אני חושב שמגיע לך יותר מזה. הנה המפתח שלי לטריגונומטריה:

• צייר את הכיפה, הקיר והתקרה
• פונקציות טריגונומטריות אינן אלא אחוזים משלוש הצורות הללו.

מטפורה לסינוס ולקוסינוס: כיפה

במקום להסתכל רק על המשולשים עצמם, דמיינו אותם בפעולה על ידי מציאת דוגמה ספציפית מהחיים האמיתיים.

דמיינו שאתם באמצע כיפה ורוצים לתלות מסך מקרן קולנוע. אתה מכוון את האצבע שלך לעבר הכיפה בזווית מסוימת "x", והמסך צריך להיות תלוי מנקודה זו.

הזווית שאתה מצביע עליה קובעת:

• sine(x) = sin(x) = גובה המסך (מרצפה לנקודת ההרכבה של הכיפה)
• cosine(x) = cos(x) = מרחק ממך למסך (לפי קומה)
• hypotenuse, המרחק ממך לחלק העליון של המסך, תמיד זהה, שווה לרדיוס הכיפה

האם אתה רוצה שהמסך יהיה כמה שיותר גדול? תלו אותו ישירות מעליכם.

האם אתה רוצה שהמסך יהיה תלוי כמה שיותר רחוק ממך? תלו אותו ישר בניצב. למסך יהיה גובה אפס במיקום זה וייתלה הכי רחוק, כפי שביקשתם.

גובה ומרחק מהמסך עומדים ביחס הפוך: ככל שהמסך תלוי קרוב יותר, כך גובהו גדול יותר.

סינוס וקוסינוס הם אחוזים

אף אחד במהלך שנות הלימודים שלי, אבוי, לא הסביר לי שהפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס הם לא יותר מאחוזים. הערכים שלהם נעים בין +100% ל-0 עד -100%, או ממקסימום חיובי לאפס למקסימום שלילי.

נניח ששילמתי מס של 14 רובל. אתה לא יודע כמה זה. אבל אם תגידו ששילמתי 95% מס, תבינו שפשוט ביררתי.

גובה מוחלט לא אומר כלום. אבל אם ערך הסינוס הוא 0.95, אז אני מבין שהטלוויזיה תלויה כמעט על החלק העליון של הכיפה שלך. בקרוב מאוד הוא יגיע לגובה המרבי שלו במרכז הכיפה, ואז יתחיל לרדת שוב.

איך אנחנו יכולים לחשב את האחוז הזה? זה מאוד פשוט: חלקו את גובה המסך הנוכחי במקסימום האפשרי (רדיוס הכיפה, הנקרא גם hypotenuse).

בגלל זהנאמר לנו ש"קוסינוס = צד הפוך / תת-נוזה." הכל עניין של עניין! עדיף להגדיר סינוס כ"אחוז הגובה הנוכחי מהמקסימום האפשרי." (הסינוס הופך לשלילי אם הזווית שלך מצביעה "מתחת לאדמה." הקוסינוס הופך לשלילי אם הזווית פונה לכיוון נקודת הכיפה מאחוריך.)

בוא נפשט את החישובים על ידי הנחה שאנו נמצאים במרכז מעגל היחידה (רדיוס = 1). אנחנו יכולים לדלג על החלוקה ופשוט לקחת את הסינוס שווה לגובה.

כל מעגל הוא בעצם יחידה, מוגדלת או מוקטנת בקנה מידה ל המידה הנכונה. אז קבע את חיבורי מעגל היחידה והחל את התוצאות על גודל המעגל הספציפי שלך.

ניסוי: קח כל פינה וראה איזה אחוז מגובה לרוחב היא מציגה:

גרף הצמיחה של ערך הסינוס אינו רק קו ישר. 45 המעלות הראשונות מכסות 70% מהגובה, אך 10 המעלות האחרונות (מ-80° ל-90°) מכסות רק 2%.

זה יבהיר לך יותר: אם אתה הולך במעגל, ב-0° אתה עולה כמעט אנכית, אבל ככל שמתקרבים לראש הכיפה, הגובה משתנה פחות ופחות.

טנג'נט וסיקנט. קִיר

יום אחד שכן בנה חומה ממש ליד זהלכיפה שלך. בכה הנוף שלך מהחלון ומחיר טוב למכירה חוזרת!

אבל האם אפשר איכשהו לנצח במצב הזה?

כמובן שכן. מה אם נתלה מסך קולנוע ממש על הקיר של השכן שלנו? אתה ממקד את הזווית (x) ומקבל:

• tan(x) = tan(x) = גובה המסך על הקיר
• מרחק ממך לקיר: 1 (זה הרדיוס של הכיפה שלך, הקיר לא זז ממך לשום מקום, נכון?)
• secant(x) = sec(x) = "אורך הסולם" ממך שעומד במרכז הכיפה ועד לראש המסך התלוי

בואו נבהיר כמה נקודות בנוגע למשיק, או גובה המסך.

