הוראות

אם ידועים רדיוס (R) של המעגל ואורך הקשת (L) התואם לזווית המרכזית הרצויה (θ), ניתן לחשב אותו הן במעלות והן ברדיאנים. הסכום הכולל נקבע לפי הנוסחה 2*π*R ומתאים לזווית מרכזית של 360° או שני מספרי Pi, אם משתמשים ברדיאנים במקום מעלות. לכן, המשך מהפרופורציה 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. ביטוי ממנו זווית מרכזיתברדיאנים θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R או מעלות θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π*R) וחשב לפי הנוסחה שהתקבלה.

בהתבסס על אורך האקורד (m) המחבר את הנקודות הקובעות את הזווית המרכזית (θ), ניתן לחשב את ערכו גם אם ידוע הרדיוס (R) של המעגל. כדי לעשות זאת, שקול משולש שנוצר על ידי שני רדיוסים ו. זה משולש שווה שוקיים, כולם ידועים, אבל צריך למצוא את הזווית מול הבסיס. הסינוס של חציו שווה ליחס בין אורך הבסיס - האקורד - לכפול מאורך הצלע - הרדיוס. לכן, השתמש בפונקציית הסינוס ההפוכה לחישובים - arcsine: θ = 2*arcsin(½*m/R).

ניתן לציין את הזווית המרכזית בשברי סיבוב או מזווית מסובבת. לדוגמה, אם אתה צריך למצוא את הזווית המרכזית המתאימה לרבע סיבוב מלא, חלקו 360° בארבע: θ = 360°/4 = 90°. אותו ערך ברדיאנים צריך להיות 2*π/4 ≈ 3.14/2 ≈ 1.57. הזווית הנפרשת שווה לחצי מהפכה מלאה, לכן, למשל, הזווית המרכזית המקבילה לרבע ממנה תהיה מחצית מהערכים המחושבים לעיל במעלות וברדיאנים.

היפוך של סינוס נקרא פונקציה טריגונומטרית arcsine. זה יכול לקחת ערכים בתוך מחצית המספר Pi, חיובי ושלילי כאחד. צד שליליכאשר נמדד ברדיאנים. כאשר נמדדים במעלות, ערכים אלו יהיו בהתאמה בטווח שבין -90° ל-+90°.

הוראות

אין צורך לחשב כמה ערכים "עגולים"; קל יותר לזכור אותם. לדוגמה: - אם ארגומנט הפונקציה הוא אפס, אז הקשת שלו היא גם אפס; - של 1/2 שווה ל-30° או 1/6 Pi, אם נמדד; - קשת של -1/2 הוא -30° או -1/6 מהמספר Pi ב; - הקשת של 1 שווה ל-90° או 1/2 מהמספר Pi ברדיאנים; - הקשת של -1 שווה ל-90° או -1/2 של המספר Pi ברדיאנים;

כדי למדוד את הערכים של פונקציה זו מארגומנטים אחרים, הדרך הקלה ביותר היא להשתמש במחשבון Windows רגיל, אם יש לך אחד בהישג יד. כדי להתחיל, פתח את התפריט הראשי בלחצן "התחל" (או על ידי לחיצה על מקש WIN), עבור לקטע "כל התוכניות", ולאחר מכן לסעיף המשנה "אביזרים" ולחץ על "מחשבון".

העבר את ממשק המחשבון למצב הפעלה המאפשר לך לחשב פונקציות טריגונומטריות. כדי לעשות זאת, פתח את הקטע "תצוגה" בתפריט שלו ובחר "הנדסה" או "מדעי" (בהתאם לסוג מערכת הפעלה).

הזן את הערך של הארגומנט שממנו יש לחשב את ה-arctangent. ניתן לעשות זאת על ידי לחיצה על הכפתורים בממשק המחשבון עם העכבר, או על ידי לחיצה על המקשים על, או על ידי העתקת הערך (CTRL + C) ולאחר מכן הדבקתו (CTRL + V) בשדה הקלט של המחשבון.

בחר את יחידות המדידה שבהן אתה צריך לקבל את התוצאה של חישוב הפונקציה. מתחת לשדה הקלט יש שלוש אפשרויות, מהן צריך לבחור (על ידי לחיצה עם העכבר) אחד - , רדיאנים או ראדים.

סמן את תיבת הסימון שהופכת את הפונקציות המצוינות בלחצני ממשק המחשבון. לידו כתובת קצרה Inv.

לחץ על כפתור החטא. המחשבון יהפוך את הפונקציה הקשורה אליו, יבצע את החישוב ויציג בפניכם את התוצאה ביחידות שצוינו.

סרטון על הנושא

אחת הבעיות הגיאומטריות הנפוצות היא חישוב השטח של קטע עגול - חלק המעגל התחום על ידי אקורד והאקורד המקביל בקשת מעגל.

שטחו של מקטע מעגלי שווה להפרש בין שטח המגזר המעגלי המתאים לשטח המשולש הנוצר מרדיוסים של המגזר המקביל למקטע והאקורד המגביל את המקטע.

דוגמה 1

אורך האקורד המשכן את המעגל שווה לערך a. מידת המעלות של הקשת המתאימה לאקורד היא 60°. מצא את השטח של הקטע העגול.

פִּתָרוֹן

משולש שנוצר על ידי שני רדיוסים ואקורד הוא שווה שוקיים, ולכן הגובה הנמשך מקודקוד הזווית המרכזית לצלע המשולש שנוצר על ידי המיתר יהיה גם חוצה של הזווית המרכזית, מחלק אותה לשניים, וה חציון, חלוקת האקורד לשניים. בידיעה שהסינוס של הזווית שווה ליחס בין הרגל הנגדית לתחתית, נוכל לחשב את הרדיוס:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, כאשר h הוא הגובה הנמשך מקודקוד הזווית המרכזית לאקורד. לפי משפט פיתגורס h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

בהתאם לכך, S▲=√3/4*a².

שטח הקטע, מחושב כ-Sreg = Sc - S▲, שווה ל:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

על ידי החלפת ערך מספרי בערך של a, תוכל לחשב בקלות את הערך המספרי של אזור הפלח.

דוגמה 2

רדיוס המעגל שווה ל-a. מידת המעלות של הקשת המתאימה לקטע היא 60°. מצא את השטח של הקטע העגול.

פִּתָרוֹן:

שטח המגזר המקביל זווית נתונהניתן לחשב באמצעות הנוסחה הבאה:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

השטח של המשולש המתאים למגזר מחושב באופן הבא:

S▲=1/2*ah, כאשר h הוא הגובה הנמשך מקודקוד הזווית המרכזית לאקורד. לפי משפט פיתגורס h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

בהתאם לכך, S▲=√3/4*a².

ולבסוף, שטח הקטע, מחושב כ-Sreg = Sc - S▲, שווה ל:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

הפתרונות בשני המקרים כמעט זהים. לפיכך, אנו יכולים להסיק שכדי לחשב את שטחו של קטע במקרה הפשוט ביותר, די לדעת את ערך הזווית התואמת לקשת הקטע ואחד משני פרמטרים - או רדיוס המעגל או אורך האקורד שמשכין את קשת המעגל היוצר את הקטע.

מקורות:

• פלח - גיאומטריה

זו הזווית שנוצרת על ידי שניים אקורדים, שמקורו בנקודה אחת על המעגל. אומרים שזווית חרוטה נחעל הקשת הסגורה בין הצדדים שלה.

זווית כתובהשווה למחצית הקשת עליה הוא נשען.

במילים אחרות, זווית חרוטהכולל כמה מעלות זוויתיות, דקות ושניות מעלות קשת, דקות ושניות כלולות במחצית הקשת שעליה הוא נשען. כדי להצדיק זאת, הבה ננתח שלושה מקרים:

מקרה ראשון:

מרכז O ממוקם בצד זווית חרוטהא ב ג. ציור הרדיוס AO, נקבל ΔABO, בו OA = OB (כרדיוסים) ובהתאם לכך, ∠ABO = ∠BAO. ביחס לזה משולש, זווית AOC - חיצוני. וזה אומר שהוא שווה לסכוםזוויות ABO ו-BAO, או שווה לזווית כפולה ABO. אז ∠ABO שווה לחצי זווית מרכזית AOC. אבל זווית זו נמדדת על ידי קשת AC. כלומר, הזווית הרשומה ABC נמדדת במחצית מהקשת AC.

מקרה שני:

מרכז O ממוקם בין הצדדים זווית חרוטה ABC לאחר שציירנו את הקוטר BD, נחלק את הזווית ABC לשתי זוויות, מהן, לפי המקרה הראשון, אחת נמדדת בחצי קשתות AD, והחצי השני של תקליטור הקשת. ובהתאם לכך, זווית ABC נמדדת (AD+DC) /2, כלומר. 1/2 AC.

מקרה שלישי:

מרכז O ממוקם בחוץ זווית חרוטהא ב ג. ציור הקוטר BD, יהיה לנו: ∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . אבל זוויות ABD ו-CBD נמדדות על סמך החצי שהוצדק קודם לכן קֶשֶׁת AD ו-CD. ומכיוון ש∠ABC נמדד על ידי (AD-CD)/2, כלומר, חצי קשת AC.

מסקנה 1.כל אלה המבוססים על אותה קשת זהים, כלומר שווים זה לזה. מכיוון שכל אחד מהם נמדד במחצית מאותו הדבר קשתות .

מסקנה 2. זווית כתובה, על סמך הקוטר - זווית נכונה. מכיוון שכל זווית כזו נמדדת בחצי חצי עיגול, ובהתאם, מכילה 90°.

רמה ממוצעת

עיגול וזווית כתובה. מדריך ויזואלי (2019)

תנאים בסיסיים.

עד כמה אתה זוכר את כל השמות הקשורים למעגל? ליתר בטחון, הרשו לנו להזכיר לכם - הסתכלו בתמונות - רענו את הידע שלכם.

ראשית - מרכז המעגל הוא נקודה שממנה המרחקים מכל הנקודות במעגל זהים.

שנית - רַדִיוּס - קטע קו המחבר את המרכז ונקודה על המעגל.

יש הרבה רדיוסים (כמה שיש נקודות על המעגל), אבל לכל הרדיוסים יש אותו אורך.

לפעמים בקיצור רַדִיוּסקוראים לזה בדיוק אורך הקטע"המרכז הוא נקודה על המעגל", ולא הקטע עצמו.

והנה מה שקורה אם מחברים שתי נקודות במעגל? גם קטע?

אז, קטע זה נקרא "אַקוֹרד".

בדיוק כמו במקרה של רדיוס, קוטר הוא לרוב אורך קטע המחבר שתי נקודות במעגל ועובר במרכז. אגב, איך קוטר ורדיוס קשורים? תסתכל היטב. כמובן, הרדיוס שווה למחצית הקוטר.

בנוסף לאקורדים, יש גם סקאנטים.

זוכרים את הדבר הכי פשוט?

זווית מרכזית היא הזווית בין שני רדיוסים.

ועכשיו - הזווית הכתובה

זווית כתובה - הזווית בין שני אקורדים המצטלבים בנקודה על מעגל.

במקרה זה, הם אומרים שהזווית הכתובה מונחת על קשת (או על אקורד).

תסתכל על התמונה:

מדידות של קשתות וזוויות.

הֶקֵף. קשתות וזוויות נמדדות במעלות וברדיאנים. ראשית, לגבי תארים. אין בעיות בזוויות - אתה צריך ללמוד איך למדוד את הקשת במעלות.

מידת המעלות (גודל הקשת) היא הערך (במעלות) של הזווית המרכזית המתאימה

מה פירוש המילה "מתאים" כאן? בואו נסתכל היטב:

האם אתה רואה שתי קשתות ושתי זוויות מרכזיות? ובכן, קשת גדולה יותר מתאימה לזווית גדולה יותר (וזה בסדר שהיא גדולה יותר), וקשת קטנה יותר מתאימה לזווית קטנה יותר.

אז, הסכמנו: הקשת מכילה את אותו מספר של מעלות כמו הזווית המרכזית המתאימה.

ועכשיו לגבי הדבר המפחיד - לגבי רדיאנים!

איזו חיה היא ה"רדיאן" הזה?

תדמיין את זה: רדיאנים הם דרך למדוד זוויות... ברדיוסים!

זווית של רדיאנים היא זווית מרכזית שאורך הקשת שלה שווה לרדיוס המעגל.

ואז נשאלת השאלה - כמה רדיאנים יש בזווית ישרה?

במילים אחרות: כמה רדיוסים "מתאימים" בחצי עיגול? או בדרך אחרת: כמה פעמים אורך חצי עיגול גדול מהרדיוס?

