שנמצאים באותו מישור או חופפים או לא מצטלבים. בחלק מהגדרות בית הספר, קווים חופפים אינם נחשבים מקבילים; הגדרה כזו אינה נחשבת כאן.

נכסים

1. מקביליות היא יחס שקילות בינארי, לכן הוא מחלק את כל קבוצת הקווים למחלקות של קווים מקבילים זה לזה.
2. דרך כל נקודה נתונה, יכול להיות בדיוק קו אחד מקביל לזה הנתון. זוהי תכונה ייחודית של הגיאומטריה האוקלידית, בגיאומטריות אחרות המספר 1 מוחלף באחרות (בגיאומטריה של לובצ'בסקי יש לפחות שני קווים כאלה)
3. 2 קווים מקבילים בחלל נמצאים באותו מישור.
4. כאשר שני ישרים מקבילים מצטלבים, נקרא ישר שלישי חוֹתֵך:
   1. הגזרה חייבת לחצות את שני הקווים.
   2. בחצייה נוצרות 8 פינות, שלכמה זוגות אופייניים שלהן יש שמות ומאפיינים מיוחדים:
      1. שוכב צלבזוויות שוות.
      2. בהתאמהזוויות שוות.
      3. חַד צְדָדִיהזוויות מסתכמות ב-180°.

בגיאומטריה של לובצ'בסקי

בגיאומטריה לובצ'בסקי במישור דרך נקודה לא ניתן לנתח ביטוי (שגיאה לקסיקלית): Cמחוץ לקו הזה $א.ב$

יש מספר אינסופי של קווים ישרים שאינם מצטלבים אב. מבין אלה, במקביל ל אברק שניים נקראים.

יָשָׁר גהנקרא קו שווה שוקיים (מקביל). אבבכיוון מ אל ב, אם:

1. נקודות בו הלשכב על צד אחד של קו ישר אג ;
2. יָשָׁר גהלא עובר את הגבול אב, אבל כל קרן העוברת בתוך הזווית אגה, חוצה את הקורה אב .

באופן דומה, קו ישר, שווה שוקיים אבבכיוון מ בל א .

כל שאר הקווים שאינם חותכים את הנתון נקראים מקביל במיוחדאוֹ מִסתַעֵף.

ראה גם

קרן ויקימדיה. 2010 .

• חוצים קווים
• נסטריכין, יורי אפרמוביץ'

ראה מה זה "קווים מקבילים" במילונים אחרים:

קווים מקבילים- קווים מקבילים, קווים לא מצטלבים השוכבים באותו מישור ... אנציקלופדיה מודרנית

קווים מקבילים מילון אנציקלופדי גדול

קווים מקבילים- קווים מקבילים, קווים לא מצטלבים השוכנים באותו מישור. … מילון אנציקלופדי מאויר

קווים מקבילים- בגיאומטריה אוקלידית, קווים השוכנים באותו מישור ואינם מצטלבים. בגיאומטריה מוחלטת (ראה גיאומטריה מוחלטת) דרך נקודה שאינה שוכנת על ישר נתון עובר לפחות ישר אחד שאינו חוצה את הישר הנתון. ב… … האנציקלופדיה הסובייטית הגדולה

קווים מקביליםהם קווים שאינם חותכים הנמצאים באותו מישור. * * * קווים מקבילים קווים מקבילים, קווים לא מצטלבים השוכבים באותו מישור ... מילון אנציקלופדי

קווים מקבילים- בגיאומטריה אוקלידית, קווים השוכנים באותו מישור ואינם מצטלבים. בגיאומטריה מוחלטת, דרך נקודה שאינה שוכנת על קו נתון, עובר לפחות ישר אחד שאינו חוצה את הישר הנתון. בגיאומטריה האוקלידית, יש רק אחד ... ... אנציקלופדיה מתמטית

קווים מקביליםקווים לא מצטלבים השוכנים באותו מישור... מדע טבעי. מילון אנציקלופדי

עולמות מקבילים בפנטזיה- מאמר זה עשוי להכיל מחקר מקורי. הוסף קישורים למקורות, אחרת זה עלול להיות מוצב למחיקה. מידע נוסף עשוי להיות בדף השיחה. זה ... ויקיפדיה