• הוא מתחיל ב-0, ויכול להגיע גבוה לאין שיעור. אתה יכול למתוח את המסך גבוה יותר ויותר על הקיר כדי ליצור קנבס אינסופי לצפייה בסרט האהוב עליך! (בשביל ענק כזה, כמובן, תצטרכו להוציא הרבה כסף).
• טנגנס הוא רק גרסה גדולה יותר של סינוס! ובעוד העלייה בסינוס מואטת ככל שמתקדמים לכיוון החלק העליון של הכיפה, הטנגנס ממשיך לגדול!

לסקאנסו יש גם במה להתפאר:

• הקטע מתחיל ב-1 (הסולם על הרצפה, ממך לקיר) ומתחיל לעלות משם
• הסקאנט תמיד ארוך מהמשיק. הסולם המלוכסן שבו אתה משתמש כדי לתלות את המסך שלך צריך להיות ארוך יותר מהמסך עצמו, נכון? (בגדלים לא מציאותיים, כשהמסך כל כך ארוך וצריך למקם את הסולם כמעט אנכית, הגדלים שלהם כמעט זהים. אבל גם אז הסקאנט יהיה קצת יותר ארוך).

זכור, הערכים הם אָחוּז. אם תחליט לתלות את המסך בזווית של 50 מעלות, tan(50)=1.19. המסך שלך גדול ב-19% מהמרחק לקיר (רדיוס הכיפה).

(הזן x=0 ובדוק את האינטואיציה שלך - tan(0) = 0 ו-sec(0) = 1.)

קוטנגנט וקוסקנט. תִקרָה

לא ייאמן, השכן שלך החליט לבנות גג מעל הכיפה שלך. (מה לא בסדר איתו? כנראה שהוא לא רוצה שתרגל אחריו בזמן שהוא מסתובב בחצר עירום...)

ובכן, הגיע הזמן לבנות יציאה לגג ולדבר עם השכן. אתה בוחר את זווית הנטייה ומתחיל בבנייה:

• המרחק האנכי בין מוצא הגג לרצפה הוא תמיד 1 (רדיוס הכיפה)
• cotangent(x) = cot(x) = מרחק בין החלק העליון של הכיפה לנקודת היציאה
• cosecant(x) = csc(x) = אורך הנתיב שלך לגג

טנג'נט ו-secant מתארים את הקיר, ו-COtangent ו-COsecant מתארים את התקרה.

המסקנות האינטואיטיביות שלנו הפעם דומות למסקנות הקודמות:

• אם תיקח את הזווית השווה ל-0°, היציאה שלך לגג תימשך לנצח, מכיוון שהיא לעולם לא תגיע לתקרה. בְּעָיָה.
• ה"סולם" הקצר ביותר לגג יתקבל אם תבנה אותו בזווית של 90 מעלות לרצפה. הקוטנגנט יהיה שווה ל-0 (אנחנו לא זזים לאורך הגג בכלל, אנחנו יוצאים בניצב לחלוטין), והקוסקנט יהיה שווה ל-1 ("אורך הסולם" יהיה מינימלי).

דמיינו קשרים

אם כל שלושת המקרים מצוירים בשילוב כיפה-קיר-תקרה, התוצאה תהיה הבאה:

ובכן, זה עדיין אותו משולש, גדל בגודלו כדי להגיע לקיר ולתקרה. יש לנו צלעות אנכיות (סינוס, טנגנס), צלעות אופקיות (קוסינוס, קוטנגנט) ו"היפוטנוסים" (סקאנט, קוסקונט). (לפי החצים ניתן לראות לאן מגיע כל אלמנט. הקוסקנט הוא המרחק הכולל ממך לגג).

קצת קסם. כל המשולשים חולקים את אותו השוויון:

ממשפט פיתגורס (a 2 + b 2 = c 2) אנו רואים כיצד צלעותיו של כל משולש מחוברות. בנוסף, גם יחסי "גובה לרוחב" צריכים להיות זהים עבור כל המשולשים. (פשוט עוברים מהמשולש הגדול ביותר לקטן יותר. כן, הגודל השתנה, אבל הפרופורציות של הצלעות יישארו זהות).

בידיעה איזו צלע בכל משולש שווה ל-1 (רדיוס הכיפה), נוכל בקלות לחשב ש"sin/cos = tan/1".

תמיד ניסיתי לזכור את העובדות הללו באמצעות הדמיה פשוטה. בתמונה רואים בבירור את התלות הללו ומבינים מאיפה הן מגיעות. טכניקה זו עדיפה בהרבה משינון נוסחאות יבשות.

אל תשכח מזוויות אחרות

Psst... אל תתקעו על גרף אחד, מתוך מחשבה שהטנגנס תמיד קטן מ-1. אם תגדילו את הזווית תוכלו להגיע לתקרה מבלי להגיע לקיר:

קשרים פיתגוריים תמיד עובדים, אבל הגדלים היחסיים עשויים להשתנות.

(ייתכן ששמתם לב שיחסי הסינוס והקוסינוס הם תמיד הקטנים ביותר מכיוון שהם כלולים בתוך הכיפה).

לסיכום: מה אנחנו צריכים לזכור?

עבור רובנו, הייתי אומר שזה יספיק:

• טריגונומטריה מסבירה את האנטומיה של עצמים מתמטיים כמו עיגולים ומרווחים חוזרים
• האנלוגיה של הכיפה/קיר/גג מראה את הקשר בין שונים פונקציות טריגונומטריות
• הפונקציות הטריגונומטריות מביאות לאחוזים, אותם אנו מיישמים על התרחיש שלנו.

אתה לא צריך לשנן נוסחאות כמו 1 2 + cot 2 = csc 2 . הם מתאימים רק למבחנים מטופשים שבהם ידיעת עובדה מועברת כהבנתה. הקדישו דקה לצייר חצי עיגול בצורת כיפה, קיר וגג, תייגו את האלמנטים וכל הנוסחאות יגיעו אליכם על הנייר.

יישום: פונקציות הפוכות

כל פונקציה טריגונומטרית לוקחת זווית כפרמטר קלט ומחזירה את התוצאה באחוזים. sin(30) = 0.5. המשמעות היא שזווית של 30 מעלות תופסת 50% מהגובה המרבי.

הפונקציה הטריגונומטרית ההפוכה נכתבת כ-sin -1 או arcsin. Asin נכתב לעתים קרובות גם בשפות תכנות שונות.

אם הגובה שלנו הוא 25% מגובה הכיפה, מה הזווית שלנו?

בטבלת הפרופורציות שלנו ניתן למצוא יחס שבו הסקאנט מחולק ב-1. לדוגמה, הסקאנט ב-1 (היפוטנוז לאופק) יהיה שווה ל-1 חלקי הקוסינוס:

נניח שהסקאנט שלנו הוא 3.5, כלומר. 350% מהרדיוס של מעגל יחידה. לאיזו זווית נטייה לקיר מתאים ערך זה?

נספח: כמה דוגמאות

דוגמה: מצא את הסינוס של זווית x.

משימה משעממת. בואו נסבך את ה"מצא את הסינוס" הבנאלי ל"מהו הגובה כאחוז מהמקסימום (היפוטנוז)?"

ראשית, שימו לב שהמשולש מסובב. אין בזה שום דבר רע. למשולש יש גם גובה, הוא מצוין בירוק באיור.

למה שווה התחתון? על פי משפט פיתגורס, אנו יודעים כי:

3 2 + 4 2 = hypotenuse 2 25 = hypotenuse 2 5 = hypotenuse

בסדר גמור! סינוס הוא האחוז מגובה הצלע הארוכה ביותר של המשולש, או תחתית המשולש. בדוגמה שלנו, הסינוס הוא 3/5 או 0.60.

כמובן, אנחנו יכולים ללכת בכמה דרכים. עכשיו אנחנו יודעים שהסינוס הוא 0.60, אנחנו יכולים פשוט למצוא את הקשת:

Asin(0.6)=36.9

הנה עוד גישה. שימו לב שהמשולש "פונה לקיר", כך שנוכל להשתמש בטנגנס במקום בסינוס. הגובה הוא 3, המרחק לקיר הוא 4, כך שהמשיק הוא ¾ או 75%. נוכל להשתמש בארקטנג'נט כדי לעבור מערך אחוז בחזרה לזווית:

Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 דוגמה: האם תשחה לחוף?

אתה בסירה ויש לך מספיק דלק לנסוע 2 ק"מ. אתה נמצא כעת 0.25 ק"מ מהחוף. באיזו זווית מקסימלית לחוף אתה יכול לשחות אליו כדי שיהיה לך מספיק דלק? תוספת להצהרת הבעיה: יש לנו רק טבלה של ערכי קוסינוס קשת.

מה יש לנו? ניתן לייצג את קו החוף כ"קיר" במשולש המפורסם שלנו, ו"אורך הסולם" המחובר לקיר הוא המרחק המקסימלי האפשרי שיש לעבור בסירה לחוף (2 ק"מ). מופיעה סקנט.

ראשית, אתה צריך ללכת לאחוזים. יש לנו 2 / 0.25 = 8, כלומר, אנחנו יכולים לשחות מרחק שהוא פי 8 מהמרחק הישר לחוף (או לקיר).

נשאלת השאלה: "מהו הסקאנט של 8?" אבל אנחנו לא יכולים לענות על זה, מכיוון שיש לנו רק קוסינוס קשת.

אנו משתמשים בתלות שנגזרו קודם לכן כדי לקשר את הסקאנט לקוסינוס: "sec/1 = 1/cos"

סקאנס 8 שווה לקוסינוס⅛. זווית שהקוסינוס שלה הוא ⅛ שווה ל-acos(1/8) = 82.8. וזו הזווית הגדולה ביותר שאנו יכולים להרשות לעצמנו על סירה עם כמות הדלק שצוינה.

לא נורא, נכון? ללא האנלוגיה של כיפה-קיר-תקרה, הייתי הולך לאיבוד בתוך שלל נוסחאות וחישובים. הדמיה של הבעיה מפשטת מאוד את החיפוש אחר פתרון, ומעניין גם לראות איזו פונקציה טריגונומטרית תעזור בסופו של דבר.

