נגזרות מורכבות. נגזרת לוגריתמית.
נגזרת של כוח- פונקציה מעריכית

אנו ממשיכים לשפר את טכניקת הבידול שלנו. בשיעור זה נאחד את החומר הנלווה, נשקול נגזרות מורכבות יותר, וכן נכיר טריקים וטריקים חדשים למציאת הנגזרת, בפרט, עם הנגזרת הלוגריתמית.

לאותם קוראים אשר רמה נמוכההכנה, עיין במאמר איך למצוא את הנגזרת? דוגמאות לפתרונותמה שיאפשר לך להעלות את הכישורים שלך כמעט מאפס. לאחר מכן, עליך ללמוד היטב את הדף נגזרת של פונקציה מורכבת, להבין ולפתור את כלהדוגמאות שנתתי. השיעור הזה הוא באופן הגיוני השלישי ברציפות, ואחרי שתשלוט בו, תוכל להבדיל בביטחון בין פונקציות מורכבות למדי. לא רצוי להיצמד לעמדה "איפה עוד? וזה מספיק!", שכן כל הדוגמאות והפתרונות לקוחים מהמציאות הבקרה עובדתולעתים קרובות נתקלים בהם בפועל.

נתחיל עם חזרה. בשיעור נגזרת של פונקציה מורכבתשקלנו מספר דוגמאות עם הערות מפורטות. במהלך לימוד חשבון דיפרנציאלי וחלקים אחרים של ניתוח מתמטי, תצטרך להבדיל לעתים קרובות מאוד, ולא תמיד נוח (ולא תמיד הכרחי) לצייר דוגמאות בפירוט רב. לכן נתרגל במציאת נגזרות בעל פה. ה"מועמדים" המתאימים ביותר לכך הם נגזרות של הפונקציות הפשוטות ביותר המורכבות, למשל:

לפי כלל הבידול פונקציה מורכבת :

כאשר לומדים בעתיד נושאי מתן אחרים, לרוב לא נדרש רישום מפורט כזה, ההנחה היא שהתלמיד מסוגל למצוא נגזרות דומות בטייס אוטומטי. בואו נדמיין שבשעה 3 לפנות בוקר היה א שיחת טלפון, וקול נעים שאל: "מהי הנגזרת של הטנגנס של שני x?". אחרי זה אמורה להיות תגובה כמעט מיידית ומנומסת: .

הדוגמה הראשונה נועדה מיד לפתרון עצמאי.

דוגמה 1

מצא את הנגזרות הבאות בעל פה, בשלב אחד, למשל: . כדי להשלים את המשימה, אתה רק צריך להשתמש טבלת נגזרות של פונקציות יסודיות(אם היא עוד לא זכרה). אם יש לך קשיים, אני ממליץ לקרוא שוב את השיעור נגזרת של פונקציה מורכבת.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

תשובות בסוף השיעור

נגזרות מורכבות

לאחר הכנה ארטילרית מקדימה, דוגמאות עם 3-4-5 קבצים של פונקציות יהיו פחות מפחידות. אולי לחלק שתי הדוגמאות הבאות ייראו מסובכות, אבל אם הן מובנות (מישהו יסבול), אז כמעט כל השאר בחשבון דיפרנציאלי ייראה כמו בדיחה של ילד.

דוגמה 2

מצא את הנגזרת של פונקציה

כפי שכבר צוין, כאשר מוצאים את הנגזרת של פונקציה מורכבת, קודם כל, זה הכרחי ימיןלהבין השקעות. במקרים בהם יש ספק, אני מזכיר טכניקה שימושית: אנחנו לוקחים את הערך הניסיוני "x", למשל, ומנסים (מנטלית או בטיוטה) להחליף את הערך הזה ב"ביטוי הנורא".

1) ראשית עלינו לחשב את הביטוי, כך שהסכום הוא הקינון העמוק ביותר.

2) אז אתה צריך לחשב את הלוגריתם:

4) לאחר מכן קוביות את הקוסינוס:

5) בשלב החמישי, ההבדל:

6) ולבסוף, הפונקציה החיצונית ביותר היא שורש ריבועי:

נוסחת בידול פונקציות מורכבת מוחלים בסדר הפוך, מהפונקציה החיצונית ביותר אל הפנימית ביותר. אנחנו מחליטים:

נראה שאין טעות...

(1) ניקח את הנגזרת של השורש הריבועי.

(2) ניקח את הנגזרת של ההפרש באמצעות הכלל

(3) הנגזרת של המשולש שווה לאפס. במונח השני, ניקח את הנגזרת של התואר (קוביה).

(4) ניקח את הנגזרת של הקוסינוס.

(5) ניקח את הנגזרת של הלוגריתם.

(6) לבסוף, ניקח את הנגזרת של הקינון העמוק ביותר.

זה אולי נראה קשה מדי, אבל זו לא הדוגמה האכזרית ביותר. קח, למשל, את האוסף של קוזנצוב ותעריך את כל הקסם והפשטות של הנגזרת המנותחת. שמתי לב שהם אוהבים לתת דבר דומה בבחינה כדי לבדוק האם התלמיד מבין איך למצוא את הנגזרת של פונקציה מורכבת, או לא מבין.

הדוגמה הבאה מיועדת לפתרון עצמאי.

דוגמה 3

מצא את הנגזרת של פונקציה

רמז: ראשית אנו מיישמים את כללי הליניאריות ואת כלל הבידול של המוצר

פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

הגיע הזמן לעבור למשהו קומפקטי ויפה יותר.
זה לא נדיר למצב שבו מכפלה של לא שתיים, אלא שלוש פונקציות ניתן בדוגמה. כיצד למצוא את הנגזרת של המכפלה של שלושה גורמים?

דוגמה 4

מצא את הנגזרת של פונקציה

ראשית, נסתכל, אך האם ניתן להפוך את המכפלה של שלוש פונקציות למכפלה של שתי פונקציות? לדוגמה, אם היו לנו שני פולינומים במכפלה, אז נוכל לפתוח את הסוגריים. אבל בדוגמה זו, כל הפונקציות שונות: תואר, מעריך ולוגריתם.

במקרים כאלה, זה הכרחי ברצףלהחיל את כלל בידול המוצרים פעמיים

החוכמה היא שעבור "y" אנו מציינים את המכפלה של שתי פונקציות: , ועבור "ve" - ​​הלוגריתם:. מדוע ניתן לעשות זאת? האם זה - זה לא תוצר של שני גורמים והכלל לא עובד?! אין שום דבר מסובך:

כעת נותר ליישם את הכלל פעם שנייה לסוגר:

אתה עדיין יכול להסוות ולהוציא משהו מהסוגריים, אבל במקרה זה עדיף להשאיר את התשובה בטופס הזה - יהיה יותר קל לבדוק.

ניתן לפתור את הדוגמה לעיל בדרך השנייה:

שני הפתרונות שווים לחלוטין.

דוגמה 5

מצא את הנגזרת של פונקציה

זו דוגמה לפתרון עצמאי, במדגם פותרים אותו בדרך הראשונה.

שקול דוגמאות דומות עם שברים.

