נגזרות מורכבות. נגזרת לוגריתמית.
נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית
אנו ממשיכים לשפר את טכניקת הבידול שלנו. בשיעור זה נאחד את החומר הנלווה, נשקול נגזרות מורכבות יותר, וגם נכיר טריקים וטריקים חדשים למציאת הנגזרת, בפרט, עם הנגזרת הלוגריתמית.
לאותם קוראים אשר רמה נמוכההכנה, עיין במאמר איך למצוא את הנגזרת? דוגמאות לפתרונותמה שיאפשר לך להעלות את הכישורים שלך כמעט מאפס. לאחר מכן, עליך ללמוד היטב את הדף נגזרת של פונקציה מורכבת, להבין ולפתור את כלהדוגמאות שנתתי. השיעור הזה הוא באופן הגיוני השלישי ברציפות, ואחרי שתשלוט בו, תוכל להבדיל בביטחון בין פונקציות מורכבות למדי. לא רצוי להיצמד לעמדה "איפה עוד? וזה מספיק!", שכן כל הדוגמאות והפתרונות לקוחים מהמציאות הבקרה עובדתולעתים קרובות נתקלים בהם בפועל.
נתחיל עם חזרה. בשיעור נגזרת של פונקציה מורכבתשקלנו מספר דוגמאות עם הערות מפורטות. במהלך לימוד חשבון דיפרנציאלי וחלקים אחרים של ניתוח מתמטי, תצטרך להבדיל לעתים קרובות מאוד, ולא תמיד נוח (ולא תמיד הכרחי) לצייר דוגמאות בפירוט רב. לכן נתרגל במציאת נגזרות בעל פה. ה"מועמדים" המתאימים ביותר לכך הם נגזרות של הפונקציות הפשוטות ביותר המורכבות, למשל:
לפי כלל הבידול פונקציה מורכבת 
:
כאשר לומדים בעתיד נושאי מתן אחרים, לרוב לא נדרש רישום מפורט כזה, ההנחה היא שהתלמיד מסוגל למצוא נגזרות דומות בטייס אוטומטי. בואו נדמיין שבשעה 3 לפנות בוקר היה א שיחת טלפון, וקול נעים שאל: "מהי הנגזרת של הטנגנס של שני x?". אחרי זה אמורה להיות תגובה כמעט מיידית ומנומסת: 
.
הדוגמה הראשונה נועדה מיד לפתרון עצמאי.
דוגמה 1
מצא את הנגזרות הבאות בעל פה, בשלב אחד, למשל: . כדי להשלים את המשימה, אתה רק צריך להשתמש טבלת נגזרות של פונקציות יסודיות(אם היא עוד לא זכרה). אם יש לך קשיים, אני ממליץ לקרוא שוב את השיעור נגזרת של פונקציה מורכבת.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
תשובות בסוף השיעור
נגזרות מורכבות
לאחר הכנה ארטילרית מקדימה, דוגמאות עם 3-4-5 קבצים של פונקציות יהיו פחות מפחידות. אולי לחלק שתי הדוגמאות הבאות ייראו מסובכות, אבל אם הן מובנות (מישהו יסבול), אז כמעט כל השאר בחשבון דיפרנציאלי ייראה כמו בדיחה של ילד.
דוגמה 2
מצא את הנגזרת של פונקציה 
כפי שכבר צוין, כאשר מוצאים את הנגזרת של פונקציה מורכבת, קודם כל, זה הכרחי ימיןלהבין השקעות. במקרים שבהם יש ספק, אני מזכיר טכניקה שימושית: אנחנו לוקחים את הערך הניסיוני "x", למשל, ומנסים (מנטלית או בטיוטה) להחליף את הערך הזה ב"ביטוי הנורא".
1) ראשית עלינו לחשב את הביטוי, כך שהסכום הוא הקינון העמוק ביותר.
2) אז אתה צריך לחשב את הלוגריתם:
4) ואז קוביות את הקוסינוס:
5) בשלב החמישי, ההבדל:
6) ולבסוף, הפונקציה החיצונית ביותר היא השורש הריבועי: 
נוסחת בידול פונקציות מורכבות 
מיושם בסדר הפוך מ פונקציה חיצונית, עד הפנימי. אנחנו מחליטים:
נראה שאין טעות...
(1) ניקח את הנגזרת של השורש הריבועי.
