קו האמצע של טרפז הוא חצי מהסכוםעילה. הוא מחבר את נקודות האמצע של צלעות הטרפז ותמיד מקביל לבסיסים.

אם הבסיסים של הטרפז הם a ו-b, אז הקו האמצעי m הוא m=(a+b)/2.

אם השטח של הטרפז ידוע, אז ניתן למצוא קו אמצעובדרך אחרת, חלוקת שטח הטרפז S בגובה הטרפז h:



זה, קו חציון של הטרפז m=S/h

ישנן דרכים רבות למצוא את אורך קו האמצע של טרפז. בחירת השיטה תלויה בנתוני המקור.

כאן נוסחאות אורך קו אמצע טרפז:

כדי למצוא את קו האמצע של הטרפז, אתה יכול להשתמש באחת מחמש הנוסחאות (אני לא אכתוב אותן, מכיוון שהן כבר נמצאות בתשובות אחרות), אבל זה רק במקרים שבהם הערכים של הנתונים הראשוניים שאנו צריכים ידועים.

בפועל, אנחנו צריכים לפתור בעיות רבות כאשר אין מספיק נתונים, וכן גודל נכוןעדיין צריך למצוא.

יש כאן אפשרויות

פתרון שלב אחר שלב כדי להביא את כל אותו הדבר תחת הנוסחה;

באמצעות נוסחאות אחרות, חבר ופתור את המשוואות הדרושות.

מציאת אורך אמצע הטרפז בשיטת האספקה ​​תחת הנוסחה שאנו צריכיםבעזרת ידע אחר בגיאומטריה ובמקביל יישום משוואות אלגבריות:

יש לנו טרפז שווה שוקיים, האלכסונים שלו מצטלבים בזוויות ישרות, הגובה הוא 9 ס"מ.

אנו עושים ציור ורואים שלא ניתן לפתור בעיה זו ישירות (לא מספיק נתונים)



לכן נפשט מעט ונצייר את הגובה דרך נקודת החיתוך של האלכסונים.

זהו הצעד החשוב הראשון שמוביל להחלטה מהירה.

נסמן את הגובה בשני לא ידועים, נראה את המשולשים השווים שוקיים שאנו צריכים עם צלעות איקסו בְּ-



ואנחנו יכולים למצוא בקלות סכום הבסיסיםטרַפֵּז

זה שווה ל 2x+2y

ורק עכשיו נוכל ליישם את הנוסחה היכן

וזה שווה x+yולפי מצב הבעיה זה אורך הגובה שווה ל 9 ס"מ.

ועכשיו הפקנו כמה רגעים לטרפז שווה שוקיים, שהאלכסונים שלו מצטלבים בזוויות ישרות

בטרפזים כאלה

קו האמצע תמיד שווה לגובה

השטח תמיד שווה לריבוע הגובה.

קו האמצע של טרפז הוא קטע הקו המחבר בין נקודות האמצע של צלעות הטרפז.

קל למצוא את הקו החציוני של כל טרפז אם אתה משתמש בנוסחה:

m = (a + b)/2

m הוא אורך קו האמצע של הטרפז;

a, b הם אורכי הבסיסים של הטרפז.

כך, אורך קו האמצע של טרפז הוא מחצית מסכום אורכי הבסיסים.

הנוסחה הבסיסית עבור הנוסחה של קו האמצע של טרפז: אורך קו האמצע של טרפז שווה למחצית הסכום של e בסיסים a ו-b: MN \u003d (a + b) 2. ההוכחה של נוסחה זו היא הנוסחה של קו האמצע של משולש. ניתן לייצג כל טרפז לאחר שצייר אותו מקצוות הגובה של הזווית הבסיסית הקטנה ו-2. לאחר מכן, הנוסחה עבור קו האמצע של הטרפז מוכחת בקלות.

כדי למצוא את קו האמצע של טרפז, עלינו לדעת את גודל הבסיסים.

אחרי שמצאנו את הערכים האלה, או אולי הם היו מוכרים לנו, אז אנחנו מוסיפים את המספרים האלה ופשוט מחלקים אותם לשניים.

זה יהיה קו חציון של הטרפז.

עד כמה שאני זוכר שיעורי גיאומטריה בבית הספר, כדי למצוא את אורך קו האמצע של טרפז צריך להוסיף את אורכי הבסיסים ולחלק בשניים. לפיכך, אורך קו האמצע של הטרפז שווה למחצית מסכום הבסיסים.

במאמר זה ננסה לשקף את תכונות הטרפז בצורה מלאה ככל האפשר. בפרט, נדבר על מאפיינים נפוציםותכונות של טרפז, וכן על תכונות טרפז חרוט ועל עיגול חרוט בטרפז. ניגע גם בתכונות של טרפז שווה שוקיים ומלבני.

דוגמה לפתרון בעיה באמצעות המאפיינים הנחשבים תעזור לכם לסדר דברים בראש ולזכור טוב יותר את החומר.

טרפז והכל-הכל-הכל

ראשית, נזכיר בקצרה מהו טרפז ואיזה מושגים נוספים קשורים אליו.

אז, טרפז הוא דמות מרובעת, ששתיים מצלעותיה מקבילות זו לזו (אלה הבסיסים). ושניים אינם מקבילים - אלו הצדדים.

בטרפז ניתן לוותר על הגובה - בניצב לבסיסים. קו האמצע והאלכסונים מצוירים. וגם מכל זווית של הטרפז אפשר לצייר חוצה.

על המאפיינים השונים הקשורים לכל האלמנטים הללו ושילוביהם, נדבר כעת.

תכונות האלכסונים של טרפז

כדי להבהיר את זה, בזמן הקריאה, שרטטו את הטרפז של ACME על פיסת נייר וציירו בו אלכסונים.