דוגמה 6

מצא את הנגזרת של פונקציה

כאן אתה יכול ללכת בכמה דרכים:

או ככה:

אבל הפתרון יכול להיכתב בצורה קומפקטית יותר אם, קודם כל, נשתמש בכלל ההבחנה של המנה , לוקח את כל המונה:

באופן עקרוני, הדוגמה נפתרת, ואם היא תישאר בצורה זו, זו לא תהיה טעות. אבל אם יש לכם זמן, תמיד מומלץ לבדוק טיוטה, אבל האם אפשר לפשט את התשובה? אנו מביאים את הביטוי של המונה למכנה משותף ו להיפטר מהשבר בן שלוש הקומות:

החיסרון של הפשטות נוספות הוא שיש סיכון לטעות לא בעת מציאת נגזרת, אלא בעת טרנספורמציות בית ספריות בנאליות. מצד שני, מורים לעתים קרובות דוחים את המשימה ומבקשים "להעלות את זה בראש" הנגזרת.

דוגמה פשוטה יותר לפתרון עשה זאת בעצמך:

דוגמה 7

מצא את הנגזרת של פונקציה

אנו ממשיכים לשלוט בטכניקות למציאת הנגזרת, וכעת נשקול מקרה טיפוסי בו מוצע לוגריתם "נורא" להבדלה

דוגמה 8

מצא את הנגזרת של פונקציה

כאן אתה יכול ללכת רחוק, באמצעות כלל ההבחנה של פונקציה מורכבת:

אבל הצעד הראשון מכניס אותך מיד לדיכאון - אתה צריך לקחת נגזרת לא נעימה של תואר שבריר, ואז גם משבר.

בגלל זה לפניכיצד לקחת את הנגזרת של הלוגריתם "המפואר", זה היה מפושט בעבר באמצעות מאפייני בית ספר ידועים:

! אם יש לך מחברת תרגול בהישג יד, העתק את הנוסחאות האלה ממש לשם. אם אין לכם מחברת, ציירו אותה על פיסת נייר, שכן שאר הדוגמאות של השיעור יסתובבו סביב הנוסחאות הללו.

את הפתרון עצמו ניתן לנסח כך:

בואו נשנה את הפונקציה:

אנו מוצאים את הנגזרת:

השינוי המקדים של הפונקציה עצמה פישט מאוד את הפתרון. לפיכך, כאשר מוצע לוגריתם דומה להבדלה, תמיד מומלץ "לפרק אותו".

ועכשיו כמה דוגמאות פשוטות לפתרון עצמאי:

דוגמה 9

מצא את הנגזרת של פונקציה

דוגמה 10

מצא את הנגזרת של פונקציה

כל התמורות והתשובות בסוף השיעור.

נגזרת לוגריתמית

אם הנגזרת של הלוגריתמים היא מוזיקה מתוקה כל כך, אז נשאלת השאלה, האם ניתן במקרים מסוימים לארגן את הלוגריתם באופן מלאכותי? פחית! ואפילו הכרחי.

דוגמה 11

מצא את הנגזרת של פונקציה

דוגמאות דומות שקלנו לאחרונה. מה לעשות? אפשר להחיל ברציפות את כלל ההבחנה של המנה, ולאחר מכן את כלל ההבחנה של התוצר. החיסרון של שיטה זו הוא שאתה מקבל שבר עצום בן שלוש קומות, שאתה לא רוצה להתמודד איתו בכלל.

אבל בתיאוריה ובפרקטיקה יש דבר נפלא כמו הנגזרת הלוגריתמית. ניתן לארגן לוגריתמים באופן מלאכותי על ידי "תליית" אותם משני הצדדים:

עכשיו אתה צריך "לפרק" את הלוגריתם של הצד הימני ככל האפשר (נוסחאות מול העיניים?). אתאר את התהליך הזה בפירוט רב:

נתחיל עם הבידול.
אנו מסיימים את שני החלקים בשבץ:

הנגזרת של הצד הימני היא די פשוטה, אני לא אתייחס אליה, כי אם אתה קורא את הטקסט הזה, אתה אמור להיות מסוגל להתמודד עם זה בביטחון.

מה עם הצד השמאלי?

בצד שמאל יש לנו פונקציה מורכבת. אני צופה את השאלה: "למה, האם יש אות אחת "y" מתחת ללוגריתם?".

העובדה היא ש"אות אחת y" זו - היא פונקציה בפני עצמה(אם זה לא מאוד ברור, עיין במאמר נגזרת של פונקציה שצוינה במשתמע). לכן, הלוגריתם הוא פונקציה חיצונית, ו-"y" הוא פונקציה פנימית. ואנחנו משתמשים בכלל הבידול של פונקציות מורכבות :

בצד שמאל, כאילו על ידי גל שרביט קסםיש לנו נגזרת. יתר על כן, על פי כלל הפרופורציה, אנו זורקים את ה-"y" מהמכנה של צד שמאל לחלק העליון של צד ימין:

ועכשיו אנחנו זוכרים על איזה סוג של פונקציית "משחק" דיברנו כשבידול? בואו נסתכל על המצב:

תשובה סופית:

דוגמה 12

מצא את הנגזרת של פונקציה

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. עיצוב לדוגמה של דוגמה מסוג זה בסוף השיעור.

בעזרת הנגזרת הלוגריתמית ניתן היה לפתור כל אחת מהדוגמאות מס' 4-7, דבר נוסף הוא שהפונקציות שם פשוטות יותר, ואולי, השימוש בנגזרת הלוגריתמית אינו מוצדק במיוחד.

נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית

עדיין לא שקלנו את הפונקציה הזו. פונקציה אקספוננציאלית היא פונקציה שיש לה והמעלה והבסיס תלויים ב-"x". דוגמה קלאסית שתינתן לכם בכל ספר לימוד או בכל הרצאה:

איך למצוא את הנגזרת של פונקציה מעריכית?

יש צורך להשתמש בטכניקה שזה עתה נחשבה - הנגזרת הלוגריתמית. אנו תולים לוגריתמים משני הצדדים:

ככלל, התואר נלקח מתחת ללוגריתם בצד ימין:

כתוצאה מכך, בצד ימין יש לנו מכפלה של שתי פונקציות, שיובדלו לפי הנוסחה הסטנדרטית .

אנו מוצאים את הנגזרת, לשם כך אנו מקיפים את שני החלקים תחת קווים:

השלבים הבאים קלים:

סוף כל סוף:

אם טרנספורמציה כלשהי אינה ברורה לחלוטין, אנא קרא שוב בעיון את ההסברים של דוגמה מס' 11.

במשימות מעשיות, הפונקציה האקספוננציאלית תמיד תהיה מסובכת יותר מדוגמא ההרצאה הנחשבת.

דוגמה 13

מצא את הנגזרת של פונקציה

אנו משתמשים בנגזרת הלוגריתמית.

בצד ימין יש לנו קבוע ומכפלה של שני גורמים - "x" ו"לוגריתם של הלוגריתם של x" (לוגריתם אחר מקונן מתחת ללוגריתם). כשמבדילים קבוע, כזכור, עדיף להוציא אותו מיד מהסימן של הנגזרת כדי שלא יפריע; וכמובן ליישם את הכלל המוכר :

כפי שניתן לראות, האלגוריתם ליישום הנגזרת הלוגריתמית אינו מכיל טריקים או טריקים מיוחדים, ומציאת הנגזרת של הפונקציה האקספוננציאלית בדרך כלל אינה קשורה ל"ייסורים".

