הזווית בין קו ישר למישור. מדריך חזותי (2019)

שמירה על פרטיותך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא סקור את נוהלי הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם לזיהוי אדם מסויםאו קשר איתו.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר עם הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח הודעות והודעות חשובות.
אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
אם אתה משתתף בהגרלת פרסים, בתחרות או בקידום מכירות דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

גילוי מידע לצדדים שלישיים

איננו חושפים את המידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

במידת הצורך - בהתאם לחוק, להליך השיפוטי, להליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות הציבור מאת סוכנויות ממשלתיותבשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או חשיבות ציבורית אחרת.
במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים לצד השלישי היורש הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים תקני פרטיות ואבטחה לעובדים שלנו ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

$\blacktriangleright$ הזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר להשלכתו על המישור הזה (כלומר זו הזווית $0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ$).

$\blacktriangleright$ כדי למצוא את הזווית בין הישר $a$ למישור $\phi$ ($a\cap\phi=B$), אתה צריך:

שלב 1: מנקודה כלשהי $A\in a$ ציירו מאונך $AO$ למישור $\phi$ ($O$ הוא הבסיס של האנך);

שלב 2: אז $BO$ היא ההשלכה של $AB$ המשופע על המישור $\phi$ ;

שלב 3: אז הזווית בין הישר $a$ למישור $\phi$ שווה ל-$\angle ABO$ .

משימה 1 #2850

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

הקו הישר $l$ חוצה את המישור $\alpha$ . על הקו הישר $l$ מסומן הקטע $AB=25$, וידוע שההטלה של קטע זה על המישור $\alpha$ שווה ל$24$ . מצא את הסינוס של הזווית בין הישר $l$ למישור $\alpha$

בואו נסתכל על התמונה:

תן $A_1B_1=24$ להיות ההשלכה של $AB$ על המישור $\alpha$, שפירושו $AA_1\perp \alpha$ , $BB_1\perp \alpha$ . מכיוון ששני קווים מאונכים למישור נמצאים באותו מישור, אז $A_1ABB_1$ הוא טרפז מלבני. בוא נעשה $AH\perp BB_1$ . לאחר מכן $AH=A_1B_1=24$ . לכן, לפי משפט פיתגורס \ נציין גם שהזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר והשלכתו על המישור, לכן, הזווית הרצויה היא הזווית בין $AB$ ל-$A_1B_1 $ . מאז $AH\parallel A_1B_1$ , אזי הזווית בין $AB$ ל-$A_1B_1$ שווה לזוויתבין $AB$ לבין $AH$ .
לאחר מכן \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0.28.\]

תשובה: 0.28

משימה 2 #2851

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

$ABC$ הוא משולש רגיל עם הצלע $3$ , $O$ היא נקודה השוכנת מחוץ למישור המשולש, ו-$OA=OB=OC=2\sqrt3$ . מצא את הזווית שנוצרת על ידי הקווים $OA, OB, OC$ עם מישור המשולש. תן את תשובתך במעלות.

הבה נצייר מאונך $OH$ למישור המשולש.

בואו נשקול $\משולש OAH, \משולש OBH, \משולש OCH$. הם מלבניים ושווים ברגל ובתחתית. לכן, $AH=BH=CH$ . המשמעות היא ש-$H$ היא נקודה הממוקמת באותו מרחק מקודקודי המשולש $ABC$ . כתוצאה מכך, $H$ הוא מרכז המעגל המוקף סביבו. מכיוון ש-$\משולש ABC$ נכון, אז $H$ היא נקודת החיתוך של החציונים (הם גם גבהים וחוצים).
מכיוון שהזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר להשלכתו על מישור זה, ו-$AH$ היא ההשלכה של $AO$ על מישור המשולש, אזי הזווית בין $ AO$ והמישור של המשולש שווה ל-$ \angle OAH$ .
תן $AA_1$ להיות החציון ב-$\משולש ABC$ , לכן, \ מכיוון שהחציונים מחולקים בנקודת החיתוך ביחס $2:1$ , ספירה מהקודקוד, ואז \ ואז מהמלבני $\משולש OAH$ : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]

שימו לב שמשוויון המשולשים $OAH, OBH, OCH$ נובע ש $\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ$.

תשובה: 60

משימה 3 #2852

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

הקו הישר $l$ מאונך למישור $\pi$ . הישר $p$ אינו שוכב במישור $\pi$ ואינו מקביל לו, ואינו מקביל לישר $l$. מצא את סכום הזוויות בין הישרים $p$ ו-$l$ ובין הישר $p$ למישור $\pi$ . תן את תשובתך במעלות.

יוצא מהתנאי שהקו הישר $p$ חוצה את המישור $\pi$ . תן $p\cap l=O$ , $l\cap \pi=L$ , $p\cap\pi=P$ .

אז $\angle POL$ היא הזווית בין הקווים $p$ ו-$l$ .
מכיוון שהזווית בין ישר למישור היא הזווית בין ישר והשלכתו על מישור זה, אזי $\angle OPL$ היא הזווית בין $p$ ל-$\pi$ . שימו לב ש-$\משולש OPL$ הוא מלבני עם $\angle L=90^\circ$ . מאז סכום הזוויות החדות משולש ישר זוויתשווה ל-$90^\circ$, אם כן $\angle POL+\angle OPL=90^\circ$.

תגובה.
אם הישר $p$ אינו חותך את הישר $l$, אז נצייר קו $p"\p\parallel p$ חוצה $l$. ואז הזווית בין הישר $p\ ) ו-\(l\ ) יהיו שווים לזווית שבין \(p"$ ל-$l$ . באופן דומה, הזווית בין $p$ ל-$\pi$ תהיה שווה לזווית שבין $p"$ ל-$\pi$. ולקו הישר $p"$ הפתרון הקודם כבר נכון.

תשובה: 90

משימה 4 #2905

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ - מעוקב. הנקודה $N$ היא נקודת האמצע של הקצה $BB_1$ , והנקודה $M$ היא נקודת האמצע של הקטע $BD$ . מצא את $\mathrm(tg)^2\, \alpha$ , כאשר $\alpha$ היא הזווית בין הישר המכיל $MN$ למישור $(A_1B_1C_1D_1)$ . תן את תשובתך במעלות.

$NM$ – קו אמצעיבמשולש $DBB_1$ אז $NM \parallel B_1D$ ו-$\alpha$ שווה לזווית שבין $B_1D$ למישור $(A_1B_1C_1D_1)$ .

מכיוון ש-$DD_1$ מאונך למישור $A_1B_1C_1D_1$ אז $B_1D_1$ היא ההשלכה של $B_1D$ על המישור $(A_1B_1C_1D_1)$ והזווית בין $B_1D\ ) והמישור \((A_1B_1C_1D_1)$ הוא הזווית בין $B_1D$ ל-$B_1D_1$ .

תן לקצה הקובייה להיות $x$, ואז לפי משפט פיתגורס \ במשולש $B_1D_1D$, המשיק של הזווית בין $B_1D$ ל-$B_1D_1$ שווה ל $\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha$, איפה $\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)$.

תשובה: 0.5

משימה 5 #2906

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ - מעוקב. הנקודה $N$ היא אמצע הקצה $BB_1$ , והנקודה $M$ מחלקת את הקטע $BD$ ביחס $1:2$ , בספירה מהקודקוד $B$ . מצא את $9\mathrm(ctg)^2\, \alpha$ , כאשר $\alpha$ היא הזווית בין הישר המכיל $MN$ למישור $(ABC)$ . תן את תשובתך במעלות.

מכיוון ש-$NB$ הוא חלק מ-$BB_1$ ו-$BB_1\perp (ABC)$ , אז גם $NB\perp (ABC)$ . לכן, $BM$ היא ההשלכה של $NM$ על המישור $(ABC)$ . זה אומר שהזווית $\alpha$ שווה ל-$\angle NMB$ .

תן לקצה הקובייה להיות שווה ל-$x$ . לאחר מכן $NB=0.5x$ . לפי משפט פיתגורס $BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x$ . מאז לפי תנאי $BM:MD=1:2$ , אז $BM=\frac13BD$ , לכן, $BM=\frac(\sqrt2)3x$ .

ואז מהמלבני $\משולש NBM$ : \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]

תשובה: 8

משימה 6 #2907

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

מה שווה $\mathrm(ctg^2)\,\alpha$ אם $\alpha$ היא זווית הנטייה של האלכסון של הקובייה לאחת מפנים שלה?