עולמות מקבילים - עולם מקביל(בדיוני) מציאות שמתקיימת איכשהו במקביל לשלנו, אך ללא תלות בה. מציאות עצמאית זו יכולה לנוע בגודלה מאזור גיאוגרפי קטן ליקום שלם. במקביל ... ויקיפדיה

מַקְבִּיל- קווים קווים ישרים נקראים קווים ישרים אם לא הם או השלוחות שלהם מצטלבים זה בזה. החדשות על אחד מהקווים הישרים הללו נמצאים באותו מרחק מהשני. עם זאת, נהוג לומר ששני קווים ישרים מצטלבים באינסוף. כגון… … אנציקלופדיה של ברוקהאוז ואפרון

ספרים

• סט שולחנות. מָתֵימָטִיקָה. כיתה ו'. 12 טבלאות + מתודולוגיה,. השולחנות מודפסים על קרטון פוליגרפי עבה בגודל 680 על 980 מ"מ. חוברת עם הנחיותעבור המורה. אלבום חינוכי של 12 גיליונות. הִתחַלְקוּת…

הוראה

לפני שמתחילים בהוכחה, יש לוודא שהקווים נמצאים באותו מישור וניתן לצייר עליו. רוב בצורה פשוטהההוכחה היא שיטת מדידת הסרגל. לשם כך, השתמשו בסרגל כדי למדוד את המרחק בין הקווים הישרים במספר מקומות רחוק ככל האפשר. אם המרחק נשאר זהה, הקווים הנתונים מקבילים. אבל שיטה זו אינה מדויקת מספיק, ולכן עדיף להשתמש בשיטות אחרות.

צייר קו שלישי כך שהוא יחצה את שני הקווים המקבילים. הוא יוצר איתם ארבע פינות חיצוניות וארבע פינות פנימיות. שקול פינות פנים. אלה ששוכבים דרך קו הססקנט נקראים שכיבה צולבת. אלה השוכבים על צד אחד נקראים חד צדדיים. בעזרת מד זווית מדדו את שתי הפינות האלכסוניות הפנימיות. אם הם שווים, אז הקווים יהיו מקבילים. אם יש ספק, מדוד זוויות פנימיות חד-צדדיות וחבר את הערכים המתקבלים. קווים יהיו מקבילים אם סכום הזוויות הפנימיות החד-צדדיות שווה ל-180º.

אם אין לך מד זווית, השתמש בריבוע של 90º. השתמש בו כדי לבנות מאונך לאחד מהקווים. לאחר מכן, המשיכו את הניצב הזה בצורה כזו שהוא יחצה קו נוסף. בעזרת אותו ריבוע, בדוק באיזו זווית הניצב הזה חוצה אותו. אם זווית זו שווה גם ל-90º, אז הקווים מקבילים זה לזה.

במקרה שהקווים ניתנים במערכת הקואורדינטות הקרטזית, מצא את המדריכים שלהם או הוקטורים הרגילים שלהם. אם הוקטורים הללו הם, בהתאמה, קולינאריים זה עם זה, אז הקווים הם מקבילים. הביאו את משוואת הקווים לצורה כללית ומצאו את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי של כל אחד מהקווים. הקואורדינטות שלו שוות למקדמים A ו-B. במקרה שהיחס בין הקואורדינטות המתאימות של הוקטורים הנורמליים זהה, הם קולינאריים, והקווים מקבילים.

לדוגמה, קווים ישרים ניתנים על ידי המשוואות 4x-2y+1=0 ו-x/1=(y-4)/2. המשוואה הראשונה היא השקפה כללית, השני הוא קנוני. הביאו את המשוואה השנייה לצורה כללית. השתמש בכלל ההמרה של פרופורציות בשביל זה, ובסופו של דבר תקבל 2x=y-4. לאחר הפחתה לצורה כללית, קבל 2x-y + 4 = 0. מכיוון שהמשוואה הכללית של כל ישר כתובה Ax+By+C=0, אז עבור הישר הראשון: A=4, B=2, ועבור הישר השני A=2, B=1. עבור הקואורדינטה הישירה הראשונה של הווקטור הנורמלי (4;2), ועבור השנייה - (2;1). מצא את היחס בין הקואורדינטות המתאימות של הוקטורים הנורמליים 4/2=2 ו-2/1=2. המספרים האלה שווים, מה שאומר שהווקטורים הם קולינאריים. מכיוון שהווקטורים הם קולינאריים, הקווים מקבילים.

