מאמר זה עוסק בזווית בין מטוסים וכיצד למצוא אותה. ראשית, ניתנת הגדרת הזווית בין שני מישורים וניתנת המחשה גרפית. לאחר מכן נותח העיקרון של מציאת הזווית בין שני מישורים מצטלבים בשיטת הקואורדינטות, והתקבלה נוסחה המאפשרת לחשב את הזווית בין מישורים מצטלבים באמצעות הקואורדינטות הידועות של הוקטורים הנורמליים של מישורים אלו. לסיכום, מוצגים פתרונות מפורטים לבעיות טיפוסיות.
ניווט בדף.
זווית בין מישורים - הגדרה.
הבה נציג טיעונים שיאפשרו לנו להתקרב בהדרגה לקביעת הזווית בין שני מישורים מצטלבים.
תנו לנו שני מישורים מצטלבים ו. מישורים אלה מצטלבים לאורך קו ישר, אותו אנו מציינים באות c. נבנה מישור העובר דרך נקודה M של קו c ומאונך לישר c. במקרה זה, המטוס יחצה את המטוסים ו. נסמן את הישר שלאורכו נחתכים המישורים כ-a, ואת הישר שלאורכו נחתכים המישורים כ-b. ברור שהקווים a ו-b מצטלבים בנקודה M.
קל להראות שהזווית בין ישרים מצטלבים a ו-b אינה תלויה במיקומה של נקודה M על קו c שדרכו עובר המישור.
נבנה מישור מאונך לישר c ושונה מהמישור. המישור נחתך על ידי מישורים ולאורך קווים ישרים, אותם אנו מציינים כ-1 ו-b 1, בהתאמה.
משיטת בניית המישורים עולה כי ישרים a ו-b מאונכים לישר c, וקווים a 1 ו-b 1 מאונכים לישר c. מכיוון שהקווים a ו-a 1 נמצאים באותו מישור ומאונכים לישר c, אז הם מקבילים. באופן דומה, ישרים b ו-b 1 נמצאים באותו מישור והם מאונכים לישר c, ולכן הם מקבילים. כך, ניתן לבצע העברה מקבילה של המישור למישור, שבה ישר a 1 חופף לישר a, וקו ישר b עם ישר b 1. לכן, הזווית בין שני ישרים חותכים a 1 ו- b 1 שווה לזווית בין ישרים חותכים a ו-b.
זה מוכיח שהזווית בין ישרים מצטלבים a ו-b השוכנים במישורים מצטלבים ואינה תלויה בבחירת הנקודה M דרכה עובר המישור. לכן, זה הגיוני לקחת את הזווית הזו בתור הזווית בין שני מישורים מצטלבים.
עכשיו אתה יכול להשמיע את הגדרת הזווית בין שני מישורים מצטלבים ו.
הַגדָרָה.
הזווית בין שני מישורים המצטלבים בקו ישר ו- זוהי הזווית בין שני ישרים מצטלבים a ו-b, שלאורכה המישורים ומצטלבים עם המישור המאונך לישר c.
את הגדרת הזווית בין שני מישורים אפשר לתת קצת אחרת. אם על הישר c שלאורכו המישורים ומצטלבים, מסמנים נקודה M ומציירים דרכה קווים ישרים a ו-b, בניצב לישר c ומונחים במישורים ובהתאמה, אזי הזווית בין הישרים a. ו-b היא הזווית בין המישורים ו. בדרך כלל בפועל, רק קונסטרוקציות כאלה מבוצעות על מנת לקבל את הזווית בין המישורים.
מכיוון שהזווית בין ישרים מצטלבים אינה עולה על , עולה מההגדרה המוצהרת שמידת המעלות של הזווית בין שני מישורים מצטלבים באה לידי ביטוי במספר ממשי מהמרווח. במקרה זה, מטוסים מצטלבים נקראים אֲנָכִי, אם הזווית ביניהם היא תשעים מעלות. זווית בין מישורים מקביליםאו שהם לא קובעים את זה בכלל, או שהם רואים את זה שווה לאפס.
