מצא את ההגדרה של כל מטריצה ​​2x2.כל רכיב של כל מטריצה, כולל זו שעברה טרנספוזיה, משויך למטריצה ​​מתאימה של 2x2. כדי למצוא מטריצה ​​2x2 המתאימה לאלמנט מסוים, חוצים את השורה והעמודה שבהן נמצא אלמנט זה, כלומר, עליך לחצות חמישה אלמנטים של המטריצה ​​המקורית של 3x3. ארבעה אלמנטים שהם רכיבים של המטריצה ​​2x2 המתאימה יישארו ללא חוצה.

• לדוגמה, כדי למצוא את המטריצה ​​2x2 עבור האלמנט שנמצא במפגש בין השורה השנייה והעמודה הראשונה, חוצים את חמשת האלמנטים שנמצאים בשורה השנייה ובעמודה הראשונה. ארבעת האלמנטים הנותרים הם אלמנטים של מטריצת 2x2 המתאימה.
• מצא את הקובע של כל מטריצה ​​2x2. לשם כך, יש להחסיר את מכפלת האלמנטים של האלכסון המשני ממכפלת האלמנטים של האלכסון הראשי (ראה איור).
• מידע מפורט על מטריצות 2x2 התואמות לרכיבים מסוימים של מטריצה ​​3x3 ניתן למצוא באינטרנט.

צור מטריצה ​​של גורמים משותפים.רשום את התוצאות שהושגו קודם לכן בצורה של מטריצה ​​חדשה של גורמים משותפים. לשם כך, כתוב את הקובע שנמצא של כל מטריצת 2x2 היכן שהרכיב המתאים של המטריצה ​​3x3 נמצא. לדוגמה, אם אתה שוקל מטריצה ​​2x2 עבור האלמנט (1,1), רשום את הקובע שלו במיקום (1,1). לאחר מכן שנה את הסימנים של האלמנטים המתאימים לפי דפוס מסוים, שמוצג באיור.

• ערכת שינוי סימן: הסימן של האלמנט הראשון של השורה הראשונה אינו משתנה; הסימן של האלמנט השני של השורה הראשונה הפוך; הסימן של האלמנט השלישי של השורה הראשונה אינו משתנה, וכך הלאה שורה אחר שורה. שימו לב שהסימנים "+" ו-"-", המוצגים בתרשים (ראה איור), אינם מציינים שהאלמנט המתאים יהיה חיובי או שלילי. במקרה זה, הסימן "+" מציין שהסימן של האלמנט אינו משתנה, והסימן "-" מציין שהסימן של האלמנט השתנה.
• מידע מפורט על מטריצות קופקטור ניתן למצוא באינטרנט.
• כך תמצאו את המטריצה ​​המשויכת למטריצה ​​המקורית. לפעמים זה נקרא המטריצה ​​המצומדת המורכבת. מטריצה ​​כזו מסומנת כ-adj(M).

חלקו כל רכיב של המטריצה ​​הצמודה בדטרמיננט.הקובע של המטריצה ​​M חושב כבר בהתחלה כדי לבדוק זאת מטריצה ​​הפוכהקיים. כעת חלקו כל רכיב של המטריצה ​​הצמודה בקביעה זו. רשום את התוצאה של כל פעולת חלוקה שבה נמצא האלמנט המתאים. אז תמצא את המטריצה, היפוך של המקור.

• הקובע של המטריצה ​​המוצגת באיור הוא 1. לפיכך, כאן המטריצה ​​הקשורה היא המטריצה ​​ההפוכה (מכיוון שחלוקת כל מספר ב-1 לא משנה אותה).
• במקורות מסוימים, פעולת החלוקה מוחלפת בפעולת הכפל ב-1/det(M). במקרה זה, התוצאה הסופית לא משתנה.

רשום את המטריצה ​​ההפוכה.כתבו את האלמנטים הממוקמים בחצי הימני של המטריצה ​​הגדולה כמטריצה ​​נפרדת, שהיא מטריצה ​​הפוכה.

