כאשר אנו משרטטים פונקציה, חשוב להגדיר את המרווחים הקמורים ואת נקודות הפיתול. אנחנו צריכים אותם, יחד עם מרווחי הירידה והעלייה, לייצוג ברור של הפונקציה בצורה גרפית.

הבנת נושא זה מחייבת לדעת מהי הנגזרת של פונקציה וכיצד לחשב אותה לפי סדר מסוים, כמו גם יכולת לפתור סוגים שוניםאי שוויון.

בתחילת המאמר מוגדרים המושגים העיקריים. לאחר מכן נראה איזה קשר קיים בין כיוון הקמור לערך הנגזרת השנייה על פני מרווח מסוים. לאחר מכן, נציין את התנאים שבהם ניתן לקבוע את נקודות הפיתול של הגרף. כל ההיגיון יומחש על ידי דוגמאות של פתרונות בעיות.

Yandex.RTB R-A-339285-1 הגדרה 1

בכיוון מטה על מרווח מסוים במקרה שבו הגרף שלו ממוקם לא נמוך מהמשיק אליו בכל נקודה של מרווח זה.

הגדרה 2

הפונקציה הניתנת להבדלה היא קמורהכלפי מעלה על מרווח מסוים אם הגרף של פונקציה זו ממוקם לא גבוה מהמשיק אליו בכל נקודה של מרווח זה.

פונקציה קמורה כלפי מטה יכולה להיקרא גם קעורה. שתי ההגדרות מוצגות בבירור בגרף שלהלן:

הגדרה 3

נקודת פיתול של פונקציההיא הנקודה M (x 0 ; f (x 0)) שבה יש משיק לגרף של הפונקציה, בתנאי שהנגזרת קיימת בקרבת הנקודה x 0 , כאשר משמאל ו צד ימיןהגרף של הפונקציה לוקח כיווני קמור שונים.

במילים פשוטות, נקודת פיתול היא מקום בגרף שבו יש משיק, וכיוון הקמור של הגרף במעבר במקום זה ישנה את כיוון הקמור. אם אינך זוכר באילו תנאים אפשרי קיומו של משיק אנכי ולא אנכי, אנו ממליצים לך לחזור על הקטע על הטנגנס של גרף פונקציה בנקודה.

להלן גרף של פונקציה שיש לה מספר נקודות פיתול מסומנות באדום. הבה נבהיר כי נוכחותן של נקודות פיתול אינה חובה. בגרף של פונקציה אחת, יכול להיות אחד, שניים, כמה, הרבה אינסוף או אף אחד.

בחלק זה נדבר על משפט שבעזרתו ניתן לקבוע את מרווחי הקמורות בגרף של פונקציה מסוימת.

הגדרה 4

לגרף הפונקציה תהיה קמור בכיוון מטה או מעלה אם לפונקציה המקבילה y = f (x) יש נגזרת סופית שנייה במרווח שצוין x, בתנאי שאי השוויון f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) יהיה נכון.

באמצעות משפט זה, אתה יכול למצוא את מרווחי הקיעור והקמור בכל גרף של פונקציה. כדי לעשות זאת, אתה רק צריך לפתור את אי השוויון f "" (x) ≥ 0 ו-f "" (x) ≤ 0 בתחום הפונקציה המתאימה.

הבה נבהיר שאותן נקודות שבהן הנגזרת השנייה אינה קיימת, אך הפונקציה y = f (x) מוגדרת, ייכללו במרווחי הקמורות והקיעור.

בואו נסתכל על דוגמה לבעיה ספציפית, כיצד ליישם את המשפט הזה בצורה נכונה.

דוגמה 1

מַצָב:נתונה פונקציה y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . קבע באילו מרווחים לגרף שלו יהיו קמורות וקעורות.

פִּתָרוֹן

התחום של פונקציה זו הוא כל קבוצת המספרים הממשיים. נתחיל בחישוב הנגזרת השנייה.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

אנו רואים שהתחום של הנגזרת השנייה חופף לתחום הפונקציה עצמה. לכן, כדי לזהות את מרווחי הקמורות, עלינו לפתור את אי השוויון f "" (x) ≥ 0 ו-f "" (x) ≤ 0 .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

קיבלנו את לוח הזמנים הזה פונקציה נתונהתהיה קעורה על הקטע [2; + ∞) וקמורות על הקטע (- ∞ ; 2 ] .

לצורך הבהירות, נצייר גרף של הפונקציה ונסמן עליו את החלק הקמור בכחול, ואת החלק הקעור באדום.

תשובה:הגרף של הפונקציה הנתונה יהיה בעל קיעור על הקטע [2; + ∞) וקמורות על הקטע (- ∞ ; 2 ] .

אבל מה לעשות אם התחום של הנגזרת השנייה אינו חופף לתחום הפונקציה? כאן ההערה שהועלתה לעיל מועילה לנו: את הנקודות שבהן לא קיימת הנגזרת השנייה הסופית, נכלול גם בקטעי קעירות וקמורות.