(2) ניקח את הנגזרת של ההפרש באמצעות הכלל 
(3) הנגזרת של המשולש שווה לאפס. במונח השני, ניקח את הנגזרת של התואר (קוביה).
(4) ניקח את הנגזרת של הקוסינוס.
(5) ניקח את הנגזרת של הלוגריתם.
(6) לבסוף, ניקח את הנגזרת של הקינון העמוק ביותר.
זה אולי נראה קשה מדי, אבל זו לא הדוגמה האכזרית ביותר. קח, למשל, את האוסף של קוזנצוב ותעריך את כל הקסם והפשטות של הנגזרת המנותחת. שמתי לב שהם אוהבים לתת דבר דומה בבחינה כדי לבדוק האם התלמיד מבין איך למצוא את הנגזרת של פונקציה מורכבת, או לא מבין.
הדוגמה הבאה מיועדת לפתרון עצמאי.
דוגמה 3
מצא את הנגזרת של פונקציה
רמז: ראשית אנו מיישמים את כללי הליניאריות ואת כלל הבידול של המוצר
פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.
הגיע הזמן לעבור למשהו קומפקטי ויפה יותר.
זה לא נדיר למצב שבו מכפלה של לא שתיים, אלא שלוש פונקציות ניתן בדוגמה. כיצד למצוא את הנגזרת של המכפלה של שלושה גורמים?
דוגמה 4
מצא את הנגזרת של פונקציה 
ראשית, נסתכל, אך האם ניתן להפוך את המכפלה של שלוש פונקציות למכפלה של שתי פונקציות? לדוגמה, אם היו לנו שני פולינומים במכפלה, אז נוכל לפתוח את הסוגריים. אבל בדוגמה זו, כל הפונקציות שונות: תואר, מעריך ולוגריתם.
במקרים כאלה, זה הכרחי ברציפותלהחיל את כלל בידול המוצרים 
פעמיים
החוכמה היא שעבור "y" אנו מציינים את המכפלה של שתי פונקציות: , ועבור "ve" - הלוגריתם:. מדוע ניתן לעשות זאת? האם זה 
- זה לא תוצר של שני גורמים והכלל לא עובד?! אין שום דבר מסובך:
כעת נותר ליישם את הכלל פעם שנייה 
לסוגר:
עדיין אפשר לסלף ולהוציא משהו מהסוגריים, אבל במקרה זה עדיף להשאיר את התשובה בטופס הזה - יהיה קל יותר לבדוק.
ניתן לפתור את הדוגמה לעיל בדרך השנייה: 
שני הפתרונות שווים לחלוטין.
דוגמה 5
מצא את הנגזרת של פונקציה
זו דוגמה לפתרון עצמאי, במדגם פותרים אותו בדרך הראשונה.
שקול דוגמאות דומות עם שברים.
דוגמה 6
מצא את הנגזרת של פונקציה 
כאן אתה יכול ללכת בכמה דרכים:
או ככה:
אבל הפתרון יכול להיכתב בצורה קומפקטית יותר אם, קודם כל, נשתמש בכלל ההבחנה של המנה 
, לוקח את כל המונה:
באופן עקרוני, הדוגמה נפתרת, ואם היא תישאר בצורה זו, זו לא תהיה טעות. אבל אם יש לכם זמן, תמיד מומלץ לבדוק טיוטה, אבל האם אפשר לפשט את התשובה? אנו מביאים את הביטוי של המונה למכנה משותף ו להיפטר מהשבר בן שלוש הקומות:
החיסרון של הפשטות נוספות הוא שיש סיכון לטעות לא בעת מציאת נגזרת, אלא בעת טרנספורמציות בית ספריות בנאליות. מצד שני, מורים לעתים קרובות דוחים את המשימה ומבקשים "להעלות את זה בראש" הנגזרת.
דוגמה פשוטה יותר לפתרון עשה זאת בעצמך:
דוגמה 7
מצא את הנגזרת של פונקציה
אנו ממשיכים לשלוט בטכניקות למציאת הנגזרת, וכעת נשקול מקרה טיפוסי בו מוצע לוגריתם "נורא" להבדלה
דוגמה 8
מצא את הנגזרת של פונקציה
כאן אתה יכול ללכת רחוק, באמצעות כלל ההבחנה של פונקציה מורכבת:
אבל הצעד הראשון מכניס אותך מיד לדיכאון - אתה צריך לקחת נגזרת לא נעימה של תואר שבריר, ואז גם משבר.