הזינו את המטריצה ​​המקורית לזיכרון המחשבון.כדי לעשות זאת, לחץ על כפתור מטריקס, אם זמין. עבור מחשבון Texas Instruments, ייתכן שיהיה עליך ללחוץ על הלחצנים השניים והמטריקס.

בחר בתפריט עריכה.עשה זאת באמצעות לחצני החצים או כפתור הפונקציה המתאים הממוקם בחלק העליון של המקלדת של המחשבון (מיקום הכפתור תלוי בדגם המחשבון).

הזן את ייעוד המטריצה.רוב מחשבוני הגרפים יכולים לעבוד עם 3-10 מטריצות, אותן ניתן לסמן אותיות א-י. ככלל, פשוט בחר [A] כדי לציין את המטריצה ​​המקורית. לאחר מכן לחץ על הלחצן Enter.

הזן את גודל המטריצה.מאמר זה מדבר על מטריצות 3x3. אבל מחשבוני גרפים יכולים לעבוד עם מטריצות מידות גדולות. הזן את מספר השורות, לחץ על כפתור Enter, ולאחר מכן הזן את מספר העמודות ולחץ על כפתור Enter שוב.

הזן כל רכיב של המטריצה.מטריצה ​​תוצג על מסך המחשבון. אם כבר הוזנה מטריצה ​​למחשבון בעבר, היא תופיע על המסך. הסמן ידגיש את האלמנט הראשון של המטריצה. הזן את הערך של האלמנט הראשון והקש Enter. הסמן יעבור אוטומטית לרכיב הבא של המטריצה.

הגדרה 1:מטריצה ​​נקראת מנוונת אם הקובע שלה הוא אפס.

הגדרה 2:מטריצה ​​נקראת לא יחידה אם הקובע שלה אינו שווה לאפס.

מטריצה ​​"A" נקראת מטריצה ​​הפוכה, אם מתקיים התנאי A*A-1 = A-1 *A = E (מטריצת זהות).

מטריצה ​​מרובעת ניתנת להפיכה רק אם היא לא יחידה.

סכימה לחישוב המטריצה ​​ההפוכה:

1) חשב את הקובע של המטריצה ​​"A" אם ∆ A = 0, אז המטריצה ​​ההפוכה לא קיימת.

2) מצא את כל ההשלמות האלגבריות של המטריצה ​​"A".

3) חבר מטריצה ​​של תוספות אלגבריות (Aij )

4) טרנספוזיציה של המטריצה ​​של משלים אלגבריים (Aij )T

5) הכפל את המטריצה ​​המוטרפת בהדדיות של הקובע של מטריצה ​​זו.

6) הפעל בדיקה:

במבט ראשון אולי נראה שזה קשה, אבל למעשה הכל מאוד פשוט. כל הפתרונות מבוססים על פעולות אריתמטיות פשוטות, העיקר בפתרון הוא לא להתבלבל עם הסימנים "-" ו-"+", ולא לאבד אותם.

ועכשיו בואו נפתור ביחד אתכם משימה מעשית על ידי חישוב המטריצה ​​ההפוכה.

משימה: מצא את המטריצה ​​ההפוכה "A", המוצגת בתמונה למטה:

1. הדבר הראשון שצריך לעשות הוא למצוא את הקובע של המטריצה ​​"A":

הֶסבֵּר:

פישטנו את הקובע שלנו על ידי שימוש בפונקציות העיקריות שלו. ראשית, הוספנו לשורה השנייה והשלישית את מרכיבי השורה הראשונה, כפול מספר אחד.

שנית, שינינו את העמודה ה-2 וה-3 של הקובע, ולפי תכונותיו שינינו את הסימן שלפניו.

שלישית, הוצאנו את הפקטור המשותף (-1) של השורה השנייה, ובכך שינינו שוב את השלט, והוא הפך לחיובי. פישטנו גם את שורה 3 באותו אופן כמו בתחילת הדוגמה.

יש לנו דטרמיננט משולש, שבו היסודות מתחת לאלכסון שווים לאפס, ולפי תכונה 7 הוא שווה למכפלת מרכיבי האלכסון. כתוצאה מכך, קיבלנו ∆ A = 26, מכאן שקיימת המטריצה ​​ההפוכה.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. השלב הבא הוא להרכיב מטריצה ​​מהתוספות שהתקבלו:

5. נכפיל את המטריצה ​​הזו בהדדיות של הקובע, כלומר ב-1/26:

6. ובכן, עכשיו אנחנו רק צריכים לבדוק:

במהלך האימות קיבלנו מטריצת זהות ולכן ההחלטה התקבלה בצורה נכונה לחלוטין.

2 דרכים לחשב את המטריצה ​​ההפוכה.

1. טרנספורמציה יסודית של מטריצות

2. מטריצה ​​הפוכה דרך ממיר אלמנטרי.

טרנספורמציה של מטריצה ​​אלמנטרית כוללת:

1. הכפלת מחרוזת במספר שאינו אפס.

2. הוספה לכל שורה של שורה אחרת, כפול מספר.

3. החלפת שורות המטריצה.

4. יישום שרשרת של טרנספורמציות יסודיות, נקבל מטריצה ​​נוספת.

א -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. א -1*A=E

תחשוב על זה דוגמה מעשיתעם מספרים אמיתיים.

תרגיל:מצא את המטריצה ​​ההפוכה.

פִּתָרוֹן:

בוא נבדוק:

הבהרה קטנה לגבי הפתרון:

תחילה החלפנו את שורות 1 ו-2 של המטריצה, ואז הכפלנו את השורה הראשונה ב-(-1).

לאחר מכן, השורה הראשונה הוכפלה ב-(-2) ונוספה לשורה השנייה של המטריצה. לאחר מכן הכפלנו את השורה השנייה ב-1/4.

השלב האחרון של הטרנספורמציה היה הכפלה של השורה השנייה ב-2 וחיבור מהראשונה. כתוצאה מכך, יש לנו מטריצת זהות משמאל, ולכן המטריצה ​​ההפוכה היא המטריצה ​​מימין.

לאחר בדיקה, השתכנענו בנכונות הפתרון.

כפי שאתה יכול לראות, חישוב המטריצה ​​ההפוכה הוא פשוט מאוד.

בסיום הרצאה זו, ברצוני גם להקדיש זמן למאפיינים של מטריצה ​​כזו.

מטריצה ​​הפוכה עבור נתון היא מטריצה ​​כזו, הכפלה של המקורית לפיה נותן מטריצת זהות: תנאי חובה ומספיק לנוכחות מטריצה ​​הפוכה הוא אי השוויון של הקובע של המקורית (ש בתורו מרמז שהמטריקס חייבת להיות מרובעת). אם הקובע של מטריצה ​​שווה לאפס, אז זה נקרא מנוון ולמטריקס כזה אין הפוך. IN מתמטיקה גבוהה יותרמטריצות הפוכות חשובות ומשמשות לפתרון מספר בעיות. למשל, על מציאת המטריצה ​​ההפוכהנבנית שיטת מטריצה ​​לפתרון מערכות משוואות. אתר השירות שלנו מאפשר לחשב מטריצה ​​הפוכה באינטרנטשתי שיטות: שיטת גאוס-ירדן ושימוש במטריצת התוספות האלגבריות. הראשון מרמז מספר גדול שלטרנספורמציות יסודיות בתוך המטריצה, השנייה - חישוב התוספות הקובעות והאלגבריות לכל האלמנטים. כדי לחשב את הקובע של מטריצה ​​באינטרנט, אתה יכול להשתמש בשירות אחר שלנו - חישוב הקובע של מטריצה ​​באינטרנט

מצא את המטריצה ​​ההפוכה באתר

אתר אינטרנטמאפשר לך למצוא מטריצה ​​הפוכה באינטרנטמהיר ובחינם. באתר מתבצעים חישובים על ידי השירות שלנו ומוצגת תוצאה עם פתרון מפורט למציאת מטריצה ​​הפוכה. השרת תמיד נותן רק את התשובה המדויקת והנכונה. במשימות בהגדרה מטריצה ​​הפוכה באינטרנט, יש צורך כי הקובע מטריצותהיה שונה מאפס, אחרת אתר אינטרנטידווח על חוסר האפשרות למצוא את המטריצה ​​ההפוכה בשל העובדה שהדטרמיננטה של ​​המטריצה ​​המקורית שווה לאפס. מציאת משימה מטריצה ​​הפוכהנמצא בענפים רבים של המתמטיקה, בהיותו אחד המושגים הבסיסיים ביותר באלגברה וכלי מתמטי בבעיות יישומיות. עצמאי הגדרת מטריצה ​​הפוכהדורש מאמץ לא מבוטל, זמן רב, חישובים וזהירות רבה על מנת לא לבצע החלקה או טעות קטנה בחישובים. לכן השירות שלנו מציאת המטריצה ​​ההפוכה באינטרנטיקל מאוד על המשימה שלך ויהפוך לכלי הכרחי לפתרון בעיות מתמטיות. גם אם אתה למצוא מטריצה ​​הפוכהבעצמך, אנו ממליצים לבדוק את הפתרון שלך בשרת שלנו. הזן את המטריצה ​​המקורית שלך ב-Ccalculate Inverse Matrix Online ובדוק את התשובה שלך. המערכת שלנו אף פעם לא טועה ומוצאת מטריצה ​​הפוכהמימד נתון במצב באינטרנטבאופן מיידי! באתר אתר אינטרנטמותר להזין תווים באלמנטים מטריצות, במקרה הזה מטריצה ​​הפוכה באינטרנטיוצג בצורה סמלית כללית.

דומה להפוכים במאפיינים רבים.

יוטיוב אנציקלופדית

1 / 5

✪ איך למצוא מטריצה ​​הפוכה - bezbotvy

✪ מטריצה ​​הפוכה (2 דרכים למצוא)

✪ מטריצה ​​הפוכה מס' 1

✪ 2015-01-28. מטריקס הפוך 3x3

✪ 2015-01-27. מטריצה ​​הפוכה 2x2

כתוביות

מאפייני מטריקס הפוכים

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), איפה det (\displaystyle \\det)מציין גורם קובע.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))עבור שתי מטריצות מרובעות הניתנות להפיכה A (\displaystyle A)ו B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), איפה (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))מציין את המטריצה ​​המוטרפת.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))לכל מקדם k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• אם יש צורך לפתור מערכת של משוואות ליניאריות, (b הוא וקטור שאינו אפס) שבו x (\displaystyle x)הוא הווקטור הרצוי, ואם A − 1 (\displaystyle A^(-1))קיים, אם כן x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). אחרת, או שהמימד של מרחב הפתרון גדול מאפס, או שאין כאלה בכלל.

דרכים למצוא את המטריצה ​​ההפוכה

אם המטריצה ​​ניתנת להפיכה, אז כדי למצוא את היפוך של המטריצה, אתה יכול להשתמש באחת מהשיטות הבאות:

שיטות מדויקות (ישירות).

שיטת גאוס-ירדן

ניקח שתי מטריצות: את עצמה אורווק ה. בוא נביא את המטריצה אלמטריצת הזהות בשיטת גאוס-ירדן תוך יישום טרנספורמציות בשורות (ניתן גם להחיל טרנספורמציות בעמודות, אך לא בשילוב). לאחר החלת כל פעולה על המטריצה ​​הראשונה, החל את אותה פעולה על השנייה. כאשר ההפחתה של המטריצה ​​הראשונה לטופס הזהות תושלם, המטריצה ​​השנייה תהיה שווה ל א -1.

כאשר משתמשים בשיטת גאוס, המטריצה ​​הראשונה תוכפל משמאל באחת המטריצות היסודיות Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(טרנבקציה או מטריצה ​​אלכסונית עם אלה באלכסון הראשי, למעט מיקום אחד):

המטריצה ​​השנייה לאחר החלת כל הפעולות תהיה שווה ל Λ (\displaystyle \Lambda), כלומר, יהיה הרצוי. המורכבות של האלגוריתם - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

שימוש במטריצה ​​של תוספות אלגבריות

מטריקס הפוך מטריקס A (\displaystyle A), מייצגים בצורה

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

איפה adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- מטריצה ​​מצורפת;

מורכבות האלגוריתם תלויה במורכבות האלגוריתם לחישוב הקובע O det ושווה ל-O(n²) O det .

שימוש בפירוק LU/LUP

משוואת מטריקס A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))עבור מטריצה ​​הפוכה X (\displaystyle X)ניתן לראות כאוסף n (\displaystyle n)מערכות הצורה A x = b (\displaystyle Ax=b). לציין i (\displaystyle i)העמודה -ה של המטריצה X (\displaystyle X)דרך X i (\displaystyle X_(i)); לאחר מכן A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),בגלל ה i (\displaystyle i)העמודה -ה של המטריצה I n (\displaystyle I_(n))הוא וקטור היחידה e i (\displaystyle e_(i)). במילים אחרות, מציאת המטריצה ​​ההפוכה מצטמצמת לפתרון n משוואות עם אותה מטריצה ​​וצד ימין שונה. לאחר הפעלת הרחבת LUP (זמן O(n³)) כל אחת מ-n משוואות לוקח O(n²) זמן לפתור, כך שחלק זה של העבודה לוקח גם זמן O(n³).

אם המטריצה ​​A אינה יחידה, אז נוכל לחשב את פירוק LUP עבורה P A = L U (\displaystyle PA=LU). לתת P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). לאחר מכן, מהמאפיינים של המטריצה ​​ההפוכה, נוכל לכתוב: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). אם נכפיל את השוויון הזה ב-U ו-L, נוכל לקבל שני שווים של הצורה U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))ו D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). השוויון הראשון מבין אלה הוא מערכת של n² משוואות ליניאריותל n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))מהם ידועות הצדדים הימניים (ממאפיינים של מטריצות משולשות). השני הוא גם מערכת של n² משוואות לינאריות עבור n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))מהם ידועות הצדדים הימניים (גם מתכונות של מטריצות משולשות). יחד הם יוצרים מערכת של n² שוויון. באמצעות השוויון הזה, נוכל לקבוע באופן רקורסיבי את כל n² האלמנטים של המטריצה ​​D. ואז מהשוויון (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. נקבל את השוויון A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

במקרה של שימוש בפירוק LU, אין צורך בתמורה של העמודות של המטריצה ​​D, אך הפתרון עשוי להתפצל גם אם המטריצה ​​A אינה יחידה.

המורכבות של האלגוריתם היא O(n³).

שיטות איטרטיביות

שיטות שולץ

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

אומדן שגיאה

בחירת הקירוב הראשוני

הבעיה של בחירת הקירוב הראשוני בתהליכים של היפוך מטריצות איטרטיביות הנחשבות כאן אינה מאפשרת לנו להתייחס אליהם כאל שיטות אוניברסליות עצמאיות המתחרות בשיטות היפוך ישיר המבוססות, למשל, על פירוק LU של מטריצות. יש כמה המלצות לבחירה U 0 (\displaystyle U_(0)), הבטחת מילוי התנאי ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (הרדיוס הספקטרלי של המטריצה ​​קטן מאחדות), וזה הכרחי ומספיק להתכנסות התהליך. אולם במקרה זה, ראשית, נדרש לדעת מלמעלה את האומדן עבור הספקטרום של המטריצה ​​ההפוכה A או המטריצה. A A T (\displaystyle AA^(T))(כלומר, אם A היא מטריצה ​​מוגדרת חיובית סימטרית ו ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), אז אתה יכול לקחת U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), איפה ; אם A היא מטריצה ​​לא-סינגולרית שרירותית ו ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), אז נניח U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), איפה גם α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); כמובן, ניתן לפשט את המצב, תוך שימוש בעובדה כי ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), לשים U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|))))). שנית, עם מפרט כזה של המטריצה ​​הראשונית, אין ערובה לכך ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)יהיה קטן (אולי אפילו ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), ושיעור התכנסות גבוה לא יופיע מיד.

דוגמאות

מטריקס 2x2

היפוך של מטריצה ​​2x2 אפשרי רק בתנאי ש a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).