הבה ננתח שני סוגי פתרונות למערכות משוואות:

1. פתרון המערכת בשיטת ההחלפה.
2. פתרון המערכת על ידי חיבור (חיסור) מונח אחר מונח של משוואות המערכת.

על מנת לפתור את מערכת המשוואות לפי שיטת החלפהאתה צריך לעקוב אחר אלגוריתם פשוט:
1. אקספרס. מכל משוואה אנו מבטאים משתנה אחד.
2. מחליף. אנו מחליפים את הערך המתקבל במשוואה אחרת במקום המשתנה המובע.
3. פתרו את המשוואה המתקבלת עם משתנה אחד. אנחנו מוצאים פתרון למערכת.

לפתור מערכת לפי שיטת חיבור (חיסור) מונח אחר מונחצריך ל:
1. בחר משתנה שעבורו נכין מקדמים זהים.
2. אנו מוסיפים או מפחיתים משוואות, וכתוצאה מכך נוצרת משוואה עם משתנה אחד.
3. פתרו את המשוואה הליניארית שהתקבלה. אנחנו מוצאים פתרון למערכת.

הפתרון למערכת הוא נקודות החיתוך של גרפי הפונקציות.

הבה נבחן בפירוט את הפתרון של מערכות באמצעות דוגמאות.

דוגמה מס' 1:

בואו נפתור בשיטת החלפה

פתרון מערכת משוואות בשיטת ההחלפה

2x+5y=1 (משוואה אחת)
x-10y=3 (משוואה שנייה)

1. אקספרס
ניתן לראות שבמשוואה השנייה יש משתנה x עם מקדם 1, כלומר הכי קל לבטא את המשתנה x מהמשוואה השנייה.
x=3+10y

2.לאחר שהבענו את זה, נחליף את 3+10y במשוואה הראשונה במקום המשתנה x.
2(3+10y)+5y=1

3. פתרו את המשוואה המתקבלת עם משתנה אחד.
2(3+10y)+5y=1 (פתח את הסוגריים)
6+20Y+5y=1
25 שנים=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

הפתרון למערכת המשוואות הוא נקודות החיתוך של הגרפים, לכן צריך למצוא את x ו-y, כי נקודת החיתוך מורכבת מ-x ו-y. בוא נמצא את x, בנקודה הראשונה שבה ביטאנו אותה נחליף את y.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

נהוג לכתוב נקודות מלכתחילה אנו כותבים את המשתנה x, ובמקום השני את המשתנה y.
תשובה: (1; -0.2)

דוגמה מס' 2:

בואו נפתור בשיטת חיבור (חיסור) מונח אחר מונח.

פתרון מערכת משוואות בשיטת החיבור

3x-2y=1 (משוואה אחת)
2x-3y=-10 (משוואה שנייה)

1. אנו בוחרים משתנה, נניח שאנו בוחרים ב-x. במשוואה הראשונה, למשתנה x יש מקדם של 3, בשני - 2. אנחנו צריכים להפוך את המקדמים זהים, בשביל זה יש לנו את הזכות להכפיל את המשוואות או לחלק בכל מספר. נכפיל את המשוואה הראשונה ב-2, ואת השנייה ב-3 ונקבל מקדם כולל של 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. הורידו את השני מהמשוואה הראשונה כדי להיפטר מהמשתנה x. פתרו את המשוואה הליניארית.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. מצא את x. אנחנו מחליפים את ה-y שנמצא בכל אחת מהמשוואות, נניח למשוואה הראשונה.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

נקודת החיתוך תהיה x=4.6; y=6.4
תשובה: (4.6; 6.4)

רוצים להתכונן למבחנים בחינם? מורה באינטרנט בחינם. בלי צחוק.

שמירה על פרטיותך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא סקור את נוהלי הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם לזיהוי אדם מסויםאו קשר איתו.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר עם הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם אתה משתתף בהגרלת פרסים, בתחרות או בקידום מכירות דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

גילוי מידע לצדדים שלישיים

איננו חושפים את המידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במידת הצורך - בהתאם לחוק, להליך השיפוטי, להליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות הציבור מאת סוכנויות ממשלתיותבשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או חשיבות ציבורית אחרת.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים לצד השלישי היורש הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים תקני פרטיות ואבטחה לעובדים שלנו ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

החומר במאמר זה מיועד להיכרות ראשונה עם מערכות משוואות. כאן נציג את ההגדרה של מערכת משוואות ופתרונותיה, ונבחן גם את סוגי מערכות המשוואות הנפוצים ביותר. כרגיל, נביא דוגמאות מסבירות.

ניווט בדף.

מהי מערכת משוואות?

ניגש להגדרת מערכת המשוואות בהדרגה. ראשית, בוא נגיד שנוח לתת לו, מציין שתי נקודות: ראשית, סוג ההקלטה, ושנית, המשמעות המוטבעת בהקלטה זו. בואו נסתכל עליהם בתורו, ואז נכליל את ההיגיון להגדרה של מערכות משוואות.

שיהיו כמה מהם מולנו. לדוגמה, ניקח שתי משוואות 2 x+y=−3 ו-x=5. נכתוב אותם אחד מתחת לשני ונשלב אותם בצד שמאל עם סד מתולתל:

רשומות מסוג זה, שהן מספר משוואות המסודרות בעמודה ומאוחדות משמאל על ידי סד מסולסל, הן רשומות של מערכות משוואות.

מה המשמעות של ערכים כאלה? הם מגדירים את קבוצת כל הפתרונות הללו למשוואות המערכת המהוות פתרון לכל משוואה.

לא יזיק לתאר את זה במילים אחרות. נניח שכמה פתרונות למשוואה הראשונה הם פתרונות לכל שאר המשוואות של המערכת. אז רשומת המערכת רק אומרת אותם.

כעת אנו מוכנים לקבל כראוי את ההגדרה של מערכת משוואות.

הַגדָרָה.

מערכות משוואותרשומות שיחה שהן משוואות הממוקמות אחת מתחת לשנייה, מאוחדות משמאל על ידי סד מתולתל, שמציינות את קבוצת כל הפתרונות למשוואות שהן גם פתרונות לכל משוואה של המערכת.

הגדרה דומה ניתנת בספר הלימוד, אולם היא ניתנת שם לא למקרה הכללי, אלא לשניים משוואות רציונליותעם שני משתנים.

סוגים עיקריים

ברור שיש אינסוף משוואות שונות. מטבע הדברים, יש גם אינסוף מערכות משוואות המורכבות באמצעותן. לכן, לנוחות הלימוד והעבודה עם מערכות משוואות, הגיוני לחלק אותן לקבוצות לפי מאפיינים דומים, ולאחר מכן לעבור לשקול מערכות משוואות מסוגים בודדים.