מדענים שאלו את השאלה הזו עוד ביוון העתיקה.

וכך, לאחר חיפוש ארוך, גילו שהיחס בין היקף לרדיוס לא רוצה להתבטא במספרים "אנושיים" כמו וכו'.

ואי אפשר אפילו לבטא את הגישה הזו דרך שורשים. כלומר, מסתבר שאי אפשר לומר שחצי עיגול גדול פי כמה או פי כמה מהרדיוס! אתה יכול לתאר לעצמך כמה מדהים זה היה שאנשים גילו את זה בפעם הראשונה?! עבור היחס בין אורך חצי עיגול לרדיוס, מספרים "רגילים" לא הספיקו. הייתי צריך להזין מכתב.

אז, - זהו מספר המבטא את היחס בין אורך חצי העיגול לרדיוס.

כעת נוכל לענות על השאלה: כמה רדיאנים יש בזווית ישרה? הוא מכיל רדיאנים. בדיוק בגלל שחצי המעגל גדול פי כמה מהרדיוס.

אנשים עתיקים (ולא כל כך עתיקים) לאורך המאות (!) ניסו לחשב בצורה מדויקת יותר את המספר המסתורי הזה, כדי לבטא אותו טוב יותר (לפחות בערך) באמצעות מספרים "רגילים". ועכשיו אנחנו עצלנים להפליא - מספיקים לנו שני סימנים אחרי יום עמוס, אנחנו רגילים

תחשוב על זה, זה אומר, למשל, שאורך מעגל עם רדיוס אחד שווה בערך, אבל את האורך המדויק הזה פשוט בלתי אפשרי לרשום עם מספר "אנושי" - אתה צריך אות. ואז ההיקף הזה יהיה שווה. וכמובן, היקף הרדיוס שווה.

בואו נחזור לרדיאנים.

כבר גילינו שזווית ישרה מכילה רדיאנים.

מה יש לנו:

זה אומר שאני שמח, כלומר, אני שמח. באותו אופן מתקבלת צלחת עם הזוויות הפופולריות ביותר.

הקשר בין ערכי הזוויות הכתובות והמרכזיות.

יש עובדה מדהימה:

הזווית הרשומה היא חצי מגודל הזווית המרכזית המתאימה.

תראה איך האמירה הזו נראית בתמונה. זווית מרכזית "מקבילה" היא זו שקצותיה חופפים לקצוות הזווית הרשומה, והקודקוד נמצא במרכז. ויחד עם זאת, הזווית המרכזית "המקבילה" חייבת "להסתכל" באותו אקורד () כמו הזווית הרשומה.

למה זה כל כך? בואו נסתכל קודם על מקרה פשוט. תנו לאחד האקורדים לעבור במרכז. זה קורה ככה לפעמים, נכון?

מה קרה פה? בואו נשקול. זה שווה שוקיים - אחרי הכל, ו - רדיוסים. אז, (סייג אותם).

עכשיו בואו נסתכל על. זו הפינה החיצונית עבור! נזכיר שזווית חיצונית שווה לסכום של שתי זוויות פנימיות שאינן סמוכות לה, וכותבים:

זה! השפעה בלתי צפויה. אבל יש גם זווית מרכזית עבור הכתובים.

זה אומר שבמקרה זה הוכיחו שהזווית המרכזית היא פי שניים מהזווית הרשומה. אבל זה כואב מדי מקרה מיוחד: האם זה נכון שהאקורד לא תמיד עובר ישר דרך המרכז? אבל זה בסדר, עכשיו המקרה הספציפי הזה יעזור לנו מאוד. תראה: מקרה שני: תן למרכז לשכב בפנים.

בואו נעשה את זה: לצייר את הקוטר. ואז... אנחנו רואים שתי תמונות שכבר נותחו במקרה הראשון. לכן כבר יש לנו את זה

זה אומר (בציור, א)

ובכן, זה משאיר את המקרה האחרון: המרכז נמצא מחוץ לפינה.

אנחנו עושים את אותו הדבר: מציירים את הקוטר דרך הנקודה. הכל אותו דבר, אבל במקום סכום יש הבדל.

זה הכל!

כעת ניצור שתי השלכות עיקריות וחשובות מאוד מהאמירה שהזווית הרשומה היא חצי מהזווית המרכזית.

מסקנה 1

כל הזוויות הכתובות המבוססות על קשת אחת שוות זו לזו.

אנו מדגים:

ישנן אינספור זוויות חרוטות המבוססות על אותה קשת (יש לנו את הקשת הזו), הן עשויות להיראות שונות לחלוטין, אבל לכולן יש את אותה זווית מרכזית (), מה שאומר שכל הזוויות הכתובות הללו שוות בינן לבין עצמן.

מסקנה 2

הזווית המונחת על ידי הקוטר היא זווית ישרה.

תראה: באיזו זווית מרכזית?

בוודאי,. אבל הוא שווה! ובכן, לכן (כמו גם הרבה יותר זוויות חרוטות הנשענות על) והוא שווה.

זווית בין שני אקורדים וסקאנטים

אבל מה אם הזווית שבה אנו מעוניינים לא כתובה ולא מרכזית, אלא, למשל, כך:

או ככה?

האם אפשר איכשהו לבטא את זה דרך כמה זוויות מרכזיות? מסתבר שזה אפשרי. תראה: אנחנו מעוניינים.

א) (כפינה חיצונית ל). אבל - רשום, מונח על הקשת -. - רשום, מונח על הקשת - .

בשביל היופי אומרים:

הזווית בין האקורדים שווה למחצית מסכום הערכים הזוויתיים של הקשתות הכלומות בזווית זו.

הם כותבים את זה לקיצור, אבל כמובן, כאשר משתמשים בנוסחה זו אתה צריך לזכור את הזוויות המרכזיות

ב) ועכשיו - "בחוץ"! איך להיות? כן, כמעט אותו דבר! רק עכשיו (שוב אנו מיישמים את המאפיין של הזווית החיצונית עבור). זה עכשיו.

וזה אומר... בואו נביא יופי וקיצור להערות ולניסוח:

הזווית בין הססקנטים שווה למחצית מההפרש בערכי הזווית של הקשתות הכלומות בזווית זו.

ובכן, עכשיו אתה חמוש בכל הידע הבסיסי על זוויות הקשורות למעגל. קדימה, קחו על עצמכם את האתגרים!

זווית עיגול וסינרי. רמה ממוצעת

אפילו ילד בן חמש יודע מה זה מעגל, נכון? למתמטיקאים, כמו תמיד, יש הגדרה תמימה בנושא זה, אבל לא ניתן אותה (ראו), אלא נזכור איך נקראות הנקודות, הקווים והזוויות הקשורות למעגל.

תנאים חשובים

קוֹדֶם כֹּל:

מרכז המעגל- נקודה שממנה כל הנקודות במעגל נמצאות באותו מרחק.

שנית:

יש עוד ביטוי מקובל: "האקורד מכווץ את הקשת". כאן באיור, למשל, האקורד מכסה את הקשת. ואם אקורד עובר לפתע במרכז, אז יש לו שם מיוחד: "קוטר".

אגב, איך קוטר ורדיוס קשורים? תסתכל היטב. כמובן,

ועכשיו - השמות לפינות.

טבעי, לא? צלעות הזווית משתרעות מהמרכז - מה שאומר שהזווית היא מרכזית.

כאן מתעוררים לפעמים קשיים. שים לב - אף זווית בתוך מעגל אינה כתובה,אלא רק אחד שקודקודו "יושב" על המעגל עצמו.

בוא נראה את ההבדל בתמונות:

דרך אחרת אומרים:

יש כאן נקודה מסובכת אחת. מהי הזווית המרכזית "המקבילה" או "שלו"? רק זווית עם הקודקוד במרכז המעגל והקצוות בקצוות הקשת? לא בוודאי בצורה כזו. תסתכל על הציור.

אחד מהם, לעומת זאת, אפילו לא נראה כמו פינה - הוא גדול יותר. אבל למשולש לא יכול להיות יותר זוויות, אבל מעגל עשוי בהחלט! אז: הקשת הקטנה יותר AB מתאימה לזווית קטנה יותר (כתומה), והקשת הגדולה יותר מתאימה לזווית גדולה יותר. סתם ככה, לא?

הקשר בין גדלות הזווית הכתובה והמרכזית

זכור את ההצהרה החשובה הזו:

בספרי לימוד הם אוהבים לכתוב את אותה עובדה כך:

נכון שהניסוח פשוט יותר עם זווית מרכזית?

אבל בכל זאת, בואו נמצא התאמה בין שני הניסוחים, ובמקביל נלמד למצוא בציורים את הזווית המרכזית ה"מקבילה" ואת הקשת שעליה "נשענת" הזווית הכתובה.

תראה: הנה עיגול וזווית חרוטה:

איפה הזווית המרכזית ה"מקבילה" שלו?

בואו נסתכל שוב:

מה הכלל?

אבל! במקרה זה, חשוב שהזוויות הכתובות והמרכזיות "יסתכלו" על הקשת מצד אחד. לדוגמה:

באופן מוזר, כחול! מכיוון שהקשת ארוכה, ארוכה יותר ממחצית המעגל! אז לעולם אל תתבלבלו!

איזו תוצאה ניתן להסיק מ"חציות" הזווית הכתובה?

אבל, למשל:

זווית מונחת לפי קוטר

כבר שמתם לב שמתמטיקאים אוהבים לדבר על אותם דברים. במילים שונות? למה הם צריכים את זה? אתה מבין, שפת המתמטיקה, למרות שהיא פורמלית, חיה, ולכן, כמו בשפה רגילה, בכל פעם שאתה רוצה לומר אותה בצורה נוחה יותר. ובכן, כבר ראינו מה המשמעות של "זווית מונחת על קשת". ותארו לעצמכם, אותה תמונה נקראת "זווית נשענת על אקורד". על מה? כן, כמובן, לזה שמהדק את הקשת הזו!

מתי יותר נוח להסתמך על אקורד מאשר על קשת?

ובכן, בפרט, כאשר האקורד הזה הוא קוטר.

יש אמירה פשוטה, יפה ושימושית להפתיע למצב כזה!

תראה: הנה המעגל, הקוטר והזווית שנשענת עליו.

זווית עיגול וסינרי. בקצרה על הדברים העיקריים

1. מושגי יסוד.

3. מדידות של קשתות וזוויות.

זווית של רדיאנים היא זווית מרכזית שאורך הקשת שלה שווה לרדיוס המעגל.

זהו מספר המבטא את היחס בין אורך חצי עיגול לרדיוס שלו.

היקף הרדיוס שווה ל.

4. הקשר בין ערכי הזווית הכתובה והמרכזית.

זווית כתובה, תורת הבעיה. חברים! במאמר זה נדבר על משימות שעבורן אתה צריך לדעת את המאפיינים של זווית חרוטה. זוהי קבוצה שלמה של משימות, הן נכללות בבחינת המדינה המאוחדת. רובם ניתנים לפתרון פשוט מאוד, בפעולה אחת.

ישנן בעיות קשות יותר, אבל הן לא יהוו קושי רב עבורך; אתה צריך לדעת את המאפיינים של זווית חרוטה. לאט לאט ננתח את כל אבות הטיפוס של המשימות, אני מזמינה אותך לבלוג!

עכשיו התיאוריה הדרושה. הבה נזכור מהי זווית מרכזית וכתובה, אקורד, קשת, שעליה נשענות הזוויות הללו:

הזווית המרכזית במעגל היא זווית מישורית עםקודקוד במרכזו.

החלק במעגל שנמצא בתוך זווית מישוריתנקראת קשת מעגל.

מידת המעלות של קשת מעגל נקראת מידת המעלותהזווית המרכזית המתאימה.

אומרים שזווית כתובה במעגל אם קודקוד הזווית נמצאעל מעגל, וצידי הזווית חותכים את המעגל הזה.

קטע המחבר שתי נקודות במעגל נקראאַקוֹרד. האקורד הגדול ביותר עובר דרך מרכז המעגל ונקראקוֹטֶר.

כדי לפתור בעיות הכרוכות בזוויות הכתובות במעגל,אתה צריך להכיר את המאפיינים הבאים:

1. הזווית הרשומה שווה לחצי מהזווית המרכזית, בהתבסס על אותה קשת.

2. כל הזוויות הכתובות המשתנות את אותה קשת שוות.

3. כל הזוויות הכתובות המבוססות על אותו אקורד ושקודקודיהן מונחות על אותו צד של אקורד זה שוות.

4. כל זוג זוויות המבוסס על אותו אקורד, שקודקודיו נמצאים בצדדים מנוגדים של האקורד, מסתכמים ב-180°.

מסקנה: הזוויות ההפוכות של מרובע הכתובות במעגל מסתכמות ב-180 מעלות.

5. כל הזוויות הכתובות תחתונות בקוטר הן זוויות ישרות.

ככלל, קניין זה הוא תוצאה של קניין (1), זהו המקרה המיוחד שלו. תראה - הזווית המרכזית שווה ל-180 מעלות (וזוית פרוסה זו היא לא יותר מקוטר), כלומר, לפי התכונה הראשונה, הזווית הרשומה C שווה למחצית ממנה, כלומר 90 מעלות.

הכרת נכס זה מסייעת בפתרון בעיות רבות ולעיתים מאפשרת להימנע מחישובים מיותרים. לאחר שליטת בו היטב, תוכל לפתור יותר ממחצית מהבעיות מסוג זה בעל פה. שתי מסקנות שאפשר להסיק:

מסקנה 1: אם משולש רשום במעגל ואחת מצלעיו חופפת לקוטר של עיגול זה, אזי המשולש ישר זווית (קודקוד זווית נכונהשוכב על המעגל).

מסקנה 2: מרכז המתואר על משולש ישר זוויתהעיגול חופף לאמצע התחתון שלו.

אבות טיפוס רבים של בעיות סטריאומטריות נפתרות גם על ידי שימוש בתכונה זו ובהשלכות אלו. זכור את העובדה עצמה: אם קוטר מעגל הוא צלע של משולש רשום, אז המשולש הזה הוא ישר זווית (הזווית מול הקוטר היא 90 מעלות). אתה יכול להסיק את כל המסקנות וההשלכות האחרות בעצמך; אתה לא צריך ללמד אותן.

ככלל, מחצית מהבעיות בזווית כתובה ניתנות בשרטוט, אך ללא סמלים. כדי להבין את תהליך החשיבה בעת פתרון בעיות (למטה במאמר), מוצגים סימונים לקודקודים (זוויות). אתה לא צריך לעשות זאת בבחינת המדינה המאוחדת.בואו נבחן את המשימות:

מהו הערך של זווית חרוטת חדה מכוסה על ידי מיתר השווה לרדיוס המעגל? תן את תשובתך במעלות.

הבה נבנה זווית מרכזית עבור זווית כתובה נתונה ונציין את הקודקודים:

לפי התכונה של זווית הרשומה במעגל:

זווית AOB שווה ל-60 0, מכיוון שהמשולש AOB שווה צלעות, ובמשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות ל-60 0. צלעות המשולש שוות, שכן התנאי אומר שהאקורד שווה לרדיוס.

לפיכך, הזווית הרשומה ACB שווה ל-30 0.

תשובה: 30

מצא את האקורד הנתמך על ידי זווית של 30 0 הרשומה במעגל ברדיוס 3.

זה בעצם בעיה הפוכה(קודם). בואו נבנה את הזווית המרכזית.

הוא גדול פי שניים מהכתובת, כלומר זווית AOB שווה ל-60 0. מכאן נוכל להסיק שמשולש AOB הוא שווה צלעות. לפיכך, האקורד שווה לרדיוס, כלומר שלוש.

תשובה: 3

רדיוס המעגל הוא 1. מצא את גודל הזווית הקהה הכתובה בתחתית המיתר השווה לשורש של שניים. תן את תשובתך במעלות.

בואו נבנה את הזווית המרכזית:

לדעת את הרדיוס והאקורד, נוכל למצוא את הזווית המרכזית ASV. ניתן לעשות זאת באמצעות משפט הקוסינוס. בידיעה של הזווית המרכזית, נוכל למצוא בקלות את הזווית הרשומה ACB.

משפט קוסינוס: הריבוע של כל צלע במשולש שווה לסכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות, ללא מכפלה כפולה של הצלעות הללו בקוסינוס הזווית ביניהן.

לכן, הזווית המרכזית השנייה היא 360 0 – 90 0 = 270 0 .

זווית ACB, לפי המאפיין של זווית חרוטה, שווה למחצית ממנה, כלומר 135 מעלות.

תשובה: 135

מצא את האקורד בתחתית זווית של 120 מעלות הרשומה במעגל עם שורש רדיוס של שלושה.

נחבר את נקודות A ו-B למרכז המעגל. בואו נסמן את זה כ-O:

אנו יודעים את הרדיוס ואת הזווית הכתובה ASV. נוכל למצוא את הזווית המרכזית AOB (גדולה מ-180 מעלות), ואז למצוא את הזווית AOB במשולש AOB. ואז, באמצעות משפט הקוסינוס, חשב את AB.

לפי תכונת הזווית הרשומה, הזווית המרכזית AOB (שגדולה מ-180 מעלות) תהיה שווה לכפולה מהזווית הרשומה, כלומר 240 מעלות. המשמעות היא שזווית AOB במשולש AOB שווה ל-360 0 - 240 0 = 120 0.

לפי משפט הקוסינוס:

תשובה: 3

מצא את הזווית הרשומה תחת קשת שהיא 20% מהמעגל. תן את תשובתך במעלות.

לפי התכונה של זווית חרוטה, היא בגודל חצי מהזווית המרכזית על בסיס אותה קשת, במקרה הזה אנחנו מדברים על הקשת AB.

אומרים שהקשת AB היא 20 אחוז מההיקף. המשמעות היא שגם הזווית המרכזית AOB היא 20 אחוז מ-360 0.*מעגל הוא זווית של 360 מעלות. אומר,

לפיכך, הזווית הרשומה ACB היא 36 מעלות.

תשובה: 36

קשת של מעגל א.כ., לא מכיל נקודה ב, הוא 200 מעלות. וקשת מעגל לפני הספירה, שאינה מכילה נקודה א, הוא 80 מעלות. מצא את הזווית הרשומה ACB. תן את תשובתך במעלות.

למען הבהירות, הבה נסמן את הקשתות שהמידות הזוויתיות שלהן ניתנות. קשת התואמת ל-200 מעלות - צבע כחול, הקשת המקבילה ל-80 מעלות היא אדומה, החלק הנותר של המעגל הוא צהוב.

לפיכך, מידת המעלות של הקשת AB (צהוב), ולכן הזווית המרכזית AOB היא: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

הזווית הכתובה ACB היא חצי מגודל הזווית המרכזית AOB, כלומר שווה ל-40 מעלות.

תשובה: 40

מהי הזווית הרשומה תחת קוטר המעגל? תן את תשובתך במעלות.

זווית מרכזית- היא הזווית שנוצרת על ידי שני רדיוסים מעגל. דוגמה לזווית מרכזית היא זווית AOB, BOC, COE וכן הלאה.

על אודות פינה מרכזיתו קֶשֶׁתשנאמר בין הצדדים שלה לְהִתְכַּתֵבאחד את השני.

1. אם זוויות מרכזיות קשתותשווים.

2. אם זוויות מרכזיותאינם שווים, אז הגדול שבהם מתאים לגדול יותר קֶשֶׁת.

תנו ל-AOB ול-COD להיות שניים זוויות מרכזיות,שווה או לא שווה. הבה נסובב את הגזרה AOB סביב המרכז בכיוון המצוין ע"י החץ, כך שהרדיוס OA יתאים ל-OC. ואז, אם הזוויות המרכזיות שוות, אז הרדיוס OA יתאים ל-OD והקשת AB עם הקשת CD. .

זה אומר שהקשתות האלה יהיו שוות.

אם זוויות מרכזיותאינם שווים, אז הרדיוס OB לא יעבור לאורך OD, אלא בכיוון אחר, למשל, לאורך OE או OF. בשני המקרים, זווית גדולה יותר מתאימה כמובן לקשת גדולה יותר.

המשפט שהוכחנו עבור מעגל אחד נשאר נכון עבורו מעגלים שווים, כי מעגלים כאלה אינם שונים זה מזה בשום דבר מלבד עמדתם.

הצעות הפוכותיהיה גם נכון . במעגל אחד או במעגלים שווים:

1. אם קשתותשווים, ואז המקבילים שלהם זוויות מרכזיותשווים.

2. אם קשתותאינם שווים, אז הגדול שבהם מתאים לגדול יותר זווית מרכזית.

במעגל אחד או במעגלים שווים, זוויות מרכזיות קשורות כקשתות המתאימות להן. או בפרפרזה נקבל את הזווית המרכזית יַחֲסִיהקשת המקבילה שלו.