שלב ראשון

נגזרת פונקציה. מדריך מקיף (2019)

דמיינו לעצמכם דרך ישרה העוברת באזור הררי. כלומר, הוא עולה ויורד, אך אינו פונה ימינה או שמאלה. אם הציר מכוון אופקית לאורך הדרך, ואנכית, אז קו הדרך יהיה דומה מאוד לגרף של פונקציה רציפה כלשהי:

הציר הוא רמה מסוימת של אפס גובה, בחיים אנו משתמשים בגובה פני הים.

מתקדמים בכביש כזה, אנחנו גם מתקדמים למעלה או למטה. נוכל גם לומר: כאשר הארגומנט משתנה (נע לאורך ציר האבשיסה), ערך הפונקציה משתנה (נע לאורך ציר הסמטה). עכשיו בואו נחשוב איך לקבוע את "תלולות" הדרך שלנו? מה יכול להיות הערך הזה? פשוט מאוד: כמה ישתנה הגובה כשמתקדמים מרחק מסוים. ואכן, בקטעים שונים של הדרך, בהתקדם (לאורך האבשיסה) קילומטר אחד, נעלה או נרד מספר מטרים שונה ביחס לגובה פני הים (לאורך הסמין).

אנו מציינים התקדמות קדימה (קרא "דלתא x").

האות היוונית (דלתא) משמשת בדרך כלל במתמטיקה כתחילית שמשמעותה "שינוי". כלומר - זהו שינוי בגודל, - שינוי; אז מה זה? נכון, שינוי בגודל.

חשוב: הביטוי הוא ישות אחת, משתנה אחד. לעולם אל תקרע את ה"דלתא" מה-"x" או מכל אות אחרת! כלומר, למשל,.

אז התקדמנו קדימה, אופקית, הלאה. אם נשווה את קו הדרך עם גרף של פונקציה, אז איך נסמן את העלייה? בוודאי,. כלומר, כשמתקדמים הלאה אנחנו עולים גבוה יותר.

קל לחשב את הערך: אם בהתחלה היינו בגובה, ואחרי התנועה היינו בגובה, אז. אם נקודת הסיום התבררה כנמוכה מנקודת ההתחלה, היא תהיה שלילית - זה אומר שאנחנו לא עולים, אלא יורדים.

חזרה ל"תלולות": זהו ערך שמציין כמה (בתלול) הגובה גדל בעת תנועה קדימה ליחידת מרחק:

נניח שבקטע כלשהו של השביל, כאשר מתקדמים בק"מ, הדרך עולה בק"מ. אז התלולות במקום הזה שווה. ואם הדרך בהתקדמות מ' שקעה בק"מ? אז השיפוע שווה.

עכשיו תחשבו על ראש גבעה. אם לוקחים את תחילת הקטע חצי קילומטר לפסגה, ואת הסוף - חצי קילומטר אחריו, אפשר לראות שהגובה כמעט זהה.

כלומר, לפי ההיגיון שלנו, מסתבר שהשיפוע כאן כמעט שווה לאפס, וזה ברור שלא נכון. הרבה יכול להשתנות במרחק של כמה קילומטרים בלבד. יש להתייחס לשטחים קטנים יותר כדי לקבל הערכה נאותה ומדויקת יותר של התלולות. לדוגמה, אם מודדים את השינוי בגובה בעת תנועה של מטר אחד, התוצאה תהיה הרבה יותר מדויקת. אבל אולי גם הדיוק הזה לא יספיק לנו – אחרי הכל, אם יש עמוד באמצע הדרך, אנחנו יכולים פשוט לחמוק דרכו. באיזה מרחק עלינו לבחור אם כך? סַנטִימֶטֶר? מִילִימֶטֶר? פחות עדיף!

IN החיים האמיתייםמדידת המרחק למילימטר הקרוב ביותר היא די והותר. אבל מתמטיקאים תמיד שואפים לשלמות. לכן, הרעיון היה זָעִיר מְאֹד, כלומר, ערך המודולו קטן מכל מספר שנוכל למנות. למשל, אתה אומר: טריליון אחד! כמה פחות? ואתה מחלק את המספר הזה - והוא יהיה אפילו פחות. וכולי. אם נרצה לכתוב שהערך קטן לאין שיעור, נכתוב כך: (אנו קוראים "x שואף לאפס"). חשוב מאוד להבין שמספר זה אינו שווה לאפס!אבל מאוד קרוב לזה. זה אומר שאפשר לחלק אותו ל.

המושג הפוך לקטן אינסופי הוא גדול לאין שיעור (). סביר להניח שכבר נתקלת בזה כשעבדת על אי-שוויון: המספר הזה גדול יותר במודולוס מכל מספר שאתה יכול לחשוב עליו. אם אתה מגיע למספר הגדול ביותר האפשרי, פשוט תכפיל אותו בשניים ותקבל אפילו יותר. והאינסוף הוא אפילו יותר ממה שקורה. למעשה, לאין סוף גדול וקטן לאין שיעור הפוכים זה לזה, כלומר ב, ולהיפך: ב.

עכשיו נחזור לדרך שלנו. השיפוע המחושב באופן אידיאלי הוא השיפוע המחושב עבור קטע קטן לאין שיעור של השביל, כלומר:

אני מציין שעם תזוזה קטנה לאין שיעור, גם השינוי בגובה יהיה קטן לאין שיעור. אבל הרשו לי להזכיר לכם שקטן אינסופי אינו אומר שווה לאפס. אם מחלקים מספרים אינפיניטסימליים זה בזה, אתה יכול לקבל מספר רגיל לחלוטין, למשל,. כלומר, ערך קטן אחד יכול להיות גדול בדיוק פי שניים מאחר.

למה כל זה? הדרך, התלולות... אנחנו לא יוצאים לעצרת, אבל אנחנו לומדים מתמטיקה. ובמתמטיקה הכל בדיוק אותו דבר, רק נקרא אחרת.

המושג של נגזרת

הנגזרת של פונקציה היא היחס בין התוספת של הפונקציה לתוספת של הארגומנט בתוספת אינסופית של הארגומנט.

תוֹסֶפֶתבמתמטיקה קוראים שינוי. כמה השתנה הארגומנט () בעת התנועה לאורך הציר נקרא תוספת טיעוןומסומן על ידי כמה הפונקציה (הגובה) השתנתה כאשר נעים קדימה לאורך הציר במרחק נקרא תוספת פונקציהומסומן.

אז, הנגזרת של פונקציה היא היחס למתי. נסמן את הנגזרת באותה אות כמו הפונקציה, רק במהירה מימין למעלה: או פשוט. אז, בואו נכתוב את נוסחת הנגזרת באמצעות הסימונים הבאים:

כמו באנלוגיה לדרך, כאן, כשהפונקציה גדלה, הנגזרת חיובית, וכשהיא יורדת היא שלילית.

אבל האם הנגזרת שווה לאפס? בְּהֶחלֵט. לדוגמה, אם אנחנו נוסעים בכביש אופקי שטוח, התלולות היא אפס. אכן, הגובה אינו משתנה כלל. אז עם הנגזרת: הנגזרת של פונקציה קבועה (קבוע) שווה לאפס:

מכיוון שהתוספת של פונקציה כזו היא אפס עבור כל אחד.

