שאלה 1.אילו זוויות נקראות סמוכות?
תשובה.שתי זוויות נקראות סמוכות אם יש להן צד אחד משותף והצלעות האחרות של זוויות אלו הן קווים למחצה משלימים.
באיור 31, הפינות (a 1 b) ו- (a 2 b) צמודות. יש להם צלעות b משותפות, והצלעות a 1 ו-a 2 הן קווים למחצה נוספים.

שאלה 2.הוכיחו שסכום הזוויות הסמוכות הוא 180°.
תשובה. משפט 2.1.סכום הזוויות הסמוכות הוא 180°.
הוכחה.תן לזווית (a 1 b) ולזווית (a 2 b) זוויות סמוכות (ראה איור 31). הקורה b עוברת בין הצדדים a 1 ו- a 2 של הזווית המפותחת. לכן, סכום הזוויות (a 1 b) ו- (a 2 b) שווה לזווית המפותחת, כלומר 180 מעלות. Q.E.D.

שאלה 3.הוכח שאם שתי זוויות שוות, אז גם הזוויות הסמוכות להן שוות.
תשובה.

מתוך המשפט 2.1 מכאן נובע שאם שתי זוויות שוות, אזי הזוויות הסמוכות להן שוות.
נניח שהזוויות (a 1 b) ו- (c 1 d) שוות. עלינו להוכיח שגם הזוויות (a 2 b) ו- (c 2 d) שוות.
סכום הזוויות הסמוכות הוא 180°. מכאן נובע ש- a 1 b + a 2 b = 180° ו- c 1 d + c 2 d = 180°. לפיכך, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b ו c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. מכיוון שהזוויות (a 1 b) ו- (c 1 d) שוות, אנו מקבלים כי a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. לפי תכונת המעבר של סימן השוויון, יוצא ש-a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

שאלה 4.איזו זווית נקראת ישרה (חריפה, קהה)?
תשובה.זווית השווה ל-90° נקראת זווית ישרה.
זווית קטנה מ-90° נקראת זווית חדה.
זווית גדולה מ-90° ופחות מ-180° נקראת זווית קהה.

שאלה 5.הוכח שזווית צמודה לזווית ישרה היא זווית ישרה.
תשובה.מהמשפט על סכום הזוויות הסמוכות עולה שהזווית הסמוכה לזווית ישרה היא זווית ישרה: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

שאלה 6.מהן הזוויות האנכיות?
תשובה.שתי זוויות נקראות אנכיות אם הצלעות של זווית אחת הן חצאי הקווים המשלימים של הצלעות של האחרת.

שאלה 7.תוכיח את זה זוויות אנכיותשווים.
תשובה. משפט 2.2. זוויות אנכיות שוות.
הוכחה.תנו ל-(a 1 b 1) ו-(a 2 b 2) זוויות אנכיות (איור 34). הפינה (a 1 b 2) צמודה לפינה (a 1 b 1) ולפינה (a 2 b 2). מכאן, לפי המשפט על סכום הזוויות הסמוכות, אנו מסיקים שכל אחת מהזוויות (a 1 b 1) ו- (a 2 b 2) משלימה את הזווית (a 1 b 2) עד 180 מעלות, כלומר. הזוויות (a 1 b 1) ו- (a 2 b 2) שוות. Q.E.D.

שאלה 8.הוכח שאם במפגש של שני קווים אחת מהזוויות היא ישרה, אז גם שלוש הזוויות האחרות ישרות.
תשובה.נניח שהקווים AB ו-CD חותכים זה את זה בנקודה O. נניח שהזווית AOD היא 90°. מכיוון שסכום הזוויות הסמוכות הוא 180°, נקבל ש-AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. זווית COB אנכית לזווית AOD, כך שהן שוות. כלומר, הזווית COB = 90°. COA הוא אנכי ל-BOD, אז הם שווים. כלומר, הזווית BOD = 90°. לפיכך, כל הזוויות שוות ל-90 מעלות, כלומר, הן בסדר. Q.E.D.

שאלה 9.אילו קווים נקראים מאונכים? באיזה סימן משתמשים כדי לציין ניצב של קווים?
תשובה.שני קווים נקראים מאונכים אם הם נחתכים בזווית ישרה.
הניצב של קווים מסומן ב-\(\perp\). הערך \(a\perp b\) קורא: "קו a מאונך לקו b".

