I. כמויות פרופורציונליות ישירות.

תן את הערך yתלוי בגודל איקס. אם עם עלייה איקספי כמה מהגודל בְּ-גדל באותו גורם, ואז ערכים כאלה איקסו בְּ-נקראים פרופורציונליים ישירים.

דוגמאות.

1 . כמות הסחורה הנרכשת ועלות הרכישה (במחיר קבוע של יחידת סחורה אחת - 1 חתיכה או 1 ק"ג וכו') כמה פעמים יותר סחורה נקנתה, כל כך הרבה פעמים יותר ושולם.

2 . המרחק שנסע והזמן המושקע בו (במהירות קבועה). כמה פעמים אורך הדרך, פי כמה יותר זמן נבלה בו.

3 . נפח הגוף והמסה שלו. ( אם אבטיח אחד גדול פי 2 מהאחר, המסה שלו תהיה גדולה פי 2)

II. המאפיין של מידתיות ישירה של כמויות.

אם שתי כמויות פרופורציונליות, אז היחס בין שני ערכים שרירותיים של הכמות הראשונה שווה ליחס של שני הערכים התואמים של הכמות השנייה.

משימה 1.לריבת פטל 12 ק"גפטל ו 8 ק"גסהרה. כמה סוכר יידרש אם נלקח 9 ק"גפטל?

פִּתָרוֹן.

אנחנו טוענים כך: שיהיה צורך x ק"גסוכר על 9 ק"גפטל. מסת הפטל ומסת הסוכר עומדות ביחס ישר: כמה פעמים פחות פטל, אותה כמות סוכר נדרשת. לכן, היחס בין הפטל שנלקח (לפי משקל) 12:9 ) יהיה שווה ליחס הסוכר שנלקח ( 8:x). נקבל את הפרופורציה:

12: 9=8: איקס;

x=9 · 8: 12;

x=6. תשובה:עַל 9 ק"גפטל לקחת 6 ק"גסהרה.

פתרון הבעיהאפשר היה לעשות ככה:

עזוב 9 ק"גפטל לקחת x ק"גסהרה.

(החצים באיור מכוונים לכיוון אחד, וזה לא משנה למעלה או למטה. משמע: כמה פעמים המספר 12 מספר נוסף 9 , אותו מספר 8 מספר נוסף איקס, כלומר, יש כאן תלות ישירה).

תשובה:עַל 9 ק"גפטל לקחת 6 ק"גסהרה.

משימה 2.מכונית עבור 3 שעותנסע מרחק 264 ק"מ. כמה זמן ייקח לו 440 ק"מאם הוא נוסע באותה מהירות?

פִּתָרוֹן.

תן ל x שעות המכונית תעבורמֶרְחָק 440 ק"מ.

תשובה:המכונית תעבור 440 ק"מ ב-5 שעות.

דוגמא

1.6 / 2 = 0.8; 4/5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 וכו'.

גורם מידתיות

היחס הקבוע של כמויות פרופורציונליות נקרא מקדם מידתיות. מקדם המידתיות מראה כמה יחידות של כמות אחת נופלות על יחידה של אחרת.

מידתיות ישירה

מידתיות ישירה- תלות תפקודית, שבה כמות כלשהי תלויה בכמות אחרת באופן שהיחס שלהן נשאר קבוע. במילים אחרות, משתנים אלה משתנים באופן פרופורציונלי, בחלקים שווים, כלומר, אם הארגומנט השתנה פעמיים בכל כיוון, אז הפונקציה משתנה גם פעמיים באותו כיוון.

מבחינה מתמטית, מידתיות ישירה נכתבת כנוסחה:

ו(איקס) = אאיקס,א = גoנסט

מידתיות הפוכה

פרופורציה הפוכה- זוהי תלות פונקציונלית, שבה עלייה בערך הבלתי תלוי (טיעון) גורמת לירידה פרופורציונלית בערך התלוי (פונקציה).

מבחינה מתמטית, מידתיות הפוכה נכתבת כנוסחה:

מאפייני פונקציה:

מקורות

קרן ויקימדיה. 2010 .

§ 129. הבהרות ראשוניות.

האדם מתמודד כל הזמן עם מגוון רחב של כמויות. העובד והעובד מנסים להגיע לשירות, לעבוד עד שעה מסוימת, הולך הרגל ממהר להגיע למקום מסוים במסלול הקצר ביותר, מקור החימום בקיטור דואג שהטמפרטורה בדוד עולה לאט, מנהל העסק מתכנן להוזיל את עלות הייצור וכו'.

ניתן להביא כל מספר של דוגמאות כאלה. זמן, מרחק, טמפרטורה, עלות - כל אלה הם כמויות שונות. בחלק הראשון והשני של ספר זה, התוודענו לכמה כמויות נפוצות במיוחד: שטח, נפח, משקל. אנו נתקלים בכמויות רבות בחקר הפיזיקה ובמדעים אחרים.

