בספרי לימוד "ישנים" זה נקרא גם כלל "השרשרת". אז אם y = f (u), ו-u = φ (x), זה

y = f (φ (x))

מורכב - פונקציה מורכבת (הרכב פונקציות) אז

איפה , לאחר חישוב נחשב ב u = φ (x).

שימו לב שכאן לקחנו קומפוזיציות "שונות" מאותן פונקציות, והתוצאה של הבידול התבררה באופן טבעי כתלויה בסדר ה"ערבוב".

כלל השרשרת משתרע באופן טבעי על קומפוזיציות של שלוש או יותר פונקציות. במקרה זה, יהיו שלושה או יותר "קישורים" ב"שרשרת" המרכיבה את הנגזרת. הנה אנלוגיה לכפל: "יש לנו" טבלת נגזרות; "שם" - לוח הכפל; "אצלנו" הוא כלל השרשרת ו"יש" הוא כלל הכפל של "עמודה". בעת חישוב נגזרות "מורכבות" כאלה, כמובן, לא מוצגים ארגומנטים עזר (u¸v וכו'), אך לאחר שציינו בעצמם את מספר ורצף הפונקציות המעורבות בהרכב, הקישורים המתאימים "מתוחמים" בסדר המצוין.

. כאן, עם ה-"x" כדי לקבל את הערך של ה-"y", מבוצעות חמש פעולות, כלומר יש הרכב של חמש פונקציות: "חיצוני" (האחרונה שבהן) - מעריכי - e  ; ואז בסדר הפוך, כוח. (♦) 2 ; חטא טריגונומטרי(); שָׁקֵט וּרָגוּעַ. () 3 ולבסוף ln.( לוגריתמי). בגלל זה

בעזרת הדוגמאות הבאות "נהרוג זוג ציפורים במכה אחת": נתרגל הבחנה של פונקציות מורכבות ונוסיף לטבלת הנגזרות של פונקציות יסודיות. כך:

4. עבור פונקציית חזקה - y = x α - כתיבה מחדש באמצעות ה"בסיסי" הידוע זהות לוגריתמית" - b=e ln b - בצורה x α = x α ln x שאנו מקבלים

5. בחינם פונקציה מעריכיתבאמצעות אותה טכניקה שתהיה לנו

6. עבור פונקציה לוגריתמית שרירותית, באמצעות הנוסחה הידועה למעבר לבסיס חדש, אנו משיגים באופן עקבי

.

7. כדי להבדיל את הטנגנס (קוטנגנט), אנו משתמשים בכלל להבדיל מנות:

כדי לקבל את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות הפוכות, אנו משתמשים ביחס שמסופק על ידי הנגזרות של שתי פונקציות הפוכות זו לזו, כלומר, הפונקציות φ (x) ו-f (x) הקשורות ליחסים:

זה היחס

זה מנוסחה זו עבור פונקציות הפוכות הדדית

ו
,

לבסוף, הבה נסכם את הנגזרות הללו ועוד כמה נגזרות נוספות שמתקבלות גם הן בקלות בטבלה הבאה.

מאז שהגעת לכאן, כנראה שכבר ראית את הנוסחה הזו בספר הלימוד

ולעשות פרצוף כזה:

חבר, אל תדאג! למעשה, הכל פשוט שערורייתי. אתה בהחלט תבין הכל. רק בקשה אחת - קרא את המאמר לאט, נסו להבין כל שלב. כתבתי כמה שיותר פשוט וברור, אבל אתה עדיין צריך להבין את הרעיון. והקפידו לפתור את המשימות מהמאמר.

מהי פונקציה מורכבת?

דמיינו שאתם עוברים לדירה אחרת ולכן אורזים דברים לארגזים גדולים. נניח שאתה צריך לאסוף כמה פריטים קטנים, למשל, חומרי כתיבה לבית הספר. אם רק תזרוק אותם לקופסה ענקית, הם ילכו לאיבוד בין היתר. כדי להימנע מכך, תחילה שמים אותם למשל בשקית, שאותה מכניסים לקופסה גדולה ולאחר מכן אוטמים אותה. תהליך "מורכב" זה מוצג בתרשים שלהלן:

נראה, מה הקשר למתמטיקה לזה? כן, למרות העובדה שפונקציה מורכבת נוצרת בדיוק באותו אופן! רק אנחנו "אורזים" לא מחברות ועטים, אלא \(x\), בעוד שה"חבילות" וה"קופסאות" שונות.

לדוגמה, בואו ניקח את x ו"נארוז" אותו לפונקציה:

כתוצאה מכך, אנו מקבלים, כמובן, \(\cos⁡x\). זה "שקית הדברים" שלנו. עכשיו בואו נשים אותו ב"קופסה" - נארוז אותו, למשל, לתוך פונקציה מעוקבת.

מה יקרה בסוף? כן, זה נכון, תהיה "שקית של דברים בקופסה", כלומר, "קוסינוס של X בקוביות".

העיצוב המתקבל הוא פונקציה מורכבת. זה שונה מזה פשוט מספר "השפעות" (חבילות) מוחלות על X אחד ברציפותומסתבר כאילו "פונקציה מפונקציה" - "אריזה בתוך אריזה".

בקורס בית הספר יש מעט מאוד סוגים של "חבילות" אלה, רק ארבעה:

כעת "נארוז" את X תחילה לפונקציה מעריכית עם בסיס 7, ולאחר מכן לפונקציה טריגונומטרית. אנחנו מקבלים:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

עכשיו בואו "נארוז" X פעמיים לתוך פונקציות טריגונומטריות, תחילה ב , ולאחר מכן ב:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

פשוט, נכון?

כעת כתוב את הפונקציות בעצמך, כאשר x:
- תחילה הוא "ארוז" לקוסינוס, ולאחר מכן לפונקציה אקספוננציאלית עם בסיס \(3\);
- תחילה בחזקת חמישית, ולאחר מכן למשיק;
- ראשון ללוגריתם לבסיס \(4\) , ואז לחזק \(-2\).

מצא את התשובות למשימה זו בסוף המאמר.

האם נוכל "לארוז" X לא פעמיים, אלא שלוש פעמים? אין בעיה! וארבע, וחמש, ועשרים וחמש פעמים. הנה, למשל, פונקציה שבה x "ארוז" \(4\) פעמים:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

אבל נוסחאות כאלה לא יימצאו בתרגול בבית הספר (לתלמידים יש יותר מזל - שלהם עלול להיות יותר מסובך☺).