שאלה 10.הוכח שבאמצעות כל נקודה של קו אפשר לצייר קו מאונך אליה, ורק אחד.
תשובה. משפט 2.3.דרך כל קו ניתן לצייר קו מאונך אליו, ורק אחד.
הוכחה.תנו ל-a להיות קו נתון ו-A - נקודה נתונהעליה. סמן ב-1 אחד מחצאי הקווים בקו הישר a עם נקודת ההתחלה A (איור 38). הניחו בצד חצי קו a 1 את הזווית (a 1 b 1) השווה ל-90 מעלות. אז הקו המכיל את הקרן b 1 יהיה מאונך לישר a.

נניח שיש עוד ישר שעובר גם הוא בנקודה A והוא מאונך לישר א'. סמן ב-c 1 את חצי הקו של קו זה השוכן באותו חצי מישור עם הקרן b 1 .
זוויות (a 1 b 1) ו-(a 1 c 1), שוות ל-90° כל אחת, מונחות בחצי מישור אחד מחצי הקו a 1 . אבל מחצי הקו a 1, ניתן להפריש רק זווית אחת השווה ל-90 מעלות בחצי המישור הזה. לכן, לא יכול להיות קו נוסף שעובר בנקודה A ומאונך לישר א. המשפט הוכח.

שאלה 11.מה זה מאונך לישר?
תשובה.מאונך לישר נתון הוא קטע ישר מאונך לזה הנתון, שאחד מקצוותיו בנקודת החיתוך שלהם. סוף זה של הקטע נקרא בָּסִיסאֲנָכִי.

שאלה 12.הסבר מהי הוכחה באמצעות סתירה.
תשובה.שיטת ההוכחה בה השתמשנו במשפט 2.3 נקראת הוכחה באמצעות סתירה. דרך הוכחה זו מורכבת מכך שאנו מניחים תחילה הנחה הפוכה ממה שנאמר במשפט. ואז, על ידי הגיון, בהסתמך על האקסיומות והמשפטים המוכחים, אנו מגיעים למסקנה שסותרת או את תנאי המשפט, או את אחת האקסיומות, או את המשפט שהוכח קודם לכן. על בסיס זה, אנו מסיקים שההנחה שלנו הייתה שגויה, מה שאומר שהקביעה של המשפט נכונה.

שאלה 13.מהו חוצה זווית?
תשובה.חוצה של זווית היא קרן שמגיעה מקודקוד הזווית, עוברת בין צלעותיה ומחלקת את הזווית לשניים.

זוויות שבהן צד אחד משותף, והצדדים האחרים שוכבים על אותו קו ישר (באיור, זוויות 1 ו-2 צמודות). אורז. לאמנות. פינות צמודות... האנציקלופדיה הסובייטית הגדולה

פינות סמוכות- זוויות בעלות קודקוד משותף ואחד צד משותף, ושני צדדים אחרים שלהם שוכבים על אותו קו ישר ... האנציקלופדיה הפוליטכנית הגדולה

ראה זווית... מילון אנציקלופדי גדול

זוויות סמוכות, שתי זוויות שסכומן הוא 180°. כל אחת מהפינות הללו משלימה את השנייה לזווית מלאה... מילון אנציקלופדי מדעי וטכני

ראה זווית. * * * פינות סמוכות פינות סמוכות, ראה פינה (ראה פינה) … מילון אנציקלופדי

- (זוויות סמוכות) כאלו שיש להן קודקוד משותף וצד משותף. לרוב, שם זה פירושו זוויות S. כאלה, ששני הצדדים האחרים שלהן שוכבים בכיוונים מנוגדים של קו ישר אחד הנמשך דרך הקודקוד ... מילון אנציקלופדי F.A. ברוקהאוז ואי.א. אפרון

ראה זווית... מדע טבעי. מילון אנציקלופדי

שני הקווים מצטלבים, ויוצרים זוג זוויות אנכיות. זוג אחד מורכב מזוויות A ו-B, השני מ-C ו-D. בגיאומטריה שתי זוויות נקראות אנכיות אם הן נוצרות בהצטלבות של שתיים ... ויקיפדיה