תאר לעצמך שאתה על רכבת. מדי פעם אתה מסתכל בשעון שלך ושם לב כמה זמן כבר היית בדרכים. אתה אומר, למשל, שחלפו 2, 3, 5, 10, 15 שעות וכו' מאז יציאת הרכבת שלך, המספרים הללו מציינים פרקי זמן שונים; הם נקראים ערכים של כמות זו (זמן). או שאתה מסתכל מהחלון ועוקב אחר עמודי הכביש למרחק שהרכבת שלך נוסעת. המספרים 110, 111, 112, 113, 114 ק"מ מהבהבים לפניכם. מספרים אלו מציינים את המרחקים השונים שעברה הרכבת מנקודת המוצא. הם נקראים גם ערכים, הפעם עם ערך שונה (נתיב או מרחק בין שתי נקודות). לפיכך, ערך אחד, למשל, זמן, מרחק, טמפרטורה, יכול לקבל כל אחד משמעויות שונות.

שימו לב לעובדה שאדם כמעט אף פעם לא מחשיב רק ערך אחד, אלא תמיד מחבר אותו עם כמה ערכים אחרים. הוא צריך להתמודד עם שניים, שלוש ו מספר גדולכמיות. תאר לעצמך שאתה צריך להגיע לבית הספר עד השעה 9. אתה מסתכל בשעון ורואה שיש לך 20 דקות. ואז אתה מחליט מהר אם אתה צריך לקחת את החשמלית או שיהיה לך זמן ללכת ברגל לבית הספר. לאחר חשיבה, אתה מחליט ללכת ברגל. שימו לב שבזמן שחשבת, פתרת בעיה כלשהי. משימה זו הפכה פשוטה ומוכרת, מכיוון שאתה פותר בעיות כאלה מדי יום. השווית בו במהירות מספר ערכים. אתה זה שהסתכל על השעון, מה שאומר שלקחת בחשבון את השעה, ואז דמיינת נפשית את המרחק מהבית שלך לבית הספר; לבסוף, השוו שני כמויות: מהירות הצעד שלך ומהירות החשמלית, והגעת למסקנה שבזמן נתון (20 דקות) יהיה לך זמן ללכת. מזה דוגמה פשוטהאתה רואה שבתרגול שלנו כמה כמויות קשורות זו בזו, כלומר, הן תלויות זו בזו

בפרק יב, סופר על היחס בין כמויות הומוגניות. לדוגמה, אם קטע אחד הוא 12 מ' והשני 4 מ', אז היחס בין הקטעים הללו יהיה 12:4.

אמרנו שזה היחס בין שתי כמויות הומוגניות. במילים אחרות, זה היחס בין שני מספרים שם אחד.

כעת, לאחר שהכרנו יותר את הכמויות והכנסנו את המושג ערך של כמות, אנו יכולים להגדיר את ההגדרה של יחס בצורה חדשה. ואכן, כאשר שקלנו שני קטעים 12 מ' ו-4 מ', דיברנו על ערך אחד - אורך, ו-12 מ' ו-4 מ' - אלו היו רק שניים. משמעויות שונותהערך הזה.

לכן, בעתיד, כשנתחיל לדבר על יחס, נשקול שני ערכים של אחת מכמה כמויות, והיחס בין ערך אחד של כמות לערך אחר באותה כמות ייקרא מנת החלוקה הערך הראשון לפי השני.

§ 130. הכמויות הן פרופורציונליות.

חשבו על בעיה שמצבה כולל שני כמויות: מרחק וזמן.

משימה 1.גוף שנע בקו ישר ועובר באופן אחיד 12 ס"מ בכל שנייה. קבע את הנתיב שעבר הגוף תוך 2, 3, 4, ..., 10 שניות.

בואו נכין טבלה לפיה ניתן יהיה לעקוב אחר השינוי בזמן ובמרחק.

הטבלה נותנת לנו הזדמנות להשוות בין שתי סדרות ערכים אלו. אנו רואים ממנו שכאשר ערכי הכמות הראשונה (זמן) עולים בהדרגה פי 2, 3, ..., פי 10, אז גם ערכי הכמות השנייה (המרחק) גדלים ב-2, 3, ..., 10 פעמים. לפיכך, כאשר הערכים של כמות אחת עולים פי כמה, ערכי כמות אחרת עולים באותה כמות, וכאשר ערכי כמות אחת יורדים פי כמה, ערכי הכמות השנייה יורדים ב- אותה כמות.

חשבו כעת על בעיה הכוללת שתי כמויות כאלה: כמות החומר ועלותו.

משימה 2. 15 מ' של בד עלות 120 רובל. חשב את העלות של בד זה עבור מספר כמויות אחרות של מטרים המצוינות בטבלה.

מטבלה זו ניתן לראות כיצד ערכה של סחורה עולה בהדרגה, בהתאם לעלייה בכמותה. למרות העובדה שבבעיה זו מופיעות כמויות שונות לחלוטין (בבעיה הראשונה - זמן ומרחק, וכאן - כמות הסחורה ועלותה), בכל זאת, ניתן למצוא דמיון רב בהתנהגות הכמויות הללו.

ואכן, בשורה העליונה של הטבלה מופיעים מספרים המציינים את מספר המטרים של הבד, מתחת לכל אחד מהם כתוב מספר המבטא את עלות כמות הסחורה המתאימה. אפילו מבט חטוף בטבלה זו מראה שהמספרים הן בשורה העליונה והן בשורה התחתונה הולכים וגדלים; בדיקה מדוקדקת יותר של הטבלה והשוואה של עמודות בודדות מגלה שבכל המקרים ערכי הכמות השנייה עולים כמו ערכי העלייה הראשונה, כלומר אם ערכה של הכמות הראשונה גדל, נגיד, פי 10, אז גם הערך של הערך השני עלה פי 10.

אם נסתכל על הטבלה מימין לשמאל, נגלה שהערכים המצוינים של הכמויות יפחתו באותו מספר פעמים. במובן זה, קיים דמיון בלתי מותנה בין המשימה הראשונה לשנייה.

צמדי הכמויות שפגשנו בבעיה הראשונה והשנייה נקראים ביחס ישר.

לפיכך, אם שתי כמויות מחוברות זו לזו כך שעם עלייה (ירידה) בערך של אחת מהן מספר פעמים, ערכה של האחרת עולה (יורד) באותה כמות, אזי כמויות כאלה נקראות פרופורציונליות.

הם גם אומרים על כמויות כאלה שהם קשורים זה בזה על ידי תלות פרופורציונלית.

בטבע ובחיים שסביבנו יש הרבה כמויות כאלה. הנה כמה דוגמאות:

1. זְמַןעבודה (יום, יומיים, שלושה ימים וכו') ו רווחיםקיבל במהלך תקופה זו בשכר יום.

2. כרךכל חפץ העשוי מחומר הומוגני, ו מִשׁקָלפריט זה.

§ 131. הקניין של כמויות פרופורציונליות ישירות.

ניקח בעיה הכוללת את שתי הכמויות הבאות: זמן עבודהורווחים. אם הרווחים היומיים הם 20 רובל, אז הרווחים ליומיים יהיו 40 רובל וכו'. הכי נוח לעשות טבלה שבה מספר מסויםימים יתאימו לרווח מסוים.

בהסתכלות בטבלה זו, אנו רואים ששתי הכמויות קיבלו 10 ערכים שונים. כל ערך של הערך הראשון מתאים לערך מסוים של הערך השני, למשל, 40 רובל מתאים ליומיים; 5 ימים תואמים 100 רובל. בטבלה, מספרים אלה כתובים אחד מתחת לשני.

אנחנו כבר יודעים שאם שתי כמויות פרופורציונליות, אז כל אחת מהן, בתהליך השינוי שלה, גדלה באותה כמות כשהאחרת גדלה. זה נובע מיד מכך: אם ניקח את היחס של שני ערכים כלשהם של הכמות הראשונה, אז הוא יהיה שווה ליחס של שני הערכים התואמים של הכמות השנייה. אכן:

למה זה קורה? אבל בגלל שהערכים האלה פרופורציונליים, כלומר, כאשר אחד מהם (זמן) גדל פי 3, אז השני (הרווחים) גדל פי 3.

הגענו אפוא למסקנה הבאה: אם ניקח שני ערכים בסדר גודל ראשון ונחלק אותם אחד בשני, ואז נחלק אחד בשני את הערכים בגודל השני המתאימים להם, אז ב בשני המקרים יתקבל מספר אחד, כלומר אותו יחס. זה אומר שאפשר לחבר את שני היחסים שכתבנו לעיל עם סימן שוויון, כלומר.

אין ספק שאם לא היינו לוקחים את היחסים האלה, אלא אחרים, ולא בסדר הזה, אלא בכיוון ההפוך, היינו מקבלים גם שוויון ביחסים. ואכן, נשקול את ערכי הכמויות שלנו משמאל לימין וניקח את הערכים השלישי והתשיעי:

60:180 = 1 / 3 .

אז נוכל לכתוב:

זה מרמז על המסקנה הבאה: אם שתי כמויות פרופורציונליות, אז היחס בין שני ערכים שנלקחו באופן שרירותי של הכמות הראשונה שווה ליחס של שני הערכים התואמים של הכמות השנייה.

§ 132. נוסחת מידתיות ישירה.

בואו נעשה טבלה של עלות כמויות שונות של ממתקים, אם 1 ק"ג מהם עולה 10.4 רובל.

עכשיו בואו נעשה את זה ככה. ניקח כל מספר מהשורה השנייה ונחלק אותו במספר המתאים של השורה הראשונה. לדוגמה:

רואים שבמנה מתקבל כל הזמן אותו מספר. לכן, עבור זוג נתון של כמויות פרופורציונליות ישירות, המנה של חלוקת כל ערך של כמות אחת בערך המקביל של כמות אחרת היא מספר קבוע (כלומר, לא משתנה). בדוגמה שלנו, מנה זו היא 10.4. מספר קבוע זה נקרא גורם המידתיות. במקרה זה, הוא מבטא את המחיר של יחידת מדידה, כלומר קילוגרם אחד של סחורה.

כיצד למצוא או לחשב את גורם המידתיות? כדי לעשות זאת, עליך לקחת כל ערך של כמות אחת ולחלק אותו בערך המתאים של כמות אחרת.

הבה נסמן את הערך השרירותי הזה של כמות אחת באות בְּ- , והערך המקביל של כמות אחרת - האות איקס , ואז מקדם המידתיות (נסמן אותו ל) מצא על ידי חלוקה:

בשוויון הזה בְּ- - ניתן לחלוקה איקס - חוצץ ו ל- מנה, ומכיוון, לפי תכונת החלוקה, הדיבידנד שווה למחלק כפול המנה, נוכל לכתוב:

y=ק איקס

השוויון המתקבל נקרא נוסחה של מידתיות ישירה.באמצעות נוסחה זו, נוכל לחשב כל מספר של ערכים של אחת מהכמויות היחסיות ישירות, אם נדע את הערכים התואמים לכמות השנייה ואת מקדם המידתיות.

דוגמא.מהפיסיקה אנחנו יודעים שהמשקל רשל כל גוף שווה למשקל הסגולי שלו ד מוכפל בנפח הגוף הזה V, כלומר ר = ד V.

קח חמישה מטילי ברזל בגדלים שונים; לדעת את המשקל הסגולי של ברזל (7.8), נוכל לחשב את משקלם של החסר הללו באמצעות הנוסחה:

ר = 7,8 V.

השוואת נוסחה זו לנוסחה בְּ- = ל איקס , אנחנו רואים ש y= ר, x = V, ומקדם המידתיות ל= 7.8. הנוסחה זהה, רק האותיות שונות.

בעזרת הנוסחה הזו, בואו נעשה טבלה: נפח החסר הראשון יהיה 8 מ"ק. ס"מ, אז משקלו הוא 7.8 8 \u003d 62.4 (גרם). נפח החסר השני הוא 27 מטר מעוקב. ס"מ. משקלו הוא 7.8 27 \u003d 210.6 (גרם). הטבלה תיראה כך:

חשב את המספרים החסרים בטבלה זו בעצמך באמצעות הנוסחה ר= ד V.

§ 133. דרכים אחרות לפתרון בעיות בכמויות פרופורציונליות ישירות.

בפסקה הקודמת פתרנו את הבעיה שמצבה כלל כמויות פרופורציונליות ישירות. לצורך כך, הפקנו בעבר את נוסחת המידתיות הישירה ולאחר מכן יישם את הנוסחה הזו. כעת נראה שתי דרכים נוספות לפתור בעיות דומות.

בוא נעשה בעיה לפי הנתונים המספריים המופיעים בטבלה של הפסקה הקודמת.

מְשִׁימָה.ריק בנפח 8 מ"ק. ס"מ שוקל 62.4 גרם. כמה ישקול ריק בנפח 64 מ"ק? ס"מ?

פִּתָרוֹן.משקל הברזל, כידוע, הוא פרופורציונלי לנפח שלו. אם 8 מ"ק. ס"מ משקל 62.4 גרם, ולאחר מכן 1 קוב. ס"מ ישקול פי 8 פחות, כלומר.

62.4: 8 = 7.8 (גרם).

ריק בנפח 64 קוב. ס"מ ישקול פי 64 יותר מאשר ריק של 1 cu. ס"מ, כלומר.

7.8 64 = 499.2(g).

פתרנו את הבעיה שלנו על ידי צמצום לאחדות. משמעות השם הזה מוצדקת בכך שכדי לפתור אותו, היינו צריכים למצוא את משקלה של יחידת נפח בשאלה הראשונה.

2. שיטת פרופורציה.בואו נפתור את אותה בעיה בשיטת הפרופורציה.

מכיוון שמשקל הברזל ונפחו הם כמויות פרופורציונליות ישירות, היחס בין שני ערכים של כמות אחת (נפח) שווה ליחס של שני ערכים תואמים של כמות (משקל) אחרת, כלומר.

(מִכְתָב רציינו את המשקל הלא ידוע של הריק). מכאן:

(ז).

הבעיה נפתרת בשיטת הפרופורציות. המשמעות היא שכדי לפתור אותה, הורכבה פרופורציה מהמספרים הכלולים בתנאי.

§ 134. הכמויות הן פרופורציונליות הפוכה.

שקול את הבעיה הבאה: "חמישה בנאים יכולים להניח את קירות הלבנים של בית תוך 168 ימים. קבע בכמה ימים בנאים 10, 8, 6 וכו' יכולים לעשות את אותה עבודה.

אם 5 בנאים יניחו את קירות הבית תוך 168 ימים, אז (עם אותו פריון עבודה) 10 בנאים יכלו לעשות זאת כפול מהר, שכן בממוצע 10 אנשים עושים עבודה כפולה מ-5 אנשים.

נכין טבלה לפיה ניתן יהיה לעקוב אחר השינוי במספר שעות העבודה ושעות העבודה.

לדוגמה, כדי לגלות כמה ימים לוקח 6 עובדים, תחילה עליך לחשב כמה ימים לוקח עובד אחד (168 5 = 840), ולאחר מכן שישה עובדים (840: 6 = 140). בהסתכלות בטבלה זו, אנו רואים ששתי הכמויות קיבלו שישה ערכים שונים. כל ערך בסדר גודל ראשון מתאים יותר באופן ברור; הערך של הערך השני, למשל, 10 מתאים ל-84, המספר 8 - המספר 105 וכו'.

אם נשקול את הערכים של שני הערכים משמאל לימין, נראה שהערכים של הערך העליון עולים והערכים של הערך התחתון יורדים. ההגדלה והירידה כפופה לחוק הבא: ערכי מספר העובדים עולים פי כמה יורדים ערכי זמן העבודה המושקע. אפילו יותר פשוט, רעיון זה יכול לבוא לידי ביטוי באופן הבא: ככל שמועסקים יותר עובדים בכל עסק, כך הם צריכים פחות זמן לבצע עבודה מסוימת. שתי הכמויות שנתקלנו בהן בבעיה זו נקראות ביחס הפוך.

לפיכך, אם שתי כמויות מחוברות זו לזו באופן שעם עלייה (ירידה) בערך של אחת מהן מספר פעמים, ערכה של השנייה יורד (גדל) באותה כמות, אזי כמויות כאלה נקראות פרופורציונליות הפוך.

יש הרבה דברים כאלה בחיים. בואו ניתן דוגמאות.

1. אם עבור 150 רובל. אתה צריך לקנות כמה קילוגרמים של ממתקים, ואז מספר הממתקים יהיה תלוי במחיר של קילוגרם אחד. ככל שהמחיר גבוה יותר, ניתן לקנות פחות סחורה בכסף הזה; ניתן לראות זאת מהטבלה:

עם עלייה במחיר הממתקים מספר פעמים, מספר הקילוגרמים של ממתקים שניתן לקנות ב-150 רובל יורד באותה כמות. במקרה זה, שתי הכמויות (משקל המוצר ומחירו) הן ביחס הפוך.

2. אם המרחק בין שתי ערים הוא 1,200 ק"מ, אז ניתן לעבור אותו זמנים שוניםתלוי במהירות התנועה. קיימים דרכים שונותתחבורה: ברגל, על סוס, באופניים, בסירה, ברכב, ברכבת, במטוס. ככל שהמהירות נמוכה יותר, לוקח יותר זמן לזוז. ניתן לראות זאת מהטבלה:

עם עלייה במהירות מספר פעמים, זמן התנועה יורד באותה כמות. לפיכך, בתנאים נתונים, המהירות והזמן עומדים ביחס הפוך.

§ 135. המאפיין של כמויות ביחס הפוך.

ניקח את הדוגמה השנייה, עליה שקלנו בפסקה הקודמת. שם עסקינן בשני גדלים - מהירות התנועה והזמן. אם ניקח בחשבון את ערכי הכמויות הללו משמאל לימין בטבלה, נראה שהערכים של הכמות הראשונה (מהירות) עולים, והערכים של (זמן) השני יורדים, ו המהירות עולה באותו גורם כשהזמן יורד.קל להבין שאם אתה כותב את היחס של כמה ערכים של כמות אחת, אז זה לא יהיה שווה ליחס של הערכים המקבילים של כמות אחרת. ואכן, אם ניקח את היחס בין הערך הרביעי של הערך העליון לערך השביעי (40:80), אז הוא לא יהיה שווה ליחס הערך הרביעי והשביעי של הערך התחתון (30:15). ). אפשר לכתוב כך:

40:80 אינו שווה ל-30:15, או 40:80 =/= 30:15.

אבל אם במקום אחד מהיחסים האלה ניקח את ההיפך, אז נקבל שוויון, כלומר, מהיחסים האלה אפשר יהיה לעשות פרופורציה. לדוגמה:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

בהתבסס על האמור לעיל, אנו יכולים להסיק את המסקנה הבאה: אם שתי כמויות פרופורציונליות הפוך, אז היחס בין שני ערכים שנלקחו באופן שרירותי של כמות אחת שווה ליחס ההפוך של הערכים המקבילים של הכמות השנייה.

§ 136. נוסחת מידתיות הפוכה.

קחו בחשבון את הבעיה: "יש 6 חתיכות של בד משי בגדלים שונים ובדרגות שונות. כל החלקים הם באותו מחיר. בחתיכה אחת 100 מ' בד במחיר של 20 רובל. למטר. כמה מטרים יש בכל אחד מחמשת החלקים הנותרים, אם מטר בד בחתיכות אלה עולה 25, 40, 50, 80, 100 רובל, בהתאמה? בואו ניצור טבלה כדי לפתור את הבעיה:

עלינו למלא את התאים הריקים בשורה העליונה של טבלה זו. תחילה ננסה לקבוע כמה מטרים יש ביצירה השנייה. ניתן לעשות זאת בדרך הבאה. ידוע ממצב הבעיה שעלות כל החלקים זהה. קל לקבוע את העלות של היצירה הראשונה: יש לה 100 מ' וכל מטר עולה 20 רובל, מה שאומר שבחתיכת המשי הראשונה עבור 2,000 רובל. מאז חתיכת המשי השנייה מכילה את אותו מספר של רובל, אז, חלוקת 2,000 רובל. במחיר של מטר אחד, כלומר ב-25, נמצא את הערך של החלק השני: 2,000: 25 = 80 (מ'). באותו אופן, נמצא את הגודל של כל שאר החלקים. הטבלה תיראה כך:

קל לראות שיש קשר הפוך בין מספר המטרים למחיר.

אם תבצעו בעצמכם את החישובים הדרושים, תשימו לב שבכל פעם יש לחלק את המספר 2,000 במחיר של 1 מ'. לעומת זאת, אם כעת תתחילו להכפיל את גודל החתיכה במטרים במחיר של 1 מ', תמיד יקבל את המספר 2,000. וזה היה צפוי, שכן כל חתיכה עולה 2,000 רובל.

מכאן נוכל להסיק את המסקנה הבאה: עבור זוג נתון של כמויות פרופורציונליות הפוך, המכפלה של כל ערך של כמות אחת בערך המקביל של כמות אחרת היא מספר קבוע (כלומר, לא משתנה).

בבעיה שלנו, המוצר הזה שווה ל-2,000. בדקו שבבעיה הקודמת, שבה נאמר על מהירות התנועה והזמן הנדרש למעבר מעיר אחת לאחרת, היה גם מספר קבוע לבעיה זו (1,200 ).

בהתחשב בכל מה שנאמר, קל לגזור את נוסחת המידתיות ההפוכה. סמן ערך כלשהו של כמות אחת באות איקס , והערך המקביל של ערך אחר - האות בְּ- . לאחר מכן, על בסיס העבודה לעיל איקס עַל בְּ- חייב להיות שווה לערך קבוע כלשהו, ​​אותו אנו מציינים באות ל, כלומר

x y = ל.

בשוויון הזה איקס - מכפיל, בְּ- - מכפיל ו ק- עבודה. לפי תכונת הכפל, המכפיל שווה למכפלה חלקי המכפלה. אומר,

זוהי נוסחת המידתיות ההפוכה. באמצעותו, נוכל לחשב כל מספר ערכים של אחת מהכמויות ביחס הפוך, תוך הכרת הערכים של השניה ומספר קבוע ל.

חשבו על בעיה נוספת: "המחבר של חיבור אחד חישב שאם הספר שלו היה בפורמט הרגיל, אז הוא יכלול 96 עמודים, אבל אם זה היה פורמט כיס, אז יהיה בו 300 עמודים. הוא ניסה גרסאות שונות, התחיל עם 96 עמודים, ואז הוא קיבל 2,500 מכתבים לעמוד. אחר כך הוא לקח את מספר העמודים המצוין בטבלה למטה, ושוב חישב כמה אותיות יהיו בדף.

ננסה לחשב כמה אותיות יהיו בעמוד אם יש בספר 100 עמודים.

יש 240,000 אותיות בכל הספר, שכן 2,500 96 = 240,000.

אם לוקחים זאת בחשבון, אנו משתמשים בנוסחת המידתיות ההפוכה ( בְּ- - מספר אותיות בעמוד איקס - מספר דפים):

בדוגמה שלנו ל= 240,000, לכן,

אז, יש 2,400 אותיות בדף.

באופן דומה, אנו למדים שאם הספר מכיל 120 עמודים, אזי מספר האותיות בעמוד יהיה:

הטבלה שלנו תיראה כך:

מלא את שאר התאים בעצמך.

§ 137. דרכים אחרות לפתרון בעיות בכמויות ביחס הפוך.

בפסקה הקודמת פתרנו בעיות שכללו כמויות ביחס הפוך. הסקנו בעבר את נוסחת המידתיות ההפוכה ולאחר מכן יישם את הנוסחה הזו. כעת נראה שתי דרכים נוספות לפתרון בעיות כאלה.

1. שיטת צמצום לאחדות.

מְשִׁימָה. 5 פונים יכולים לעשות קצת עבודה תוך 16 ימים. תוך כמה ימים יכולים 8 פונים להשלים את העבודה הזו?

פִּתָרוֹן.קיים קשר הפוך בין מספר הפונים וזמן העבודה. אם 5 טרנרים עושים את העבודה תוך 16 ימים, אז אדם אחד יזדקק לזמן זה פי 5, כלומר.

5 סיבובים עושים את העבודה ב-16 ימים,

סיבוב אחד ישלים אותו תוך 16 5 = 80 ימים.

הבעיה שואלת, תוך כמה ימים יסיימו 8 פונים את העבודה. ברור שהם יעשו את העבודה פי 8 מהר יותר מסיבוב אחד, כלומר עבור

80: 8 = 10 (ימים).

זהו פתרון הבעיה בשיטת הצמצום לאחדות. כאן, קודם כל, היה צורך לקבוע את הזמן לביצוע עבודה על ידי עובד אחד.

2. שיטת פרופורציה.בואו נפתור את אותה בעיה בדרך השנייה.

כיוון שקיים קשר הפוך בין מספר העובדים לזמן העבודה, נוכל לכתוב: משך עבודתם של 5 סיבובים מספר הסיבובים החדש (8) משך העבודה של 8 סיבובים מספר הפונים הקודם ( 5) הבה נסמן את משך העבודה הרצוי באות איקס והחלף בפרופורציה המבוטאת במילים את המספרים הדרושים:

אותה בעיה נפתרת בשיטת הפרופורציות. כדי לפתור אותה, היינו צריכים לעשות פרופורציה של המספרים הכלולים במצב הבעיה.

הערה.בפסקאות הקודמות שקלנו את שאלת המידתיות הישירה וההפוכה. הטבע והחיים נותנים לנו דוגמאות רבות ליחסים ישירים והפוכים של כמויות. עם זאת, יש לציין ששני סוגי התלות הללו הם רק הפשוטים ביותר. יחד איתם קיימים קשרים אחרים ומורכבים יותר בין כמויות. בנוסף, אין לחשוב שאם כל שתי כמויות גדלות בו זמנית, אז בהכרח יש מידתיות ישירה ביניהן. זה רחוק מלהיות נכון. לדוגמה, מחיר הנסיעה עבור מסילת רכבתעולה עם המרחק: ככל שאנו מתרחקים, אנו משלמים יותר, אך אין זה אומר שהתשלום הוא פרופורציונלי למרחק.

דוגמא

1.6 / 2 = 0.8; 4/5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 וכו'.

גורם מידתיות

היחס הקבוע של כמויות פרופורציונליות נקרא מקדם מידתיות. מקדם המידתיות מראה כמה יחידות של כמות אחת נופלות על יחידה של אחרת.

מידתיות ישירה

מידתיות ישירה- תלות תפקודית, שבה כמות כלשהי תלויה בכמות אחרת באופן שהיחס שלהן נשאר קבוע. במילים אחרות, משתנים אלה משתנים באופן פרופורציונלי, בחלקים שווים, כלומר, אם הארגומנט השתנה פעמיים בכל כיוון, אז הפונקציה משתנה גם פעמיים באותו כיוון.

מבחינה מתמטית, מידתיות ישירה נכתבת כנוסחה:

ו(איקס) = אאיקס,א = גoנסט

מידתיות הפוכה

פרופורציה הפוכה- זוהי תלות פונקציונלית, שבה עלייה בערך הבלתי תלוי (טיעון) גורמת לירידה פרופורציונלית בערך התלוי (פונקציה).

מבחינה מתמטית, מידתיות הפוכה נכתבת כנוסחה:

מאפייני פונקציה:

מקורות

קרן ויקימדיה. 2010 .

מטרות בסיסיות:

• להציג את המושג של תלות פרופורציונלית ישירה והפוכה של כמויות;
• ללמד כיצד לפתור בעיות באמצעות התלות הללו;
• לקדם את פיתוח מיומנויות פתרון בעיות;
• לגבש את המיומנות של פתרון משוואות באמצעות פרופורציות;
• חזור על השלבים עם רגיל ו עשרונים;
• לְפַתֵחַ חשיבה לוגיתתלמידים.

במהלך השיעורים

אני. הגדרה עצמית לפעילות(זמן ארגון)

- חבר'ה! היום בשיעור נכיר את הבעיות שנפתרו באמצעות פרופורציות.

II. עדכון ידע ותיקון קשיים בפעילויות

2.1. עבודה בעל פה (3 דקות)

- מצא את משמעות הביטויים וגלה את המילה המוצפנת בתשובות.

14 - ש'; 0.1 - ו; 7 - לי; 0.2 - א; 17 - ב; 25 - ל

– יצאה המילה – כוח. כל הכבוד!
- המוטו של השיעור שלנו היום: כוח הוא בידע! אני מחפש - אז אני לומד!
- עשה פרופורציה של המספרים המתקבלים. (14:7=0.2:0.1 וכו')

2.2. שקול את הקשר בין כמויות ידועות (7 דקות)

- הנתיב שעברה המכונית במהירות קבועה, וזמן תנועתה: S = v t (עם עלייה במהירות (זמן), הנתיב גדל);
- מהירות המכונית וזמן השהות בכביש: v=S:t(עם עלייה בזמן הנסיעה בשביל, המהירות יורדת);
– עלות הסחורה שנרכשה במחיר אחד וכמותה: C \u003d a n (עם עלייה (ירידה) במחיר, עלות הרכישה עולה (יורדת);
- מחיר המוצר וכמותו: a \u003d C: n (עם עלייה בכמות, המחיר יורד)
- שטח המלבן ואורכו (רוחב): S = a b (עם עלייה באורך (רוחב), השטח גדל;
- אורך המלבן והרוחב: a = S: b (עם עלייה באורך, הרוחב יורד;
- מספר העובדים המבצעים עבודה כלשהי עם אותה פריון עבודה, והזמן שלוקח להשלמת עבודה זו: t \u003d A: n (עם עלייה במספר העובדים, הזמן המושקע בביצוע העבודה פוחת) וכו' .

קיבלנו תלות שבהן, עם עלייה של ערך אחד כמה פעמים, השני עולה מיד באותה כמות (מוצג עם חיצים לדוגמאות) ותלות שבהן, עם עלייה של ערך אחד כמה פעמים, הערך השני יורד ב- אותו מספר פעמים.
יחסים כאלה נקראים פרופורציות ישרות והפוכות.
תלות פרופורציונלית ישירה- תלות שבה עם עלייה (ירידה) בערך אחד מספר פעמים, הערך השני גדל (יורד) באותה כמות.
קשר פרופורציונלי הפוך- תלות שבה עם עלייה (ירידה) בערך אחד מספר פעמים, הערך השני יורד (גדל) באותה כמות.

III. הצהרה על משימת הלמידה

מהי הבעיה איתה אנו מתמודדים? (למד להבחין בין יחסים ישירים והפוכים)
- זה - יַעַדהשיעור שלנו. עכשיו תנסח נוֹשֵׂאשיעור. (מידתיות ישירה והפוכה).
- כל הכבוד! כתבו את נושא השיעור במחברות שלכם. (המורה כותבת את הנושא על הלוח.)

IV. "גילוי" של ידע חדש(10 דק)

בואו ננתח בעיות מספר 199.

1. המדפסת מדפיסה 27 דפים ב-4.5 דקות. כמה זמן ייקח להדפיס 300 עמודים?

27 עמודים - 4.5 דקות.
300 עמ' - x?

2. יש 48 חפיסות תה בקופסה, 250 גרם כל אחת. כמה חפיסות של 150 גרם ייצאו מהתה הזה?

48 חבילות - 250 גרם.
איקס? - 150 גרם.

3. המכונית נסעה 310 ק"מ, לאחר שבילה 25 ליטר בנזין. עד כמה מכונית יכולה לנסוע על מיכל מלא של 40 ליטר?

310 ק"מ - 25 ליטר
איקס? – 40 ליטר

4. לאחד מגלגלי הקלאץ' יש 32 שיניים, ולשני יש 40. כמה סיבובים יבצע ההילוך השני בעוד שהראשון יבצע 215 סיבובים?

32 שיניים - 315 סל"ד
40 שיניים - x?

כדי לצייר פרופורציה, יש צורך בכיוון אחד של החצים, לשם כך, ביחס הפוך, יחס אחד מוחלף בהפוך.

בלוח התלמידים מוצאים את ערך הכמויות, בשטח התלמידים פותרים בעיה אחת לבחירתם.

– ניסוח כלל לפתרון בעיות במידתיות ישירה והפוכה.

על הלוח מופיעה טבלה:

V. גיבוש ראשוני בדיבור חיצוני(10 דק)

משימות על הגיליונות:

1. מ-21 ק"ג זרעי כותנה התקבלו 5.1 ק"ג שמן. כמה שמן יתקבל מ-7 ק"ג זרעי כותנה?
2. לצורך בניית האצטדיון פינו 5 דחפורים את האתר תוך 210 דקות. כמה זמן ייקח לשבעה דחפורים לפנות את האזור הזה?

VI. עבודה עצמאיתעם בדיקה עצמית לפי התקן(5 דקות)

שני תלמידים ממלאים בעצמם מטלות מס' 225 על לוחות נסתרים, והשאר במחברות. אחר כך הם בודקים את העבודה לפי האלגוריתם ומשווים אותה לפתרון שעל הלוח. טעויות מתוקנות, הסיבות להן מתבררות. אם המשימה הושלמה, נכון, אז ליד התלמידים שימו סימן "+" לעצמם.
סטודנטים שעושים טעויות בעבודה עצמאית יכולים להיעזר ביועצים.

VII. הכלה במערכת הידע וחזרה№ 271, № 270.

שישה אנשים עובדים ליד הלוח. לאחר 3-4 דקות, התלמידים שעבדו על הלוח מציגים את הפתרונות שלהם, והשאר בודקים את המשימות ומשתתפים בדיון שלהם.

ח. השתקפות של פעילות (תוצאת השיעור)

- מה חדש למדת בשיעור?
- מה חזרת?
מהו האלגוריתם לפתרון בעיות פרופורציה?
האם הגענו ליעד?
- איך אתה מדרג את העבודה שלך?