ניקח את הדוגמה של ראש הגבעה. התברר שאפשר לסדר את קצוות הקטע בצדדים מנוגדים של הקודקוד כך שהגובה בקצוות יתברר זהה, כלומר הקטע מקביל לציר:

אבל מקטעים גדולים הם סימן למדידה לא מדויקת. נעלה את הקטע שלנו במקביל לעצמו, ואז אורכו יקטן.

בסופו של דבר, כשאנחנו קרובים לאין ערוך לחלק העליון, אורך הקטע יהפוך לקטן לאין ערוך. אבל יחד עם זאת, הוא נשאר מקביל לציר, כלומר, הפרש הגובה בקצותיו שווה לאפס (לא נוטה, אלא שווה). אז הנגזרת

ניתן להבין זאת כך: כאשר אנו עומדים ממש למעלה, תזוזה קטנה שמאלה או ימינה משנה את הגובה שלנו באופן זניח.

יש גם הסבר אלגברי גרידא: משמאל למעלה הפונקציה גדלה ומימין היא יורדת. כפי שכבר גילינו קודם, כשהפונקציה גדלה, הנגזרת חיובית, וכשהיא יורדת היא שלילית. אבל הוא משתנה בצורה חלקה, ללא קפיצות (כי הכביש לא משנה את השיפוע שלו בחדות בשום מקום). לכן, חייב להיות בין ערכים שליליים לחיוביים. זה יהיה המקום שבו הפונקציה לא תגדל ולא יורדת - בנקודת הקודקוד.

הדבר נכון גם לגבי העמק (האזור שבו הפונקציה פוחתת משמאל ומתגברת מימין):

עוד קצת על תוספות.

אז אנחנו משנים את הארגומנט לערך. אנחנו משתנים מאיזה ערך? מה הוא (הטענה) הפך עכשיו? אנחנו יכולים לבחור כל נקודה, ועכשיו נרקוד ממנה.

שקול נקודה עם קואורדינטה. ערך הפונקציה בו שווה. ואז נעשה את אותה תוספת: הגדל את הקואורדינטה ב-. מה הטענה עכשיו? קל מאוד: . מה הערך של הפונקציה עכשיו? לאן שהארגומנט הולך, הפונקציה הולכת לשם: . מה לגבי תוספת פונקציה? שום דבר חדש: זה עדיין הסכום שבו השתנתה הפונקציה:

תרגל מציאת מרווחים:

1. מצא את התוספת של הפונקציה בנקודה עם תוספת של הארגומנט שווה ל.
2. אותו דבר עבור פונקציה בנקודה.

פתרונות:

בנקודות שונות, עם אותה תוספת של הארגומנט, התוספת של הפונקציה תהיה שונה. זה אומר שלנגזרת בכל נקודה יש ​​את שלה (דיברנו על זה כבר בהתחלה - תלילות הדרך בנקודות שונות שונה). לכן, כאשר אנו כותבים נגזרת, עלינו לציין באיזו נקודה:

פונקציית כוח.

פונקציית כוח נקראת פונקציה שבה הארגומנט הוא במידה מסוימת (לוגי, נכון?).

וגם - בכל מידה:.

המקרה הפשוט ביותר הוא כאשר המעריך הוא:

בוא נמצא את הנגזרת שלו בנקודה מסוימת. זכור את ההגדרה של נגזרת:

אז הטיעון משתנה מ-to. מהי תוספת הפונקציה?

עלייה היא. אבל הפונקציה בכל נקודה שווה לארגומנט שלה. זו הסיבה:

הנגזרת היא:

הנגזרת של היא:

ב) עכשיו שקול פונקציה ריבועית (): .

עכשיו בואו נזכור את זה. משמעות הדבר היא שניתן להזניח את ערך התוספת, שכן היא קטנה לאין שיעור, ולכן חסרת משמעות על רקע מונח אחר:

אז יש לנו כלל נוסף:

ג) אנו ממשיכים את הסדרה הלוגית: .

ניתן לפשט את הביטוי הזה בדרכים שונות: פתח את הסוגר הראשון באמצעות הנוסחה לכפל מקוצר של קוביית הסכום, או פירוק הביטוי כולו לגורמים באמצעות הנוסחה להפרש הקוביות. נסה לעשות זאת בעצמך בכל אחת מהדרכים המוצעות.

אז, קיבלתי את הדברים הבאים:

ובואו נזכור את זה שוב. משמעות הדבר היא שאנו יכולים להזניח את כל המונחים המכילים:

אנחנו מקבלים: .

ד) ניתן לקבל כללים דומים עבור סמכויות גדולות:

ה) מסתבר שניתן להכליל את הכלל הזה פונקציית כוחעם מעריך שרירותי, אפילו לא מספר שלם:

(2)

אתה יכול לנסח את הכלל במילים: "המעלה מקדימה כמקדם, ואז יורדת ב".

את הכלל הזה נוכיח בהמשך (כמעט בסוף). עכשיו בואו נסתכל על כמה דוגמאות. מצא את הנגזרת של פונקציות:

1. (בשתי דרכים: לפי הנוסחה ושימוש בהגדרת הנגזרת - באמצעות ספירת התוספת של הפונקציה);

1. . תאמינו או לא, זו פונקציית כוח. אם יש לך שאלות כמו "איך זה? ואיפה התואר?", זכור את הנושא" "!
   כן, כן, השורש הוא גם תואר, רק חלקי:.
   אז השורש הריבועי שלנו הוא רק חזקה עם מעריך:
   .
   אנו מחפשים את הנגזרת באמצעות הנוסחה שנלמדה לאחרונה:

   אם בשלב זה שוב נהיה לא ברור, חזור על הנושא "" !!! (בערך תואר עם אינדיקטור שלילי)

2. . עכשיו המעריך:

   ועכשיו דרך ההגדרה (כבר שכחת?):
   ;
   .
   כעת, כרגיל, אנו מזניחים את המונח המכיל:
   .

3. . שילוב של מקרים קודמים: .

פונקציות טריגונומטריות.

כאן נשתמש בעובדה אחת ממתמטיקה גבוהה יותר:

כאשר ביטוי.

את ההוכחה תלמדו בשנה הראשונה של המכון (וכדי להגיע לשם צריך לעבור היטב את הבחינה). עכשיו אני רק אראה את זה בצורה גרפית:

אנו רואים שכאשר הפונקציה לא קיימת - הנקודה בגרף מנוקבת. אבל ככל שהפונקציה קרובה יותר לערך, הפונקציה קרובה יותר.זהו עצם ה"שואף".

בנוסף, אתה יכול לבדוק כלל זה עם מחשבון. כן, כן, אל תתביישו, קחו מחשבון, אנחנו עדיין לא בבחינה.

אז בואו ננסה: ;

אל תשכח להעביר את המחשבון למצב רדיאנים!

וכו ' אנו רואים שככל שהוא קטן יותר, כך ערך היחס קרוב יותר.

א) שקול פונקציה. כרגיל, אנו מוצאים את הגידול שלו:

בואו נהפוך את הפרש הסינוסים למוצר. לשם כך, אנו משתמשים בנוסחה (זכור את הנושא ""):.

