בית

דרכים להוכיח את משפט פיתגורס.

ג' גלייזר,
אקדמאי של האקדמיה הרוסית לחינוך, מוסקבה

על משפט פיתגורס וכיצד להוכיחו

שטחו של ריבוע הבנוי על תחתית משולש ישר זווית שווה לסכום שטחי הריבועים הבנויים על רגליו...

זהו אחד המשפטים הגיאומטריים המפורסמים ביותר של העת העתיקה, הנקרא משפט פיתגורס. זה עדיין ידוע כמעט לכל מי שלמד אי פעם פלנימטריה. נראה לי שאם נרצה ליידע אותך תרבויות מחוץ לכדור הארץלגבי קיומם של חיים תבוניים על פני כדור הארץ, אז יש לשלוח תמונה של הדמות הפיתגורית לחלל. אני חושב שאם יצורים חושבים יכולים לקבל את המידע הזה, הם יבינו ללא פענוח אותות מורכב שיש ציוויליזציה מפותחת למדי על פני כדור הארץ.

הפילוסוף והמתמטיקאי היווני המפורסם פיתגורס מסמוס, שעל שמו נקרא המשפט, חי לפני כ-2.5 אלף שנה. המידע הביוגרפי על פיתגורס שהגיע לידינו הוא מקוטע ורחוק מלהיות אמין. אגדות רבות קשורות בשמו. ידוע באופן אותנטי שפיתגורס טייל הרבה בארצות המזרח, ביקר במצרים ובבבל. באחת המושבות היווניות דרום איטליההוא ייסד את "אסכולת פיתגורס" המפורסמת, שמילאה תפקיד חשוב בתחום המדעי חיים פוליטיים יוון העתיקה. פיתגורס מיוחס להוכחת המשפט הגיאומטרי הידוע. מבוסס על האגדות שהפיצו מתמטיקאים מפורסמים (פרוקלוס, פלוטארכוס וכו'), הרבה זמןהאמינו שלפני פיתגורס לא היה ידוע משפט זה, ומכאן השם - משפט פיתגורס.

עם זאת, אין ספק שמשפט זה היה ידוע שנים רבות לפני פיתגורס. אז, 1500 שנה לפני פיתגורס, המצרים הקדמונים ידעו שמשולש עם הצלעות 3, 4 ו-5 הוא מלבני, והשתמשו בתכונה זו (כלומר, המשפט, משפט הפוךפיתגורס) לבניית זוויות ישרות בעת תכנון חלקות קרקעובניית מבנים. וגם היום, בונים ונגרים כפריים, מניחים את הבסיס של הצריף, עושים את פרטיו, מציירים את המשולש הזה כדי לקבל זווית ישרה. אותו הדבר נעשה לפני אלפי שנים בבניית מקדשים מפוארים במצרים, בבל, בסין וכנראה גם במקסיקו. בעבודה המתמטית והאסטרונומית הסינית העתיקה ביותר שהגיעה אלינו, Zhou-bi, שנכתבה כ-600 שנה לפני פיתגורס, בין שאר המשפטים הקשורים למשולש ישר זווית, נכלל גם משפט פיתגורס. עוד קודם לכן משפט זה היה ידוע להינדים. לפיכך, פיתגורס לא גילה תכונה זו של משולש ישר זווית; הוא כנראה היה הראשון שהכליל והוכיח אותה, ובכך העביר אותה מתחום העיסוק לתחום המדע. אנחנו לא יודעים איך הוא עשה את זה. כמה היסטוריונים של מתמטיקה מניחים שלמרות זאת, ההוכחה של פיתגורס לא הייתה בסיסית, אלא רק אישור, אימות של תכונה זו על מספר סוגים מסוימים של משולשים, החל במשולש ישר זווית שווה שוקיים, שלגביו זה נובע כמובן מאיור. 1.

עם מאז ימי קדם, מתמטיקאים מצאו עוד ועוד הוכחות למשפט פיתגורס, עוד ועוד רעיונות להוכחות שלו. ידועות יותר ממאה וחצי הוכחות כאלה - קפדניות יותר או פחות, ויזואליות יותר או פחות - אך הרצון להגדיל את מספרן נשמר. אני חושב שה"גילוי" העצמאי של ההוכחות של משפט פיתגורס יהיה שימושי עבור תלמידי בית ספר מודרניים.

הבה נבחן כמה דוגמאות לראיות שעשויות להצביע על הכיוון של חיפושים כאלה.

הוכחה של פיתגורס

"הריבוע הבנוי על תחתית משולש ישר זווית שווה לסכום הריבועים הבנויים על רגליו."ההוכחה הפשוטה ביותר למשפט מתקבלת במקרה הפשוט ביותר של משולש ישר זווית שווה שוקיים. כנראה, המשפט התחיל איתו. ואכן, די רק להסתכל על הריצוף של משולשים ישרים שוקיים כדי לראות שהמשפט נכון. לדוגמה, ל-DABC: ריבוע הבנוי על התחתון AU,מכיל 4 משולשים ראשוניים, ומרובעים הבנויים על הרגליים בשניים. המשפט הוכח.

הוכחות המבוססות על השימוש במושג שטח שווה של דמויות.

יחד עם זאת, אנו יכולים לשקול ראיות שבהן הריבוע הבנוי על תחתית הכותרת של משולש ישר זווית נתון "מורכב" מאותן דמויות כמו הריבועים הבנויים על הרגליים. אנו יכולים גם לשקול הוכחות כאלה שבהן נעשה שימוש בתמורה של מונחי הדמויות ונלקחים בחשבון מספר רעיונות חדשים.

על איור. 2 מציג שני ריבועים שווים. אורך הצלעות של כל ריבוע הוא a + b. כל אחד מהריבועים מחולק לחלקים המורכבים מריבועים ומשולשים ישרים. ברור שאם נחסר את השטח המרובע של משולש ישר זווית עם רגליים a, b משטח הריבוע, אז שטחים שווים, כלומר c 2 \u003d a 2 + b 2. עם זאת, ההינדים הקדומים, להם שייך ההיגיון הזה, בדרך כלל לא רשמו אותו, אלא ליוו את הציור במילה אחת בלבד: "תראה!" בהחלט ייתכן שפיתגורס הציע את אותה הוכחה.

ראיות נוספות.