זוג זוויות משלימות המשלימות זו את זו עד 90 מעלות זווית משלימה היא זוג זוויות המשלימות זו את זו עד 90 מעלות. אם שתי זוויות משלימות צמודות (כלומר, יש להן קודקוד משותף והן מופרדות רק ... ... ויקיפדיה

זוג זוויות משלימות המשלימות זו את זו עד 90 מעלות זוויות משלימות הן זוג זוויות המשלימות זו את זו עד 90 מעלות. אם שתי זוויות נוספות הן ג ... ויקיפדיה

ספרים

• אודות הוכחה בגיאומטריה, Fetisov A.I. ספר זה יופק בהתאם להזמנתך באמצעות טכנולוגיית Print-on-Demand. פעם, ממש בתחילת שנת הלימודים, שמעתי במקרה שיחה בין שתי בנות. המבוגר ביותר…
• מחברת מקיפה לבקרת ידע. גֵאוֹמֶטרִיָה. כיתה ז'. תקן חינוכי של המדינה הפדרלית, בבנקו סבטלנה פבלובנה, מרקובה אירינה סרגייבנה. המדריך מציג חומרי בקרה ומדידה (KMI) בגיאומטריה לביצוע בקרת איכות נוכחית, נושאית וסופית בידע של תלמידי כיתה ז'. תוכן המדריך…

הערך הידוע של הזווית הראשית α₁ = α₂ = 180°-α.

מכאן יש . אם שתי זוויות הן צמודות ושוות בו זמנית, אז הן זוויות ישרות. אם אחת מהזוויות הסמוכות ישרה, כלומר היא 90 מעלות, אז גם הזווית השנייה ישרה. אם אחת מהזוויות הסמוכות היא חדה, אז השנייה תהיה קהה. באופן דומה, אם אחת מהזוויות קהה, אז השנייה, בהתאמה, תהיה חדה.

זווית חדה היא זו שמידתה קטנה מ-90 מעלות אך גדולה מ-0. לזווית קהה יש מידה גדולה מ-90 מעלות אך פחות מ-180.

תכונה נוספת של זוויות סמוכות מנוסחת כך: אם שתי זוויות שוות, אזי גם הזוויות הסמוכות להן שוות. זהו שאם יש שתי זוויות שמידת המעלות שלהן זהה (לדוגמה, היא 50 מעלות) ובאותו זמן לאחת מהן יש זווית צמודה, אז הערכים של הזוויות הסמוכות הללו גם חופפים (בדוגמה, מידת המעלות שלהם תהיה 130 מעלות).

מקורות:

• מילון אנציקלופדי גדול - פינות סמוכות
• זווית של 180 מעלות

למילה "" יש פרשנויות שונות. בגיאומטריה, זווית היא חלק ממישור התחום בשתי קרניים היוצאות מנקודה אחת - קודקוד. מתי אנחנו מדבריםלגבי זוויות ישרות, חדות ומפותחות, אז הכוונה לזוויות גיאומטריות.

כמו כל צורה בגיאומטריה, ניתן להשוות זוויות. שוויון הזוויות נקבע על ידי תנועה. קל לחלק זווית לשני חלקים שווים. חלוקה לשלושה חלקים קצת יותר קשה, אבל עדיין אפשר לעשות זאת עם סרגל ומצפן. אגב, המשימה הזו נראתה די קשה. קל מבחינה גיאומטרית לתאר שזווית אחת גדולה או קטנה מזווית אחרת.

כיחידת מדידה של זוויות, 1/180 מזווית מפותחת מאומצת. ערך הזווית הוא מספר המראה כמה פעמים הזווית שנבחרה כיחידת מדידה מתאימה לדמות המדוברת.

לכל זווית יש מידה של מעלה גדולה מאפס. הזווית הישר היא 180 מעלות. מידת המעלות של זווית נחשבת שווה לסכום מידות המעלות של הזוויות אליהן היא מחולקת על ידי קרן כלשהי במישור התחום על ידי צלעותיה.

מכל קורה מטוס נתוןאתה יכול לשים בצד זווית עם מידה מסוימת של מעלה שאינה עולה על 180. יתר על כן, תהיה רק ​​זווית אחת כזו. המידה של זווית שטוחה, שהיא חלק מחצי מישור, היא מידת המידה של זווית עם צלעות דומות. מידת המישור של הזווית המכילה את חצי המישור היא הערך 360– α, כאשר α היא מידת המעלות של הזווית השטוחה המשלימה.