1. אם מוצאים את נקודות האמצע של כל אחד מהאלכסונים (בואו נקרא לנקודות האלה X ו-T) ומחברים ביניהן, מקבלים קטע. אחת התכונות של האלכסונים של טרפז היא שהקטע XT שוכן על קו האמצע. ואפשר לקבל את אורכו על ידי חלוקת הפרש הבסיסים בשניים: XT \u003d (א - ב) / 2.
2. לפנינו אותו טרפז ACME. האלכסונים מצטלבים בנקודה O. ניקח בחשבון את המשולשים AOE ו-IOC שנוצרו על ידי קטעי האלכסונים יחד עם בסיסי הטרפז. משולשים אלו דומים. מקדם הדמיון של k משולשים מתבטא במונחים של היחס בין הבסיסים של הטרפז: k = AE/KM.
   היחס בין שטחי המשולשים AOE ו- IOC מתואר על ידי מקדם k 2 .
3. כולם אותו טרפז, אותם אלכסונים מצטלבים בנקודה O. רק הפעם נשקול משולשים שהקטעים האלכסוניים יצרו יחד עם צלעות הטרפז. השטחים של המשולשים AKO ו- EMO שווים - השטחים שלהם זהים.
4. תכונה נוספת של טרפז כוללת בניית אלכסונים. לכן, אם נמשיך את הצדדים של AK ו-ME לכיוון הבסיס הקטן יותר, אז במוקדם או במאוחר הם יצטלבו לנקודה מסוימת. לאחר מכן, צייר קו ישר דרך נקודות האמצע של בסיסי הטרפז. הוא חוצה את הבסיסים בנקודות X ו-T.
   אם נרחיב כעת את הישר XT, אז הוא יחבר יחד את נקודת החיתוך של האלכסונים של הטרפז O, הנקודה שבה הרחבות של הצלעות ונקודות האמצע של הבסיסים של X ו-T מצטלבות.
5. דרך נקודת החיתוך של האלכסונים, נשרטט קטע שיחבר את בסיסי הטרפז (T שוכב על הבסיס הקטן יותר של KM, X - על ה-AE הגדול יותר). נקודת החיתוך של האלכסונים מחלקת את הקטע הזה ביחס הבא: TO/OH = KM/AE.
6. ועכשיו דרך נקודת החיתוך של האלכסונים אנו מציירים קטע מקביל לבסיסי הטרפז (a ו-b). נקודת החיתוך תחלק אותו לשני חלקים שווים. אתה יכול למצוא את אורך קטע באמצעות הנוסחה 2ab/(a + b).

תכונות קו האמצע של טרפז

צייר את הקו האמצעי בטרפז במקביל לבסיסיו.

1. ניתן לחשב את אורך קו האמצע של טרפז על ידי הוספת אורכי הבסיסים וחלוקתם לשניים: m = (a + b)/2.
2. אם תצייר קטע כלשהו (גובה, למשל) דרך שני הבסיסים של הטרפז, הקו האמצעי יחלק אותו לשני חלקים שווים.

תכונה של חצויה של טרפז

בחר כל זווית של הטרפז וצייר חוצה. קח, למשל, את הזווית KAE של הטרפז ACME שלנו. לאחר שסיימתם את הבנייה בעצמכם, תוכלו לראות בקלות שהחצוף חותך מהבסיס (או המשכו על קו ישר מחוץ לדמות עצמה) קטע באורך זהה לצלע.

תכונות זווית טרפז

1. איזה משני זוגות הזוויות הסמוכים לצלע שתבחר, סכום הזוויות בזוג הוא תמיד 180 0: α + β = 180 0 ו- γ + δ = 180 0 .
2. חבר את נקודות האמצע של הבסיסים של הטרפז עם קטע TX. עכשיו בואו נסתכל על הזוויות בבסיסי הטרפז. אם סכום הזוויות עבור כל אחת מהן הוא 90 0, קל לחשב את אורך קטע ה-TX בהתבסס על ההבדל באורך הבסיסים, מחולק לשניים: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. אם נמשכים קווים מקבילים דרך צלעות הזווית של טרפז, הם יחלקו את צלעות הזווית למקטעים פרופורציונליים.

תכונות של טרפז שווה שוקיים (שווה שוקיים).

1. בטרפז שווה שוקיים, הזוויות בכל אחד מהבסיסים שוות.
2. כעת בנה שוב טרפז כדי שיהיה קל יותר לדמיין במה מדובר. הסתכלו היטב על בסיס AE - קודקוד הבסיס הנגדי של M מוקרן לנקודה מסוימת על הישר המכיל AE. המרחק מקודקוד A לנקודת ההקרנה של קודקוד M וקו האמצע של טרפז שווה שוקיים שווים.
3. כמה מילים על תכונת האלכסונים של טרפז שווה שוקיים - אורכם שווים. וגם זוויות הנטייה של האלכסונים הללו לבסיס הטרפז זהות.
4. רק ליד טרפז שווה שוקיים ניתן לתאר מעגל, שכן סכום הזוויות ההפוכות של מרובע 180 0 הוא תנאי מוקדם לכך.
5. התכונה של טרפז שווה שוקיים נובעת מהפסקה הקודמת - אם ניתן לתאר עיגול ליד טרפז, הוא שווה שוקיים.
6. מהתכונות של טרפז שווה שוקיים, תכונת גובהו של טרפז: אם האלכסונים שלו מצטלבים בזווית ישרה, אז אורך הגובה שווה למחצית מסכום הבסיסים: h = (a + b)/2.
7. צייר שוב את הקו TX דרך נקודות האמצע של בסיסי הטרפז - בטרפז שווה שוקיים הוא מאונך לבסיסים. ובאותו הזמן, TX הוא ציר הסימטריה של טרפז שווה שוקיים.
8. הפעם הורידו לבסיס הגדול יותר (נקרא לזה א) את הגובה מהקודקוד הנגדי של הטרפז. תקבל שני חתכים. ניתן למצוא את האורך של אחד אם מוסיפים את אורכי הבסיסים ומחלקים אותם לשניים: (א+ב)/2. נקבל את השני כאשר נחסר את הקטן מהבסיס הגדול ונחלק את ההפרש המתקבל בשניים: (א – ב)/2.