עכשיו הנגזרת:

בואו נעשה החלפה: . ואז, עבור קטן לאין שיעור, הוא גם קטן לאין שיעור:. הביטוי עבור מקבל את הצורה:

ועכשיו אנחנו זוכרים את זה עם הביטוי. וגם, מה אם ניתן להזניח ערך קטן לאין שיעור בסכום (כלומר ב).

אז אנחנו מקבלים את הכלל הבא: הנגזרת של הסינוס שווה לקוסינוס:

אלו הם נגזרות בסיסיות ("טבלה"). הנה הם ברשימה אחת:

בהמשך נוסיף להם עוד כמה, אבל אלו הם החשובים ביותר, שכן משתמשים בהם לרוב.

תרגול:

1. מצא את הנגזרת של פונקציה בנקודה;
2. מצא את הנגזרת של הפונקציה.

פתרונות:

1. ראשית אנו מוצאים את הנגזרת ב השקפה כללית, ולאחר מכן החלף את הערך שלו עבורו:
   ;
   .
2. כאן יש לנו משהו דומה לפונקציית כוח. בוא ננסה להביא אותה
   תצוגה רגילה:
   .
   אוקיי, עכשיו אתה יכול להשתמש בנוסחה:
   .
   .
3. . Eeeeee….. מה זה????

אוקיי, אתה צודק, אנחנו עדיין לא יודעים איך למצוא נגזרות כאלה. כאן יש לנו שילוב של כמה סוגי פונקציות. כדי לעבוד איתם, אתה צריך ללמוד עוד כמה כללים:

אקספוננט ולוגריתם טבעי.

יש פונקציה כזו במתמטיקה, שהנגזרת שלה עבור כל אחת שווה לערך הפונקציה עצמה עבור אותו. זה נקרא "מעריך", והוא פונקציה מעריכית

הבסיס של פונקציה זו הוא קבוע - הוא אינסופי נקודה, כלומר, מספר אי רציונלי (כגון). הוא נקרא "מספר אוילר", ולכן הוא מסומן באות.

אז הכלל הוא:

קל מאוד לזכור.

ובכן, בואו לא נלך רחוק, בואו מיד נשקול פונקציה הפוכה. מהו היפוך של הפונקציה המעריכית? לוֹגָרִיתְם:

במקרה שלנו, הבסיס הוא מספר:

לוגריתם כזה (כלומר לוגריתם עם בסיס) נקרא לוגריתם "טבעי", ואנו משתמשים עבורו בסימון מיוחד: אנו כותבים במקום זאת.

למה שווה? כמובן, .

גם הנגזרת של הלוגריתם הטבעי היא פשוטה מאוד:

דוגמאות:

1. מצא את הנגזרת של הפונקציה.
2. מהי הנגזרת של הפונקציה?

תשובות: מציג ו לוגריתם טבעי- פונקציות פשוטות באופן ייחודי מבחינת הנגזרת. לפונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמיות עם כל בסיס אחר תהיה נגזרת שונה, אותה ננתח בהמשך, לאחר שנעבור על כללי הבידול.

כללי בידול

איזה כללים? עוד קדנציה חדשה, שוב?!...

בידולהוא תהליך מציאת הנגזרת.

רק והכל. מהי מילה אחרת לתהליך הזה? לא proizvodnovanie... הדיפרנציאל של המתמטיקה נקרא עצם התוספת של הפונקציה ב. המונח הזה מגיע מהדיפרנציה הלטינית - הבדל. כאן.

כאשר נגזר את כל הכללים הללו, נשתמש בשתי פונקציות, למשל, ו. נצטרך גם נוסחאות עבור המרווחים שלהם:

יש 5 כללים בסך הכל.

הקבוע נלקח מהסימן של הנגזרת.

אם - מספר קבוע כלשהו (קבוע), אז.

ברור שהכלל הזה עובד גם על ההבדל: .

בואו נוכיח את זה. תן, או יותר קל.

דוגמאות.

מצא נגזרות של פונקציות:

1. בנקודה;
2. בנקודה;
3. בנקודה;
4. בנקודה.

פתרונות:

1. (הנגזרת זהה בכל הנקודות, שכן היא כן פונקציה לינארית, זכור?);

נגזרת של מוצר

הכל דומה כאן: אנו מציגים פונקציה חדשה ומוצאים את התוספת שלה:

נגזר:

דוגמאות:

1. מצא נגזרות של פונקציות ו;
2. מצא את הנגזרת של פונקציה בנקודה.

פתרונות:

נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית

עכשיו הידע שלך מספיק כדי ללמוד איך למצוא את הנגזרת של כל פונקציה מעריכית, ולא רק של המעריך (כבר שכחת מה זה?).

אז איפה מספר כלשהו.

אנחנו כבר יודעים את הנגזרת של הפונקציה, אז בואו ננסה להביא את הפונקציה שלנו לבסיס חדש:

בשביל זה אנחנו משתמשים כלל פשוט: . לאחר מכן:

ובכן, זה עבד. כעת נסו למצוא את הנגזרת, ואל תשכחו שהפונקציה הזו מורכבת.

קרה?

הנה, בדוק את עצמך:

הנוסחה התבררה כדומה מאוד לנגזרת של המעריך: כפי שהייתה, היא נותרה, הופיע רק גורם, שהוא רק מספר, אבל לא משתנה.

דוגמאות:
מצא נגזרות של פונקציות:

תשובות:

זהו רק מספר שלא ניתן לחשב ללא מחשבון, כלומר, לא ניתן לכתוב אותו בצורה פשוטה יותר. לכן, בתשובה זה נשאר בצורה זו.

נגזרת של פונקציה לוגריתמית

כאן זה דומה: אתה כבר יודע את הנגזרת של הלוגריתם הטבעי:

לכן, כדי למצוא שרירותי מהלוגריתם עם בסיס שונה, למשל:

אנחנו צריכים להביא את הלוגריתם הזה לבסיס. איך משנים את הבסיס של לוגריתם? אני מקווה שאתה זוכר את הנוסחה הזו:

רק עכשיו במקום נכתוב:

התברר שהמכנה הוא רק קבוע (מספר קבוע, ללא משתנה). הנגזרת פשוטה מאוד:

נגזרות של הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות כמעט ולא נמצאות בבחינה, אך לא יהיה מיותר לדעת אותן.

נגזרת של פונקציה מורכבת.

מהי "פונקציה מורכבת"? לא, זה לא לוגריתם, ולא משיק קשת. פונקציות אלו יכולות להיות קשות להבנה (אם כי אם הלוגריתם נראה לכם קשה, קראו את הנושא "לוגריתמים" והכל יסתדר), אבל מבחינת מתמטיקה, המילה "מורכבת" אין פירושה "קשה".

תארו לעצמכם מסוע קטן: שני אנשים יושבים ועושים כמה פעולות עם כמה חפצים. לדוגמה, הראשון עוטף חפיסת שוקולד בעטיפה, והשני קושר אותו בסרט. מסתבר חפץ מורכב כזה: חפיסת שוקולד עטופה וקשורה בסרט. כדי לאכול חפיסת שוקולד, אתה צריך לעשות את הצעדים ההפוכים בסדר הפוך.

בואו ניצור צינור מתמטי דומה: תחילה נמצא את הקוסינוס של מספר, ולאחר מכן נבצע ריבוע של המספר המתקבל. אז, הם נותנים לנו מספר (שוקולד), אני מוצא את הקוסינוס שלו (העטיפה), ואז אתה ריבוע את מה שקיבלתי (קושר אותו בסרט). מה קרה? פוּנקצִיָה. זוהי דוגמה לפונקציה מורכבת: כאשר, כדי למצוא את ערכה, אנו עושים את הפעולה הראשונה ישירות עם המשתנה, ולאחר מכן פעולה שנייה נוספת עם מה שקרה כתוצאה מהראשונה.

ייתכן מאוד שנבצע את אותן פעולות בסדר הפוך: תחילה אתה בריבוע, ואז אני מחפש את הקוסינוס של המספר המתקבל:. קל לנחש שהתוצאה כמעט תמיד תהיה שונה. תכונה חשובה של פונקציות מורכבות: כאשר סדר הפעולות משתנה, הפונקציה משתנה.

במילים אחרות, פונקציה מורכבת היא פונקציה שהארגומנט שלה הוא פונקציה אחרת: .

עבור הדוגמה הראשונה, .

דוגמה שנייה: (אותה). .

הפעולה האחרונה שנעשה תיקרא פונקציה "חיצונית"., והפעולה שבוצעה ראשונה - בהתאמה פונקציה "פנימית".(אלה שמות לא רשמיים, אני משתמש בהם רק כדי להסביר את החומר בשפה פשוטה).

נסה לקבוע בעצמך איזו פונקציה חיצונית ואיזו פנימית:

תשובות:ההפרדה בין פונקציות פנימיות וחיצוניות דומה מאוד למשתנים משתנים: למשל בפונקציה

1. איזו פעולה ננקוט קודם? קודם מחשבים את הסינוס, ורק אחר כך מעלים אותו לקובייה. אז זו פונקציה פנימית, לא חיצונית.
   והפונקציה המקורית היא ההרכב שלהם:.
2. פנימי: ; חיצוני: .
   בחינה: .
3. פנימי: ; חיצוני: .
   בחינה: .
4. פנימי: ; חיצוני: .
   בחינה: .
5. פנימי: ; חיצוני: .
   בחינה: .

אנו משנים משתנים ומקבלים פונקציה.

ובכן, עכשיו נחלץ את השוקולד שלנו – חפשו את הנגזרת. ההליך תמיד הפוך: קודם נחפש את הנגזרת של הפונקציה החיצונית, ואז נכפיל את התוצאה בנגזרת של הפונקציה הפנימית. עבור הדוגמה המקורית, זה נראה כך:

דוגמה אחרת:

אז, בואו סוף סוף ננסח את הכלל הרשמי:

אלגוריתם למציאת הנגזרת של פונקציה מורכבת:

הכל נראה פשוט, נכון?

בואו נבדוק עם דוגמאות:

פתרונות:

1) פנימי: ;

חיצוני: ;

2) פנימי: ;

(רק אל תנסה להפחית עד עכשיו! שום דבר לא נלקח מתחת לקוסינוס, זוכר?)

3) פנימי: ;

חיצוני: ;

מיד ברור שיש כאן פונקציה מורכבת תלת-מפלסית: הרי זו כבר פונקציה מורכבת בפני עצמה, ועדיין שואבים ממנה את השורש, כלומר מבצעים את הפעולה השלישית (שמים שוקולד בעטיפה ועם סרט בתיק). אבל אין סיבה לפחד: בכל מקרה, "נפרק" את הפונקציה הזו באותו סדר כרגיל: מהסוף.

כלומר, קודם נבדיל את השורש, אחר כך את הקוסינוס, ורק אחר כך את הביטוי בסוגריים. ואז אנחנו מכפילים את הכל.

במקרים כאלה, נוח למספר את הפעולות. כלומר, בואו נדמיין את מה שאנחנו יודעים. באיזה סדר נבצע פעולות לחישוב ערכו של ביטוי זה? בואו נסתכל על דוגמה:

ככל שהפעולה תתבצע מאוחר יותר, כך הפונקציה המתאימה תהיה "חיצונית" יותר. רצף הפעולות - כמו קודם:

כאן הקינון הוא בדרך כלל 4 מפלסים. בואו נקבע את דרך הפעולה.

1. ביטוי רדיקלי. .

2. שורש. .

3. סינוס. .

4. ריבוע. .

5. חיבור הכל ביחד:

נגזר. בקצרה על העיקר

נגזרת פונקציה- היחס בין התוספת של הפונקציה לעלייה של הארגומנט עם תוספת אינסופית של הארגומנט:

נגזרות בסיסיות:

כללי בידול:

הקבוע נלקח מהסימן של הנגזרת:

נגזרת של סכום:

מוצר נגזר:

נגזרת של המנה:

נגזרת של פונקציה מורכבת:

אלגוריתם למציאת הנגזרת של פונקציה מורכבת:

1. אנו מגדירים את הפונקציה ה"פנימית", מוצאים את הנגזרת שלה.
2. אנו מגדירים את הפונקציה "חיצונית", מוצאים את הנגזרת שלה.
3. נכפיל את התוצאות של הנקודה הראשונה והשנייה.

בספרי הלימוד ה"ישנים" הוא נקרא גם כלל "השרשרת". אז אם y \u003d f (u), ו-u \u003d φ (x), זה

y \u003d f (φ (x))

מורכב - פונקציה מורכבת (הרכב פונקציות) אז

איפה , לאחר חישוב נחשב ב u = φ (x).

שימו לב שכאן לקחנו קומפוזיציות "שונות" מאותן פונקציות, ותוצאת הבידול התבררה באופן טבעי כתלויה בסדר ה"ערבוב".

כלל השרשרת משתרע באופן טבעי על ההרכב של שלוש פונקציות או יותר. במקרה זה, יהיו שלושה או יותר "קישורים" ב"שרשרת" המרכיבה את הנגזרת, בהתאמה. הנה אנלוגיה לכפל: "יש לנו" - טבלת נגזרות; "שם" - לוח הכפל; "אצלנו" הוא כלל שרשרת ו"יש" הוא כלל כפל עם "טור". בעת חישוב נגזרות "מורכבות" כאלה, כמובן, לא מוצגים ארגומנטים עזר (u¸v וכו'), אך לאחר שציינו בעצמם את מספר ורצף הפונקציות המשתתפות בהרכב, הם "מחרוזים" את הקישורים המתאימים בסדר המצוין.

. כאן מבוצעות חמש פעולות עם "x" כדי לקבל את הערך של "y", כלומר מתרחש הרכבה של חמש פונקציות: "חיצוני" (האחרונה שבהן) - מעריכי - e ; אז בסדר הפוך הוא חוק כוח. (♦) 2 ; חטא טריגונומטרי (); כּוֹחַ. () 3 ולבסוף ה-ln.() הלוגריתמי. בגלל זה

הדוגמאות הבאות "יהרגו זוגות של ציפורים במכה אחת": נתרגל הבחנה של פונקציות מורכבות ונשלים את טבלת הנגזרות פונקציות אלמנטריות. כך:

4. עבור פונקציית עוצמה - y \u003d x α - כתיבה מחדש באמצעות ה"בסיסי הידוע" זהות לוגריתמית» - b=e ln b - בצורה x α = x α ln x שנקבל

5. עבור פונקציה אקספוננציאלית שרירותית, באמצעות אותה טכניקה, יהיה לנו

6. עבור פונקציה לוגריתמית שרירותית, באמצעות הנוסחה הידועה למעבר לבסיס חדש, אנו מקבלים ברציפות

.

7. כדי להבדיל את הטנגנס (קוטנגנט), אנו משתמשים בכלל להבדיל המנה:

כדי לקבל נגזרות של פונקציות טריגונומטריות הפוכות, אנו משתמשים ביחס שמסופק על ידי הנגזרות של שתי פונקציות הפוכות זו לזו, כלומר, הפונקציות φ (x) ו-f (x) המחוברות על ידי היחסים:

הנה היחס

זה מנוסחה זו עבור פונקציות הפוכות הדדית

ו
,

בסופו של דבר, אנו מסכמים את אלה ועוד כמה נגזרות אחרות, שהושגו בקלות באותה מידה, בטבלה הבאה.

מובאות דוגמאות לחישוב נגזרות באמצעות הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת.

כאן אנו נותנים דוגמאות לחישוב נגזרות של הפונקציות הבאות:
; ; ; ; .

אם ניתן לייצג פונקציה כפונקציה מורכבת בצורה הבאה:
,
אז הנגזרת שלו נקבעת על ידי הנוסחה:
.
בדוגמאות שלהלן, נכתוב את הנוסחה הזו בצורה הבאה:
.
איפה .
כאן, ה-subscripts או, הממוקמים מתחת לסימן הנגזרת, מציינים את המשתנה שלגביו מתבצעת בידול.

בדרך כלל, בטבלאות של נגזרות, ניתנות הנגזרות של פונקציות מהמשתנה x. עם זאת, x הוא פרמטר פורמלי. ניתן להחליף את המשתנה x בכל משתנה אחר. לכן, כאשר מבדילים פונקציה ממשתנה, אנו פשוט משנים, בטבלת הנגזרות, את המשתנה x למשתנה u .

דוגמאות פשוטות

דוגמה 1

מצא את הנגזרת של פונקציה מורכבת
.

פִּתָרוֹן

בואו נכתוב פונקציה נתונהבצורה מקבילה:
.
בטבלת הנגזרות אנו מוצאים:
;
.

על פי הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת, יש לנו:
.
כאן .

תשובה

דוגמה 2

מצא נגזרת
.

פִּתָרוֹן

אנו מוציאים את הקבוע 5 מעבר לסימן הנגזרת ומטבלת הנגזרות אנו מוצאים:
.

.
כאן .

תשובה

דוגמה 3

מצא את הנגזרת
.

פִּתָרוֹן

אנחנו מוציאים את הקבוע -1 לסימן הנגזרת ומטבלת הנגזרות אנו מוצאים:
;
מטבלת הנגזרות אנו מוצאים:
.

אנו מיישמים את הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת:
.
כאן .

תשובה

דוגמאות מורכבות יותר

בעוד דוגמאות קשותאנו מיישמים את כלל הדיפרנציאציה של פונקציה מורכבת מספר פעמים. בכך אנו מחשבים את הנגזרת מהסוף. כלומר, אנו מפרקים את הפונקציה לחלקים המרכיבים אותה ומוצאים את הנגזרות של החלקים הפשוטים ביותר באמצעות טבלת נגזרות. אנחנו גם מיישמים כללי בידול סכום, מוצרים ושברים . לאחר מכן אנו עושים החלפות ומיישמים את הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת.

דוגמה 4

מצא את הנגזרת
.

פִּתָרוֹן

אנו בוחרים את החלק הפשוט ביותר של הנוסחה ומוצאים את הנגזרת שלה. .

.
כאן השתמשנו בסימון
.

אנו מוצאים את הנגזרת של החלק הבא של הפונקציה המקורית, תוך שימוש בתוצאות שהתקבלו. אנו מיישמים את כלל ההבחנה של הסכום:
.

שוב, אנו מיישמים את כלל הדיפרנציאציה של פונקציה מורכבת.

.
כאן .

תשובה

דוגמה 5

מצא את הנגזרת של פונקציה
.

פִּתָרוֹן

אנו בוחרים את החלק הפשוט ביותר של הנוסחה ומוצאים את הנגזרת שלה מטבלת הנגזרות. .

אנו מיישמים את כלל הדיפרנציאציה של פונקציה מורכבת.
.
כאן
.

והמשפט על הנגזרת של פונקציה מורכבת, שהניסוח שלה הוא כדלקמן:

תן 1) לפונקציה $u=\varphi (x)$ יש את הנגזרת $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ בשלב מסוים $x_0$, 2) לפונקציה $y=f(u)$ יש את הנגזרת $y_(u)"=f"(u)$ בנקודה המקבילה $u_0=\varphi (x_0. אז לפונקציה המורכבת $y=f\left(\varphi (x) \right)$ בנקודה הנזכרת תהיה גם נגזרת השווה למכפלת הנגזרות של הפונקציות $f(u)$ ו-$\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x)\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

או, בסימון קצר יותר: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

בדוגמאות של סעיף זה, לכל הפונקציות יש את הצורה $y=f(x)$ (כלומר, אנו מתייחסים רק לפונקציות של משתנה אחד $x$). בהתאם לכך, בכל הדוגמאות, הנגזרת $y"$ נלקחת ביחס למשתנה $x$. כדי להדגיש שהנגזרת נלקחת ביחס למשתנה $x$, לרוב כותבים $y"_x$ במקום $y"$.

דוגמאות #1, #2 ו-#3 מספקות תהליך מפורט למציאת הנגזרת של פונקציות מורכבות. דוגמה מס' 4 מיועדת להבנה מלאה יותר של טבלת הנגזרות והגיוני להכיר אותה.

רצוי, לאחר לימוד החומר בדוגמאות מס' 1-3, לעבור לפתרון עצמאי של דוגמאות מס' 5, מס' 6 ו-7. דוגמאות #5, #6 ו- #7 מכילות פתרון קצר כדי שהקורא יוכל לבדוק את נכונות התוצאה שלו.

דוגמה מס' 1

מצא את הנגזרת של הפונקציה $y=e^(\cos x)$.

עלינו למצוא את הנגזרת של הפונקציה המורכבת $y"$. מכיוון ש$y=e^(\cos x)$, אז $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. כדי למצוא את הנגזרת $\left(e^(\cos x)\right)"$, אנו משתמשים בנוסחה מס' 6 מטבלת הנגזרות. על מנת להשתמש בנוסחה מס' 6, צריך לקחת בחשבון שבמקרה שלנו $u=\cos x$. הפתרון הנוסף מורכב מהחלפה בנאלית של הביטוי $\cos x$ במקום $u$ לנוסחה מס' 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

כעת עלינו למצוא את הערך של הביטוי $(\cos x)"$. שוב נפנה לטבלת הנגזרות, בוחרים ממנה נוסחה מס' 10. בהחלפת $u=x$ בנוסחה מס' 10, יש לנו: $(\cos x)"=-\sin x\cdot x"$. כעת אנו ממשיכים את השוויון, ומשלים אותו עם התוצאה (1.1).