בגלל זה לפניכיצד לקחת את הנגזרת של הלוגריתם "המפואר", זה היה מפושט בעבר באמצעות מאפייני בית ספר ידועים:
! אם יש לך מחברת תרגול בהישג יד, העתק את הנוסחאות האלה ממש לשם. אם אין לכם מחברת, ציירו אותה על פיסת נייר, שכן שאר הדוגמאות של השיעור יסתובבו סביב הנוסחאות הללו.
את הפתרון עצמו ניתן לנסח כך:
בואו נשנה את הפונקציה:
אנו מוצאים את הנגזרת: 
השינוי המקדים של הפונקציה עצמה פישט מאוד את הפתרון. לפיכך, כאשר מוצע לוגריתם דומה להבדלה, תמיד מומלץ "לפרק אותו".
ועכשיו כמה דוגמאות פשוטות לפתרון עצמאי:
דוגמה 9
מצא את הנגזרת של פונקציה 
דוגמה 10
מצא את הנגזרת של פונקציה
כל התמורות והתשובות בסוף השיעור.
נגזרת לוגריתמית
אם הנגזרת של הלוגריתמים היא מוזיקה מתוקה כל כך, אז נשאלת השאלה, האם ניתן במקרים מסוימים לארגן את הלוגריתם באופן מלאכותי? פחית! ואפילו הכרחי.
דוגמה 11
מצא את הנגזרת של פונקציה 
דוגמאות דומות שקלנו לאחרונה. מה לעשות? אפשר להחיל ברציפות את כלל ההבחנה של המנה, ולאחר מכן את כלל ההבחנה של התוצר. החיסרון של שיטה זו הוא שאתה מקבל שבר עצום בן שלוש קומות, שאתה לא רוצה להתמודד איתו בכלל.
אבל בתיאוריה ובפרקטיקה יש דבר נפלא כמו הנגזרת הלוגריתמית. ניתן לארגן לוגריתמים באופן מלאכותי על ידי "תליית" אותם משני הצדדים:
עכשיו אתה צריך "לפרק" את הלוגריתם של הצד הימני ככל האפשר (נוסחאות מול העיניים?). אתאר את התהליך הזה בפירוט רב:
נתחיל עם הבידול.
אנו מסיימים את שני החלקים בשבץ:
הנגזרת של הצד הימני היא די פשוטה, אני לא אתייחס אליה, כי אם אתה קורא את הטקסט הזה, אתה אמור להיות מסוגל להתמודד עם זה בביטחון.
מה עם הצד השמאלי?
בצד שמאל יש לנו פונקציה מורכבת. אני צופה את השאלה: "למה, האם יש אות אחת "y" מתחת ללוגריתם?".
העובדה היא ש"אות אחת y" זו - היא פונקציה בפני עצמה(אם זה לא מאוד ברור, עיין במאמר נגזרת של פונקציה שצוינה במשתמע). לכן, הלוגריתם הוא פונקציה חיצונית, ו-"y" הוא תפקוד פנימי. ואנחנו משתמשים בכלל הבידול של פונקציות מורכבות 
:
בצד שמאל, כאילו על ידי גל שרביט קסםיש לנו נגזרת. יתר על כן, על פי כלל הפרופורציה, אנו זורקים את ה-"y" מהמכנה של צד שמאל לחלק העליון של צד ימין:
ועכשיו אנחנו זוכרים על איזה סוג של פונקציית "משחק" דיברנו כשבידול? בואו נסתכל על המצב: 
תשובה סופית: 
דוגמה 12
מצא את הנגזרת של פונקציה
זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. עיצוב לדוגמה של דוגמה מסוג זה בסוף השיעור.
בעזרת הנגזרת הלוגריתמית ניתן היה לפתור כל אחת מהדוגמאות מס' 4-7, דבר נוסף הוא שהפונקציות שם פשוטות יותר, ואולי, השימוש בנגזרת הלוגריתמית אינו מוצדק במיוחד.
נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית
עדיין לא שקלנו את הפונקציה הזו. פונקציה אקספוננציאלית היא פונקציה שיש לה והמעלה והבסיס תלויים ב-"x". דוגמה קלאסית שתינתן לכם בכל ספר לימוד או בכל הרצאה:
איך למצוא את הנגזרת של פונקציה מעריכית?
יש צורך להשתמש בטכניקה שזה עתה נחשבה - הנגזרת הלוגריתמית. אנו תולים לוגריתמים משני הצדדים:
ככלל, התואר נלקח מתחת ללוגריתם בצד ימין:
כתוצאה מכך, בצד ימין יש לנו מכפלה של שתי פונקציות, שיובדלו לפי הנוסחה הסטנדרטית 
.
אנו מוצאים את הנגזרת, לשם כך אנו מקיפים את שני החלקים תחת קווים:
השלבים הבאים קלים:
סוף כל סוף: 
אם טרנספורמציה כלשהי אינה ברורה לחלוטין, אנא קרא שוב בעיון את ההסברים של דוגמה מס' 11.
במשימות מעשיות, הפונקציה האקספוננציאלית תמיד תהיה מסובכת יותר מדוגמא ההרצאה הנחשבת.
דוגמה 13
מצא את הנגזרת של פונקציה
אנו משתמשים בנגזרת הלוגריתמית. 
בצד ימין יש לנו קבוע ומכפלה של שני גורמים - "x" ו"לוגריתם של הלוגריתם של x" (לוגריתם אחר מקונן מתחת ללוגריתם). כשמבדילים קבוע, כזכור, עדיף להוציא אותו מיד מהסימן של הנגזרת כדי שלא יפריע; וכמובן ליישם את הכלל המוכר 
:
כפי שניתן לראות, האלגוריתם ליישום הנגזרת הלוגריתמית אינו מכיל טריקים או טריקים מיוחדים, ומציאת הנגזרת של הפונקציה האקספוננציאלית בדרך כלל אינה קשורה ל"ייסורים".
ניתנת ההוכחה של הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת. מקרים שבהם פונקציה מורכבת תלויה במשתנה אחד או שניים נשקלים בפירוט. מתבצעת הכללה למקרה של מספר שרירותי של משתנים.
כאן אנו מציגים את הגזירה של הנוסחאות הבאות לנגזרת של פונקציה מורכבת.
אם, אז
.
אם, אז
.
אם, אז
.
נגזרת של פונקציה מורכבת של משתנה אחד
תן לפונקציה של משתנה x להיות מיוצגת כפונקציה מורכבת בצורה הבאה:
,
איפה ויש כמה פונקציות. הפונקציה ניתנת להפרדה עבור ערך כלשהו של המשתנה x . הפונקציה ניתנת להפרדה עבור הערך של המשתנה.
אז הפונקציה המורכבת (המרוכבת) ניתנת להבדלה בנקודה x והנגזרת שלה נקבעת על ידי הנוסחה:
(1)
.
נוסחה (1) יכולה להיכתב גם כך:
;
.
הוכחה
הבה נציג את הסימון הבא.
;
.
כאן יש פונקציה של משתנים ו , יש פונקציה של משתנים ו . אבל נשמיט את הטיעונים של הפונקציות האלה כדי לא לבלבל את החישובים.
מכיוון שהפונקציות והניתנות להבדלה בנקודות x ו- בהתאמה, אז בנקודות אלו יש נגזרות של פונקציות אלו, שהן הגבולות הבאים:
;
.
שקול את הפונקציה הבאה:
.
עבור ערך קבוע של המשתנה u , הוא פונקציה של . זה ברור ש
.
לאחר מכן
.
מכיוון שהפונקציה היא פונקציה הניתנת להבדלה בנקודה, אז היא רציפה בנקודה זו. בגלל זה
.
לאחר מכן
.
כעת אנו מוצאים את הנגזרת.
.
הנוסחה הוכחה.
תוֹצָאָה
אם פונקציה של משתנה x יכולה להיות מיוצגת כפונקציה מורכבת של פונקציה מורכבת
,
אז הנגזרת שלו נקבעת על ידי הנוסחה
.
כאן, ויש כמה פונקציות שניתן להבדיל.
כדי להוכיח נוסחה זו, אנו מחשבים ברצף את הנגזרת על פי כלל ההבחנה של פונקציה מורכבת.
שקול פונקציה מורכבת
.
הנגזרת שלו
.
שקול את הפונקציה המקורית
.
הנגזרת שלו
.