"פירוק" פונקציה מורכבת

תסתכל שוב על הפונקציה הקודמת. האם אתה יכול להבין את רצף "האריזה"? במה X נדחס קודם, במה אחר כך, וכן הלאה עד הסוף. כלומר, איזו פונקציה מקוננת בתוכה? קח פיסת נייר ורשום מה אתה חושב. אפשר לעשות זאת עם שרשרת עם חיצים כמו שכתבנו למעלה או בכל דרך אחרת.

כעת התשובה הנכונה היא: ראשית, x "נארוז" בחזקת \(4\) החזקה, ואז התוצאה נדחסה לסינוס, היא, בתורה, הוכנסה ללוגריתם לבסיס \(2\) , ובסופו של דבר כל המבנה הזה נדחס לחמישיות כוח.

כלומר, אתה צריך לשחרר את הרצף בסדר הפוך. והנה רמז איך לעשות את זה יותר קל: תסתכל מיד על ה-X - כדאי לרקוד ממנו. בואו נסתכל על כמה דוגמאות.

לדוגמה, הנה הפונקציה הבאה: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). אנחנו מסתכלים על X - מה קורה לו קודם? נלקח ממנו. ואז? משיק התוצאה נלקח. הרצף יהיה זהה:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

דוגמה נוספת: \(y=\cos⁡((x^3))\). בואו ננתח - תחילה חתכנו X בקוביות, ולאחר מכן לקחנו את הקוסינוס של התוצאה. המשמעות היא שהרצף יהיה: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). שימו לב, נראה שהפונקציה דומה לזו הראשונה (שם יש לה תמונות). אבל זו פונקציה אחרת לגמרי: כאן בקובייה יש x (כלומר, \(\cos⁡((x·x·x)))\), ושם בקובייה יש הקוסינוס \(x\) ( כלומר, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). הבדל זה נובע מרצפי "אריזה" שונים.

הדוגמה האחרונה (עם מידע חשובבו): \(y=\sin⁡((2x+5))\). ברור שכאן תחילה עשו פעולות אריתמטיות עם x, ואז לקחו את הסינוס של התוצאה: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). וזה נקודה חשובה: למרות העובדה שפעולות אריתמטיות אינן פונקציות בפני עצמן, כאן הן פועלות גם כדרך "אריזה". בואו נעמיק קצת יותר בעדינות הזו.

כפי שאמרתי למעלה, בפונקציות פשוטות x "ארוז" פעם אחת, ובפונקציות מורכבות - שתיים או יותר. יתרה מכך, כל שילוב של פונקציות פשוטות (כלומר, הסכום, ההפרש, הכפל או החלוקה שלהן) הוא גם פונקציה פשוטה. לדוגמה, \(x^7\) היא פונקציה פשוטה וכך גם \(ctg x\). זה אומר שכל השילובים שלהם הם פונקציות פשוטות:

\(x^7+ ctg x\) - פשוט,
\(x^7· מיטת תינוק x\) – פשוט,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – פשוט וכו'.

עם זאת, אם תחיל פונקציה אחת נוספת על שילוב כזה, היא תהפוך לפונקציה מורכבת, מכיוון שיהיו שתי "חבילות". ראה תרשים:

בסדר, קדימה עכשיו. כתוב את רצף פונקציות ה"עטיפה":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
התשובות נמצאות שוב בסוף המאמר.

פונקציות פנימיות וחיצוניות

למה אנחנו צריכים להבין קינון פונקציות? מה זה נותן לנו? העובדה היא שללא ניתוח כזה לא נוכל למצוא באופן מהימן נגזרות של הפונקציות שנדונו לעיל.

וכדי להמשיך הלאה נצטרך עוד שני מושגים: פונקציות פנימיות וחיצוניות. זה דבר מאוד פשוט, יתרה מכך, למעשה, כבר ניתחנו אותם לעיל: אם אנו זוכרים את האנלוגיה שלנו כבר בהתחלה, אז הפונקציה הפנימית היא "חבילה", והפונקציה החיצונית היא "קופסה". הָהֵן. מה ש-X "עטוף" בו תחילה הוא פונקציה פנימית, ומה שהפונקציה הפנימית "עטופה" בו כבר חיצוני. ובכן, ברור למה - היא בחוץ, זה אומר חיצוני.

בדוגמה זו: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), הפונקציה \(\log_2⁡x\) היא פנימית, ו
- חיצוני.

ובזה: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) הוא פנימי, ו
- חיצוני.

השלם את התרגול האחרון של ניתוח פונקציות מורכבות, ולבסוף נעבור למה שכולנו התחלנו - נמצא נגזרות של פונקציות מורכבות:

מלא את החסר בטבלה:

נגזרת של פונקציה מורכבת

בראבו לנו, סוף סוף הגענו ל"בוס" של הנושא הזה - למעשה, נגזרת פונקציה מורכבת, ובמיוחד, לנוסחה הנוראה הזו מתחילת המאמר.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

נוסחה זו נכתבת כך:

הנגזרת של פונקציה מורכבת שווה למכפלת הנגזרת של הפונקציה החיצונית ביחס לפונקציה פנימית קבועה ולנגזרת של הפונקציה הפנימית.

ומיד הסתכלו על דיאגרמת הניתוח, לפי המילים, כדי שתבינו מה לעשות עם מה:

אני מקווה שהמונחים "נגזרת" ו"מוצר" לא יעוררו קשיים. "פונקציה מורכבת" - כבר סידרנו את זה. המלכוד הוא ב"נגזרת של פונקציה חיצונית ביחס לתפקוד פנימי קבוע". מה זה?

תשובה: זוהי הנגזרת הרגילה של פונקציה חיצונית, שבה רק הפונקציה החיצונית משתנה, והפנימית נשארת זהה. עדיין לא ברור? אוקיי, בואו נשתמש בדוגמה.

תן לנו פונקציה \(y=\sin⁡(x^3)\). ברור שהפונקציה הפנימית כאן היא \(x^3\), והחיצונית
. הבה נמצא כעת את הנגזרת של החוץ ביחס לפנים הקבוע.

שלב ראשון

נגזרת של פונקציה. מדריך מקיף (2019)

בואו נדמיין דרך ישרה העוברת באזור הררי. כלומר, הוא עולה ויורד, אך אינו פונה ימינה או שמאלה. אם הציר מכוון אופקית לאורך הדרך ואנכית, אז קו הדרך יהיה דומה מאוד לגרף של פונקציה רציפה כלשהי:

הציר הוא רמה מסוימת של גובה אפס; בחיים אנו משתמשים בגובה פני הים.