מידת המעלות של זווית מאפשרת לעבור מתיאורם הגיאומטרי לתיאור מספרי. אז, זווית ישרה היא זווית השווה ל-90 מעלות, זווית קהה היא זווית פחות מ-180 מעלות, אבל יותר מ-90, פינה חדהאינו עולה על 90 מעלות.

בנוסף למעלות, יש מדד רדיאני של זווית. בפלנימטריה, האורך הוא כמו L, הרדיוס הוא r, והמתאים פינה מרכזית– א. יתר על כן, פרמטרים אלה קשורים בקשר α = L/r. זהו הבסיס של מידת הרדיאן של זוויות. אם L=r, אז הזווית α תהיה שווה לרדיאן אחד. אז, מידת הרדיאן של זווית היא היחס בין אורך קשת הנמשכת על ידי רדיוס שרירותי ומסוגרת בין הצדדים של זווית זו לרדיוס הקשת. סיבוב שלם במעלות (360 מעלות) מתאים ל-2π ברדיאנים. אחד הוא 57.2958 מעלות.

סרטונים קשורים

מקורות:

• נוסחת מידה של זוויות

גיאומטריה היא מדע רב-גוני. הוא מפתח היגיון, דמיון ואינטליגנציה. כמובן, בשל המורכבות שלו והמספר העצום של משפטים ואקסיומות, תלמידי בית הספר לא תמיד אוהבים את זה. בנוסף, יש צורך להוכיח כל הזמן את מסקנותיהם תוך שימוש בסטנדרטים וכללים מקובלים.

זוויות סמוכות ואנכיות הן חלק בלתי נפרד מהגיאומטריה. אין ספק שתלמידי בית ספר רבים פשוט מעריצים אותם מהסיבה שהמאפיינים שלהם ברורים וקלים להוכחה.

היווצרות פינות

כל זווית נוצרת על ידי חיתוך של שני קווים או על ידי ציור שתי קרניים מנקודה אחת. אפשר לקרוא להם אות אחת או שלוש, שמציינות ברציפות את נקודות הבנייה של הפינה.

זוויות נמדדות במעלות וניתן (בהתאם לערכן) להיקרא אחרת. אז יש זווית ישרה, חדה, קהה ופרוסה. כל אחד מהשמות מתאים למידת מידה מסוימת או למרווח שלה.

זווית חדה היא זווית שמידתה אינה עולה על 90 מעלות.

זווית קהה היא זווית גדולה מ-90 מעלות.

זווית נקראת ישר כאשר המידה שלה היא 90.

במקרה שבו הוא נוצר על ידי קו ישר רציף אחד, ומידת המעלות שלו היא 180, זה נקרא פרוס.

זוויות שיש להן צלע משותפת, שהצד השני שלה ממשיך זו את זו, נקראות סמוכות. הם יכולים להיות חדים או בוטים. החיתוך של הקו יוצר זוויות סמוכות. המאפיינים שלהם הם כדלקמן:

1. הסכום של זוויות כאלה יהיה שווה ל-180 מעלות (יש משפט שמוכיח זאת). לכן, אחד מהם יכול להיות מחושב בקלות אם השני ידוע.
2. מהנקודה הראשונה עולה כי זוויות סמוכות אינן יכולות להיווצר על ידי שתי זוויות קהות או חדות.

הודות למאפיינים אלה, אתה תמיד יכול לחשב את מידת המעלות של זווית, בעלת ערך של זווית אחרת או, לפי לפחות, היחסים ביניהם.

זוויות אנכיות

זוויות שצלעותיהן הן המשכיות אחת של השנייה נקראות אנכיות. כל אחד מהזנים שלהם יכול לפעול כזוג כזה. זוויות אנכיות תמיד שוות זו לזו.

הם נוצרים כאשר קווים מצטלבים. יחד איתם, פינות סמוכות נוכחות תמיד. זווית יכולה להיות גם צמודה לאחד וגם אנכית עבור השני.

כאשר חוצים קו שרירותי, נחשבים גם כמה סוגים נוספים של זוויות. קו כזה נקרא סקאנט, והוא יוצר את הזוויות המתאימות, החד-צדדיות והצולבות. הם שווים זה לזה. ניתן לראות אותם לאור המאפיינים שיש לזוויות אנכיות ולזוויות סמוכות.

לפיכך, נושא הפינות נראה די פשוט ומובן. קל לזכור ולהוכיח את כל המאפיינים שלהם. פתרון בעיות אינו קשה כל עוד הזוויות מתאימות לערך מספרי. כבר בהמשך, כאשר יתחיל לימוד החטא והקוס, תצטרך לשנן הרבה נוסחאות מורכבות, המסקנות וההשלכות שלהם. עד אז, אתה יכול פשוט ליהנות מחידות קלות שבהן אתה צריך למצוא פינות סמוכות.

בתהליך לימוד הקורס גיאומטריה, נתקלים לעתים קרובות במושגים של "זווית", "זוויות אנכיות", "זוויות סמוכות". הבנת כל אחד מהמונחים תעזור להבין את המשימה ולפתור אותה בצורה נכונה. מהן זוויות סמוכות וכיצד לקבוע אותן?

פינות סמוכות - הגדרת המושג

המונח "זוויות סמוכות" מאפיין שתי זוויות הנוצרות מקרן משותפת ושני חצאי קווים נוספים השוכנים על אותו קו. כל שלוש הקורות מגיעות מאותה נקודה. חצי הקו המשותף הוא בו-זמנית הצד של הזווית האחת והשנייה.

פינות צמודות - מאפיינים בסיסיים

1. בהתבסס על הניסוח של זוויות סמוכות, קל לראות שסכום זוויות כאלה תמיד יוצר זווית ישרה, שמידת המעלות שלה היא 180 מעלות:

• אם μ ו-η הן זוויות סמוכות, אז μ + η = 180°.
• לדעת את הערך של אחת מהזוויות הסמוכות (לדוגמה, μ), אפשר לחשב בקלות את מידת המעלות של הזווית השנייה (η) באמצעות הביטוי η = 180° - μ.

2. תכונה זו של זוויות מאפשרת לנו להסיק את המסקנה הבאה: זווית שהיא סמוכה זווית נכונה, יהיה גם ישר.

3. שוקל פונקציות טריגונומטריות(sin, cos, tg, ctg), בהתבסס על נוסחאות ההפחתה של הזוויות הסמוכות μ ו-η, הדברים הבאים נכונים:

• sinη = sin(180° - μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° - μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° - μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° - μ) = -ctgμ.

פינות צמודות - דוגמאות

דוגמה 1

נתון משולש עם קודקודים M, P, Q – ΔMPQ. מצא את הזוויות הסמוכות לזוויות ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• הבה נרחיב כל צד של המשולש כקו ישר.
• בידיעה שזוויות סמוכות משלימות זו את זו לזווית ישרה, אנו מגלים ש:

סמוך לזווית ∠QMP הוא ∠LMP,

סמוך לזווית ∠MPQ הוא ∠SPQ,

הזווית הסמוכה עבור ∠PQM היא ∠HQP.

דוגמה 2

הערך של זווית אחת סמוכה הוא 35°. מהי מידת המעלות של הזווית השנייה הסמוכה?

• שתי זוויות סמוכות מסתכמות ב-180°.
• אם ∠μ = 35°, אז סמוך ∠η = 180° - 35° = 145°.

דוגמה 3

קבע את הערכים של זוויות סמוכות, אם ידוע שמידת המעלות של אחת מהחלק התחתונה גדולה פי שלושה ממידת המעלות של הזווית השנייה.

• הבה נסמן את הערך של זווית אחת (קטנה יותר) דרך - ∠μ = λ.
• ואז, לפי מצב הבעיה, הערך של הזווית השנייה יהיה שווה ל-∠η = 3λ.
• בהתבסס על התכונה הבסיסית של זוויות סמוכות, כדלקמן μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

אז הזווית הראשונה היא ∠μ = λ = 45°, והזווית השנייה היא ∠η = 3λ = 135°.

היכולת לפנות לטרמינולוגיה, כמו גם ידע בתכונות הבסיסיות של זוויות סמוכות, יסייעו להתמודד עם פתרון בעיות גיאומטריות רבות.