתרגול, נסה להשיג אותם בעצמך על ידי לקיחת זווית האלפא שווה לזוויתבטא.

לבסוף, שימו לב שניתן להמיר את נוסחאות הזווית הכפולה כדי להוריד את מידת הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס אלפא.

משפטים

שני המשפטים העיקריים בטריגונומטריה הבסיסית הם משפט הסינוס ומשפט הקוסינוס. בעזרת משפטים אלה, אתה יכול בקלות להבין כיצד למצוא את הסינוס, הקוסינוס והטנגנס, ולכן את שטח הדמות, וגודל כל צד וכו'.

משפט הסינוס קובע שכתוצאה מחלוקת אורך כל אחת מצלעות המשולש בערך הזווית הנגדית, נקבל את אותו מספר. יתר על כן, מספר זה יהיה שווה לשני רדיוסים של המעגל המוקף, כלומר המעגל המכיל את כל נקודות המשולש הנתון.

משפט הקוסינוס מכליל את משפט פיתגורס, ומקרין אותו על כל משולשים. מסתבר שמסכום הריבועים של שתי הצלעות יש להחסיר את המכפלה שלהן כפול הקוסינוס הכפול של הזווית הסמוכה להן - הערך המתקבל יהיה שווה לריבוע הצלע השלישית. לפיכך, מסתבר שמשפט פיתגורס הוא מקרה מיוחד של משפט הקוסינוס.

טעויות עקב חוסר תשומת לב

אפילו לדעת מה הם סינוס, קוסינוס וטנג'נס, קל לטעות בגלל היעדר דעת או טעות בחישובים הפשוטים ביותר. כדי להימנע מטעויות כאלה, בואו להכיר את הפופולריים שבהם.

ראשית, אין להמיר שברים רגילים לעשרונים עד לקבלת התוצאה הסופית - ניתן להשאיר את התשובה בטופס שבר נפוץאלא אם כן נקבע אחרת בתנאי. טרנספורמציה כזו אינה יכולה להיקרא טעות, אך יש לזכור שבכל שלב של הבעיה עשויים להופיע שורשים חדשים, שעל פי רעיון המחבר יש לצמצם. במקרה זה, תבזבז זמן על פעולות מתמטיות מיותרות. זה נכון במיוחד עבור ערכים כמו השורש של שלושה או שניים, מכיוון שהם מתרחשים במשימות בכל שלב. כך גם לגבי עיגול מספרים "מכוערים".

יתרה מכך, שימו לב שמשפט הקוסינוס חל על כל משולש, אך לא על משפט פיתגורס! אם תשכחו בטעות להחסיר פי שניים מהמכפלה של הצלעות כפול הקוסינוס של הזווית ביניהן, לא רק שתקבלו תוצאה שגויה לחלוטין, אלא גם תדגימו אי הבנה מוחלטת של הנושא. זה יותר גרוע מטעות רשלנית.

שלישית, אל תבלבלו בין הערכים של זוויות של 30 ו-60 מעלות עבור סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים, קוטנגנטים. זכור את הערכים האלה, כי הסינוס הוא 30 מעלות שווה לקוסינוס 60 ולהיפך. קל לערבב ביניהם, וכתוצאה מכך תקבלו בהכרח תוצאה שגויה.

יישום

תלמידים רבים אינם ממהרים להתחיל ללמוד טריגונומטריה, כי הם אינם מבינים את המשמעות היישומית שלה. מהו סינוס, קוסינוס, טנגנס עבור מהנדס או אסטרונום? אלו מושגים שבזכותם ניתן לחשב את המרחק לכוכבים רחוקים, לחזות נפילת מטאוריט, לשלוח בדיקה מחקרית לכוכב לכת אחר. בלעדיהם, אי אפשר לבנות בניין, לתכנן מכונית, לחשב את העומס על פני השטח או מסלול של אובייקט. ואלה רק הדוגמאות הברורות ביותר! אחרי הכל, טריגונומטריה בצורה כזו או אחרת משמשת בכל מקום, ממוזיקה ועד רפואה.

סוף כל סוף

אז אתה סינוס, קוסינוס, טנג'נס. אתה יכול להשתמש בהם בחישובים ולפתור בהצלחה בעיות בית ספריות.

כל המהות של טריגונומטריה מסתכמת בעובדה שיש לחשב פרמטרים לא ידועים מהפרמטרים הידועים של המשולש. ישנם שישה פרמטרים בסך הכל: אורכי שלוש צלעות וגדלים של שלוש זוויות. כל ההבדל במשימות טמון בעובדה שניתנים נתוני קלט שונים.

כיצד למצוא את הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס בהתבסס על האורכי הידוע של הרגליים או הירוק, כעת אתה יודע. מכיוון שלמונחים אלו אין משמעות אלא יחס, ויחס הוא שבר, המטרה העיקרית של הבעיה הטריגונומטרית היא למצוא את השורשים של משוואה רגילה או מערכת משוואות. וכאן תעזרו במתמטיקה של בית ספר רגיל.