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot x") \tag (1.2) $$

מכיוון ש-$x"=1$, אנו ממשיכים בשוויון (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)(cdo.1)

אז, משוויון (1.3) יש לנו: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. באופן טבעי, בדרך כלל מדלגים על הסברים ושוויוני ביניים, כותבים את מציאת הנגזרת בשורה אחת, כמו בשוויון (1.3). אז, נמצאה הנגזרת של הפונקציה המורכבת, נותר רק לכתוב.

תשובה: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

דוגמה מס' 2

מצא את הנגזרת של הפונקציה $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

עלינו לחשב את הנגזרת $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. מלכתחילה, נציין שניתן להוציא את הקבוע (כלומר המספר 9) מהסימן של הנגזרת:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

כעת נפנה לביטוי $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. כדי להקל על בחירת הנוסחה הרצויה מטבלת הנגזרות, אציג את הביטוי המדובר באופן הבא: $\left(\left(\arctg(4\cdot \^n"(1)\right\right"(1)\right כעת ברור שיש צורך להשתמש בנוסחה מס' 2, כלומר. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. החלף את $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ו-$\alpha=12$ בנוסחה זו:

משלימים את השוויון (2.1) עם התוצאה שהתקבלה, יש לנו:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg) \ctg)\ctg) \c\t)\ctg)\c\t(l\t) \c\c (4\c dot \ln x))" \tag (2.2) $$

במצב זה, לעיתים קרובות נעשית טעות כאשר הפותר בשלב הראשון בוחר בנוסחה $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ במקום הנוסחה $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. העניין הוא שקודם כל יש למצוא את הנגזרת של הפונקציה החיצונית. כדי להבין איזו פונקציה תהיה חיצונית לביטוי $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, דמיינו שאתם מחשבים את הערך של הביטוי $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ בערך כלשהו של $x$. תחילה מחשבים את הערך של $5^x$, ואז מכפילים את התוצאה ב-4 כדי לקבל $4\cdot 5^x$. כעת ניקח את ה-arctangent מהתוצאה הזו, ונקבל $\arctg(4\cdot 5^x)$. לאחר מכן נעלה את המספר המתקבל לחזקה שתים עשרה, ונקבל $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. הפעולה האחרונה, כלומר. מעלה לחזקת 12, - וזה יהיה פונקציה חיצונית. ומתוך זה צריך להתחיל למצוא את הנגזרת, שנעשה בשוויון (2.2).

כעת עלינו למצוא את $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. אנו משתמשים בנוסחה מס' 19 של טבלת הנגזרות, תוך החלפת $u=4\cdot \ln x$ בתוכה:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

הבה נפשט מעט את הביטוי המתקבל, ניקח בחשבון $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $l

שוויון (2.2) יהפוך כעת:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\cdot\left(\cdot\ctg)\c)\ctg)(l\ctg)(l\ctg) tg(4 \cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x.)" $(

נותר למצוא את $(4\cdot \ln x)"$. הבה ניקח את הקבוע (כלומר 4) מהסימן של הנגזרת: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$. כדי למצוא את $(\ln x)"$, נשתמש בנוסחה מס' $(u)(x) ב-$(l"(x)x) מחליף אותו בנוסחה מס' $1"(x) ב-$(n) \cdot x"$. מכיוון ש$x"=1$, אז $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x)$. החלפת התוצאה שהתקבלה בנוסחה (2.3), נקבל:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\cdot\left(\cdot\ctg)\c)\ctg)(l\ctg)(l\ctg) tg(4 \cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot\cdot \ln x)\n\cdot \c\n x)"(\l ) \right)^(1 $$

הרשו לי להזכיר לכם שהנגזרת של פונקציה מורכבת נמצאת לרוב בשורה אחת, כפי שנכתב בשוויון האחרון. לכן, בעת ביצוע חישובים או בדיקות סטנדרטיות, אין צורך כלל לצבוע את הפתרון באותו פרט.

תשובה: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

דוגמה מס' 3

מצא את $y"$ של הפונקציה $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

ראשית, בואו נשנה מעט את הפונקציה $y$ על ידי ביטוי הרדיקל (שורש) כחזקה: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$. עכשיו בואו נתחיל למצוא את הנגזרת. מאז $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, אז:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

אנו משתמשים בנוסחה מס' 2 מטבלת הנגזרות, תוך החלפת $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ו-$\alpha=\frac(3)(7)$ לתוכה:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\tsin(5\c) משמאל (\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

אנו ממשיכים בשוויון (3.1) תוך שימוש בתוצאה שהתקבלה:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7^x))(-\frac(4)(7^x))(\t" $(9^x))(\t"(9^x).

כעת עלינו למצוא את $(\sin(5\cdot 9^x))"$. לשם כך, אנו משתמשים בנוסחה מס' 9 מטבלת הנגזרות, תוך החלפת $u=5\cdot 9^x$ בתוכה:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

משלימים את השוויון (3.2) עם התוצאה שהושגה, יש לנו:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7^x))(\t"(3)(7^x))(\t") \cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" \tag (3.3) $$

נותר למצוא את $(5\cdot 9^x)"$. ראשית, נוציא את הקבוע (מספר $5$) מהסימן של הנגזרת, כלומר $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9^x)"$. כדי למצוא את הנגזרת $(9^x)"$, אנו מיישמים את הטבלה של $5=$x ומחליפים אותה בנוסחה של $5=$ : (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. מאז $x"=1$, אז $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. כעת נוכל להמשיך בשוויון (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7^x))(\t"(3)(7^x))(\t") \cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot(7)\s(5\cdot)\cdot)\cdot 9(^x)\cdot 9(^x) 9^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot) \cdot 9^x^9 $$

אתה יכול לחזור מכוחות לרדיקלים (כלומר שורשים) שוב על ידי כתיבת $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ כ-$\frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)\qsin(4)\q(7)\tsin(4)\q(7) 9^x)))$. אז הנגזרת תיכתב בצורה הבאה:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \dot(15)\c \frac(15)\c (15)\c cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

תשובה: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x)))$.

דוגמה מס' 4

הראה שיש נוסחאות מס' 3 ומס' 4 של טבלת הנגזרות מקרה מיוחדנוסחה מספר 2 בטבלה זו.

בנוסחה מס' 2 של טבלת הנגזרות נכתבת הנגזרת של הפונקציה $u^\alpha$. החלפת $\alpha=-1$ בנוסחה מס' 2, נקבל:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

מכיוון ש-$u^(-1)=\frac(1)(u)$ ו-$u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, ניתן לשכתב את השוויון (4.1) באופן הבא: $\left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. זוהי הנוסחה מספר 3 של טבלת הנגזרות.

נחזור שוב לנוסחה מס' 2 של טבלת הנגזרות. החלף את $\alpha=\frac(1)(2)$ לתוכו:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u"=\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

מכיוון ש-$u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ו-$u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, ניתן לשכתב את השוויון (4.2) באופן הבא:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u" $$

השוויון המתקבל $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ הוא נוסחה מס' 4 של טבלת הנגזרות. כפי שניתן לראות, נוסחאות מס' 3 ומס' 4 של טבלת הנגזרות מתקבלות מנוסחה מס' 2 על ידי החלפת הערך המתאים של $\alpha$.