ככל שאנו מתקדמים בכביש כזה, אנו נעים גם למעלה או למטה. נוכל לומר גם: כאשר הארגומנט משתנה (תנועה לאורך ציר האבשיסה), ערך הפונקציה משתנה (תנועה לאורך ציר הסמטה). עכשיו בואו נחשוב כיצד לקבוע את "התלולות" של הדרך שלנו? איזה סוג של ערך זה יכול להיות? זה פשוט מאוד: עד כמה הגובה ישתנה כאשר נעים קדימה מרחק מסוים. ואכן, בקטעים שונים של הדרך, בהתקדם (לאורך ציר ה-x) בקילומטר אחד, נעלה או נרד במספר מטרים שונה ביחס לגובה פני הים (לאורך ציר ה-y).

בואו נסמן התקדמות (קרא "דלתא x").

האות היוונית (דלתא) משמשת בדרך כלל במתמטיקה כתחילית שמשמעותה "שינוי". כלומר - זהו שינוי בכמות, - שינוי; אז מה זה? נכון, שינוי בגודל.

חשוב: ביטוי הוא שלם יחיד, משתנה אחד. לעולם אל תפריד את ה"דלתא" מה-"x" או כל אות אחרת! כלומר, למשל,.

אז התקדמנו קדימה, אופקית, על ידי. אם נשווה את קו הדרך עם גרף הפונקציה, אז איך נסמן את העלייה? בוודאי,. כלומר, ככל שאנו מתקדמים, אנו עולים גבוה יותר.

קל לחשב את הערך: אם בהתחלה היינו בגובה, ואחרי התנועה מצאנו את עצמנו בגובה, אז. אם נקודת הסיום נמוכה מנקודת ההתחלה היא תהיה שלילית - זה אומר שאנחנו לא עולים אלא יורדים.

נחזור ל"תלולות": זהו ערך שמראה עד כמה (בתלול) הגובה גדל כאשר נעים קדימה יחידת מרחק אחת:

נניח שבחלק מהכביש, כאשר מתקדמים בקילומטר, הדרך עולה בקילומטר. אז השיפוע במקום הזה שווה. ואם הדרך, תוך כדי תנועה קדימה ב-m, ירדה בק"מ? אז השיפוע שווה.

עכשיו בואו נסתכל על ראש גבעה. אם לוקחים את תחילת הקטע חצי קילומטר לפני הפסגה, ואת הסוף חצי קילומטר אחריה, רואים שהגובה כמעט זהה.

כלומר, לפי ההיגיון שלנו, מסתבר שהשיפוע כאן כמעט שווה לאפס, וזה ברור שלא נכון. קצת יותר ממרחק של קילומטרים הרבה יכול להשתנות. יש צורך לשקול אזורים קטנים יותר להערכה מספקת ומדויקת יותר של תלילות. לדוגמה, אם תמדדו את השינוי בגובה תוך כדי תנועה של מטר אחד, התוצאה תהיה הרבה יותר מדויקת. אבל אולי גם הדיוק הזה לא יספיק לנו – אחרי הכל, אם יש עמוד באמצע הדרך, אנחנו יכולים פשוט לעבור אותו. באיזה מרחק עלינו לבחור אם כך? סַנטִימֶטֶר? מִילִימֶטֶר? פחות עדיף!

IN החיים האמיתייםמדידת מרחקים עד המילימטר הקרוב ביותר היא די והותר. אבל מתמטיקאים תמיד שואפים לשלמות. לכן, המושג הומצא זָעִיר מְאֹד, כלומר, הערך המוחלט קטן מכל מספר שנוכל למנות. למשל, אתה אומר: טריליון אחד! כמה פחות? ואתה מחלק את המספר הזה - והוא יהיה אפילו פחות. וכולי. אם נרצה לכתוב שכמות היא אינסופית, נכתוב כך: (אנו קוראים "x שואף לאפס"). חשוב מאוד להבין שהמספר הזה אינו אפס!אבל מאוד קרוב לזה. זה אומר שאתה יכול לחלק לפי זה.

המושג המנוגד לאינפיניטסימלי גדול לאין שיעור (). סביר להניח שכבר נתקלתם בזה כשעבדתם על אי-שוויון: המספר הזה גדול יותר מכל מספר שאתם יכולים לחשוב עליו. אם תמצא את המספר הגדול ביותר האפשרי, פשוט תכפיל אותו בשניים ותקבל מספר גדול עוד יותר. והאינסוף גדול אפילו ממה שקורה. למעשה, הגדול לאין שיעור והקטן לאין שיעור הם ההפוכים זה לזה, כלומר ב, ולהיפך: ב.

עכשיו בואו נחזור לדרך שלנו. השיפוע המחושב באופן אידיאלי הוא השיפוע המחושב עבור קטע אינפיניטסימלי של הנתיב, כלומר:

אני מציין שעם תזוזה אינפיניטסימלית, גם השינוי בגובה יהיה אינפיניטסימלי. אבל הרשו לי להזכיר לכם שאינפיניטסימלי לא אומר שווה לאפס. אם מחלקים מספרים אינפיניטסיים זה בזה, אתה יכול לקבל מספר רגיל לחלוטין, למשל, . כלומר, ערך קטן אחד יכול להיות גדול פי כמה ממש אחר.

בשביל מה כל זה? הדרך, התלולות... אנחנו לא יוצאים לראלי מכוניות, אבל אנחנו מלמדים מתמטיקה. ובמתמטיקה הכל בדיוק אותו דבר, רק נקרא אחרת.

מושג של נגזרת

הנגזרת של פונקציה היא היחס בין התוספת של הפונקציה לתוספת של הארגומנט עבור תוספת אינסופית של הארגומנט.

בהדרגהבמתמטיקה קוראים להם שינוי. המידה שבה הארגומנט () משתנה בזמן שהוא נע לאורך הציר נקראת תוספת טיעוןוהוא מיועד. כמה השתנתה הפונקציה (גובה) כאשר נעים קדימה לאורך הציר במרחק נקרא תוספת פונקציהוהוא מיועד.

אז, הנגזרת של פונקציה היא היחס ל-מתי. נסמן את הנגזרת באותה אות כמו הפונקציה, רק עם ראשוני בצד ימין למעלה: או פשוט. אז, בואו נכתוב את נוסחת הנגזרת באמצעות הסימונים הבאים:

כמו באנלוגיה לדרך, כאן כשהפונקציה גדלה, הנגזרת חיובית, וכשהיא יורדת היא שלילית.

האם הנגזרת יכולה להיות שווה לאפס? בְּהֶחלֵט. לדוגמה, אם אנחנו נוסעים בכביש אופקי שטוח, התלולות היא אפס. וזה נכון, הגובה לא משתנה בכלל. כך זה עם הנגזרת: הנגזרת של פונקציה קבועה (קבוע) שווה לאפס:

מכיוון שהתוספת של פונקציה כזו שווה לאפס עבור כל אחד.