הוכחות אלו מתבססות על פירוק הריבועים הבנויים על הרגליים לדמויות, מהן ניתן להוסיף ריבוע הבנוי על התחתון.

כאן: ABC הוא משולש ישר זווית עם זווית ישרה C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

הוכיחו בעצמכם את השוויון הזוגי של המשולשים המתקבלים על ידי פיצול הריבועים הבנויים על הרגליים והתחתון.

הוכח את המשפט באמצעות מחיצה זו.

 על בסיס ההוכחה של אל-ניריזיה, נעשה פירוק נוסף של ריבועים לדמויות שוות בזוגיות (איור 5, כאן ABC הוא משולש ישר זווית עם זווית ישרה C).

 הוכחה נוספת בשיטה של ​​פירוק ריבועים לחלקים שווים, המכונה "גלגל עם להבים", מוצגת באיור. 6. כאן: ABC הוא משולש ישר זווית עם זווית ישרה C; O - מרכז ריבוע הבנוי על רגל גדולה; קווים מקווקוים העוברים דרך הנקודה O מאונכים או מקבילים לתחתית.

 פירוק זה של ריבועים מעניין בכך שניתן למפות את המרובעים השווים בזוגיות זה על-ידי תרגום מקביל. ניתן להציע הוכחות רבות אחרות למשפט פיתגורס באמצעות פירוק של ריבועים לדמויות.

הוכחות לפי שיטת הרחבה.

המהות של שיטה זו היא שדמויות שוות מחוברות לריבועים הבנויים על הרגליים ולריבוע הבנוי על התחתון באופן שמתקבלות דמויות שוות.

תוקפו של משפט פיתגורס נובע מגודלם השווה של המשושים AEDFPB ו-ACBNMQ. כאן CEP, קו EP מחלק משושה AEDFPB לשני מרובעים שווים שטח, קו CM מחלק משושה ACBNMQ לשני מרובעים שווים שטח; סיבוב של 90° של המישור סביב המרכז A ממפה מרובע AEPB למרובע ACMQ.

	על איור. 8 הדמות הפיתגורית הושלמה למלבן שצלעותיו מקבילות לצלעות המתאימות של הריבועים הבנויים על הרגליים. בואו נשבור את המלבן הזה למשולשים ומלבנים. ראשית, אנו מפחיתים את כל המצלעים 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 מהמלבן המתקבל, ומשאירים ריבוע בנוי על התחתון. לאחר מכן, מאותו מלבן, נחסר את מלבנים 5, 6, 7 ואת המלבנים המוצללים, נקבל ריבועים שנבנו על הרגליים.

כעת נוכיח שהדמויות שהופחתו במקרה הראשון שוות בגודלן לדמויות שהופחתו במקרה השני.

KLOA = ACPF = ACED = a 2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2;

לפיכך c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c 2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

שיטת הוכחה אלגברית.

	אורז. 12 ממחיש את ההוכחה של המתמטיקאי ההודי הגדול בהסקרי (הסופר המפורסם של לילאוואטי, X המאה השנייה). הציור היה מלווה במילה אחת בלבד: תראו! בין ההוכחות למשפט פיתגורס שיטה אלגבריתאת המקום הראשון (אולי העתיק ביותר) תופסת הוכחה המשתמשת בדמיון.
	הבה נציג במצגת מודרנית אחת מהוכחות כאלה, השייכת לפיתגורס.

ח ותאנה. 13 ABC - מלבני, C - זווית ישרה, CMAB, b 1 - הקרנה של רגל b על התחתון, a 1 - הקרנה של רגל a על התחתון, h - גובה המשולש הנמשך לתחתית.

מהעובדה ש- ABC דומה ל- ACM זה נובע

b 2 \u003d cb 1; (1)

מהעובדה ש- ABC דומה ל- BCM זה נובע

a 2 = ca 1 . (2)

הוספת שוויון (1) ו-(2) איבר אחר איבר, נקבל a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2.

אם פיתגורס באמת הציע הוכחה כזו, אז הוא גם הכיר מספר משפטים גיאומטריים חשובים שהיסטוריונים מודרניים של מתמטיקה בדרך כלל מייחסים לאאוקלידס.

ההוכחה של מולמן (איור 14). השטח של משולש ישר זווית זה, מצד אחד, שווה מצד שני, כאשר p הוא חצי ההיקף של המשולש, r הוא רדיוס המעגל החתום בו יש לנו:

מכאן נובע שc 2 =a 2 +b 2.

בשנייה

משווים ביטויים אלה, נקבל את משפט פיתגורס.

שיטה משולבת

שוויון משולשים

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

בהשוואת יחסים (3) ו-(4), אנו משיגים זאת

c 1 2 = c 2 , או c 1 = c.

לפיכך, המשולשים - הנתונים והבנויים - שווים, שכן יש להם שלושה, בהתאמה צדדים שווים. הזווית C 1 ישרה, ולכן גם זווית C של משולש זה ישרה.

עדות הודית עתיקה.

המתמטיקאים של הודו העתיקה שמו לב שכדי להוכיח את משפט פיתגורס, מספיק להשתמש חלק פנימיציור סיני עתיק. בחיבור "Siddhanta Shiromani" ("כתר הידע") שנכתב על עלי דקל על ידי המתמטיקאי ההודי הגדול ביותר במאה ה-20. בהא-סקרה הניח ציור (איור 4)

מאפיין עדויות הודיות למילה "תראה!". כפי שאתה יכול לראות, משולשים ישרי זווית מוערמים כאן כשהתחתון שלהם כלפי חוץ והריבוע עם 2 עבר ל"כיסא הכלה" עם 2 -ב 2 . שימו לב שמקרים מיוחדים של משפט פיתגורס (לדוגמה, בניית ריבוע ששטחו גדול פי שניים איור.4שטח של כיכר זו) נמצאים בחיבור ההודי העתיק "סולבה"

הם פתרו משולש ישר זווית וריבועים שנבנו על רגליו, או, במילים אחרות, דמויות המורכבות מ-16 משולשים ישרים זהים שווה שוקיים ולכן משתלבות בריבוע. זו שושן. חלק קטן מהעושר החבוי בפנינת המתמטיקה העתיקה - משפט פיתגורס.

עדויות סיניות עתיקות.

חיבורים מתמטיים סין העתיקההגיעו אלינו במהדורה של המאה ה-1. לִפנֵי הַסְפִירָה. העובדה היא שבשנת 213 לפני הספירה. הקיסר הסיני שי הואנג-די, שביקש לחסל את המסורות הישנות, הורה לשרוף את כל הספרים העתיקים. ב-P c. לִפנֵי הַסְפִירָה. הנייר הומצא בסין ובמקביל החל שחזורם של ספרים עתיקים. לא קשה למצוא את המפתח להוכחה זו. ואכן, בשרטוט הסיני העתיק, ישנם ארבעה משולשים ישרי זווית שווים עם קטטרים a, b והתחתון עםמְגוּבָּב ז)כך שהמתאר החיצוני שלהם יוצר איור 2 ריבוע עם צלעות a + b,והפנימי הוא ריבוע עם הצלע c, הבנוי על התחתון (איור 2, ב). אם נחתך ריבוע עם הצלע c ואת 4 המשולשים המוצללים הנותרים ממקמים בשני מלבנים (איור 2, V),ברור שהריק שנוצר, מצד אחד, שווה ל עם 2 , ומצד שני - עם 2 +ב 2 , הָהֵן. c 2 \u003d  2 + b 2. המשפט הוכח. שימו לב שעם הוכחה כזו, לא נעשה שימוש בקונסטרוקציות שבתוך הריבוע על ההיפוטנוזה, שאנו רואים בשרטוט הסיני העתיק (איור 2, א). ככל הנראה, למתמטיקאים הסינים הקדמונים הייתה הוכחה אחרת. דווקא אם בריבוע עם צד עםשני משולשים מוצללים (איור 2, ב)לחתוך ולהצמיד את תת התחתית לשני התחתונים האחרים (איור 2, ז),קל למצוא את זה

הדמות המתקבלת, המכונה לפעמים "כיסא הכלה", מורכבת משני ריבועים עם דפנות או ב,הָהֵן. ג 2 == א 2 +ב 2 .

ח איור 3 משחזר ציור מתוך החיבור "ז'ו-בי ...". כאן נחשב משפט פיתגורס עבור המשולש המצרי עם רגליים 3, 4 והיפותנוס 5 יחידות. הריבוע שעל התחתון מכיל 25 תאים, והריבוע הרשום בו על הרגל הגדולה יותר מכיל 16. ברור שהחלק הנותר מכיל 9 תאים. זה יהיה הריבוע ברגל הקטנה יותר.

בדרך כלל מיוחס לפוטנציאל היצירתיות מַדָעֵי הָרוּחַ, עוזב באופן טבעי את הניתוח, הגישה המעשית והשפה היבשה של נוסחאות ודמויות. מתמטיקה ל נושאים הומניטרייםאתה לא יכול לסבול את זה בכלל. אבל בלי יצירתיות ב"מלכת כל המדעים" לא תגיע רחוק - אנשים יודעים על זה כבר הרבה זמן. מאז תקופת פיתגורס, למשל.

ספרי לימוד בבית הספר, למרבה הצער, בדרך כלל לא מסבירים שבמתמטיקה חשוב לא רק לדחוס משפטים, אקסיומות ונוסחאות. חשוב להבין ולהרגיש את עקרונות היסוד שלה. ובמקביל, נסו לשחרר את דעתכם מקלישאות ואמיתות אלמנטריות – רק בתנאים כאלה נולדות כל הגילויים הגדולים.

תגליות כאלה כוללות את זו שאנו מכירים כיום כמשפט פיתגורס. בעזרתו, ננסה להראות שמתמטיקה לא רק יכולה, אלא צריכה להיות מהנה. ושההרפתקה הזו מתאימה לא רק לחנונים בכוסות עבות, אלא לכל מי שחזק בנפשו וחזק ברוחו.

מההיסטוריה של הנושא

למען האמת, למרות שהמשפט מכונה "משפט פיתגורס", ​​פיתגורס עצמו לא גילה אותו. המשולש הימני ותכונותיו המיוחדות נחקרו הרבה לפניו. ישנן שתי נקודות מבט קוטביות בנושא זה. לפי גרסה אחת, פיתגורס היה הראשון שמצא הוכחה מלאה למשפט. לפי אחר, ההוכחה אינה שייכת למחברו של פיתגורס.

היום כבר אי אפשר לבדוק מי צודק ומי לא. רק ידוע שההוכחה של פיתגורס, אם הייתה קיימת אי פעם, לא שרדה. עם זאת, ישנן הצעות לכך שההוכחה המפורסמת מהיסודות של אוקלידס עשויה להיות שייכת לפיתגורס, ואוקלידס רק תיעד אותה.

ידוע גם היום שבעיות לגבי משולש ישר זווית נמצאות במקורות מצריים מתקופת פרעה אמנמט הראשון, על לוחות חימר בבליים מתקופת המלך חמורבי, בחיבור ההודי הקדום סולבה סוטרה וביצירה הסינית העתיקה ג'ואו. -בי סואן ג'ין.

כפי שאתה יכול לראות, משפט פיתגורס מעסיק את מוחותיהם של מתמטיקאים מאז ימי קדם. כ-367 עדויות שונות הקיימות כיום משמשות אישור. שום משפט אחר לא יכול להתחרות בו מבחינה זו. מחברי הראיות הבולטים כוללים את ליאונרדו דה וינצ'י והנשיא ה-20 של ארצות הברית, ג'יימס גארפילד. כל זה מדבר על חשיבותו המופלגת של המשפט הזה למתמטיקה: רוב משפטי הגיאומטריה נגזרים ממנו או, בדרך זו או אחרת, קשורים אליו.

הוכחות למשפט פיתגורס

ספרי לימוד נותנים לרוב הוכחות אלגבריות. אבל המהות של המשפט היא בגיאומטריה, אז הבה נבחן קודם כל את ההוכחות למשפט המפורסם שמבוססות על המדע הזה.

הוכחה 1

להוכחה הפשוטה ביותר של משפט פיתגורס עבור משולש ישר זווית, אתה צריך להגדיר תנאים אידיאליים: תנו למשולש להיות לא רק ישר זווית, אלא גם שווה שוקיים. יש סיבה להאמין שזה היה משולש כזה שנחשב במקור על ידי מתמטיקאים עתיקים.

הַצהָרָה "ריבוע הבנוי על תחתית משולש ישר זווית שווה לסכום הריבועים הבנויים על רגליו"ניתן להמחיש באמצעות הציור הבא:

תסתכל על המלבן שווה שוקיים משולש ABC: על התחתון AC, ניתן לבנות ריבוע המורכב מארבעה משולשים השווים ל-ABC המקורי. ועל הרגליים AB ו-BC הבנויות על ריבוע, שכל אחד מהם מכיל שני משולשים דומים.

אגב, ציור זה היווה בסיס למספר רב של אנקדוטות וקריקטורות שהוקדשו למשפט פיתגורס. אולי המפורסם ביותר הוא "מכנסיים פיתגורים שווים לכל הכיוונים":

הוכחה 2

שיטה זו משלבת אלגברה וגיאומטריה וניתן לראות בה גרסה של ההוכחה ההודית העתיקה של המתמטיקאי בהסקארי.

בנה משולש ישר זווית עם צלעות א, ב ו-ג(איור 1). לאחר מכן בנה שני ריבועים עם צלעות שוות לסכום אורכי שתי הרגליים - (א+ב). בכל אחד מהריבועים, צור קונסטרוקציות, כמו באיורים 2 ו-3.

בריבוע הראשון, בנה ארבעה מאותם משולשים כמו באיור 1. כתוצאה מכך, מתקבלים שני ריבועים: אחד עם צד a, השני עם צלעות ב.

בריבוע השני, ארבעה משולשים אנלוגיים בנויים יוצרים ריבוע עם צלעות שווה להיפותנוסה ג.

סכום שטחי הריבועים הבנויים באיור 2 שווה לשטח הריבוע שבנינו עם הצלע c באיור 3. ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חישוב שטחי הריבועים באיור. 2 לפי הנוסחה. ואת השטח של הריבוע הכתוב באיור 3. על ידי הפחתת השטחים של ארבעה משולשים ישרי זווית שווים הרשומים בריבוע משטח הריבוע הגדול עם צלע (א+ב).

אם נניח את כל זה, יש לנו: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. הרחב את הסוגריים, בצע את כל החישובים האלגבריים הדרושים וקבל את זה a 2 + b 2 = a 2 + b 2. במקביל, השטח של הכתובים באיור 3. ניתן לחשב ריבוע גם באמצעות הנוסחה המסורתית S=c2. הָהֵן. a2+b2=c2הוכחת את משפט פיתגורס.

הוכחה 3

אותה הוכחה הודית עתיקה ממש מתוארת במאה ה-12 במסכת "כתר הידע" ("Siddhanta Shiromani"), וכטענה העיקרית משתמש המחבר בפנייה המופנית לכישרונות המתמטיים ולכוחות ההתבוננות של תלמידים ו עוקבים: "תראו!".

אבל ננתח את ההוכחה הזו ביתר פירוט:

בתוך הריבוע, בנה ארבעה משולשים ישרי זווית כפי שמצוין בציור. הצד של הריבוע הגדול, שהוא גם התחתון, מסומן עם. בואו נקרא לרגלי המשולש או ב. לפי השרטוט, הצד של הריבוע הפנימי הוא (א-ב).

השתמש בנוסחת השטח הריבועי S=c2כדי לחשב את שטח הריבוע החיצוני. ובאותו זמן חשב את אותו הערך על ידי חיבור השטח של הריבוע הפנימי ושטח הכדור של ארבעה משולשים ישרים: (א-ב) 2 2+4*1\2*א*ב.

אתה יכול להשתמש בשתי האפשרויות כדי לחשב את השטח של ריבוע כדי לוודא שהם נותנים את אותה תוצאה. וזה נותן לך את הזכות לכתוב את זה c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. כתוצאה מהפתרון, תקבל את הנוסחה של משפט פיתגורס c2=a2+b2. המשפט הוכח.

הוכחה 4

עדות סינית עתיקה מוזרה זו נקראה "כיסא הכלה" - בגלל הדמות דמוית הכיסא הנובעת מכל הקונסטרוקציות:

הוא משתמש בציור שכבר ראינו באיור 3 בהוכחה השנייה. והריבוע הפנימי עם הצלע c בנוי באותו אופן כמו בהוכחה ההודית העתיקה שניתנה לעיל.

אם אתה חותך מנטלית שני משולשים ישרי זווית ירוקים מהציור באיור 1, העבר אותם ל- צדדים הפוכיםמחברים ריבוע עם הצלע c ותחתיות התחתונים של משולשי לילך, מקבלים דמות שנקראת "כיסא כלה" (איור 2). למען הבהירות, אתה יכול לעשות את אותו הדבר עם ריבועי נייר ומשולשים. תראה ש"כיסא הכלה" נוצר משני ריבועים: קטנים עם צד בוגדול עם צד א.

המבנים הללו אפשרו למתמטיקאים הסינים הקדמונים ולנו בעקבותיהם להגיע למסקנה ש c2=a2+b2.

הוכחה 5

זוהי דרך נוספת למצוא פתרון למשפט פיתגורס על בסיס גיאומטריה. זה נקרא שיטת גארפילד.

בנה משולש ישר זווית א ב ג. אנחנו צריכים להוכיח את זה BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

כדי לעשות זאת, המשך את הרגל AUולבנות קטע CD, ששווה לרגל א.ב. ניצב תחתון מוֹדָעָהקטע קו ED. פלחים EDו AUשווים. חבר את הנקודות הו IN, ו הו עםוקבלו ציור כמו בתמונה למטה:

כדי להוכיח את המגדל, אנו שוב פונים לשיטה שכבר בדקנו: אנו מוצאים את שטח הדמות המתקבלת בשתי דרכים ומשווים את הביטויים זה לזה.

מצא את השטח של מצולע מיטהניתן לעשות על ידי הוספת השטחים של שלושת המשולשים היוצרים אותו. ואחד מהם ERU, הוא לא רק מלבני, אלא גם שווה שוקיים. בואו גם לא נשכח את זה AB=CD, AC=EDו BC=CE- זה יאפשר לנו לפשט את ההקלטה ולא להעמיס עליה. כך, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

יחד עם זאת, זה ברור מיטההוא טרפז. לכן, אנו מחשבים את שטחו באמצעות הנוסחה: SABED=(DE+AB)*1/2AD. לחישובים שלנו, נוח וברור יותר לייצג את הקטע מוֹדָעָהכסכום המקטעים AUו CD.

בוא נכתוב את שתי הדרכים לחישוב שטח של דמות על ידי הוספת סימן שוויון ביניהן: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). אנו משתמשים בשוויון של קטעים שכבר ידועים לנו ומתוארים לעיל כדי לפשט צד ימיןרשומות: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. ועכשיו אנחנו פותחים את הסוגריים ומשנים את השוויון: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. לאחר שסיימנו את כל השינויים, אנחנו מקבלים בדיוק את מה שאנחנו צריכים: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. הוכחנו את המשפט.

כמובן שרשימת הראיות הזו רחוקה מלהיות מלאה. ניתן להוכיח את משפט פיתגורס גם באמצעות וקטורים, מספרים מרוכבים, משוואות דיפרנציאליות, סטריאומטריה וכו'. ואפילו פיזיקאים: אם, למשל, נוזל נשפך לנפחים מרובעים ומשולשים דומים לאלה המוצגים בציורים. על ידי יציקת נוזל, ניתן להוכיח את שוויון השטחים ואת המשפט עצמו כתוצאה מכך.

כמה מילים על שלישיות פיתגורס

נושא זה נלמד מעט או לא נלמד בתכנית הלימודים בבית הספר. בינתיים, זה מאוד מעניין ויש חשיבות רבהבגיאומטריה. שלשות פיתגורס משמשות לפתרון בעיות מתמטיות רבות. הרעיון שלהם יכול להיות שימושי עבורך בהשכלה נוספת.

אז מהן שלישיות פיתגורס? לזה הם קוראים מספרים שלמים, שנאסף בשלשות, סכום הריבועים של שניים מהם שווה למספר השלישי בריבוע.

שלשות פיתגורס יכולות להיות:

• פרימיטיבי (כל שלושת המספרים הם ראשוניים יחסית);
• לא פרימיטיבי (אם כל מספר בשלשה מוכפל באותו מספר, מקבלים שלשה חדשה שאינה פרימיטיבית).

עוד לפני תקופתנו, המצרים הקדמונים היו מוקסמים מהמאניה למספרי השלשות של פיתגורס: במשימות הם נחשבו למשולש ישר זווית עם צלעות של 3.4 ו-5 יחידות. אגב, כל משולש שצלעותיו שוות למספרים מהמשולש של פיתגורס הוא כברירת מחדל מלבני.

דוגמאות לשלשות פיתגוריות: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) וכו'.

יישום מעשי של המשפט

משפט פיתגורס מוצא יישום לא רק במתמטיקה, אלא גם באדריכלות ובבנייה, באסטרונומיה ואפילו בספרות.

ראשית, לגבי בנייה: משפט פיתגורס נמצא בשימוש נרחב בו בבעיות ברמות מורכבות שונות. לדוגמה, התבונן בחלון הרומנסקי:

בואו נסמן את רוחב החלון בתור ב, אז ניתן לסמן את הרדיוס של חצי המעגל הגדול כ רולהביע דרך b: R=b/2. הרדיוס של חצאי מעגלים קטנים יותר יכול לבוא לידי ביטוי גם במונחים של b: r=b/4. בבעיה זו אנו מעוניינים ברדיוס של המעגל הפנימי של החלון (נקרא לזה ע).

משפט פיתגורס פשוט מועיל לחישוב ר. לשם כך, אנו משתמשים במשולש ישר זווית, אשר מסומן על ידי קו מנוקד באיור. תחתית המשולש מורכבת משני רדיוסים: b/4+p. רגל אחת היא רדיוס b/4, אחר b/2-p. בעזרת משפט פיתגורס, אנו כותבים: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. לאחר מכן, אנו פותחים את הסוגריים ומקבלים b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. בואו נהפוך את הביטוי הזה ל bp/2=b 2 /4-bp. ואז אנחנו מחלקים את כל המונחים ל ב, אנו נותנים דומים לקבל 3/2*p=b/4. ובסוף אנחנו מוצאים את זה p=b/6- וזה מה שהיינו צריכים.

באמצעות המשפט, אתה יכול לחשב את אורך הקורות עבור גג גמלון. קבע את גובה המגדל תקשורת סלולריתנחוץ כדי שהאות יגיע למשהו מסוים מָקוֹם. ואפילו להתקין בצורה יציבה עץ חג המולדבכיכר העיר. כפי שאתה יכול לראות, המשפט הזה חי לא רק על דפי ספרי הלימוד, אלא הוא לעתים קרובות שימושי בחיים האמיתיים.

בכל הנוגע לספרות, משפט פיתגורס היווה השראה לסופרים מאז ימי קדם וממשיך לעשות זאת גם כיום. לדוגמה, הסופר הגרמני בן המאה התשע-עשרה אדלברט פון שאמיסו קיבל ממנה השראה לכתוב סונטה:

אור האמת לא יתפוגג בקרוב,
אבל, לאחר שהאיר, לא סביר שהוא יתפוגג
וכמו לפני אלפי שנים,
לא יגרום לספקות ומחלוקות.

הכי חכם כשזה נוגע בעין
אור האמת, תודה לאלים;
ומאה שוורים, נדקרו, שקרים -
מתנת החזרה של פיתגורס בר המזל.

מאז, השוורים שואגים נואשות:
לנצח עורר את שבט השוורים
אירוע שהוזכר כאן.

הם חושבים שהגיע הזמן
ושוב יוקרבו
איזה משפט נהדר.

(תורגם על ידי ויקטור טופורוב)

ובמאה העשרים הקדיש הסופר הסובייטי יבגני ולטיסטוב בספרו "הרפתקאות האלקטרוניקה" פרק שלם להוכחות משפט פיתגורס. וחצי פרק מהסיפור על העולם הדו-ממדי שיכול להתקיים אם משפט פיתגורס יהפוך לחוק היסודי ואפילו לדת לעולם יחיד. זה יהיה הרבה יותר קל לחיות בו, אבל גם הרבה יותר משעמם: למשל, אף אחד שם לא מבין את המשמעות של המילים "עגול" ו"רכה".

ובספר "הרפתקאות האלקטרוניקה", המחבר, בפיו של המורה למתמטיקה טרטארה, אומר: "הדבר העיקרי במתמטיקה הוא תנועת המחשבה, רעיונות חדשים." מעוף המחשבה היצירתי הזה הוא שמייצר את משפט פיתגורס - לא בכדי יש לו כל כך הרבה הוכחות מגוונות. זה עוזר ללכת מעבר לרגיל, ולהסתכל על דברים מוכרים בצורה חדשה.

סיכום

מאמר זה נוצר כדי שתוכל להסתכל מעבר מערכת של ביהסבמתמטיקה וללמוד לא רק את ההוכחות למשפט פיתגורס הניתנות בספרי הלימוד "גיאומטריה 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) ו"גיאומטריה 7-11" (A.V. Pogorelov), אלא ועוד דרכים סקרניות להוכיח המשפט המפורסם. וראה גם דוגמאות כיצד ניתן ליישם את משפט פיתגורס בחיי היומיום.

ראשית, מידע זה יאפשר לך לקבל ציונים גבוהים יותר בשיעורי מתמטיקה - מידע על הנושא ממקורות נוספים תמיד זוכה להערכה רבה.

שנית, רצינו לעזור לך להבין איך מתמטיקה מדע מעניין. ודא על דוגמאות קונקרטיותשתמיד יש מקום ליצירתיות. אנו מקווים שמשפט פיתגורס והמאמר הזה יהוו בך השראה לעשות מחקר משלך ותגליות מרגשות במתמטיקה ובמדעים אחרים.

ספר לנו בהערות אם מצאתם את העדויות שהוצגו במאמר מעניינות. האם מצאתם מידע זה מועיל בלימודים? ספר לנו מה אתה חושב על משפט פיתגורס ועל מאמר זה - נשמח לדון איתך על כל זה.

blog.site, עם העתקה מלאה או חלקית של החומר, נדרש קישור למקור.

משפט פיתגורס הוא המשפט החשוב ביותר בגיאומטריה. המשפט מנוסח כך: שטחו של ריבוע הבנוי על תחתית משולש ישר זווית שווה לסכום שטחי הריבועים הבנויים על רגליו.

בדרך כלל מיוחס לגילוי ההצהרה הזו פילוסוף יווני עתיקוהמתמטיקאי פיתגורס (המאה השישית לפני הספירה). אבל מחקר של לוחות היתדות הבבליים וכתבי היד הסיניים העתיקים (עותקים של כתבי יד עתיקים אף יותר) הראה שהאמירה הזו הייתה ידועה הרבה לפני פיתגורס, אולי אלפיים לפניו. הכשרון של פיתגורס היה בכך שהוא גילה את ההוכחה למשפט זה.

כנראה, העובדה שנאמרה במשפט פיתגורס נקבעה לראשונה עבור משולשים ישרים שווה שוקיים. די להסתכל על הפסיפס של משולשים שחורים ובהירים המוצג באיור. 1 לאמת את תקפות משפט המשולש: ריבוע שנבנה על התחתון מכיל 4 משולשים, ועל כל רגל נבנה ריבוע המכיל 2 משולשים. כדי להוכיח את המקרה הכללי בהודו העתיקה, היו להם שתי שיטות: בריבוע עם צלע, ארבעה משולשים ישרי-זווית עם רגליים באורך ותוארו (איור 2, a ו-2, ב), ולאחר מכן כתבו אחד המילה "תראה!". ואכן, בהסתכלות על הדמויות הללו, אנו רואים שמשמאל דמות נקייה ממשולשים, המורכבת משני ריבועים עם צלעות ובהתאמה, שטחה שווה, ומימין - ריבוע עם צלעות - שטחה הוא שווה. מכאן, , שהיא ההצהרה של משפט פיתגורס.

אולם במשך אלפיים שנה לא נעשה שימוש בהוכחה ויזואלית זו, אלא בהוכחה מורכבת יותר שהומצאה על ידי אוקלידס, אשר מוצבת בספרו המפורסם "התחלות" (ראה אוקלידס ו"התחלותיו"), אוקלידס הוריד את הגובה מ. החלק העליון זווית נכונהעל התחתון והוכיח שהמשכו מחלק את הריבוע הבנוי על התחתון לשני מלבנים, ששטחיהם שווים לשטחי הריבועים המקבילים הבנויים על הרגליים (איור 3). הציור המשמש להוכחת המשפט הזה נקרא בצחוק "מכנסיים פיתגוריים". במשך זמן רב הוא נחשב לאחד מסמלי המדע המתמטי.

כיום ידועות כמה עשרות הוכחות שונות למשפט פיתגורס. חלקם מבוססים על מחיצה של ריבועים, שבה הריבוע הבנוי על התחתון מורכב מחלקים הכלולים במחיצות של ריבועים הבנויים על הרגליים; אחרים - על ההשלמה לדמויות שוות; השלישית - על כך שהגובה, הנמוך מקודקוד הזווית הישרה אל התחתון, מחלק את המשולש הישר לשני משולשים הדומים לו.

משפט פיתגורס עומד בבסיס רוב החישובים הגיאומטריים. אפילו בבבל העתיקה השתמשו בו לחישוב אורך גובהו של משולש שווה שוקיים לפי אורכי הבסיס והצלע, חץ הקטע לפי קוטר המעגל ואורך האקורד, ולבסס את הקשר. בין האלמנטים של כמה מצולעים רגילים. בעזרת משפט פיתגורס מוכחת הכללתו, המאפשרת לחשב את אורך הצלע המונחת מול זווית חדה או קהה:

מהכללה זו נובע שהנוכחות של זווית ישרה אינה מספיקה רק, אלא גם תנאי הכרחי למילוי השוויון. נוסחה (1) מרמזת על היחס בין אורכי האלכסונים והצלעות של מקבילית, שאיתה קל למצוא את אורך חציון המשולש מאורכי הצלעות שלו.

בהתבסס על משפט פיתגורס, נגזרת גם נוסחה המבטאת את שטחו של כל משולש במונחים של אורכי הצלעות שלו (ראה נוסחת הרון). כמובן, משפט פיתגורס שימש גם לפתרון בעיות מעשיות שונות.

במקום ריבועים בצידי משולש ישר זווית, ניתן לבנות כל צורות הדומות זו לזו (משולשים שווי צלעות, חצאי מעגלים וכו'). במקרה זה, השטח של הדמות הבנויה על התחתון שווה לסכום שטחי הדמויות הבנויות על הרגליים. הכללה נוספת קשורה למעבר ממישור לחלל. הוא מנוסח כך: ריבוע אורך האלכסון של מקבילי מלבני שווה לסכוםריבועי מידותיו (אורך, רוחב וגובה). משפט דומה נכון גם במקרים רב-ממדיים ואפילו אינסופיים.

משפט פיתגורס קיים רק בגיאומטריה האוקלידית. הוא אינו מתרחש לא בגיאומטריה של לובצ'בסקי ולא בגיאומטריות אחרות שאינן אוקלידיות. אין אנלוגי גם למשפט פיתגורס על הכדור. שני מרידיאנים היוצרים זווית של 90° וקו המשווה קושרים משולש כדורי שווה צלעות על הכדור, ששלושתם ישרות זוויות. מבחינתו, לא כמו במטוס.

באמצעות משפט פיתגורס, המרחק בין נקודות למישור הקואורדינטות מחושב על ידי הנוסחה

.

לאחר גילוי משפט פיתגורס, עלתה השאלה כיצד ניתן למצוא את כל השלשות של המספרים הטבעיים שיכולים להיות צלעות של משולשים ישרים-זויים (ראה המשפט הגדול של פרמה). הם התגלו על ידי הפיתגוראים, אבל כמה שיטות כלליות למציאת שלשות מספרים כאלה היו ידועות אפילו לבבלים. אחת מטבליות כתב היתדות מכילה 15 שלישיות. ביניהם יש שלישיות המורכבות כך מספרים גדוליםשלא יכולה להיות שאלה למצוא אותם על ידי בחירה.

היפוקרט גיהנום

ירחים היפוקרטים הם דמויות התחום בקשתות של שני מעגלים, ויתרה מכך, כאלה שבאמצעות הרדיוסים והאורך של המיתר המשותף של מעגלים אלה, באמצעות מצפן וסרגל, ניתן לבנות ריבועים בגודל שווה להם.

מההכללה של משפט פיתגורס לחצי מעגלים, יוצא שסכום שטחי החורים הוורודים המוצגים באיור משמאל שווה לשטח המשולש הכחול. לכן, אם ניקח משולש ישר זווית שווה שוקיים, נקבל שני חורים, ששטח החוף שלהם יהיה שווה לחצי משטח המשולש. בניסיון לפתור את בעיית ריבוע המעגל (ראה בעיות קלאסיות של העת העתיקה), מצא המתמטיקאי היווני הקדום היפוקרטס (המאה ה-5 לפני הספירה) עוד כמה חורים, ששטחיהם באים לידי ביטוי במונחים של שטחים של דמויות ישניות.

רשימה מלאה של חורים היפו שוליים התקבלה רק במאות ה-19-20. באמצעות שימוש בשיטות התיאוריה של גלואה.

ודא שהמשולש שקיבלת הוא משולש ישר זווית, שכן משפט פיתגורס חל רק על משולשים ישרים. במשולשים ישרים, אחת משלוש הזוויות היא תמיד 90 מעלות.

• זווית ישרה במשולש ישר זווית מסומנת בריבוע במקום בעקומה, המייצגת זוויות לא ישרות.

סמן את צלעות המשולש.ציינו את הרגליים כ-"a" ו-"b" (הרגליים הן צלעות המצטלבות בזוויות ישרות), ואת התחתון כ-"c" (התחתון הוא הצלע הגדולה ביותר במשולש ישר זווית שממול לזווית הישרה).

קבע איזו צד של המשולש אתה רוצה למצוא.משפט פיתגורס מאפשר לך למצוא כל צלע של משולש ישר זווית (אם שתי הצלעות האחרות ידועות). קבע איזו צד (א, ב, ג) צריך להימצא.

• לדוגמה, נתון תחתון השווה ל-5, וניתן רגל שווה ל-3. במקרה זה, אתה צריך למצוא את הרגל השנייה. נחזור לדוגמא זו בהמשך.
• אם שתי הצלעות האחרות אינן ידועות, יש צורך למצוא את אורכה של אחת הצלעות הלא ידועות כדי להיות מסוגל ליישם את משפט פיתגורס. כדי לעשות זאת, השתמש בבסיס פונקציות טריגונומטריות(אם ניתן לך את הערך של אחת מהזוויות הלא ישרות).

החלף בנוסחה a 2 + b 2 \u003d c 2 את הערכים שניתנו לך (או את הערכים שנמצאו על ידך).זכור ש-a ו-b הם רגליים, ו-c הוא התחתון.

• בדוגמה שלנו, כתוב: 3² + b² = 5².

ריבוע כל צד מוכר.או להשאיר את המעלות - אפשר לריבוע את המספרים מאוחר יותר.

• בדוגמה שלנו, כתוב: 9 + b² = 25.

בודדים את הצד הלא ידוע בצד אחד של המשוואה.כדי לעשות זאת, זז ערכים ידועיםלצד השני של המשוואה. אם אתה מוצא את ההיפוטנוז, אז במשפט פיתגורס הוא כבר מבודד בצד אחד של המשוואה (אז אין צורך לעשות דבר).

• בדוגמה שלנו, העבר 9 ל צד ימיןמשוואות לבודד את b² הלא ידוע. תקבל b² = 16.

לחלץ שורש ריבועימשני צדי המשוואה לאחר שהלא ידוע (ריבוע) קיים בצד אחד של המשוואה, והאיבר החופשי (מספר) קיים בצד השני.

• בדוגמה שלנו, b² = 16. קח את השורש הריבועי של שני הצדדים של המשוואה וקבל b = 4. אז הרגל השנייה היא 4.

השתמש במשפט פיתגורס ב חיי היום - יום, כי ניתן להשתמש בו ב מספרים גדוליםמצבים מעשיים. לשם כך, למד להכיר משולשים ישרים בחיי היומיום - בכל מצב שבו שני עצמים (או קווים) מצטלבים בזוויות ישרות, ועצם (או קו) שלישי מחבר (באלכסון) את החלק העליון של שני העצמים הראשונים (או קווים), אתה יכול להשתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את הצלע הלא ידועה (אם שתי הצלעות האחרות ידועות).

• דוגמה: נתון סולם נשען על בניין. תחתית המדרגות נמצאת במרחק של 5 מטרים מבסיס הקיר. חלק עליוןהמדרגות ממוקמות 20 מטר מהקרקע (במעלה הקיר). מה אורך הסולם?
  • "5 מטרים מבסיס הקיר" פירושו כי a = 5; "נמצא במרחק של 20 מטר מהאדמה" פירושו ש-b = 20 (כלומר, ניתנות לך שתי רגליים של משולש ישר זווית, מאחר שקיר הבניין ומשטח כדור הארץ מצטלבים בזוויות ישרות). אורך הסולם הוא אורך התחתון, שאינו ידוע.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. לפיכך, האורך המשוער של המדרגות הוא 20.6 מטר.

מדידת השטח של דמויות גיאומטריות.

§ 58. משפט הפיתגורס 1.

__________
1 פיתגורס הוא מדען יווני שחי לפני כ-2500 שנה (564-473 לפני הספירה).
_________

תנו למשולש ישר זווית צלעותיו א, בו עם(מפתח 267).

בואו נבנה ריבועים על הצדדים שלו. השטחים של ריבועים אלה הם בהתאמה א 2 , ב 2 ו עם 2. בואו נוכיח את זה עם 2 = א 2 +ב 2 .

נבנה שני ריבועים MKOR ו-M"K"O"R" (איור 268, 269), ניקח עבור הצלע של כל אחד מהם קטע השווה לסכום הרגליים של משולש ישר זווית ABC.

לאחר השלמת הקונסטרוקציות המוצגות בציורים 268 ו-269 בריבועים אלו, נראה כי ריבוע MKOR מחולק לשני ריבועים עם שטחים א 2 ו ב 2 וארבעה משולשים ישרים שווים, שכל אחד מהם שווה למשולש ישר זווית ABC. הריבוע M"K"O"R" מחולק למרובע (הוא מוצל בשרטוט 269) ולארבעה משולשים ישרי זווית, שכל אחד מהם שווה גם למשולש ABC. המרובע המוצל הוא ריבוע, שכן צלעותיו שוות (כל אחת שווה לתחתית המשולש ABC, כלומר. עם) והזוויות נכונות / 1 + / 2 = 90°, ומכאן / 3 = 90°).

לפיכך, סכום שטחי הריבועים הבנויים על הרגליים (בציור 268 ריבועים אלו מוצללים) שווה לשטח ריבוע MKOR ללא סכום השטחים של ארבעה משולשים שווים, ושטח ​הריבוע הבנוי על התחתון (בציור 269 גם ריבוע זה מוצל) שווה לשטח הריבוע M "K" O "R", שווה לריבוע של MKOR, ללא סכום השטחים של ארבעה מאותם משולשים. לכן, שטח הריבוע הבנוי על תחתית משולש ישר זווית שווה לסכום שטחי הריבועים הבנויים על הרגליים.

אנחנו מקבלים את הנוסחה עם 2 = א 2 +ב 2, איפה עם- hypotenuse, או ב- רגלי משולש ישר זווית.

ניתן לסכם את משפט פיתגורס כך:

ריבוע התחתון של משולש ישר זווית שווה לסכום ריבועי הרגליים.

מתוך הנוסחה עם 2 = א 2 +ב 2 אתה יכול לקבל את הנוסחאות הבאות:

א 2 = עם 2 - ב 2 ;
ב 2 = עם 2 - א 2 .

ניתן להשתמש בנוסחאות אלו כדי למצוא את הצלע הלא ידועה של משולש ישר זווית בהינתן שתיים מצלעותיו.
לדוגמה:

א) אם ניתנות רגליים א= 4 ס"מ, ב\u003d 3 ס"מ, אז אתה יכול למצוא את התחתון ( עם):
עם 2 = א 2 +ב 2, כלומר. עם 2 = 4 2 + 3 2; עם 2 = 25, ומכאן עם= √25 =5 (ס"מ);

ב) אם נותנים את התחתון עם= 17 ס"מ ורגל א= 8 ס"מ, אז אתה יכול למצוא רגל אחרת ( ב):

ב 2 = עם 2 - א 2, כלומר. ב 2 = 17 2 - 8 2 ; ב 2 = 225, ומכאן ב= √225 = 15 (ס"מ).

תוֹצָאָה: אם בשני משולשים ישרים ABC ו-A 1 B 1 C 1 hypotenuse עםו עם 1 שווים, והרגל במשולש ABC גדול יותר מהרגל ב 1 משולש A 1 B 1 C 1,
ואז הרגל אמשולש ABC פחות מהרגל א 1 משולש A 1 B 1 C 1 . (צור ציור הממחיש את התוצאה הזו.)

ואכן, בהתבסס על משפט פיתגורס, אנו מקבלים:

א 2 = עם 2 - ב 2 ,
א 1 2 = עם 1 2 - ב 1 2

בנוסחאות הכתובות, המינוסים שווים, והמשנה בנוסחה הראשונה גדולה מהמשנה בנוסחה השנייה, לכן, ההפרש הראשון קטן מהשני,
כְּלוֹמַר א 2 < א 12 . איפה א< א 1 .

תרגילים.

1. בעזרת ציור 270, הוכיחו את משפט פיתגורס עבור משולש ישר זווית שווה שוקיים.

2. רגל אחת של משולש ישר זווית היא 12 ס"מ, השנייה היא 5 ס"מ. חשב את אורך התחתון של משולש זה.

3. התחתון של משולש ישר זווית הוא 10 ס"מ, אחת הרגליים היא 8 ס"מ. חשב את אורך הרגל השנייה של משולש זה.

4. התחתון של משולש ישר זווית הוא 37 ס"מ, אחת מרגליו היא 35 ס"מ. חשב את אורך הרגל השנייה של משולש זה.

5. בנה ריבוע פי שניים משטח הנתון.

6. בנה ריבוע, פי שניים משטח הנתון. הוראה.צייר אלכסונים בריבוע זה. הריבועים הבנויים על חצאי האלכסונים הללו יהיו הרצויים.

7. רגליו של משולש ישר זווית הן 12 ס"מ ו-15 ס"מ בהתאמה. חשב את אורך התחתון של משולש זה בדיוק של 0.1 ס"מ.

8. התחתון של משולש ישר זווית הוא 20 ס"מ, אחת מרגליו היא 15 ס"מ. חשב את אורך הרגל השנייה ל-0.1 ס"מ הקרובים ביותר.

9. כמה זמן צריך להיות הסולם כדי שיוכל להיות מחובר לחלון שנמצא בגובה 6 מ', אם הקצה התחתון של הסולם צריך להיות במרחק של 2.5 מ' מהמבנה? (לעזאזל. 271.)