תכונות של טרפז חרוט במעגל

מכיוון שאנו כבר מדברים על טרפז הכתוב במעגל, בואו נתעכב על סוגיה זו ביתר פירוט. בפרט, היכן נמצא מרכז המעגל ביחס לטרפז. גם כאן מומלץ לא להתעצל להרים עיפרון ולצייר את מה שנדון בהמשך. אז תבינו מהר יותר, ותזכרו טוב יותר.

1. מיקומו של מרכז המעגל נקבע על ידי זווית הנטייה של אלכסון הטרפז לצדו. לדוגמה, אלכסון עשוי לצאת מהחלק העליון של טרפז בזווית ישרה לצד. במקרה זה, הבסיס הגדול יותר חוצה את מרכז המעגל המוקף בדיוק באמצע (R = ½AE).
2. האלכסון והצד יכולים להיפגש גם בזווית חדה - ואז מרכז המעגל נמצא בתוך הטרפז.
3. מרכז המעגל המוקף עשוי להיות מחוץ לטרפז, מעבר לבסיסו הגדול, אם יש זווית קהה בין האלכסון של הטרפז לצד הצדדית.
4. הזווית שנוצרה על ידי האלכסון והבסיס הגדול של הטרפז ACME (זווית כתובה) היא חצי מזה פינה מרכזית, שמתאים לו: MAE = ½ MY.
5. בקצרה על שתי דרכים למצוא את רדיוס המעגל המוקף. שיטה ראשונה: התבונן היטב בציור שלך - מה אתה רואה? תבחין בקלות שהאלכסון מפצל את הטרפז לשני משולשים. ניתן למצוא את הרדיוס דרך היחס בין הצלע של המשולש לסינוס של הזווית הנגדית, כפול שניים. לדוגמה, R \u003d AE / 2 * sinAME. באופן דומה, ניתן לכתוב את הנוסחה עבור כל אחת מהצלעות של שני המשולשים.
6. שיטה שניה: אנו מוצאים את רדיוס המעגל המוקף דרך שטח המשולש שנוצר על ידי האלכסון, הצלע והבסיס של הטרפז: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

מאפיינים של טרפז מוקפים סביב מעגל

אתה יכול לרשום עיגול בטרפז אם תנאי אחד מתקיים. עוד על זה למטה. וביחד לשילוב הדמויות הזה יש מספר תכונות מעניינות.

1. אם מעגל רשום בטרפז, ניתן למצוא בקלות את אורך קו האמצע שלו על ידי הוספת אורכי הצלעות וחלוקת הסכום המתקבל לשניים: m = (c + d)/2.
2. עבור ACME טרפז, מוקף סביב מעגל, סכום אורכי הבסיסים שווה לסכום אורכי הצלעות: AK + ME = KM + AE.
3. מתכונה זו של הבסיסים של טרפז, באה המשפט ההפוכה: ניתן לרשום מעגל באותו טרפז, שסכום הבסיסים שלו שווה לסכום הצלעות.
4. נקודת המשיק של מעגל עם רדיוס r רשום בטרפז מחלקת את הצלע הצדדית לשני קטעים, נקרא להם a ו-b. ניתן לחשב את רדיוס המעגל באמצעות הנוסחה: r = √ab.
5. ועוד נכס אחד. כדי לא להתבלבל, צייר את הדוגמה הזו בעצמך. יש לנו טרפז ACME הישן והטוב, מוקף סביב מעגל. מציירים בו אלכסונים, חותכים בנקודה O. המשולשים AOK ו-EOM שנוצרים מקטעי האלכסונים והצלעות הם מלבניים.
   הגבהים של משולשים אלה, הנמוכים אל ההיפותנוסים (כלומר, צלעות הטרפז), עולים בקנה אחד עם רדיוסים של המעגל הכתוב. וגובה הטרפז זהה לקוטר המעגל הכתוב.

תכונות של טרפז מלבני

טרפז נקרא מלבני, שאחת מפינותיו נכונה. ותכונותיו נובעות מנסיבות אלו.

1. לטרפז מלבני יש את אחת הצדדים מאונכת לבסיסים.
2. הגובה והצד של הטרפז הסמוך ל זווית נכונה, שווים. זה מאפשר לך לחשב את השטח של טרפז מלבני (נוסחה כללית S = (a + b) * h/2) לא רק דרך הגובה, אלא גם דרך הצד הצמוד לזווית הנכונה.
3. עבור טרפז מלבני, המאפיינים הכלליים של אלכסוני הטרפז שתוארו לעיל רלוונטיים.

הוכחות לכמה תכונות של טרפז

שוויון זוויות בבסיס טרפז שווה שוקיים:

• בטח כבר ניחשתם שכאן אנחנו שוב צריכים את הטרפז ACME - ציירו טרפז שווה שוקיים. צייר קו MT מקודקוד M במקביל לצלע AK (MT || AK).

המרובע AKMT המתקבל הוא מקבילית (AK || MT, KM || AT). מכיוון ש-ME = KA = MT, ∆ MTE הוא שווה שוקיים ו-MET = MTE.

AK || MT, לכן MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

כאשר AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

כעת, בהתבסס על התכונה של טרפז שווה שוקיים (שוויון באלכסונים), אנו מוכיחים זאת טרפז ACME הוא שווה שוקיים:

• מלכתחילה, נצייר קו ישר МХ – МХ || KE. נקבל מקבילית KMHE (בסיס - MX || KE ו-KM || EX).

∆AMH הוא שווה שוקיים, שכן AM = KE = MX, ו-MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, ולכן MAE = MXE.

התברר שהמשולשים AKE ו-EMA שווים זה לזה, כי AM \u003d KE ו-AE - צד משותףשני משולשים. וגם MAE \u003d MXE. אנו יכולים להסיק ש-AK = ME, ומכאן נובע שהטרפז AKME הוא שווה שוקיים.

משימה לחזור

הבסיסים של הטרפז ACME הם 9 ס"מ ו-21 ס"מ, הצד של ה-KA, שווה ל-8 ס"מ, יוצרת זווית של 150 0 עם בסיס קטן יותר. אתה צריך למצוא את השטח של הטרפז.

פתרון: מקודקוד K נוריד את הגובה לבסיס הגדול יותר של הטרפז. ובואו נתחיל להסתכל על הזוויות של הטרפז.

זוויות AEM ו-KAN הן חד צדדיות. מה שאומר שהם מסתכמים ב-1800. לכן, KAN = 30 0 (מבוסס על המאפיינים של זוויות הטרפז).

שקול כעת את המלבני ∆ANK (אני חושב שנקודה זו ברורה לקוראים ללא הוכחה נוספת). ממנו אנו מוצאים את גובה הטרפז KH - במשולש זו רגל, שנמצאת מול הזווית של 30 0. לכן, KN \u003d ½AB \u003d 4 ס"מ.

השטח של הטרפז נמצא על ידי הנוסחה: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 ס"מ 2.

המשך

אם למדת בזהירות ובמחשבה את המאמר הזה, לא התעצלת מדי לצייר טרפזים עבור כל המאפיינים לעיל עם עיפרון בידיים שלך ולנתח אותם בפועל, היית צריך לשלוט היטב בחומר.

כמובן, יש כאן מידע רב, מגוון ולעיתים אף מבלבל: לא כל כך קשה לבלבל בין המאפיינים של הטרפז המתואר לבין המאפיינים של הכתובת. אבל אתה בעצמך ראית שההבדל הוא עצום.

עכשיו יש לך סיכום מפורט של כל התכונות הכלליות של טרפז. כמו גם תכונות ותכונות ספציפיות של שווה שוקיים וטרפזים מלבניים. זה מאוד נוח לשימוש כדי להתכונן למבחנים ומבחנים. נסה זאת בעצמך ושתף את הקישור עם חבריך!

blog.site, עם העתקה מלאה או חלקית של החומר, נדרש קישור למקור.

הקטע של הקו הישר המחבר את נקודות האמצע של צלעות הטרפז נקרא קו האמצע של הטרפז. כיצד למצוא את הקו האמצעי של הטרפז וכיצד הוא קשור לאלמנטים אחרים באיור זה, נתאר להלן.

משפט קו האמצע

נצייר טרפז שבו AD הוא הבסיס הגדול יותר, BC הוא הבסיס הקטן יותר, EF הוא הקו האמצעי. נרחיב את הבסיס AD מעבר לנקודה D. נצייר את הישר BF ונמשיך אותו עד שהוא נחתך עם המשך הבסיס AD בנקודה O. ניקח בחשבון את המשולשים ∆BCF ו-∆DFO. זוויות ∟BCF = ∟DFO כאנכיות. CF = DF, ∟BCF = ∟FDO, כי VS // AO. לכן, משולשים ∆BCF = ∆DFO. מכאן שהצדדים BF = FO.

עכשיו שקול את ∆ABO ו- ∆EBF. ∟ABO משותף לשני המשולשים. BE/AB = ½ לפי מוסכמה, BF/BO = ½ כי ∆BCF = ∆DFO. לכן, המשולשים ABO ו-EFB דומים. מכאן היחס בין הצלעות EF / AO = ½, כמו גם היחס בין הצדדים האחרים.

נמצא EF = ½ AO. הציור מראה כי AO = AD + DO. DO = BC כצלעות משולשים שווים, אז AO = AD + BC. מכאן ש-EF = ½ AO = ½ (AD + BC). הָהֵן. אורך קו האמצע של טרפז הוא מחצית מסכום הבסיסים.

האם קו האמצע של טרפז שווה תמיד למחצית מסכום הבסיסים?

נניח שיש כזה מקרה מיוחדכאשר EF ≠ ½ (AD + BC). ואז BC ≠ DO, ומכאן ∆BCF ≠ ∆DCF. אבל זה בלתי אפשרי, שכן יש ביניהם שתי זוויות וצלעות שוות. לכן המשפט נכון בכל התנאים.

הבעיה של קו האמצע

נניח, בטרפז שלנו ABCD AD // BC, ∟A=90°, ∟С = 135°, AB = 2 ס"מ, האלכסון AC מאונך לצד. מצא את קו האמצע של הטרפז EF.

אם ∟A = 90°, אז ∟B = 90°, אז ∆ABC הוא מלבני.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° לפי מוסכמה, לכן ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

אם במשולש ישר זווית ∆ABS זווית אחת היא 45°, אז הרגליים בו שוות: AB = BC = 2 ס"מ.

Hypotenuse AC \u003d √ (AB² + BC²) \u003d √8 ס"מ.

שקול את ∆ACD. ∟ACD = 90° לפי מוסכמה. ∟CAD = ∟BCA = 45° כזוויות שנוצרות על ידי הסקאנט של הבסיסים המקבילים של הטרפז. לכן, הרגליים AC = CD = √8.

Hypotenuse AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 ס"מ.

הקו החציוני של הטרפז EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 ס"מ.

מטרות השיעור:

1) להכיר לתלמידים את הרעיון של קו האמצע של טרפז, לשקול את תכונותיו ולהוכיח אותן;

2) ללמד כיצד לבנות את הקו האמצעי של הטרפז;

3) לפתח את יכולת התלמידים להשתמש בהגדרת הקו האמצעי של הטרפז ובתכונות הקו האמצעי של הטרפז בפתרון בעיות;

4) להמשיך ולפתח את יכולתם של התלמידים לדבר נכון, תוך שימוש במונחים המתמטיים הדרושים; להוכיח את נקודת המבט שלך;

5) להתפתח חשיבה לוגית, זיכרון, תשומת לב.

במהלך השיעורים

1. בדיקת שיעורי בית מתקיימת במהלך השיעור. שיעורי הבית היו בעל פה, זכרו:

א) הגדרה של טרפז; סוגי טרפז;

ב) קביעת קו האמצע של המשולש;

ג) תכונה של קו האמצע של משולש;

ד) סימן לקו האמצע של המשולש.

2. לימוד חומר חדש.

א) הטרפז ABCD מוצג על הלוח.

ב) המורה מציע לזכור את ההגדרה של טרפז. לכל שולחן יש תרשים רמז שעוזר לזכור את המושגים הבסיסיים בנושא "טרפז" (ראה נספח 1). לכל שולחן מופק נספח 1.

התלמידים מציירים את הטרפז ABCD במחברת שלהם.

ג) המורה מציע להיזכר באיזה נושא נתקל במושג הקו האמצעי ("קו האמצע של המשולש"). התלמידים זוכרים את ההגדרה של קו האמצע של משולש ואת התכונה שלו.

ה) רשום את ההגדרה של קו האמצע של הטרפז, המתאר אותו במחברת.

קו אמצעיטרפז נקרא קטע המחבר את נקודות האמצע של צלעותיו.

התכונה של קו החציון של הטרפז בשלב זה נותרה בלתי מוכחת, ולכן השלב הבא של השיעור כולל עבודה על הוכחת התכונה של קו החציון של הטרפז.

מִשׁפָּט. קו האמצע של טרפז מקביל לבסיסיו ושווה למחצית הסכום שלהם.

נָתוּן: ABCD - טרפז,

MN - קו אמצע ABCD

לְהוֹכִיחַ, מה:

1. לפני הספירה || MN || מוֹדָעָה.

2. MN = (AD + BC).

נוכל לרשום כמה מסקנות בעקבות תנאי המשפט:

AM=MB, CN=ND, BC || מוֹדָעָה.

לא ניתן להוכיח את הנדרש על סמך הנכסים המפורטים בלבד. מערכת השאלות והתרגילים אמורה להוביל את התלמידים לרצון לחבר את קו האמצע של טרפז עם קו האמצע של משולש כלשהו, ​​שאת תכונותיו הם כבר יודעים. אם אין הצעות, אז נוכל לשאול את השאלה: איך בונים משולש שעבורו הקטע MN יהיה קו האמצע?

הבה נכתוב בנייה נוספת עבור אחד המקרים.

הבה נצייר קו BN החותך את הרחבה של הצלע AD בנקודה K.

מופיעים אלמנטים נוספים - משולשים: ABD, BNM, DNK, BCN. אם נוכיח ש-BN = NK, זה אומר ש-MN הוא קו האמצע של ABD, ואז נוכל להשתמש בתכונה של קו האמצע של משולש ולהוכיח את ההכרחי.

הוכחה:

1. שקול את BNC ו-DNK, בהם:

א) CNB =DNK (נכס זוויות אנכיות);

ב) BCN = NDK (התכונה של זוויות שכיבה צלב פנימיות);

ג) CN = ND (לפי תולדה של השערת המשפט).

אז BNC = DNK (בצד ובשתי פינות צמודות אליו).

Q.E.D.

את ההוכחה ניתן לבצע בעל פה בשיעור, ולשחזר ולרשום במחברת בבית (לפי שיקול דעת המורה).

יש צורך להזכיר דרכים אפשריות נוספות להוכחת משפט זה:

1. צייר את אחד האלכסונים של הטרפז והשתמש בסימן ובתכונה של הקו האמצעי של המשולש.

2. הפעל את CF || BA וחשבו על המקבילית ABCF ו- DCF.

3. הפעל את EF || BA ושקול את השוויון של FND ו-ENC.

ז) בשלב זה ניתנים שיעורי בית: עמ' 84, ספר לימוד, עורך. Atanasyan L.S. (הוכחה לתכונה של קו האמצע של טרפז בצורה וקטורית), כתוב במחברת.

ח) אנו פותרים בעיות לשימוש בהגדרה ובמאפיינים של קו האמצע של הטרפז לפי השרטוטים המוגמרים (ראה נספח 2). נספח 2 ניתן לכל תלמיד, ופתרון הבעיות מנוסח על אותו גיליון בצורה קצרה.

טרפז הוא מקרה מיוחד של מרובע שבו זוג אחד של צלעות מקביל. המונח "טרפז" מגיע מהמילה היוונית τράπεζα, שפירושה "שולחן", "שולחן". במאמר זה נשקול את סוגי הטרפז ותכונותיו. בנוסף, נבין כיצד לחשב את האלמנטים הבודדים של דוגמה זו, האלכסון של טרפז שווה שוקיים, קו האמצע, השטח וכו 'החומר מוצג בסגנון גיאומטריה עממית בסיסית, כלומר בצורה נגישה בקלות.

מידע כללי

ראשית, בואו נבין מה זה מרובע. דמות זו היא מקרה מיוחד של מצולע המכיל ארבע צלעות וארבעה קודקודים. שני קודקודים של מרובע שאינם סמוכים נקראים מול. ניתן לומר את אותו הדבר לגבי שני צדדים שאינם צמודים. הסוגים העיקריים של מרובע הם מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז ודלתואיד.

אז, בחזרה לטרפז. כפי שכבר אמרנו, לדמות זו יש שני צדדים מקבילים. הם נקראים בסיסים. שני האחרים (לא מקבילים) הם הצדדים. בחומרי בחינה ובמגוון הבקרה עובדתלעתים קרובות מאוד אתה יכול לעמוד במשימות הקשורות לטרפזים, שהפתרון שלהן דורש לרוב מהתלמיד ידע שאינו מסופק על ידי התוכנית. קורס גיאומטריה בבית הספר מציג לתלמידים את תכונות הזוויות והאלכסונים, וכן את קו האמצע של טרפז שווה שוקיים. אבל אחרי הכל, בנוסף לזה, לדמות הגיאומטרית המוזכרת יש תכונות אחרות. אבל עוד עליהם בהמשך...

סוגי טרפז

ישנם סוגים רבים של דמות זו. עם זאת, לרוב נהוג להתייחס לשניים מהם - שווה שוקיים ומלבניים.

1. טרפז מלבני הוא דמות שבה אחת הצדדים מאונכת לבסיסים. יש לו שתי זוויות שהן תמיד תשעים מעלות.

2. טרפז שווה שוקיים הוא דמות גיאומטרית שצלעותיה שוות זו לזו. המשמעות היא שגם הזוויות בבסיסים שוות בזוגיות.

העקרונות העיקריים של המתודולוגיה לחקר המאפיינים של טרפז

העיקרון העיקרי הוא השימוש בגישת המשימה שנקראת. למעשה, אין צורך להכניס מאפיינים חדשים של דמות זו למהלך התיאורטי של הגיאומטריה. ניתן לגלות ולגבש אותם בתהליך פתרון בעיות שונות (טובות יותר ממערכתיות). יחד עם זאת, חשוב מאוד שהמורה ידע אילו משימות צריך להציב לתלמידים בשלב זה או אחר. תהליך חינוכי. יתרה מכך, כל תכונה של הטרפז יכולה להיות מיוצגת כמשימת מפתח במערכת המשימות.

העיקרון השני הוא מה שנקרא ארגון ספירלה של חקר המאפיינים ה"מדהימים" של הטרפז. זה מרמז על חזרה בתהליך הלמידה לתכונות האישיות של דמות גיאומטרית נתונה. לפיכך, קל יותר לתלמידים לשנן אותם. לדוגמה, המאפיין של ארבע נקודות. ניתן להוכיח זאת הן בחקר הדמיון והן לאחר מכן בעזרת וקטורים. וניתן להוכיח את השטח השווה של משולשים הסמוכים לצלעות האיור על ידי יישום לא רק של מאפיינים של משולשים בעלי גבהים שווים הנמשכים על הצלעות השוכנות על אותו קו, אלא גם באמצעות הנוסחה S= 1/2(ab*sinα). בנוסף, ניתן להתאמן על טרפז כתוב או משולש ישר זווית על טרפז מוקף וכו'.

השימוש בתכונות "מחוץ לתוכנית" של דמות גיאומטרית בתוכן של קורס בית ספרי הוא טכנולוגיית משימה להוראתן. הפנייה המתמדת למאפיינים הנלמדים בעת מעבר על נושאים אחרים מאפשרת לתלמידים לקבל היכרות מעמיקה יותר עם הטרפז ומבטיחה את הצלחת פתרון המשימות. אז בואו נתחיל ללמוד את הדמות הנפלאה הזו.

יסודות ותכונות של טרפז שווה שוקיים

כפי שכבר ציינו, הצדדים של דמות גיאומטרית זו שוות. זה ידוע גם בתור הטרפז הימני. למה זה כל כך מדהים ולמה זה קיבל שם כזה? המאפיינים של דמות זו כוללים את העובדה שלא רק הצדדים והפינות בבסיסים שווים, אלא גם האלכסונים. כמו כן, סכום הזוויות של טרפז שווה שוקיים הוא 360 מעלות. אבל זה לא הכל! מכל הטרפזים הידועים, רק סביב שווה שוקיים אפשר לתאר מעגל. זאת בשל העובדה שסכום הזוויות ההפוכות של דמות זו הוא 180 מעלות, ורק במצב זה ניתן לתאר מעגל סביב המרובע. התכונה הבאה של הדמות הגיאומטרית הנחשבת היא שהמרחק מקודקוד הבסיס להקרנה של הקודקוד הנגדי על הקו הישר המכיל את הבסיס הזה יהיה שווה לקו האמצע.

עכשיו בואו נבין איך למצוא את הזוויות של טרפז שווה שוקיים. שקול פתרון לבעיה זו, בתנאי שמידות הצדדים של הדמות ידועות.

פִּתָרוֹן

בדרך כלל, מרובע מסומן בדרך כלל באותיות A, B, C, D, כאשר BS ו-AD הם הבסיסים. בטרפז שווה שוקיים, הצלעות שוות. נניח שגודלם הוא X, וגדלים של הבסיסים הם Y ו-Z (קטנים יותר וגדולים יותר, בהתאמה). כדי לבצע את החישוב, יש צורך לצייר גובה H מזווית B. התוצאה היא משולש ישר זווית ABN, כאשר AB הוא התחתון, ו-BN ו-AN הם הרגליים. אנו מחשבים את גודל הרגל AN: אנו מפחיתים את הקטנה מהבסיס הגדול, ומחלקים את התוצאה ב-2. אנו כותבים אותה בצורה של נוסחה: (Z-Y) / 2 \u003d F. כעת, כדי לחשב את הזווית החדה של המשולש, אנו משתמשים בפונקציית cos. נקבל את הרשומה הבאה: cos(β) = Х/F. כעת אנו מחשבים את הזווית: β=arcos (Х/F). יתר על כן, בידיעת זווית אחת, נוכל לקבוע את השנייה, לשם כך אנו מבצעים פעולה אריתמטית יסודית: 180 - β. כל הזוויות מוגדרות.

יש גם פתרון שני לבעיה זו. בהתחלה מורידים את הגובה H מהפינה B. מחשבים את הערך של רגל BN. אנחנו יודעים שהריבוע של ההיפוטנוזה משולש ישר זווית שווה לסכוםריבועי רגליים. אנו מקבלים: BN \u003d √ (X2-F2). לאחר מכן, אנו משתמשים פונקציה טריגונומטרית tg. כתוצאה מכך, יש לנו: β = arctg (BN / F). פינה חדהמצאתי. לאחר מכן, אנו קובעים באותו אופן כמו השיטה הראשונה.

תכונת האלכסונים של טרפז שווה שוקיים

בוא נרשום תחילה ארבעה כללים. אם האלכסונים בטרפז שווה שוקיים מאונכים, אז:

גובה הדמות יהיה שווה לסכום הבסיסים חלקי שניים;

גובהו וקו החציון שלו שווים;

מרכז המעגל הוא הנקודה שבה ה-;

אם הצד הרוחבי מחולק בנקודת המגע למקטעים H ו-M, אז הוא שווה ל שורש ריבועימוצרים של מגזרים אלה;

המרובע, שנוצר מהנקודות המשיקות, קודקוד הטרפז ומרכז המעגל הכתוב, הוא ריבוע שצלעו שווה לרדיוס;

שטחה של דמות שווה למכפלת הבסיסים ולמכפלת מחצית מסכום הבסיסים וגובהה.

טרפזים דומים

נושא זה נוח מאוד ללימוד המאפיינים של זה, למשל, האלכסונים מחלקים את הטרפז לארבעה משולשים, ואלה הסמוכים לבסיסים דומים, ולצלעות הם שווים. אפשר לקרוא לאמירה זו תכונה של המשולשים שאליהם מחולק הטרפז באלכסוניו. החלק הראשון של קביעה זו מוכח באמצעות הקריטריון של דמיון בשתי זוויות. כדי להוכיח את החלק השני, עדיף להשתמש בשיטה המובאת להלן.

הוכחה למשפט

אנו מקבלים כי הדמות ABSD (AD ו-BS - הבסיסים של הטרפז) מחולקת באלכסונים VD ו-AC. נקודת החיתוך שלהם היא O. נקבל ארבעה משולשים: AOS - בבסיס התחתון, BOS - בבסיס העליון, ABO ו-SOD בצדדים. למשולשים SOD ו-BOS יש גובה משותף אם המקטעים BO ו-OD הם הבסיסים שלהם. נקבל שההפרש בין השטחים שלהם (P) שווה להפרש בין המקטעים הללו: PBOS / PSOD = BO / OD = K. לכן, PSOD = PBOS / K. באופן דומה, למשולשי BOS ו-AOB יש גובה משותף. אנו לוקחים את המקטעים CO ו-OA כבסיסם. אנו מקבלים PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K ו-PAOB \u003d PBOS / K. מכאן נובע ש-PSOD = PAOB.

כדי לגבש את החומר, מומלץ לתלמידים למצוא קשר בין שטחי המשולשים המתקבלים, שאליהם מחולק הטרפז באלכסוניו, על ידי פתרון הבעיה הבאה. זה ידוע ששטחי המשולשים BOS ו- AOD שווים, יש צורך למצוא את שטח הטרפז. מאז PSOD \u003d PAOB, זה אומר ש-PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. מהדמיון של המשולשים BOS ו-AOD נובע ש-BO / OD = √ (PBOS / PAOD). לכן, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). נקבל PSOD = √ (PBOS * PAOD). אז PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

מאפייני דמיון

אם נמשיך לפתח נושא זה, נוכל להוכיח אחרת תכונות מעניינותטרפז. אז, באמצעות דמיון, אתה יכול להוכיח את המאפיין של קטע שעובר דרך נקודה, נוצר על ידי הצומתאלכסונים של דמות גיאומטרית זו, מקבילים לבסיסים. לשם כך אנו פותרים את הבעיה הבאה: יש צורך למצוא את אורך הקטע RK, העובר דרך הנקודה O. מהדמיון של משולשים AOD ו-BOS נובע ש-AO/OS=AD/BS. מהדמיון של משולשים AOP ו-ASB, נובע כי AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). מכאן אנו מקבלים את ה-RO \u003d BS * AD / (BS + AD). באופן דומה, מהדמיון של המשולשים DOK ו-DBS, נובע שאישור \u003d BS * AD / (BS + AD). מכאן נקבל ש-RO=OK ו-RK=2*BS*AD/(BS+AD). הקטע העובר בנקודת החיתוך של האלכסונים, מקביל לבסיסים ומחבר בין שני הצדדים, מחולק בנקודת החיתוך לשניים. אורכו הוא הממוצע ההרמוני של בסיסי הדמות.

שקול את המאפיין הבא של טרפז, אשר נקרא מאפיין של ארבע נקודות. נקודות החיתוך של האלכסונים (O), נקודות החיתוך של המשך הצלעות (E), וכן נקודות האמצע של הבסיסים (T ו-W) שוכנים תמיד על אותו קו. זה מוכח בקלות בשיטת הדמיון. המשולשים המתקבלים BES ו-AED דומים, ובכל אחד מהם החציונים ET ו-EZH מחלקים את הזווית בקודקוד E לחלקים שווים. לכן, הנקודות E, T ו-W שוכנות על אותו קו ישר. באותו אופן, הנקודות T, O ו-G ממוקמות על אותו קו ישר. כל זה נובע מהדמיון בין המשולשים BOS ו-AOD. מכאן אנו מסיקים שכל ארבע הנקודות - E, T, O ו-W - ישכבו על קו ישר אחד.

באמצעות טרפזים דומים, ניתן לבקש מהתלמידים למצוא את אורך הקטע (LF) המחלק את הדמות לשניים דומים. קטע זה צריך להיות מקביל לבסיסים. מכיוון שהטרפזים המתקבלים ALFD ו- LBSF דומים, אז BS/LF=LF/BP. מכאן נובע ש-LF=√(BS*BP). נקבל שלקטע המחלק את הטרפז לשניים דומים יש אורך השווה לממוצע הגיאומטרי של אורכי בסיסי הדמות.

שקול את תכונת הדמיון הבאה. הוא מבוסס על קטע המחלק את הטרפז לשתי דמויות שוות בגודלן. אנו מקבלים שה-ABSD הטרפז מחולק על ידי הקטע EN לשניים דומים. מהקודקוד B מושמט הגובה המחולק בקטע EH לשני חלקים - B1 ו-B2. אנו מקבלים: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 ו-PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. לאחר מכן, אנו מרכיבים מערכת שהמשוואה הראשונה שלה היא (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 והשנייה (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. מכאן נובע ש-B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ו-BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). נקבל שאורך הקטע המחלק את הטרפז לשניים שווים שווה לריבוע הממוצע של אורכי הבסיסים: √ ((BS2 + AD2) / 2).

מסקנות דמיון

לפיכך, הוכחנו כי:

1. הקטע המחבר את נקודות האמצע של צלעות הטרפז מקביל ל-AD ו-BS ושווה לממוצע האריתמטי של BS ו-AD (אורך בסיס הטרפז).

2. הישר העובר בנקודת O של מפגש האלכסונים המקבילים ל-AD ו-BS יהיה שווה לממוצע ההרמוני של המספרים AD ו-BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. למקטע המחלק את הטרפז לאלו דומים יש את אורך הממוצע הגיאומטרי של הבסיסים BS ו-AD.

4. אלמנט המחלק דמות לשניים שווים הוא באורך של מספרי הריבוע הממוצעים AD ו-BS.

כדי לגבש את החומר ולהבין את הקשר בין הקטעים הנחשבים, התלמיד צריך לבנות אותם לטרפז ספציפי. הוא יכול להציג בקלות את קו האמצע ואת הקטע שעובר בנקודה O - מפגש האלכסונים של הדמות - במקביל לבסיסים. אבל איפה יהיו השלישי והרביעי? תשובה זו תוביל את התלמיד לגילוי הקשר הרצוי בין הממוצעים.

קטע קו המחבר את נקודות האמצע של האלכסונים של טרפז

שקול את המאפיין הבא של דמות זו. אנו מקבלים שהקטע MH מקביל לבסיסים וחוצה את האלכסונים. נקרא לנקודות החיתוך W ו-W. קטע זה יהיה שווה לחצי ההפרש של הבסיסים. בואו ננתח את זה ביתר פירוט. MSH - הקו האמצעי של המשולש ABS, הוא שווה ל-BS / 2. MS - הקו האמצעי של המשולש ABD, הוא שווה ל-AD / 2. אז נקבל ש-Shch = MShch-MSh, לכן, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

מרכז כוח המשיכה

הבה נבחן כיצד אלמנט זה נקבע עבור דמות גיאומטרית נתונה. לשם כך, יש צורך להרחיב את השטח פנימה צדדים הפוכים. מה זה אומר? יש צורך להוסיף את הבסיס התחתון לבסיס העליון - לכל אחד מהצדדים, למשל, מימין. והתחתון מתארך באורך העליון שמאלה. לאחר מכן, אנו מחברים אותם עם אלכסון. נקודת החיתוך של קטע זה עם הקו האמצעי של הדמות היא מרכז הכובד של הטרפז.

טרפזים חרוטים ומוקפים

בואו נפרט את התכונות של דמויות כאלה:

1. ניתן לרשום טרפז במעגל רק אם הוא שווה שוקיים.

2. ניתן לתאר טרפז סביב מעגל, בתנאי שסכום אורכי הבסיסים שלהם שווה לסכום אורכי הצלעות.

השלכות המעגל הכתוב:

1. גובה הטרפז המתואר תמיד שווה לשני רדיוסים.

2. הצד הרוחבי של הטרפז המתואר נצפה ממרכז המעגל בזווית ישרה.

המסקנה הראשונה ברורה, וכדי להוכיח את השנייה נדרש לקבוע שזווית SOD נכונה, מה שלמעשה גם לא יהיה קשה. אבל הידע של המאפיין הזה יאפשר לנו להשתמש במשולש ישר זווית בפתרון בעיות.

כעת אנו מציינים את ההשלכות הללו עבור טרפז שווה שוקיים, אשר רשום במעגל. נקבל שהגובה הוא הממוצע הגיאומטרי של בסיסי האיור: H=2R=√(BS*AD). תרגול הטכניקה העיקרית לפתרון בעיות עבור טרפזים (עקרון ציור שני גבהים), על התלמיד לפתור את המשימה הבאה. אנו מקבלים כי BT הוא הגובה של הדמות שווה שוקיים ABSD. יש צורך למצוא מקטעים AT ו-TD. באמצעות הנוסחה שתוארה לעיל, זה לא יהיה קשה לעשות.

עכשיו בואו נבין כיצד לקבוע את רדיוס המעגל באמצעות שטח הטרפז המוקף. מורידים את הגובה מלמעלה B לבסיס AD. מכיוון שהמעגל רשום בטרפז, אז BS + AD \u003d 2AB או AB \u003d (BS + AD) / 2. מהמשולש ABN נמצא sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. אנו מקבלים PABSD \u003d (BS + HELL) * R, מכאן נובע ש- R \u003d PABSD / (BS + HELL).

כל הנוסחאות של קו האמצע של טרפז

עכשיו הגיע הזמן לעבור לאלמנט האחרון של הדמות הגיאומטרית הזו. בואו נבין למה שווה הקו האמצעי של הטרפז (M):

1. דרך הבסיסים: M \u003d (A + B) / 2.

2. דרך גובה, בסיס וזוויות:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. דרך גובה, אלכסונים והזווית ביניהם. לדוגמה, D1 ו-D2 הם האלכסונים של טרפז; α, β - זוויות ביניהן:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. דרך השטח והגובה: M = P / N.