בואו נזכור את הדוגמה בראש הגבעה. התברר שאפשר לסדר את קצוות הקטע בצדדים מנוגדים של הקודקוד כך שהגובה בקצוות יתברר זהה, כלומר הקטע מקביל לציר:

אבל מקטעים גדולים הם סימן למדידה לא מדויקת. נעלה את הקטע שלנו במקביל לעצמו, ואז אורכו יקטן.

בסופו של דבר, כאשר אנו קרובים לאין ערוך לחלק העליון, אורך הקטע יהפוך לאינפיניטסימלי. אבל יחד עם זאת, הוא נשאר מקביל לציר, כלומר, הפרש הגבהים בקצותיו שווה לאפס (הוא לא נוטה, אלא שווה). אז הנגזרת

אפשר להבין זאת כך: כשאנחנו עומדים ממש למעלה, תזוזה קטנה שמאלה או ימינה משנה את הגובה שלנו באופן זניח.

יש גם הסבר אלגברי גרידא: משמאל לקודקוד הפונקציה גדלה, ומימין היא יורדת. כפי שגילינו קודם, כאשר פונקציה גדלה, הנגזרת חיובית, וכשהיא יורדת היא שלילית. אבל הוא משתנה בצורה חלקה, ללא קפיצות (שכן הדרך לא משנה את השיפוע בחדות בשום מקום). לכן, חייב להיות בין ערכים שליליים לחיוביים. זה יהיה המקום שבו הפונקציה לא תגדל ולא יורדת - בנקודת הקודקוד.

הדבר נכון גם לגבי השוקת (האזור שבו הפונקציה משמאל יורדת ומימין גדלה):

עוד קצת על תוספות.

אז אנחנו משנים את הטיעון לגודל. אנחנו משתנים מאיזה ערך? מה זה הפך (הוויכוח) עכשיו? אנחנו יכולים לבחור כל נקודה, ועכשיו נרקוד ממנה.

שקול נקודה עם קואורדינטה. ערך הפונקציה בו שווה. לאחר מכן אנו עושים את אותה תוספת: אנו מגדילים את הקואורדינטה ב-. מה הטענה עכשיו? קל מאוד: . מה הערך של הפונקציה עכשיו? לאן שהארגומנט הולך, גם הפונקציה: . מה לגבי תוספת פונקציה? שום דבר חדש: זה עדיין הסכום שבו השתנתה הפונקציה:

תרגל מציאת מרווחים:

1. מצא את התוספת של הפונקציה בנקודה שבה התוספת של הארגומנט שווה ל.
2. אותו דבר לגבי הפונקציה בנקודה מסוימת.

פתרונות:

בנקודות שונות עם אותה תוספת ארגומנט, תוספת הפונקציה תהיה שונה. זה אומר שהנגזרת בכל נקודה שונה (דיברנו על זה כבר בהתחלה - תלילות הדרך שונה בנקודות שונות). לכן, כאשר אנו כותבים נגזרת, עלינו לציין באיזו נקודה:

פונקציית כוח.

פונקציית כוח היא פונקציה שבה הארגומנט הוא במידה מסוימת (לוגי, נכון?).

יתרה מכך - בכל מידה:.

המקרה הפשוט ביותר הוא כאשר המעריך הוא:

בוא נמצא את הנגזרת שלו בנקודה מסוימת. נזכיר את ההגדרה של נגזרת:

אז הטיעון משתנה מ-to. מהי התוספת של הפונקציה?

תוספת היא זו. אבל פונקציה בכל נקודה שווה לארגומנט שלה. זו הסיבה:

הנגזרת שווה ל:

הנגזרת של שווה ל:

ב) עכשיו שקול פונקציה ריבועית (): .

עכשיו בואו נזכור את זה. משמעות הדבר היא שניתן להזניח את ערך התוספת, מכיוון שהוא אינפיניטסימלי, ולכן לא משמעותי על רקע המונח האחר:

אז המצאנו כלל נוסף:

ג) אנו ממשיכים את הסדרה הלוגית: .

ניתן לפשט את הביטוי הזה בדרכים שונות: פתחו את הסוגר הראשון באמצעות הנוסחה לכפל מקוצר של קוביית הסכום, או חלקו את הביטוי כולו לפי נוסחת הפרש הקוביות. נסה לעשות זאת בעצמך באמצעות כל אחת מהשיטות המוצעות.

אז, קיבלתי את הדברים הבאים:

ושוב בואו נזכור את זה. משמעות הדבר היא שאנו יכולים להזניח את כל המונחים המכילים:

אנחנו מקבלים: .

ד) ניתן לקבל כללים דומים עבור סמכויות גדולות:

ה) מסתבר שניתן להכליל את הכלל הזה עבור פונקציית חזקה עם מעריך שרירותי, אפילו לא מספר שלם:

(2)

ניתן לנסח את הכלל במילים: "הדרגה מוקדמת כמקדם, ואז מצטמצמת ב-."

את הכלל הזה נוכיח בהמשך (כמעט בסוף). עכשיו בואו נסתכל על כמה דוגמאות. מצא את הנגזרת של הפונקציות:

1. (בשתי דרכים: על ידי נוסחה ושימוש בהגדרת נגזרת - על ידי חישוב התוספת של הפונקציה);

1. . תאמינו או לא, זו פונקציית כוח. אם יש לך שאלות כמו "איך זה? איפה התואר?", זכרו את הנושא ""!
   כן, כן, גם השורש הוא תואר, רק חלקי:.
   אז שלנו שורש ריבועי- זה רק תואר עם אינדיקטור:
   .
   אנו מחפשים את הנגזרת באמצעות הנוסחה שנלמדה לאחרונה:

   אם בשלב זה שוב לא ברור, חזור על הנושא ""!!! (בערך תואר עם מעריך שלילי)

2. . עכשיו המעריך:

   ועכשיו דרך ההגדרה (כבר שכחת?):
   ;
   .
   כעת, כרגיל, אנו מזניחים את המונח המכיל:
   .

3. . שילוב של מקרים קודמים: .

פונקציות טריגונומטריות.

כאן נשתמש בעובדה אחת ממתמטיקה גבוהה יותר:

עם הבעה.

אתה תלמד את ההוכחה בשנה הראשונה של המכון (וכדי להגיע לשם, אתה צריך לעבור את מבחן המדינה המאוחדת היטב). עכשיו אני רק אראה את זה בצורה גרפית:

אנו רואים שכאשר הפונקציה לא קיימת - הנקודה בגרף נחתכת החוצה. אבל ככל שהפונקציה קרובה יותר לערך, כך הפונקציה קרובה יותר. זה מה ש"מטרה".

