תהליך מציאת הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה על קטע מזכיר טיסה מרתקת סביב אובייקט (גרף של פונקציה) במסוק תוך ירי מתותח ארוך טווח בנקודות מסוימות ובחירה מתוך נקודות אלה נקודות מאוד מיוחדות עבור יריות שליטה. הנקודות נבחרות בצורה מסוימת ולפי חוקים מסוימים. לפי אילו כללים? עוד נדבר על זה.

אם הפונקציה y = ו(איקס) רציף על הקטע [ א, ב] , ואז הוא מגיע לקטע הזה הכי פחות ו הערכים הגבוהים ביותר . זה יכול לקרות גם ב נקודות קיצוןאו בסוף הקטע. לכן, למצוא הכי פחות ו הערכים הגדולים ביותר של הפונקציה , מתמשך במרווח [ א, ב] , עליך לחשב את הערכים שלו בסך הכל נקודות קריטיותובקצה הקטע, ולאחר מכן בחר את הקטן והגדול שבהם.

נניח, למשל, נדרש להגדיר הערך הגבוה ביותרפונקציות ו(איקס) על הקטע [ א, ב] . כדי לעשות זאת, אתה צריך למצוא הכל נקודות קריטיותשוכב על [ א, ב] .

נקודה קריטית נקרא הנקודה שבה פונקציה מוגדרת, והיא נגזרהוא אפס או לא קיים. לאחר מכן עליך לחשב את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות. ולבסוף, יש להשוות את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות ובקצות הקטע ( ו(א) ו ו(ב) ). הגדול מבין המספרים הללו יהיה הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע [א, ב] .

הבעיה למצוא הערכים הקטנים ביותר של הפונקציה .

אנו מחפשים את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של הפונקציה ביחד

דוגמה 1. מצא את הערכים הקטן והגדול ביותר של פונקציה על הקטע [-1, 2] .

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו. השוו את הנגזרת לאפס () וקבלו שתי נקודות קריטיות: ו. כדי למצוא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה בקטע נתון, מספיק לחשב את ערכיה בקצות הקטע ובנקודה , מכיוון שהנקודה אינה שייכת לקטע [-1, 2] . ערכי פונקציות אלה הם הבאים: , , . מכאן נובע הערך הקטן ביותרפונקציות(מסומן באדום בגרף למטה), שווה ל-7, מגיעים בקצה הימני של הקטע - בנקודה , ו הגדול ביותר(גם אדום בגרף), שווה ל-9, - בנקודה הקריטית .

אם הפונקציה רציפה במרווח מסוים והמרווח הזה אינו קטע (אלא הוא, למשל, מרווח; ההבדל בין מרווח לקטע: נקודות הגבול של המרווח אינן נכללות במרווח, אלא נקודות הגבול של הקטע כלולות בקטע), אז בין ערכי הפונקציה ייתכן שלא יהיו הקטן והגדול ביותר. כך, למשל, הפונקציה המתוארת באיור למטה היא רציפה על ]-∞, +∞[ ואין לה את הערך הגדול ביותר.

עם זאת, עבור כל מרווח (סגור, פתוח או אינסופי), התכונה הבאה של פונקציות רציפות מתקיימת.

דוגמה 4. מצא את הערכים הקטן והגדול ביותר של פונקציה על הקטע [-1, 3] .

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו כנגזרת של המנה:

.

אנו משווים את הנגזרת לאפס, מה שנותן לנו נקודה קריטית אחת: . זה שייך למרווח [-1, 3] . כדי למצוא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה בקטע נתון, אנו מוצאים את ערכיה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית שנמצאה:

בואו נשווה את הערכים הללו. מסקנה: שווה ל-5/13, בנקודה ו הערך הגדול ביותרשווה ל-1 בנקודה.

אנו ממשיכים לחפש את הערכים הקטן והגדול ביותר של הפונקציה ביחד

יש מורים שבנושא מציאת הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה, לא נותנים לתלמידים לפתור דוגמאות מסובכות יותר מאלה שנחשבו כרגע, כלומר כאלו שבהן הפונקציה היא פולינום או שבר, המונה והמכנה שבהם הם פולינומים. אבל לא נגביל את עצמנו לדוגמאות כאלה, שכן בקרב המורים יש אוהבי לגרום לתלמידים לחשוב במלואם (טבלת נגזרות). לכן, הלוגריתם והפונקציה הטריגונומטרית ישמשו.

דוגמה 6. מצא את הערכים הקטן והגדול ביותר של פונקציה על הקטע .

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו כ נגזרת של המוצר :

אנו משווים את הנגזרת לאפס, מה שנותן נקודה קריטית אחת: . זה שייך לפלח. כדי למצוא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה בקטע נתון, אנו מוצאים את ערכיה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית שנמצאה:

התוצאה של כל הפעולות: הפונקציה מגיעה לערך המינימלי שלה, שווה ל-0, בנקודה ובנקודה ו הערך הגדול ביותרשווה ל ה², בנקודה.

דוגמה 7. מצא את הערכים הקטן והגדול ביותר של פונקציה על הקטע .

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו:

השווה את הנגזרת לאפס:

הנקודה הקריטית היחידה שייכת לקטע. כדי למצוא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה בקטע נתון, אנו מוצאים את ערכיה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית שנמצאה:

סיכום: הפונקציה מגיעה לערך המינימלי שלה, שווה ל , בנקודה ו הערך הגדול ביותר, שווה ל , בנקודה .

בבעיות קיצוניות יישומיות, מציאת הערכים הקטנים (הגדולים ביותר) של פונקציה, ככלל, מסתכמת במציאת המינימום (המקסימום). אבל לא המינימום או המקסימום עצמם הם בעלי עניין מעשי גדול יותר, אלא ערכי הטיעון שבו הם מושגים. בעת פתרון בעיות יישומיות, מתעורר קושי נוסף - הידור של פונקציות המתארות את התופעה או התהליך הנבדקים.

דוגמה 8מיכל בנפח 4, בעל צורת מקבילית עם בסיס מרובע ופתוח בחלקו העליון, חייב להיות מפח. מה צריך להיות מידות המיכל על מנת לכסות אותו בכמות הכי קטנה של חומר?

פִּתָרוֹן. לתת איקס- צד הבסיס ח- גובה הטנק, ס- שטח הפנים שלו ללא כיסוי, V- הנפח שלו. שטח הפנים של המיכל מבוטא בנוסחה, כלומר. היא פונקציה של שני משתנים. להביע סכפונקציה של משתנה אחד, אנו משתמשים בעובדה שממנו . החלפת הביטוי המצוי חלתוך הנוסחה עבור ס:

הבה נבחן פונקציה זו עבור קיצון. הוא מוגדר וניתן להבדיל בכל מקום ב-]0, +∞[, ו

.

נשווה את הנגזרת לאפס () ונמצא את הנקודה הקריטית. בנוסף, ב-, הנגזרת אינה קיימת, אך ערך זה אינו נכלל בתחום ההגדרה ולכן אינו יכול להיות נקודת קיצון. אז, - הנקודה הקריטית היחידה. בואו נבדוק את נוכחותו של קיצון באמצעות הסימן השני מספיק. בואו נמצא את הנגזרת השנייה. כאשר הנגזרת השנייה גדולה מאפס (). זה אומר שכאשר הפונקציה מגיעה למינימום . בגלל זה מינימום - הקצה היחיד של פונקציה זו, זה הערך הקטן ביותר שלה. אז, הצד של בסיס הטנק צריך להיות שווה ל -2 מ', וגובהו.

דוגמה 9מתוך פסקה א, הממוקם על קו הרכבת, לנקודה עם, במרחק ממנו ל, יש להעביר סחורה. עלות הובלת יחידת משקל ליחידת מרחק ברכבת שווה ל , ולפי כביש מהיר היא שווה ל . לאיזה נקודה Mשורות מסילת רכבתצריך לבנות כביש מהיר כך שהובלת סחורות מ א V עםהיה החסכוני ביותר א.במניחים שהרכבת ישרה)?

לעתים קרובות בפיזיקה ובמתמטיקה נדרש למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה. כיצד לעשות זאת, נספר כעת.

כיצד למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה: הוראה

1. כדי לחשב את הערך הקטן ביותר תפקוד רציףבקטע נתון, עליך לבצע את האלגוריתם הבא:
2. מצא את הנגזרת של פונקציה.
3. מצא על קטע נתון את הנקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס, וכן את כל הנקודות הקריטיות. לאחר מכן גלה את ערכי הפונקציה בנקודות אלה, כלומר, פתור את המשוואה שבה x שווה לאפס. גלה איזה מהערכים הוא הקטן ביותר.
4. גלה איזה ערך יש לפונקציה בנקודות הקצה. קבע את הערך הקטן ביותר של הפונקציה בנקודות אלה.
5. השווה את הנתונים שהתקבלו עם הערך הקטן ביותר. הקטן מבין המספרים המתקבלים יהיה הערך הקטן ביותר של הפונקציה.

שימו לב שאם לפונקציה בקטע אין הנקודות הקטנות ביותר, מה שאומר שבקטע זה הוא עולה או יורד. לכן, יש לחשב את הערך הקטן ביותר על המקטעים הסופיים של הפונקציה.

בכל שאר המקרים, ערך הפונקציה מחושב לפי האלגוריתם הנתון. בכל שלב באלגוריתם, תצטרך לפתור פתרון פשוט משוואה לינאריתעם שורש אחד. פתרו את המשוואה באמצעות הציור כדי למנוע טעויות.

כיצד למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה בקטע חצי פתוח? בתקופה פתוחה למחצה או פתוחה של הפונקציה, יש למצוא את הערך הקטן ביותר כדלקמן. בנקודות הקצה של ערך הפונקציה, חשב את הגבול החד-צדדי של הפונקציה. במילים אחרות, פתרו משוואה שבה נקודות הנטייה ניתנות בערך a+0 ו-b+0, כאשר a ו-b הם שמות הנקודות הקריטיות.

עכשיו אתה יודע איך למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה. העיקר לעשות את כל החישובים בצורה נכונה, מדויקת וללא שגיאות.

במאמר זה אדבר על אלגוריתם למציאת הערך הגדול והקטן ביותרפונקציה, נקודות מינימום ומקסימום.

מתיאוריה, בהחלט נצטרך טבלת נגזרותו כללי בידול. הכל בלוח הזה:

אלגוריתם למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר.

נראה לי יותר קל להסביר דוגמה ספציפית. לשקול:

דוגמא:מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה y=x^5+20x^3–65x בקטע [–4;0].

שלב 1.אנחנו לוקחים את הנגזרת.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

שלב 2מציאת נקודות קיצון.

נקודת קיצוןאנו שמות נקודות כאלה שבהן הפונקציה מגיעה לערך המקסימלי או המינימלי שלה.

כדי למצוא את נקודות הקיצון, יש צורך להשוות את הנגזרת של הפונקציה לאפס (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

כעת אנו פותרים את המשוואה הבי-ריבועית הזו והשורשים שנמצאו הם נקודות הקיצון שלנו.

אני פותר משוואות כאלה על ידי החלפת t = x^2, ואז 5t^2 + 60t - 65 = 0.

הקטינו את המשוואה ב-5, נקבל: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

אנו מבצעים את ההחלפה ההפוכה x^2 = t:

X_(1 ו-2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ו-4) = ±sqrt(-13) (אנחנו לא כוללים, מתחת לשורש לא יכול להיות מספרים שליליים(אלא אם כן, כמובן, אנחנו מדברים על מספרים מרוכבים)

סך הכל: x_(1) = 1 ו-x_(2) = -1 - אלו נקודות הקיצון שלנו.

שלב 3קבע את הערך הגדול והקטן ביותר.

שיטת החלפה.

בתנאי קיבלנו את הקטע [b][–4;0]. הנקודה x=1 אינה כלולה בקטע זה. אז אנחנו לא מתחשבים בזה. אבל בנוסף לנקודה x=-1, עלינו לשקול גם את השמאלי ואת גבול ימיןשל הקטע שלנו, כלומר נקודות -4 ו-0. לשם כך, נחליף את כל שלוש הנקודות הללו בפונקציה המקורית. שימו לב שהמקורי הוא זה שניתן בתנאי (y=x^5+20x^3–65x), חלקם מתחילים להחליף לנגזרת...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

זה אומר שהערך המקסימלי של הפונקציה הוא [b]44 ומגיעים אליו בנקודות [b]-1, הנקראת נקודת המקסימום של הפונקציה על הקטע [-4; 0].

החלטנו וקיבלנו תשובה, אנחנו מעולים, אפשר להירגע. אבל תפסיק! אתה לא חושב שספירת y(-4) היא איכשהו מסובכת מדי? בתנאים של זמן מוגבל, עדיף להשתמש בשיטה אחרת, אני קורא לזה כך:

דרך מרווחים של קביעות.

הפערים הללו נמצאים עבור הנגזרת של הפונקציה, כלומר, עבור המשוואה הבי-ריבועית שלנו.

אני עושה את זה בדרך הבאה. אני משרטט קו כיוון. קבעתי את הנקודות: -4, -1, 0, 1. למרות העובדה ש-1 אינו כלול בקטע הנתון, עדיין יש לציין זאת כדי לקבוע נכון את מרווחי הקביעות. בואו ניקח מספר גדול פי כמה מ-1, נניח 100, נחליף אותו נפשית במשוואה הבי-ריבועית שלנו 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. אפילו בלי לספור כלום, ברור שבנקודה 100 לפונקציה יש סימן פלוס. זה אומר שבמרווחים מ-1 עד 100 יש לו סימן פלוס. במעבר דרך 1 (נעבור מימין לשמאל), הפונקציה תשנה סימן למינוס. במעבר דרך הנקודה 0, הפונקציה תשמור על הסימן שלה, שכן זהו רק גבול הקטע, ולא שורש המשוואה. כאשר עוברים דרך -1, הפונקציה תשנה שוב את הסימן לפלוס.

מתוך תיאוריה, אנו יודעים שהיכן נמצאת הנגזרת של הפונקציה (וציירנו זאת עבורה) משנה סימן מפלוס למינוס (נקודה -1 במקרה שלנו)הפונקציה מגיעה המקסימום המקומי שלו (y(-1)=44 כפי שחושב קודם לכן)על קטע זה (זה ברור מאוד מבחינה לוגית, הפונקציה הפסיקה לגדול, מאז שהיא הגיעה למקסימום והחלה לרדת).

בהתאם לכך, היכן הנגזרת של הפונקציה משנה סימן ממינוס לפלוס, הושג מינימום מקומי של פונקציה. כן, כן, מצאנו גם את נקודת המינימום המקומית, שהיא 1, ו-y(1) הוא הערך המינימלי של הפונקציה במרווח, נניח מ-1 עד +∞. שימו לב שזהו רק MINIMUM LOCAL, כלומר מינימום על קטע מסוים. מכיוון שפונקציית המינימום בפועל (גלובלית) תגיע למקום כלשהו שם, ב-∞.

לדעתי השיטה הראשונה פשוטה יותר מבחינה תיאורטית, והשנייה פשוטה יותר מבחינת פעולות אריתמטיות, אבל הרבה יותר קשה מבחינה תיאורטית. אכן, לפעמים יש מקרים שבהם הפונקציה לא משנה סימן במעבר דרך שורש המשוואה, ואכן אתה יכול להתבלבל עם המקסימום והמינימות המקומיות והגלובליות הללו, אם כי בכל מקרה תצטרך לשלוט בה היטב אם אתה מתכנן להיכנס לאוניברסיטה טכנית (ולמה עוד לגשת לבחינת הפרופיל ולפתור את המשימה הזו). אבל תרגול ורק תרגול ילמד אותך איך לפתור בעיות כאלה אחת ולתמיד. ואתה יכול להתאמן באתר שלנו. כאן .

אם יש לך שאלות, או שמשהו לא ברור, הקפד לשאול. אשמח לענות לכם, ולערוך שינויים, תוספות בכתבה. זכרו שאנחנו יוצרים את האתר הזה ביחד!

בואו נראה כיצד לחקור פונקציה באמצעות גרף. מסתבר שבמבט בגרף אפשר לגלות כל מה שמעניין אותנו, כלומר:

• היקף פונקציה
• טווח פונקציות
• אפסים של הפונקציה
• תקופות של עלייה וירידה
• נקודות גבוהות ונמוכות
• הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה בקטע.

בואו נבהיר את הטרמינולוגיה:

אבשיסההיא הקואורדינטה האופקית של הנקודה.
להסמיך- קואורדינטה אנכית.
אבשיסה- הציר האופקי, הנקרא לרוב הציר.
ציר Y- ציר אנכי, או ציר.

טַעֲנָההוא משתנה בלתי תלוי בו תלויים ערכי הפונקציה. לרוב מצוין.
במילים אחרות, אנחנו בעצמנו בוחרים , מחליפים בנוסחת הפונקציה ומקבלים .

תְחוּםפונקציות - קבוצת הערכים הללו (ורק אלה) של הארגומנט שעבורו הפונקציה קיימת.
מסומן: או .

באיור שלנו, התחום של הפונקציה הוא קטע. על קטע זה מצויר הגרף של הפונקציה. רק כאן הפונקציה הזו קיימת.

טווח פונקציותהוא קבוצת הערכים שהמשתנה לוקח. באיור שלנו מדובר בקטע - מהערך הנמוך ביותר לגבוה ביותר.

אפסים פונקציה- נקודות שבהן ערך הפונקציה שווה לאפס, כלומר. באיור שלנו, אלו הנקודות ו.

ערכי הפונקציה חיובייםאיפה . באיור שלנו, אלו הם המרווחים ו.
ערכי הפונקציה הם שלילייםאיפה . יש לנו את המרווח (או המרווח) הזה מ-to.

המושגים החשובים ביותר - הגדלת והקטנת פונקציותעל סט כלשהו. כקבוצה, אתה יכול לקחת קטע, מרווח, איחוד של מרווחים או את כל שורת המספרים.

פוּנקצִיָה עולה

במילים אחרות, ככל שיותר , כך יותר , כלומר, הגרף הולך ימינה ולמעלה.

פוּנקצִיָה יורדעל הסט אם עבור כל ושייך לקבוצה אי השוויון מרמז על אי השוויון.

לתפקוד פוחת ערך גדול יותרמתאים לערך הנמוך יותר. הגרף הולך ימינה ומטה.

באיור שלנו, הפונקציה גדלה במרווח ויורדת במרווחים ו.

בוא נגדיר מה זה נקודות מקסימום ומינימום של הפונקציה.

נקודת מקסימום- זוהי נקודה פנימית של תחום ההגדרה, כזו שערך הפונקציה בה גדול יותר מאשר בכל הנקודות הקרובות אליה מספיק.
במילים אחרות, נקודת המקסימום היא נקודה כזו, הערך של הפונקציה שבה יותרמאשר בשכנות. זוהי "גבעה" מקומית בתרשים.

באיור שלנו - נקודת המקסימום.

נקודת שפל- נקודה פנימית של תחום ההגדרה, כזו שערך הפונקציה בה קטן מאשר בכל הנקודות הקרובות אליה מספיק.
כלומר, נקודת המינימום היא כזו שערך הפונקציה בה קטן מאשר בשכנות. בגרף, זהו "חור" מקומי.

באיור שלנו - נקודת המינימום.

הנקודה היא הגבול. היא אינה נקודה פנימית של תחום ההגדרה ולכן אינה מתאימה להגדרה של נקודת מקסימום. הרי אין לה שכנים משמאל. באותו אופן, לא יכולה להיות נקודת מינימום בתרשים שלנו.

נקודות המקסימום והמינימום נקראות ביחד נקודות קיצון של הפונקציה. במקרה שלנו, זה ו.

אבל מה אם אתה צריך למצוא, למשל, מינימום פונקציהעל החתך? במקרה זה, התשובה היא: כי מינימום פונקציההוא ערכו בנקודת המינימום.

באופן דומה, המקסימום של הפונקציה שלנו הוא . מגיעים אליו בנקודה.

אנו יכולים לומר שנקודות הקיצון של הפונקציה שוות ל- ו.

לפעמים במשימות אתה צריך למצוא הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציהעל קטע נתון. הם לא בהכרח חופפים לקיצוניות.

במקרה שלנו ערך הפונקציה הקטן ביותרעל המרווח שווה ועומד בקנה אחד עם המינימום של הפונקציה. אבל הערך הגדול ביותר שלו בפלח זה שווה ל. מגיעים אליו בקצה השמאלי של הקטע.

בכל מקרה, הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה רציפה בקטע מושגים בנקודות הקיצון או בקצות הקטע.

עם שירות זה, אתה יכול למצוא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציהמשתנה אחד f(x) עם עיצוב הפתרון ב-Word. אם ניתנת הפונקציה f(x,y), לכן, יש צורך למצוא את הקיצון של הפונקציה של שני משתנים. אתה יכול גם למצוא את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה.

מצא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה

y=

על הקטע [ ;]

כלול תיאוריה

כללי הזנת פונקציה:

תנאי הכרחי לקיצון של פונקציה של משתנה אחד

המשוואה f" 0 (x *) = 0 היא תנאי הכרחיקיצון של פונקציה של משתנה אחד, כלומר. בנקודה x * הנגזרת הראשונה של הפונקציה חייבת להיעלם. הוא בוחר נקודות נייחות x c שבהן הפונקציה אינה עולה או יורדת.

תנאי מספיק לקיצון של פונקציה של משתנה אחד

תן f 0 (x) להיות מובחן פעמיים ביחס ל-x השייך לקבוצה D . אם בנקודה x * מתקיים התנאי:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

אז הנקודה x * היא הנקודה של המינימום המקומי (גלובלי) של הפונקציה.

אם בנקודה x * מתקיים התנאי:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

הנקודה x * היא מקסימום מקומי (גלובלי).

דוגמה מס' 1. מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה: בקטע .
פִּתָרוֹן.

הנקודה הקריטית היא אחד x 1 = 2 (f'(x)=0). נקודה זו שייכת לקטע. (הנקודה x=0 אינה קריטית, שכן 0∉).
אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
תשובה: f min = 5 / 2 עבור x=2; f max =9 ב-x=1

דוגמה מס' 2. בעזרת נגזרות מסדר גבוה, מצא את הקיצון של הפונקציה y=x-2sin(x) .
פִּתָרוֹן.
מצא את הנגזרת של הפונקציה: y'=1-2cos(x) . הבה נמצא את הנקודות הקריטיות: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. נמצא y''=2sin(x), חשב , אז x= π / 3 +2πk, k∈Z הן נקודות המינימום של הפונקציה; , אז x=- π / 3 +2πk, k∈Z הן הנקודות המקסימליות של הפונקציה.

דוגמה מס' 3. חקור את פונקציית הקיצון בשכנות לנקודה x=0.
פִּתָרוֹן. כאן יש צורך למצוא את הקיצוניות של הפונקציה. אם הקיצון x=0 , גלה את סוגו (מינימום או מקסימום). אם בין הנקודות שנמצאו אין x = 0, חשב את הערך של הפונקציה f(x=0).
יש לציין שכאשר הנגזרת בכל צד של נקודה נתונה אינה משנה את הסימן שלה, המצבים האפשריים אינם מוצים אפילו עבור פונקציות הניתנות להבדלה: יכול לקרות שלשכונה קטנה באופן שרירותי בצד אחד של הנקודה x 0 או משני הצדדים, הנגזרת משנה סימן. בנקודות אלה, יש ליישם שיטות אחרות כדי ללמוד פונקציות עד קיצון.