פרק ג'.
קווים מקבילים

§ 35. סימני מקבילות של שני קווים ישירים.

המשפט ששני ניצבים לישר אחד מקבילים (§ 33) נותן סימן ששני ישרים מקבילים. אתה יכול למשוך יותר מאפיינים נפוציםמקבילות של שני קווים.

1. הסימן הראשון להקבלה.

אם, במפגש של שני ישרים עם שלישי, הזוויות הפנימיות השוכנות לרוחב שוות, אז הקווים האלה מקבילים.

תן לשורות AB ו-CD לחתוך את הקו EF ו / 1 = / 2. קח את הנקודה O - אמצע הקטע KL של הסקאנט EF (איור 189).

נשאיר את האנך OM מהנקודה O לישר AB ונמשיך אותו עד שהוא נחתך עם הישר CD, AB_|_MN. הבה נוכיח ש-CD_|_MN.
לשם כך, שקול שני משולשים: MOE ו-NOK. משולשים אלו שווים זה לזה. אכן: / 1 = / 2 לפי תנאי המשפט; OK = OL - לפי בנייה;
/ MOL = / NOK איך זוויות אנכיות. לפיכך, הצלע ושתי הזוויות הסמוכות לה של משולש אחד שוות בהתאמה לצלע ולשתי זוויות הסמוכות לה של משולש אחר; לָכֵן, /\ MOL = /\ NOK, ומכאן
/ LMO = / יודע אבל / LMO הוא ישיר, ומכאן, ו / KNO הוא גם ישיר. לפיכך, הקווים AB ו-CD מאונכים לאותו הישר MN, ומכאן שהם מקבילים (§ 33), מה שהיה צריך להוכיח.

הערה. ניתן לקבוע את החיתוך של הקווים MO ו-CD על ידי סיבוב המשולש MOL סביב הנקודה O ב-180°.

2. הסימן השני להקבלה.

בוא נראה אם ​​הישרים AB ו-CD מקבילים אם, במפגש של הישר השלישי שלהם EF, הזוויות המתאימות שוות.

תנו לכמה זוויות מתאימות להיות שוות, למשל / 3 = / 2 (מפתחים 190);
/ 3 = / 1, מכיוון שהפינות אנכיות; אומר, / 2 יהיו שווים / 1. אבל זוויות 2 ו-1 הן זוויות צולבות פנימיות, וכבר אנו יודעים שאם במפגש של שני ישרים בשליש, הזוויות השוכבות לרוחב הפנימיות שוות, אז הקווים הללו מקבילים. לכן, AB || CD.

אם במפגש של שני קווים של השלישי הזוויות המתאימות שוות, אז שני הקווים הללו מקבילים.

בניית קווים מקבילים בעזרת סרגל ומשולש ציור מבוססת על תכונה זו. זה נעשה כדלקמן.

הבה נצמיד את המשולש לסרגל כפי שמוצג בשרטוט 191. נזיז את המשולש כך שאחת מצלעותיו יחליק לאורך הסרגל, ונצייר מספר קווים ישרים לאורך כל צד אחר של המשולש. קווים אלו יהיו מקבילים.

3. הסימן השלישי להקבלה.

נדע שבחתך של שני קווים AB ו-CD על ידי הישר השלישי, הסכום של כל זוויות פנימיות חד-צדדיות שווה ל-2 ד(או 180 מעלות). האם הקווים AB ו-CD יהיו מקבילים במקרה זה (איור 192).

לתת / 1 ו / 2 זוויות פנימיות חד צדדיות ומצטברות עד 2 ד.
אבל / 3 + / 2 = 2דכזוויות סמוכות. לָכֵן, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

מכאן / 1 = / 3, והפינות הללו מונחות בפנים לרוחב. לכן, AB || CD.

אם במפגש של שני קווים בשליש, סכום הזוויות החד-צדדיות הפנימיות שווה ל 2 ד, אז שני הקווים מקבילים.

תרגיל.

הוכח שהקווים מקבילים:
א) אם זוויות ההצלבה החיצוניות שוות (איור 193);
ב) אם סכום הזוויות החד-צדדיות החיצוניות הוא 2 ד(שטן 194).

ניתן להוכיח את ההקבלה של שני ישרים על בסיס המשפט, לפיו, שני ניצבים המצוירים ביחס לישר אחד יהיו מקבילים. ישנם סימנים מסוימים של קווים מקבילים - ישנם שלושה מהם, ונבחן את כולם באופן ספציפי יותר.

הסימן הראשון להקבלה

ישרים הם מקבילים אם, במפגש הישר השלישי שלהם, הזוויות הפנימיות שנוצרו על פני שוות.

נניח, במפגש של קווים AB ו-CD עם קו ישר EF, נוצרו זוויות /1 ו-/2. הם שווים, מכיוון שהקו הישר EF עובר באותו שיפוע ביחס לשני הקווים הישרים האחרים. במפגש של הקווים, שמים את הנקודות Ki L - יש לנו קטע של ה-Secant EF. נמצא את האמצע שלו ונשים נקודה O (איור 189).

על הישר AB נשמט את האנך מהנקודה O. נקרא לזה OM. אנו ממשיכים את הניצב עד שהוא מצטלב עם תקליטור הקו. כתוצאה מכך, הקו המקורי AB מאונך בהחלט ל-MN, כלומר CD _ | _ MN, אך הצהרה זו דורשת הוכחה. כתוצאה משרטוט הניצב וקו החיתוך, יצרנו שני משולשים. אחד מהם הוא MINE, השני הוא NOK. בואו נשקול אותם ביתר פירוט. סימני קווים מקבילים דרגה 7

משולשים אלו שווים, כי בהתאם לתנאי המשפט, /1 = /2, ובהתאם לבניית משולשים, הצלע OK = הצלע OL. זווית MOL =/NOK שכן אלו זוויות אנכיות. מכאן נובע שהצלע ושתי הזוויות הסמוכות לה של אחד המשולשים שוות בהתאמה לצלע ולשתי זוויות הסמוכות לה של השני מהמשולשים. לפיכך, המשולש MOL \u003d משולש NOK, ומכאן הזווית LMO \u003d זווית KNO, אבל אנחנו יודעים ש / LMO הוא ישר, מה שאומר שהזווית המתאימה KNO היא גם ישרה. כלומר, הצלחנו להוכיח שגם הקו AB וגם הקו CD מאונכים לקו MN. כלומר, AB ו-CD מקבילים זה לזה. זה מה שהיינו צריכים להוכיח. הבה נבחן את שאר הסימנים של קווים מקבילים (מחלקה 7), הנבדלים מהסימן הראשון בדרך ההוכחה.

הסימן השני של מקביליות

לפי הסימן השני של הקבילות של ישרים, עלינו להוכיח שהזוויות המתקבלות בתהליך החיתוך של קווים מקבילים AB ו-CD על ידי קו EF יהיו שוות. לפיכך, סימני ההקבלה של שני קווים, הן הראשון והן השני, מבוססים על שוויון הזוויות המתקבל כאשר חוצים אותן על ידי הישר השלישי. אנו מניחים ש /3 = /2, והזווית 1 = /3, מכיוון שהיא אנכית אליה. לפיכך, ו-/2 יהיה שווה לזווית 1, עם זאת, יש לקחת בחשבון שגם זווית 1 וגם זווית 2 הן זוויות פנימיות מוצלבות. לכן, נותר לנו ליישם את הידע שלנו, כלומר, ששני קטעים יהיו מקבילים אם, בהצטלבותם עם ישר שלישי, הזוויות הנוצרות, הצולבות יהיו שוות. כך, גילינו ש-AB || CD.

הצלחנו להוכיח שבתנאי ששני ניצבים מקבילים לישר אחד, לפי המשפט המקביל, הסימן של ישרים מקבילים ברור.

הסימן השלישי להקבלה

יש גם קריטריון שלישי להקבלה, שמוכח באמצעות סכום זוויות פנים חד-צדדיות. הוכחה כזו לסימן המקבילות של ישרים מאפשרת לנו להסיק ששני ישרים יהיו מקבילים אם, כשהם נחתכים עם ישר שלישי, סכום הזוויות הפנימיות החד-צדדיות המתקבלות יהיה שווה ל-2d. ראה איור 192.

במאמר זה נדבר על קווים מקבילים, ניתן הגדרות, נציין את הסימנים והתנאים של מקביליות. לבהירות החומר התיאורטי, נשתמש באיורים ובפתרון דוגמאות טיפוסיות.

Yandex.RTB R-A-339285-1 הגדרה 1

קווים מקבילים במטוסהם שני קווים ישרים במישור שאין להם נקודות משותפות.