החלוקה הראשונה מציעה את עצמה לפי מספר המשוואות הכלולות במערכת. אם יש שתי משוואות, אז אפשר לומר שיש לנו מערכת של שתי משוואות, אם יש שלוש אז מערכת של שלוש משוואות וכו'. ברור שאין טעם לדבר על מערכת של משוואה אחת, שכן במקרה זה, בעצם, עסקינן במשוואה עצמה, ולא במערכת.

החלוקה הבאה מבוססת על מספר המשתנים המעורבים בכתיבת משוואות המערכת. אם יש משתנה אחד אז עסקינן במערכת משוואות עם משתנה אחד (אומרים גם עם אחד לא ידוע), אם יש שניים אז במערכת משוואות עם שני משתנים (עם שני לא ידועים) וכו'. לדוגמה, היא מערכת משוואות עם שני משתנים x ו-y.

זה מתייחס למספר של כל המשתנים השונים המעורבים בהקלטה. הם לא חייבים להיכלל ברשומה של כל משוואה בבת אחת; מספיקה הנוכחות שלהם לפחות במשוואה אחת. לְמָשָׁל, היא מערכת משוואות עם שלושה משתנים x, y ו-z. במשוואה הראשונה, המשתנה x נמצא במפורש, ו-y ו-z הם מרומזים (אפשר להניח שלמשתנים אלו יש אפס), ובמשוואה השנייה יש x ו-z, אך המשתנה y אינו מוצג במפורש. במילים אחרות, ניתן לראות את המשוואה הראשונה בתור , והשני – כ-x+0·y−3·z=0.

הנקודה השלישית שבה מערכות משוואות שונות היא סוג המשוואות עצמן.

בבית הספר, לימוד מערכות משוואות מתחיל ב מערכות של שניים משוואות ליניאריותעם שני משתנים. כלומר, מערכות כאלה מהוות שתי משוואות ליניאריות. הנה כמה דוגמאות: ו . הם לומדים את יסודות העבודה עם מערכות משוואות.

בעת פתרון בעיות מורכבות יותר, אתה עשוי להיתקל גם במערכות של שלוש משוואות ליניאריות עם שלושה לא ידועים.

בהמשך כיתה ט' מתווספות משוואות לא לינאריות למערכות של שתי משוואות עם שני משתנים, לרוב משוואות שלמות ממדרגה ב', לעתים רחוקות יותר - יותר מעלות גבוהות. מערכות אלו נקראות מערכות של משוואות לא ליניאריות; במידת הצורך, מצוין מספר המשוואות והלא ידועים. הבה נראה דוגמאות למערכות כאלה של משוואות לא ליניאריות: ו.

ואז במערכות יש גם, למשל,. הם נקראים בדרך כלל פשוט מערכות משוואות, מבלי לציין אילו משוואות. ראוי לציין כאן שלרוב מערכת משוואות מכונה בפשטות "מערכת משוואות", ומוסיפים הבהרות רק במידת הצורך.

בתיכון, ככל שהחומר נלמד, לא רציונלי, טריגונומטרי, לוגריתמי ו משוואות אקספוננציאליות : , , .

אם נסתכל עוד יותר לתוך תכנית הלימודים של האוניברסיטה של ​​שנה א', הדגש העיקרי הוא על לימוד ופתרון מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות (SLAEs), כלומר, משוואות שבהן הצדדים השמאליים מכילים פולינומים מהתואר הראשון, והצדדים הימניים מכילים מספרים מסוימים. אבל שם, בניגוד לבית הספר, כבר לא לוקחים שתי משוואות ליניאריות עם שני משתנים, אלא מספר שרירותי של משוואות עם מספר שרירותי של משתנים, שלעיתים אינו עולה בקנה אחד עם מספר המשוואות.

מה הפתרון למערכת משוואות?

המונח "פתרון של מערכת משוואות" מתייחס ישירות למערכות משוואות. בבית הספר ניתנת ההגדרה של פתרון מערכת משוואות עם שני משתנים :

הַגדָרָה.

פתרון מערכת משוואות עם שני משתניםנקרא צמד ערכים של משתנים אלו שהופך כל משוואה של המערכת למשוואה הנכונה, במילים אחרות, הוא פתרון לכל משוואה של המערכת.

לדוגמה, זוג ערכי משתנים x=5, y=2 (ניתן לכתוב אותו כ- (5, 2)) הוא פתרון למערכת משוואות בהגדרה, שכן משוואות המערכת, כאשר x= 5, y=2 מוחלפים בהם, הופכים לשווים מספריים נכונים 5+2=7 ו-5−2=3 בהתאמה. אבל צמד הערכים x=3, y=0 אינו פתרון למערכת זו, שכן כאשר מחליפים את הערכים הללו במשוואות, הראשון שבהם יהפוך לשוויון השגוי 3+0=7.

ניתן לנסח הגדרות דומות למערכות עם משתנה אחד, וכן למערכות עם שלוש, ארבע וכו'. משתנים.

הַגדָרָה.

פתרון מערכת משוואות עם משתנה אחדיהיה ערך של המשתנה שהוא השורש של כל המשוואות של המערכת, כלומר הפיכת כל המשוואות לשוויון מספרי נכון.

בואו ניתן דוגמה. שקול מערכת משוואות עם משתנה אחד t של הצורה . המספר −2 הוא הפתרון שלו, שכן גם (−2) 2 =4 ו-5·(−2+2)=0 הם שוויון מספרי אמיתי. ו-t=1 אינו פתרון למערכת, שכן החלפת ערך זה תיתן שני שווים לא נכונים 1 2 =4 ו-5·(1+2)=0.

הַגדָרָה.

פתרון מערכת עם שלוש, ארבע וכו'. משתניםנקרא שלוש, ארבע וכו'. ערכי המשתנים, בהתאמה, הופכים את כל המשוואות של המערכת לשוויון אמיתי.

לכן, בהגדרה, שלשת ערכים של המשתנים x=1, y=2, z=0 היא פתרון למערכת , שכן 2·1=2, 5·2=10 ו-1+2+0=3 הם שוויון מספרי אמיתי. ו-(1, 0, 5) אינו פתרון למערכת הזו, שכן כאשר מחליפים את ערכי המשתנים הללו במשוואות המערכת, השני מהם הופך לשוויון השגוי 5·0=10, והשלישי מדי 1+0+5=3.

שים לב שייתכן שלמערכות משוואות אין פתרונות, עשוי להיות מספר סופי של פתרונות, למשל, אחד, שניים, ..., או שיהיו אינסוף פתרונות. אתה תראה זאת ככל שתעמיק בנושא.

בהתחשב בהגדרות של מערכת משוואות ופתרונותיהן, נוכל להסיק שהפתרון למערכת משוואות הוא הצטלבות של קבוצות הפתרונות של כל המשוואות שלה.

לסיום, הנה כמה הגדרות קשורות:

הַגדָרָה.

לא משותף, אם אין לה פתרונות, אחרת המערכת נקראת משותף.

הַגדָרָה.

מערכת המשוואות נקראת לֹא בָּטוּחַ, אם יש לו אינסוף פתרונות, ו מסוים, אם יש לו מספר סופי של פתרונות או שאין לו אותם בכלל.

מונחים אלה מוצגים, למשל, בספר לימוד, אך הם משמשים לעתים רחוקות למדי בבית הספר; הם נשמעים לעתים קרובות יותר במוסדות להשכלה גבוהה.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

1. אַלגֶבּרָה:ספר לימוד לכיתה ז' חינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 17. - מ.: חינוך, 2008. - 240 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. אַלגֶבּרָה:כיתה ט': חינוכית. לחינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ.: חינוך, 2009. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. מורדקוביץ' א.ג.אַלגֶבּרָה. כיתה ז'. בעוד שעתיים חלק א' ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך כללי / א.ג. מורדקוביץ'. - מהדורה 17, הוסף. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 עמ': ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. מורדקוביץ' א.ג.אַלגֶבּרָה. כיתה ט'. בעוד שעתיים. חלק 1. ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך כללי / א.ג. מורדקוביץ, פ.ו. סמנוב. - מהדורה 13, נמחקה. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 עמ': ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. מורדקוביץ' א.ג.אלגברה ותחילת ניתוח מתמטי. כיתה יא. בעוד שעתיים. חלק 1. ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך כללי (רמת פרופיל) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - מהדורה שנייה, נמחקה. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 עמ': ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. אַלגֶבּרָהותחילת הניתוח: פרוק. לכיתות י'-י"א. חינוך כללי מוסדות / א.נ. קולמוגורוב, א.מ. אברמוב, יו.פ. דודניצין ואחרים; אד. א.נ. קולמוגורוב. - מהדורה 14 - מ.: חינוך, 2004. - 384 עמ': איל. - ISBN 5-09-013651-3.
7. א.ג. קורוש. קורס אלגברה גבוהה יותר.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. גיאומטריה אנליטית:ספר לימוד: לאוניברסיטאות. – מהדורה 5. – מ.: מדע. Fizmatlit, 1999. – 224 עמ'. - (נו מתמטיקה גבוהה יותרומחצלת. פיזיקה). – ISBN 5-02-015234 – X (גיליון 3)

בעזרת תוכנית מתמטית זו תוכלו לפתור מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שתיים שיטה משתנההחלפה על ושיטת ההוספה.

התוכנית לא רק נותנת את המענה לבעיה, אלא גם נותנת מענה מפורט עם הסברים על שלבי הפתרון בשני אופנים: שיטת ההחלפה ושיטת ההוספה.

תוכנית זו עשויה להיות שימושית עבור תלמידי תיכון בתי ספר תיכונייםלקראת מבחניםובחינות, בעת בדיקת ידע לפני בחינת המדינה המאוחדת, להורים לשלוט בפתרון בעיות רבות במתמטיקה ובאלגברה. או שאולי זה יקר מדי בשבילך לשכור מורה או לקנות ספרי לימוד חדשים? או שאתה פשוט רוצה לעשות את שיעורי הבית שלך במתמטיקה או אלגברה כמה שיותר מהר? במקרה זה, תוכל גם להשתמש בתוכנות שלנו עם פתרונות מפורטים.

כך תוכלו לערוך אימון משלכם ו/או אימון משלכם. אחים צעירים יותראו אחיות, בעוד שרמת ההשכלה בתחום הבעיות הנפתרות עולה.

כללים להזנת משוואות

כל אות לטינית יכולה לפעול כמשתנה.
לדוגמה: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) וכו'.

בעת הזנת משוואות אתה יכול להשתמש בסוגריים. במקרה זה, המשוואות מפושטות תחילה. המשוואות לאחר הפשטות חייבות להיות ליניאריות, כלומר. מהצורה ax+by+c=0 עם דיוק סדר האלמנטים.
לדוגמה: 6x+1 = 5(x+y)+2

אתה יכול להשתמש לא רק במספרים שלמים במשוואות, אלא גם מספרים שבריםבצורה של עשרונים ושברים רגילים.

כללים להזנת שברים עשרוניים.
חלקים שלמים וחלקים ב עשרוניםניתן להפריד באמצעות נקודה או פסיק.
לדוגמה: 2.1n + 3.5m = 55

כללים להזנת שברים רגילים.
רק מספר שלם יכול לשמש כחלק המונה, המכנה והמספר השלם של שבר.
המכנה לא יכול להיות שלילי.
בעת הכניסה שבר מספריהמונה מופרד מהמכנה בסימן חלוקה: /
החלק כולו מופרד מהשבר על ידי סימן אמפרסנד: &

דוגמאות.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

לפתור מערכת משוואות

התגלה שחלק מהסקריפטים הדרושים לפתרון בעיה זו לא נטענו, וייתכן שהתוכנית לא תעבוד.
ייתכן שהפעלת את AdBlock.
במקרה זה, השבת אותו ורענן את הדף.

JavaScript מושבת בדפדפן שלך.
כדי שהפתרון יופיע, עליך להפעיל JavaScript.
להלן הוראות כיצד להפעיל JavaScript בדפדפן שלך.

כי יש הרבה אנשים שמוכנים לפתור את הבעיה, הבקשה שלך הועמדה בתור.
תוך מספר שניות הפתרון יופיע למטה.
המתן בבקשה שניה...

אם אתה הבחין בשגיאה בפתרון, אז תוכל לכתוב על כך בטופס המשוב.
אל תשכח לציין איזו משימהאתה מחליט מה להזין בשדות.

המשחקים, הפאזלים, האמולטורים שלנו:

קצת תיאוריה.

פתרון מערכות משוואות ליניאריות. שיטת החלפה

רצף הפעולות בעת פתרון מערכת משוואות לינאריות בשיטת ההחלפה:
1) לבטא משתנה אחד מתוך משוואה כלשהי של המערכת במונחים של אחר;
2) החלף את הביטוי המתקבל במשוואה אחרת של המערכת במקום המשתנה הזה;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

בוא נבטא את y במונחים של x מהמשוואה הראשונה: y = 7-3x. החלפת הביטוי 7-3x במשוואה השנייה במקום y, נקבל את המערכת:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

קל להראות שלמערכת הראשונה והשנייה יש את אותם פתרונות. במערכת השנייה, המשוואה השנייה מכילה רק משתנה אחד. בואו נפתור את המשוואה הזו:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

החלפת המספר 1 במקום x בשוויון y=7-3x, נמצא את הערך המתאים של y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

זוג (1;4) - פתרון המערכת

נקראות מערכות משוואות בשני משתנים בעלי אותם פתרונות שווה ערך. גם מערכות שאין להן פתרונות נחשבות שוות ערך.

פתרון מערכות משוואות ליניאריות באמצעות חיבור

הבה נבחן דרך נוספת לפתור מערכות של משוואות ליניאריות - שיטת החיבור. כאשר פותרים מערכות בצורה זו, כמו גם כאשר פותרים בהחלפה, אנו עוברים ממערכת זו למערכת אחרת, שווה ערך, שבה אחת מהמשוואות מכילה רק משתנה אחד.

רצף הפעולות בעת פתרון מערכת משוואות לינאריות בשיטת החיבור:
1) הכפלו את משוואות המערכת מונח אחר איבר, בחירת גורמים כך שהמקדמים של אחד המשתנים יהפכו למספרים מנוגדים;
2) הוסף את הצד השמאלי והימני של משוואות המערכת מונח אחר איבר;
3) לפתור את המשוואה המתקבלת עם משתנה אחד;
4) מצא את הערך המתאים של המשתנה השני.

דוגמא. בואו נפתור את מערכת המשוואות:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

במשוואות של מערכת זו, המקדמים של y הם מספרים מנוגדים. על ידי הוספת הצד השמאלי והימני של המשוואות מונח אחר איבר, נקבל משוואה עם משתנה אחד 3x=33. נחליף את אחת מהמשוואות של המערכת, למשל את הראשונה, במשוואה 3x=33. בואו נשיג את המערכת
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

מהמשוואה 3x=33 נמצא ש-x=11. החלפת ערך x זה במשוואה \(x-3y=38\) נקבל משוואה עם המשתנה y: \(11-3y=38\). בואו נפתור את המשוואה הזו:
\(-3y=27 \rightarrow y=-9 \)

לפיכך, מצאנו את הפתרון למערכת המשוואות על ידי חיבור: \(x=11; y=-9\) או \((11;-9)\)

תוך ניצול העובדה שבמשוואות המערכת המקדמים של y הם מספרים מנוגדים, צמצמנו את הפתרון שלו לפתרון של מערכת שווה (על ידי סיכום שני הצדדים של כל אחת מהמשוואות של המערכת המקורית), שבה אחד מהמשוואות מכיל רק משתנה אחד.

ספרים (ספרי לימוד) תקצירים של בחינת המדינה המאוחדת ובחינת המדינה המאוחדת באינטרנט משחקים, פאזלים שרטוט גרפים של פונקציות מילון איות של השפה הרוסית מילון סלנג של נוער קטלוג בתי ספר רוסיים קטלוג מוסדות חינוך תיכוניים של רוסיה קטלוג אוניברסיטאות רוסיות רשימת של משימות תוכן השיעור

משוואות לינאריות בשני משתנים

לילד יש 200 רובל לאכול ארוחת צהריים בבית הספר. עוגה עולה 25 רובל, וכוס קפה עולה 10 רובל. כמה עוגות וכוסות קפה אתה יכול לקנות עבור 200 רובל?

הבה נסמן את מספר העוגות ב איקס, ומספר כוסות הקפה דרך y. אז עלות העוגות תסומן בביטוי 25 איקס, והעלות של כוסות קפה ב-10 y .

25איקס-מחיר איקסעוגות
10י -מחיר yכוסות קפה

הסכום הכולל צריך להיות 200 רובל. אז נקבל משוואה עם שני משתנים איקסו y

25איקס+ 10y= 200

כמה שורשים יש למשוואה הזו?

הכל תלוי בתיאבון של התלמיד. אם הוא קונה 6 עוגות ו-5 כוסות קפה, אז שורשי המשוואה יהיו המספרים 6 ו-5.

אומרים שצמד הערכים 6 ו-5 הם השורשים של משוואה 25 איקס+ 10y= 200 . נכתב בתור (6; 5), כאשר המספר הראשון הוא הערך של המשתנה איקס, והשני - ערך המשתנה y .

6 ו-5 אינם השורשים היחידים שהופכים את משוואה 25 איקס+ 10y= 200 לזהות. אם תרצה, עבור אותם 200 רובל סטודנט יכול לקנות 4 עוגות ו -10 כוסות קפה:

במקרה זה, השורשים של משוואה 25 איקס+ 10y= 200 הוא זוג ערכים (4; 10).

יתר על כן, תלמיד בית ספר לא יכול לקנות קפה בכלל, אבל לקנות עוגות עבור כל 200 רובל. ואז השורשים של משוואה 25 איקס+ 10y= 200 יהיו הערכים 8 ו-0

או להיפך, אל תקנו עוגות, אלא תקנו קפה עבור כל 200 רובל. ואז השורשים של משוואה 25 איקס+ 10y= 200 הערכים יהיו 0 ו-20

בואו ננסה לרשום את כל השורשים האפשריים של משוואה 25 איקס+ 10y= 200 . בואו נסכים שהערכים איקסו yשייכים לקבוצת המספרים השלמים. ותנו לערכים האלה להיות גדולים או שווים לאפס:

איקס∈ז, י∈ ז;
x ≥ 0, y ≥ 0

זה יהיה נוח לתלמיד עצמו. יותר נוח לקנות עוגות שלמות מאשר למשל כמה עוגות שלמות וחצי עוגה. זה גם נוח יותר לקחת קפה בכוסות שלמות מאשר, למשל, כמה כוסות שלמות וחצי כוס.

שימו לב שלמוזר איקסאי אפשר להגיע לשוויון בשום מצב y. ואז הערכים איקסהמספרים הבאים יהיו 0, 2, 4, 6, 8. ולדעת איקסניתן לקבוע בקלות y

לפיכך, קיבלנו את צמדי הערכים הבאים (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). זוגות אלו הם פתרונות או שורשים של משוואה 25 איקס+ 10y= 200. הם הופכים את המשוואה הזו לזהות.

משוואה של הצורה ax + by = cשקוראים לו משוואה לינארית עם שני משתנים. הפתרון או השורשים של המשוואה הזו הם זוג ערכים ( איקס; y), מה שהופך אותו לזהות.

שימו לב גם שאם נכתבת בטופס משוואה לינארית עם שני משתנים ax + b y = c ,ואז הם אומרים שזה כתוב ב קנוניצורה (רגילה).

ניתן לצמצם כמה משוואות ליניאריות בשני משתנים לצורה קנונית.

למשל, המשוואה 2(16איקס+ 3y - 4) = 2(12 + 8איקס − y) ניתן להעלות על הדעת ax + by = c. בואו נפתח את הסוגריים משני הצדדים של המשוואה הזו ונקבל 32איקס + 6y − 8 = 24 + 16איקס − 2y . אנו מקבצים מונחים המכילים לא ידועים בצד שמאל של המשוואה, ומונחים ללא לא ידועים - בצד ימין. ואז אנחנו מקבלים 32x− 16איקס+ 6y+ 2y = 24 + 8 . אנו מציגים מונחים דומים בשני הצדדים, נקבל משוואה 16 איקס+ 8y= 32. משוואה זו מצטמצמת לצורה ax + by = cוהוא קנוני.

משוואה 25 שנדונה קודם לכן איקס+ 10y= 200 היא גם משוואה לינארית עם שני משתנים בצורה קנונית. במשוואה זו הפרמטרים א , בו גשווים לערכים 25, 10 ו-200, בהתאמה.

בעצם המשוואה ax + by = cיש אינספור פתרונות. פתרון המשוואה 25איקס+ 10y= 200, חיפשנו את שורשיו רק על קבוצת המספרים השלמים. כתוצאה מכך, השגנו כמה זוגות ערכים שהפכו את המשוואה הזו לזהות. אבל על רבים מספר רציונלימשוואה 25 איקס+ 10yל-200 יהיו אינסוף פתרונות.

כדי להשיג זוגות ערכים חדשים, עליך לקחת ערך שרירותי עבור איקס, ואז להביע y. לדוגמה, ניקח את המשתנה איקסערך 7. אז נקבל משוואה עם משתנה אחד 25×7 + 10y= 200 שבו אפשר לבטא y

לתת איקס= 15. ואז המשוואה 25איקס+ 10y= 200 הופך ל-25 × 15 + 10y= 200. מכאן אנו מוצאים את זה y = −17,5

לתת איקס= −3 . ואז המשוואה 25איקס+ 10y= 200 הופך ל-25 × (-3) + 10y= 200. מכאן אנו מוצאים את זה y = −27,5

מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני משתנים

בשביל המשוואה ax + by = cאתה יכול לקחת ערכים שרירותיים כמה פעמים שאתה רוצה איקסולמצוא ערכים עבור y. בהתחשב בנפרד, למשוואה כזו יהיו אינספור פתרונות.

אבל קורה גם שהמשתנים איקסו yמחובר לא באחת, אלא בשתי משוואות. במקרה זה הם יוצרים את מה שנקרא מערכת משוואות ליניאריות בשני משתנים. מערכת משוואות כזו יכולה להיות בעלת זוג ערכים אחד (או במילים אחרות: "פתרון אחד").

יכול לקרות גם שלמערכת אין פתרונות כלל. למערכת של משוואות ליניאריות יכולות להיות אינספור פתרונות במקרים נדירים וחריגים.

שתי משוואות לינאריות יוצרות מערכת כאשר הערכים איקסו yלהיכנס לכל אחת מהמשוואות הללו.

נחזור למשוואה הראשונה 25 איקס+ 10y= 200 . אחד מצמדי הערכים למשוואה זו היה הזוג (6; 5) . זה מקרה שבו עבור 200 רובל אתה יכול לקנות 6 עוגות ו -5 כוסות קפה.

בואו ננסח את הבעיה כך שהזוג (6; 5) יהפוך לפתרון היחיד למשוואה 25 איקס+ 10y= 200 . כדי לעשות זאת, בואו ניצור משוואה נוספת שתחבר את אותו הדבר איקסעוגות ו yכוסות קפה.

הבה נציין את טקסט הבעיה כדלקמן:

"התלמיד קנה כמה עוגות וכמה כוסות קפה ב-200 רובל. עוגה עולה 25 רובל, וכוס קפה עולה 10 רובל. כמה עוגות וכוסות קפה קנה התלמיד אם ידוע שמספר העוגות גדול ביחידה אחת ממספר כוסות הקפה?

יש לנו כבר את המשוואה הראשונה. זו משוואה 25 איקס+ 10y= 200 . כעת ניצור משוואה עבור התנאי "מספר העוגות גדול ביחידה אחת ממספר כוסות הקפה" .

מספר העוגות הוא איקס, ומספר כוסות הקפה הוא y. אתה יכול לכתוב את הביטוי הזה באמצעות המשוואה x−y= 1. משוואה זו אומרת שההבדל בין עוגות לקפה הוא 1.

x = y+ 1 . המשוואה הזו אומרת שמספר העוגות הוא אחד יותר ממספר כוסות הקפה. לכן, כדי להשיג שוויון, מוסיפים למספר כוסות הקפה. ניתן להבין זאת בקלות אם נשתמש במודל של סולמות ששקלנו בעת לימוד הבעיות הפשוטות ביותר:

קיבלנו שתי משוואות: 25 איקס+ 10y= 200 ו x = y+ 1. מאז הערכים איקסו y, כלומר 6 ו-5 כלולים בכל אחת מהמשוואות הללו, ואז ביחד הם יוצרים מערכת. בואו נרשום את המערכת הזו. אם המשוואות יוצרות מערכת, אז הן ממוסגרות על ידי סימן המערכת. סמל המערכת הוא סד מתולתל:

בואו נפתור את המערכת הזו. זה יאפשר לנו לראות איך אנחנו מגיעים לערכים 6 ו-5. יש הרבה שיטות לפתרון מערכות כאלה. בואו נסתכל על הפופולריים שבהם.

שיטת החלפה

השם של שיטה זו מדבר בעד עצמו. המהות שלו היא להחליף משוואה אחת באחרת, לאחר שהביע בעבר את אחד המשתנים.

במערכת שלנו אין צורך להביע דבר. במשוואה השנייה איקס = y+ משתנה אחד איקסכבר בא לידי ביטוי. משתנה זה שווה לביטוי y+ 1 . אז אתה יכול להחליף את הביטוי הזה במשוואה הראשונה במקום במשתנה איקס

לאחר החלפת הביטוי y+ 1 במשוואה הראשונה במקום זאת איקס, נקבל את המשוואה 25(y+ 1) + 10y= 200 . זוהי משוואה לינארית עם משתנה אחד. די קל לפתור את המשוואה הזו:

מצאנו את הערך של המשתנה y. כעת נחליף את הערך הזה באחת מהמשוואות ונמצא את הערך איקס. בשביל זה נוח להשתמש במשוואה השנייה איקס = y+ 1 . בואו נחליף את הערך בו y

זה אומר שהזוג (6; 5) הוא פתרון למערכת המשוואות, כפי שהתכוונו. אנו בודקים ומוודאים שהזוג (6; 5) עונה על המערכת:

דוגמה 2

בוא נחליף את המשוואה הראשונה איקס= 2 + yלתוך המשוואה השנייה 3 x− 2y= 9. במשוואה הראשונה המשתנה איקסשווה לביטוי 2+ y. בואו נחליף את הביטוי הזה במשוואה השנייה במקום איקס

עכשיו בואו נמצא את הערך איקס. לשם כך, הבה נחליף את הערך yלתוך המשוואה הראשונה איקס= 2 + y

המשמעות היא שהפתרון למערכת הוא ערך הזוגיות (5; 3)

דוגמה 3. פתרו את מערכת המשוואות הבאה בשיטת ההחלפה:

כאן, בניגוד לדוגמאות קודמות, אחד המשתנים אינו מבוטא במפורש.

כדי להחליף משוואה אחת באחרת, תחילה עליך .

רצוי לבטא את המשתנה בעל מקדם אחד. למשתנה יש מקדם של אחד איקס, הכלול במשוואה הראשונה איקס+ 2y= 11. בואו נבטא את המשתנה הזה.

לאחר ביטוי משתנה איקס, המערכת שלנו תעשה את הטופס הבא:

כעת נחליף את המשוואה הראשונה בשנייה ונמצא את הערך y

בואו נחליף y איקס

המשמעות היא שהפתרון למערכת הוא צמד ערכים (3; 4)

כמובן שניתן גם לבטא משתנה y. זה לא ישנה את השורשים. אבל אם אתה מביע י,התוצאה היא משוואה לא פשוטה במיוחד, שייקח יותר זמן לפתור אותה. זה ייראה כך:

אנו רואים שבדוגמה זו אנו מבטאים איקסהרבה יותר נוח מלהביע y .

דוגמה 4. פתרו את מערכת המשוואות הבאה בשיטת ההחלפה:

הבה נבטא במשוואה הראשונה איקס. אז המערכת תקבל את הטופס:

y

בואו נחליף yלתוך המשוואה הראשונה ומצא איקס. אתה יכול להשתמש במשוואה המקורית 7 איקס+ 9y= 8, או השתמשו במשוואה שבה המשתנה בא לידי ביטוי איקס. נשתמש במשוואה זו כי היא נוחה:

המשמעות היא שהפתרון למערכת הוא זוג ערכים (5; −3)

שיטת הוספה

שיטת החיבור מורכבת מהוספת המשוואות הכלולות במערכת מונח אחר מונח. תוספת זו מביאה למשוואה חדשה עם משתנה אחד. ופתרון משוואה כזו הוא די פשוט.

בואו נפתור את מערכת המשוואות הבאה:

בואו נוסיף את הצד השמאלי של המשוואה הראשונה עם הצד השמאלי של המשוואה השנייה. א צד ימיןמשוואה ראשונה עם צד ימיןהמשוואה השנייה. אנחנו מקבלים את השוויון הבא:

בואו נסתכל על מונחים דומים:

כתוצאה מכך, קיבלנו את המשוואה 3 הפשוטה ביותר איקס= 27 שהשורש שלו הוא 9. הכרת הערך איקסאתה יכול למצוא את הערך y. בואו נחליף את הערך איקסלתוך המשוואה השנייה x−y= 3 . אנחנו מקבלים 9 - y= 3 . מכאן y= 6 .

המשמעות היא שהפתרון למערכת הוא צמד ערכים (9; 6)

דוגמה 2

בואו נוסיף את הצד השמאלי של המשוואה הראשונה עם הצד השמאלי של המשוואה השנייה. והצד הימני של המשוואה הראשונה עם הצד הימני של המשוואה השנייה. בשוויון שנוצר אנו מציגים מונחים דומים:

כתוצאה מכך, קיבלנו את המשוואה 5 הפשוטה ביותר איקס= 20, שהשורש שלו הוא 4. הכרת הערך איקסאתה יכול למצוא את הערך y. בואו נחליף את הערך איקסלתוך המשוואה הראשונה 2 x+y= 11. בוא נקבל 8+ y= 11. מכאן y= 3 .

המשמעות היא שהפתרון למערכת הוא צמד ערכים (4;3)

תהליך ההוספה אינו מתואר בפירוט. זה חייב להיעשות נפשית. בעת הוספה, יש לצמצם את שתי המשוואות לצורה קנונית. כלומר, אגב ac + by = c .

מהדוגמאות שנחשבו, ברור שהמטרה העיקרית של הוספת משוואות היא להיפטר מאחד המשתנים. אבל לא תמיד ניתן לפתור מיידית מערכת משוואות בשיטת החיבור. לרוב, המערכת מובאת תחילה לצורה שבה ניתן להוסיף את המשוואות הכלולות במערכת זו.

לדוגמה, המערכת ניתן לפתור מיד על ידי הוספה. כאשר מוסיפים את שתי המשוואות, המונחים yו −yייעלם כי הסכום שלהם הוא אפס. כתוצאה מכך נוצרת המשוואה הפשוטה ביותר 11 איקס= 22, שהשורש שלו הוא 2. אז ניתן יהיה לקבוע yשווה ל-5.

ומערכת המשוואות לא ניתן לפתור את שיטת ההוספה באופן מיידי, שכן הדבר לא יוביל להיעלמות של אחד המשתנים. חיבור יביא למשוואה 8 איקס+ y= 28, שיש לו אינסוף פתרונות.

אם שני הצדדים של המשוואה מוכפלים או מחלקים באותו מספר, לא שווה לאפס, תקבל משוואה שווה ערך לזו הנתונה. כלל זה נכון גם למערכת של משוואות ליניאריות עם שני משתנים. ניתן להכפיל את אחת המשוואות (או את שתי המשוואות) בכל מספר. התוצאה תהיה מערכת מקבילה, ששורשיה יתאימו לקודמתה.

נחזור למערכת הראשונה, שתיארה כמה עוגות וכוסות קפה קנה תלמיד בית ספר. הפתרון למערכת זו היה צמד ערכים (6; 5).

הבה נכפיל את שתי המשוואות הכלולות במערכת זו במספרים מסוימים. נניח שנכפיל את המשוואה הראשונה ב-2, ואת השנייה ב-3

כתוצאה מכך, קיבלנו מערכת
הפתרון למערכת זו הוא עדיין צמד הערכים (6; 5)

המשמעות היא שניתן לצמצם את המשוואות הכלולות במערכת לצורה המתאימה ליישום שיטת החיבור.

נחזור למערכת , שלא הצלחנו לפתור בשיטת ההוספה.

הכפל את המשוואה הראשונה ב-6, ואת השנייה ב-2

אז נקבל את המערכת הבאה:

בואו נחבר את המשוואות הכלולות במערכת זו. הוספת רכיבים 12 איקסו -12 איקסיביא ל-0, תוספת 18 yו-4 yייתן 22 y, וחיבור 108 ו-20 נותן 88. אז נקבל משוואה 22 y= 88, מכאן y = 4 .

אם בהתחלה קשה להוסיף משוואות בראש שלך, אז אתה יכול לרשום איך זה מצטבר צד שמאלשל המשוואה הראשונה עם הצד השמאלי של המשוואה השנייה, והצד הימני של המשוואה הראשונה עם הצד הימני של המשוואה השנייה:

לדעת שהערך של המשתנה yשווה ל-4, אתה יכול למצוא את הערך איקס. בואו נחליף yלתוך אחת המשוואות, למשל לתוך המשוואה הראשונה 2 איקס+ 3y= 18. אז נקבל משוואה עם משתנה אחד 2 איקס+ 12 = 18. בוא נעביר את 12 לצד ימין, נשנה את השלט, נקבל 2 איקס= 6, מכאן איקס = 3 .

דוגמה 4. פתרו את מערכת המשוואות הבאה בשיטת החיבור:

בוא נכפיל את המשוואה השנייה ב-1. אז המערכת תלבש את הטופס הבא:

בוא נוסיף את שתי המשוואות. הוספת רכיבים איקסו −xיביא ל-0, תוספת 5 yו-3 yייתן 8 y, והוספת 7 ו-1 נותנת 8. התוצאה היא משוואה 8 y= 8 שהשורש שלו הוא 1. לדעת שהערך yשווה ל-1, אתה יכול למצוא את הערך איקס .