דוגמה 2

מַצָב:נתונה פונקציה y = 8 x x - 1 . קבע באילו מרווחים הגרף שלו יהיה קעור, ובאילו מרווחים הוא יהיה קמור.

פִּתָרוֹן

ראשית, בואו נגלה את היקף הפונקציה.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

כעת אנו מחשבים את הנגזרת השנייה:

y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

התחום של הנגזרת השנייה הוא קבוצת x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . אנו רואים ש-x שווה לאפס יהיה בתחום הפונקציה המקורית, אך לא בתחום הנגזרת השנייה. נקודה זו חייבת להיכלל בקטע של קיעור או קמור.

לאחר מכן, עלינו לפתור את אי השוויון f "" (x) ≥ 0 ו-f "" (x) ≤ 0 בתחום הפונקציה הנתונה. אנו משתמשים בשיטת המרווחים לשם כך: ב-x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 או x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 המונה 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 הופך ל-0 והמכנה הוא 0 כאשר x הוא אפס או אחד.

נניח את הנקודות המתקבלות על הגרף ונקבע את הסימן של הביטוי בכל המרווחים שייכללו בתחום הפונקציה המקורית. בגרף, אזור זה מסומן על ידי בקע. אם הערך חיובי, סמן את המרווח עם פלוס, אם שלילי, אז עם מינוס.

לָכֵן,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞), ו-f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

נפעיל את הנקודה שסומנה קודם לכן x = 0 ונקבל את התשובה הרצויה. לגרף של הפונקציה המקורית תהיה בליטה כלפי מטה ב-0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞), ומעלה - עבור x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

נצייר גרף, נסמן את החלק הקמור בכחול, ואת הקעור באדום. האסימפטוטה האנכית מסומנת בקו שחור מנוקד.

תשובה:לגרף של הפונקציה המקורית תהיה בליטה כלפי מטה ב-0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞), ומעלה - עבור x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

תנאי הטיה עבור גרף פונקציה

נתחיל בניסוח התנאי ההכרחי להטיית הגרף של פונקציה כלשהי.

הגדרה 5

נניח שיש לנו פונקציה y = f(x) שלגרף שלה יש נקודת פיתול. עבור x = x 0, יש לו נגזרת שנייה רציפה, לכן, השוויון f "" (x 0) = 0 יתקיים.

לוקח בחשבון המצב הזה, עלינו לחפש נקודות פיתול בין אלו שבהן הנגזרת השנייה תלך ל-0. תנאי זה לא יספיק: לא כל הנקודות הללו יתאימו לנו.

שימו לב גם שלפי הגדרה נפוצה, נצטרך קו משיק, אנכי או לא אנכי. בפועל, זה אומר שכדי למצוא את נקודות הפיתול, יש לקחת את אלו שבהן הנגזרת השנייה של פונקציה זו הופכת ל-0. לכן, כדי למצוא את האבססיס של נקודות הפיתול, עלינו לקחת את כל x 0 מתחום הפונקציה, כאשר lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ ו-lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ . לרוב, אלו הן נקודות שבהן המכנה של הנגזרת הראשונה הופך ל-0.

התנאי הראשון המספיק לקיומה של נקודת פיתול של גרף הפונקציות

מצאנו את כל הערכים x 0 שניתן לקחת כאבססיס של נקודות הפיתול. לאחר מכן, עלינו ליישם את תנאי ההטיה המספיק הראשון.

הגדרה 6

נניח שיש לנו פונקציה y = f (x) שהיא רציפה בנקודה M (x 0 ; f (x 0)) . יתרה מכך, יש לה משיק בנקודה זו, ולפונקציה עצמה יש נגזרת שנייה בקרבת נקודה זו x 0 . במקרה זה, אם הנגזרת השנייה מקבלת סימנים מנוגדים בצד שמאל וימין, אז נקודה זו יכולה להיחשב כנקודת פיתול.

אנו רואים שתנאי זה אינו מחייב שהנגזרת השנייה בהכרח תתקיים בנקודה זו, מספיקה הנוכחות שלה בסמוך לנקודה x 0.

ניתן להציג בנוחות את כל האמור לעיל כרצף של פעולות.

1. ראשית עליך למצוא את כל האבססיס x 0 של נקודות הפיתול האפשריות, כאשר f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. גלה באילו נקודות הנגזרת תשנה סימן. ערכים אלו הם האבססיס של נקודות הפיתול, והנקודות M (x 0 ; f (x 0)) המתאימות להם הן נקודות הפיתול עצמן.

לשם הבהירות, הבה נבחן שתי בעיות.

דוגמה 3

מַצָב:נתונה פונקציה y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x . קבע היכן יהיו בגרף של פונקציה זו נקודות נטייה ובליטה.

פִּתָרוֹן

פונקציה זו מוגדרת על כל קבוצת המספרים הממשיים. אנו רואים את הנגזרת הראשונה:

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

עכשיו בואו נמצא את התחום של הנגזרת הראשונה. זה גם קבוצת כל המספרים הממשיים. לפיכך, לא ניתן לספק את השוויון lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ ו-lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ עבור כל ערכים של x 0 .

אנו מחשבים את הנגזרת השנייה:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 \u003d - 2, x 2 \u003d 1 + 25 2 \u003d 3

מצאנו את האבססיס של שתי נקודות פיתול סבירות - 2 ו-3. כל שנותר לנו לעשות הוא לבדוק באיזה נקודה הנגזרת משנה את הסימן. נצייר ציר מספרי ונתווה עליו את הנקודות הללו, ולאחר מכן נציב את הסימנים של הנגזרת השנייה על המרווחים המתקבלים.

הקשתות מציגות את כיוון הקמור של הגרף בכל מרווח.

הנגזרת השנייה הופכת את הסימן (מפלוס למינוס) בנקודה עם אבשיסה 3, עוברת דרכה משמאל לימין, ועושה את אותו הדבר (ממינוס לפלוס) בנקודה עם אבשיסה 3. לכן, אנו יכולים להסיק ש-x = - 2 ו-x = 3 הם האבססיס של נקודות הפיתול של גרף הפונקציות. הם יתאימו לנקודות של הגרף - 2; - 4 3 ו-3; - 15 8 .

הבה נסתכל שוב על התמונה של הציר המספרי והסימנים המתקבלים על המרווחים כדי להסיק מסקנות לגבי מקומות הקיעור והקמור. מסתבר שהבליטה תמוקם על הקטע - 2; 3, וקעירות על מקטעים (- ∞ ; - 2 ] ו- [ 3 ; + ∞ ).

הפתרון לבעיה מוצג בבירור בגרף: צבע כחול- קמור, אדום - קיעור, שחור פירושו נקודות פיתול.

תשובה:הבליטה תמוקם על הקטע - 2; 3, וקעירות על מקטעים (- ∞ ; - 2 ] ו- [ 3 ; + ∞ ).

דוגמה 4

מַצָב:חשב את האבססיס של כל נקודות הפיתול של גרף הפונקציה y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

פִּתָרוֹן

התחום של הפונקציה הנתונה הוא קבוצת כל המספרים הממשיים. אנו מחשבים את הנגזרת:

y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5

בניגוד לפונקציה, הנגזרת הראשונה שלה לא תיקבע בערך x של 3, אלא:

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

המשמעות היא שבנקודה זו יעבור משיק אנכי לגרף. לכן, 3 יכול להיות האבשיסה של נקודת הפיתול.

אנו מחשבים את הנגזרת השנייה. אנו מוצאים גם את שטח ההגדרה שלו ואת הנקודות שבהן הוא פונה ל-0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 אינץ' (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3 , 4556 , x 2 = 51 - 6 1509 .

יש לנו עוד שתי נקודות פיתול אפשריות. שמים את כולם על שורת מספרים ומסמנים את המרווחים המתקבלים בסימנים:

שינוי הסימן יתרחש כאשר עוברים דרך כל נקודה שצוינה, כלומר כולן נקודות פיתול.

תשובה:נצייר גרף של הפונקציה, סמן קעירות באדום, קמורות בכחול ונקודות פיתול בשחור:

בידיעה של תנאי ההטיה המספיקה הראשונה, נוכל לקבוע את הנקודות ההכרחיות בהן אין צורך בנוכחות הנגזרת השנייה. בהתבסס על זה, התנאי הראשון יכול להיחשב האוניברסלי ביותר ומתאים לפתרון סוגים שוניםמשימות.

שימו לב שיש עוד שני תנאי הטיה, אך ניתן ליישם אותם רק כאשר יש נגזרת סופית בנקודה שצוינה.

אם יש לנו f "" (x 0) = 0 ו-f """ (x 0) ≠ 0 , אז x 0 יהיה האבססיס של נקודת הפיתול של הגרף y = f (x) .

דוגמה 5

מַצָב:ניתנת הפונקציה y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. קבע אם לגרף הפונקציה תהיה הטיה בנקודה 3; 4 5 .

פִּתָרוֹן

הדבר הראשון שצריך לעשות הוא לוודא שהנקודה הנתונה תהיה שייכת בכלל לגרף של פונקציה זו.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

הפונקציה שצוינה מוגדרת עבור כל הארגומנטים שהם מספרים ממשיים. אנו מחשבים את הנגזרת הראשונה והשנייה:

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

קיבלנו שהנגזרת השנייה תלך ל-0 אם x שווה ל-0. המשמעות היא שתנאי ההטיה הדרוש לנקודה זו יתקיים. כעת אנו משתמשים בתנאי השני: נמצא את הנגזרת השלישית ונגלה אם היא תהפוך ל-0 ב-3:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

הנגזרת השלישית לא תיעלם עבור שום ערך של x. לכן, אנו יכולים להסיק שנקודה זו תהיה נקודת הפיתול של גרף הפונקציה.

תשובה:בואו נראה את הפתרון באיור:

נניח ש-f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, . . . , f (n) (x 0) = 0 ו-f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . במקרה זה, עבור אפילו n, נקבל ש-x 0 הוא האבססיס של נקודת הפיתול של הגרף y \u003d f (x) .

דוגמה 6

מַצָב:נתונה פונקציה y = (x - 3) 5 + 1 . חשב את נקודות הפיתול של הגרף שלו.

פִּתָרוֹן

פונקציה זו מוגדרת על כל קבוצת המספרים הממשיים. חשב את הנגזרת: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . מכיוון שהוא גם יוגדר עבור כל הערכים האמיתיים של הטיעון, אז בכל נקודה בגרף שלו יהיה משיק לא אנכי.

עכשיו בואו נחשב לאילו ערכים הנגזרת השנייה תהפוך ל-0:

y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

מצאנו שעבור x = 3 גרף הפונקציה עשוי להיות בעל נקודת פיתול. אנו משתמשים בתנאי השלישי כדי לאשר זאת:

y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2, y " " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 (x - 3) 2 " = 120 (x - 3) , y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3) " = 120 , y (5) (3) = 120 ≠ 0

יש לנו n = 4 לפי התנאי השלישי. זהו מספר זוגי, כך ש-x \u003d 3 תהיה האבססיס של נקודת הפיתול ונקודת הגרף של הפונקציה (3; 1) תואמת לה.

תשובה:להלן גרף של פונקציה זו עם הקמור, הקיעור ונקודת הפיתול מסומנים:

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

הוראה

נקודות נטיה פונקציותחייב להיות שייך לתחום הגדרתו, אותו יש למצוא תחילה. לוח זמנים פונקציות- זהו קו שיכול להיות רציף או בעל הפסקות, להקטין או להגדיל באופן מונוטוני, בעל מינימום או מקסימום נקודות(אסימפטוטות), להיות קמור או קעור. שינוי פתאומי של שניים המדינות האחרונותונקרא קינק.

תנאי הכרחיקִיוּם נטיה פונקציותמורכב מהשוויון של השני לאפס. לפיכך, לאחר שהבדיל את הפונקציה פעמיים והשווה את הביטוי המתקבל לאפס, נוכל למצוא את האבססיס של הנקודות האפשריות נטיה.

מצב זה נובע מהגדרת תכונות הקמורות והקיעור של הגרף פונקציות, כלומר ערכים שליליים וחיוביים של הנגזרת השנייה. בנקודה נטיהשינוי חד במאפיינים אלו, כלומר הנגזרת עוברת את סימן האפס. עם זאת, שוויון לאפס עדיין לא מספיק כדי לציין נקודת פיתול.

יש שני תנאים מספיקים שהאבשיסה שנמצאה בשלב הקודם שייכת לנקודה נטיה:דרך נקודה זו אתה יכול לצייר משיק ל פונקציות. לנגזרת השנייה יש סימנים שוניםמימין ומשמאל למיועד נקודות נטיה. לפיכך אין צורך בקיומו בנקודה עצמה, די לקבוע שהוא משנה בה סימן.הנגזרת השנייה פונקציותהוא אפס, והשלישי לא.

פתרון: מצא. במקרה זה, אין הגבלות, לכן זהו כל המרחב של מספרים ממשיים. חשב את הנגזרת הראשונה: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

שים לב ל . מכאן נובע שתחום ההגדרה של הנגזרת מוגבל. הנקודה x = 5 מנוקבת, כלומר יכול לעבור דרכה משיק, מה שמתאים בחלקו לסימן הספיקות הראשון נטיה.

קבע עבור הביטוי המתקבל ב-x → 5 - 0 ו-x → 5 + 0. הם שווים ל-∞ ו-+∞. הוכחת שמשיק אנכי עובר דרך הנקודה x=5. נקודה זו עשויה להיות נקודה נטיה, אבל תחילה חשב את הנגזרת השנייה: (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

השמט את המכנה, כי כבר לקחתם בחשבון את הנקודה x = 5. פתור את המשוואה 2 x - 22 \u003d 0. יש לו שורש יחיד x \u003d 11. השלב האחרון הוא לאשר את זה נקודות x=5 ו-x=11 הן נקודות נטיה. נתח את ההתנהגות של הנגזרת השנייה בסביבתם. ברור שבנקודה x = 5, הוא משנה את הסימן מ-"+" ל-"-", ובנקודה x = 11, להיפך. מסקנה: שניהם נקודותהם נקודות נטיה. התנאי הראשון המספיק מתקיים.

גרף פונקציות y=f(x)שקוראים לו קָמוּרעל המרווח (א;ב), אם הוא ממוקם מתחת לכל המשיקים שלו במרווח זה.

גרף פונקציות y=f(x)שקוראים לו קָעוּרעל המרווח (א;ב), אם הוא ממוקם מעל כל אחד מהמשיקים שלו במרווח זה.

האיור מציג עקומה קמורה על (א;ב)וקעור ל (לִפנֵי הַסְפִירָה).

דוגמאות.

שקול סימן מספיק המאפשר לך לקבוע אם הגרף של פונקציה במרווח נתון יהיה קמור או קעור.

מִשׁפָּט. לתת y=f(x)ניתן להבדיל על ידי (א;ב). אם בכל נקודות המרווח (א;ב)נגזרת שנייה של הפונקציה y = f(x)שלילי, כלומר. ו ""(איקס) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же ו""(איקס) > 0 הוא קעור.

הוכחה. נניח ליתר ביטחון ו""(איקס) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

קח על עצמך את גרף הפונקציות y = f(x)נקודה שרירותית M0עם אבשיסה x0 Î ( א; ב) וצייר דרך הנקודה M0מַשִׁיק. המשוואה שלה. עלינו להראות כי הגרף של הפונקציה על (א;ב)נמצא מתחת למשיק הזה, כלומר. עם אותו ערך איקססדין עקומה y = f(x)יהיה קטן מהאורדינטה של ​​הטנגנס.

אז משוואת העקומה היא y = f(x). הבה נסמן את האורדיינטה המשיקת המקבילה לאבשיסה איקס. לאחר מכן . לכן, ההבדל בין האורדינאטות של העקומה והטנגנס באותו ערך איקסיהיה .

הֶבדֵל f(x) – f(x0)טרנספורמציה לפי משפט לגראנז', איפה גבֵּין איקסו x0.

לכן,

אנו מיישמים שוב את משפט לגראנז' על הביטוי בסוגריים מרובעים: , איפה ג 1בֵּין c 0ו x0. לפי המשפט ו ""(איקס) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

לפיכך, כל נקודה של העקומה נמצאת מתחת למשיק לעקומה עבור כל הערכים איקסו x0 Î ( א; ב), כלומר העקומה קמורה. החלק השני של המשפט מוכח באופן דומה.

דוגמאות.

נקודת גרף תפקוד מתמשך, המפריד בין חלקו הקמור לבין הקעור, נקרא נקודת פיתול.

ברור שבנקודת הפיתול, המשיק, אם הוא קיים, חוצה את העקומה, כי בצד אחד של נקודה זו, העקומה נמצאת מתחת למשיק, ובצד השני, מעליו.

הבה נגדיר מספיק תנאים כדי שנקודה נתונה של העקומה תהיה נקודת פיתול.

מִשׁפָּט. תנו לעקומה להיות מוגדרת על ידי המשוואה y = f(x). אם ו ""(איקס 0) = 0 או ו ""(איקס 0) לא קיים וכאשר עוברים דרך הערך איקס = x0נגזר ו ""(איקס) משנה סימן, ואז נקודת הגרף של הפונקציה עם האבשיסה איקס = x0יש נקודת פיתול.

הוכחה. לתת ו ""(איקס) < 0 при איקס < x0ו ו ""(איקס) > 0 ב איקס > x0. ואז ב איקס < x0העקומה קמורה, ו איקס > x0- קעור. מכאן הנקודה א, שוכב על העיקול, עם אבשיסה x0יש נקודת פיתול. באופן דומה, אנו יכולים לשקול את המקרה השני, מתי ו ""(איקס) > 0 ב איקס < x0ו ו ""(איקס) < 0 при איקס > x0.

לפיכך, יש לחפש נקודות פיתול רק בין אותן נקודות שבהן הנגזרת השנייה נעלמת או לא קיימת.

דוגמאות.מצא את נקודות הפיתול וקבע את מרווחי הקמור והקיעור של העקומות.

סימפטומים של גרף של פונקציה

כאשר חוקרים פונקציה, חשוב לקבוע את צורת הגרף שלה עם הסרה בלתי מוגבלת של נקודת הגרף מהמקור.

מעניין במיוחד המקרה כאשר הגרף של פונקציה, כאשר הנקודה המשתנה שלה מוסרת עד אינסוף, מתקרב ללא הגבלה לקו ישר מסוים.

התקשר ישירות אסימפטוטהגרף פונקציות y = f(x)אם המרחק מהנקודה המשתנה Mגרף לקו זה כאשר הנקודה מוסרת Mלאינסוף שואף לאפס, כלומר. נקודת הגרף של הפונקציה, שכן היא נוטה לאינסוף, חייבת להתקרב לאסימפטוטה ללא הגבלת זמן.

העקומה יכולה להתקרב לאסימפטוטה שלה, להישאר בצד אחד שלה או בצדדים שונים, לחצות את האסימפטוטה מספר אינסופי של פעמים ולנוע מצד אחד לצד השני.

אם נסמן ב-d את המרחק מהנקודה Mעקום לאסימפטוטה, ברור ש-d שואף לאפס עם הסרת הנקודה Mעד אינסוף.

עוד נבחין בין אסימפטוטות אנכיות ואלכסוניות.

אסימפטוטים אנכיים

תן ב איקס→ x0משני הצדדים של הפונקציה y = f(x)עליות בלתי מוגבלות בערך המוחלט, כלומר. או או . ואז נובע מהגדרת האסימפטוטה שהקו איקס = x0הוא אסימפטוטה. ההיפך ברור גם אם הקו איקס = x0הוא אסימפטוטה, אז .

לפיכך, האסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה y = f(x)נקרא קו אם f(x)→ ∞ לפחות באחד מהתנאים איקס→ x0– 0 או איקס → x0 + 0, איקס = x0

לכן, למצוא את האסימפטוטים האנכיים של גרף הפונקציה y = f(x)צריך למצוא את הערכים האלה איקס = x0, שבו הפונקציה הולכת לאינסוף (סובלת מחוסר רציפות אינסופי). לאחר מכן אסימפטוטה אנכיתיש את המשוואה איקס = x0.

דוגמאות.

אסימפטוטים נטויים

מכיוון שהאסימפטוטה היא קו ישר, אז אם העקומה y = f(x)יש אסימפטוטה אלכסונית, אז המשוואה שלה תהיה y = kx + ב. המשימה שלנו היא למצוא את המקדמים קו ב.

מִשׁפָּט. יָשָׁר y = kx + במשמש כאסימפטוטה אלכסונית ב איקס→ +∞ עבור הגרף של הפונקציה y = f(x)אם ורק אם . אמירה דומה נכונה לגבי איקס → –∞.

הוכחה. לתת MP- אורך הקטע שווה למרחק מהנקודה Mלאסימפטוטה. לפי תנאי. סמן ב-φ את זווית הנטייה של האסימפטוטה לציר שׁוֹר. ואז מ ΔMNPעוקב אחרי זה. מכיוון שφ היא זווית קבועה (φ ≠ π/2), אז , אבל

זה נשאר לשקול קמורות, קיעור והטיות של הגרף. נתחיל עם אלה האהובים כל כך על המבקרים באתר תרגיל. אנא קום והישען קדימה או אחורה. זו בליטה. עכשיו הנח את הידיים שלך לפניך עם כפות הידיים למעלה ודמיין שאתה מחזיק בול עץ גדול על החזה שלך... ...טוב, אם אתה לא אוהב את הבול, שיהיה משהו/מישהו אחר =) זו קעירות . במקורות מסוימים יש מונחים נרדפים לבלוט למעלהו לבלוט למטה, אבל אני תומך בשמות קצרים.

! תשומת הלב : כמה מחברים הגדירו קמורות וקעור בדיוק ההפך. זה נכון גם מבחינה מתמטית והגיונית, אבל לרוב שגוי לחלוטין מבחינה מהותית, כולל ברמת ההבנה הפלשתית שלנו את המונחים. כך, למשל, עדשה דו קמורה נקראת עדשה "עם פקעות", אבל לא עם "חריצים" (דו-קעורה).
וגם, נגיד, מיטה "קעורה" - היא עדיין בבירור לא "נדבקת" \u003d) (עם זאת, אם תטפס מתחתיה, אז כבר נדבר על קמור; =)) אני דבק בגישה שמתאימה ל אסוציאציות אנושיות טבעיות.

ההגדרה הפורמלית של הקמור והקיעור של הגרף היא די קשה עבור קומקום תה, ולכן אנו מגבילים את עצמנו לפרשנות גיאומטרית של המושג על דוגמאות קונקרטיות. שקול את הגרף של פונקציה ש רָצִיףעל כל שורת המספרים:

קל לבנות איתו טרנספורמציות גיאומטריות, וכנראה, קוראים רבים מודעים לאופן שבו הוא מתקבל מפרבולה מעוקבת.

בואו נתקשר אַקוֹרדהקטע שמחבר שתי נקודות שונותאומנות גרפית.

הגרף של הפונקציה הוא קָמוּרבמרווח כלשהו, ​​אם הוא ממוקם לא פחותכל אקורד של המרווח הנתון. קו הניסוי קמור ב- , וכמובן שכאן כל חלק בגרף ממוקם מעל לו אַקוֹרד. להמחשת ההגדרה, ציירתי שלושה קטעים שחורים.

פונקציות הגרף הן קָעוּרעל המרווח, אם הוא ממוקם לא גבוה יותרכל אקורד של המרווח הזה. בדוגמה זו, המטופל קעור בפער. זוג קטעים חומים מדגים בצורה משכנעת שכאן וכל חלק מהתרשים נמצא תחת אַקוֹרד.

הנקודה בגרף שבה הוא משתנה מקמור לקעור אוֹקעור לקמור נקרא נקודת פיתול. יש לנו את זה בעותק בודד (המקרה הראשון), ובפועל, נקודת הפיתול יכולה להיות גם הנקודה הירוקה השייכת לקו עצמו וגם הערך "x".

חָשׁוּב!הטיות בגרף צריכות להיות מתוארות בצורה מסודרת ו בצורה חלקה מאוד. כל מיני "אי סדרים" ו"חספוס" אינם מקובלים. זה עניין של קצת תרגול.

הגישה השנייה להגדרה של קמור / קיעור בתיאוריה ניתנת באמצעות משיקים:

קָמוּרעל המרווח שבו נמצא הגרף לא גבוה יותרמשיק נמשך אליו בנקודה שרירותית של המרווח הנתון. קָעוּראותו דבר בגרף המרווחים - לא פחותכל משיק במרווח זה.

ההיפרבולה קעורה במרווח וקמור על:

כאשר עוברים דרך המוצא, הקיעור משתנה לקמורות, אבל הנקודה אל תיקח בחשבוןנקודת פיתול, מאז הפונקציה לא נקבעבָּה.

הצהרות ומשפטים מחמירים יותר בנושא ניתן למצוא בספר הלימוד, ונעבור לחלק המעשי העשיר:

איך למצוא מרווחים קמורים, מרווחי קיעור
ונקודות הפיתול של הגרף?

החומר פשוט, סטנסיל וחוזר מבנית מחקר של פונקציה עבור קיצון.

קמור / קיעור של הגרף מאפייןנגזרת שנייה פונקציות.

תן לפונקציה להיות ניתנת להבדלה פעמיים במרווח כלשהו. לאחר מכן:

- אם הנגזרת השנייה נמצאת על המרווח, אז הגרף של הפונקציה קמור על המרווח הזה;

- אם הנגזרת השנייה נמצאת על המרווח, אז הגרף של הפונקציה קעור על המרווח הנתון.

על חשבון סימני הנגזרת השנייה מסתובבת אגודה פרהיסטורית במרחבי מוסדות החינוך: "-" מראה ש"אי אפשר לשפוך מים לתוך גרף הפונקציה" (בליטה),
ו-"+" - "נותן הזדמנות כזו" (קיעור).

תנאי הכרחי להטיה

אם יש הטיה בגרף של הפונקציה בנקודה, זה:
או שהערך לא קיים(בוא נבין את זה, קרא!).

ביטוי זה מרמז שהפונקציה רָצִיףבנקודה ובמקרה ניתן להבדיל פעמיים בחלק מהשכונה שלה.

נחיצות התנאי מעידה על כך שההיפך אינו תמיד נכון. כלומר, משוויון (או אי קיום הערך) עדיין לא יהיהקיומה של הטיה של גרף הפונקציה בנקודה . אבל בשני המצבים הם מתקשרים נקודה קריטית של הנגזרת השנייה.

תנאי נטייה מספקת

אם הנגזרת השנייה משנה סימן בעת ​​מעבר דרך נקודה, אז בנקודה זו ישנה הטיה בגרף של הפונקציה.

נקודות הטיה (כבר התקיימה דוגמה) עשויות שלא להיות בכלל, ובמובן זה, כמה מדגמים יסודיים הם אינדיקטיביים. בואו ננתח את הנגזרת השנייה של הפונקציה:

מתקבלת פונקציה קבועה חיובית, כלומר עבור כל ערך של "x". עובדות מונחות על פני השטח: הפרבולה קעורה לכל אורכה תחומים, אין נקודות פיתול. קל לראות שמקדם שלילי ב"הופך" את הפרבולה והופך אותה לקמורת (מה שתדווח לנו על ידי הנגזרת השנייה - פונקציה קבועה שלילית).

פונקציה מעריכיתגם קעור על:

עבור כל ערך של "x".

אין, כמובן, נקודות פיתול בגרף.

אנו בוחנים את הגרף של הפונקציה הלוגריתמית עבור קמור / קיעור:

לפיכך, ענף הלוגריתם קמור במרווח . הנגזרת השנייה מוגדרת גם על המרווח , אבל קחו בחשבון זה אסור, מכיוון שמרווח זה אינו כלול ב תְחוּםפונקציות. הדרישה ברורה - כיוון שאין שם גרף לוגריתמי, אז כמובן לא מדברים על קמורות / קעירות / הטיות.

כפי שאתה יכול לראות, הכל באמת מאוד מזכיר את הסיפור של עלייה, ירידה וקיצוניות של הפונקציה. דומה לעצמי אלגוריתם מחקר גרפי פונקציותעבור קמור, קיעור ונוכחות של קינקים:

2) אנו מחפשים ערכים קריטיים. לשם כך, ניקח את הנגזרת השנייה ונפתור את המשוואה. גם נקודות שבהן הנגזרת ה-2 לא קיימת, אך נכללות בתחום הפונקציה עצמה, נחשבות קריטיות!

3) נסמן על קו המספרים את כל נקודות השבירה שנמצאו ו נקודות קריטיות (לא האחד ולא השני עשוי להתברר ככזה - אז אתה לא צריך לצייר כלום (כמו במקרה פשוט מדי), זה מספיק להגביל את עצמך לפרשנות כתובה). שיטת מרווחיםאנו קובעים את הסימנים על המרווחים שהושגו. כפי שהוסבר רק, צריך לשקול רק אלומרווחים הנכללים בהיקף הפונקציה. אנו מסיקים מסקנות לגבי הקמורות / הקיעור ונקודות הפיתול של גרף הפונקציות. אנחנו נותנים תשובה.

נסה ליישם מילולית את האלגוריתם על התכונות . במקרה השני, אגב, יש דוגמה שבה אין הטיית עקומה בנקודה הקריטית. עם זאת, נתחיל עם משימות קצת יותר קשות:

דוגמה 1

פִּתָרוֹן:
1) הפונקציה מוגדרת ורציפה על כל הקו האמיתי. טוב מאוד.

2) מצא את הנגזרת השנייה. אתה יכול קובייה מראש, אבל זה הרבה יותר משתלם להשתמש בידול כלל של פונקציה מורכבת:

שים לב ש , כלומר הפונקציה היא לא יורד. למרות שזה לא קשור למשימה, תמיד מומלץ לשים לב לעובדות כאלה.

מצא את הנקודות הקריטיות של הנגזרת השנייה:

- נקודה קריטית

3) הבה נבדוק את מילוי תנאי ההטיה המספיקה. הבה נקבע את הסימנים של הנגזרת השנייה על המרווחים שהתקבלו.

תשומת הלב!כעת אנו עובדים עם הנגזרת השנייה (ולא עם פונקציה!)

כתוצאה מכך מתקבלת נקודה קריטית אחת: .

3) נסמן שתי נקודות אי-רציפות, נקודה קריטית על קו המספרים ונקבע את הסימנים של הנגזרת השנייה במרווחים שהתקבלו:

אני מזכיר לך דבר חשוב שיטת מרווחים, מה שיכול להאיץ משמעותית את הפתרון. נגזרת שניה התברר כמסורבל מאוד, ולכן אין צורך לחשב את ערכיו, מספיק לעשות "הערכה" על כל מרווח. הבה נבחר, למשל, נקודה השייכת למרווח השמאלי,
ולבצע את ההחלפה:

עכשיו בואו ננתח את המכפילים:

שני "מינוסים" ו"פלוס" נותנים "פלוס", לכן, כלומר הנגזרת השנייה חיובית על כל המרווח.

פעולות עם הערות קלות לביצוע מילולית. בנוסף, כדאי להתעלם לחלוטין מהמכפיל - הוא חיובי לכל "x" ואינו משפיע על הסימנים של הנגזרת השנייה שלנו.

אז איזה מידע היא נתנה לנו?

תשובה: הגרף של הפונקציה קעור על וקמור על . במקור (זה ברור)יש הטיה בגרף.

במעבר בנקודות, גם הנגזרת השנייה משנה סימן, אך הן אינן נחשבות לנקודות נטייה, שכן הפונקציה סובלת בהן. הפסקות אינסופיות.

בדוגמה המנותחת, הנגזרת הראשונה מספר לנו על הצמיחה של הפונקציה בכללותה תחומים. זה תמיד יהיה כזה חינמי =) בנוסף, נוכחות של שלושה אסימפטוטה. התקבלו נתונים רבים, מה שמאפשר תואר גבוהאמינות להציג מראה חיצוניאומנות גרפית. לערימה, גם הפונקציה מוזרה. בהתבסס על העובדות שנקבעו, נסה לשרטט על טיוטה. תמונה בסוף השיעור.

משימה לפתרון עצמאי:

דוגמה 6

בדוק את גרף הפונקציה לקמורות, קיעור ומצא את נקודות הפיתול של הגרף, אם הן קיימות.

אין ציור במדגם, אבל לא אסור להעלות השערה;)

אנו טוחנים את החומר מבלי למספר את נקודות האלגוריתם:

דוגמה 7

בדוק את גרף הפונקציות לגבי קמורות, קיעור ומצא נקודות פיתול, אם ישנן.

פִּתָרוֹן: הפונקציה נמשכת פער אינסופיבנקודה.

כרגיל, אצלנו הכל בסדר:

נגזרות אינן הקשות ביותר, העיקר להיזהר עם "התסרוקת" שלהן.
במרפת המושרה, נמצאות שתי נקודות קריטיות של הנגזרת השנייה:

הבה נקבע את הסימנים על המרווחים שהושגו:

בנקודה יש ​​נטייה של הגרף, בוא נמצא את האורדינאטה של ​​הנקודה:

כאשר עוברים דרך נקודה, הנגזרת השנייה אינה משנה סימן, לכן, אין הטיה בגרף בה.

תשובה: מרווחי קמורות: ; מרווח קיעור: ; נקודת פיתול: .

לשקול דוגמאות אחרונותעם הטבות נוספות:

דוגמה 8

מצא מרווחים של קמורות, קיעור ונקודות פיתול של גרף

פִּתָרוֹן: עם מיקום תחומיםאין בעיות מיוחדות:
, והפונקציה סובלת מחוסר המשכיות בנקודות.

בוא נלך למסלול האחורי:

- נקודה קריטית.

הבה נקבע את הסימנים, תוך התחשבות במרווחים רק מתוך היקף הפונקציה:

בנקודה שיש הטיה של הגרף, אנו מחשבים את האורדינאטה: