קטנטן ויפה משימה פשוטהמהקטגוריה של אלו המשמשים כחבל הצלה לתלמיד צף. בטבע, הממלכה המנומנמת של אמצע יולי, אז הגיע הזמן להתמקם עם מחשב נייד על החוף. מוקדם בבוקר ניגנה קרן שמש של תיאוריה כדי להתמקד בקרוב בתרגול, שלמרות קלילותו המוצהרת, מכיל שברי זכוכית בחול. בהקשר זה, אני ממליץ לשקול במצפון כמה דוגמאות של דף זה. כדי לפתור משימות מעשיות, אתה צריך להיות מסוגל למצוא נגזרותולהבין את החומר של המאמר מרווחים של מונוטוניות וקיצוניות של פונקציה.

ראשית, בקצרה על העיקר. בשיעור על המשכיות תפקודנתתי את ההגדרה של המשכיות בנקודה והמשכיות על מרווח. ההתנהגות המופתית של פונקציה על קטע מנוסחת באופן דומה. פונקציה היא רציפה בקטע אם:

1) הוא רציף על המרווח;
2) רציף בנקודה בצד ימיןובנקודה שמאלה.

הפסקה השנייה עוסקת במה שנקרא המשכיות חד צדדיתמתפקד בנקודה מסוימת. ישנן מספר גישות להגדרתו, אך אני אצמד לקו שהתחיל קודם לכן:

הפונקציה רציפה בנקודה מסוימת בצד ימין, אם הוא מוגדר בנקודה נתונה והגבול הימני שלו עולה בקנה אחד עם הערך של הפונקציה בנקודה נתונה: . זה רציף בנקודה שמאלה, אם מוגדר בנקודה נתונה והגבול השמאלי שלה שווה לערךבנקודה זו:

תארו לעצמכם שהנקודות הירוקות הן הציפורניים שעליהן מחוברת הגומייה הקסומה:

קח נפשית את הקו האדום בידיים שלך. ברור שלא משנה כמה רחוק נמתח את הגרף למעלה ולמטה (לאורך הציר), הפונקציה עדיין תישאר מוגבל- גדר חיה מעל, גדר חיה למטה, והמוצר שלנו רועה במכלאה. לכן, פונקציה רציפה על קטע מוגבלת עליו. במהלך הניתוח המתמטי, עובדה פשוטה לכאורה זו נאמרת ומוכחת בקפדנות המשפט הראשון של ויירשטראס.... אנשים רבים כועסים על כך שהצהרות יסודיות מבוססות בצורה מייגעת במתמטיקה, אבל יש לכך משמעות חשובה. נניח שתושב מסוים מימי הביניים הטרי משך את הגרף לשמיים מעבר לגבולות הראות, זה הוכנס. לפני המצאת הטלסקופ, התפקוד המוגבל בחלל לא היה ברור כלל! ואכן, איך אתה יודע מה מצפה לנו מעבר לאופק? אחרי הכל, פעם כדור הארץ נחשב שטוח, אז היום אפילו טלפורטציה רגילה דורשת הוכחה =)

לפי משפט ויירשטראס השני, רציף על הקטעהפונקציה מגיעה אליה קצה עליון מדויקושלו קצה תחתון מדויק .

המספר נקרא גם הערך המקסימלי של הפונקציה בקטעומסומן על ידי , והמספר - הערך המינימלי של הפונקציה במרווחמסומן .

במקרה שלנו:

הערה : בתיאוריה, רשומות נפוצות .

באופן כללי, הערך הגבוה ביותרממוקם במקום שבו נקודה גבוההגרפיקה, והקטנה ביותר - איפה הנקודה הנמוכה ביותר.

חָשׁוּב!כפי שכבר צוין במאמר על קיצוניות של הפונקציה, הערך הגדול ביותר של הפונקציהו ערך הפונקציה הקטן ביותר – לא אותו הדבר, מה לתפקד מקסימוםו מינימום פונקציה. אז בדוגמה זו, המספר הוא המינימום של הפונקציה, אך לא הערך המינימלי.

אגב, מה קורה מחוץ לקטע? כן, גם המבול, בהקשר של הבעיה הנבדקת, זה לא מעניין אותנו כלל. המשימה כוללת מציאת שני מספרים בלבד וזה הכל!

יתר על כן, הפתרון הוא אנליטי בלבד, ולכן, אין צורך לצייר!

האלגוריתם מונח על פני השטח ומציע את עצמו מהאיור שלמעלה:

1) מצא את ערכי הפונקציה ב נקודות קריטיות, ששייכים לפלח הזה.

תפוס עוד טוב אחד: אין צורך לבדוק תנאי מספיק לקיצוניות, שכן, כפי שהוצג זה עתה, נוכחות של מינימום או מקסימום עדיין לא מובטחמהו הערך המינימלי או המקסימלי. פונקציית ההדגמה מגיעה למקסימום, ולפי רצון הגורל, אותו מספר הוא הערך הגדול ביותר של הפונקציה במרווח . אבל, כמובן, צירוף מקרים כזה לא תמיד מתרחש.

לכן, בשלב הראשון, מהיר יותר וקל יותר לחשב את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות השייכות למקטע, מבלי להטריד אם יש להם קיצוניות או לא.

2) אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע.

3) מבין ערכי הפונקציה שנמצאו בפסקאות 1 ו-2, אנו בוחרים את הקטן והכי הרבה מספר גדול, רשום את התשובה.

אנחנו מתיישבים על החוף ים כחולופגע בעקבים במים רדודים:

דוגמה 1

מצא את הגדול ו הערך הקטן ביותרפונקציות על הקטע

פִּתָרוֹן:
1) חשב את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות השייכות לקטע זה:

הבה נחשב את ערך הפונקציה בנקודה הקריטית השנייה:

2) חשב את ערכי הפונקציה בקצות הקטע:

3) התקבלו תוצאות "מודגשות" עם אקספוננציאלים ולוגריתם, מה שמקשה באופן משמעותי על ההשוואה ביניהם. מסיבה זו, נתחמש במחשבון או באקסל ונחשב את הערכים המשוערים, מבלי לשכוח כי:

עכשיו הכל ברור.

תשובה:

דוגמה שברית-רציונלית לפתרון עצמאי:

דוגמה 6

מצא את הערכים המקסימליים והמינימליים של פונקציה בקטע

תן לפונקציה $z=f(x,y)$ להיות מוגדרת ורציפה בחלק מסוים אזור סגור$D$. תן לפונקציה הנתונה נגזרות חלקיות סופיות מהסדר הראשון באזור זה (למעט אולי מספר סופי של נקודות). כדי למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה של שני משתנים באזור סגור נתון, נדרשים שלושה שלבים של אלגוריתם פשוט.

אלגוריתם למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה $z=f(x,y)$ בתחום הסגור $D$.

1. מצא את הנקודות הקריטיות של הפונקציה $z=f(x,y)$ השייכות לאזור $D$. חישוב ערכי פונקציות בנקודות קריטיות.
2. חקור את התנהגות הפונקציה $z=f(x,y)$ על גבול האזור $D$ על ידי מציאת הנקודות של ערכי מקסימום ומינימום אפשריים. חשב את ערכי הפונקציה בנקודות שהושגו.
3. מתוך ערכי הפונקציה שהושגו בשתי הפסקאות הקודמות, בחר את הגדול והקטן ביותר.

מהן נקודות קריטיות? הצג הסתר

תַחַת נקודות קריטיותמרמזים על נקודות שבהן שתי הנגזרות החלקיות מסדר ראשון שוות לאפס (כלומר $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ו-$\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) או לפחות נגזרת חלקית אחת לא קיימת.

לעתים קרובות נקראות הנקודות שבהן הנגזרות החלקיות מסדר ראשון שוות לאפס נקודות נייחות. לפיכך, נקודות נייחות הן תת-קבוצה של נקודות קריטיות.

דוגמה מס' 1

מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה $z=x^2+2xy-y^2-4x$ באזור סגור, תחום בקווים$x=3$, $y=0$ ו-$y=x+1$.

נלך לפי האמור לעיל, אך תחילה נעסוק בשרטוט של שטח נתון, אותו נסמן באות $D$. נתון לנו משוואות של שלושקווים ישרים, המגבילים את השטח הזה. הישר $x=3$ עובר בנקודה $(3;0)$ במקביל לציר ה-y (ציר Oy). הקו הישר $y=0$ הוא משוואת ציר האבשיסה (ציר שוורי). ובכן, כדי לבנות קו ישר $y=x+1$ בואו נמצא שתי נקודות שדרכן נשרטט את הקו הישר הזה. אתה יכול, כמובן, להחליף כמה ערכים שרירותיים במקום $x$. לדוגמה, החלפת $x=10$, נקבל: $y=x+1=10+1=11$. מצאנו את הנקודה $(10;11)$ מונחת על הקו $y=x+1$. עם זאת, עדיף למצוא את הנקודות שבהן הישר $y=x+1$ מצטלב עם הקווים $x=3$ ו-$y=0$. למה זה יותר טוב? כי נניח כמה ציפורים במכה אחת: נקבל שתי נקודות לבניית הישר $y=x+1$ ובמקביל נגלה באילו נקודות קו ישר זה חוצה קווים אחרים שקושרים את הנתון אֵזוֹר. הקו $y=x+1$ חותך את הישר $x=3$ בנקודה $(3;4)$, ואת הקו $y=0$ - בנקודה $(-1;0)$. כדי לא לבלבל את מהלך הפתרון בהסברי עזר, אעלה את שאלת השגת שתי הנקודות הללו בהערה.

כיצד הושגו הנקודות $(3;4)$ ו-$(-1;0)$? הצג הסתר

נתחיל מנקודת החיתוך של הקווים $y=x+1$ ו-$x=3$. הקואורדינטות של הנקודה הרצויה שייכות הן לקו הראשון והשני, אז כדי למצוא קואורדינטות לא ידועות, אתה צריך לפתור את מערכת המשוואות:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

הפתרון של מערכת כזו הוא טריוויאלי: החלפת $x=3$ במשוואה הראשונה תהיה לנו: $y=3+1=4$. הנקודה $(3;4)$ היא נקודת החיתוך הרצויה של הקווים $y=x+1$ ו-$x=3$.

כעת נמצא את נקודת החיתוך של הקווים $y=x+1$ ו-$y=0$. שוב, אנו מחברים ופותרים את מערכת המשוואות:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

החלפת $y=0$ במשוואה הראשונה, נקבל: $0=x+1$, $x=-1$. הנקודה $(-1;0)$ היא נקודת החיתוך הרצויה של הקווים $y=x+1$ ו-$y=0$ (ציר אבשסיס).

הכל מוכן לבניית ציור שייראה כך:

השאלה של הפתק נראית ברורה, כי הכל ניתן לראות מהדמות. עם זאת, כדאי לזכור שהציור אינו יכול לשמש ראיה. הדמות היא רק המחשה לצורך הבהירות.

השטח שלנו נקבע באמצעות משוואות הקווים המגבילות אותו. ברור שהקווים האלה מגדירים משולש, לא? או לא ממש ברור? או אולי ניתן לנו אזור אחר, תחום באותם קווים:

כמובן שהתנאי אומר שהאזור סגור ולכן התמונה המוצגת שגויה. אבל כדי למנוע אי בהירות כאלה, עדיף להגדיר אזורים לפי אי-שוויון. אנו מעוניינים בחלק של המטוס שנמצא מתחת לקו $y=x+1$? אוקיי, אז $y ≤ x+1$. האזור שלנו צריך להיות ממוקם מעל הקו $y=0$? נהדר, אז $y ≥ 0$. אגב, שני אי השוויון האחרונים משולבים בקלות לאחד: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

אי השוויון הללו מגדירים את התחום $D$, ומגדירים אותו באופן ייחודי, ללא אי בהירות. אבל איך זה עוזר לנו בשאלה שבתחילת הערת השוליים? זה גם יעזור :) אנחנו צריכים לבדוק אם הנקודה $M_1(1;1)$ שייכת לאזור $D$. הבה נחליף את $x=1$ ו-$y=1$ במערכת אי השוויון המגדירה אזור זה. אם שני אי השוויון מסופקים, אז הנקודה נמצאת בתוך האזור. אם לפחות אחד מאי השוויון אינו מסופק, אז הנקודה אינה שייכת לאזור. כך:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(מיושר) \right.$$

שני אי השוויון נכונים. הנקודה $M_1(1;1)$ שייכת לאזור $D$.

כעת הגיע התור לחקור את התנהגות הפונקציה על גבול התחום, כלומר. לך ל. נתחיל מהקו הישר $y=0$.

הקו הישר $y=0$ (ציר אבשיסה) מגביל את האזור $D$ בתנאי $-1 ≤ x ≤ 3$. החלף את $y=0$ בפונקציה הנתונה $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. פונקציית ההחלפה המתקבלת של משתנה אחד $x$ תסומן כ-$f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

כעת עבור הפונקציה $f_1(x)$ עלינו למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר במרווח $-1 ≤ x ≤ 3$. מצא את הנגזרת של פונקציה זו ושווה אותה לאפס:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

הערך $x=2$ שייך לקטע $-1 ≤ x ≤ 3$, לכן נוסיף גם $M_2(2;0)$ לרשימת הנקודות. בנוסף, אנו מחשבים את ערכי הפונקציה $z$ בקצות הקטע $-1 ≤ x ≤ 3$, כלומר. בנקודות $M_3(-1;0)$ ו-$M_4(3;0)$. אגב, אם הנקודה $M_2$ לא הייתה שייכת לקטע הנבדק, אז כמובן, לא יהיה צורך לחשב את הערך של הפונקציה $z$ בה.

אז בואו נחשב את ערכי הפונקציה $z$ בנקודות $M_2$, $M_3$, $M_4$. אתה יכול כמובן להחליף את הקואורדינטות של נקודות אלו בביטוי המקורי $z=x^2+2xy-y^2-4x$. לדוגמה, עבור הנקודה $M_2$ נקבל:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

עם זאת, ניתן לפשט מעט את החישובים. לשם כך, כדאי לזכור שבקטע $M_3M_4$ יש לנו $z(x,y)=f_1(x)$. אני אפרט את זה בפירוט:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(מיושר)

כמובן שבדרך כלל אין צורך בערכים מפורטים כאלה, ובעתיד נתחיל לרשום את כל החישובים בצורה קצרה יותר:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

כעת נפנה לקו הישר $x=3$. קו זה מגביל את $D$ בתנאי $0 ≤ y ≤ 4$. החלף את $x=3$ בפונקציה הנתונה $z$. כתוצאה מהחלפה כזו, אנו מקבלים את הפונקציה $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

עבור הפונקציה $f_2(y)$, עליך למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר במרווח $0 ≤ y ≤ 4$. מצא את הנגזרת של פונקציה זו ושווה אותה לאפס:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

הערך $y=3$ שייך לקטע $0 ≤ y ≤ 4$, אז נוסיף $M_5(3;3)$ לנקודות שנמצאו קודם לכן. בנוסף, יש צורך לחשב את הערך של הפונקציה $z$ בנקודות שבקצות הקטע $0 ≤ y ≤ 4$, כלומר. בנקודות $M_4(3;0)$ ו-$M_6(3;4)$. בנקודה $M_4(3;0)$ כבר חישבנו את הערך של $z$. הבה נחשב את הערך של הפונקציה $z$ בנקודות $M_5$ ו-$M_6$. הרשה לי להזכיר לך שבקטע $M_4M_6$ יש לנו $z(x,y)=f_2(y)$, לכן:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(מיושר)

ולבסוף, שקול את הגבול האחרון של $D$, כלומר. שורה $y=x+1$. קו זה תוחם את האזור $D$ בתנאי $-1 ≤ x ≤ 3$. החלפת $y=x+1$ בפונקציה $z$, יהיה לנו:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

שוב יש לנו פונקציה של משתנה אחד $x$. ושוב, אתה צריך למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה זו בקטע $-1 ≤ x ≤ 3$. מצא את הנגזרת של הפונקציה $f_(3)(x)$ ושווה אותה לאפס:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

הערך $x=1$ שייך למרווח $-1 ≤ x ≤ 3$. אם $x=1$, אז $y=x+1=2$. בואו נוסיף $M_7(1;2)$ לרשימת הנקודות ונגלה מה הערך של הפונקציה $z$ בשלב זה. הנקודות בקצות הקטע $-1 ≤ x ≤ 3$, כלומר. נקודות $M_3(-1;0)$ ו-$M_6(3;4)$ נחשבו קודם לכן, כבר מצאנו בהן את ערך הפונקציה.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

השלב השני של הפתרון הושלם. קיבלנו שבעה ערכים:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

בואו נפנה ל. בחירת הערכים הגדולים והקטנים ביותר מאותם מספרים שהתקבלו בפסקה השלישית, יהיו לנו:

$$z_(דקה)=-4; \; z_(max)=6.$$

הבעיה נפתרה, נותר רק לרשום את התשובה.

תשובה: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

דוגמה מס' 2

מצא את הערכים המקסימליים והמינימליים של הפונקציה $z=x^2+y^2-12x+16y$ באזור $x^2+y^2 ≤ 25$.