הגדרה 2

קווים מקבילים בחלל תלת מימד- שני קווים ישרים במרחב תלת מימדי השוכנים באותו מישור ואין להם נקודות משותפות.

יצוין כי על מנת לקבוע קווים מקבילים במרחב, יש חשיבות עצומה לבירור "שוכב באותו מישור": שני קווים במרחב התלת מימדי שאין להם נקודות משותפות ואינם שוכבים באותו מישור. מקביל, אבל מצטלב.

לציון קווים מקבילים, מקובל להשתמש בסמל ∥ . כלומר, אם השורות הנתונות a ו-b מקבילות, יש לכתוב תנאי זה בקצרה כך: a ‖ b . באופן מילולי, הקבילות של ישרים מצוינת באופן הבא: קווים a ו-b מקבילים, או קו a מקביל לישר b, או קו b מקביל לישר a.

הבה ננסח הצהרה הממלאת תפקיד חשוב בנושא הנלמד.

אַקסִיוֹמָה

דרך נקודה שאינה שייכת לישר נתון, יש רק קו אחד המקביל לישר הנתון. לא ניתן להוכיח קביעה זו על בסיס האקסיומות הידועות של הפלנימטריה.

במקרה מתי אנחנו מדבריםלגבי החלל, המשפט נכון:

משפט 1

דרך כל נקודה במרחב שאינה שייכת לישר נתון, יהיה רק ​​קו אחד מקביל לקו הנתון.

משפט זה קל להוכחה על בסיס האקסיומה לעיל (תוכנית גיאומטריה לכיתות י'-יא').

סימן המקבילות הוא תנאי מספיק שבו מובטחים קווים מקבילים. במילים אחרות, די במילוי תנאי זה כדי לאשר את עובדת ההקבלה.

בפרט, ישנם תנאים הכרחיים ומספיקים להקבלה של קווים במישור ובמרחב. הבה נסביר: הכרחי פירושו התנאי, שהתגשמותו נחוצה לקווים מקבילים; אם הוא לא מרוצה, הקווים אינם מקבילים.

לסיכום, תנאי הכרחי ומספיק להקבלת קווים הוא תנאי כזה, שקיומו הכרחי ומספיק כדי שהקווים יהיו מקבילים זה לזה. מצד אחד, זהו סימן להקבלה, מצד שני, תכונה הטבועה בקווים מקבילים.

לפני מתן ניסוח מדויק של התנאים ההכרחיים והמספיקים, נזכור עוד כמה מושגים נוספים.

הגדרה 3

קו חותךהוא קו החותך כל אחד משני הקווים הנתונים שאינם חופפים.

חוצה שני קווים ישרים, הסקאנט יוצר שמונה זוויות לא מורחבות. כדי לנסח את התנאי ההכרחי והמספיק, נשתמש בסוגים כאלה של זוויות כמו צלב, מקביל וחד-צדדי. בואו נדגים אותם באיור:

משפט 2

אם שני ישרים במישור חותכים גזרה, אז כדי שהקווים הנתונים יהיו מקבילים, יש צורך ומספיק שהזוויות המוצלבות יהיו שוות, או שהזוויות המתאימות יהיו שוות, או שסכום הזוויות החד-צדדיות יהיה שווה ל-180 מעלות.

הבה נמחיש באופן גרפי את התנאי ההכרחי והמספק לקווים מקבילים במישור:

ההוכחה לתנאים אלו מצויה בתכנית הגיאומטריה לכיתות ז'-ט'.

באופן כללי, תנאים אלה חלים גם על מרחב תלת-ממדי, בתנאי ששני הקווים והחתך שייכים לאותו מישור.

הבה נציין עוד כמה משפטים המשמשים לעתים קרובות להוכחת העובדה שישרים מקבילים.

משפט 3

במישור, שני קווים מקבילים לשלישי מקבילים זה לזה. תכונה זו מוכחת על בסיס אקסיומה של מקביליות שהוזכרה לעיל.

משפט 4

במרחב התלת מימדי, שני קווים מקבילים לשלישי מקבילים זה לזה.

הוכחת התכונה נלמדת בתכנית גיאומטריה לכיתה י'.

אנו נותנים המחשה של משפטים אלה:

נציין עוד זוג משפטים אחד המוכיח את ההקבלה של ישרים.

משפט 5

במישור, שני קווים מאונכים לשליש מקבילים זה לזה.

הבה ננסח אחד דומה עבור מרחב תלת מימדי.

משפט 6

במרחב התלת מימדי, שני קווים מאונכים לשליש מקבילים זה לזה.

בואו נמחיש:

כל המשפטים, הסימנים והתנאים לעיל מאפשרים להוכיח בצורה נוחה את ההקבלה של קווים בשיטות הגיאומטריה. כלומר, כדי להוכיח את ההקבלה של ישרים, אפשר להראות שהזוויות המתאימות שוות, או להדגים את העובדה ששני ישרים נתונים מאונכים לשלישי, וכן הלאה. אבל נציין שלעיתים קרובות יותר נוח להשתמש בשיטת הקואורדינטות כדי להוכיח את ההקבלה של קווים במישור או במרחב תלת מימדי.

מקביליות של קווים במערכת קואורדינטות מלבנית

במערכת קואורדינטות מלבנית נתונה, קו ישר נקבע על ידי משוואת ישר במישור של אחד סוגים אפשריים. באופן דומה, ישר הנתון במערכת קואורדינטות מלבנית במרחב תלת מימדי מתאים לכמה משוואות של ישר במרחב.

הבה נכתוב את התנאים ההכרחיים והמספיקים להקבלה של ישרים במערכת קואורדינטות מלבנית, בהתאם לסוג המשוואה המתארת ​​את הקווים הנתונים.

נתחיל במצב של קווים מקבילים במישור. הוא מבוסס על ההגדרות של וקטור הכיוון של הישר והווקטור הנורמלי של הקו במישור.

משפט 7

כדי ששני ישרים לא חופפים יהיו מקבילים במישור, יש צורך ומספיק שווקטורי הכיוון של הקווים הנתונים יהיו קולינאריים, או שהווקטורים הנורמליים של הקווים הנתונים הם קולינאריים, או שווקטור הכיוון של ישר אחד יהיה מאונך ל הווקטור הנורמלי של הקו השני.

ברור שמצבם של קווים מקבילים במישור מבוסס על מצבם של וקטורים קולינאריים או על מצב הניצב של שני וקטורים. כלומר, אם a → = (a x , a y) ו- b → = (b x , b y) הם וקטורי הכיוון של ישרים a ו-b;

ו-n b → = (n b x , n b y) הם וקטורים נורמליים של קווים a ו-b, אז נכתוב את התנאי ההכרחי והמספק לעיל כדלקמן: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y או n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y או a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , כאשר t הוא מספר ממשי כלשהו. הקואורדינטות של הוקטורים המכוונים או הישירים נקבעות על ידי המשוואות הנתונות של הקווים. הבה נבחן את הדוגמאות העיקריות.

1. הקו a במערכת קואורדינטות מלבנית מוגדר משוואה כלליתישיר: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; קו b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . אז לוקטורים הנורמליים של הקווים הנתונים יהיו קואורדינטות (A 1, B 1) ו-(A 2, B 2) בהתאמה. אנו כותבים את תנאי ההקבלה באופן הבא:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. הישר a מתואר על ידי משוואת ישר עם שיפוע בצורה y = k 1 x + b 1. קו ישר b - y \u003d k 2 x + b 2. אז לוקטורים הנורמליים של הקווים הנתונים יהיו קואורדינטות (k 1 , - 1) ו- (k 2 , - 1), בהתאמה, ואנו כותבים את תנאי ההקבלה באופן הבא:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

לפיכך, אם ישרים מקבילים במישור במערכת קואורדינטות מלבנית ניתנים על ידי משוואות שיפוע, אז גורמי שיפועקווים נתונים יהיו שווים. והמשפט ההפוכה נכון: אם ישרים לא חופפים במישור במערכת קואורדינטות מלבנית נקבעים על ידי משוואות של ישר עם אותם מקדמי שיפוע, אז הקווים הנתונים הללו מקבילים.

1. הקווים a ו-b במערכת קואורדינטות מלבנית ניתנים על ידי המשוואות הקנוניות של הישר במישור: x - x 1 a x = y - y 1 a y ו-x - x 2 b x = y - y 2 b y או המשוואות הפרמטריות של הישר במישור: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y ו-x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

ואז וקטורי הכיוון של הקווים הנתונים יהיו: a x , a y ו- b x , b y בהתאמה, ואנו כותבים את תנאי ההקבלה באופן הבא:

a x = t b x a y = t b y

בואו נסתכל על דוגמאות.

דוגמה 1

נתון שני קווים: 2 x - 3 y + 1 = 0 ו-x 1 2 + y 5 = 1. אתה צריך לקבוע אם הם מקבילים.

פִּתָרוֹן

אנו כותבים את המשוואה של ישר בקטעים בצורה של משוואה כללית:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

אנו רואים ש n a → = (2 , - 3) הוא הווקטור הנורמלי של הישר 2 x - 3 y + 1 = 0 , ו- n b → = 2 , 1 5 הוא הווקטור הנורמלי של הישר x 1 2 + y 5 = 1 .

הוקטורים המתקבלים אינם קולינאריים, כי אין ערך כזה של t שעבורו השוויון יהיה נכון:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

לפיכך, התנאי ההכרחי והמספיק של מקבילות של קווים במישור אינו מתקיים, מה שאומר שהקווים הנתונים אינם מקבילים.

תשובה:קווים נתונים אינם מקבילים.

דוגמה 2

נתון קווים y = 2 x + 1 ו-x 1 = y - 4 2. האם הם מקבילים?

פִּתָרוֹן

הבה נהפוך את המשוואה הקנונית של הישר x 1 \u003d y - 4 2 למשוואה של ישר עם שיפוע:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

אנו רואים שהמשוואות של הישרים y = 2 x + 1 ו- y = 2 x + 4 אינן זהות (אם זה היה אחרת, הקווים היו זהים) ושיפועי הקווים שווים, כלומר הקווים הנתונים מקבילים.

בואו ננסה לפתור את הבעיה אחרת. ראשית, אנו בודקים אם השורות הנתונות חופפות. אנו משתמשים בכל נקודה של הישר y \u003d 2 x + 1, למשל, (0, 1), הקואורדינטות של נקודה זו אינן תואמות את המשוואה של הישר x 1 \u003d y - 4 2, כלומר הקווים אינם חופפים.

השלב הבא הוא לקבוע את מילוי תנאי ההקבלה עבור הקווים הנתונים.

הווקטור הנורמלי של הישר y = 2 x + 1 הוא הווקטור n a → = (2 , - 1) , ווקטור הכיוון של הישר השני הוא b → = (1 , 2) . המכפלה הסקלרית של וקטורים אלה היא אפס:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

לפיכך, הוקטורים מאונכים: זה מדגים לנו את מילוי התנאי ההכרחי והמספיק כדי שהקווים המקוריים יהיו מקבילים. הָהֵן. קווים נתונים מקבילים.

תשובה:קווים אלה מקבילים.

כדי להוכיח את ההקבלה של קווים במערכת קואורדינטות מלבנית של מרחב תלת מימדי, נעשה שימוש בתנאי ההכרחי והמספק הבא.

משפט 8

כדי ששני קווים לא חופפים במרחב התלת מימדי יהיו מקבילים, יש צורך ומספיק שווקטורי הכיוון של הקווים הללו יהיו קולינאריים.

הָהֵן. עבור משוואות נתונות של ישרים במרחב התלת מימדי, התשובה לשאלה: האם הם מקבילים או לא, נמצאת על ידי קביעת הקואורדינטות של וקטורי הכיוון של הישרים הנתונים, כמו גם בדיקת מצב הקולינאריות שלהם. במילים אחרות, אם a → = (a x, a y, a z) ו-b → = (b x, b y, b z) הם וקטורי הכיוון של הקווים a ו-b, בהתאמה, אז כדי שהם יהיו מקבילים, הקיום של מספר ממשי כזה t נחוץ, כך שהשוויון מתקיים:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

דוגמה 3

קווים נתונים x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ו-x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . יש צורך להוכיח את ההקבלה של קווים אלה.

פִּתָרוֹן

תנאי הבעיה הם המשוואות הקנוניות של ישר אחד במרחב והמשוואות הפרמטריות של ישר אחר במרחב. וקטורי כיוון a → ו ב ← קווים נתונים יש קואורדינטות: (1 , 0 , - 3) ו- (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , ואז a → = 1 2 b → .

לכן מתקיים התנאי ההכרחי והמספק לקווים מקבילים במרחב.

תשובה:ההקבלה של הקווים הנתונים מוכחת.

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter