עם שירות זה, אתה יכול למצוא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציהמשתנה אחד f(x) עם עיצוב הפתרון ב-Word. אם ניתנת הפונקציה f(x,y), לכן, יש צורך למצוא את הקיצון של הפונקציה של שני משתנים. אתה יכול גם למצוא את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה.

מצא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה

y=

על הקטע [ ;]

כלול תיאוריה

כללי הזנת פונקציה:

תנאי הכרחי לקיצון של פונקציה של משתנה אחד

המשוואה f" 0 (x *) = 0 היא תנאי הכרחיקיצון של פונקציה של משתנה אחד, כלומר. בנקודה x * הנגזרת הראשונה של הפונקציה חייבת להיעלם. הוא בוחר נקודות נייחות x c שבהן הפונקציה אינה עולה או יורדת.

תנאי מספיק לקיצון של פונקציה של משתנה אחד

תן f 0 (x) להיות מובחן פעמיים ביחס ל-x השייך לקבוצה D . אם בנקודה x * מתקיים התנאי:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

אז הנקודה x * היא הנקודה של המינימום המקומי (גלובלי) של הפונקציה.

אם בנקודה x * מתקיים התנאי:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

הנקודה x * היא מקסימום מקומי (גלובלי).

דוגמה מס' 1. מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה: בקטע .
פִּתָרוֹן.

הנקודה הקריטית היא אחד x 1 = 2 (f'(x)=0). נקודה זו שייכת לקטע. (הנקודה x=0 אינה קריטית, שכן 0∉).
אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
תשובה: f min = 5 / 2 עבור x=2; f max =9 ב-x=1

דוגמה מס' 2. בעזרת נגזרות מסדר גבוה, מצא את הקיצון של הפונקציה y=x-2sin(x) .
פִּתָרוֹן.
מצא את הנגזרת של הפונקציה: y'=1-2cos(x) . הבה נמצא את הנקודות הקריטיות: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. נמצא y''=2sin(x), חשב , אז x= π / 3 +2πk, k∈Z הן נקודות המינימום של הפונקציה; , אז x=- π / 3 +2πk, k∈Z הן הנקודות המקסימליות של הפונקציה.

דוגמה מס' 3. חקור את פונקציית הקיצון בשכנות לנקודה x=0.
פִּתָרוֹן. כאן יש צורך למצוא את הקיצוניות של הפונקציה. אם הקיצון x=0 , גלה את סוגו (מינימום או מקסימום). אם בין הנקודות שנמצאו אין x = 0, חשב את הערך של הפונקציה f(x=0).
יש לציין שכאשר הנגזרת בכל צד של נקודה נתונה אינה משנה את הסימן שלה, המצבים האפשריים אינם מוצים אפילו עבור פונקציות הניתנות להבדלה: יכול לקרות שלשכונה קטנה באופן שרירותי בצד אחד של הנקודה x 0 או משני הצדדים, הנגזרת משנה סימן. בנקודות אלה, יש ליישם שיטות אחרות כדי ללמוד פונקציות עד קיצון.

האלגוריתם הסטנדרטי לפתרון משימות כאלה כולל, לאחר מציאת האפסים של הפונקציה, קביעת סימני הנגזרת במרווחים. לאחר מכן חישוב הערכים בנקודות המצוי של המקסימום (או המינימום) ובגבול המרווח, תלוי באיזו שאלה נמצאת בתנאי.

אני ממליץ לך לעשות דברים קצת אחרת. למה? כתב על זה.

אני מציע לפתור משימות כאלה כדלקמן:

1. מצא את הנגזרת.
2. מצא את האפסים של הנגזרת.
3. קבע מי מהם שייך למרווח הנתון.
4. אנו מחשבים את ערכי הפונקציה על גבולות המרווח והנקודות של פריט 3.
5. אנו מסיקים מסקנה (אנו עונים על השאלה שנשאלה).

במהלך פתרון הדוגמאות שהוצגו, הפתרון לא נשקל בפירוט. משוואות ריבועיות, אתה אמור להיות מסוגל לעשות זאת. הם גם צריכים לדעת.

שקול דוגמאות:

77422. מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה y=x 3 –3x+4 על הקטע [–2;0].

בוא נמצא את האפסים של הנגזרת:

הנקודה x = –1 שייכת למרווח שצוין בתנאי.

אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות –2, –1 ו-0:

הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 6.

תשובה: 6

77425. מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 בקטע.

מצא את הנגזרת של הפונקציה הנתונה:

בוא נמצא את האפסים של הנגזרת:

הנקודה x = 2 שייכת למרווח המצוין בתנאי.

אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות 1, 2 ו-4:

הערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא -2.

תשובה: -2

77426. מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה y \u003d x 3 - 6x 2 בקטע [-3; 3].

מצא את הנגזרת של הפונקציה הנתונה:

בוא נמצא את האפסים של הנגזרת:

הנקודה x = 0 שייכת למרווח שצוין בתנאי.

אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות -3, 0 ו-3:

הערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא 0.

תשובה: 0

77429. מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 בקטע.

מצא את הנגזרת של הפונקציה הנתונה:

3x 2 - 4x + 1 = 0

אנו מקבלים את השורשים: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

רק x = 1 שייך למרווח שצוין בתנאי.

מצא את ערכי הפונקציה בנקודות 1 ו-4:

מצאנו שהערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא 3.

תשובה: 3

77430. מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 בקטע [- 4; -1].

מצא את הנגזרת של הפונקציה הנתונה:

מצא את האפסים של הנגזרת, פתור את המשוואה הריבועית:

3x 2 + 4x + 1 = 0

בואו ניקח את השורשים:

השורש х = –1 שייך למרווח שצוין בתנאי.

מצא את ערכי הפונקציה בנקודות –4, –1, –1/3 ו-1:

מצאנו שהערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 3.

תשובה: 3

77433. מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 בקטע.

מצא את הנגזרת של הפונקציה הנתונה:

מצא את האפסים של הנגזרת, פתור את המשוואה הריבועית:

3x 2 - 2x - 40 = 0

בואו ניקח את השורשים:

השורש x = 4 שייך למרווח שצוין בתנאי.

אנו מוצאים את ערכי הפונקציה בנקודות 0 ו-4:

מצאנו שהערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא -109.

תשובה: -109

שקול שיטה לקביעת הגדול ביותר ו הערך הקטן ביותרמתפקד ללא נגזרת. ניתן להשתמש בגישה זו אם עם ההגדרה של הנגזרת יש לך בעיות גדולות. העיקרון פשוט - אנו מחליפים את כל ערכי המספרים השלמים מהמרווח לתוך הפונקציה (העובדה היא שבכל אבות טיפוס כאלה התשובה היא מספר שלם).

77437. מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה y \u003d 7 + 12x - x 3 בקטע [-2; 2].

אנו מחליפים נקודות מ-2 ל-2: צפה בפתרון

77434. מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 בקטע [-2; 0].

זה הכל. בהצלחה לך!

בברכה, אלכסנדר קרוטיסקיך.

נ.ב: אודה לך אם תספר על האתר ברשתות החברתיות.

כיצד למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בקטע?

לזה אנו פועלים לפי האלגוריתם הידוע:

1 . אנו מוצאים פונקציות ODZ.

2 . מציאת הנגזרת של פונקציה

3 . השוו את הנגזרת לאפס

4 . אנו מוצאים את המרווחים שבהם הנגזרת שומרת על הסימן, ומתוכם אנו קובעים את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה:

אם על המרווח I הנגזרת של הפונקציה 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} עולה במרווח זה.

אם על המרווח I הנגזרת של הפונקציה , אז הפונקציה פוחת במרווח זה.

5 . אנחנו מוצאים נקודות מקסימום ומינימום של הפונקציה.

IN הפונקציה נקודת המקסימום, הנגזרת משנה את הסימן מ-"+" ל-"-".

IN נקודת מינימום של הפונקציההנגזרת משנה את הסימן מ-"-" ל-"+".

6 . אנו מוצאים את הערך של הפונקציה בקצות הקטע,

• לאחר מכן נשווה את הערך של הפונקציה בקצות הקטע ובנקודות המקסימום, ו בחר את הגדול שבהם אם אתה צריך למצוא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה
• או שאנו משווים את ערך הפונקציה בקצות הקטע ובנקודות המינימום, ו בחר את הקטן שבהם אם אתה צריך למצוא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה

עם זאת, בהתאם לאופן שבו הפונקציה מתנהגת במרווח, אלגוריתם זה יכול להיות מופחת באופן משמעותי.

שקול את הפונקציה . הגרף של פונקציה זו נראה כך:

הבה נבחן מספר דוגמאות לפתרון בעיות מבנק המשימות הפתוח עבור

1 . משימה B15 (#26695)

על החתך.

1. הפונקציה מוגדרת עבור כל הערכים האמיתיים של x

ברור שלמשוואה זו אין פתרונות, והנגזרת חיובית עבור כל הערכים של x. לכן, הפונקציה גדלה ומקבלת את הערך הגדול ביותר בקצה הימני של המרווח, כלומר ב-x=0.

תשובה: 5.

2 . משימה B15 (מס' 26702)

מצא את הערך הגדול ביותר של פונקציה על הקטע.

פונקציית 1.ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

הנגזרת היא אפס ב-, עם זאת, בנקודות אלה היא לא משנה סימן:

לכן, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} גדל ולוקח את הערך הגדול ביותר בקצה הימני של המרווח, ב-.

כדי להבהיר מדוע הנגזרת אינה משנה סימן, אנו הופכים את הביטוי לנגזרת באופן הבא:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

תשובה: 5.

3 . משימה B15 (#26708)

מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה במרווח.

1. פונקציות ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

הבה נמקם את השורשים של המשוואה הזו על מעגל טריגונומטרי.

המרווח מכיל שני מספרים: ו

בואו נשים את השלטים. לשם כך, אנו קובעים את הסימן של הנגזרת בנקודה x=0: . כאשר עוברים דרך הנקודות והנגזרת משנה סימן.

נתאר את שינוי הסימנים של הנגזרת של הפונקציה על קו הקואורדינטות:

ברור שהנקודה היא נקודת מינימום (בה הנגזרת משנה סימן מ-"-" ל-"+"), וכדי למצוא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה במרווח, צריך להשוות את ערכי הפונקציה בנקודת המינימום ובקצה השמאלי של הקטע,.

במאמר זה אדבר על אלגוריתם למציאת הערך הגדול והקטן ביותרפונקציה, נקודות מינימום ומקסימום.

מתיאוריה, בהחלט נצטרך טבלת נגזרותו כללי בידול. הכל בלוח הזה:

אלגוריתם למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר.

נראה לי יותר קל להסביר דוגמה ספציפית. לשקול:

דוגמא:מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה y=x^5+20x^3–65x בקטע [–4;0].

שלב 1.אנחנו לוקחים את הנגזרת.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

שלב 2מציאת נקודות קיצון.

נקודת קיצוןאנו שמות נקודות כאלה שבהן הפונקציה מגיעה לערך המקסימלי או המינימלי שלה.

כדי למצוא את נקודות הקיצון, יש צורך להשוות את הנגזרת של הפונקציה לאפס (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

כעת אנו פותרים את המשוואה הבי-ריבועית הזו והשורשים שנמצאו הם נקודות הקיצון שלנו.

אני פותר משוואות כאלה על ידי החלפת t = x^2, ואז 5t^2 + 60t - 65 = 0.

הקטינו את המשוואה ב-5, נקבל: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

אנו מבצעים את ההחלפה ההפוכה x^2 = t:

X_(1 ו-2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ו-4) = ±sqrt(-13) (אנחנו לא כוללים, מתחת לשורש לא יכול להיות מספרים שליליים(אלא אם כן, כמובן, אנחנו מדברים על מספרים מרוכבים)

סך הכל: x_(1) = 1 ו-x_(2) = -1 - אלו נקודות הקיצון שלנו.

שלב 3קבע את הערך הגדול והקטן ביותר.

שיטת החלפה.

בתנאי קיבלנו את הקטע [b][–4;0]. הנקודה x=1 אינה כלולה בקטע זה. אז אנחנו לא מתחשבים בזה. אבל בנוסף לנקודה x=-1, עלינו לשקול גם את השמאלי ואת גבול ימיןשל הקטע שלנו, כלומר נקודות -4 ו-0. לשם כך, נחליף את כל שלוש הנקודות הללו בפונקציה המקורית. שימו לב שהמקורי הוא זה שניתן בתנאי (y=x^5+20x^3–65x), חלקם מתחילים להחליף לנגזרת...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

זה אומר שהערך המקסימלי של הפונקציה הוא [b]44 ומגיעים אליו בנקודות [b]-1, הנקראת נקודת המקסימום של הפונקציה על הקטע [-4; 0].

החלטנו וקיבלנו תשובה, אנחנו מעולים, אפשר להירגע. אבל תפסיק! אתה לא חושב שספירת y(-4) היא איכשהו מסובכת מדי? בתנאים של זמן מוגבל, עדיף להשתמש בשיטה אחרת, אני קורא לזה כך:

דרך מרווחים של קביעות.

הפערים הללו נמצאים עבור הנגזרת של הפונקציה, כלומר, עבור המשוואה הבי-ריבועית שלנו.

אני עושה את זה בדרך הבאה. אני משרטט קו כיוון. קבעתי את הנקודות: -4, -1, 0, 1. למרות העובדה ש-1 אינו כלול בקטע הנתון, עדיין יש לציין זאת כדי לקבוע נכון את מרווחי הקביעות. בואו ניקח מספר גדול פי כמה מ-1, נניח 100, נחליף אותו נפשית במשוואה הבי-ריבועית שלנו 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. אפילו בלי לספור כלום, ברור שבנקודה 100 לפונקציה יש סימן פלוס. זה אומר שבמרווחים מ-1 עד 100 יש לו סימן פלוס. במעבר דרך 1 (נעבור מימין לשמאל), הפונקציה תשנה סימן למינוס. במעבר דרך הנקודה 0, הפונקציה תשמור על הסימן שלה, שכן זהו רק גבול הקטע, ולא שורש המשוואה. כאשר עוברים דרך -1, הפונקציה תשנה שוב את הסימן לפלוס.

מתוך תיאוריה, אנו יודעים שהיכן נמצאת הנגזרת של הפונקציה (וציירנו זאת עבורה) משנה סימן מפלוס למינוס (נקודה -1 במקרה שלנו)הפונקציה מגיעה המקסימום המקומי שלו (y(-1)=44 כפי שחושב קודם לכן)על קטע זה (זה ברור מאוד מבחינה לוגית, הפונקציה הפסיקה לגדול, מאז שהיא הגיעה למקסימום והחלה לרדת).

בהתאם לכך, היכן הנגזרת של הפונקציה משנה סימן ממינוס לפלוס, הושג מינימום מקומי של פונקציה. כן, כן, מצאנו גם את נקודת המינימום המקומית, שהיא 1, ו-y(1) הוא הערך המינימלי של הפונקציה במרווח, נניח מ-1 עד +∞. שימו לב שזהו רק MINIMUM LOCAL, כלומר מינימום על קטע מסוים. מכיוון שפונקציית המינימום בפועל (גלובלית) תגיע למקום כלשהו שם, ב-∞.

לדעתי השיטה הראשונה פשוטה יותר מבחינה תיאורטית, והשנייה פשוטה יותר מבחינת פעולות אריתמטיות, אבל הרבה יותר קשה מבחינה תיאורטית. אכן, לפעמים יש מקרים שבהם הפונקציה לא משנה סימן במעבר דרך שורש המשוואה, ואכן אתה יכול להתבלבל עם המקסימום והמינימות המקומיות והגלובליות הללו, אם כי בכל מקרה תצטרך לשלוט בה היטב אם אתה מתכנן להיכנס לאוניברסיטה טכנית (ולמה עוד לגשת לבחינת הפרופיל ולפתור את המשימה הזו). אבל תרגול ורק תרגול ילמד אותך איך לפתור בעיות כאלה אחת ולתמיד. ואתה יכול להתאמן באתר שלנו. כאן .

אם יש לך שאלות, או שמשהו לא ברור, הקפד לשאול. אשמח לענות לכם, ולערוך שינויים, תוספות בכתבה. זכרו שאנחנו יוצרים את האתר הזה ביחד!

לעתים קרובות בפיזיקה ובמתמטיקה נדרש למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה. כיצד לעשות זאת, נספר כעת.

כיצד למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה: הוראה

1. כדי לחשב את הערך הקטן ביותר תפקוד רציףבקטע נתון, עליך לבצע את האלגוריתם הבא:
2. מצא את הנגזרת של פונקציה.
3. מצא על קטע נתון את הנקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס, וכן את כל הנקודות הקריטיות. לאחר מכן גלה את ערכי הפונקציה בנקודות אלה, כלומר, פתור את המשוואה שבה x שווה לאפס. גלה איזה מהערכים הוא הקטן ביותר.
4. גלה איזה ערך יש לפונקציה בנקודות הקצה. קבע את הערך הקטן ביותר של הפונקציה בנקודות אלה.
5. השווה את הנתונים שהתקבלו עם הערך הקטן ביותר. הקטן מבין המספרים המתקבלים יהיה הערך הקטן ביותר של הפונקציה.

שימו לב שאם לפונקציה בקטע אין הנקודות הקטנות ביותר, מה שאומר שבקטע זה הוא עולה או יורד. לכן, יש לחשב את הערך הקטן ביותר על המקטעים הסופיים של הפונקציה.

בכל שאר המקרים, ערך הפונקציה מחושב לפי האלגוריתם שצוין. בכל שלב באלגוריתם, תצטרך לפתור פתרון פשוט משוואה לינאריתעם שורש אחד. פתרו את המשוואה באמצעות הציור כדי למנוע טעויות.

כיצד למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה בקטע חצי פתוח? בתקופה פתוחה למחצה או פתוחה של הפונקציה, יש למצוא את הערך הקטן ביותר כדלקמן. בנקודות הקצה של ערך הפונקציה, חשב את הגבול החד-צדדי של הפונקציה. במילים אחרות, פתרו משוואה שבה נקודות המגמה ניתנות בערך a+0 ו-b+0, כאשר a ו-b הם שמות נקודות קריטיות.

עכשיו אתה יודע איך למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה. העיקר לעשות את כל החישובים בצורה נכונה, מדויקת וללא שגיאות.