בואו נחליף yלתוך המשוואה הראשונה, אנחנו מקבלים איקס+ 5 = 7, ומכאן איקס= 2

דוגמה 5. פתרו את מערכת המשוואות הבאה בשיטת החיבור:

רצוי שמונחים המכילים את אותם משתנים יהיו ממוקמים אחד מתחת לשני. לכן, במשוואה השנייה האיברים 5 yו -2 איקסבואו נחליף מקומות. כתוצאה מכך, המערכת תלבש את הטופס:

בוא נכפיל את המשוואה השנייה ב-3. אז המערכת תקבל את הצורה:

כעת נוסיף את שתי המשוואות. כתוצאה מהחיבור נקבל משוואה 8 y= 16, שהשורש שלו הוא 2.

בואו נחליף yלתוך המשוואה הראשונה, נקבל 6 איקס− 14 = 40. נעביר את האיבר −14 לצד ימין, נשנה את הסימן ונקבל 6 איקס= 54 . מכאן איקס= 9.

דוגמה 6. פתרו את מערכת המשוואות הבאה בשיטת החיבור:

בואו ניפטר משברים. הכפל את המשוואה הראשונה ב-36, ואת השנייה ב-12

במערכת המתקבלת ניתן להכפיל את המשוואה הראשונה ב-5, ואת השנייה ב-8

בואו נחבר את המשוואות במערכת המתקבלת. אז נקבל את המשוואה הפשוטה ביותר -13 y= −156 . מכאן y= 12. בואו נחליף yלתוך המשוואה הראשונה ומצא איקס

דוגמה 7. פתרו את מערכת המשוואות הבאה בשיטת החיבור:

הבה נביא את שתי המשוואות לצורה נורמלית. כאן נוח ליישם את כלל הפרופורציה בשתי המשוואות. אם במשוואה הראשונה הצד הימני מיוצג כ , והצד הימני של המשוואה השנייה כ , אז המערכת תקבל את הצורה:

יש לנו פרופורציה. בואו נכפיל את המונחים הקיצוניים והאמצעיים שלו. אז המערכת תקבל את הטופס:

בוא נכפיל את המשוואה הראשונה ב-3, ונפתח את הסוגריים בשנייה:

כעת נוסיף את שתי המשוואות. כתוצאה מהוספת המשוואות הללו, נקבל שוויון עם אפס משני הצדדים:

מסתבר שלמערכת יש אינספור פתרונות.

אבל אנחנו לא יכולים לקחת רק ערכים שרירותיים מהשמים בשביל איקסו y. נוכל לציין אחד מהערכים, והשני ייקבע בהתאם לערך שנציין. למשל, תן איקס= 2 . בואו נחליף את הערך הזה במערכת:

כתוצאה מפתרון אחת מהמשוואות, הערך עבור y, אשר יעמוד בשתי המשוואות:

צמד הערכים שיתקבל (2; -2) יספק את המערכת:

בואו נמצא עוד צמד ערכים. לתת איקס= 4. בואו נחליף את הערך הזה במערכת:

אתה יכול לדעת בעין שהערך yשווה לאפס. אז נקבל זוג ערכים (4; 0) שמספק את המערכת שלנו:

דוגמה 8. פתרו את מערכת המשוואות הבאה בשיטת החיבור:

הכפל את המשוואה הראשונה ב-6, ואת השנייה ב-12

בואו נכתוב מחדש את מה שנשאר:

בוא נכפיל את המשוואה הראשונה ב-1. אז המערכת תקבל את הטופס:

כעת נוסיף את שתי המשוואות. כתוצאה מהחיבור נוצרת משוואה 6 ב= 48, שהשורש שלו הוא 8. תחליף בלתוך המשוואה הראשונה ומצא א

מערכת משוואות ליניאריות עם שלושה משתנים

משוואה ליניארית עם שלושה משתנים כוללת שלושה משתנים עם מקדמים, וכן איבר יירוט. בצורה קנונית ניתן לכתוב זאת כך:

ax + by + cz = d

למשוואה הזו יש אינספור פתרונות. מתן שני משתנים משמעויות שונות, ניתן למצוא ערך שלישי. הפתרון במקרה זה הוא משולש של ערכים ( איקס; y; ז) מה שהופך את המשוואה לזהות.

אם המשתנים x, y, zמחוברים ביניהם על ידי שלוש משוואות, ואז נוצרת מערכת של שלוש משוואות ליניאריות עם שלושה משתנים. כדי לפתור מערכת כזו, ניתן להשתמש באותן שיטות החלות על משוואות לינאריות עם שני משתנים: שיטת ההחלפה ושיטת החיבור.

דוגמה 1. פתרו את מערכת המשוואות הבאה בשיטת ההחלפה:

הבה נביע במשוואה השלישית איקס. אז המערכת תקבל את הטופס:

עכשיו בואו נעשה את ההחלפה. מִשְׁתַנֶה איקסשווה לביטוי 3 − 2y − 2ז . הבה נחליף את הביטוי הזה במשוואה הראשונה והשנייה:

בואו נפתח את הסוגריים בשתי המשוואות ונציג מונחים דומים:

הגענו למערכת של משוואות לינאריות עם שני משתנים. במקרה זה, נוח להשתמש בשיטת ההוספה. כתוצאה מכך, המשתנה yייעלם ונוכל למצוא את הערך של המשתנה ז

עכשיו בואו נמצא את הערך y. לשם כך, נוח להשתמש במשוואה - y+ ז= 4. החלף את הערך לתוכו ז

עכשיו בואו נמצא את הערך איקס. לשם כך, נוח להשתמש במשוואה איקס= 3 − 2y − 2ז . בואו נחליף את הערכים בו yו ז

לפיכך, משולשת הערכים (3; −2; 2) היא פתרון למערכת שלנו. על ידי בדיקה אנו מוודאים שהערכים הללו מספקים את המערכת:

דוגמה 2. פתרו את המערכת בשיטת ההוספה

בוא נוסיף את המשוואה הראשונה עם השנייה, כפול −2.

אם המשוואה השנייה מוכפלת ב-2, היא מקבלת את הצורה −6איקס+ 6y - 4ז = −4 . עכשיו בואו נוסיף את זה למשוואה הראשונה:

אנו רואים שכתוצאה מתמורות אלמנטריות נקבע ערך המשתנה איקס. זה שווה לאחד.