מציאת הזווית בין שני מישורים מצטלבים.
בדרך כלל, כאשר מוצאים זווית בין שני מישורים מצטלבים, יש לבצע תחילה קונסטרוקציות נוספות כדי לראות את הקווים הישרים המצטלבים, שהזווית ביניהם שווה לזווית הרצויה, ולאחר מכן לחבר את הזווית הזו עם הנתונים המקוריים באמצעות מבחני שוויון, דמיון מבחנים, משפט הקוסינוס או הגדרות של סינוס, קוסינוס וטנגנס של הזווית. במהלך הגיאומטריה בית ספר תיכוןמתרחשות בעיות דומות.
כדוגמה, בואו ניתן את הפתרון לבעיה C2 מבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה לשנת 2012 (התנאי שונה בכוונה, אבל זה לא משפיע על עקרון הפתרון). בו, אתה רק צריך למצוא את הזווית בין שני מישורים מצטלבים.
דוגמא.
פִּתָרוֹן.
ראשית, בואו נעשה ציור.
בואו נבצע קונסטרוקציות נוספות כדי "לראות" את הזווית בין המישורים.
ראשית, נגדיר קו ישר שלאורכו מצטלבים מישורים ABC ו- BED 1. נקודה ב' היא אחת הנקודות המשותפות שלהם. הבה נמצא את הנקודה המשותפת השנייה של המישורים הללו. קווים DA ו-D 1 E נמצאים באותו מישור ADD 1, והם אינם מקבילים, ולכן מצטלבים. מאידך, קו DA נמצא במישור ABC, וקו D 1 E - במישור BED 1, לכן, נקודת החיתוך של הקווים DA ו-D 1 E תהיה נקודה משותפתמטוסים ABC ו- BED 1. אז, הבה נמשיך את הקווים DA ו-D 1 E עד לצומתם, ומציינים את נקודת ההצטלבות שלהם באות F. אז BF הוא הקו הישר שלאורכו מצטלבים מישורים ABC ו- BED 1.
נותר לבנות שני קווים השוכנים במישורים ABC ו- BED 1, בהתאמה, העוברים דרך נקודה אחת על הישר BF ומאונכים לישר BF - הזווית בין הקווים הללו, בהגדרה, תהיה שווה לזווית הרצויה בין מטוסים ABC ו- BED 1. בוא נעשה את זה.
נְקוּדָה A היא ההשלכה של נקודה E על מישור ABC. נצייר קו ישר חוצה קו BF בזווית ישרה בנקודה M. אז הישר AM הוא ההשלכה של הישר EM על המישור ABC, ולפי משפט שלושה ניצבים.
לפיכך, הזווית הנדרשת בין המישורים ABC ו- BED 1 שווה ל.
אנו יכולים לקבוע את הסינוס, הקוסינוס או הטנגנס של זווית זו (ולכן את הזווית עצמה). משולש ישר זווית AEM, אם אנו יודעים את אורכי שתי צלעותיו. מהתנאי קל למצוא את האורך AE: מכיוון שנקודה E מחלקת את הצלע AA 1 ביחס של 4 ל-3, בספירה מנקודה A, ואורך הצלע AA 1 הוא 7, אז AE = 4. בוא נמצא את האורך AM.
כדי לעשות זאת, שקול משולש ישר זווית ABF עם זווית ישרה A, כאשר AM הוא הגובה. לפי תנאי AB = 2. נוכל למצוא את אורך הצלע AF מהדמיון של משולשים ישרים DD 1 F ו- AEF: 
בעזרת משפט פיתגורס, אנו מוצאים מהמשולש ABF. נמצא את האורך AM דרך שטח המשולש ABF: בצד אחד שטח המשולש ABF שווה ל 
, בצד השני 
, איפה 
.
לפיכך, מהמשולש הימני AEM יש לנו 
.
אז הזווית הנדרשת בין המישורים ABC ו- BED 1 שווה (שימו לב ש 
).
תשובה:
במקרים מסוימים, כדי למצוא את הזווית בין שני מישורים מצטלבים, נוח להגדיר Oxyz ולהשתמש בשיטת הקואורדינטות. בואו נעצור שם.
תן לנו להגדיר את המשימה: למצוא את הזווית בין שני מישורים מצטלבים ו. הבה נסמן את הזווית הרצויה כ.
נניח שבמערכת קואורדינטות מלבנית נתונה Oxyz אנו יודעים את הקואורדינטות של הוקטורים הנורמליים של מישורים מצטלבים או שיש לנו הזדמנות למצוא אותם. לתת 
הוא הווקטור הנורמלי של המישור, ו 
הוא הווקטור הנורמלי של המישור. נראה כיצד למצוא את הזווית בין מישורים מצטלבים ובאמצעות הקואורדינטות של הווקטורים הנורמליים של המישורים הללו.
נסמן את הישר שלאורכו המישורים ומצטלבים כ-c. דרך נקודה M על קו c נשרטט מישור מאונך לישר c. המישור חוצה את המישורים ולאורך הקווים a ו-b, בהתאמה, קווים a ו-b חותכים בנקודה M. בהגדרה, הזווית בין מישורים מצטלבים ושווה לזווית בין ישרים מצטלבים a ו-b.
הבה נשרטט את הוקטורים והמישורים הנורמליים ומהנקודה M במישור. במקרה זה, הווקטור מונח על ישר המאונך לישר a, והווקטור מונח על ישר המאונך לישר ב. לפיכך, במישור הווקטור הוא הווקטור הנורמלי של הישר a, הוא הווקטור הנורמלי של הישר b.
במאמר מציאת הזווית בין ישרים חותכים, קיבלנו נוסחה המאפשרת לחשב את הקוסינוס של הזווית בין ישרים חותכים באמצעות קואורדינטות של וקטורים נורמליים. לפיכך, הקוסינוס של הזווית בין קווים a ו-b, וכתוצאה מכך, קוסינוס הזווית בין מישורים מצטלביםונמצא לפי הנוסחה, איפה ו הם הווקטורים הנורמליים של המישורים ו, בהתאמה. ואז זה מחושב כ 
.
נפתור את הדוגמה הקודמת בשיטת הקואורדינטות.
דוגמא.
נתון מקביל מלבני ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, שבו AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 ונקודה E מחלקים את הצלע AA 1 ביחס של 4 ל-3, בספירה מנקודה A. מצא את הזווית בין המישורים ABC ל- BED 1.
פִּתָרוֹן.
מכיוון שצלעות מקבילית מלבני בקודקוד אחד מאונכות בזוגות, נוח להכניס מערכת קואורדינטות מלבנית Oxyz באופן הבא: יישר את ההתחלה עם הקודקוד C, וכוון את צירי הקואורדינטות Ox, Oy ו-Oz לאורך הצלעות CD , CB ו-CC 1, בהתאמה.
ניתן למצוא את הזווית בין מישורי ABC ו- BED 1 דרך הקואורדינטות של הוקטורים הנורמליים של מישורים אלה באמצעות הנוסחה , כאשר והם הוקטורים הנורמליים של מישורי ABC ו- BED 1, בהתאמה. בואו נקבע את הקואורדינטות של וקטורים נורמליים.
שימוש בשיטת הקואורדינטות בעת חישוב זווית
בין מטוסים
רוב שיטה כלליתלמצוא את הזוויתבין מישורים - שיטת הקואורדינטות (לעיתים באמצעות וקטורים). ניתן להשתמש בו כאשר כל האחרים נוסו. אבל יש מצבים שבהם יש טעם לשיטת הקואורדינטות ליישם מיד, כלומר כאשר מערכת הקואורדינטות קשורה באופן טבעי לפוליהדרון שצוין בהצהרת הבעיה, כלומר. שלושה קווים בניצב זוג נראים בבירור, שעליהם ניתן לציין צירי קואורדינטות. פוליהדרות כאלה הן מקבילות מלבני ורגיל פירמידה מרובעת. במקרה הראשון, ניתן לציין את מערכת הקואורדינטות על ידי קצוות המשתרעים מקודקוד אחד (איור 1), במקרה השני - לפי הגובה והאלכסונים של הבסיס (איור 2).
היישום של שיטת הקואורדינטות הוא כדלקמן.
מוצגת מערכת קואורדינטות מלבנית במרחב. רצוי להציג אותו בצורה "טבעית" - "לקשר" אותו לשלישיית קווים מאונכים בזוגיות שיש להם נקודה משותפת.
לכל אחד מהמישורים, את הזווית שביניהם מחפשים משוואה. הדרך הקלה ביותר ליצור משוואה כזו היא לדעת את הקואורדינטות של שלוש נקודות במישור שאינן שוכנות על אותו קו.
משוואת המטוס ב השקפה כלליתנראה כמו Axe + By + Cz + D = 0.
מקדמים A,B, ה-Cs במשוואה זו הן הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי של המישור (הווקטור המאונך למישור). לאחר מכן אנו קובעים את האורכים והמכפלה הסקלרית של וקטורים נורמליים למישורים, שביניהם מחפשים את הזווית. אם הקואורדינטות של הוקטורים הללו(A 1, B 1; C 1) ו-(A 2; B 2; C 2 ), ואז את הזווית הרצויהמחושב לפי הנוסחה
תגובה. יש לזכור שהזווית בין וקטורים (בניגוד לזווית בין מישורים) יכולה להיות קהה, וכדי למנוע אי ודאות אפשרית, המונה בצד ימין של הנוסחה מכיל מודולוס.
פתור בעיה זו באמצעות שיטת הקואורדינטות.
בעיה 1. נתונה קובייה ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . נקודה K היא אמצע קצה AD, נקודה L היא אמצע קצה CD. למה זווית שווהבין מטוסים A 1 KL ו-A 1 AD?
פִּתָרוֹן . תן למקור מערכת הקואורדינטות להיות בנקודהא, וצירי הקואורדינטות הולכים לאורך הקרניים AD, AB, AA 1 (איור 3). בואו ניקח את קצה הקוביה להיות שווה ל-2 (נוח לחלק אותו לשניים). ואז הקואורדינטות של הנקודות A 1, K, L הם כדלקמן: A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).
אורז. 3
נרשום את משוואת המישור A 1 K L בכללי. ואז נחליף את הקואורדינטות של הנקודות הנבחרות של המישור הזה לתוכו. נקבל מערכת של שלוש משוואות עם ארבעה לא ידועים:
בוא נבטא את המקדמיםא', ב', ג' עד ד' ואנו מגיעים למשוואה
חלוקת שני החלקים ל D (למה D = 0?) ולאחר מכן כפול ב-2, נקבל את משוואת המישור A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. אז לוקטור הנורמלי למישור הזה יש קואורדינטות (2: -2; 1). משוואת מישור AD 1 הוא: y=0, ואת הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי אליו, למשל, (0; 2: 0). על פי הנוסחה לעיל עבור הקוסינוס של הזווית בין מישורים, אנו מקבלים:
שקול שני מטוסים ר 1 ו ר 2 עם וקטורים רגילים נ 1 ו נ 2. זווית φ בין מישורים ר 1 ו ר 2 מבוטא דרך הזווית ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\) באופן הבא: אם ψ < 90°, ואז φ = ψ (איור 202, a); אם ψ > 90°, אז ψ = 180° - ψ (איור 202.6).
ברור שבכל מקרה השוויון נכון
cos φ = |cos ψ|
מכיוון שהקוסינוס של הזווית בין וקטורים שאינם אפס שווה למכפלה הסקלרית של הוקטורים הללו חלקי המכפלה של אורכיהם, יש לנו
$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$
ולכן, הקוסינוס של הזווית φ בין המישורים ר 1 ו רניתן לחשב 2 באמצעות הנוסחה
$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$
אם המישורים ניתנים במשוואות כלליות
א 1 איקס+ B 1 y+ C 1 ז+ D 1 = 0 ו-A 2 איקס+ B 2 y+ C 2 ז+ D 2 = 0,
אז עבור הוקטורים הרגילים שלהם נוכל לקחת את הוקטורים נ 1 = (A 1 ; B 1 ; C 1) ו נ 2 = (A 2; B 2; C 2).
לאחר שכתבתי צד ימיןנוסחה (1) דרך קואורדינטות, אנו מקבלים
$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$
משימה 1.חשב את הזווית בין מישורים
איקס - √2 y + ז- 2 = 0 ו x+ √2 y - ז + 13 = 0.
במקרה זה, A 1 .=1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 =1, B 2 = √2, C 2 = - 1.
מנוסחה (2) אנו מקבלים
$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$
לכן, הזווית בין המישורים הללו היא 60 מעלות.
מטוסים עם וקטורים רגילים נ 1 ו נ 2:
א) מקבילים אם ורק אם הוקטורים נ 1 ו נ 2 הם קולינאריים;
ב) מאונך אם ורק אם הווקטורים נ 1 ו נ 2 מאונכים, כלומר מתי נ 1 נ 2 = 0.
מכאן אנו מקבלים את התנאים ההכרחיים והמספיקים להקבלה ולניצב של שני מישורים הניתנים על ידי משוואות כלליות.
למטוס
א 1 איקס+ B 1 y+ C 1 ז+ D 1 = 0 ו-A 2 איקס+ B 2 y+ C 2 ז+ D 2 = 0
היו מקבילים, זה הכרחי ומספיק כדי שהשוויון יתקיים
$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3)$$
אם כל אחד מהמקדמים A 2 , B 2 , C 2 שווה לאפס, ההנחה היא שגם המקדם המקביל A 1 , B 1 , C 1 שווה לאפס
כישלון של לפחות אחד משני השוויון הללו אומר שהמישורים אינם מקבילים, כלומר הם מצטלבים.
עבור ניצב של מטוסים
א 1 איקס+ B 1 y+ C 1 ז+ D 1 = 0 ו-A 2 איקס+ B 2 y+ C 2 ז+ D 2 = 0
זה הכרחי ומספיק כדי להתקיים השוויון
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)
משימה 2.בין זוגות המטוסים הבאים:
2איקס + 5בְּ- + 7ז- 1 = 0 ו-3 איקס - 4בְּ- + 2ז = 0,
בְּ- - 3ז+ 1 = 0 ו-2 בְּ- - 6ז + 5 = 0,
4איקס + 2בְּ- - 4ז+ 1 = 0 ו-2 איקס + בְּ- + 2ז + 3 = 0
מציינים מקבילים או מאונכים. לזוג המטוסים הראשון
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,
כלומר, מתקיים תנאי הניצב. המטוסים מאונכים.
לזוג המטוסים השני
\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), שכן \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)
ומקדמים A 1 ו-A 2 שווים לאפס. לכן, המישורים של הזוג השני מקבילים. לזוג השלישי
\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), שכן \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)
ו-A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, כלומר המישורים של הזוג השלישי אינם מקבילים ואינם מאונכים.
שמירה על פרטיותך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא סקור את נוהלי הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.
איסוף ושימוש במידע אישי
מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם לזיהוי אדם מסויםאו קשר איתו.
ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.
להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.
איזה מידע אישי אנחנו אוספים:
- בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.
כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:
- המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר עם הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
- מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח הודעות והודעות חשובות.
- אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
- אם אתה משתתף בהגרלת פרסים, בתחרות או בקידום מכירות דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.
גילוי מידע לצדדים שלישיים
איננו חושפים את המידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.
חריגים:
- במידת הצורך - בהתאם לחוק, להליך השיפוטי, להליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות הציבור מאת סוכנויות ממשלתיותבשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או חשיבות ציבורית אחרת.
- במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים לצד השלישי היורש הרלוונטי.
הגנה על מידע אישי
אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.
כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה
כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים תקני פרטיות ואבטחה לעובדים שלנו ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.