בוא נבנה קודם ציור. המשוואה $x^2+y^2=25$ (זהו קו הגבול של השטח הנתון) מגדירה מעגל עם מרכז במקור (כלומר בנקודה $(0;0)$) ורדיוס של 5. אי השוויון $x^2 +y^2 ≤ 25$ מספק את כל הנקודות בתוך ועל המעגל המוזכר.

נפעל בהתאם. בואו נמצא נגזרות חלקיות ונברר את הנקודות הקריטיות.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

אין נקודות שבהן הנגזרות החלקיות שנמצאו אינן קיימות. הבה נגלה באילו נקודות שתי הנגזרות החלקיות שוות בו זמנית לאפס, כלומר. למצוא נקודות נייחות.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned) \right.$$

קיבלנו נקודה נייחת $(6;-8)$. עם זאת, הנקודה שנמצאה אינה שייכת לאזור $D$. קל להראות זאת מבלי להזדקק לציור. בואו נבדוק אם אי השוויון $x^2+y^2 ≤ 25$, שמגדיר את הדומיין שלנו $D$, מתקיים. אם $x=6$, $y=-8$, אז $x^2+y^2=36+64=100$, כלומר. אי השוויון $x^2+y^2 ≤ 25$ אינו מרוצה. מסקנה: הנקודה $(6;-8)$ לא שייכת לאזור $D$.

לפיכך, אין נקודות קריטיות בתוך $D$. בואו נמשיך הלאה, ל. עלינו לחקור את התנהגות הפונקציה על גבול השטח הנתון, כלומר. על המעגל $x^2+y^2=25$. אתה יכול, כמובן, לבטא $y$ במונחים של $x$, ולאחר מכן להחליף את הביטוי שנוצר בפונקציה שלנו $z$. ממשוואת המעגל נקבל: $y=\sqrt(25-x^2)$ או $y=-\sqrt(25-x^2)$. אם תחליף, למשל, $y=\sqrt(25-x^2)$ בפונקציה הנתונה, יהיה לנו:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

הפתרון הנוסף יהיה זהה לחלוטין לחקר התנהגות הפונקציה על גבול האזור בדוגמה הקודמת מס' 1. עם זאת, נראה לי הגיוני יותר במצב זה ליישם את שיטת לגראנז'. אנחנו מתעניינים רק בחלק הראשון של שיטה זו. לאחר החלת החלק הראשון של שיטת Lagrange, נקבל נקודות בהן ונבחן את הפונקציה $z$ עבור ערכי המינימום והמקסימום.

אנו מרכיבים את פונקציית לגראנז':

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

אנו מוצאים את הנגזרות החלקיות של פונקציית לגראנז' ומרכיבים את מערכת המשוואות המתאימה:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (מיושר) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(מיושר) \ ימין. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( מיושר)\right.$$

כדי לפתור מערכת זו, הבה נציין מיד ש-$\lambda\neq -1$. למה $\lambda\neq -1$? בוא ננסה להחליף את $\lambda=-1$ במשוואה הראשונה:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

הסתירה המתקבלת $0=6$ אומרת שהערך $\lambda=-1$ אינו חוקי. פלט: $\lambda\neq -1$. בואו נביע את $x$ ו-$y$ במונחים של $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(מיושר)

אני מאמין שמתברר כאן מדוע קבענו במפורש את התנאי $\lambda\neq -1$. זה נעשה כדי להתאים את הביטוי $1+\lambda$ למכנים ללא הפרעה. כלומר, כדי להיות בטוח שהמכנה הוא $1+\lambda\neq 0$.

הבה נחליף את הביטויים שהתקבלו עבור $x$ ו-$y$ במשוואה השלישית של המערכת, כלומר. ב-$x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

מהשוויון המתקבל נובע ש-$1+\lambda=2$ או $1+\lambda=-2$. לפיכך, יש לנו שני ערכים של הפרמטר $\lambda$, כלומר: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. בהתאם, נקבל שני זוגות של ערכים $x$ ו-$y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(מיושר)

אז, קיבלנו שתי נקודות של קיצון מותנה אפשרי, כלומר. $M_1(3;-4)$ ו-$M_2(-3;4)$. מצא את ערכי הפונקציה $z$ בנקודות $M_1$ ו-$M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(מיושר)

עלינו לבחור את הערכים הגדולים והקטנים ביותר מאלה שהשגנו בשלב הראשון והשני. אבל במקרה הזה, המבחר קטן :) יש לנו:

$$z_(דקה)=-75; \; z_(max)=125. $$

תשובה: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

מנקודת מבט מעשית, המעניין ביותר הוא השימוש בנגזרת כדי למצוא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה. למה זה קשור? מקסום רווחים, מזעור עלויות, קביעת עומס אופטימלי של ציוד... במילים אחרות, בהרבה תחומי חיים צריך לפתור את בעיית האופטימיזציה של כמה פרמטרים. וזו הבעיה של מציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה.

יש לציין שהערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה בדרך כלל מחפש במרווח X כלשהו, ​​שהוא או כל התחום של הפונקציה או חלק מהתחום. המרווח X עצמו יכול להיות קטע קו, מרווח פתוח , מרווח אינסופי .

במאמר זה נדבר על מציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר במפורש. פונקציה נתונהמשתנה אחד y=f(x) .

ניווט בדף.

הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה - הגדרות, איורים.

הבה נתעכב בקצרה על ההגדרות העיקריות.

הערך הגדול ביותר של הפונקציה , אשר לכל אי השוויון נכון.

הערך הקטן ביותר של הפונקציה y=f(x) במרווח X נקרא ערך כזה , אשר לכל אי השוויון נכון.

הגדרות אלו אינטואיטיביות: הערך הגדול ביותר (הקטן ביותר) של פונקציה הוא הערך הגדול (הקטן ביותר) המקובל במרווח הנחשב עם האבססיס.

נקודות נייחותהם הערכים של הארגומנט שבו הנגזרת של הפונקציה נעלמת.

מדוע אנו זקוקים לנקודות נייחות כאשר אנו מוצאים את הערכים הגדולים והקטנים ביותר? התשובה לשאלה זו ניתנת על ידי משפט פרמה. ממשפט זה נובע שאם לפונקציה הניתנת להבדלה יש קיצון (מינימום מקומי או מקסימום מקומי) בשלב מסוים, אזי נקודה זו היא נייחת. לפיכך, לעתים קרובות הפונקציה לוקחת את הערך המרבי (הקטן ביותר) שלה במרווח X באחת הנקודות הנייחות מהמרווח הזה.

כמו כן, פונקציה יכולה לעתים קרובות לקבל את הערכים הגדולים והקטנים ביותר בנקודות שבהן הנגזרת הראשונה של פונקציה זו אינה קיימת, והפונקציה עצמה מוגדרת.

הבה נענה מיד על אחת השאלות הנפוצות ביותר בנושא זה: "האם תמיד ניתן לקבוע את הערך הגדול (הקטן) ביותר של פונקציה"? לא לא תמיד. לפעמים הגבולות של המרווח X חופפים לגבולות התחום של הפונקציה, או שהמרווח X הוא אינסופי. ופונקציות מסוימות באינסוף ובגבולות תחום ההגדרה יכולות לקבל גם ערכים גדולים לאין שיעור וגם לאין שיעור. במקרים אלה, לא ניתן לומר דבר על הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה.

לבהירות, אנו נותנים איור גרפי. תסתכל בתמונות - והרבה יתברר.

על הקטע

באיור הראשון, הפונקציה לוקחת את הערכים הגדולים ביותר (מקסימום y ) והקטנים ביותר (min y ) בנקודות נייחות בתוך הקטע [-6;6] .

שקול את המקרה המוצג באיור השני. שנה את הקטע ל. בדוגמה זו, הערך הקטן ביותר של הפונקציה מושג בנקודה נייחת, והגדול ביותר - בנקודה עם אבשיסה המקבילה ל גבול ימיןהַפסָקָה.

באיור מס' 3, נקודות הגבול של הקטע [-3; 2] הן האבססיס של הנקודות המקבילות לערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה.

בטווח הפתוח

באיור הרביעי, הפונקציה לוקחת את הערכים הגדולים ביותר (מקסימום y ) והקטנים ביותר (min y ) בנקודות נייחות בתוך המרווח הפתוח (-6;6).

על המרווח, לא ניתן להסיק מסקנות לגבי הערך הגדול ביותר.

באינסוף

בדוגמה המוצגת באיור השביעי, הפונקציה לוקחת את הערך הגדול ביותר (max y ) בנקודה נייחת עם x=1 abscissa, והערך הקטן ביותר (min y ) מגיע בגבול הימני של המרווח. במינוס אינסוף, ערכי הפונקציה מתקרבים באופן אסימפטוטי ל-y=3.

במרווח, הפונקציה לא מגיעה לערך הקטן ביותר או הגדול ביותר. מכיוון ש-x=2 נוטה ימינה, ערכי הפונקציה נוטים למינוס אינסוף (הקו הישר x=2 הוא אסימפטוטה אנכית), וכאשר האבשיסה נוטה פלוס אינסוף, ערכי הפונקציה מתקרבים באופן אסימפטוטי ל-y=3. איור גרפי של דוגמה זו מוצג באיור 8.

אלגוריתם למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה רציפה בקטע.

אנו כותבים אלגוריתם המאפשר לנו למצוא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה בקטע.

1. אנו מוצאים את התחום של הפונקציה ובודקים אם הוא מכיל את כל הקטע.
2. אנו מוצאים את כל הנקודות שבהן הנגזרת הראשונה לא קיימת ושנכללות בקטע (בדרך כלל נקודות כאלה מתרחשות בפונקציות עם ארגומנט מתחת לסימן המודול וב פונקציות כוחעם מעריך רציונלי שבריר). אם אין נקודות כאלה, עבור לנקודה הבאה.
3. אנו קובעים את כל הנקודות הנייחות שנופלות לתוך הקטע. לשם כך, נשווה אותו לאפס, פותרים את המשוואה המתקבלת ובוחרים את השורשים המתאימים. אם אין נקודות נייחות או שאף אחת מהן לא נופלת לתוך הקטע, עבור לשלב הבא.
4. אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות הנייחות שנבחרו (אם יש), בנקודות שבהן הנגזרת הראשונה לא קיימת (אם קיימת), וגם ב-x=a ו-x=b.
5. מתוך הערכים המתקבלים של הפונקציה, אנו בוחרים את הגדול והקטן ביותר - הם יהיו הערכים המקסימליים והקטנים ביותר של הפונקציה, בהתאמה.

בואו ננתח את האלגוריתם בעת פתרון דוגמה למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בקטע.

דוגמא.

מצא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה

• על הקטע;
• על המרווח [-4;-1] .

פִּתָרוֹן.

התחום של הפונקציה הוא כל קבוצת המספרים הממשיים, למעט אפס, כלומר . שני המקטעים נופלים בתחום ההגדרה.

אנו מוצאים את הנגזרת של הפונקציה ביחס ל:

ברור שהנגזרת של הפונקציה קיימת בכל הנקודות של הקטעים ו-[-4;-1] .

נקודות נייחות נקבעות מהמשוואה. השורש האמיתי היחיד הוא x=2 . נקודה נייחת זו נופלת לקטע הראשון.

במקרה הראשון, אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע ובנקודה נייחת, כלומר עבור x=1, x=2 ו-x=4:

לכן, הערך הגדול ביותר של הפונקציה מגיע ב-x=1 והערך הקטן ביותר – ב-x=2 .

במקרה השני, אנו מחשבים את ערכי הפונקציה רק ​​בקצות הקטע [-4;-1] (מכיוון שהוא אינו מכיל נקודה נייחת אחת):

בואו נראה כיצד לחקור פונקציה באמצעות גרף. מסתבר שבמבט בגרף אפשר לגלות כל מה שמעניין אותנו, כלומר:

• היקף פונקציה
• טווח פונקציות
• אפסים של הפונקציה
• תקופות של עלייה וירידה
• נקודות גבוהות ונמוכות
• הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה במרווח.

בואו נבהיר את הטרמינולוגיה:

אבשיסההיא הקואורדינטה האופקית של הנקודה.
להסמיך- קואורדינטה אנכית.
אבשיסה- הציר האופקי, הנקרא לרוב הציר.
ציר Y- ציר אנכי, או ציר.

טַעֲנָההוא משתנה בלתי תלוי בו תלויים ערכי הפונקציה. לרוב מצוין.
במילים אחרות, אנחנו בעצמנו בוחרים , מחליפים בנוסחת הפונקציה ומקבלים .

תְחוּםפונקציות - קבוצת הערכים הללו (ורק אלה) של הארגומנט שעבורו הפונקציה קיימת.
מסומן: או .

באיור שלנו, התחום של הפונקציה הוא קטע. על קטע זה מצויר הגרף של הפונקציה. רק כאן הפונקציה הזו קיימת.

טווח פונקציותהוא קבוצת הערכים שהמשתנה לוקח. באיור שלנו מדובר בקטע - מהערך הנמוך ביותר לגבוה ביותר.

אפסים פונקציה- נקודות שבהן ערך הפונקציה שווה לאפס, כלומר. באיור שלנו, אלו הנקודות ו.

ערכי הפונקציה חיובייםאיפה . באיור שלנו, אלו הם המרווחים ו.
ערכי הפונקציה הם שלילייםאיפה . יש לנו את המרווח (או המרווח) הזה מ-to.

המושגים החשובים ביותר - הגדלת והקטנת פונקציותעל סט כלשהו. כקבוצה, אתה יכול לקחת קטע, מרווח, איחוד של מרווחים או את כל שורת המספרים.

פוּנקצִיָה עולה

במילים אחרות, ככל שיותר , כך יותר , כלומר, הגרף הולך ימינה ולמעלה.

פוּנקצִיָה יורדעל הסט אם עבור כל ושייך לקבוצה אי השוויון מרמז על אי השוויון.

לפונקציה הולכת ופוחתת ערך גדול יותרמתאים לערך הנמוך יותר. הגרף הולך ימינה ומטה.

באיור שלנו, הפונקציה גדלה במרווח ויורדת במרווחים ו.

בוא נגדיר מה זה נקודות מקסימום ומינימום של הפונקציה.

נקודת מקסימום- זוהי נקודה פנימית של תחום ההגדרה, כזו שערך הפונקציה בה גדול יותר מאשר בכל הנקודות הקרובות אליה מספיק.
במילים אחרות, נקודת המקסימום היא נקודה כזו, הערך של הפונקציה שבה יותרמאשר בשכנות. זוהי "גבעה" מקומית בתרשים.

באיור שלנו - נקודת המקסימום.

נקודת שפל- נקודה פנימית של תחום ההגדרה, כזו שערך הפונקציה בה קטן מאשר בכל הנקודות הקרובות אליה מספיק.
כלומר, נקודת המינימום היא כזו שערך הפונקציה בה קטן מאשר בשכנות. בגרף, זהו "חור" מקומי.

באיור שלנו - נקודת המינימום.

הנקודה היא הגבול. היא אינה נקודה פנימית של תחום ההגדרה ולכן אינה מתאימה להגדרה של נקודת מקסימום. הרי אין לה שכנים משמאל. באותו אופן, לא יכולה להיות נקודת מינימום בתרשים שלנו.

נקודות המקסימום והמינימום נקראות ביחד נקודות קיצון של הפונקציה. במקרה שלנו, זה ו.

אבל מה אם אתה צריך למצוא, למשל, מינימום פונקציהעל החתך? במקרה זה, התשובה היא: כי מינימום פונקציההוא ערכו בנקודת המינימום.

באופן דומה, המקסימום של הפונקציה שלנו הוא . מגיעים אליו בנקודה.

אנו יכולים לומר שנקודות הקיצון של הפונקציה שוות ל- ו.

לפעמים במשימות אתה צריך למצוא הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציהעל קטע נתון. הם לא בהכרח חופפים לקיצוניות.

במקרה שלנו ערך הפונקציה הקטן ביותרעל המרווח שווה ועומד בקנה אחד עם המינימום של הפונקציה. אבל הערך הגדול ביותר שלו בפלח זה שווה ל. מגיעים אליו בקצה השמאלי של הקטע.

בכל מקרה, הערכים הגדולים והקטנים ביותר תפקוד רציףעל הקטע מגיעים בנקודות הקיצון או בקצות הקטע.

מהו קיצון של פונקציה ומהו התנאי ההכרחי לקיצון?

הקצה הקיצוני של פונקציה הוא המקסימום והמינימום של הפונקציה.

תנאי הכרחיהמקסימום והמינימום (הקיצוני) של הפונקציה הם כדלקמן: אם לפונקציה f (x) יש נקודת קיצון בנקודה x = a, אז בנקודה זו הנגזרת היא או אפס, או אינסופית, או שאינה קיימת.

תנאי זה הכרחי, אך אינו מספיק. הנגזרת בנקודה x = a יכולה להיעלם, להגיע לאינסוף או לא להתקיים מבלי שלפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה זו.

מהו התנאי המספיק לקיצוני הפונקציה (מקסימום או מינימום)?

תנאי ראשון:

אם, בסמיכות מספקת לנקודה x = a, הנגזרת f?(x) חיובית משמאל ל-a ושלילי מימין ל-a, אזי בנקודה x = a עצמה, יש לפונקציה f(x) מַקסִימוּם

אם, בסמיכות מספקת לנקודה x = a, הנגזרת f?(x) שלילית משמאל ל-a וחיובית מימין ל-a, אזי בנקודה x = a עצמה, יש לפונקציה f(x) מִינִימוּםבתנאי שהפונקציה f(x) רציפה כאן.

במקום זאת, אתה יכול להשתמש בתנאי המספיק השני עבור הקצה הקיצוני של הפונקציה:

תן בנקודה x = והנגזרת הראשונה f?(x) נעלמת; אם הנגזרת השנייה f??(а) שלילית, אז לפונקציה f(x) יש מקסימום בנקודה x = a, אם היא חיובית, אז מינימום.

מהי הנקודה הקריטית של פונקציה וכיצד למצוא אותה?

זהו הערך של ארגומנט הפונקציה שבו לפונקציה יש קיצון (כלומר מקסימום או מינימום). כדי למצוא אותו, אתה צריך למצוא את הנגזרתפונקציה f?(x) ו, משווה אותה לאפס, פתור את המשוואה f?(x) = 0. השורשים של משוואה זו, כמו גם אותן נקודות שבהן לא קיימת הנגזרת של פונקציה זו, הם נקודות קריטיות, כלומר, ערכי הארגומנט שבהם עשוי להיות נקודת קיצון . ניתן לזהות אותם בקלות על ידי התבוננות גרף נגזרת: אנו מתעניינים באותם ערכים של הארגומנט שבהם גרף הפונקציה חותך את ציר האבשיסה (ציר שוורי) ובאלה שבהם הגרף סובל מפריצות.

למשל, בואו נמצא קיצוני של הפרבולה.

הפונקציה y(x) = 3x2 + 2x - 50.

נגזרת פונקציה: y?(x) = 6x + 2

נפתור את המשוואה: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

במקרה זה, הנקודה הקריטית היא x0=-1/3. עבור הערך הזה של הארגומנט יש לפונקציה קיצוני. להשיג את זה למצוא, נחליף את המספר שנמצא בביטוי בפונקציה במקום "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

כיצד לקבוע את המקסימום והמינימום של פונקציה, כלומר. הערכים הגדולים והקטנים ביותר שלו?

אם הסימן של הנגזרת משתנה מ"פלוס" ל"מינוס" כאשר עוברים דרך הנקודה הקריטית x0, אז x0 הוא נקודת מקסימום; אם הסימן של הנגזרת משתנה ממינוס לפלוס, אז x0 הוא נקודת מינימום; אם הסימן לא משתנה, אז בנקודה x0 אין לא מקסימום ולא מינימום.

לדוגמא הנחשבת:

אנו לוקחים ערך שרירותי של הטיעון משמאל ל נקודה קריטית: x = -1

כאשר x = -1, הערך של הנגזרת יהיה y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (כלומר, סימן המינוס).

כעת ניקח ערך שרירותי של הארגומנט מימין לנקודה הקריטית: x = 1

עבור x = 1, הערך של הנגזרת יהיה y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (כלומר, סימן הפלוס).

כפי שאתה יכול לראות, כאשר עוברים דרך הנקודה הקריטית, הנגזרת שינתה סימן מינוס לפלוס. זה אומר שבערך הקריטי של x0 יש לנו נקודת מינימום.

הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה על המרווח(על הקטע) נמצאים באותו הליך, רק תוך התחשבות בעובדה שאולי לא כל הנקודות הקריטיות יהיו בתוך המרווח שצוין. נקודות קריטיות אלו שנמצאות מחוץ למרווח חייבות להיכלל בשיקול. אם יש רק נקודה קריטית אחת בתוך המרווח, יהיה לה מקסימום או מינימום. במקרה זה, כדי לקבוע את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה, אנו לוקחים בחשבון גם את ערכי הפונקציה בקצות המרווח.

לדוגמה, בואו נמצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0.5x

במרווחים:

אז הנגזרת של הפונקציה היא

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

נפתור את המשוואה 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

אנו מוצאים נקודות קריטיות במרווח [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (לא כלול במרווח)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (לא כלול במרווח)

אנו מוצאים את ערכי הפונקציה בערכים קריטיים של הארגומנט:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

ניתן לראות שבמרווח [-9; 9] לפונקציה יש את הערך הגדול ביותר ב-x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

והקטן ביותר - ב-x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398.

על המרווח [-6; -3] יש לנו רק נקודה קריטית אחת: x = -4.88. הערך של הפונקציה ב-x = -4.88 הוא y = 5.398.

נמצא את הערך של הפונקציה בקצות המרווח:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

על המרווח [-6; -3] יש לנו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה

y = 5.398 ב-x = -4.88

הערך הקטן ביותר הוא

y = 1.077 ב-x = -3

כיצד למצוא את נקודות הפיתול של גרף פונקציות ולקבוע את הצדדים של קמור וקעור?

כדי למצוא את כל נקודות הפיתול של הישר y \u003d f (x), עליך למצוא את הנגזרת השנייה, להשוות אותה לאפס (לפתור את המשוואה) ולבדוק את כל הערכים של x שעבורם הנגזרת השנייה היא אפס , אינסופי או לא קיים. אם, כאשר עוברים דרך אחד מהערכים הללו, הנגזרת השנייה משנה סימן, אז לגרף של הפונקציה יש הטיה בנקודה זו. אם זה לא משתנה, אז אין הטיה.

שורשי המשוואה f ? (x) = 0, כמו גם נקודות אפשריות של אי-רציפות של הפונקציה והנגזרת השנייה, מחלקים את תחום הפונקציה למספר מרווחים. הקמורות בכל אחד מהמרווחים שלהם נקבעת לפי הסימן של הנגזרת השנייה. אם הנגזרת השנייה בנקודה במרווח הנחקר היא חיובית, אז הישר y = f(x) קעור כאן כלפי מעלה, ואם הוא שלילי, אז כלפי מטה.

איך למצוא קצוות של פונקציה של שני משתנים?

כדי למצוא את הקיצוניות של הפונקציה f(x, y), הניתנת להבדלה באזור ההקצאה שלה, אתה צריך:

1) מצא את הנקודות הקריטיות, ולשם כך פתור את מערכת המשוואות

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) עבור כל נקודה קריטית P0(a;b), בדוק אם סימן ההפרש נשאר ללא שינוי

עבור כל הנקודות (x; y) קרוב מספיק ל-P0. אם ההפרש שומר על סימן חיובי, אז בנקודה P0 יש לנו מינימום, אם שלילי, אז מקסימום. אם ההבדל אינו שומר על הסימן שלו, אז אין קיצון בנקודה Р0.

באופן דומה, הקיצוניות של הפונקציה נקבעות עבור יותרטיעונים.

מה זה שרק לנצח אחרי?
קריקטורה: Shrek Forever After שנת יציאה: 2010 בכורה (רוסיה): 20 במאי 2010 מדינה: ארה"ב בימוי: מייקל פיצ'ל תסריט: ג'וש קלאוזנר, דארן למקה ז'אנר: קומדיה משפחתית, פנטזיה, הרפתקאות אתר רשמי: www.shrekforeverafter.com העלילה פֶּרֶד

האם אני יכול לתרום דם במהלך המחזור?
רופאים לא ממליצים לתרום דם בזמן הווסת, בגלל. איבוד דם, אם כי לא בכמות משמעותית, טומן בחובו ירידה ברמות ההמוגלובין והידרדרות ברווחתה של האישה. במהלך הליך תרומת הדם, מצב הרווחה יכול להחמיר עד לגילוי דימום. לכן, נשים צריכות להימנע מתרומת דם בזמן הווסת. וכבר ביום ה' לאחר שסיימו

כמה קק"ל / שעה צורכים בעת שטיפת רצפות
סוגים פעילות גופניתצריכת אנרגיה, קק"ל/שעה בישול 80 הלבשה 30 נהיגה 50 אבק 80 אכילה 30 גינון 135 גיהוץ 45 סידרת מיטה 130 קניות 80 עבודה בישיבה 75 חיתוך עצים 300 שטיפת רצפות 130 מין 100-150 ריקוד בעצימות נמוכה aerobic

מה פירוש המילה "נוכל"?
נוכל הוא גנב העוסק בגניבה קטנה, או אדם נוכל הנוטה לתחבולות הונאה. אישור להגדרה זו מצוי במילון האטימולוגי של קרילוב, לפיו המילה "נוכל" נוצרת מהמילה "נוכל" (גנב, נוכל), בדומה לפועל &la

מה שמו של הסיפור האחרון שפורסם על האחים סטרוגצקי
סיפור קצר מאת ארקדי ובוריס סטרוגצקי "בשאלת המחזוריות" פורסם לראשונה באפריל 2008 באלמנך המדע הבדיוני "צהריים. המאה ה-XXI" (תוספת לכתב העת "Vokrug sveta", שפורסם בעריכת בוריס סטרוגצקי) . הפרסום הוקדש ליום השנה ה-75 של בוריס סטרוגצקי.

היכן אני יכול לקרוא את הסיפורים של משתתפי התוכנית Work And Travel USA
עבודה ונסיעות ארה"ב (עבודה ונסיעות בארה"ב) היא תוכנית חילופי סטודנטים פופולרית שבה אתה יכול לבלות את הקיץ באמריקה, לעבוד באופן חוקי במגזר השירותים ולטייל. ההיסטוריה של תוכנית העבודה והנסיעות היא חלק מתוכנית ה-Cultural Exchange Pro של חילופי חילופים בין-ממשלתיים

אֹזֶן. התייחסות קולינרית והיסטורית במשך יותר ממאתיים וחצי שנים, המילה "אוקה" שימשה לציון מרקים או מרתח של דגים טריים. אבל הייתה תקופה שבה המילה הזו פורשה בצורה רחבה יותר. הם ציינו מרק - לא רק דגים, אלא גם בשר, אפונה ואפילו מתוק. אז במסמך ההיסטורי - "

פורטלי מידע וגיוס Superjob.ru - פורטל הגיוס Superjob.ru פועל בשוק הגיוס המקוון הרוסי מאז שנת 2000 והוא מוביל בין משאבים המציעים חיפוש עבודה וכוח אדם. יותר מ-80,000 קורות חיים של מומחים ויותר מ-10,000 משרות פנויות מתווספות למאגר האתר מדי יום.

מהי מוטיבציה
הגדרת מוטיבציה מוטיבציה (מ-lat. moveo - אני זז) - דחף לפעולה; תהליך דינמי של תוכנית פיזיולוגית ופסיכולוגית השולטת בהתנהגות האנושית, קובעת את כיוונה, הארגון, פעילותה ויציבותה; יכולתו של האדם לספק את צרכיו באמצעות עבודה. מוטיבאק

מי זה בוב דילן
בוב דילן (אנגלית בוב דילן, שם אמיתי - רוברט אלן צימרמן אינג' רוברט אלן צימרמן; נולד ב-24 במאי 1941) הוא כותב שירים אמריקאי אשר - על פי סקר של מגזין רולינג סטון - הוא השני (

כיצד להעביר צמחים מקורה
לאחר רכישת צמחים מקורה, הגנן עומד בפני המשימה כיצד לספק את הפרחים האקזוטיים שנרכשו ללא פגע. הכרת הכללים הבסיסיים לאריזה והובלת צמחים מקורה תעזור לפתור בעיה זו. יש לארוז צמחים כדי שיועברו או יעברו. לא משנה כמה קצר המרחק נישאים הצמחים, הם עלולים להינזק, הם יכולים להתייבש, ובחורף.