נגזרת של פונקציה מורכבת בשני משתנים
כעת תן לפונקציה מורכבת להיות תלויה במספר משתנים. ראשית שקלו במקרה של פונקציה מורכבת של שני משתנים.
תן לפונקציה התלויה במשתנה x להיות מיוצגת כפונקציה מורכבת של שני משתנים בצורה הבאה:
,
איפה
ויש פונקציות שניתן להבדיל עבור ערך כלשהו של המשתנה x ;
היא פונקציה של שני משתנים, הניתנים להפרדה בנקודה , . אז הפונקציה המורכבת מוגדרת בשכונה כלשהי של הנקודה ויש לה נגזרת, אשר נקבעת על ידי הנוסחה:
(2)
.
הוכחה
מכיוון שהפונקציות והן ניתנות להבדלה בנקודה, הן מוגדרות בשכונה כלשהי של נקודה זו, הן רציפות בנקודה, והנגזרות שלהן בנקודה קיימות, שהן הגבולות הבאים:
;
.
כאן
;
.
בשל ההמשכיות של פונקציות אלה בשלב מסוים, יש לנו:
;
.
מכיוון שהפונקציה ניתנת להבדלה בנקודה, היא מוגדרת בשכונה כלשהי של נקודה זו, היא רציפה בנקודה זו, וניתן לכתוב את התוספת שלה בצורה הבאה:
(3)
.
כאן
- הגדלה של פונקציה כאשר הארגומנטים שלה מוגדלים על ידי הערכים ו-;
;
- נגזרות חלקיות של הפונקציה ביחס למשתנים ו.
עבור ערכים קבועים של ו, ויש פונקציות של המשתנים ו. הם נוטים לאפס ב- ו:
;
.
מאז ו, אז
;
.
תוספת פונקציה:
.
:
.
מחליף (3):
.
הנוסחה הוכחה.
נגזרת של פונקציה מורכבת של מספר משתנים
הגזירה שלעיל מוכללת בקלות למקרה כאשר מספר המשתנים של פונקציה מורכבת הוא יותר משניים.
לדוגמה, אם f הוא פונקציה של שלושה משתנים, זה
,
איפה
, ויש פונקציות שניתן להבדיל עבור ערך כלשהו של המשתנה x ;
היא פונקציה הניתנת להבדלה, בשלושה משתנים, בנקודה , , .
לאחר מכן, מהגדרת הדיפרנציאליות של הפונקציה, יש לנו:
(4)
.
מאחר שבגלל ההמשכיות,
;
;
,
זֶה
;
;
.
מחלקים (4) על ידי ועוברים עד הגבול, נקבל:
.
ולבסוף, קחו בחשבון המקרה הכללי ביותר.
תן לפונקציה של משתנה x להיות מיוצגת כפונקציה מורכבת של n משתנים בצורה הבאה:
,
איפה
ישנן פונקציות שניתן להבדיל עבור ערך כלשהו של המשתנה x;
- פונקציה ניתנת להפרדה של n משתנים בנקודה
,
,
... , .
לאחר מכן
.
לאחר הכנה ארטילרית מקדימה, דוגמאות עם 3-4-5 קבצים של פונקציות יהיו פחות מפחידות. אולי לחלק שתי הדוגמאות הבאות ייראו מסובכות, אבל אם הן מובנות (מישהו יסבול), אז כמעט כל השאר בחשבון דיפרנציאלי ייראה כמו בדיחה של ילד.
דוגמה 2
מצא את הנגזרת של פונקציה
כפי שכבר צוין, כאשר מוצאים את הנגזרת של פונקציה מורכבת, קודם כל, זה הכרחי ימיןלהבין השקעות. במקרים בהם יש ספקות, אני מזכיר לכם טריק שימושי: אנחנו לוקחים את הערך הניסיוני "x", למשל, ומנסים (מנטלית או בטיוטה) להחליף את הערך הזה ב"ביטוי הנורא".
1) ראשית עלינו לחשב את הביטוי, כך שהסכום הוא הקינון העמוק ביותר.
2) אז אתה צריך לחשב את הלוגריתם:
4) ואז קוביות את הקוסינוס:
5) בשלב החמישי, ההבדל:
6) ולבסוף, הפונקציה החיצונית ביותר היא השורש הריבועי: 
נוסחת בידול פונקציות מורכבות 
מוחלים בסדר הפוך, מהפונקציה החיצונית ביותר אל הפנימית ביותר. אנחנו מחליטים:
נראה ללא שגיאות:
1) ניקח את הנגזרת של השורש הריבועי.
2) ניקח את הנגזרת של ההפרש באמצעות הכלל 
3) הנגזרת של המשולש שווה לאפס. במונח השני, ניקח את הנגזרת של התואר (קוביה).
4) ניקח את הנגזרת של הקוסינוס.
6) ולבסוף, אנו לוקחים את הנגזרת של הקינון העמוק ביותר.
זה אולי נראה קשה מדי, אבל זו לא הדוגמה האכזרית ביותר. קח, למשל, את האוסף של קוזנצוב ותעריך את כל הקסם והפשטות של הנגזרת המנותחת. שמתי לב שהם אוהבים לתת דבר דומה בבחינה כדי לבדוק האם התלמיד מבין איך למצוא את הנגזרת של פונקציה מורכבת, או לא מבין.
הדוגמה הבאה מיועדת לפתרון עצמאי.
דוגמה 3
מצא את הנגזרת של פונקציה
רמז: ראשית אנו מיישמים את כללי הליניאריות ואת כלל הבידול של המוצר
פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.
הגיע הזמן לעבור למשהו קומפקטי ויפה יותר.
זה לא נדיר למצב שבו מכפלה של לא שתיים, אלא שלוש פונקציות ניתן בדוגמה. כיצד למצוא את הנגזרת של המכפלה של שלושה גורמים?
דוגמה 4
מצא את הנגזרת של פונקציה 
ראשית, נסתכל, אך האם ניתן להפוך את המכפלה של שלוש פונקציות למכפלה של שתי פונקציות? לדוגמה, אם היו לנו שני פולינומים במכפלה, אז נוכל לפתוח את הסוגריים. אבל בדוגמה זו, כל הפונקציות שונות: תואר, מעריך ולוגריתם.
במקרים כאלה, זה הכרחי ברציפותלהחיל את כלל בידול המוצרים 
פעמיים
החוכמה היא שעבור "y" אנו מציינים את המכפלה של שתי פונקציות: , ועבור "ve" - הלוגריתם:. מדוע ניתן לעשות זאת? האם זה 
- זה לא תוצר של שני גורמים והכלל לא עובד?! אין שום דבר מסובך:
כעת נותר ליישם את הכלל פעם שנייה לסוגר:
עדיין אפשר לסלף ולהוציא משהו מהסוגריים, אבל במקרה זה עדיף להשאיר את התשובה בטופס הזה - יהיה קל יותר לבדוק.
ניתן לפתור את הדוגמה לעיל בדרך השנייה:
שני הפתרונות שווים לחלוטין.
דוגמה 5
מצא את הנגזרת של פונקציה
זו דוגמה לפתרון עצמאי, במדגם פותרים אותו בדרך הראשונה.
שקול דוגמאות דומות עם שברים.
דוגמה 6
מצא את הנגזרת של פונקציה 
כאן אתה יכול ללכת בכמה דרכים:
או ככה:
אבל הפתרון יכול להיכתב בצורה קומפקטית יותר אם, קודם כל, נשתמש בכלל ההבחנה של המנה 
, לוקח את כל המונה:
באופן עקרוני, הדוגמה נפתרת, ואם היא תישאר בצורה זו, זו לא תהיה טעות. אבל אם יש לכם זמן, תמיד מומלץ לבדוק טיוטה, אבל האם אפשר לפשט את התשובה?
אנו מביאים את הביטוי של המונה למכנה משותף ונפטרים מהשבר בן שלוש הקומות:
החיסרון של הפשטות נוספות הוא שיש סיכון לטעות לא בעת מציאת נגזרת, אלא בעת טרנספורמציות בית ספריות בנאליות. מצד שני, מורים לעתים קרובות דוחים את המשימה ומבקשים "להעלות את זה בראש" הנגזרת.
דוגמה פשוטה יותר לפתרון עשה זאת בעצמך:
דוגמה 7
מצא את הנגזרת של פונקציה
אנו ממשיכים לשלוט בטכניקות למציאת הנגזרת, וכעת נשקול מקרה טיפוסי בו מוצע לוגריתם "נורא" להבדלה
פונקציות סוג מורכבלא תמיד מתאימים להגדרה של פונקציה מורכבת. אם יש פונקציה בצורה y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, אז זה לא יכול להיחשב מורכב, בניגוד y \u003d sin 2 x.
מאמר זה יראה את הרעיון של פונקציה מורכבת וזיהויה. בואו נעבוד עם נוסחאות למציאת הנגזרת עם דוגמאות לפתרונות במסקנה. השימוש בטבלת הנגזרות ובכללי ההבחנה מצמצמים משמעותית את זמן מציאת הנגזרת.
Yandex.RTB R-A-339285-1
הגדרות בסיסיות
הגדרה 1פונקציה מורכבת היא פונקציה שגם הארגומנט שלה הוא פונקציה.
זה מסומן כך: f (g (x)) . יש לנו שהפונקציה g (x) נחשבת לארגומנט f (g (x)) .
הגדרה 2
אם יש פונקציה f והיא פונקציה קוטנגנטית, אז g (x) = ln x היא פונקציה לוגריתם טבעי. נקבל שהפונקציה המורכבת f (g (x)) תיכתב כ-arctg (lnx). או פונקציה f, שהיא פונקציה המוגדלת בחזקת רביעית, שבה g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 נחשבת לפונקציה רציונלית שלמה, נקבל ש-f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .
ברור ש-g(x) יכול להיות מסובך. מהדוגמה y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, ניתן לראות שלערך של g יש שורש קובייה עם שבר. ביטוי זה יכול להיות מסומן כ-y = f (f 1 (f 2 (x))) . מכאן יש לנו ש-f היא פונקציית סינוס, ו-f 1 היא פונקציה שנמצאת מתחת שורש ריבועי, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - פונקציה רציונלית שברית.
הגדרה 3
מידת הקינון מוגדרת על ידי כל אחד מספר טבעיונכתב כ-y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))).
הגדרה 4
המושג הרכב פונקציות מתייחס למספר הפונקציות המקוננות בהתאם להצהרת הבעיה. לפתרון, הנוסחה למציאת הנגזרת של פונקציה מורכבת של הצורה
(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)
דוגמאות
דוגמה 1מצא את הנגזרת של פונקציה מורכבת בצורה y = (2 x + 1) 2 .
פִּתָרוֹן
לפי מוסכמה, f היא פונקציית ריבוע, ו-g(x) = 2 x + 1 נחשב לפונקציה לינארית.
אנו מיישמים את נוסחת הנגזרת עבור פונקציה מורכבת וכותבים:
f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4
יש צורך למצוא נגזרת עם צורה ראשונית פשוטה של הפונקציה. אנחנו מקבלים:
y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1
מכאן שיש לנו את זה
y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4
התוצאות התאימו.
כשפותרים בעיות מהסוג הזה, חשוב להבין היכן תמוקם הפונקציה של הצורה f ו-g (x).
דוגמה 2
אתה צריך למצוא את הנגזרות של פונקציות מורכבות בצורה y \u003d sin 2 x ו- y \u003d sin x 2.
פִּתָרוֹן
הערך הראשון של הפונקציה אומר ש-f היא פונקציית הריבוע ו-g(x) היא פונקציית הסינוס. ואז נקבל את זה
y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x
הערך השני מראה ש-f היא פונקציית סינוס, ו-g (x) = x 2 מציין פונקציית כוח. מכאן נובע שניתן לכתוב את המכפלה של פונקציה מורכבת
y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)
הנוסחה עבור הנגזרת y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) תיכתב כ-y "= f" (f 1 (f 2 (f 3) (. . . ( f n (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... . )) )) . . . f n "(x)
דוגמה 3
מצא את הנגזרת של הפונקציה y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .
פִּתָרוֹן
דוגמה זו מראה את המורכבות של כתיבה וקביעת מיקומן של פונקציות. ואז y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) מציין, כאשר f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) היא פונקציית הסינוס, הפונקציה של העלאה ל-3 מעלות, פונקציה עם לוגריתם ובסיס e, פונקציה של משיק הקשת וליניארית.
מהנוסחה להגדרה של פונקציה מורכבת, יש לנו את זה
y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)
מקבל מה למצוא
- f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) בתור הנגזרת של הסינוס בטבלת הנגזרות, ואז f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
- f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) כנגזרת של פונקציית חזקה, ואז f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
- f 2 "(f 3 (f 4 (x))) כנגזרת לוגריתמית, ואז f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
- f 3 "(f 4 (x)) כנגזרת של משיק הקשת, ואז f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
- כשמוצאים את הנגזרת f 4 (x) \u003d 2 x, הוציאו 2 מהסימן של הנגזרת באמצעות הנוסחה לנגזרת של פונקציית החזקה עם מעריך השווה ל-1, ואז f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .
אנחנו משלבים את תוצאות הביניים ומקבלים את זה
y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)
הניתוח של פונקציות כאלה דומה לבובות קינון. לא תמיד ניתן להחיל כללי בידול באופן מפורש באמצעות טבלה נגזרת. לעתים קרובות אתה צריך ליישם את הנוסחה למציאת נגזרות של פונקציות מורכבות.
ישנם כמה הבדלים בין השקפה מורכבת לפונקציה מורכבת. עם יכולת ברורה להבחין בכך, מציאת נגזרים תהיה קלה במיוחד.
דוגמה 4
יש לשקול להביא דוגמה כזו. אם יש פונקציה של הצורה y = t g 2 x + 3 t g x + 1, אז זה יכול להיחשב כפונקציה מורכבת של הצורה g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . ברור, יש צורך ליישם את הנוסחה עבור הנגזרת המורכבת:
f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 גרם 2 - 1 (x) + 3 גרם "(x) + 0 \u003d 2 גרם (x) + 3 1 גרם 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 גרם (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x
פונקציה בצורה y = t g x 2 + 3 t g x + 1 אינה נחשבת מורכבת, מכיוון שיש לה את הסכום t g x 2, 3 t g x ו-1. עם זאת, t g x 2 נחשב לפונקציה מורכבת, אז נקבל פונקציית חזקה בצורה g (x) \u003d x 2 ו-f, שהיא פונקציה של המשיק. כדי לעשות זאת, אתה צריך להבדיל לפי הכמות. אנחנו מקבלים את זה
y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x
נעבור למציאת הנגזרת של פונקציה מורכבת (t g x 2) ":
f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)
נקבל ש-y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x
ניתן לכלול פונקציות מורכבות בפונקציות מורכבות, והפונקציות המורכבות עצמן יכולות להיות פונקציות מורכבות של הצורה המורכבת.
דוגמה 5
לדוגמה, שקול פונקציה מורכבת מהצורה y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)
פונקציה זו יכולה להיות מיוצגת כ-y = f (g (x)), כאשר הערך של f הוא פונקציה של הלוגריתם בסיס 3, ו-g (x) נחשב לסכום של שתי פונקציות בצורה h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 ו-k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . ברור, y = f (h (x) + k (x)) .
שקול את הפונקציה h(x) . זהו היחס בין l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ל-m (x) = e x 2 + 3 3
יש לנו ש-l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) הוא הסכום של שתי פונקציות n (x) = x 2 + 7 ו-p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , כאשר p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) היא פונקציה מורכבת עם מקדם מספרי של 3, ו-p 1 הוא פונקציית קובייה, p 2 פונקציית קוסינוס, p 3 (x) = 2 x + 1 - פונקציה לינארית.
מצאנו כי m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) הוא הסכום של שתי פונקציות q (x) = e x 2 ו-r (x) = 3 3 , כאשר q (x) = q 1 (q 2 (x)) היא פונקציה מורכבת, q 1 היא פונקציה עם מעריך, q 2 (x) = x 2 היא פונקציית חזקה.
זה מראה כי h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)
כאשר עוברים לביטוי של הצורה k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), ברור שהפונקציה מיוצגת כמכלול s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) עם רציונלי מספר שלם t (x) = x 2 + 1, כאשר s 1 היא פונקציית הריבוע, ו- s 2 (x) = ln x הוא לוגריתמי עם בסיס e .
מכאן נובע שהביטוי יקבל את הצורה k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .
ואז נקבל את זה
y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 () x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)
על פי מבני הפונקציה, התברר כיצד ואיזה נוסחאות יש ליישם כדי לפשט את הביטוי כאשר הוא מובחן. כדי להכיר בעיות כאלה ולהבין את הפתרון שלהן, יש צורך להתייחס לנקודת ההבחנה של פונקציה, כלומר למצוא את הנגזרת שלה.
אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter
