מצריך ידע בנוסחאות הבסיסיות של הטריגונומטריה - סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס, ביטוי הטנגנס דרך סינוס וקוסינוס ועוד. למי ששכח אותם או לא מכיר אותם, אנו ממליצים לקרוא את המאמר "".
אז, העיקריים שבהם נוסחאות טריגונומטריותאנחנו יודעים שהגיע הזמן ליישם אותם. פתרון משוואות טריגונומטריותעם הגישה הנכונה, זו פעילות די מרגשת, כמו, למשל, פתרון קוביית רוביק.

על סמך השם עצמו, ברור שמשוואה טריגונומטרית היא משוואה שבה הלא נודע נמצא בסימן הפונקציה הטריגונומטרית.
יש מה שנקרא משוואות טריגונומטריות הפשוטות ביותר. כך הם נראים: sinx = a, cos x = a, tan x = a. בואו נשקול איך לפתור משוואות טריגונומטריות כאלה, למען הבהירות נשתמש במעגל הטריגונומטרי המוכר כבר.

sinx = א

cos x = a

tan x = a

מיטת תינוק x = א

כל משוואה טריגונומטרית נפתרת בשני שלבים: אנו מצמצמים את המשוואה לצורתה הפשוטה ביותר ואז פותרים אותה כמשוואה טריגונומטרית פשוטה.
ישנן 7 שיטות עיקריות שבהן פותרים משוואות טריגונומטריות.

1. החלפה משתנה ושיטת החלפה

פתרו את המשוואה 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

באמצעות נוסחאות ההפחתה נקבל:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

החלף cos(x + /6) ב-y כדי לפשט ולקבל את הרגיל משוואה ריבועית:

2y 2 – 3y + 1 + 0

השורשים שלהם הם y 1 = 1, y 2 = 1/2

עכשיו בוא נלך בסדר הפוך

אנו מחליפים את הערכים שנמצאו של y ומקבלים שתי אפשרויות תשובה:

2. פתרון משוואות טריגונומטריות באמצעות פירוק לגורמים

איך פותרים את המשוואה sin x + cos x = 1?

בואו נזיז הכל שמאלה כך ש-0 יישאר בצד ימין:

sin x + cos x – 1 = 0

הבה נשתמש בזהויות שנדונו לעיל כדי לפשט את המשוואה:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

בואו נחלק לגורמים:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

נקבל שתי משוואות

3. הפחתה למשוואה הומוגנית

משוואה היא הומוגנית ביחס לסינוס ולקוסינוס אם כל האיברים שלה הם יחסיים לסינוס ולקוסינוס של אותה החזקה של אותה זווית. כדי לפתור משוואה הומוגנית, בצע את הפעולות הבאות:

א) להעביר את כל חבריה ל צד שמאל;

ב) להוציא את כל הגורמים הנפוצים מסוגריים;

ג) השוו את כל הגורמים והסוגריים ל-0;

ד) התקבל בסוגריים משוואה הומוגניתבמידה פחותה, זה בתורו מחולק לסינוס או קוסינוס ברמה הגבוהה ביותר;

ה) לפתור את המשוואה המתקבלת עבור tg.

פתרו את המשוואה 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

בוא נשתמש בנוסחה sin 2 x + cos 2 x = 1 ונפטר מהשניים הפתוחים מימין:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

לחלק ב-cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

החלף את tan x ב-y וקבל משוואה ריבועית:

y 2 + 4y +3 = 0, שהשורשים שלהם הם y 1 =1, y 2 = 3

מכאן נמצא שני פתרונות למשוואה המקורית:

x 2 = arctan 3 + k

4. פתרון משוואות דרך המעבר לחצי זווית

פתרו את המשוואה 3sin x – 5cos x = 7

נעבור ל-x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

בואו נזיז הכל שמאלה:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

חלק ב-cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. מבוא של זווית עזר

לשיקול, ניקח משוואה בצורה: a sin x + b cos x = c,

כאשר a, b, c הם כמה מקדמים שרירותיים, ו-x הוא לא ידוע.

נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב:



כעת למקדמי המשוואה, לפי נוסחאות טריגונומטריות, יש את המאפיינים sin ו-cos, כלומר: המודולוס שלהם אינו עולה על 1 וסכום הריבועים = 1. הבה נסמן אותם בהתאמה כ-cos ו-sin, כאשר - זהו מה שנקרא זווית עזר. לאחר מכן המשוואה תקבל את הצורה:

cos * sin x + sin * cos x = C

או sin(x + ) = C

הפתרון למשוואה הטריגונומטרית הפשוטה ביותר הוא

x = (-1) k * arcsin C - + k, שבו



יש לציין שהסימונים cos ו-sin ניתנים להחלפה.

פתרו את המשוואה sin 3x – cos 3x = 1

המקדמים במשוואה זו הם:

a = , b = -1, אז חלקו את שני הצדדים ב- = 2

שיעור ביישום משולב של ידע.

מטרות השיעור.

1. לשקול שיטות שונותפתרון משוואות טריגונומטריות.
2. התפתחות יְצִירָתִיוּתתלמידים על ידי פתרון משוואות.
3. עידוד תלמידים לשליטה עצמית, שליטה הדדית וניתוח עצמי של פעילותם החינוכית.

ציוד: מסך, מקרן, חומר עזר.

במהלך השיעורים

שיחת היכרות.

השיטה העיקרית לפתרון משוואות טריגונומטריות היא צמצום לצורתן הפשוטה ביותר. במקרה זה, השיטות הרגילות משמשות, למשל, פירוק לגורמים, כמו גם טכניקות המשמשות רק לפתרון משוואות טריגונומטריות. יש די הרבה מהטכניקות האלה, למשל, החלפות טריגונומטריות שונות, טרנספורמציות זווית, טרנספורמציות פונקציות טריגונומטריות. יישום חסר הבחנה של כל טרנספורמציה טריגונומטרית בדרך כלל אינו מפשט את המשוואה, אלא מסבך אותה בצורה קטסטרופלית. להתאמן ב קווי מתאר כללייםתוכנית לפתרון המשוואה, מתווה דרך לצמצם את המשוואה לפשוטה ביותר, תחילה עליך לנתח את הזוויות - הארגומנטים של הפונקציות הטריגונומטריות הכלולות במשוואה.

היום נדבר על שיטות לפתרון משוואות טריגונומטריות. השיטה שנבחרה נכון יכולה פעמים רבות לפשט משמעותית את הפתרון, ולכן יש לזכור תמיד את כל השיטות שלמדנו על מנת לפתור משוואות טריגונומטריות בשיטה המתאימה ביותר.

II. (באמצעות מקרן, אנו חוזרים על השיטות לפתרון משוואות.)

1. שיטת הפחתת משוואה טריגונומטרית לאלגברית.

יש צורך לבטא את כל הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות אחת, עם אותו ארגומנט. ניתן לעשות זאת באמצעות הזהות הטריגונומטרית הבסיסית והשלכותיה. נקבל משוואה עם פונקציה טריגונומטרית אחת. אם ניקח את זה כאל לא ידוע חדש, נקבל משוואה אלגברית. אנו מוצאים את שורשיו וחוזרים אל הלא נודע הישן, פותרים את המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר.

2. שיטת פקטוריזציה.

כדי לשנות זוויות, לרוב שימושיות נוסחאות להפחתה, סכום והפרש של ארגומנטים, כמו גם נוסחאות להמרת הסכום (ההפרש) של פונקציות טריגונומטריות למכפלה ולהיפך.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. שיטת הכנסת זווית נוספת.

4. שיטת שימוש בהחלפה אוניברסלית.

משוואות בצורת F(sinx, cosx, tanx) = 0 מופחתות לאלגבריות באמצעות החלפה טריגונומטרית אוניברסלי

הבעת סינוס, קוסינוס וטנגנס במונחים של טנגנס של חצי זווית. טכניקה זו יכולה להוביל למשוואה מסדר גבוה יותר. הפתרון לזה קשה.

כשפותרים רבים בעיות מתמטיות, במיוחד אלו המתרחשים לפני כיתה י', סדר הפעולות שבוצעו שיובילו למטרה מוגדר בבירור. בעיות כאלה כוללות, למשל, משוואות ליניאריות וריבועיות, ליניאריות ו אי שוויון ריבועי, משוואות שבריםומשוואות שמצטמצמות לריבועיות. העיקרון של פתרון מוצלח של כל אחת מהבעיות שהוזכרו הוא כדלקמן: אתה צריך לקבוע איזה סוג של בעיה אתה פותר, לזכור את רצף הפעולות הדרוש שיוביל לתוצאה הרצויה, כלומר. ענה ובצע את השלבים הבאים.

ברור שהצלחה או כישלון בפתרון בעיה מסוימת תלויים בעיקר באיזו צורה נכונה נקבע סוג המשוואה הנפתרת, באיזו מידה משוחזר הרצף של כל שלבי הפתרון שלה בצורה נכונה. כמובן, במקרה זה יש צורך בכישורים לבצע טרנספורמציות וחישובים זהים.

המצב שונה עם משוואות טריגונומטריות.לא קשה כלל לקבוע את העובדה שהמשוואה היא טריגונומטרית. מתעוררים קשיים בעת קביעת רצף הפעולות שיובילו לתשובה הנכונה.

על ידי מראה חיצוניבמשוואה, לפעמים קשה לקבוע את סוגה. ומבלי לדעת את סוג המשוואה, כמעט בלתי אפשרי לבחור את המשוואה הנכונה מתוך כמה עשרות נוסחאות טריגונומטריות.

כדי לפתור משוואה טריגונומטרית, עליך לנסות:

1. להביא את כל הפונקציות הכלולות במשוואה ל"אותן זוויות";
2. להביא את המשוואה ל"פונקציות זהות";
3. פקוד את הצד השמאלי של המשוואה וכו'.

בואו נשקול שיטות בסיסיות לפתרון משוואות טריגונומטריות.

I. הפחתה למשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר

דיאגרמת פתרון

שלב 1.הביעו פונקציה טריגונומטרית במונחים של רכיבים ידועים.

שלב 2.מצא את ארגומנט הפונקציה באמצעות הנוסחאות:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

שלב 3.מצא את המשתנה הלא ידוע.

דוגמא.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

פִּתָרוֹן.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

תשובה: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. החלפה משתנה

דיאגרמת פתרון

שלב 1.הפחת את המשוואה לצורה אלגברית ביחס לאחת מהפונקציות הטריגונומטריות.

שלב 2.סמן את הפונקציה המתקבלת באמצעות המשתנה t (אם יש צורך, הכנס הגבלות על t).

שלב 3.רשום ופתר את המשוואה האלגברית שהתקבלה.

שלב 4.בצע החלפה הפוכה.

שלב 5.פתרו את המשוואה הטריגונומטרית הפשוטה ביותר.

דוגמא.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

פִּתָרוֹן.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) תנו ל-sin (x/2) = t, כאשר |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 או e = -3/2, אינו עומד בתנאי |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

תשובה: x = π + 4πn, n Є Z.

III. שיטת הפחתת סדר המשוואה

דיאגרמת פתרון

שלב 1.החלף משוואה זו במשוואה ליניארית, תוך שימוש בנוסחה להפחתת התואר:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

שלב 2.פתרו את המשוואה המתקבלת באמצעות שיטות I ו-II.

דוגמא.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

פִּתָרוֹן.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

תשובה: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. משוואות הומוגניות

דיאגרמת פתרון

שלב 1.צמצם את המשוואה הזו לצורה

א) a sin x + b cos x = 0 (משוואה הומוגנית מהמעלה הראשונה)

או לנוף

ב) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (משוואה הומוגנית מהמעלה השנייה).

שלב 2.מחלקים את שני הצדדים של המשוואה ב

א) cos x ≠ 0;

ב) cos 2 x ≠ 0;

וקבל את המשוואה עבור tan x:

א) a tan x + b = 0;

ב) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

שלב 3.פתרו את המשוואה בשיטות מוכרות.

דוגמא.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

פִּתָרוֹן.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) אז תן tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 או t = -4, כלומר

tg x = 1 או tg x = -4.

מהמשוואה הראשונה x = π/4 + πn, n Є Z; מהמשוואה השנייה x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

תשובה: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. שיטת הפיכת משוואה באמצעות נוסחאות טריגונומטריות

דיאגרמת פתרון

שלב 1.בעזרת כל הנוסחאות הטריגונומטריות האפשריות, צמצם את המשוואה הזו למשוואה שנפתרה בשיטות I, II, III, IV.

שלב 2.פתרו את המשוואה המתקבלת באמצעות שיטות ידועות.

דוגמא.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

פִּתָרוֹן.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 או 2cos x + 1 = 0;

מהמשוואה הראשונה 2x = π/2 + πn, n Є Z; מהמשוואה השנייה cos x = -1/2.

יש לנו x = π/4 + πn/2, n Є Z; מהמשוואה השנייה x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

כתוצאה מכך, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

תשובה: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

היכולת והמיומנות לפתור משוואות טריגונומטריות היא מאוד חשוב, התפתחותם דורשת מאמץ משמעותי, הן מצד התלמיד והן מצד המורה.

בעיות רבות של סטריאומטריה, פיזיקה וכו' קשורות לפתרון משוואות טריגונומטריות.תהליך פתרון בעיות כאלה מגלם בתוכו רבים מהידע והמיומנויות הנרכשים על ידי לימוד יסודות הטריגונומטריה.

משוואות טריגונומטריותלִכבּוֹשׁ מקום חשובבתהליך הוראת מתמטיקה ופיתוח אישיות בכלל.

עדיין יש לך שאלות? לא יודע איך לפתור משוואות טריגונומטריות?
כדי לקבל עזרה ממורה, הירשם.
השיעור הראשון חינם!

באתר, בעת העתקת חומר במלואו או בחלקו, נדרש קישור למקור.

מושג פתרון משוואות טריגונומטריות.

• כדי לפתור משוואה טריגונומטרית, המר אותה למשוואה טריגונומטרית אחת או יותר. פתרון משוואה טריגונומטרית מסתכם בסופו של דבר בפתרון ארבע המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות.

פתרון משוואות טריגונומטריות בסיסיות.

• ישנם 4 סוגים של משוואות טריגונומטריות בסיסיות:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• פתרון משוואות טריגונומטריות בסיסיות כרוך בהתייחסות למיקומי ה- "x" השונים על מעגל יחידה, ושימוש בטבלת המרה (או מחשבון).
• דוגמה 1. sin x = 0.866. באמצעות טבלת המרה (או מחשבון) תקבלו את התשובה: x = π/3. מעגל היחידה נותן תשובה נוספת: 2π/3. זכור: כל הפונקציות הטריגונומטריות הן תקופתיות, כלומר הערכים שלהן חוזרים על עצמם. לדוגמה, המחזוריות של sin x ושל cos x היא 2πn, והמחזוריות של tg x ו-ctg x היא πn. לכן התשובה כתובה כך:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• דוגמה 2. cos x = -1/2. באמצעות טבלת המרה (או מחשבון) תקבלו את התשובה: x = 2π/3. מעגל היחידה נותן תשובה נוספת: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• דוגמה 3. tg (x - π/4) = 0.
• תשובה: x = π/4 + πn.
• דוגמה 4. ctg 2x = 1.732.
• תשובה: x = π/12 + πn.

טרנספורמציות המשמשות בפתרון משוואות טריגונומטריות.

• כדי להפוך משוואות טריגונומטריות, נעשה שימוש בטרנספורמציות אלגבריות (פקטוריזציה, הפחתה חברים הומוגנייםוכו') ו זהויות טריגונומטריות.
• דוגמה 5: באמצעות זהויות טריגונומטריות, המשוואה sin x + sin 2x + sin 3x = 0 מומרת למשוואה 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. לפיכך, המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות הבאות צריך לפתור: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• מציאת זוויות על ידי ערכים ידועיםפונקציות.

  • לפני שלומדים כיצד לפתור משוואות טריגונומטריות, עליך ללמוד כיצד למצוא זוויות באמצעות ערכי פונקציה ידועים. ניתן לעשות זאת באמצעות טבלת המרה או מחשבון.
  • דוגמה: cos x = 0.732. המחשבון ייתן את התשובה x = 42.95 מעלות. מעגל היחידה ייתן זוויות נוספות, שגם הקוסינוס שלהן הוא 0.732.

• הניחו בצד את הפתרון על מעגל היחידה.

  • אתה יכול לשרטט פתרונות למשוואה טריגונומטרית על מעגל היחידה. פתרונות למשוואה טריגונומטרית במעגל היחידה הם הקודקודים של מצולע רגיל.
  • דוגמה: הפתרונות x = π/3 + πn/2 במעגל היחידה מייצגים את קודקודי הריבוע.
  • דוגמה: הפתרונות x = π/4 + πn/3 במעגל היחידה מייצגים את הקודקודים של משושה רגיל.

• שיטות לפתרון משוואות טריגונומטריות.

  • אם משוואה טריגונומטרית נתונה מכילה רק פונקציה טריגונומטרית אחת, פתרו את המשוואה כמשוואה טריגונומטרית בסיסית. אם משוואה נתונה כוללת שתי פונקציות טריגונומטריות או יותר, אז ישנן 2 שיטות לפתרון משוואה כזו (בהתאם לאפשרות הטרנספורמציה שלה).
    • שיטה 1.
  • הפוך את המשוואה הזו למשוואה בצורה: f(x)*g(x)*h(x) = 0, כאשר f(x), g(x), h(x) הן המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות.
  • דוגמה 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • פִּתָרוֹן. באמצעות נוסחת הזווית הכפולה sin 2x = 2*sin x*cos x, החלף sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. כעת פתרו את שתי המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות: cos x = 0 ו-(sin x + 1) = 0.
  • דוגמה 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • פתרון: בעזרת זהויות טריגונומטריות, הפוך את המשוואה הזו למשוואה בצורה: cos 2x(2cos x + 1) = 0. כעת פתרו את שתי המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות: cos 2x = 0 ו-(2cos x + 1) = 0.
  • דוגמה 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • פתרון: בעזרת זהויות טריגונומטריות, הפוך את המשוואה הזו למשוואה בצורה: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. כעת פתרו את שתי המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות: cos 2x = 0 ו-(2sin x + 1) = 0 .
    • שיטה 2.
  • המר את המשוואה הטריגונומטרית הנתונה למשוואה המכילה רק פונקציה טריגונומטרית אחת. לאחר מכן החלף את הפונקציה הטריגונומטרית הזו באחת לא ידועה, למשל, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t וכו').
  • דוגמה 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • פִּתָרוֹן. במשוואה זו, החלף (cos^2 x) ב-(1 - sin^2 x) (לפי הזהות). המשוואה שעברה טרנספורמציה היא:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. החלף את sin x ב-t. כעת המשוואה נראית כך: 5t^2 - 4t - 9 = 0. זוהי משוואה ריבועית שיש לה שני שורשים: t1 = -1 ו-t2 = 9/5. השורש השני t2 אינו עומד בטווח הפונקציות (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • דוגמה 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • פִּתָרוֹן. החלף את tg x ב-t. כתוב מחדש את המשוואה המקורית באופן הבא: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. כעת מצא את t ואז מצא את x עבור t = tan x.

משוואות טריגונומטריות הן נושא לא קל. הם מגוונים מדי.) לדוגמה, אלה:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

וכו...

אבל למפלצות הטריגונומטריות הללו (ולכל שאר) יש שתי תכונות משותפות ומחייבות. ראשית - לא תאמינו - יש פונקציות טריגונומטריות במשוואות.) שנית: כל הביטויים עם x נמצאים בתוך אותן פונקציות.ורק שם! אם X מופיע איפשהו בחוץ,לדוגמה, sin2x + 3x = 3,זו כבר תהיה משוואה סוג מעורב. משוואות כאלה דורשות גישה אינדיבידואלית. לא נשקול אותם כאן.

גם בשיעור זה לא נפתור משוואות רעות.) כאן נעסוק המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר.למה? כן כי הפתרון כלמשוואות טריגונומטריות מורכבות משני שלבים. בשלב הראשון, משוואת הרע מצטמצמת לפשוטה באמצעות מגוון של טרנספורמציות. בשני, המשוואה הפשוטה ביותר נפתרת. אין דרך אחרת.

אז אם יש לך בעיות בשלב השני, השלב הראשון לא הגיוני במיוחד.)

איך נראות משוואות טריגונומטריות יסודיות?

sinx = א

cosx = א

tgx = a

ctgx = a

כאן א מייצג כל מספר. כל.

אגב, בתוך פונקציה אולי אין X טהור, אלא סוג של ביטוי, כמו:

cos(3x+π /3) = 1/2

וכו ' זה מסבך את החיים, אבל לא משפיע על שיטת הפתרון של משוואה טריגונומטרית.

איך פותרים משוואות טריגונומטריות?

ניתן לפתור משוואות טריגונומטריות בשתי דרכים. הדרך הראשונה: שימוש בלוגיקה והמעגל הטריגונומטרי. נבחן את הדרך הזו כאן. הדרך השנייה - שימוש בזיכרון ובנוסחאות - תידון בשיעור הבא.

הדרך הראשונה ברורה, אמינה וקשה לשכוח.) היא טובה לפתרון משוואות טריגונומטריות, אי שוויון וכל מיני דוגמאות לא סטנדרטיות מסובכות. ההיגיון חזק יותר מהזיכרון!)

פתרון משוואות באמצעות עיגול טריגונומטרי.

אנו כוללים לוגיקה אלמנטרית ויכולת להשתמש במעגל הטריגונומטרי. אתה לא יודע איך? עם זאת... יהיה לך קשה בטריגונומטריה...) אבל זה לא משנה. תסתכל על השיעורים "מעגל טריגונומטרי...... מה זה?" ו"מדידת זוויות במעגל טריגונומטרי". הכל פשוט שם. בניגוד לספרי לימוד...)

אה, אתה יודע!? ואפילו שלטו ב"עבודה מעשית עם המעגל הטריגונומטרי"!? מזל טוב. הנושא הזה יהיה קרוב ומובן לך.) מה שמשמח במיוחד הוא שלמעגל הטריגונומטרי לא אכפת איזו משוואה אתה פותר. סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט - הכל אותו דבר עבורו. יש רק עקרון פתרון אחד.

אז ניקח כל משוואה טריגונומטרית יסודית. לפחות זה:

cosx = 0.5

אנחנו צריכים למצוא את X. מדברים בשפה אנושית, אתה צריך מצא את הזווית (x) שהקוסינוס שלה הוא 0.5.

כיצד השתמשנו בעבר במעגל? ציירנו על זה זווית. במעלות או ברדיאנים. ומיד ראה פונקציות טריגונומטריות של זווית זו. עכשיו בואו נעשה את ההיפך. נצייר קוסינוס על המעגל השווה ל-0.5 ומיד נראה פינה. כל מה שנותר הוא לרשום את התשובה.) כן, כן!

צייר עיגול וסמן את הקוסינוס שווה ל-0.5. על ציר הקוסינוס, כמובן. ככה:

עכשיו בואו נצייר את הזווית שהקוסינוס הזה נותן לנו. העבר את העכבר מעל התמונה (או גע בתמונה בטאבלט), וכן תראההפינה הזו בדיוק איקס.

הקוסינוס של איזו זווית הוא 0.5?

x = π /3

חַסַת עָלִים 60°= cos( π /3) = 0,5

יש אנשים שיצחקקו בספקנות, כן... כאילו, האם היה כדאי לעשות עיגול כשהכל כבר ברור... אפשר כמובן לגחך...) אבל העובדה היא שזו תשובה מוטעית. או יותר נכון, לא מספיק. אניני מעגלים מבינים שיש כאן חבורה שלמה של זוויות אחרות שגם נותנות קוסינוס של 0.5.

אם תסובב את הצד הנע OA סיבוב מלא, נקודה A תחזור למיקומה המקורי. עם אותו קוסינוס שווה ל-0.5. הָהֵן. הזווית תשתנהב-360° או 2π רדיאנים, ו קוסינוס - לא.הזווית החדשה 60° + 360° = 420° תהיה גם פתרון למשוואה שלנו, מכיוון

אפשר לעשות אינסוף מהפכות שלמות כאלה... וכל הזוויות החדשות הללו יהיו פתרונות למשוואה הטריגונומטרית שלנו. ואת כולם צריך לכתוב איכשהו בתגובה. את כל.אחרת, ההחלטה לא נחשבת, כן...)

מתמטיקה יכולה לעשות זאת בפשטות ובאלגנטיות. רשום בתשובה אחת קצרה סט אינסופיהחלטות. כך זה נראה עבור המשוואה שלנו:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

אני אפענח את זה. עדיין תכתוב בצורה משמעותיתזה יותר נעים מלצייר בטיפשות כמה אותיות מסתוריות, נכון?)

π /3 - זו אותה פינה שאנחנו ראהעל המעגל ו נחוש בדעתולפי טבלת הקוסינוס.

2π הוא מהפכה אחת שלמה ברדיאנים.

נ - זהו מספר השלמים, כלומר. כֹּלסל"ד זה ברור ש נ יכול להיות שווה ל-0, ±1, ±2, ±3.... וכן הלאה. כפי שמצוין ברשומה קצרה:

n ∈ Z

נ שייך ( ∈ ) קבוצה של מספרים שלמים ( ז ). אגב, במקום המכתב נ בהחלט ניתן להשתמש באותיות ק, מ, ט וכו '

סימון זה אומר שאתה יכול לקחת כל מספר שלם נ . לפחות -3, לפחות 0, לפחות +55. מה שתרצה. אם תחליף את המספר הזה בתשובה, תקבל זווית מסוימת, שבהחלט תהיה הפתרון למשוואה הקשה שלנו.)

או, במילים אחרות, x = π /3 הוא השורש היחיד של קבוצה אינסופית. כדי לקבל את כל שאר השורשים, מספיק להוסיף כל מספר של סיבובים מלאים ל-π /3 ( נ ) ברדיאנים. הָהֵן. 2πn רדיאן.

את כל? לא. אני מאריך בכוונה את התענוג. לזכור טוב יותר.) קיבלנו רק חלק מהתשובות למשוואה שלנו. אני אכתוב את החלק הראשון של הפתרון כך:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - לא רק שורש אחד, אלא סדרה שלמה של שורשים, כתובים בצורה קצרה.

אבל יש גם זוויות שנותנות גם קוסינוס של 0.5!

נחזור לתמונה שלנו ממנה רשמנו את התשובה. הנה היא:

העבר את העכבר מעל התמונה ו אנחנו מביניםזווית אחרת כי נותן גם קוסינוס של 0.5.למה אתה חושב שזה שווה? המשולשים זהים... כן! הוא שווה לזווית איקס , רק מתעכב בכיוון השלילי. זו הפינה -איקס. אבל כבר חישבנו את x. π /3 או 60°. לכן, אנו יכולים לכתוב בבטחה:

x 2 = - π /3

ובכן, כמובן, אנו מוסיפים את כל הזוויות המתקבלות באמצעות מהפכות מלאות:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

זה הכל עכשיו.) על המעגל הטריגונומטרי אנחנו ראה(מי מבין, כמובן)) את כלזוויות שנותנות קוסינוס של 0.5. ורשמנו את הזוויות הללו בצורה מתמטית קצרה. התשובה הביאה לשתי סדרות אינסופיות של שורשים:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

זו התשובה הנכונה.

לְקַווֹת, עקרון כללי לפתרון משוואות טריגונומטריותהשימוש במעגל ברור. נסמן על מעגל את הקוסינוס (סינוס, טנגנס, קוטנגנט) מהמשוואה הנתונה, נצייר את הזוויות המתאימות לו ורשום את התשובה.כמובן, אנחנו צריכים להבין באילו פינות אנחנו ראהעל המעגל. לפעמים זה לא כל כך ברור. ובכן, אמרתי שנדרשת היגיון כאן.)

לדוגמה, בואו נסתכל על משוואה טריגונומטרית אחרת:

בבקשה קחו בחשבון שהמספר 0.5 הוא לא המספר האפשרי היחיד במשוואות!) פשוט יותר נוח לי לכתוב אותו מאשר שורשים ושברים.

אנו עובדים על פי העיקרון הכללי. אנו מציירים עיגול, מסמנים (על ציר הסינוס, כמובן!) 0.5. אנו מציירים את כל הזוויות המתאימות לסינוס זה בבת אחת. אנחנו מקבלים את התמונה הזאת:

בוא נעסוק קודם כל בזווית איקס ברבעון הראשון. אנו זוכרים את טבלת הסינוסים וקובעים את ערכה של זווית זו. זה עניין פשוט:

x = π /6

אנו זוכרים על פניות מלאות, ובמצפון נקי, רושמים את סדרת התשובות הראשונה:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

חצי מהעבודה בוצעה. אבל עכשיו אנחנו צריכים לקבוע פינה שנייה...זה מסובך יותר משימוש בקוסינוסים, כן... אבל ההיגיון יציל אותנו! כיצד לקבוע את הזווית השנייה דרך x? כן קל! המשולשים בתמונה זהים, והפינה האדומה איקס שווה לזווית איקס . רק הוא נספר מהזווית π בכיוון השלילי. לכן זה אדום.) ולתשובה אנחנו צריכים זווית, נמדדת נכון, מהציר החצי החיובי OX, כלומר. מזווית של 0 מעלות.

נרחף עם הסמן מעל הציור ורואים הכל. הסרתי את הפינה הראשונה כדי לא לסבך את התמונה. הזווית בה אנו מעוניינים (מצויירת בירוק) תהיה שווה ל:

π - x

X אנחנו יודעים את זה π /6 . לכן, הזווית השנייה תהיה:

π - π /6 = 5π /6

שוב אנו זוכרים על הוספת מהפכות מלאות ורשום את סדרת התשובות השנייה:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

זה הכל. תשובה מלאה מורכבת משתי סדרות של שורשים:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

ניתן לפתור בקלות משוואות טנגנטים וקוטנגנטים באמצעות אותו עיקרון כללי לפתרון משוואות טריגונומטריות. אם, כמובן, אתה יודע לצייר משיק וקוטנגנט על מעגל טריגונומטרי.

בדוגמאות למעלה השתמשתי בערך הטבלה של סינוס וקוסינוס: 0.5. הָהֵן. אחת מאותן משמעויות שהתלמיד יודע צריך.עכשיו בואו נרחיב את היכולות שלנו ל כל שאר הערכים.תחליט, אז תחליט!)

אז נניח שעלינו לפתור את המשוואה הטריגונומטרית הזו:

כזה ערך קוסינוס ב טבלאות קצרותלא. אנו מתעלמים בקרירות מהעובדה הנוראה הזו. צייר עיגול, סמן 2/3 על ציר הקוסינוס וצייר את הזוויות המתאימות. אנחנו מקבלים את התמונה הזו.

בואו נסתכל, ראשית, על הזווית ברבע הראשון. לו רק היינו יודעים למה שווה x, מיד היינו רושמים את התשובה! אנחנו לא יודעים... כישלון!? לְהַרְגִיעַ! המתמטיקה לא משאירה את האנשים שלה בצרות! היא המציאה קוסינוס קשת עבור המקרה הזה. לא יודע? לשווא. גלה, זה הרבה יותר קל ממה שאתה חושב. אין כישוף מסובך אחד לגבי "פונקציות טריגונומטריות הפוכות" בקישור הזה... זה מיותר בנושא זה.

אם אתה יודע, פשוט אמור לעצמך: "X הוא זווית שהקוסינוס שלה שווה ל-2/3." ומיד, אך ורק לפי ההגדרה של arc cosinus, נוכל לכתוב:

אנו זוכרים את המהפכות הנוספות ורושמים בשלווה את סדרת השורשים הראשונה של המשוואה הטריגונומטרית שלנו:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

סדרת השורשים השנייה לזווית השנייה נרשמת כמעט אוטומטית. הכל אותו דבר, רק X (arccos 2/3) יהיה עם מינוס:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

וזה הכל! זו התשובה הנכונה. אפילו יותר קל מאשר עם ערכי טבלה. אין צורך לזכור כלום.) אגב, הקשובים ביותר ישימו לב שהתמונה הזו מציגה את הפתרון דרך קוסינוס הקשת בעצם, לא שונה מהתמונה עבור המשוואה cosx = 0.5.

בְּדִיוּק! עיקרון כלליבגלל זה זה נפוץ! ציירתי בכוונה שתי תמונות כמעט זהות. המעגל מראה לנו את הזווית איקס לפי הקוסינוס שלו. לא ידוע לכולם אם זה קוסינוס טבלאי או לא. איזה סוג של זווית זו, π /3, או מהו arc cosinus - זה תלוי בנו להחליט.

אותו שיר עם סינוס. לדוגמה:

צייר שוב עיגול, סמן את הסינוס שווה ל-1/3, צייר את הזוויות. זו התמונה שאנו מקבלים:

ושוב התמונה כמעט זהה למשוואה sinx = 0.5.שוב אנחנו מתחילים מהפינה ברבע הראשון. למה שווה X אם הסינוס שלו הוא 1/3? אין בעיה!

כעת חבילת השורשים הראשונה מוכנה:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

נעסוק בזווית השנייה. בדוגמה עם ערך טבלה של 0.5, זה היה שווה ל:

π - x

זה יהיה בדיוק אותו הדבר גם כאן! רק x שונה, arcsin 1/3. אז מה!? אתה יכול לכתוב בבטחה את חבילת השורשים השנייה:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

זו תשובה נכונה לחלוטין. למרות שזה לא נראה מאוד מוכר. אבל זה ברור, אני מקווה.)

כך פותרים משוואות טריגונומטריות באמצעות עיגול. דרך זו ברורה ומובנת. הוא זה ששומר במשוואות טריגונומטריות עם בחירת שורשים במרווח נתון, באי-שוויון טריגונומטרי - הם נפתרים בדרך כלל כמעט תמיד במעגל. בקיצור, בכל משימות קצת יותר קשות מהסטנדרטיות.

בואו ליישם ידע בפועל?)

פתרו משוואות טריגונומטריות:

ראשית, פשוט יותר, ישר מהשיעור הזה.

עכשיו זה יותר מסובך.

רמז: כאן תצטרכו לחשוב על המעגל. אישית.)

ועכשיו הם פשוטים כלפי חוץ... הם נקראים גם מקרים מיוחדים.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

רמז: כאן צריך להבין במעגל איפה יש שתי סדרות של תשובות ואיפה יש אחת... ואיך לכתוב אחת במקום שתי סדרות של תשובות. כן, כדי שאף שורש ממספר אינסופי לא יאבד!)

ובכן, פשוט מאוד):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

רמז: כאן אתה צריך לדעת מה הם arcsine ו- arccosine? מה זה arctangent, arccotangent? ההגדרות הפשוטות ביותר. אבל אתה לא צריך לזכור שום ערכי טבלה!)

התשובות הן, כמובן, בלאגן):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

לא הכל מסתדר? קורה. קרא שוב את השיעור. רק מתוך מחשבה(יש כזה מילה מיושנת...) ועקוב אחר הקישורים. הקישורים העיקריים הם על המעגל. בלעדיו, טריגונומטריה היא כמו חציית הכביש עם עיניים מכוסות. לפעמים זה עובד.)

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.