בנוסף, אתה יכול לבדוק כלל זה באמצעות מחשבון. כן, כן, אל תתביישו, קחו מחשבון, אנחנו עדיין לא בבחינת המדינה המאוחדת.

אז בואו ננסה: ;

אל תשכח להעביר את המחשבון למצב רדיאנים!

וכו ' אנו רואים שככל שהוא קטן יותר, כך ערך היחס קרוב יותר.

א) שקול את הפונקציה. כרגיל, בואו נמצא את התוספת שלו:

בואו נהפוך את הפרש הסינוסים למוצר. לשם כך, אנו משתמשים בנוסחה (זכור את הנושא ""): .

עכשיו הנגזרת:

בואו נעשה תחליף: . ואז עבור אינפיניטסימלי זה גם אינפיניטסימלי:. הביטוי עבור מקבל את הצורה:

ועכשיו אנחנו זוכרים את זה עם הביטוי. וגם, מה אם ניתן להזניח כמות אינפיניטסימלית בסכום (כלומר, ב).

אז, אנחנו מקבלים את הכלל הבא: הנגזרת של הסינוס שווה לקוסינוס:

אלו הם נגזרות בסיסיות ("טבלאות"). הנה הם ברשימה אחת:

בהמשך נוסיף להם עוד כמה, אבל אלו הם החשובים ביותר, שכן משתמשים בהם לרוב.

תרגול:

1. מצא את הנגזרת של הפונקציה בנקודה;
2. מצא את הנגזרת של הפונקציה.

פתרונות:

1. ראשית, בואו נמצא את הנגזרת ב השקפה כללית, ולאחר מכן החלף את הערך שלו:
   ;
   .
2. כאן יש לנו משהו דומה לזה פונקציית כוח. בוא ננסה להביא אותה
   תצוגה רגילה:
   .
   נהדר, עכשיו אתה יכול להשתמש בנוסחה:
   .
   .
3. . Eeeeee….. מה זה????

אוקיי, אתה צודק, אנחנו עדיין לא יודעים איך למצוא נגזרות כאלה. כאן יש לנו שילוב של כמה סוגי פונקציות. כדי לעבוד איתם, אתה צריך ללמוד עוד כמה כללים:

אקספוננט ולוגריתם טבעי.

ישנה פונקציה במתמטיקה שהנגזרת שלה לכל ערך שווה לערך הפונקציה עצמה בו זמנית. זה נקרא "מעריך", והוא פונקציה מעריכית

הבסיס של פונקציה זו הוא קבוע - הוא אינסופי נקודה, כלומר, מספר אי רציונלי (כגון). זה נקרא "מספר אוילר", וזו הסיבה שהוא מסומן באות.

אז הכלל:

קל מאוד לזכור.

ובכן, בואו לא נלך רחוק, בואו נסתכל על זה מיד פונקציה הפוכה. איזו פונקציה היא היפוך של הפונקציה המעריכית? לוֹגָרִיתְם:

במקרה שלנו, הבסיס הוא המספר:

לוגריתם כזה (כלומר לוגריתם עם בסיס) נקרא "טבעי", ואנו משתמשים עבורו בסימון מיוחד: אנו כותבים במקום זאת.

למה זה שווה? כמובן, .

גם הנגזרת של הלוגריתם הטבעי היא פשוטה מאוד:

דוגמאות:

1. מצא את הנגזרת של הפונקציה.
2. מהי הנגזרת של הפונקציה?

תשובות: מציג ו לוגריתם טבעי- פונקציות פשוטות באופן ייחודי מבחינת נגזרות. לפונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמיות עם כל בסיס אחר תהיה נגזרת שונה, אותה ננתח בהמשך, לאחר שנעבור על כללי הבידול.

כללי בידול

חוקים של מה? שוב קדנציה חדשה, שוב?!...

בידולהוא תהליך מציאת הנגזרת.

זה הכל. איך עוד אפשר לקרוא לתהליך הזה במילה אחת? לא נגזרת... מתמטיקאים קוראים להפרש אותה תוספת של פונקציה ב. המונח הזה מגיע מהדיפרנציה הלטינית - הבדל. כאן.

כאשר נגזר את כל הכללים הללו, נשתמש בשתי פונקציות, למשל, ו. נצטרך גם נוסחאות עבור המרווחים שלהם:

יש 5 כללים בסך הכל.

הקבוע נלקח מהסימן הנגזרת.

אם - מספר קבוע כלשהו (קבוע), אז.

ברור שהכלל הזה עובד גם על ההבדל: .

בואו נוכיח את זה. תן לזה להיות, או יותר פשוט.

דוגמאות.

מצא את הנגזרות של הפונקציות:

1. בשלב מסוים;
2. בשלב מסוים;
3. בשלב מסוים;
4. בנקודה.

פתרונות:

1. (הנגזרת זהה בכל הנקודות, מאז זה פונקציה לינארית, זכור?);

נגזרת של המוצר

הכל דומה כאן: בואו נציג פונקציה חדשה ונמצא את התוספת שלה:

נגזר:

דוגמאות:

1. מצא את הנגזרות של הפונקציות ו;
2. מצא את הנגזרת של הפונקציה בנקודה.

פתרונות:

נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית

עכשיו הידע שלך מספיק כדי ללמוד איך למצוא את הנגזרת של כל פונקציה מעריכית, ולא רק מעריכי (כבר שכחת מה זה?).

אז איפה מספר כלשהו.

אנחנו כבר יודעים את הנגזרת של הפונקציה, אז בואו ננסה לצמצם את הפונקציה שלנו לבסיס חדש:

לשם כך נשתמש כלל פשוט: . לאחר מכן:

ובכן, זה עבד. כעת נסו למצוא את הנגזרת, ואל תשכחו שהפונקציה הזו מורכבת.

קרה?

הנה, בדוק את עצמך:

הנוסחה התבררה כדומה מאוד לנגזרת של מעריך: כפי שהייתה, היא נשארת זהה, רק גורם הופיע, שהוא רק מספר, אבל לא משתנה.

דוגמאות:
מצא את הנגזרות של הפונקציות:

תשובות:

זהו רק מספר שלא ניתן לחישוב ללא מחשבון, כלומר, לא ניתן לרשום אותו בצורה פשוטה יותר. לכן, אנו משאירים זאת בצורה זו בתשובה.

נגזרת של פונקציה לוגריתמית

זה דומה כאן: אתה כבר מכיר את הנגזרת של הלוגריתם הטבעי:

לכן, כדי למצוא לוגריתם שרירותי עם בסיס שונה, למשל:

אנחנו צריכים לצמצם את הלוגריתם הזה לבסיס. איך משנים את הבסיס של לוגריתם? אני מקווה שאתה זוכר את הנוסחה הזו:

רק עכשיו נכתוב במקום:

המכנה הוא פשוט קבוע (מספר קבוע, ללא משתנה). הנגזרת מתקבלת בפשטות רבה:

נגזרות של פונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמיות כמעט ואינן נמצאות בבחינת המדינה המאוחדת, אבל לא יהיה מיותר לדעת אותן.

נגזרת של פונקציה מורכבת.

מהי "פונקציה מורכבת"? לא, זה לא לוגריתם, ולא ארקטנגנט. פונקציות אלו עשויות להיות קשות להבנה (אם כי אם הלוגריתם קשה לך, קרא את הנושא "לוגריתמים" ותהיה בסדר), אבל מנקודת מבט מתמטית, המילה "מורכבת" אין פירושה "קשה".

דמיינו לעצמכם מסוע קטן: שני אנשים יושבים ועושים כמה פעולות עם כמה חפצים. לדוגמה, הראשון עוטף חפיסת שוקולד בעטיפה, והשני קושר אותו בסרט. התוצאה היא חפץ מורכב: חפיסת שוקולד עטופה וקשורה בסרט. כדי לאכול חפיסת שוקולד, אתה צריך לעשות את השלבים ההפוך בסדר הפוך.

בואו ניצור צינור מתמטי דומה: תחילה נמצא את הקוסינוס של מספר, ולאחר מכן בריבוע את המספר המתקבל. אז נותנים לנו מספר (שוקולד), אני מוצא את הקוסינוס שלו (העטיפה), ואז מעבירים את מה שקיבלתי (קושרים אותו בסרט). מה קרה? פוּנקצִיָה. זוהי דוגמה לפונקציה מורכבת: כאשר, כדי למצוא את ערכה, אנו מבצעים את הפעולה הראשונה ישירות עם המשתנה, ולאחר מכן פעולה שנייה עם מה שנבע מהראשון.

אנחנו יכולים בקלות לעשות את אותם השלבים בסדר הפוך: תחילה אתה ריבוע אותו, ואז אני מחפש את הקוסינוס של המספר המתקבל: . קל לנחש שהתוצאה כמעט תמיד תהיה שונה. תכונה חשובה של פונקציות מורכבות: כאשר סדר הפעולות משתנה, הפונקציה משתנה.

במילים אחרות, פונקציה מורכבת היא פונקציה שהארגומנט שלה הוא פונקציה אחרת: .

עבור הדוגמה הראשונה, .

דוגמה שנייה: (אותו דבר). .

הפעולה שנעשה אחרונה תיקרא פונקציה "חיצונית"., והפעולה שבוצעה תחילה - בהתאם פונקציה "פנימית".(אלה שמות לא רשמיים, אני משתמש בהם רק כדי להסביר את החומר בשפה פשוטה).

נסה לקבוע בעצמך איזו פונקציה חיצונית ואיזו פנימית:

תשובות:הפרדת פונקציות פנימיות וחיצוניות דומה מאוד לשינוי משתנים: למשל בפונקציה

1. איזו פעולה נבצע קודם? ראשית, בוא נחשב את הסינוס, ורק אז נרכיב אותו בקובייה. זה אומר שזו פונקציה פנימית, אבל חיצונית.
   והפונקציה המקורית היא ההרכב שלהם:.
2. פנימי: ; חיצוני: .
   בחינה: .
3. פנימי: ; חיצוני: .
   בחינה: .
4. פנימי: ; חיצוני: .
   בחינה: .
5. פנימי: ; חיצוני: .
   בחינה: .

אנו משנים משתנים ומקבלים פונקציה.

ובכן, כעת נחלץ את חפיסת השוקולד שלנו ונחפש את הנגזרת. ההליך תמיד הפוך: ראשית נחפש את הנגזרת של הפונקציה החיצונית, ואז נכפיל את התוצאה בנגזרת של הפונקציה הפנימית. ביחס לדוגמא המקורית, זה נראה כך:

דוגמה אחרת:

אז, בואו סוף סוף ננסח את הכלל הרשמי:

אלגוריתם למציאת הנגזרת של פונקציה מורכבת:

זה נראה פשוט, נכון?

בוא נבדוק עם דוגמאות:

פתרונות:

1) פנימי: ;

חיצוני: ;

2) פנימי: ;

(רק אל תנסה לחתוך את זה עד עכשיו! שום דבר לא יוצא מתחת לקוסינוס, זוכר?)

3) פנימי: ;

חיצוני: ;

ברור מיד שמדובר בפונקציה מורכבת בת שלוש רמות: הרי זו כבר פונקציה מורכבת בפני עצמה, וגם ממנה שואבים את השורש, כלומר מבצעים את הפעולה השלישית (שמים את השוקולד ב- עטיפה ועם סרט בתיק). אבל אין סיבה לפחד: אנחנו עדיין "נפרק" את הפונקציה הזו באותו סדר כרגיל: מהסוף.

כלומר, קודם נבדיל את השורש, אחר כך את הקוסינוס, ורק אחר כך את הביטוי בסוגריים. ואז אנחנו מכפילים את הכל.

במקרים כאלה, נוח למספר את הפעולות. כלומר, בואו נדמיין את מה שאנחנו יודעים. באיזה סדר נבצע פעולות לחישוב ערכו של ביטוי זה? בואו נסתכל על דוגמה:

ככל שהפעולה תתבצע מאוחר יותר, כך הפונקציה המתאימה תהיה "חיצונית" יותר. רצף הפעולות זהה לקודם:

כאן הקינון הוא בדרך כלל 4 מפלסים. בואו נקבע את דרך הפעולה.

1. ביטוי רדיקלי. .

2. שורש. .

3. סינוס. .

4. ריבוע. .

5. חיבור הכל ביחד:

נגזר. בקצרה על הדברים העיקריים

נגזרת של פונקציה- היחס בין התוספת של הפונקציה לעלייה של הארגומנט עבור תוספת אינסופית של הארגומנט:

נגזרות בסיסיות:

כללי בידול:

הקבוע נלקח מתוך סימן הנגזרת:

נגזרת של הסכום:

נגזרת של המוצר:

נגזרת של המנה:

נגזרת של פונקציה מורכבת:

אלגוריתם למציאת הנגזרת של פונקציה מורכבת:

1. אנו מגדירים את הפונקציה "הפנימית" ומוצאים את הנגזרת שלה.
2. אנו מגדירים את הפונקציה "חיצונית" ומוצאים את הנגזרת שלה.
3. נכפיל את התוצאות של הנקודה הראשונה והשנייה.

פתרון בעיות פיזיקליות או דוגמאות במתמטיקה הוא בלתי אפשרי לחלוטין ללא ידע בנגזרת ובשיטות לחישובה. הנגזרת היא אחד המושגים החשובים ביותר בניתוח מתמטי. החלטנו להקדיש את המאמר של היום לנושא בסיסי זה. מהי נגזרת, מה הפיזי שלה ו משמעות גיאומטריתאיך מחשבים את הנגזרת של פונקציה? ניתן לשלב את כל השאלות הללו לאחת: איך להבין את הנגזרת?

משמעות גיאומטרית ופיזית של נגזרת

שתהיה פונקציה f(x) , שצוין במרווח מסוים (א, ב) . נקודות x ו-x0 שייכות למרווח זה. כאשר x משתנה, הפונקציה עצמה משתנה. שינוי הטיעון - ההבדל בערכיו x-x0 . ההבדל הזה כתוב בשם דלתא x והוא נקרא תוספת ארגומנט. שינוי או תוספת של פונקציה הם ההפרש בין ערכי הפונקציה בשתי נקודות. הגדרה של נגזרת:

הנגזרת של פונקציה בנקודה היא הגבול של היחס בין תוספת הפונקציה בנקודה נתונה לתוספת של הארגומנט כאשר האחרון שואף לאפס.

אחרת אפשר לכתוב את זה כך:

מה הטעם למצוא גבול כזה? וזה מה שזה:

הנגזרת של פונקציה בנקודה שווה לטנגנס של הזווית בין ציר OX למשיק לגרף של הפונקציה בנקודה נתונה.

משמעות פיזיתנגזר: הנגזרת של הנתיב ביחס לזמן שווה למהירות התנועה הליווית.

ואכן, מאז ימי הלימודים כולם יודעים שמהירות היא נתיב מסוים x=f(t) והזמן ט . מהירות ממוצעתלפרק זמן מסוים:

כדי לגלות את מהירות התנועה ברגע בזמן t0 אתה צריך לחשב את הגבול:

כלל ראשון: קבע קבוע

ניתן להוציא את הקבוע מהסימן הנגזרת. יתרה מכך, יש לעשות זאת. כאשר פותרים דוגמאות במתמטיקה, קח זאת ככלל - אם אתה יכול לפשט ביטוי, הקפד לפשט אותו .

דוגמא. בוא נחשב את הנגזרת:

כלל שני: נגזרת של סכום הפונקציות

הנגזרת של סכום שתי פונקציות שווה לסכום הנגזרות של פונקציות אלו. הדבר נכון גם לגבי הנגזרת של הפרש הפונקציות.

לא נביא הוכחה למשפט זה, אלא נשקול דוגמה מעשית.

מצא את הנגזרת של הפונקציה:

כלל שלישי: נגזרת של מכפלת הפונקציות

הנגזרת של המכפלה של שתי פונקציות הניתנות להבדלה מחושבת על ידי הנוסחה:

דוגמה: מצא את הנגזרת של פונקציה:

פִּתָרוֹן:

חשוב לדבר כאן על חישוב נגזרות של פונקציות מורכבות. הנגזרת של פונקציה מורכבת שווה למכפלת הנגזרת של פונקציה זו ביחס לארגומנט הביניים ולנגזרת של ארגומנט הביניים ביחס למשתנה הבלתי תלוי.

בדוגמה לעיל אנו נתקלים בביטוי:

במקרה זה, ארגומנט הביניים הוא פי 8 בחזקת חמישית. על מנת לחשב את הנגזרת של ביטוי כזה, אנו מחשבים תחילה את הנגזרת של הפונקציה החיצונית ביחס לארגומנט הביניים, ולאחר מכן נכפיל בנגזרת של ארגומנט הביניים עצמו ביחס למשתנה הבלתי תלוי.

כלל רביעי: נגזרת של המנה של שתי פונקציות

נוסחה לקביעת הנגזרת של המנה של שתי פונקציות:

ניסינו לדבר על נגזרות לבובות מאפס. נושא זה אינו פשוט כפי שהוא נראה, אז הוזהר: לעתים קרובות יש מלכודות בדוגמאות, אז היזהר בעת חישוב נגזרות.

בכל שאלה בנושא זה ובנושאים נוספים, ניתן לפנות לשירות הסטודנטים. מֵאָחוֹר טווח קצראנו נעזור לך לפתור את המבחנים הקשים ביותר ולפתור בעיות, גם אם מעולם לא ביצעת חישובי נגזרות לפני כן.

והמשפט על הנגזרת של פונקציה מורכבת, שהניסוח שלה הוא כדלקמן:

תן 1) לפונקציה $u=\varphi (x)$ יש בשלב מסוים $x_0$ הנגזרת $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) הפונקציה $y=f(u)$ יש בנקודה המקבילה בנקודה $u_0=\varphi (x_0)$ את הנגזרת $y_(u)"=f"(u)$. אז לפונקציה המורכבת $y=f\left(\varphi (x) \right)$ בנקודה הנזכרת תהיה גם נגזרת השווה למכפלת הנגזרות של הפונקציות $f(u)$ ו-$\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x)\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

או, בסימון קצר יותר: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

בדוגמאות בסעיף זה, לכל הפונקציות יש את הצורה $y=f(x)$ (כלומר, אנו מתייחסים רק לפונקציות של משתנה אחד $x$). בהתאם לכך, בכל הדוגמאות נלקחת הנגזרת $y"$ ביחס למשתנה $x$. כדי להדגיש שהנגזרת נלקחת ביחס למשתנה $x$, נכתב לעתים קרובות $y"_x$ במקום $y "$.

דוגמאות מס' 1, מס' 2 ומספר 3 מתארות את התהליך המפורט למציאת הנגזרת של פונקציות מורכבות. דוגמה מס' 4 מיועדת להבנה מלאה יותר של טבלת הנגזרות והגיוני להכיר אותה.

רצוי, לאחר לימוד החומר בדוגמאות מס' 1-3, לעבור לפתרון עצמאי של דוגמאות מס' 5, מס' 6 ו-7. דוגמאות #5, #6 ו- #7 מכילות פתרון קצר כדי שהקורא יוכל לבדוק את נכונות התוצאה שלו.

דוגמה מס' 1

מצא את הנגזרת של הפונקציה $y=e^(\cos x)$.

עלינו למצוא את הנגזרת של פונקציה מורכבת $y"$. מאז $y=e^(\cos x)$, אז $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. כדי מצא את הנגזרת $ \left(e^(\cos x)\right)"$ אנו משתמשים בנוסחה מס' 6 מטבלת הנגזרות. על מנת להשתמש בנוסחה מס' 6, עלינו לקחת בחשבון שבמקרה שלנו $u=\cos x$. הפתרון הנוסף מורכב מפשוט החלפת הביטוי $\cos x$ במקום $u$ בנוסחה מס' 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

כעת עלינו למצוא את הערך של הביטוי $(\cos x)"$. נפנה שוב לטבלת הנגזרות, ונבחר ממנה נוסחה מס' 10. החלפת $u=x$ בנוסחה מס' 10, יש לנו : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. עכשיו בואו נמשיך את השוויון (1.1), ומשלים אותו עם התוצאה שנמצאה:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

מכיוון ש-$x"=1$, אנו ממשיכים בשוויון (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

אז, משוויון (1.3) יש לנו: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. באופן טבעי, בדרך כלל מדלגים על הסברים ושוויוני ביניים, ורושמים את הממצא של הנגזרת בשורה אחת, כמו בשוויון (1.3) אז נמצאה הנגזרת של פונקציה מורכבת, כל שנותר הוא לרשום את התשובה.

תשובה: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

דוגמה מס' 2

מצא את הנגזרת של הפונקציה $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

עלינו לחשב את הנגזרת $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. מלכתחילה, נציין שניתן להוציא את הקבוע (כלומר המספר 9) מהסימן הנגזר:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

כעת נפנה לביטוי $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. כדי להקל על בחירת הנוסחה הרצויה מטבלת הנגזרות, אציג את הביטוי המדובר בצורה זו: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. כעת ברור שיש צורך להשתמש בנוסחה מס' 2, כלומר. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. בואו נחליף את $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ו-$\alpha=12$ בנוסחה הזו:

משלימים את השוויון (2.1) עם התוצאה שהושגה, יש לנו:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

במצב זה, לעתים קרובות נעשית טעות כאשר הפותר בשלב הראשון בוחר בנוסחה $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ במקום הנוסחה $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. הנקודה היא שהנגזרת של הפונקציה החיצונית חייבת לבוא קודם. כדי להבין איזו פונקציה תהיה חיצונית לביטוי $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, דמיינו שאתם מחשבים את הערך של הביטוי $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ בערך כלשהו $x$. תחילה תחשב את הערך של $5^x$, ואז תכפיל את התוצאה ב-4, תקבל $4\cdot 5^x$. כעת ניקח את ה-arctangent מהתוצאה הזו, ונקבל $\arctg(4\cdot 5^x)$. לאחר מכן נעלה את המספר המתקבל לחזקה שתים עשרה, ונקבל $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. הפעולה האחרונה, כלומר. מעלה לחזקת 12, - וזה יהיה פונקציה חיצונית. ומכאן יש להתחיל למצוא את הנגזרת, שנעשה בשוויון (2.2).

כעת עלינו למצוא את $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. אנו משתמשים בנוסחה מס' 19 של טבלת הנגזרות, תוך החלפת $u=4\cdot \ln x$ בתוכה:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

הבה נפשט מעט את הביטוי המתקבל, ניקח בחשבון $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

שוויון (2.2) יהפוך כעת:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

נותר למצוא את $(4\cdot \ln x)"$. הבה נוציא את הקבוע (כלומר 4) מהסימן הנגזרת: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. עבור כדי למצוא את $(\ln x)"$ אנו משתמשים בנוסחה מס' 8, תוך החלפת $u=x$ בתוכה: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. מאז $x"=1$, אז $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ בהחלפת התוצאה המתקבלת בנוסחה (2.3), נקבל:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

הרשו לי להזכיר לכם שהנגזרת של פונקציה מורכבת נמצאת לרוב בשורה אחת, כפי שנכתב בשוויון האחרון. לכן, בעת הכנת חישובים סטנדרטיים או מבחניםאין צורך כלל לתאר את הפתרון בפירוט כזה.

תשובה: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

דוגמה מס' 3

מצא את $y"$ של הפונקציה $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

ראשית, בואו נשנה מעט את הפונקציה $y$, המבטאת את הרדיקל (שורש) כחזקה: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. עכשיו בואו נתחיל למצוא את הנגזרת. מאז $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, אז:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

בוא נשתמש בנוסחה מס' 2 מטבלת הנגזרות, ונחליף בתוכה את $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ו-$\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

הבה נמשיך בשוויון (3.1) תוך שימוש בתוצאה שהתקבלה:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

כעת עלינו למצוא את $(\sin(5\cdot 9^x))"$. לשם כך אנו משתמשים בנוסחה מס' 9 מטבלת הנגזרות, תוך החלפת $u=5\cdot 9^x$ לתוכה:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

לאחר שהשלמנו את השוויון (3.2) עם התוצאה שהושגה, יש לנו:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

נותר למצוא את $(5\cdot 9^x)"$. ראשית, ניקח את הקבוע (המספר $5$) מחוץ לסימן הנגזרת, כלומר $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9) ^x) "$. כדי למצוא את הנגזרת $(9^x)"$, החל נוסחה מס' 5 בטבלת הנגזרות, תוך החלפת $a=9$ ו-$u=x$ בתוכה: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. מאז $x"=1$, אז $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. כעת נוכל להמשיך בשוויון (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

נוכל לחזור מכוחות לרדיקלים (כלומר, שורשים), לכתוב $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ בצורה $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. אז הנגזרת תיכתב בצורה זו:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

תשובה: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

דוגמה מס' 4

הראה שנוסחאות מס' 3 ומס' 4 בטבלת הנגזרות הן מקרה מיוחדנוסחאות מס' 2 בטבלה זו.

נוסחה מס' 2 של טבלת הנגזרות מכילה את הנגזרת של הפונקציה $u^\alpha$. החלפת $\alpha=-1$ בנוסחה מס' 2, נקבל:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

מכיוון ש-$u^(-1)=\frac(1)(u)$ ו-$u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, אז שוויון (4.1) יכול להיכתב מחדש באופן הבא: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. זוהי נוסחה מס' 3 של טבלת הנגזרות.

נחזור שוב לנוסחה מס' 2 של טבלת הנגזרות. בוא נחליף את $\alpha=\frac(1)(2)$ לתוכו:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

מאז $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ו-$u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, אז ניתן לשכתב את השוויון (4.2) באופן הבא:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

השוויון המתקבל $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ הוא נוסחה מס' 4 של טבלת הנגזרות. כפי שניתן לראות, נוסחאות מס' 3 ומס' 4 של טבלת הנגזרות מתקבלות מנוסחה מס' 2 על ידי החלפת הערך $\alpha$ המקביל.