נחזור למערכת הראשית. בוא נוסיף את המשוואה השנייה עם השלישית, כפול -1. אם המשוואה השלישית מוכפלת ב-1, היא מקבלת את הצורה −4איקס + 5y − 2ז = −1 . עכשיו בואו נוסיף את זה למשוואה השנייה:

קיבלנו את המשוואה x− 2y= −1 . בואו נחליף את הערך בו איקסשמצאנו קודם לכן. אז נוכל לקבוע את הערך y

עכשיו אנחנו יודעים את המשמעויות איקסו y. זה מאפשר לך לקבוע את הערך ז. בואו נשתמש באחת מהמשוואות הכלולות במערכת:

לפיכך, משולשת הערכים (1; 1; 1) היא הפתרון למערכת שלנו. על ידי בדיקה אנו מוודאים שהערכים הללו מספקים את המערכת:

בעיות בהרכבת מערכות של משוואות ליניאריות

המשימה של הרכבת מערכות משוואות נפתרת על ידי הזנת מספר משתנים. לאחר מכן, משוואות מורכבות על סמך תנאי הבעיה. מהמשוואות שהורכבו הם יוצרים מערכת ופותרים אותה. לאחר שפתרו את המערכת, יש לבדוק האם הפתרון שלה עונה על תנאי הבעיה.

בעיה 1. מכונית וולגה יצאה מהעיר אל החווה הקיבוצית. היא חזרה חזרה לאורך כביש אחר, שהיה קצר ב-5 ק"מ מהראשון. בסך הכל נסעה המכונית 35 ק"מ הלוך ושוב. כמה קילומטרים אורכו של כל כביש?

פִּתָרוֹן

לתת איקס-אורך הדרך הראשונה, y- אורך השני. אם המכונית נסעה 35 ק"מ הלוך ושוב, ניתן לכתוב את המשוואה הראשונה בתור איקס+ y= 35. משוואה זו מתארת ​​את סכום אורכי שתי הדרכים.

מספרים שהמכונית חזרה בכביש שהיה קצר ב-5 ק"מ מהראשון. אז ניתן לכתוב את המשוואה השנייה בתור איקס− y= 5. משוואה זו מראה שההפרש בין אורכי הכביש הוא 5 ק"מ.

או שאפשר לכתוב את המשוואה השנייה בתור איקס= y+ 5. נשתמש במשוואה זו.

בגלל המשתנים איקסו yבשתי המשוואות מציינים את אותו מספר, אז נוכל ליצור מהם מערכת:

בואו נפתור את המערכת הזו באמצעות כמה מהשיטות שנלמדו בעבר. במקרה זה, נוח להשתמש בשיטת ההחלפה, שכן במשוואה השנייה המשתנה איקסכבר בא לידי ביטוי.

החליפו את המשוואה השנייה לראשונה ומצאו y

בואו נחליף את הערך שנמצא yבמשוואה השנייה איקס= y+ 5 ונמצא איקס

אורך הדרך הראשונה סומן דרך המשתנה איקס. כעת מצאנו את משמעותו. מִשְׁתַנֶה איקסשווה ל-20. זה אומר שאורך הדרך הראשונה הוא 20 ק"מ.

ואורך הדרך השניה היה מסומן על ידי y. הערך של משתנה זה הוא 15. המשמעות היא שאורך הדרך השניה הוא 15 ק"מ.

בוא נבדוק. ראשית, בואו נוודא שהמערכת נפתרה כהלכה:

כעת נבדוק האם הפתרון (20; 15) עונה על תנאי הבעיה.

נאמר שהמכונית נסעה בסך הכל 35 ק"מ הלוך ושוב. אנו מוסיפים את אורכי שני הכבישים ומוודאים שהפתרון (20; 15) עונה המצב הזה: 20 ק"מ + 15 ק"מ = 35 ק"מ

התנאי הבא: המכונית חזרה חזרה לאורך כביש אחר, שהיה קצר ב-5 ק"מ מהראשון . אנו רואים שהפתרון (20; 15) עונה גם על תנאי זה, שכן 15 ק"מ הוא קצר מ-20 ק"מ על 5 ק"מ: 20 ק"מ - 15 ק"מ = 5 ק"מ

בעת חיבור מערכת, חשוב שהמשתנים ייצגו את אותם המספרים בכל המשוואות הכלולות במערכת זו.

אז המערכת שלנו מכילה שתי משוואות. משוואות אלו בתורן מכילות משתנים איקסו y, המייצגים את אותם המספרים בשתי המשוואות, כלומר אורכי כביש של 20 ק"מ ו-15 ק"מ.

בעיה 2. על הרציף הועמסו אדני אלון ואורן, 300 אדני בסך הכל. ידוע שכל אדני האלון שקלו טון אחד פחות מכל אדני האורן. קבע כמה אדני אלון ואורן היו בנפרד, אם כל אדן אלון שקל 46 ק"ג, וכל אדני אורן 28 ק"ג.

פִּתָרוֹן

לתת איקסאלון ו yאדני אורן הועמסו על הרציף. אם היו 300 ישנים בסך הכל, ניתן לכתוב את המשוואה הראשונה בתור x+y = 300 .

כל אדני אלון שקלו 46 איקסק"ג, והאורנים שקלו 28 yק"ג. מכיוון שאדני אלון שקלו טון אחד פחות מאדני אורן, ניתן לכתוב את המשוואה השנייה כ 28y - 46איקס= 1000 . משוואה זו מראה שההבדל במסה בין אדני אלון לאורן הוא 1000 ק"ג.

טונות הומרו לקילוגרמים מאחר שמסת אדני האלון והאורן נמדדה בקילוגרמים.

כתוצאה מכך, נקבל שתי משוואות היוצרות את המערכת

בואו נפתור את המערכת הזו. הבה נבטא במשוואה הראשונה איקס. אז המערכת תקבל את הטופס:

החליפו את המשוואה הראשונה בשנייה ומצאו y

בואו נחליף yלתוך המשוואה איקס= 300 − yולגלות מה זה איקס

המשמעות היא שעל הרציף הועלו 100 אדני אלון ו-200 אורנים.

הבה נבדוק האם הפתרון (100; 200) עונה על תנאי הבעיה. ראשית, בואו נוודא שהמערכת נפתרה כהלכה:

נאמר שיש 300 ישנים בסך הכל. אנו מחברים את מספר אדני אלון ואורן ומוודאים שהפתרון (100; 200) עומד בתנאי זה: 100 + 200 = 300.

התנאי הבא: כל אדני האלון שקלו טון אחד פחות מכל אדני האורן . אנו רואים שהפתרון (100; 200) עונה גם על תנאי זה, שכן 46 × 100 ק"ג של אדני אלון קל יותר מ-28 × 200 ק"ג של אדני אורן: 5600 ק"ג - 4600 ק"ג = 1000 ק"ג.

בעיה 3. לקחנו שלוש חתיכות של סגסוגת נחושת-ניקל ביחסים של 2: 1, 3: 1 ו-5: 1 לפי משקל. חתיכה במשקל 12 ק"ג התמזגה מהם ביחס של תכולת נחושת וניקל של 4: 1. מצא את המסה של כל חלק מקורי אם המסה של הראשון מוכפלת יותר מסהשְׁנִיָה.