הזווית הרצויה תחפוף לזווית שבין אלכסון הקוביה לאלכסון של כל אחת מהפנים שלה, מכיוון במקרה זה, האלכסון של הקובייה יהיה נוטה, אלכסון הפנים יהיה ההקרנה של הפנים המשתפל על המטוס. לפיכך, הזווית הרצויה תהיה שווה, למשל, לזווית $C_1AC$ . אם נסמן את קצה הקובייה כ-$x$, אז $AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x$, ואז ריבוע הקוטנגנט של הזווית הרצויה: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]

תשובה: 2

משימה 7 #2849

רמת משימה: קשה יותר מבחינת המדינה המאוחדת

$\angle BAH=\angle CAH=30^\circ$ .
לפי משפט פיתגורס \ לָכֵן, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\]מאז $OH\perp (ABC)$, אז $OH$‎ מאונך לכל קו ישר מהמישור הזה, כלומר $\משולש OAH$ הוא מלבני. לאחר מכן \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0.4.\]

תשובה: 0.4

זה יהיה שימושי עבור תלמידי תיכון שמתכוננים למבחן המדינה המאוחדת במתמטיקה כדי ללמוד כיצד להתמודד עם משימות מהסעיף "גיאומטריה במרחב", שבו הם צריכים למצוא את הזווית בין קו ישר למישור. הניסיון של השנים האחרונות מלמד שמטלות כאלה גורמות לקשיים מסוימים לבוגרים. יחד עם זאת, תלמידי תיכון בכל רמת הכשרה צריכים להכיר את התיאוריה הבסיסית ולהבין כיצד למצוא את הזווית בין קו ישר למישור. רק במקרה זה הם יכולים לסמוך על קבלת ציונים הגונים.

ניואנסים עיקריים

כמו בעיות סטריאומטריות אחרות של בחינת המדינה המאוחדת, משימות שבהן אתה צריך למצוא זוויות ומרחקים בין קווים ומישורים ניתנות לפתרון בשתי שיטות: גיאומטרית ואלגברית. התלמידים יכולים לבחור את האפשרות הנוחה להם ביותר. לפי השיטה הגיאומטרית יש צורך למצוא נקודה מתאימה על קו ישר, להוריד ממנה מאונך למישור ולבנות השלכה. לאחר מכן, הבוגר יצטרך רק ליישם ידע תיאורטי בסיסי ולפתור בעיה פלנימטרית לחישוב זווית. שיטה אלגבריתכולל הכנסת מערכת קואורדינטות כדי למצוא את הכמות הרצויה. יש צורך לקבוע את הקואורדינטות של שתי נקודות על קו ישר, להרכיב נכון את משוואת המישור ולפתור אותה.

הכנה יעילה עם שקולקובו

כדי להפוך את השיעורים לקלים ואפילו משימות מורכבות לא מעוררות קשיים, בחרו שלנו פורטל חינוכי. הנה כל החומר הדרוש עבור השלמה מוצלחתמבחן הסמכה. אתה תמצא את המידע הבסיסי הדרוש בסעיף "מידע תיאורטי". וכדי לתרגל השלמת משימות, פשוט היכנסו ל"קטלוג" בפורטל המתמטי שלנו. סעיף זה מכיל מבחר גדולתרגילים מעלות משתנותקשיים. משימות חדשות מופיעות בקביעות בקטלוג.

תלמידי בית ספר רוסים יכולים לבצע משימות על מציאת הזווית בין קו למטוס או עליו באינטרנט, בעודם במוסקבה או בעיר אחרת. אם התלמיד ירצה, ניתן לשמור כל תרגיל ב"מועדפים". זה יאפשר לך למצוא אותו במהירות במידת הצורך ולדון בהתקדמות הפתרון שלו עם המורה.

נחזור על הגדרת הזווית בין קו ישר למישור.

הַגדָרָה. הזווית בין ישר למישור החותך את הקו הישר הזה ולא מאונך לו, היא הזווית בין קו ישר להשלכתו על מישור.

נותנים מישור γ וקו a, שחותך את המישור הזה ואינו מאונך לו.

בואו נבנה את הזווית בין הישר a למישור γ:

מכל נקודה על קו ישר a שנוחה לנו, מורידים מאונך למישור γ;
דרך נקודות הבסיסים של המשופע והמאונך אנו מציירים קו ישר ב. קו b הוא השלכה של קו a על המישור γ;
פינה חדהבין ישרים a ו-b היא הזווית בין ישר a למישור γ, כלומר. ∠(a;b)= ∠(a;γ) , כאשר ∠(a;b) היא הזווית בין הקווים a ו-b; ∠(a;γ) - זווית בין ישר a למישור γ.

כדי לפתור בעיות בשיטת הקואורדינטות, עלינו לזכור את הדברים הבאים:

3. אם ידועות הקואורדינטות של וקטור הכיוון ( a 1 ; b 1 ; c 1 ) והווקטור הנורמלי
(a; b; c), אזי הזווית בין הישר a למישור γ מחושבת באמצעות הנוסחה שנגזר כעת.

אנו מכירים את הנוסחה למציאת הזווית בין ישרים:

; (1)
∠(s; a) = 90°-∠(a; b), אז cos∠(s;a)=cos (90°-∠(a;b))=sin ∠(a;b) ; (2)
מ-(1) ו-(2) => ; (3)
, היכן היא הזווית בין הוקטורים m ו-n; (4)
אנו מחליפים את (4) ב-(3) וכו'. ∠(a;b)= ∠(a;γ), אז נקבל:

4. אם הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי אינן ידועות, אז עלינו לדעת את משוואת המישור.

כל מישור במערכת קואורדינטות מלבנית יכול להינתן על ידי המשוואה

ax + by + cz + d = 0,

כאשר לפחות אחד מהמקדמים a, b, c שונה מאפס. מקדמים אלו יהיו הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי, כלומר. (א ב ג).

אלגוריתם לפתרון בעיות של מציאת הזווית בין קו ישר למישור בשיטת הקואורדינטות:

אנו יוצרים ציור שבו אנו מסמנים קו ישר ומישור;
אנו מציגים מערכת קואורדינטות מלבנית;
אנו מוצאים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון מקואורדינטות של תחילתו וסופו;
מצא את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי למישור;
אנו מחליפים את הנתונים המתקבלים בנוסחה של הסינוס של הזווית בין ישר למישור;
מצא את הערך של הזווית עצמה.

בואו נבחן את הבעיה:
1. בקובייה ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, מצא את הטנגנס של הזווית בין הישר AC 1 למישור BDD 1.
פִּתָרוֹן:

1. הבה נציג מערכת קואורדינטות מלבנית עם המוצא בנקודה D.
2. מצא את הקואורדינטות של וקטור הכיוון AC 1. לשם כך, קבע תחילה את הקואורדינטות של נקודות A ו-C 1:
A(0; 1; 0);
C 1 (1; 0; 1).
{1; -1; 1}.
3. מצא את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי למישור BB 1 D 1 . לשם כך, נמצא את הקואורדינטות של שלוש נקודות של המישור שאינן שוכנות על אותו קו, ונעצב משוואה של המישור:
D(0; 0; 0);
D 1 (0; 0; 1);
B(1; 1; 0);
D: a⋅0+b⋅0+c⋅0+d=0;
D 1: a⋅0+b⋅0+c⋅1+d=0;
B: a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0.

בוא נחליף לתוך המשוואה: a⋅x+(-a)⋅y+0⋅z+0 = 0;
a⋅x-a⋅y = 0; |:א
x-y = 0.
לפיכך, לוקטור הנורמלי למישור BDD 1 יש את הקואורדינטות:
{1;-1; 0}.
4. מצא את הסינוס בין קו ישר AC 1 למישור BDD 1:

5. בואו נשתמש בראשי זהות טריגונומטריתומצא את הקוסינוס של הזווית בין ישר AC 1 למישור BDD 1:

6. מצא את הטנגנס של הזווית בין ישר AC 1 למישור BDD 1:

תשובה: .

2. בצורה הנכונה פירמידה מרובעת SABCD, שכל הקצוות שלו שווים ל-1, מצאו את הסינוס של הזווית בין הישר BD למישור SBC.

פִּתָרוֹן:

1. הבה נציג מערכת קואורדינטות מלבנית עם המוצא בנקודה B.
2. מצא את הקואורדינטות של וקטור הכיוון BD. לשם כך, קבע תחילה את הקואורדינטות של נקודות B ו-D:

3. מצא את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי למישור SBC. לשם כך, נמצא את הקואורדינטות של שלוש נקודות של המישור שאינן שוכנות על אותו קו ישר, ומרכיבים את משוואת מישור SBC:

איך השגת את הקואורדינטות של נקודה S?

מנקודה S מורידים מאונך למישור הבסיס ABC. נקודת החיתוך סומנה O. נקודה O היא הקרנה של נקודה S על מישור ABC. קואורדינטות ה-x וה-y שלו יהיו שתי הקואורדינטות הראשונות של נקודה S.

לאחר שגילינו את גובה הפירמידה, מצאנו את הקואורדינטה השלישית של נקודה S (לאורך ציר z)

משולש SOB הוא מלבני, לפיכך, לפי משפט פיתגורס:

משוואת המישור היא ax+by+cz+d=0. הבה נחליף את הקואורדינטות של הנקודות במשוואה זו:

קיבלנו מערכת של שלוש משוואות:

בואו נחליף לתוך המשוואה:

לפיכך, לוקטור הנורמלי למישור SBD יש את הקואורדינטות:

.
4. מצא את הסינוס בין הישר BD למישור SBD.

הרעיון של הקרנה של דמות על מישור

כדי להציג את הרעיון של זווית בין קו למישור, תחילה עליך להבין מושג כזה כמו הקרנה של דמות שרירותית על מישור.

הגדרה 1

תנו לנו לתת נקודה שרירותית $A$. נקודה $A_1$ נקראת השלכה של נקודה $A$ על המישור $\alpha $ אם היא הבסיס של מאונך המצויר מנקודה $A$ למישור $\alpha $ (איור 1).

איור 1. הקרנה של נקודה על מישור

הגדרה 2

תנו לנו נתון שרירותי $F$. הדמות $F_1$ נקראת השלכת הדמות $F$ על המישור $\alpha $, המורכבת מההטלות של כל נקודות הדמות $F$ על המישור $\alpha $ (איור 2).

איור 2. הקרנה של דמות על מישור

משפט 1

היטל שאינו מאונך למישור של קו ישר היא ישר.

הוכחה.

נותנים לנו מישור $\alpha $ וקו ישר $d$ חוצה אותו, לא מאונך אליו. הבה נבחר נקודה $M$ על הישר $d$ ונצייר את ההטלה שלה $H$ על המישור $\alpha $. דרך הישר $(MH)$ נשרטט את המישור $\beta $. ברור שהמישור הזה יהיה מאונך למישור $\alpha $. תנו להם להצטלב לאורך קו ישר $m$. הבה נבחן נקודה שרירותית $M_1$ של הישר $d$ ונשריר דרכה קו $(M_1H_1$) במקביל לישר $(MH)$ (איור 3).

איור 3.

מכיוון שהמישור $\beta $ מאונך למישור $\alpha $, אז $M_1H_1$ מאונך לישר $m$, כלומר, הנקודה $H_1$ היא ההשלכה של הנקודה $M_1$ על מטוס $\alpha $. בשל השרירותיות של הבחירה בנקודה $M_1$, כל נקודות הקו $d$ מוקרנות על קו $m$.

מנמק בצורה דומה. בסדר הפוך, נקבל שכל נקודה על הישר $m$ היא השלכה של כל נקודה על הישר $d$.

המשמעות היא שהקו $d$ מוקרן על הקו $m$.

המשפט הוכח.

מושג הזווית בין קו ישר למישור

הגדרה 3

הזווית בין ישר החותך מישור לבין הקרנתו על מישור זה נקראת הזווית בין הישר למישור (איור 4).

איור 4. זווית בין קו ישר למישור

נרשום כאן כמה הערות.

הערה 1

אם הקו מאונך למישור. אז הזווית בין הקו הישר למישור היא $90^\circ$.

פתק 2

אם הקו מקביל או נמצא במישור. אז הזווית בין הקו הישר למישור היא $0^\circ$.

בעיות לדוגמה

דוגמה 1

תנו לנו מקבילית $ABCD$ ונקודה $M$ שאינה שוכנת במישור המקבילית. הוכיחו שמשולשים $AMB$ ו-$MBC$ הם ישרי זווית אם הנקודה $B$ היא השלכה של הנקודה $M$ על מישור המקבילית.

הוכחה.

הבה נתאר את מצב הבעיה באיור (איור 5).

איור 5.

מכיוון שנקודה $B$ היא ההשלכה של הנקודה $M$ על המישור $(ABC)$, אז הקו הישר $(MB)$ מאונך למישור $(ABC)$. בהערה 1, אנו מוצאים שהזווית בין הישר $(MB)$ למישור $(ABC)$ שווה ל-$90^\circ$. לָכֵן

\[\angle MBC=MBA=(90)^0\]

המשמעות היא שהמשולשים $AMB$ ו-$MBC$ הם משולשים ישרים.

דוגמה 2

נתון מטוס $\alpha $. קטע מצויר בזווית $\varphi $ למישור הזה, שתחילתו נמצאת במישור הזה. ההקרנה של קטע זה היא חצי מגודל הקטע עצמו. מצא את הערך של $\varphi$.

פִּתָרוֹן.

שקול את איור 6.

איור 6.

לפי תנאי, יש לנו

מכיוון שהמשולש $BCD$ הוא ישר זווית, אם כן, לפי ההגדרה של קוסינוס

\\[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]

קורס הווידאו "קבל א'" כולל את כל הנושאים הדרושים להצלחה לעבור את מבחן המדינה המאוחדתבמתמטיקה עבור 60-65 נקודות. מלא את כל המשימות 1-13 של בחינת המדינה המאוחדת בפרופיל במתמטיקה. מתאים גם למעבר בבחינת המדינה המאוחדת הבסיסית במתמטיקה. אם אתה רוצה לעבור את מבחן המדינה המאוחדת עם 90-100 נקודות, אתה צריך לפתור את חלק 1 תוך 30 דקות וללא טעויות!

קורס הכנה לבחינת המדינה המאוחדת לכיתות י'-י"א וכן למורים. כל מה שאתה צריך כדי לפתור את חלק 1 של בחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה (12 הבעיות הראשונות) ואת בעיה 13 (טריגונומטריה). וזה יותר מ-70 נקודות בבחינת המדינה המאוחדת, וגם סטודנט של 100 נקודות וגם סטודנט למדעי הרוח לא יכולים בלעדיהם.

כל התיאוריה הדרושה. דרכים מהירותפתרונות, מלכודות וסודות של בחינת המדינה המאוחדת. כל המשימות הנוכחיות של חלק 1 מבנק המשימות של FIPI נותחו. הקורס עומד במלואו בדרישות של בחינת המדינה המאוחדת 2018.

הקורס מכיל 5 נושאים גדולים, 2.5 שעות כל אחד. כל נושא ניתן מאפס, פשוט וברור.

מאות משימות בחינות המדינה המאוחדת. בעיות מילים ותורת ההסתברות. אלגוריתמים פשוטים וקלים לזיכרון לפתרון בעיות. גֵאוֹמֶטרִיָה. תיאוריה, חומר עזר, ניתוח של כל סוגי משימות בחינות המדינה המאוחדת. סטריאומטריה. פתרונות מסובכים, דפי רמאות שימושיים, פיתוח דמיון מרחבי. טריגונומטריה מאפס לבעיה 13. הבנה במקום לדחוס. הסבר ויזואלי מושגים מורכבים. אַלגֶבּרָה. שורשים, חזקות ולוגריתמים, פונקציה ונגזרת. בסיס לפתרון בעיות מורכבות של חלק 2 של בחינת המדינה המאוחדת.

הזווית בין קו ישר למישור. מדריך חזותי (2019)

איסוף ושימוש במידע אישי

גילוי מידע לצדדים שלישיים

הגנה על מידע אישי

כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה

ניואנסים עיקריים

הכנה יעילה עם שקולקובו

מושג הזווית בין קו ישר למישור

בעיות לדוגמה

מקור והתפתחות הכתיבה – מופשט

המלחין ריימונד פאולס: ביוגרפיה, חיים אישיים, יצירתיות ריימונד פאולס - ביוגרפיה