עבור כל בעיה, חשבו כך: האם אני מעוניין בכיפה (sin/cos), בקיר (שיזוף/שנייה) או בתקרה (מיטת תינוק/csc)?

והטריגונומטריה תהפוך למהנה הרבה יותר. חישובים קלים עבורך!

סינוס וקוסינוס נבעו במקור מהצורך לחשב כמויות במשולשים ישרים. הבחין שאם מידת המעלות של הזוויות במשולש ישר זווית אינה משתנה, אז יחס הרוחב-גובה, לא משנה כמה הצלעות הללו משתנות באורך, תמיד נשאר זהה.

כך הוצגו המושגים סינוס וקוסינוס. סִינוּס זוית חדהבמשולש ישר זווית הוא היחס בין הצלע הנגדית לתחתית, והקוסינוס הוא היחס בין הצלע הסמוכה לתחתית.

משפטי קוסינוס וסינוסים

אבל ניתן להשתמש בקוסינוס ובסינוס עבור יותר מסתם משולשים ישרים זויים. כדי למצוא את הערך של זווית קהה או חדה או צלע של כל משולש, די ליישם את משפט הקוסינוסים והסינוסים.

משפט הקוסינוס הוא די פשוט: "ריבוע הצלע של משולש שווה לסכוםהריבועים של שתי הצלעות האחרות פחות פי שניים המכפלה של הצלעות הללו בקוסינוס הזווית ביניהן."

ישנם שני פירושים למשפט הסינוס: קטן ומורחב. לדברי הקטין: "במשולש, הזוויות פרופורציונליות לצדדים הנגדיים". משפט זה מורחב לעתים קרובות בשל התכונה של המעגל המוקף של משולש: "במשולש, הזוויות פרופורציונליות לצדדים הנגדיים, והיחס שלהן שווה לקוטר המעגל המוקף."

נגזרים

הנגזרת היא כלי מתמטי המראה באיזו מהירות משתנה פונקציה ביחס לשינוי בארגומנט שלה. נגזרות משמשות בגיאומטריה, ובמספר דיסציפלינות טכניות.

בעת פתרון בעיות, אתה צריך לדעת את הערכים הטבלאיים של הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות: סינוס וקוסינוס. הנגזרת של סינוס היא קוסינוס, וקוסינוס הוא סינוס, אך עם סימן מינוס.

יישום במתמטיקה

סינוס וקוסינוס משמשים לעתים קרובות במיוחד בפתרון משולשים ישרים ובעיות הקשורות אליהם.

הנוחות של סינוס וקוסינוס באה לידי ביטוי גם בטכנולוגיה. קל היה להעריך זוויות וצלעות באמצעות משפטי הקוסינוס והסינוס, לפירוק דמויות מורכבותוחפצים למשולשים "פשוטים". מהנדסים שלעתים קרובות עוסקים בחישובים של יחסי גובה-רוחב ומדדי מעלות השקיעו זמן ומאמץ רבים בחישוב הקוסינוס והסינוס של זוויות שאינן טבלאיות.

ואז הגיעו לעזרת טבלאות ברדיס, המכילות אלפי ערכים של סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים וקוטנגנטים זוויות שונות. IN הזמן הסובייטיכמה מורים אילצו את תלמידיהם לשנן דפים של טבלאות ברדיס.

רדיאן הוא הערך הזוויתי של קשת שאורכה שווה לרדיוס או 57.295779513 מעלות.

תואר (בגיאומטריה) - חלק 1/360 של מעגל או חלק 1/90 זווית נכונה.

π = 3.141592653589793238462... (ערך משוער של Pi).

טבלת קוסינוס לזוויות: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

זווית x (במעלות)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135 מעלות	150 מעלות	180°	210°	225°	240°	270°	300 מעלות	315°	330°	360°
זווית x (ברדיאנים)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
כי x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

מאמר זה מכיל טבלאות של סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים וקוטנגנטים. ראשית, נספק טבלה של הערכים הבסיסיים של פונקציות טריגונומטריות, כלומר, טבלה של סינוסים, קוסינוסים, טאנג'ים וקוטנגנטים של זוויות של 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 מעלות ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πרדיאן). לאחר מכן, אנו נותנים טבלת סינוסים וקוסינוסים, וכן טבלת משיקים וקוטנגנטים מאת V.M. Bradis, ונראה כיצד להשתמש בטבלאות אלו בעת מציאת ערכי פונקציות טריגונומטריות.

ניווט בדף.

טבלת סינוסים, קוסינוסים, משיקים וקוטנגנטים עבור זוויות של 0, 30, 45, 60, 90, ... מעלות

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• אַלגֶבּרָה:ספר לימוד לכיתה ט'. ממוצע בית ספר/יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; אד. ש"א טליקובסקי. - מ.: חינוך, 1990. - 272 עמ': איל. - ISBN 5-09-002727-7
• בשמקוב מ.י.אלגברה והתחלות הניתוח: ספר לימוד. לכיתות י'-י"א. ממוצע בית ספר - מהדורה שלישית. - מ.: חינוך, 1993. - 351 עמ': ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• אַלגֶבּרָהותחילת הניתוח: פרוק. לכיתות י'-י"א. חינוך כללי מוסדות / א.נ. קולמוגורוב, א.מ. אברמוב, יו.פ. דודניצין ואחרים; אד. א.נ. קולמוגורוב. - מהדורה 14 - מ.: חינוך, 2004. - 384 עמ': איל. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G.מתמטיקה (מדריך למי שנכנס לבתי ספר טכניים): פרוק. קצבה.- מ.; גבוה יותר בית ספר, 1984.-351 עמ', ill.
• Bradis V. M.טבלאות מתמטיקה בנות ארבע ספרות: להשכלה כללית. ספר לימוד מפעלים. - מהדורה שנייה. - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

אחד מתחומי המתמטיקה שהתלמידים נאבקים בהם הכי הרבה הוא טריגונומטריה. זה לא מפתיע: כדי לשלוט בחופשיות בתחום הידע הזה, אתה זקוק לחשיבה מרחבית, ליכולת למצוא סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים, קוטנגנטים באמצעות נוסחאות, לפשט ביטויים ולהיות מסוגל להשתמש במספר pi ב חישובים. בנוסף, אתה צריך להיות מסוגל להשתמש בטריגונומטריה בעת הוכחת משפטים, וזה דורש או זיכרון מתמטי מפותח או יכולת להפיק שרשראות לוגיות מורכבות.

מקורות הטריגונומטריה

היכרות עם המדע הזה צריך להתחיל בהגדרה של סינוס, קוסינוס וטנגנס של זווית, אבל קודם כל צריך להבין מה עושה טריגונומטריה באופן כללי.

מבחינה היסטורית, מושא המחקר העיקרי בחלק זה מדע מתמטיהיו משולשים ישרים. הנוכחות של זווית של 90 מעלות מאפשרת לבצע פעולות שונות, המאפשר לך לקבוע את הערכים של כל הפרמטרים של הדמות המדוברת באמצעות שתי צלעות וזווית אחת או שתי זוויות וצד אחד. בעבר אנשים שמו לב לדפוס הזה והחלו להשתמש בו באופן פעיל בבניית מבנים, ניווט, אסטרונומיה ואפילו באמנות.

במה ראשונה

בתחילה, אנשים דיברו על הקשר בין זוויות וצלעות אך ורק באמצעות הדוגמה של משולשים ישרים. אז התגלו נוסחאות מיוחדות שאפשרו להרחיב את גבולות השימוש ב חיי היום - יוםהענף הזה של המתמטיקה.

לימודי הטריגונומטריה בבית הספר כיום מתחילים במשולשים ישרים, ולאחר מכן משתמשים התלמידים בידע הנרכש בפיזיקה ובפתרון בעיות מופשטות. משוואות טריגונומטריות, עבודה איתה מתחילה בתיכון.

טריגונומטריה כדורית

מאוחר יותר, כשהמדע הגיע לשלב הבא של התפתחות, החלו להשתמש בנוסחאות עם סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט בגיאומטריה כדורית, שבה חלים כללים שונים, וסכום הזוויות במשולש הוא תמיד יותר מ-180 מעלות. חלק זה לא נלמד בבית הספר, אבל יש צורך לדעת על קיומו לפחות בגלל פני כדור הארץ, והמשטח של כל כוכב אחר הוא קמור, מה שאומר שכל סימון פני השטח יהיה "בצורת קשת" במרחב התלת מימדי.

קח את הגלובוס והחוט. חבר את החוט לכל שתי נקודות על הגלובוס כך שיהיה מתוח. שימו לב - הוא קיבל צורה של קשת. גיאומטריה כדורית עוסקת בצורות כאלה, המשמשות בגיאודזיה, אסטרונומיה ותחומים תיאורטיים ויישומיים אחרים.

משולש ישר זווית

לאחר שלמדנו מעט על דרכי השימוש בטריגונומטריה, נחזור לטריגונומטריה הבסיסית על מנת להבין יותר מה הם סינוס, קוסינוס, טנג'נס, אילו חישובים ניתן לבצע בעזרתם ובאילו נוסחאות להשתמש.

הצעד הראשון הוא להבין את המושגים הקשורים למשולש ישר זווית. ראשית, התחתון הוא הצלע המנוגדת לזווית של 90 מעלות. זה הארוך ביותר. אנו זוכרים שלפי משפט פיתגורס, שלה ערך מספרישווה לשורש סכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות.

לדוגמה, אם שתי הצלעות הן 3 ו-4 ס"מ בהתאמה, אורך התחתון יהיה 5 ס"מ. אגב, המצרים הקדמונים ידעו על כך לפני כארבעה וחצי אלף שנה.

שתי הצלעות הנותרות, היוצרות זווית ישרה, נקראות רגליים. בנוסף, עלינו לזכור שסכום הזוויות במשולש במערכת קואורדינטות מלבנית שווה ל-180 מעלות.

הַגדָרָה

לבסוף, עם הבנה מוצקה של הבסיס הגיאומטרי, ניתן לפנות להגדרה של סינוס, קוסינוס וטנגנס של זווית.

הסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית (כלומר הצלע המנוגדת לזווית הרצויה) לבין התחתון. הקוסינוס של זווית הוא היחס בין הצלע הסמוכה להתחתון.

זכור שלא סינוס ולא קוסינוס יכולים להיות גדולים מאחד! למה? מכיוון שהתחתון הוא כברירת מחדל הארוך ביותר, לא משנה כמה אורך הרגל, הוא יהיה קצר יותר מהתחתון, מה שאומר שהיחס שלהם תמיד יהיה פחות מאחד. לפיכך, אם בתשובתך לבעיה אתה מקבל סינוס או קוסינוס עם ערך גדול מ-1, חפש שגיאה בחישובים או בנימוקים. תשובה זו אינה נכונה בעליל.

לבסוף, הטנגנס של זווית הוא היחס בין הצלע הנגדי לצלע הסמוכה. חלוקת הסינוס בקוסינוס תיתן את אותה תוצאה. תראה: לפי הנוסחה נחלק את אורך הצלע בתחתית, ואז נחלק באורך הצלע השניה ונכפיל בתחתית. לפיכך, אנו מקבלים את אותו הקשר כמו בהגדרה של משיק.

קוטנגנט, בהתאם, הוא היחס בין הצד הצמוד לפינה לצד הנגדי. אנו מקבלים את אותה תוצאה על ידי חלוקת אחד בטנגנס.

אז, בדקנו את ההגדרות של מה הם סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, ונוכל לעבור לנוסחאות.

הנוסחאות הפשוטות ביותר

בטריגונומטריה אי אפשר בלי נוסחאות - איך למצוא סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט בלעדיהם? אבל זה בדיוק מה שנדרש כשפותרים בעיות.

הנוסחה הראשונה שאתה צריך לדעת כשאתה מתחיל ללמוד טריגונומטריה אומרת שסכום הריבועים של הסינוס והקוסינוס של זווית שווה לאחד. נוסחה זו היא תוצאה ישירה של משפט פיתגורס, אך היא חוסכת זמן אם אתה צריך לדעת את גודל הזווית ולא את הצלע.

תלמידים רבים אינם זוכרים את הנוסחה השנייה, שגם היא פופולרית מאוד בעת פתרון בעיות בית ספר: סכום האחד וריבוע הטנגנס של זווית שווה לאחד חלקי ריבוע הקוסינוס של הזווית. תסתכל מקרוב: זו אותה אמירה כמו בנוסחה הראשונה, רק שני הצדדים של הזהות חולקו בריבוע של הקוסינוס. מסתבר שפעולה מתמטית פשוטה כן נוסחה טריגונומטריתבלתי מזוהה לחלוטין. זכור: לדעת מה הם סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, כללי טרנספורמציה ומספר נוסחאות בסיסיות, אתה יכול בכל עת באופן עצמאי לגזור את העוד הנדרש נוסחאות מורכבותעל חתיכת נייר.

נוסחאות לזוויות כפולות והוספת טיעונים

שתי נוסחאות נוספות שאתה צריך ללמוד קשורות לערכי הסינוס והקוסינוס עבור סכום והפרש הזוויות. הם מוצגים באיור שלהלן. שימו לב שבמקרה הראשון, הסינוס והקוסינוס מוכפלים בשני הפעמים, ובמקרה השני מתווסף המכפלה הזוגית של סינוס וקוזינוס.

יש גם נוסחאות הקשורות לארגומנטים של זווית כפולה. הם נגזרים לחלוטין מהקודמים - כאימון נסו להשיג אותם בעצמכם על ידי לקיחת זווית האלפא שווה לזוויתבטא.

לבסוף, שימו לב שניתן לארגן מחדש נוסחאות זווית כפולה כדי להפחית את העוצמה של סינוס, קוסינוס, טנגנס אלפא.

משפטים

שני המשפטים העיקריים בטריגונומטריה הבסיסית הם משפט הסינוס ומשפט הקוסינוס. בעזרת משפטים אלו ניתן להבין בקלות כיצד למצוא את הסינוס, הקוסינוס והטנגנס, ולכן את שטח הדמות, וגודל כל צד וכו'.

משפט הסינוס קובע שחלוקת אורך כל צלע במשולש בזווית ההפוכה מביאה לאותו מספר. יתרה מכך, מספר זה יהיה שווה לשני רדיוסים של המעגל המוקף, כלומר המעגל המכיל את כל הנקודות של משולש נתון.

משפט הקוסינוס מכליל את משפט פיתגורס, ומקרין אותו על כל משולשים. מסתבר שמסכום הריבועים של שתי הצלעות יש להחסיר את המכפלה שלהן כפול הקוסינוס הכפול של הזווית הסמוכה - הערך המתקבל יהיה שווה לריבוע הצלע השלישית. לפיכך, מסתבר שמשפט פיתגורס הוא מקרה מיוחד של משפט הקוסינוס.

טעויות לא זהירות

אפילו לדעת מה הם סינוס, קוסינוס וטנג'נס, קל לטעות בגלל היעדר דעת או טעות בחישובים הפשוטים ביותר. כדי למנוע טעויות כאלה, בואו נסתכל על הפופולריים ביותר.

ראשית, לא כדאי להמיר שברים לעשרונים עד שתקבל את התוצאה הסופית - אתה יכול להשאיר את התשובה בתור שבר נפוץ, אלא אם כן צוין אחרת בתנאים. טרנספורמציה כזו לא יכולה להיקרא טעות, אבל יש לזכור שבכל שלב של הבעיה עשויים להופיע שורשים חדשים, שעל פי הרעיון של המחבר, יש לצמצם. במקרה זה, תבזבזו את זמנכם על פעולות מתמטיות מיותרות. זה נכון במיוחד לערכים כמו שורש שלוש או שורש שניים, מכיוון שהם נמצאים בבעיות בכל שלב. כך גם לגבי עיגול מספרים "מכוערים".

יתרה מכך, שימו לב שמשפט הקוסינוס חל על כל משולש, אך לא על משפט פיתגורס! אם תשכחו בטעות להחסיר כפול מהמכפלה של הצלעות כפול הקוסינוס של הזווית ביניהן, לא רק שתקבלו תוצאה שגויה לחלוטין, אלא גם תפגינו חוסר הבנה מוחלט של הנושא. זה יותר גרוע מטעות רשלנית.

שלישית, אל תבלבלו בין הערכים של זוויות של 30 ו-60 מעלות עבור סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים, קוטנגנטים. זכור את הערכים הללו, כי הסינוס של 30 מעלות שווה לקוסינוס של 60, ולהיפך. קל לבלבל אותם, וכתוצאה מכך תקבלו בהכרח תוצאה שגויה.

יישום

סטודנטים רבים לא ממהרים להתחיל ללמוד טריגונומטריה כי הם לא מבינים את המשמעות המעשית שלה. מהו סינוס, קוסינוס, טנגנס עבור מהנדס או אסטרונום? אלו מושגים שבעזרתם ניתן לחשב את המרחק לכוכבים רחוקים, לחזות נפילה של מטאוריט או לשלוח גשושית מחקר לכוכב לכת אחר. בלעדיהם, אי אפשר לבנות בניין, לתכנן מכונית, לחשב את העומס על משטח או מסלול של חפץ. ואלה רק הדוגמאות הברורות ביותר! אחרי הכל, טריגונומטריה בצורה כזו או אחרת משמשת בכל מקום, ממוזיקה ועד רפואה.

סוף כל סוף

אז אתה סינוס, קוסינוס, טנג'נס. אתה יכול להשתמש בהם בחישובים ולפתור בהצלחה בעיות בית ספריות.

כל העניין של טריגונומטריה מסתכם בעובדה שבאמצעות הפרמטרים הידועים של משולש אתה צריך לחשב את הלא ידועים. ישנם שישה פרמטרים בסך הכל: אורך שלוש צלעות וגודל של שלוש זוויות. ההבדל היחיד במשימות טמון בעובדה שניתנים נתוני קלט שונים.

עכשיו אתה יודע איך למצוא סינוס, קוסינוס, טנגנס על סמך האורכים הידועים של הרגליים או תחתית האדמה. מכיוון שלמונחים אלה אין יותר משמעות מאשר יחס, ויחס הוא שבר, המטרה העיקרית של בעיית טריגונומטריה היא למצוא את השורשים של משוואה רגילה או מערכת משוואות. וכאן מתמטיקה בבית ספר רגיל תעזור לך.

דוגמאות:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

ויכוח ומשמעות

קוסינוס של זווית חדה

קוסינוס של זווית חדהניתן לקבוע באמצעות משולש ישר זווית - זה שווה ליחס בין הרגל הסמוכה לתחתית.

דוגמא :

1) תינתן זווית ואנחנו צריכים לקבוע את הקוסינוס של זווית זו.

2) הבה נשלים כל משולש ישר זווית על זווית זו.

3) לאחר שנמדדו את הצדדים הנדרשים, נוכל לחשב את הקוסינוס.

קוסינוס של מספר

מעגל המספרים מאפשר לך לקבוע את הקוסינוס של כל מספר, אבל בדרך כלל אתה מוצא את הקוסינוס של מספרים קשור איכשהו ל: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

לדוגמה, עבור המספר \(\frac(π)(6)\) - הקוסינוס יהיה שווה ל-\(\frac(\sqrt(3))(2)\) . ועבור המספר \(-\)\(\frac(3π)(4)\) הוא יהיה שווה ל-\(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (בערך \ (-0 ,71\)).

לקוסינוס עבור מספרים אחרים שנתקלים בהם לעתים קרובות בפועל, ראה.

ערך הקוסינוס נמצא תמיד בטווח שבין \(-1\) ל-\(1\). במקרה זה, ניתן לחשב את הקוסינוס עבור כל זווית ומספר.

קוסינוס מכל זווית

הודות ל עיגול מספריםאתה יכול לקבוע את הקוסינוס של לא רק של זווית חדה, אלא גם של קוסינוס קהה, שלילי ואפילו גדול מ-\(360°\) (מהפכה מלאה). איך לעשות זאת קל יותר לראות פעם אחת מאשר לשמוע \(100\) פעמים, אז תסתכל על התמונה.

עכשיו הסבר: נניח שעלינו לקבוע את הקוסינוס של הזווית KOAעם מדידת מעלות ב-\(150°\). משלב את הנקודה על אודותעם מרכז המעגל, והצד בסדר– עם ציר \(x\). לאחר מכן, הניחו בצד \(150°\) נגד כיוון השעון. אחר כך הסמין של הנקודה איראה לנו את הקוסינוס של זווית זו.

אם אנו מעוניינים בזווית עם מידה של מעלות, למשל, ב-\(-60°\) (זווית KOV), אנחנו עושים את אותו הדבר, אבל אנחנו מגדירים \(60°\) עם כיוון השעון.

ולבסוף, הזווית גדולה מ-\(360°\) (זווית CBS) - הכל דומה לטיפש, רק לאחר סיבוב שלם עם כיוון השעון, אנו הולכים למעגל השני ו"מקבלים את היעדר מעלות". באופן ספציפי, במקרה שלנו, הזווית \(405°\) משורטטת כ-\(360° + 45°\).

קל לנחש שכדי לשרטט זווית, למשל, ב-\(960°\), צריך לבצע שני סיבובים (\(360°+360°+240°\)), ולזווית ב-\(2640) °\) - שבעה שלמים.

כפי שניתן להחליף, גם הקוסינוס של מספר וגם הקוסינוס של זווית שרירותית מוגדרים כמעט זהים. רק הדרך שבה הנקודה נמצאת על המעגל משתנה.

סימני קוסינוס לפי רבעים

באמצעות ציר הקוסינוס (כלומר, ציר האבשיסה, המודגש באדום באיור), קל לקבוע את הסימנים של הקוסינוסים לאורך המעגל המספרי (הטריגונומטרי):

כאשר הערכים על הציר הם מ-\(0\) עד \(1\), לקוסינוס יהיה סימן פלוס (רבעי I ו-IV - אזור ירוק),
- כאשר הערכים על הציר הם מ-\(0\) עד \(-1\), לקוסינוס יהיה סימן מינוס (רבעים II ו-III - אזור סגול).

קשר לפונקציות טריגונומטריות אחרות:

- אותה זווית (או מספר): ראשי זהות טריגונומטרית\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- אותה זווית (או מספר): לפי הנוסחה \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- והסינוס של אותה זווית (או מספר): הנוסחה \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
לנוסחאות אחרות הנפוצות ביותר בשימוש, ראה.

פתרון המשוואה \(\cos⁡x=a\)

הפתרון למשוואה \(\cos⁡x=a\), כאשר \(a\) הוא מספר שאינו גדול מ-\(1\) ולא פחות מ-\(-1\), כלומר. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

אם \(a>1\) או \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

דוגמא . פתרו את המשוואה הטריגונומטרית \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
פִּתָרוֹן:

בואו נפתור את המשוואה באמצעות עיגול המספרים. לזה:
1) בואו נבנה את הצירים.
2) בואו נבנה מעגל.
3) על ציר הקוסינוס (ציר \(y\)) סמן את הנקודה \(\frac(1)(2)\) .
4) צייר מאונך לציר הקוסינוס דרך נקודה זו.
5) סמן את נקודות החיתוך של הניצב והמעגל.
6) בוא נחתום על הערכים של הנקודות האלה: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) בואו נרשום את כל הערכים התואמים לנקודות אלו באמצעות הנוסחה \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

תשובה: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

פונקציה \(y=\cos(x)\)

אם נשרטט את הזוויות ברדיאנים לאורך ציר \(x\), ואת ערכי הקוסינוס התואמים לזוויות אלו לאורך ציר \(y\), נקבל את הגרף הבא:

גרף זה נקרא ויש לו את המאפיינים הבאים:

תחום ההגדרה הוא כל ערך של x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- טווח ערכים – מ-\(-1\) עד \(1\) כולל: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- אפילו: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- תקופתי עם נקודה \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- נקודות חיתוך עם צירי קואורדינטות:
ציר אבשיסה: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), כאשר \(n ϵ Z\)
ציר Y: \((0;1)\)
- מרווחי קביעות של סימן:
הפונקציה חיובית על המרווחים: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), כאשר \(n ϵ Z\)
הפונקציה שלילית על המרווחים: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), כאשר \(n ϵ Z\)
- מרווחי עלייה וירידה:
הפונקציה גדלה במרווחים: \((π+2πn;2π+2πn)\), כאשר \(n ϵ Z\)
הפונקציה יורדת במרווחים: \((2πn;π+2πn)\), כאשר \(n ϵ Z\)
- מקסימום ומינימום של הפונקציה:
לפונקציה יש ערך מרבי \(y=1\) בנקודות \(x=2πn\), כאשר \(n ϵ Z\)
לפונקציה יש ערך מינימלי \(y=-1\) בנקודות \(x=π+2πn\), כאשר \(n ϵ Z\).