על מנת שמישור בודד יימשך דרך שלוש נקודות כלשהן במרחב, יש צורך שנקודות אלו לא יהיו על קו ישר אחד.
שקול את הנקודות M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) במערכת קואורדינטות קרטזית משותפת.
על מנת שנקודה שרירותית M(x, y, z) תהיה במישור זהה לנקודות M 1 , M 2 , M 3 , הווקטורים חייבים להיות קו מישוריים.
הגדרה 2.1.
שני קווים במרחב נקראים מקבילים אם הם נמצאים באותו מישור ואין להם נקודות משותפות.
אם שני ישרים a ו-b מקבילים, אז כמו בפלנימטריה, כתוב a || ב. במרחב ניתן למקם קווים כך שהם לא יצטלבו ולא יהיו מקבילים. מקרה זה מיוחד לסטריאומטריה.
הגדרה 2.2.
קווים שאין להם נקודות משותפות ואינם מקבילים נקראים הטיה.
משפט 2.1.
דרך נקודה מחוץ לישר נתון, אפשר לצייר קו מקביל לישר הנתון, ויותר מכך, רק אחד.
| סימן של קווים מקבילים |
| שני קווים במרחב נקראים מקבילים אם הם שוכנים באותו מישור ואינם מצטלבים. דרך נקודה מחוץ לישר נתון, אפשר לצייר קו מקביל לישר זה, ויותר מכך, רק אחד. אמירה זו מצטמצמת לאקסיומה לגבי מקבילות במישור. מִשׁפָּט. שני קווים מקבילים לישר שלישי מקבילים. תנו לישרים b ו-c להיות מקבילים לישר a. פאדו להוכיח כי b || עם. במקרה שבו הקווים a, b ומונחים על אותו מישור נחשב בפלנימטריה, נשמיט אותו. נניח ש-a, b ו-c אינם נמצאים באותו מישור. אך מכיוון ששני ישרים מקבילים נמצאים באותו מישור, ניתן להניח ש-a ו-b ממוקמים והמישורים, a b ו-c - במישור (איור 61). על קו c, נסמן נקודה (כל) M ונצייר מישור דרך הישר b והנקודה M. זה, , מצטלב לאורך הקו הישר l. הקו l אינו חותך את המישור, שכן אם l היה חותך, אזי נקודת החיתוך שלהם חייבת להיות על a (a ו-l - באותו מישור) ועל b (b ו-l - באותו מישור). לפיכך, נקודת חיתוך אחת l וחייבת לשכב גם על קו a וגם על קו b, וזה בלתי אפשרי: a || ב. לכן, ו || , ל || א, ל || ב. מכיוון ש-a ו-l שוכנים באותו מישור, l חופף לישר c (על פי אקסיומה של מקביליות), ומכאן עם || ב. המשפט הוכח. |
25.סימן מקביליות של קו ישר ומישור
מִשׁפָּט
אם קו שאינו שייך למישור מקביל לקו כלשהו במישור הזה, אז הוא מקביל גם למישור עצמו.
הוכחה
תנו ל-α להיות מישור, a ישר שאינו מונח בו, ו-a1 ישר במישור α המקביל לישר a. הבה נצייר את המישור α1 דרך הקווים a ו-a1. המישורים α ו- α1 מצטלבים לאורך הקו a1. אם הישר a חוצה את המישור α, אזי נקודת החיתוך תהיה שייכת לישר a1. אבל זה בלתי אפשרי, מכיוון שהקווים a ו-a1 מקבילים. לכן, הישר a אינו חוצה את המישור α, ולכן הוא מקביל למישור α. המשפט הוכח.
27.קיום מישור מקביל למישור נתון
מִשׁפָּט
דרך נקודה מחוץ למישור נתון, אפשר לצייר מישור מקביל למישור הנתון, ויותר מכך, רק אחד.
הוכחה
הבה נצייר כמה שני קווים מצטלבים a ו-b במישור הנתון α. דרך נקודה נתונה A אנו מציירים קווים a1 ו-b1 במקביל אליהם. המישור β העובר דרך הקווים a1 ו-b1 מקביל למישור α לפי משפט המקבילות.
נניח שגם מישור β1 עובר דרך הנקודה A במקביל למטוסא. נסמן איזו נקודה C במישור β1 שאינה שוכנת במישור β. הבה נצייר את המישור γ דרך הנקודות A, C ונקודה B כלשהי של המישור α. מישור זה יחצה את המישורים α, β ו- β1 לאורך הקווים b, a ו-c. הקווים a ו-c אינם חותכים את הישר b, שכן הם אינם חותכים את המישור α. לכן, הם מקבילים לישר ב. אבל במישור γ דרך נקודה A יכול להיות רק ישר אחד מקביל לישר b. מה שסותר את ההנחה. המשפט הוכח.
28.מאפיינים מקבילים של מטוסה'
29. 
קווים מאונכים במרחב. שני קווים ישרים במרחב נקראים מאונכים אם הזווית ביניהם היא 90 מעלות. ג. M. ק. ק. M. ג. ק. מצטלבים. נחצה.
| משפט 1. סימן לניצב של קו ומישור. אם ישר חוצה מישור מאונך לשני ישרים באותו מישור העוברים דרך נקודת החיתוך של הישר הנתון והמישור, אז הוא מאונך למישור. | |
| הוכחה: תנו ל-a להיות ישר מאונך לישרים b ו-c במישור. ואז הישר a עובר דרך נקודה A של חיתוך ישרים b ו-c. הבה נוכיח שהישר a מאונך למישור. צייר קו שרירותי x דרך נקודה A במישור והראה שהוא מאונך לישר a. נצייר קו שרירותי במישור שאינו עובר בנקודה A וחותך את הישרים b,c ו-x. תנו לנקודות החיתוך להיות B, C ו-X. נניח על ישר a מנקודה A לכיוונים שונים קטעים שווים AA 1 ו- AA 2. משולש A 1 CA 2 הוא שווה שוקיים, שכן הקטע AC הוא הגובה לפי המשפט והחציון לפי בנייה (AA 1 \u003d AA 2). מאותה סיבה, משולש A 1 BA 2 הוא גם שווה שוקיים. לכן, משולשים A 1 BC ו A 2 BC שווים בשלוש צלעות. מהשוויון של המשולשים A 1 BC ו-A 2 BC, מגיע שוויון הזוויות A 1 BX ו-A 2 BX, ולכן, שוויון המשולשים A 1 BX ו-A 2 BX בשני צדדים והזווית ביניהם. מהשוויון של הצלעות A 1 X ו- A 2 X של משולשים אלה, אנו מסיקים שהמשולש A 1 XA 2 הוא שווה שוקיים. לכן, החציון XA שלו הוא גם הגובה. זה אומר שהקו x מאונך ל-a. בהגדרה, הישר a מאונך למישור. המשפט הוכח. |
| משפט 2 תכונה 1 של קווים ומישורים מאונכים. אם מישור מאונך לאחד משני ישרים מקבילים, אז הוא גם מאונך לשני. |  |
| הוכחה: תנו ל-1 ו-2 להיות שני ישרים מקבילים ומישור מאונך לישר a 1 . הבה נוכיח שגם מישור זה מאונך לישר a 2 . הבה נצייר דרך הנקודה A 2 את החיתוך של הישר a 2 עם המישור קו שרירותי x 2 במישור. הבה נצייר במישור דרך הנקודה A 1 את החיתוך של הישר a 1 עם הישר x 1 המקביל לישר x 2. מכיוון שהקו a 1 מאונך למישור, אז הקווים a 1 ו-x 1 מאונכים. ולפי משפט 1, גם הישרים החותכים a2 ו-x2 המקבילים להם מאונכים. לפיכך, הקו a 2 מאונך לכל קו x 2 במישור. וזה (בהגדרה) אומר שהקו a 2 מאונך למישור. המשפט הוכח. ראה גם בעיית תמיכה מס' 2. | |
| משפט 3 תכונה 2 של קווים ומישורים מאונכים. שני קווים מאונכים לאותו מישור מקבילים. |  |
| הוכחה: תנו ל-a ו-b להיות 2 קווים מאונכים למישור. נניח שהקווים a ו-b אינם מקבילים. נבחר נקודה C בישר b שאינה שוכנת במישור. הבה נצייר קו b 1 דרך הנקודה C, במקביל לישר a. הישר b 1 מאונך למישור לפי משפט 2. תנו B ו-B 1 להיות נקודות החיתוך של הישרים b ו-b 1 עם המישור. אז הישר BB 1 מאונך לישרים החותכים b ו-b 1. וזה בלתי אפשרי. הגענו לסתירה. המשפט הוכח. |
33.אֲנָכִי, המוריד מנקודה נתונה למישור נתון, נקרא קטע המחבר נקודה נתונה עם נקודה במישור ונמצא על קו ישר בניצב למישור. הסוף של קטע זה, שוכב במטוס, נקרא הבסיס של הניצב.
אֲלַכסוֹנִי, מצויר מנקודה נתונה למישור נתון, הוא כל קטע המחבר את הנקודה הנתונה לנקודה במישור שאינה מאונכת למישור. סוף קטע שנמצא במישור נקרא הבסיס של הנוטה. הקטע המחבר את הבסיסים של הניצב של הקו המשופע, שנמשך מאותה נקודה, נקרא הקרנה אלכסונית.
AB הוא האנך למישור α.
AC - אלכסוני, CB - הקרנה.
הצהרת המשפט
אם קו ישר המצויר במישור דרך בסיסו של קו אלכסוני מאונך להשלכתו, אז הוא מאונך לקו האלכסוני.
הוכחה
לתת א.ב- בניצב למישור α, AC- אלכסוני ו ג- קו ישר במישור α העובר דרך הנקודה גוהקרנה בניצב לִפנֵי הַסְפִירָה. בואו נצייר קו ישר CKמקביל לקו ישר א.ב. יָשָׁר CKמאונך למישור α (מכיוון שהוא מקביל ל א.ב), ומכאן כל קו במישור הזה, לפיכך, CKבניצב לקו ג. צייר דרך קווים מקבילים א.בו CKמישור β (קווים מקבילים מגדירים מישור, ורק אחד). יָשָׁר גמאונך לשני קווים מצטלבים השוכנים במישור β, זה לִפנֵי הַסְפִירָהלפי תנאי ו CKבבנייה, כלומר הוא מאונך לכל קו השייך למישור הזה, כלומר הוא גם מאונך לישר AC.
ניתן להגדיר דרכים שונות(נקודה אחת ווקטור, שתי נקודות ווקטור, שלוש נקודות וכו'). זה עם זה בחשבון שיכולה להיות משוואת המטוס סוגים שונים. כמו כן, בתנאים מסוימים, המישורים יכולים להיות מקבילים, מאונכים, מצטלבים וכו'. נדבר על כך במאמר זה. נלמד איך לכתוב את המשוואה הכללית של המישור ולא רק.
צורה נורמלית של המשוואה
נניח שיש רווח R 3 שיש לו קואורדינטה מלבנית מערכת XYZ. קבענו את הווקטור α, שישתחרר מהנקודה ההתחלתית O. דרך קצה הווקטור α נשרטט את המישור P, שיהיה מאונך אליו.
סמן ב-P נקודה שרירותית Q=(x, y, z). נחתום את וקטור הרדיוס של הנקודה Q באות p. במקרה זה, אורך הווקטור α הוא p=IαI ו-Ʋ=(cosα, cosβ, cosγ).
זהו וקטור יחידה שמצביע הצידה, בדיוק כמו הווקטור α. α, β ו-γ הן הזוויות שנוצרות בין הווקטור Ʋ והכיוונים החיוביים של צירי החלל x, y, z, בהתאמה. ההשלכה של נקודה כלשהי QϵП על הווקטור Ʋ היא ערך קבוע השווה ל- р: (р,Ʋ) = р(р≥0).
משוואה זו הגיונית כאשר p=0. הדבר היחיד הוא שהמישור P במקרה זה יחצה את הנקודה O (α=0), שהיא המוצא, וקטור היחידה Ʋ המשתחרר מנקודה O יהיה מאונך ל-P, ללא קשר לכיוון שלו, כלומר. שהווקטור Ʋ נקבע מתוך סימן-דיוק. המשוואה הקודמת היא המשוואה של מישור ה-P שלנו, המתבטאת בצורה וקטורית. אבל בקואורדינטות זה ייראה כך:
P כאן גדול או שווה ל-0. מצאנו את המשוואה של מישור בחלל בצורתו הרגילה.
משוואה כללית
אם נכפיל את המשוואה בקואורדינטות בכל מספר שאינו שווה לאפס, נקבל משוואה שווה ערך לנתון, שקובע את אותו מישור. זה ייראה כך:
כאן A, B, C הם מספרים ששונים מאפס בו זמנית. משוואה זו מכונה משוואת המישור הכללית.
משוואות מישור. מקרים מיוחדים
משוואה ב השקפה כלליתעשוי להשתנות בתנאים נוספים. בואו נשקול כמה מהם.
נניח שמקדם A הוא 0. המשמעות היא שהמישור הנתון מקביל לציר הנתון Ox. במקרה זה, צורת המשוואה תשתנה: Ву+Cz+D=0.
באופן דומה, צורת המשוואה תשתנה בתנאים הבאים:
- ראשית, אם B = 0, אז המשוואה תשתנה ל Ax + Cz + D = 0, מה שיצביע על הקבילות לציר Oy.
- שנית, אם С=0, אז המשוואה עוברת טרנספורמציה ל- Ах+Ву+D=0, מה שיצביע על מקבילות לציר נתון עוז.
- שלישית, אם D=0, המשוואה תיראה כמו Ax+By+Cz=0, מה שאומר שהמישור חותך את O (המקור).
- רביעית, אם A=B=0, אז המשוואה תשתנה ל-Cz+D=0, מה שיתברר כמקביל ל-Oxy.
- חמישית, אם B=C=0, אז המשוואה הופכת ל-Ax+D=0, כלומר המישור ל-Oyz מקביל.
- שישית, אם A=C=0, אז המשוואה תקבל את הצורה Ву+D=0, כלומר, היא תדווח על מקביליות ל-Oxz.
סוג המשוואה בקטעים
במקרה שבו המספרים A, B, C, D אינם אפס, צורת המשוואה (0) יכולה להיות כדלקמן:
x/a + y/b + z/c = 1,
שבהם a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.
אנו מקבלים כתוצאה מכך ראוי לציין שהמישור הזה יחצה את ציר השור בנקודה עם קואורדינטות (a,0,0), Oy - (0,b,0), ו-Oz - (0,0,c) .
אם לוקחים בחשבון את המשוואה x/a + y/b + z/c = 1, קל לייצג חזותית את מיקום המישור ביחס למערכת קואורדינטות נתונה.
קואורדינטות וקטוריות רגילות
לוקטור הנורמלי n למישור P יש קואורדינטות שהן המקדמים משוואה כלליתמישור נתון, כלומר n (A, B, C).
כדי לקבוע את הקואורדינטות של n הנורמלי, מספיק לדעת את המשוואה הכללית של מישור נתון.
כאשר משתמשים במשוואה בקטעים, בעלת הצורה x/a + y/b + z/c = 1, כמו גם כאשר משתמשים במשוואה הכללית, אפשר לכתוב את הקואורדינטות של כל וקטור נורמלי של מישור נתון: (1 /a + 1/b + 1/ עם).
ראוי לציין שהווקטור הרגיל עוזר לפתור בעיות שונות. הנפוצות ביותר הן משימות המורכבות מהוכחת הניצב או ההקבלה של מישורים, בעיות במציאת זוויות בין מישורים או זוויות בין מישורים לקשרים.
מבט על משוואת המישור לפי הקואורדינטות של הנקודה והווקטור הנורמלי
וקטור שאינו אפס n מאונך למישור נתון נקרא נורמלי (נורמלי) למישור נתון.
נניח שבמרחב הקואורדינטות (מערכת קואורדינטות מלבנית) ניתן אוקסיז:
- נקודה Mₒ עם קואורדינטות (xₒ,yₒ,zₒ);
- וקטור אפס n=A*i+B*j+C*k.
יש צורך להרכיב משוואה למישור שיעבור דרך הנקודה Mₒ בניצב ל-n הרגיל.
במרחב, אנו בוחרים כל נקודה שרירותית ומציינים אותה ב-M (x y, z). תנו לוקטור הרדיוס של כל נקודה M (x, y, z) להיות r=x*i+y*j+z*k, ולווקטור הרדיוס של הנקודה Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. הנקודה M תהיה שייכת למישור הנתון אם הווקטור MₒM מאונך לווקטור n. אנו כותבים את תנאי האורתוגונליות באמצעות התוצר הסקלרי:
[MₒM, n] = 0.
מאז MₒM \u003d r-rₒ, המשוואה הווקטורית של המישור תיראה כך:
משוואה זו יכולה ללבוש צורה אחרת. לשם כך, נעשה שימוש במאפיינים של המוצר הסקלרי, והצד השמאלי של המשוואה משתנה. = - . אם יסומן כ-c, תתקבל המשוואה הבאה: - c \u003d 0 או \u003d c, המבטאת את הקביעות של ההקרנות על הווקטור הנורמלי של וקטורי הרדיוס של הנקודות הנתונות השייכות למישור.
כעת אתה יכול לקבל את צורת הקואורדינטות של כתיבת המשוואה הווקטורית של המישור שלנו = 0. מכיוון ש-r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, ו-n = A*i+B *j+C*k, יש לנו:
מסתבר שיש לנו משוואה למישור שעובר דרך נקודה מאונכת ל-n הרגיל:
A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.
מבט על משוואת המישור לפי קואורדינטות של שתי נקודות ווקטור קולינארי למישור
אנו מגדירים שתי נקודות שרירותיות M′ (x′,y′,z′) ו-M″ (x″,y″,z″), וכן את הווקטור a (a′,a″,a‴).
כעת נוכל להרכיב משוואה למישור נתון, שתעבור דרך הנקודות הזמינות M′ ו-M″, וכן כל נקודה M עם קואורדינטות (x, y, z) מקבילות לווקטור a הנתון.
במקרה זה, הוקטורים M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) ו-M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) חייבים להיות מישוריים עם הווקטור a=(a′,a″,a‴), כלומר (M′M, M″M, a)=0.
אז, המשוואה שלנו של מישור בחלל תיראה כך:
סוג המשוואה של מישור החותך שלוש נקודות
נניח שיש לנו שלוש נקודות: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), שאינן שייכות לאותו קו ישר. יש צורך לכתוב את משוואת המישור העובר דרך שלוש הנקודות הנתונות. תורת הגיאומטריה טוענת שמישור מסוג זה באמת קיים, רק שהוא היחיד ואינו ניתן לחיקוי. מכיוון שהמישור הזה חוצה את הנקודה (x′, y′, z′), צורת המשוואה שלו תהיה כדלקמן:
כאן A, B, C שונים מאפס בו-זמנית. כמו כן, המישור הנתון חוצה שתי נקודות נוספות: (x″,y″,z″) ו-(x‴,y‴,z‴). בהקשר זה יש לעמוד בתנאים הבאים:
עכשיו אנחנו יכולים להלחין מערכת הומוגניתעם u, v, w לא ידוע:
בשלנו מקרה x,yאו z היא נקודה שרירותית המקיימת את המשוואה (1). אם לוקחים בחשבון את המשוואה (1) ומערכת המשוואות (2) ו-(3), מערכת המשוואות המצוינת באיור לעיל עונה על הווקטור N (A, B, C), שאינו טריוויאלי. לכן הקובע של מערכת זו שווה לאפס.
משוואה (1), שקיבלנו, היא משוואת המישור. זה עובר בדיוק דרך 3 נקודות, ואת זה קל לבדוק. לשם כך, עלינו לפרק את הקובע שלנו על פני האלמנטים בשורה הראשונה. מהמאפיינים הקיימים של הקובע נובע שהמישור שלנו חותך בו זמנית שלוש נקודות שניתנו בתחילה (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . כלומר, פתרנו את המשימה שהוצבה לפנינו.
זווית דיהדרלית בין מישורים
זווית דיהדרלית היא דמות גיאומטרית מרחבית הנוצרת על ידי שני חצאי מישורים היוצאים מקו ישר אחד. במילים אחרות, זהו החלק של החלל שמוגבל על ידי חצאי המישורים הללו.
נניח שיש לנו שני מישורים עם המשוואות הבאות:
אנו יודעים שהווקטורים N=(A,B,C) ו-N¹=(A¹,B¹,C¹) מאונכים לפי מטוסים נתונים. בהקשר זה, הזווית φ בין הוקטורים N ו-N¹ שווה לזווית (דוהדרלית), שנמצאת בין המישורים הללו. למוצר הסקלרי יש את הצורה:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
בדיוק בגלל
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
די לקחת בחשבון ש-0≤φ≤π.
למעשה, שני מישורים שמצטלבים יוצרים שתי זוויות (דו-הדרליות): φ 1 ו- φ 2 . הסכום שלהם שווה ל-π (φ 1 + φ 2 = π). באשר לקוסינוסים שלהם, הערכים המוחלטים שלהם שווים, אך הם שונים בסימנים, כלומר, cos φ 1 =-cos φ 2. אם במשוואה (0) נחליף את A, B ו-C במספרים -A, -B ו-C, בהתאמה, אז המשוואה שנקבל תקבע את אותו מישור, הזווית היחידה φ במשוואה cos φ= NN 1 /| N||N 1 | יוחלף ב-π-φ.
משוואת מישור מאונך
מישורים נקראים מאונכים אם הזווית ביניהם היא 90 מעלות. באמצעות החומר המתואר לעיל, נוכל למצוא את המשוואה של מישור מאונך לאחר. נניח שיש לנו שני מישורים: Ax+By+Cz+D=0 ו-A¹x+B¹y+C¹z+D=0. אנו יכולים לקבוע שהם יהיו מאונכים אם cosφ=0. המשמעות היא ש-NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
משוואת מישור מקביל
מקבילים הם שני מישורים שאינם מכילים נקודות משותפות.
התנאי (המשוואות שלהם זהות לפסקה הקודמת) הוא שהווקטורים N ו-N¹, הניצבים אליהם, הם קולינאריים. המשמעות היא שמתקיימים תנאי המידתיות הבאים:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
אם תנאי המידתיות מורחבים - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
זה מצביע על כך שהמטוסים האלה חופפים. המשמעות היא שהמשוואות Ax+By+Cz+D=0 ו-A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 מתארות מישור אחד.
מרחק למטוס מנקודה
נניח שיש לנו מישור P, שניתן במשוואה (0). יש צורך למצוא את המרחק אליו מהנקודה עם הקואורדינטות (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. כדי לעשות זאת, אתה צריך להביא את משוואת המישור P לצורה רגילה:
(ρ,v)=p (p≥0).
במקרה זה, ρ(x,y,z) הוא וקטור הרדיוס של הנקודה Q שלנו שנמצאת על P, p הוא אורך האנך P ששוחרר מנקודת האפס, v הוא וקטור היחידה שנמצא ב- כיוון.
ההבדל ρ-ρº של וקטור הרדיוס של נקודה Q \u003d כלשהי (x, y, z) השייכת ל-P, כמו גם וקטור הרדיוס של נקודה נתונה Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) הוא כזה וקטור, הערך המוחלט של ההשלכה שלו על v שווה למרחק d, אותו יש למצוא מ-Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ל-P:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, אבל
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).
כך מסתבר
d=|(ρ 0 ,v)-p|.
כך נמצא ערך מוחלטהביטוי המתקבל, כלומר, ד' הנדרש.
באמצעות שפת הפרמטרים, אנו מקבלים את המובן מאליו:
d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).
אם נקודה נתונה Q 0 נמצא בצד השני של מישור P, כמו גם המקור, אז בין הווקטור ρ-ρ 0 ל-v הוא לכן:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.
במקרה שבו הנקודה Q 0, יחד עם המוצא, ממוקמת באותו צד של P, אז הזווית שנוצרה היא חדה, כלומר:
d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.
כתוצאה מכך, מסתבר שבמקרה הראשון (ρ 0 ,v)> р, במקרה השני (ρ 0 ,v)<р.
מישור הטנגנטי והמשוואה שלו
מישור המשיק למשטח בנקודת המגע Mº הוא המישור המכיל את כל המשיקים האפשריים לעיקולים הנמשכים דרך נקודה זו על פני השטח.
עם צורה זו של משוואת פני השטח F (x, y, z) \u003d 0, משוואת מישור המשיק בנקודת המשיק Mº (xº, yº, zº) תיראה כך:
F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.
אם תציין את פני השטח בצורה מפורשת z=f (x, y), אז מישור המשיק יתואר על ידי המשוואה:
z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).
מפגש בין שני מישורים
במערכת הקואורדינטות (המלבנית) ממוקם Oxyz, ניתנים שני מישורים П′ ו- П″, שמצטלבים ואינם חופפים. מכיוון שכל מישור הממוקם במערכת קואורדינטות מלבנית נקבע על ידי המשוואה הכללית, נניח ש-P′ ו-P″ ניתנים על ידי המשוואות A′x+B′y+C′z+D′=0 ו-A″x +B″y+ С″z+D″=0. במקרה זה, יש לנו את ה-n′ הנורמלי (A′, B′, C′) של מישור P′ ואת ה-n″ הנורמלי (A″, B″, C″) של מישור P″. מכיוון שהמישורים שלנו אינם מקבילים ואינם חופפים, הוקטורים הללו אינם קולינאריים. באמצעות שפת המתמטיקה, נוכל לכתוב תנאי זה באופן הבא: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. תנו לישר שנמצא במפגש של P′ ו-P″ להיות מסומן באות a, במקרה זה a = P′ ∩ P″.
a הוא קו ישר המורכב מקבוצת כל הנקודות של המישורים (המשותפים) П′ ו-П″. המשמעות היא שהקואורדינטות של כל נקודה השייכת לישר a חייבות לעמוד בו זמנית במשוואות A′x+B′y+C′z+D′=0 ו-A″x+B″y+C″z+D″= 0. המשמעות היא שהקואורדינטות של הנקודה יהיו פתרון מסוים של מערכת המשוואות הבאה:
כתוצאה מכך, מסתבר שהפתרון (הכללי) של מערכת משוואות זו יקבע את הקואורדינטות של כל אחת מנקודות הישר, שתפעל כנקודת החיתוך של P′ ו-P″, ויקבע את הישר. קו a במערכת הקואורדינטות Oxyz (מלבני) במרחב.
במסגרת חומר זה, ננתח כיצד למצוא את משוואת המישור אם נדע את הקואורדינטות של שלוש הנקודות השונות שלו שאינן שוכנות על קו ישר אחד. כדי לעשות זאת, עלינו לזכור מהי מערכת קואורדינטות מלבנית במרחב תלת מימדי. ראשית, אנו מציגים את העיקרון הבסיסי של משוואה זו ומראים כיצד להשתמש בו בפתרון בעיות ספציפיות.
Yandex.RTB R-A-339285-1
מלכתחילה, עלינו לזכור אקסיומה אחת, שנשמעת כך:
הגדרה 1
אם שלוש נקודות אינן חופפות זו לזו ואינן שוכנות על קו ישר אחד, הרי שבמרחב התלת מימדי עובר דרכן רק מישור אחד.
במילים אחרות, אם יש לנו שלוש נקודות שונות שהקואורדינטות שלהן אינן חופפות ולא ניתן לחברן בישר, אז נוכל לקבוע את המישור העובר דרכה.
נניח שיש לנו מערכת קואורדינטות מלבנית. בואו נסמן את זה O x y z . הוא מכיל שלוש נקודות M עם קואורדינטות M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) שאינן ניתנות לחיבור ישר קַו. בהתבסס על תנאים אלו, נוכל לרשום את משוואת המישור שאנו צריכים. ישנן שתי גישות לפתרון בעיה זו.
1. הגישה הראשונה משתמשת במשוואה הכללית של המישור. בצורה מילולית, הוא כתוב כ-A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. בעזרתו, אתה יכול להגדיר במערכת קואורדינטות מלבנית מישור מסוים אלפא, שעובר דרך הנקודה הנתונה הראשונה M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . מסתבר שלווקטור המישור הרגיל α יהיו קואורדינטות A , B , C .
הגדרה של N
לדעת את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי ואת הקואורדינטות של הנקודה שדרכה עובר המישור, נוכל לרשום את המשוואה הכללית של מישור זה.
מכאן נמשיך הלאה.
כך, לפי תנאי הבעיה, יש לנו את הקואורדינטות של הנקודה הרצויה (אפילו שלוש), שדרכה עובר המטוס. כדי למצוא את המשוואה, עליך לחשב את הקואורדינטות של הווקטור הרגיל שלה. סמן את זה n → .
זכור את הכלל: כל וקטור שאינו אפס של מישור נתון מאונך לווקטור הנורמלי של אותו מישור. אז יש לנו ש-n → יהיה מאונך לוקטורים המורכבים מהנקודות הראשוניות M 1 M 2 → ו-M 1 M 3 → . אז נוכל לסמן את n → כמכפלה וקטורית של הצורה M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .
מאז M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ו-M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (ההוכחות לשוויון זה ניתנות במאמר המוקדש לחישוב הקואורדינטות של וקטור מקואורדינטות של נקודות), ואז מתברר ש:
n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1
אם נחשב את הקובע, נקבל את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי n → שאנו צריכים. כעת נוכל לכתוב את המשוואה הדרושה לנו למישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות.
2. הגישה השנייה למציאת משוואה העוברת דרך M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) היא מבוסס על מושג כמו הקומפלנריות של וקטורים.
אם יש לנו קבוצה של נקודות M (x, y, z), אז במערכת קואורדינטות מלבנית הם מגדירים מישור עבור הנקודות הנתונות M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y) 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) רק אם הווקטורים M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) ו- M 1 M 3 → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) יהיו דו מישוריים.
בתרשים זה ייראה כך:
משמעות הדבר היא שהמכפלה המעורבת של הוקטורים M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → יהיה שווה לאפס: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , מכיוון שזהו תנאי ההשוואה העיקריים: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ו- M 1 M 3 → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .
אנו כותבים את המשוואה המתקבלת בצורת קואורדינטות:
לאחר שנחשב את הקובע, נוכל לקבל את משוואת המישור שאנו צריכים עבור שלוש נקודות שאינן שוכנות על קו ישר אחד M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2 , y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .
מהמשוואה המתקבלת, ניתן לעבור למשוואת המישור בקטעים או למשוואה הרגילה של המישור, אם נדרש מתנאי הבעיה.
בפסקה הבאה, ניתן דוגמאות כיצד הגישות שציינו מיושמות בפועל.
דוגמאות למשימות להרכבת משוואה של מישור העובר דרך 3 נקודות
בעבר, זיהינו שתי גישות שניתן להשתמש בהן כדי למצוא את המשוואה הרצויה. בואו נראה איך משתמשים בהם בפתרון בעיות ומתי לבחור כל אחד מהם.
דוגמה 1
ישנן שלוש נקודות שאינן שוכנות על קו ישר אחד, עם קואורדינטות M 1 (- 3 , 2 , - 1), M 2 (- 1 , 2 , 4), M 3 (3 , 3 , - 1) . כתבו משוואה למטוס שעובר דרכם.
פִּתָרוֹן
אנו משתמשים בשתי השיטות בתורן.
1. מצא את הקואורדינטות של שני הוקטורים שאנו צריכים M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :
M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0
כעת אנו מחשבים את המוצר הווקטורי שלהם. במקרה זה, לא נתאר את חישובי הקובע:
n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →
יש לנו וקטור נורמלי של המישור שעובר דרך שלוש הנקודות הנדרשות: n → = (- 5 , 30 , 2) . לאחר מכן, עלינו לקחת את אחת הנקודות, למשל, M 1 (- 3 , 2 , - 1), ולכתוב את המשוואה עבור המישור עם הווקטור n → = (- 5 , 30 , 2) . נקבל את זה: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0
זוהי משוואת המישור שאנו צריכים, שעובר דרך שלוש נקודות.
2. אנו משתמשים בגישה שונה. נכתוב את המשוואה למישור עם שלוש נקודות M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ב- הטופס הבא:
x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0
כאן אתה יכול להחליף נתונים ממצב הבעיה. מאז x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, בסוף נקבל:
x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 ז - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73
יש לנו את המשוואה שאנחנו צריכים.
תשובה:- 5x + 30y + 2z - 73 .
אבל מה אם הנקודות הנתונות עדיין שוכנות על אותו קו ישר ואנחנו צריכים להרכיב עבורן משוואת מישור? כאן יש לומר מיד שתנאי זה לא יהיה לגמרי נכון. אין סוף מטוסים יכולים לעבור דרך נקודות כאלה, כך שאי אפשר לחשב תשובה אחת. הבה נשקול בעיה כזו כדי להוכיח את אי נכונותו של ניסוח כזה של השאלה.
דוגמה 2
יש לנו מערכת קואורדינטות מלבנית במרחב התלת-ממדי המכילה שלוש נקודות עם קואורדינטות M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1). יש צורך לכתוב משוואה עבור מטוס העובר דרכו.
פִּתָרוֹן
אנו משתמשים בשיטה הראשונה ומתחילים בחישוב הקואורדינטות של שני וקטורים M 1 M 2 → ו- M 1 M 3 → . הבה נחשב את הקואורדינטות שלהם: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2), M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .
המכפלה הווקטורית תהיה שווה ל:
M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →
מאז M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , אז הווקטורים שלנו יהיו קולינאריים (קרא שוב את המאמר עליהם אם שכחת את ההגדרה של מושג זה). לפיכך, הנקודות הראשוניות M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) נמצאות על אותו קו ישר, ולבעיה שלנו יש אינסוף אפשרויות רבות תגובה.
אם נשתמש בשיטה השנייה, נקבל:
x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0
מהשוויון המתקבל עולה גם שהנקודות הנתונות M 1 (5 , - 8 , - 2), M 2 (1 , - 2 , 0), M 3 (- 1 , 1, 1) נמצאות על אותו קו.
אם אתה רוצה למצוא לפחות תשובה אחת לבעיה זו מתוך אינסוף אפשרויות שלה, עליך לבצע את השלבים הבאים:
1. כתוב את המשוואה של הישר M 1 M 2, M 1 M 3 או M 2 M 3 (במידת הצורך, עיין בחומר על פעולה זו).
2. קח נקודה M 4 (x 4, y 4, z 4) שאינה שוכנת על הקו M 1 M 2.
3. רשום את משוואת המישור שעובר בשלוש נקודות שונות M 1 , M 2 ו- M 4 שאינן שוכנות על קו ישר אחד.
אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter
שלב ראשון
קואורדינטות ווקטורים. מדריך מקיף (2019)
במאמר זה, אתה ואני נתחיל בדיון על "שרביט קסמים" אחד שיאפשר לך לצמצם בעיות רבות בגיאומטריה לאריתמטיקה פשוטה. "שרביט" זה יכול לעשות את החיים שלך הרבה יותר קלים, במיוחד כאשר אתה מרגיש חוסר ביטחון בבניית דמויות מרחביות, קטעים וכו'. כל זה דורש דמיון מסוים וכישורים פרקטיים. השיטה, אותה נתחיל לשקול כאן, תאפשר לכם להפשט כמעט לחלוטין מכל מיני קונסטרוקציות והיגיון גיאומטריים. השיטה נקראת "שיטת קואורדינטות". במאמר זה נשקול את השאלות הבאות:
- מטוס קואורדינטות
- נקודות ווקטורים במישור
- בניית וקטור משתי נקודות
- אורך וקטור (מרחק בין שתי נקודות).
- קואורדינטות נקודת אמצע
- מכפלת נקודה של וקטורים
- זווית בין שני וקטורים
אני חושב שכבר ניחשתם למה שיטת הקואורדינטות נקראת כך? נכון שהוא קיבל שם כזה, שכן הוא לא פועל עם עצמים גיאומטריים, אלא עם המאפיינים המספריים שלהם (קואורדינטות). והטרנספורמציה עצמה, המאפשרת לעבור מגיאומטריה לאלגברה, מורכבת מהכנסת מערכת קואורדינטות. אם הדמות המקורית הייתה שטוחה, אז הקואורדינטות הן דו מימדיות, ואם הדמות היא תלת מימדית, אז הקואורדינטות הן תלת מימדיות. במאמר זה נשקול רק את המקרה הדו-ממדי. והמטרה העיקרית של המאמר היא ללמד אותך כיצד להשתמש בכמה טכניקות בסיסיות של שיטת הקואורדינטות (לפעמים הן מתבררות כמועילות בפתרון בעיות בפלנימטריה בחלק ב' של בחינת המדינה המאוחדת). שני הסעיפים הבאים בנושא זה מוקדשים לדיון בשיטות לפתרון בעיות C2 (בעיית הסטריאומטריה).
איפה יהיה הגיוני להתחיל לדון בשיטת הקואורדינטות? כנראה עם הרעיון של מערכת קואורדינטות. זכור מתי פגשת אותה לראשונה. נראה לי שבכיתה ז', כשלמדת על קיומה של פונקציה לינארית למשל. תן לי להזכיר לך שבנית את זה נקודה אחר נקודה. האם אתה זוכר? בחרת מספר שרירותי, החלפת אותו בנוסחה וחישבת בדרך זו. למשל, אם, אז, אם, אז וכו'. מה קיבלת כתוצאה מכך? וקיבלתם נקודות עם קואורדינטות: ו. לאחר מכן, ציירת "צלב" (מערכת קואורדינטות), בחרת עליו קנה מידה (כמה תאים יהיו לך כמקטע בודד) וסימנת עליו את הנקודות שקיבלת, שאותן חיברת עם קו ישר, וכתוצאה מכך. קו הוא הגרף של הפונקציה.
יש כמה דברים שצריך להסביר לך קצת יותר בפירוט:
1. אתה בוחר קטע בודד מטעמי נוחות, כדי שהכל ישתלב יפה וקומפקטי בתמונה
2. ההנחה היא שהציר הולך משמאל לימין, והציר הולך מלמטה למעלה
3. הם מצטלבים בזווית ישרה, ונקודת החיתוך שלהם נקראת המוצא. זה מסומן באות.
4. ברשומה של הקואורדינטה של נקודה, למשל, משמאל בסוגריים נמצאת הקואורדינטה של הנקודה לאורך הציר, ומימין, לאורך הציר. בפרט, פשוט אומר שהנקודה
5. על מנת להגדיר נקודה כלשהי על ציר הקואורדינטות, עליך לציין את הקואורדינטות שלה (2 מספרים)
6. לכל נקודה השוכבת על הציר,
7. לכל נקודה השוכבת על הציר,
8. הציר נקרא ציר ה-x
9. הציר נקרא ציר ה-y
עכשיו בואו ניקח איתך את הצעד הבא: סמן שתי נקודות. חבר את שתי הנקודות הללו עם קו. ונשים את החץ כאילו אנו מציירים קטע מנקודה לנקודה: כלומר, נהפוך את הקטע שלנו למכוון!
זוכר מה זה שם אחר לקטע מכוון? זה נכון, זה נקרא וקטור!
לפיכך, אם נחבר נקודה לנקודה, וההתחלה תהיה נקודה א', והסוף תהיה נקודה ב',ואז נקבל וקטור. גם אתה עשית את הבנייה הזו בכיתה ח', זוכר?
מתברר כי וקטורים, כמו נקודות, יכולים להיות מסומנים בשני מספרים: המספרים הללו נקראים הקואורדינטות של הווקטור. שאלה: האם לדעתך מספיק שנדע את הקואורדינטות של ההתחלה והסוף של הווקטור כדי למצוא את הקואורדינטות שלו? מסתבר שכן! וזה מאוד קל לעשות:
לפיכך, מכיוון שבווקטור הנקודה היא ההתחלה והסוף, לוקטור יש את הקואורדינטות הבאות:
לדוגמה, אם, אז הקואורדינטות של הווקטור
עכשיו בואו נעשה את ההפך, נמצא את הקואורדינטות של הווקטור. מה אנחנו צריכים לשנות בשביל זה? כן, אתה צריך להחליף את ההתחלה והסוף: עכשיו ההתחלה של הווקטור תהיה בנקודה, והסוף בנקודה. לאחר מכן:
תסתכל היטב, מה ההבדל בין וקטורים לבין? ההבדל היחיד ביניהם הוא הסימנים בקואורדינטות. הם הפוכים. עובדה זו כתובה כך:
לפעמים, אם לא מצוין במפורש איזו נקודה היא ההתחלה של הווקטור, ומהו הסוף, אז הווקטורים מסומנים לא בשתי אותיות גדולות, אלא באות קטנה אחת, למשל: וכו'.
עכשיו קצת תרגולומצא את הקואורדינטות של הוקטורים הבאים:
בְּדִיקָה:
עכשיו פתור את הבעיה קצת יותר קשה:
לטורוס וקטור עם on-cha-scrap בנקודה יש שיתוף או די-עליך. מצא-di-te abs-cis-su נקודות.
כל זאת פרוזאית למדי: תנו להיות הקואורדינטות של הנקודה. לאחר מכן
הרכבתי את המערכת על ידי קביעה מהן הקואורדינטות של וקטור. אז לנקודה יש קואורדינטות. אנחנו מתעניינים באבשיסה. לאחר מכן
תשובה:
מה עוד אפשר לעשות עם וקטורים? כן, כמעט הכל זהה למספרים רגילים (חוץ מזה שאתה לא יכול לחלק, אבל אתה יכול להכפיל בשתי דרכים, על אחת מהן נדון כאן קצת מאוחר יותר)
- וקטורים יכולים להיות מוערמים אחד עם השני
- וקטורים ניתן לגרוע אחד מהשני
- ניתן להכפיל (או לחלק) וקטורים במספר שרירותי שאינו אפס
- ניתן להכפיל וקטורים אחד עם השני
לכל הפעולות הללו יש ייצוג גיאומטרי חזותי למדי. לדוגמה, כלל המשולש (או המקבילית) עבור חיבור וחיסור:
וקטור נמתח או מכווץ או משנה כיוון כאשר מכפלים או מחלקים במספר:
עם זאת, כאן נתעניין בשאלה מה קורה לקואורדינטות.
1. כאשר מוסיפים (חיסור) שני וקטורים, נוסיף (מחסיר) את הקואורדינטות שלהם אלמנט אחר אלמנט. זה:
2. כשמכפילים (מחלקים) וקטור במספר, כל הקואורדינטות שלו מוכפלות (מחלקים) במספר זה:
לדוגמה:
· מצא-די-הסכום של ko-or-di-nat מאה-to-ra.
תחילה נמצא את הקואורדינטות של כל אחד מהווקטורים. לשניהם מוצא זהה - נקודת המוצא. הקצוות שלהם שונים. לאחר מכן, . כעת אנו מחשבים את הקואורדינטות של הווקטור ואז סכום הקואורדינטות של הווקטור המתקבל שווה ל.
תשובה:
כעת פתור את הבעיה הבאה בעצמך:
· מצא את סכום הקואורדינטות של הווקטור
אנחנו בודקים:
הבה נשקול כעת את הבעיה הבאה: יש לנו שתי נקודות במישור הקואורדינטות. איך למצוא את המרחק ביניהם? תן לנקודה הראשונה להיות, והשנייה. הבה נסמן את המרחק ביניהם בתור . בואו נעשה את הציור הבא לבהירות:
מה אני עשיתי? אני, ראשית, חיברתי את הנקודות, וגם ציירתי קו מקביל לציר מהנקודה, וציירתי קו מקביל לציר מהנקודה. האם הם הצטלבו בנקודה מסוימת ויצרו דמות נפלאה? למה היא נפלאה? כן, אתה ואני כמעט יודעים הכל על משולש ישר זווית. ובכן, משפט פיתגורס, ללא ספק. הקטע הרצוי הוא התחתון של משולש זה, והקטעים הם הרגליים. מהן הקואורדינטות של הנקודה? כן, קל למצוא אותם מהתמונה: מכיוון שהקטעים מקבילים לצירים ובהתאמה קל למצוא את אורכם: אם נסמן את אורכי הקטעים, בהתאמה, דרך, אז
כעת נשתמש במשפט פיתגורס. אנחנו יודעים את אורכי הרגליים, נמצא את ההיפוטנוז:
לפיכך, המרחק בין שתי נקודות הוא סכום השורש של ההבדלים בריבוע מהקואורדינטות. או - המרחק בין שתי נקודות הוא אורך הקטע המחבר ביניהן. קל לראות שהמרחק בין הנקודות אינו תלוי בכיוון. לאחר מכן:
מכאן אנו מסיקים שלוש מסקנות:
בואו נתאמן קצת על חישוב המרחק בין שתי נקודות:
לדוגמה, אם, אז המרחק בין לבין הוא
או בוא נלך אחרת: מצא את הקואורדינטות של הווקטור
ומצא את אורך הווקטור:
כפי שאתה יכול לראות, זה אותו דבר!
עכשיו תתאמן קצת לבד:
משימה: מצא את המרחק בין הנקודות הנתונות:
אנחנו בודקים:
להלן עוד כמה בעיות עבור אותה נוסחה, אם כי הן נשמעות מעט שונות:
1. מצא-di-te את הריבוע של אורך העפעף-to-ra.
2. Nai-di-te ריבוע של עפעף אורך-to-ra
אני מנחש שאתה יכול להתמודד איתם בקלות? אנחנו בודקים:
1. וזה לשם תשומת לב) כבר מצאנו את הקואורדינטות של הוקטורים לפני: . אז לוקטור יש קואורדינטות. הריבוע של אורכו יהיה:
2. מצא את הקואורדינטות של הווקטור
אז הריבוע של אורכו הוא
שום דבר מסובך, נכון? חשבון פשוט, לא יותר.
לא ניתן לסווג באופן חד משמעי את החידות הבאות, הן מיועדות ללימוד כללי וליכולת לצייר תמונות פשוטות.
1. מצא-די-הסינוס של הזווית על-clo-on-from-cut, חבר-n-n-th-th point, עם ציר abscissa.
ו
איך נעשה את זה כאן? אתה צריך למצוא את הסינוס של הזווית בין הציר. והיכן נוכל לחפש את הסינוס? נכון, במשולש ישר זווית. אז מה אנחנו צריכים לעשות? בנה את המשולש הזה!
מאז הקואורדינטות של הנקודה ו, אז הקטע שווה, והקטע. אנחנו צריכים למצוא את הסינוס של הזווית. הרשו לי להזכיר לכם שהסינוס הוא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית, אם כן
מה נשאר לנו לעשות? מצא את ההיפוטנוזה. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים: באמצעות משפט פיתגורס (הרגליים ידועות!) או שימוש בנוסחה למרחק בין שתי נקודות (בעצם זהה לשיטה הראשונה!). אני אלך בדרך השנייה:
תשובה:
המשימה הבאה תיראה לך אפילו קלה יותר. היא - על הקואורדינטות של הנקודה.
משימה 2.מהנקודה, ה-per-pen-di-kular מורידים על ציר abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.
בואו נעשה ציור:
הבסיס של הניצב הוא הנקודה בה הוא חותך את ציר ה-x (ציר) מבחינתי זו נקודה. האיור מראה שיש לו קואורדינטות: . אנו מעוניינים באבשיסה - כלומר, רכיב ה"X". היא שווה.
תשובה: .
משימה 3.בתנאים של הבעיה הקודמת, מצא את סכום המרחקים מהנקודה לצירי הקואורדינטות.
המשימה היא בדרך כלל יסודית אם אתה יודע מה המרחק מנקודה לצירים. אתה יודע? אני מקווה, אבל בכל זאת אני מזכיר לך:
אז, בציור שלי, הממוקם קצת יותר גבוה, כבר תיארתי אנך אחד כזה? באיזה ציר מדובר? אל הציר. ומה אורכו אם כן? היא שווה. כעת צייר בעצמך מאונך לציר ומצא את אורכו. זה יהיה שווה, נכון? אז הסכום שלהם שווה.
תשובה: .
משימה 4.בתנאים של בעיה 2, מצא את האידינטה של הנקודה סימטרית לנקודה סביב ציר ה-x.
אני חושב שאתה מבין אינטואיטיבית מהי סימטריה? להרבה מאוד חפצים יש את זה: מבנים רבים, שולחנות, מישורים, צורות גיאומטריות רבות: כדור, גליל, ריבוע, מעוין וכו'. בגדול אפשר להבין את הסימטריה כך: דמות מורכבת משניים (או יותר) חצאים זהים. סימטריה זו נקראת צירית. מהו אם כן ציר? זה בדיוק הקו שלאורכו אפשר "לחתוך" את הדמות, יחסית, לחצאים זהים (בתמונה זו ציר הסימטריה ישר):
עכשיו בואו נחזור למשימה שלנו. אנחנו יודעים שאנחנו מחפשים נקודה שהיא סימטרית על הציר. אז הציר הזה הוא ציר הסימטריה. אז, אנחנו צריכים לסמן נקודה כך שהציר חותך את הקטע לשני חלקים שווים. נסו לסמן נקודה כזו בעצמכם. עכשיו השווה עם הפתרון שלי:
עשית אותו הדבר? בסדר גמור! בנקודה שנמצאה, אנו מעוניינים באורינטה. היא שווה
תשובה:
עכשיו תגיד לי, לאחר מחשבה שנייה, מה תהיה האבססיס של הנקודה הסימטרית לנקודה A על ציר ה-y? מה התשובה שלך? תשובה נכונה: .
באופן כללי, ניתן לכתוב את הכלל כך:
לנקודה סימטרית לנקודה סביב ציר ה-x יש את הקואורדינטות:
לנקודה סימטרית לנקודה סביב ציר ה-y יש קואורדינטות:
ובכן, עכשיו זה ממש מפחיד. מְשִׁימָה: מצא את הקואורדינטות של נקודה שהיא סימטרית לנקודה, ביחס למקור. תחשוב קודם בעצמך, ואז תסתכל על הציור שלי!
תשובה:
עַכשָׁיו בעיה מקבילית:
משימה 5: הנקודות הן ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te or-dee-on-tu נקודות.
אתה יכול לפתור בעיה זו בשתי דרכים: לוגיקה ושיטת הקואורדינטות. קודם כל אחיל את שיטת הקואורדינטות, ואחר כך אספר לך איך אתה יכול להחליט אחרת.
די ברור שהאבססיס של הנקודה שווה. (הוא שוכב על הניצב המצויר מהנקודה לציר ה-x). אנחנו צריכים למצוא את ה-ordinate. בואו ננצל את העובדה שהדמות שלנו היא מקבילית, כלומר. מצא את אורך הקטע באמצעות הנוסחה למרחק בין שתי נקודות:
אנו מורידים את הניצב המחבר את הנקודה עם הציר. נקודת ההצטלבות מסומנת באות.
אורך הקטע שווה. (מצא את הבעיה בעצמך, היכן שדנו ברגע זה), ואז נמצא את אורך הקטע באמצעות משפט פיתגורס:
אורכו של הקטע זהה לחלוטין לאשריטה שלו.
תשובה: .
פתרון נוסף (אני רק אביא תמונה שממחישה את זה)
התקדמות הפתרון:
1. להוציא
2. מצא קואורדינטות נקודות ואורך
3. תוכיח את זה.
עוד אחד בעיית אורך חיתוך:
הנקודות הן-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. מצא את אורך קו האמצע שלו, par-ral-lel-noy.
אתה זוכר מה הקו האמצעי של משולש? אז בשבילך המשימה הזו היא אלמנטרית. אם אינך זוכר, אזכיר לך: הקו האמצעי של משולש הוא קו המחבר בין נקודות האמצע של הצלעות הנגדיות. הוא מקביל לבסיס ושווה למחציתו.
הבסיס הוא קטע. היינו צריכים לחפש את האורך שלו מוקדם יותר, הוא שווה. אז אורך קו האמצע הוא חצי ארוך ושווה.
תשובה: .
הערה: ניתן לפתור בעיה זו בדרך אחרת, אליה נפנה מעט בהמשך.
בינתיים, הנה כמה משימות עבורכם, תתאמן עליהן, הן די פשוטות, אבל הן עוזרות "למלא את היד" בשיטת הקואורדינטות!
1. הנקודות מופיעות-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. מצא את אורך קו האמצע שלו.
2. נקודות ו-yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te or-dee-on-tu נקודות.
3. מצא את האורך מהחתך, חבר את הנקודה השנייה ו
4. מצא-די-te את האזור עבור-the-red-shen-noy fi-gu-ry במטוס ko-or-di-nat-noy.
5. עיגול שמרכזו ב-na-cha-le ko-or-di-nat עובר דרך נקודה. מצא-דה-טה שלה ra-di-שפם.
6. Nai-di-te ra-di-us מעגל-no-sti, תאר-san-noy ליד זווית ישרה-no-ka, העליון-shi-ny של משהו-ro-go יש שיתוף או - די-נה-אתה שותף מתשובה-אבל
פתרונות:
1. ידוע שקו האמצע של טרפז שווה למחצית מסכום הבסיסים שלו. הבסיס שווה, אבל הבסיס. לאחר מכן
תשובה:
2. הדרך הקלה ביותר לפתור בעיה זו היא לשים לב לכך (כלל המקבילה). חשב את הקואורדינטות של הוקטורים ולא קשה: . בעת הוספת וקטורים, הקואורדינטות מתווספות. ואז יש קואורדינטות. לנקודה יש אותן קואורדינטות, שכן תחילת הווקטור היא נקודה עם קואורדינטות. אנחנו מעוניינים באורינטה. היא שווה.
תשובה:
3. אנו פועלים מיד לפי הנוסחה למרחק בין שתי נקודות:
תשובה:
4. הסתכלו בתמונה ותגידו, בין אילו שתי דמויות "נסחט" האזור המוצל? הוא דחוס בין שני ריבועים. ואז שטח הדמות הרצויה שווה לשטח הריבוע הגדול מינוס שטח הקטן. צלע הריבוע הקטן הוא קטע המחבר בין הנקודות ואורכו הוא
ואז שטח הריבוע הקטן הוא
כך נעשה עם ריבוע גדול: הצלע שלו היא קטע המחבר בין הנקודות ואורכו שווה ל
ואז שטח הריבוע הגדול הוא
השטח של הדמות הרצויה נמצא על ידי הנוסחה:
תשובה:
5. אם למעגל יש את המוצא כמרכזו והוא עובר דרך נקודה, אז הרדיוס שלו יהיה שווה בדיוק לאורך הקטע (ערכו ציור ותבינו למה זה ברור). מצא את האורך של קטע זה:
תשובה:
6. ידוע שרדיוס מעגל המוקף סביב מלבן שווה למחצית מהאלכסון שלו. בואו נמצא את האורך של כל אחד משני האלכסונים (אחרי הכל, במלבן הם שווים!)
תשובה:
ובכן, הסתדרת הכל? זה לא היה כל כך קשה להבין את זה, נכון? יש כאן רק כלל אחד - להיות מסוגל ליצור תמונה ויזואלית ופשוט "לקרוא" את כל הנתונים ממנה.
נשאר לנו מעט מאוד. ישנן שתי נקודות נוספות שהייתי רוצה לדון בהן.
בואו ננסה לפתור את הבעיה הפשוטה הזו. תן שתי נקודות וניתן. מצא את הקואורדינטות של אמצע הקטע. הפתרון לבעיה זו הוא כדלקמן: תן לנקודה להיות האמצע הרצוי, אז יש לה קואורדינטות:
זה: קואורדינטות של אמצע הקטע = ממוצע אריתמטי של הקואורדינטות המתאימות של קצוות הקטע.
כלל זה פשוט מאוד ובדרך כלל אינו גורם לקשיים לתלמידים. בואו נראה באילו בעיות וכיצד משתמשים בו:
1. מצא-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point and
2. הנקודות הן yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. מצא-di-te or-di-na-tu נקודות של re-re-se-che-niya של dia-go-on-lei שלו.
3. מצא-di-te abs-cis-su של מרכז המעגל, תאר-san-noy ליד המלבן-no-ka, tops-shi-We have something-ro-go co-or-di- נא-אתה שותף מ-vet-stvenno-אבל.
פתרונות:
1. המשימה הראשונה היא פשוט קלאסיקה. אנו פועלים מיד על ידי קביעת נקודת האמצע של הקטע. יש לה קואורדינטות. הסמין שווה.
תשובה:
2. קל לראות שהמרובע הנתון הוא מקבילית (אפילו מעוין!). אתה יכול להוכיח זאת בעצמך על ידי חישוב אורכי הצלעות והשוואה ביניהן. מה אני יודע על מקבילית? האלכסונים שלו חצויים על ידי נקודת החיתוך! אהה! אז מה היא נקודת החיתוך של האלכסונים? זהו האמצע של כל אחד מהאלכסונים! אני אבחר, במיוחד, באלכסון. אז לנקודה יש קואורדינטות.האורדינטה של הנקודה שווה ל.
תשובה:
3. מהו מרכז המעגל המוקף סביב המלבן? זה עולה בקנה אחד עם נקודת החיתוך של האלכסונים שלו. מה אתה יודע על האלכסונים של מלבן? הם שווים ונקודת החיתוך מחולקת לשניים. המשימה צומצמה לקודמתה. קח, למשל, את האלכסון. אז אם הוא מרכז המעגל המוקף, אז הוא האמצע. אני מחפש קואורדינטות: האבשיסה שווה.
תשובה:
עכשיו תתאמן קצת לבד, אני אתן רק את התשובות לכל בעיה כדי שתוכל לבדוק את עצמך.
1. Nai-di-te ra-di-us מעגל-no-sti, תאר-san-noy ליד המשולש-no-ka, בחלק העליון של מישהו-ro-go יש ko-or-di-no misters
2. מצא-di-te or-di-na-tu את מרכז המעגל, תאר את san-noy ליד המשולש-no-ka, את tops-shi-יש לנו קואורדינטות משהו-ro-go
3. איזה סוג של ra-di-y-sa צריך להיות עיגול עם מרכז בנקודה כך שהוא נוגע בציר האבס-סיס?
4. מצא-di-te or-di-on-the point of re-re-se-che-ing של הציר ומ-cut, connect-nya-yu-th-th point and
תשובות:
הכל הסתדר? אני ממש מקווה לזה! עכשיו - הדחיפה האחרונה. עכשיו היזהר במיוחד. החומר שאסביר כעת אינו רלוונטי רק לבעיות שיטת הקואורדינטות הפשוטות בחלק ב', אלא נמצא גם לאורך בעיה C2.
אילו מההבטחות שלי עדיין לא עמדתי? זוכר אילו פעולות על וקטורים הבטחתי להציג ואילו בסופו של דבר הצגתי? אני בטוח שלא שכחתי כלום? שכח! שכחתי להסביר מה המשמעות של כפל וקטורים.
ישנן שתי דרכים להכפיל וקטור בוקטור. בהתאם לשיטה שנבחרה, נקבל חפצים בעלי אופי שונה:
המוצר הווקטורי הוא די מסובך. איך לעשות את זה ולמה זה נחוץ, נדון איתך במאמר הבא. ובזה נתמקד במוצר הסקלרי.
יש כבר שתי דרכים שמאפשרות לנו לחשב אותו:
כפי שניחשתם, התוצאה צריכה להיות זהה! אז בואו נסתכל תחילה על הדרך הראשונה:
נקדו את המוצר דרך הקואורדינטות
מצא: - סימון נפוץ למוצר נקודה
הנוסחה לחישוב היא כדלקמן:
כלומר מכפלת הנקודה = סכום מכפלות הקואורדינטות של הוקטורים!
דוגמא:
מצא-די-טה
פִּתָרוֹן:
מצא את הקואורדינטות של כל אחד מהווקטורים:
אנו מחשבים את התוצר הסקלרי לפי הנוסחה:
תשובה:
אתה מבין, שום דבר לא מסובך!
ובכן, עכשיו נסה זאת בעצמך:
Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie מאה-to-dich and
הסתדרת? אולי הוא שם לב לטריק קטן? בוא נבדוק:
קואורדינטות וקטוריות, כמו במשימה הקודמת! תשובה: .
בנוסף לקואורדינטה, ישנה דרך נוספת לחשב את המכפלה הסקלרית, כלומר דרך אורכי הווקטורים והקוסינוס של הזווית ביניהם:
מציין את הזווית בין הוקטורים ו.
כלומר, המכפלה הסקלרית שווה למכפלת אורכי הווקטורים והקוסינוס של הזווית ביניהם.
למה אנחנו צריכים את הנוסחה השנייה הזו, אם יש לנו את הראשונה, שהיא הרבה יותר פשוטה, לפחותאין קוסינוסים. ואנחנו צריכים את זה כדי שמהנוסחה הראשונה והשנייה נוכל להסיק איך למצוא את הזווית בין וקטורים!
תן אז לזכור את הנוסחה לאורך של וקטור!
ואז אם אני מחבר את הנתונים האלה לנוסחת המוצר הנקודה, אני מקבל:
אבל בדרך אחרת:
אז מה יש לנו? כעת יש לנו נוסחה לחישוב הזווית בין שני וקטורים! לפעמים, למען הקיצור, נכתב גם כך:
כלומר, האלגוריתם לחישוב הזווית בין הוקטורים הוא כדלקמן:
- אנו מחשבים את התוצר הסקלרי באמצעות הקואורדינטות
- מצא את אורכי הווקטורים והכפל אותם
- חלקו את התוצאה של נקודה 1 בתוצאה של נקודה 2
בואו נתאמן עם דוגמאות:
1. מצא את הזווית בין העפעפיים ל-ra-mi ו. תן את תשובתך במעלות.
2. בתנאים של הבעיה הקודמת, מצא את הקוסינוס בין הוקטורים
בוא נעשה זאת: אני אעזור לך לפתור את הבעיה הראשונה, ואנסה לעשות את השנייה בעצמך! לְהַסכִּים? אז בואו נתחיל!
1. הווקטורים האלה הם החברים הוותיקים שלנו. כבר שקלנו את המוצר הסקלרי שלהם והוא היה שווה. הקואורדינטות שלהם הן: , . ואז אנו מוצאים את האורכים שלהם:
אז אנחנו מחפשים את הקוסינוס בין הוקטורים:
מהו הקוסינוס של הזווית? זו הפינה.
תשובה:
ובכן, עכשיו פתור את הבעיה השנייה בעצמך, ואז השווה! אני רק אתן פתרון קצר מאוד:
2. יש קואורדינטות, יש קואורדינטות.
תן להיות הזווית בין הוקטורים ולאחר מכן
תשובה:
יש לציין שהמשימות ישירות על הוקטורים ושיטת הקואורדינטות בחלק ב' של עבודת הבחינה נדירות למדי. עם זאת, ניתן לפתור בקלות את הרוב המכריע של בעיות C2 על ידי הכנסת מערכת קואורדינטות. אז אתה יכול לשקול את המאמר הזה כבסיס, שעל בסיסו ניצור קונסטרוקציות מסובכות למדי שנצטרך לפתור בעיות מורכבות.
קואורדינאטות ווקטורים. רמת ביניים
אתה ואני ממשיכים ללמוד את שיטת הקואורדינטות. בחלק האחרון, הפקנו מספר נוסחאות חשובות המאפשרות:
- מצא קואורדינטות וקטוריות
- מצא את אורכו של וקטור (לחלופין: המרחק בין שתי נקודות)
- הוסף, הורד וקטורים. הכפל אותם במספר ממשי
- מצא את נקודת האמצע של קטע
- חשב מכפלת נקודות של וקטורים
- מצא את הזווית בין הוקטורים
כמובן שכל שיטת הקואורדינטות אינה מתאימה ל-6 הנקודות הללו. הוא עומד בבסיס מדע כמו גיאומטריה אנליטית, שתכירו באוניברסיטה. אני רק רוצה לבנות בסיס שיאפשר לך לפתור בעיות במצב אחד. מבחן. הבנו את המשימות של חלק ב' עכשיו הגיע הזמן לעבור לרמה חדשה מבחינה איכותית! מאמר זה יוקדש לשיטה לפתרון אותן בעיות C2 שבהן יהיה סביר לעבור לשיטת הקואורדינטות. סבירות זו נקבעת לפי מה צריך למצוא בבעיה, ואיזה נתון ניתן. אז, הייתי משתמש בשיטת הקואורדינטות אם השאלות הן:
- מצא את הזווית בין שני מישורים
- מצא את הזווית בין ישר למישור
- מצא את הזווית בין שני קווים
- מצא את המרחק מנקודה למישור
- מצא את המרחק מנקודה לישר
- מצא את המרחק מקו ישר למישור
- מצא את המרחק בין שני קווים
אם הדמות שניתנה במצב הבעיה היא גוף מהפכה (כדור, צילינדר, חרוט...)
נתונים מתאימים לשיטת הקואורדינטות הם:
- קוביד
- פירמידה (משולש, מרובע, משושה)
גם מניסיוני זה לא מתאים להשתמש בשיטת הקואורדינטות עבור:
- מציאת תחומי המדורים
- חישובי נפחים של גופים
עם זאת, יש לציין מיד כי שלושה מצבים "לא נוחים" עבור שיטת הקואורדינטות הם די נדירים בפועל. ברוב המשימות, זה יכול להפוך למושיע שלך, במיוחד אם אתה לא חזק מאוד בקונסטרוקציות תלת מימדיות (שלפעמים הן די מורכבות).
מה הם כל הדמויות שרשמתי למעלה? הם כבר לא שטוחים, כמו ריבוע, משולש, עיגול, אלא נפחיים! בהתאם לכך, עלינו לשקול לא מערכת קואורדינטות דו-ממדית, אלא תלת-ממדית. הוא נבנה די בקלות: רק בנוסף לאבסקיסה והאורדינטות, נציג ציר נוסף, ציר היישום. האיור מציג באופן סכמטי את מיקומם היחסי:
כולם מאונכים זה לזה, מצטלבים בנקודה אחת, שאותה נקרא המקור. ציר האבססיס, כמו קודם, יסומן, ציר הסמיכה - , וציר היישום המובא - .
אם קודם לכן כל נקודה במישור אופיינה בשני מספרים - האבשיסה והאורדינטה, הרי שכל נקודה במרחב כבר מתוארת בשלושה מספרים - האבססיס, הסמטה, היישום. לדוגמה:
בהתאם לכך, האבססיס של הנקודה שווה, הסמין הוא , והיישום הוא .
לפעמים האבשיסה של נקודה נקראת גם השלכה של הנקודה על ציר האבשיסה, הסמטה היא הקרנה של הנקודה על ציר הסמטה, והאפליקט היא השלכה של הנקודה על ציר היישום. בהתאם לכך, אם ניתנת נקודה אז, נקודה עם קואורדינטות:
נקרא הקרנה של נקודה על מישור
נקרא הקרנה של נקודה על מישור
מתעוררת שאלה טבעית: האם כל הנוסחאות הנגזרות למקרה הדו-ממדי תקפות במרחב? התשובה היא כן, הם צודקים ויש להם אותו מראה. לפרט קטן. אני חושב שכבר ניחשתם איזה. בכל הנוסחאות, נצטרך להוסיף עוד מונח אחד האחראי על ציר היישום. כלומר.
1. אם ניתנות שתי נקודות: , אז:
- קואורדינטות וקטוריות:
- מרחק בין שתי נקודות (או אורך וקטור)
- באמצע הקטע יש קואורדינטות
2. אם ניתנים שני וקטורים: וכן, אז:
- מוצר הנקודה שלהם הוא:
- הקוסינוס של הזווית בין הוקטורים הוא:
עם זאת, החלל אינו כל כך פשוט. כפי שאתם מבינים, הוספת קואורדינטה אחת נוספת מציגה מגוון משמעותי בספקטרום הדמויות ה"חיות" בחלל הזה. ולקראות נוספת, אני צריך להציג קצת, באופן גס, "הכללה" של הקו הישר. ה"הכללה" הזו תהיה מטוס. מה אתה יודע על מטוס? נסו לענות על השאלה, מהו מטוס? קשה מאוד לומר. עם זאת, כולנו מדמיינים באופן אינטואיטיבי איך זה נראה:
באופן גס, זהו סוג של "עלה" אינסופי שנדחף לחלל. יש להבין את "אינסוף" שהמישור משתרע לכל הכיוונים, כלומר שטחו שווה לאינסוף. עם זאת, הסבר זה "על האצבעות" אינו נותן שמץ של מושג על מבנה המטוס. ואנחנו נתעניין בזה.
בואו נזכור את אחת האקסיומות הבסיסיות של הגיאומטריה:
- קו ישר עובר דרך שתי נקודות שונות במישור, יתר על כן, רק אחת:
או האנלוגי שלו בחלל:
כמובן, אתה זוכר איך לגזור את המשוואה של ישר משתי נקודות נתונות, זה בכלל לא קשה: אם לנקודה הראשונה יש קואורדינטות: והשנייה, אז המשוואה של הישר תהיה כדלקמן:
עברת את זה בכיתה ז'. במרחב, משוואת הישר נראית כך: תנו לנו שתי נקודות עם קואורדינטות: אז למשוואת הישר העובר דרכן יש את הצורה:
לדוגמה, קו עובר דרך נקודות:
כיצד יש להבין זאת? יש להבין זאת באופן הבא: נקודה שוכנת על קו אם הקואורדינטות שלה עומדות במערכת הבאה:
לא נתעניין מאוד במשוואה של קו ישר, אבל אנחנו צריכים לשים לב למושג החשוב מאוד של וקטור המכוון של קו ישר. - כל וקטור שאינו אפס השוכב על קו נתון או מקביל לו.
לדוגמה, שני הוקטורים הם וקטורי כיוון של קו ישר. בואו להיות נקודה השוכנת על קו ישר, ולהיות הווקטור המכוון שלה. אז ניתן לכתוב את המשוואה של קו ישר בצורה הבאה:
שוב, אני לא מאוד אתעניין במשוואה של קו ישר, אבל אני באמת צריך שתזכרו מהו וקטור כיוון! שוב: זה כל וקטור שאינו אפס השוכב על קו, או מקביל לו.
לָסֶגֶת משוואת שלוש נקודות של מישורכבר לא כל כך טריוויאלי, ובדרך כלל לא מכוסה בקורס בתיכון. אך לשווא! טכניקה זו חיונית כאשר אנו פונים לשיטת הקואורדינטות כדי לפתור בעיות מורכבות. עם זאת, אני מניח שאתה מלא ברצון ללמוד משהו חדש? יתרה מכך, תוכלו להרשים את המורה שלכם באוניברסיטה כאשר יתברר שאתם כבר יודעים כיצד להשתמש בטכניקה שנלמדת בדרך כלל במסגרת הגיאומטריה האנליטית. אז בואו נתחיל.
המשוואה של מישור אינה שונה מדי מהמשוואה של קו ישר במישור, כלומר, יש לה את הצורה:
כמה מספרים (לא כולם שווים לאפס), אבל משתנים, למשל: וכו'. כפי שאתה יכול לראות, משוואת מישור אינה שונה מאוד מהמשוואה של ישר (פונקציה לינארית). עם זאת, זוכר מה התווכחנו איתך? אמרנו שאם יש לנו שלוש נקודות שאינן שוכנות על קו ישר אחד, אז משוואת המישור משוחזרת מהן באופן ייחודי. אבל איך? אני אנסה להסביר לך.
מכיוון שמשוואת המישור היא:
והנקודות שייכות למישור הזה, אז כאשר מחליפים את הקואורדינטות של כל נקודה במשוואת המישור, אנחנו צריכים לקבל את הזהות הנכונה:
לפיכך, יש צורך לפתור שלוש משוואות כבר עם לא ידועים! דִילֶמָה! עם זאת, אנחנו תמיד יכולים להניח את זה (בשביל זה אנחנו צריכים לחלק ב). לפיכך, נקבל שלוש משוואות עם שלושה לא ידועים:
עם זאת, לא נפתור מערכת כזו, אלא נכתוב את הביטוי הצפוי שנובע ממנה:
משוואת מישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות
\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(מערך)) \right| = 0\]
תפסיק! מה זה עוד? איזה מודול מאוד יוצא דופן! עם זאת, לאובייקט שאתה רואה מולך אין שום קשר למודול. אובייקט זה נקרא דטרמיננט מסדר שלישי. מעתה והלאה, כאשר אתה מתעסק בשיטת הקואורדינטות במישור, לעתים קרובות תתקל בגורמים הקובעים האלה. מהו קובע מסדר שלישי? באופן מוזר, זה רק מספר. נותר להבין איזה מספר ספציפי נשווה עם הקובע.
תחילה נכתוב את הקובע מסדר שלישי בצורה כללית יותר:
איפה יש מספרים. יתרה מכך, באינדקס הראשון אנו מתכוונים למספר השורה, ובאינדקס - מספר העמודה. לדוגמה, זה אומר שהמספר הנתון נמצא בצומת של השורה השנייה והעמודה השלישית. בואו נציב את השאלה הבאה: איך בדיוק אנחנו הולכים לחשב מדד כזה? כלומר, עם איזה מספר ספציפי נשווה אותו? עבור הקובע בדיוק מהסדר השלישי, יש כלל משולש היוריסטי (חזותי), זה נראה כך:
- מכפלת מרכיבי האלכסון הראשי (משמאל למעלה לימין למטה) מכפלת היסודות היוצרים את המשולש הראשון "מאונך" לאלכסון הראשי מכפלת היסודות היוצרים את המשולש השני "מאונך" לראשי. אֲלַכסוֹנִי
- מכפלת האלמנטים של האלכסון המשני (מהפינה הימנית העליונה לשמאל התחתונה) מכפלת היסודות היוצרים את המשולש הראשון "מאונך" של האלכסון המשני מכפלת היסודות היוצרים את המשולש השני "מאונך" של האלכסון המשני
- אז הקובע שווה להפרש בין הערכים שהושגו בשלב ו
אם נכתוב את כל זה במספרים, נקבל את הביטוי הבא:
עם זאת, אתה לא צריך לשנן את שיטת החישוב בצורה זו, זה מספיק רק לשמור את המשולשים בראש שלך ואת עצם הרעיון של מה מתווסף למה ומה מופחת אז ממה).
בואו נמחיש את שיטת המשולש בדוגמה:
1. חשב את הקובע:
בואו נבין מה נוסיף ומה נחסר:
מונחים שמגיעים עם "פלוס":
זהו האלכסון העיקרי: מכפלת היסודות היא
המשולש הראשון, "מאונך לאלכסון הראשי: מכפלת היסודות היא
המשולש השני, "מאונך לאלכסון הראשי: מכפלת היסודות היא
נוסיף שלושה מספרים:
מונחים שמגיעים עם "מינוס"
זהו אלכסון צדדי: מכפלת היסודות היא
המשולש הראשון, "מאונך לאלכסון המשני: מכפלת היסודות היא
המשולש השני, "מאונך לאלכסון המשני: מכפלת היסודות היא
נוסיף שלושה מספרים:
כל מה שנותר לעשות הוא להחסיר מסכום מונחי הפלוס את סכום המונחים מינוס:
לכן,
כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר מסובך ועל טבעי בחישוב של דטרמיננטים מסדר שלישי. פשוט חשוב לזכור על משולשים ולא לעשות טעויות חשבון. עכשיו נסה לחשב את עצמך:
אנחנו בודקים:
- המשולש הראשון בניצב לאלכסון הראשי:
- המשולש השני בניצב לאלכסון הראשי:
- סכום תנאי הפלוס:
- משולש ראשון מאונך לאלכסון הצלע:
- המשולש השני, מאונך לאלכסון הצלע:
- סכום האיברים עם מינוס:
- סכום של מונחי פלוס מינוס סכום של מינוס מונחים:
הנה עוד כמה גורמים קובעים עבורך, חשב את הערכים שלהם בעצמך והשווה עם התשובות:
תשובות:
ובכן, הכל תאם? מעולה, אז אתה יכול להמשיך הלאה! אם יש קשיים, אז העצה שלי היא כזו: באינטרנט יש חבורה של תוכנות לחישוב הקובע באינטרנט. כל מה שאתה צריך הוא להמציא את הקובע שלך, לחשב אותו בעצמך, ולאחר מכן להשוות אותו עם מה שהתוכנית מחשבת. וכך הלאה עד שהתוצאות מתחילות להתאים. אני בטוח שהרגע הזה לא יאחר לבוא!
כעת נחזור לקובע שכתבתי כשדיברתי על המשוואה של מישור שעובר דרך שלוש נקודות נתונות:
כל שעליכם לעשות הוא לחשב את ערכו ישירות (בשיטת המשולש) ולהגדיר את התוצאה שווה לאפס. באופן טבעי, מכיוון שהם משתנים, תקבל ביטוי כלשהו שתלוי בהם. הביטוי הזה הוא המשוואה של מישור שעובר דרך שלוש נקודות נתונות שאינן שוכנות על קו ישר אחד!
בואו נמחיש זאת בדוגמה פשוטה:
1. בנה את משוואת המישור העובר בנקודות
אנו מרכיבים קובע לשלוש הנקודות הללו:
מפשט:
כעת אנו מחשבים אותו ישירות לפי כלל המשולשים:
\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ ימין| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]
לפיכך, משוואת המישור העובר דרך הנקודות היא:
עכשיו נסה לפתור בעיה אחת בעצמך, ואז נדון בה:
2. מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודות
ובכן, בואו נדון בפתרון כעת:
אנו קובעים:
וחשב את הערך שלו:
אז למשוואת המישור יש את הצורה:
או, בצמצום בשיעור, אנו מקבלים:
כעת שתי משימות לשליטה עצמית:
- בנה את המשוואה של מישור העובר בשלוש נקודות:
תשובות:
הכל תאם? שוב, אם יש קשיים מסוימים, אז העצה שלי היא כזו: קח שלוש נקודות מהראש שלך (ברמת סבירות גבוהה שהן לא ישכבו על קו ישר אחד), בנה עליהן מטוס. ואז בדוק את עצמך באינטרנט. למשל באתר:
עם זאת, בעזרת דטרמיננטים, נבנה לא רק את משוואת המישור. זכור, אמרתי לך שעבור וקטורים, לא רק תוצר הנקודה מוגדר. יש גם וקטור, כמו גם מוצר מעורב. ואם המכפלה הסקלרית של שני וקטורים תהיה מספר, אז המכפלה הווקטורית של שני וקטורים תהיה וקטור, והווקטור הזה יהיה מאונך לאלו הנתונים:
יתר על כן, המודולוס שלו יהיה שווה לשטח המקבילית הבנויה על הוקטורים ו. נצטרך את הווקטור הזה כדי לחשב את המרחק מנקודה לישר. כיצד נוכל לחשב את מכפלת הצלב של וקטורים ואם ניתנות הקואורדינטות שלהם? הקובע של המסדר השלישי שוב בא לעזרתנו. עם זאת, לפני שאעבור לאלגוריתם לחישוב תוצר הצלב, אני צריך לעשות סטייה לירית קטנה.
סטייה זו נוגעת לוקטורי הבסיס.
באופן סכמטי הם מוצגים באיור:
למה אתה חושב שהם נקראים בסיסיים? העובדה היא :
או בתמונה:
התוקף של נוסחה זו ברור, כי:
מוצר וקטור
עכשיו אני יכול להתחיל להציג את המוצר המוצלב:
המכפלה הווקטורית של שני וקטורים היא וקטור שמחושב לפי הכלל הבא:
כעת ניתן כמה דוגמאות לחישוב המכפלה הצולבת:
דוגמה 1: מצא את המכפלה הצולבת של וקטורים:
פתרון: אני קובע:
ואני מחשב את זה:
כעת, מכתיבה דרך וקטורי בסיס, אחזור לסימון הווקטור הרגיל:
לכן:
עכשיו תנסה.
מוּכָן? אנחנו בודקים:
ובאופן מסורתי שניים משימות לשליטה:
- מצא את מכפלת הצלב של הוקטורים הבאים:
- מצא את מכפלת הצלב של הוקטורים הבאים:
תשובות:
מכפלה מעורבת של שלושה וקטורים
הבנייה האחרונה שאני צריך היא המכפלה המעורבת של שלושה וקטורים. זה, כמו סקלאר, הוא מספר. ישנן שתי דרכים לחשב זאת. - דרך הקובע, - דרך המוצר המעורב.
כלומר, נניח שיש לנו שלושה וקטורים:
לאחר מכן ניתן לחשב את המכפלה המעורבת של שלושה וקטורים, המסומנים ב:
1. - כלומר, המכפלה המעורבת היא המכפלה הסקלרית של וקטור והמכפלה הווקטורית של שני וקטורים אחרים
לדוגמה, המכפלה המעורבת של שלושה וקטורים היא:
נסו לחשב זאת בעצמכם באמצעות התוצר הווקטורי וודאו שהתוצאות תואמות!
ושוב - שתי דוגמאות לפתרון עצמאי:
תשובות:
בחירת מערכת קואורדינטות
ובכן, כעת יש לנו את כל הבסיס הדרוש לידע כדי לפתור בעיות סטריאומטריות מורכבות בגיאומטריה. עם זאת, לפני שנמשיך ישירות אל הדוגמאות והאלגוריתמים לפתרון אותם, אני מאמין שיהיה שימושי להתעכב על השאלה הבאה: איך בדיוק בחר מערכת קואורדינטות עבור דמות מסוימת.הרי הבחירה במיקום היחסי של מערכת הקואורדינטות והדמות במרחב היא שתקבע בסופו של דבר עד כמה יהיו החישובים מסורבלים.
אני מזכיר לך שבסעיף זה אנו שוקלים את הנתונים הבאים:
- קוביד
- פריזמה ישרה (משולשת, משושה...)
- פירמידה (משולש, מרובע)
- טטרהדרון (זהה לפירמידה משולשת)
עבור קובייה או קובייה, אני ממליץ על המבנה הבא:
כלומר, אני אמקם את הדמות "בפינה". הקובייה והקופסה הם דמויות טובות מאוד. עבורם, אתה תמיד יכול למצוא בקלות את הקואורדינטות של הקודקודים שלו. לדוגמה, אם (כפי שמוצג בתמונה)
אז קואורדינטות הקודקוד הן:
כמובן, אינך צריך לזכור זאת, אך רצוי לזכור כיצד למקם קובייה או קופסה מלבנית.
פריזמה ישרה
פריזמה היא דמות מזיקה יותר. אתה יכול לסדר אותו בחלל בדרכים שונות. עם זאת, אני חושב שהאופציה הבאה היא הטובה ביותר:
מנסרה משולשת:
כלומר, שמנו את אחת מצלעות המשולש כולה על הציר, ואחד הקודקודים חופף למקור.
פריזמה משושה:
כלומר, אחד הקודקודים חופף למקור, ואחד הצדדים שוכן על הציר.
פירמידה מרובעת ומשושה:
מצב דומה לקובייה: אנו משלבים שתי צלעות של הבסיס עם צירי הקואורדינטות, אנו משלבים את אחד הקודקודים עם המוצא. הקושי הקטן היחיד יהיה לחשב את הקואורדינטות של הנקודה.
עבור פירמידה משושה - זהה לפריזמה משושה. המשימה העיקרית תהיה שוב במציאת הקואורדינטות של הקודקוד.
טטרהדרון (פירמידה משולשת)
המצב דומה מאוד לזה שנתתי לפריזמה המשולשת: קודקוד אחד חופף למקור, צד אחד שוכן על ציר הקואורדינטות.
ובכן, עכשיו אתה ואני סוף סוף קרובים להתחיל לפתור בעיות. ממה שאמרתי ממש בתחילת המאמר, אתה יכול להסיק את המסקנה הבאה: רוב בעיות C2 מתחלקות ל-2 קטגוריות: בעיות לזווית ובעיות למרחק. ראשית, נשקול בעיות למציאת זווית. הם, בתורם, מחולקים לקטגוריות הבאות (ככל שהמורכבות גדלה):
בעיות במציאת פינות
- מציאת הזווית בין שני קווים
- מציאת הזווית בין שני מישורים
הבה נבחן את הבעיות הללו ברצף: נתחיל במציאת הזווית בין שני קווים ישרים. יאללה, תזכרו, האם אתה ואני פתרנו דוגמאות דומות בעבר? אתה זוכר, כי כבר היה לנו משהו דומה... חיפשנו זווית בין שני וקטורים. אני מזכיר לך, אם ניתנים שני וקטורים: ואז הזווית ביניהם נמצאת מהיחס:
כעת יש לנו מטרה - מציאת הזווית בין שני קווים ישרים. נעבור ל"תמונה השטוחה":
כמה זוויות נקבל כששני קווים מצטלבים? כבר דברים. נכון, רק שניים מהם אינם שווים, בעוד שאחרים אנכיים להם (ולכן חופפים להם). אז איזו זווית עלינו לשקול את הזווית בין שני קווים ישרים: או? כאן הכלל הוא: הזווית בין שני קווים ישרים היא תמיד לא יותר ממעלות. כלומר, משתי זוויות, תמיד נבחר את הזווית עם מידת המעלה הקטנה ביותר. כלומר, בתמונה זו הזווית בין שני הקווים שווה. כדי לא להתעסק בכל פעם במציאת הזוויות הקטנה מבין שתי, מתמטיקאים ערמומיים הציעו להשתמש במודול. לפיכך, הזווית בין שני קווים ישרים נקבעת על ידי הנוסחה:
לך, כקורא קשוב, הייתה צריכה להיות שאלה: מאיפה, בעצם, אנחנו מקבלים את המספרים האלה שאנחנו צריכים כדי לחשב את הקוסינוס של זווית? תשובה: ניקח אותם מקוקטורי הכיוון של הקווים! לפיכך, האלגוריתם למציאת הזווית בין שני קווים הוא כדלקמן:
- אנו מיישמים נוסחה 1.
או ביתר פירוט:
- אנו מחפשים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר הראשון
- אנו מחפשים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר השני
- חשב את מודול התוצר הסקלרי שלהם
- אנו מחפשים את אורך הווקטור הראשון
- אנו מחפשים את אורך הווקטור השני
- הכפל את התוצאות של נקודה 4 בתוצאות של נקודה 5
- נחלק את התוצאה של נקודה 3 בתוצאה של נקודה 6. נקבל את הקוסינוס של הזווית בין הקווים
- אם תוצאה זו מאפשרת לנו לחשב את הזווית במדויק, נחפש אותה
- אחרת, אנו כותבים דרך ה-arccosine
ובכן, עכשיו זה הזמן לעבור למשימות: אני אדגים את הפתרון של שתי הראשונות בפירוט, אציג בקצרה את הפתרון של עוד אחת, ואתן תשובות רק לשתי המשימות האחרונות, אתם חייבים עשה את כל החישובים עבורם בעצמך.
משימות:
1. ב-tet-ra-ed-re הימני, מצא-di-te את הזווית בין you-so-that tet-ra-ed-ra לבין הצד me-di-a-noy bo-ko-how.
2. בשש הפחם-פי-רא-מי-דה קדימה ימינה, המאה-רו-נה-אוס-נו-וניה שוות איכשהו, והצלעות הצדדיות שוות, מצא את הזווית בין הישר קווים ו.
3. האורכים של כל הקצוות של הארבעה-יו-רעך-פחם-נוי פי-רא-מי-די שווים זה לזה. מצא את הזווית בין הקווים הישרים ואם מ-re-zok - you-so-that נתון pi-ra-mi-dy, הנקודה היא se-re-di-על הצלע הבו-קו-th שלה.
4. על קצה הקובייה מ-me-che-לנקודה כך מצא-די-te את הזווית בין הקווים הישרים ל-
5. נקודה - se-re-di-על הקצוות של הקובייה Nai-di-te את הזווית בין הקווים הישרים ו.
זה לא מקרי שהצבתי את המשימות בסדר הזה. בעוד שעדיין לא הספקת להתחיל לנווט בשיטת הקואורדינטות, אני בעצמי אנתח את הדמויות ה"בעייתיות" ביותר, ואשאיר לך להתמודד עם הקובייה הפשוטה ביותר! לאט לאט צריך ללמוד איך לעבוד עם כל הדמויות, אני אגדיל את מורכבות המשימות מנושא לנושא.
בואו נתחיל לפתור בעיות:
1. צייר טטרהדרון, הנח אותו במערכת הקואורדינטות כפי שהצעתי קודם. מכיוון שהטטרהדרון רגיל, אז כל פניו (כולל הבסיס) הם משולשים רגילים. מכיוון שלא ניתן לנו את אורך הצלע, אני יכול לקחת אותו שווה. אני חושב שאתה מבין שהזווית לא באמת תהיה תלויה בכמה הטטרהדרון שלנו "יימתח"?. אצייר גם את הגובה והחציון בטטרהדרון. על הדרך אצייר את הבסיס שלו (זה גם יועיל לנו).
אני צריך למצוא את הזווית בין לבין. מה אנחנו יודעים? אנחנו יודעים רק את הקואורדינטה של הנקודה. אז, אנחנו צריכים למצוא יותר קואורדינטות של הנקודות. כעת אנו חושבים: נקודה היא נקודת חיתוך של גבהים (או חצויים או חציונים) של משולש. נקודה היא נקודה מוגבהת. הנקודה היא נקודת האמצע של הקטע. ואז לבסוף אנחנו צריכים למצוא: את הקואורדינטות של הנקודות:.
נתחיל מהפשוט ביותר: קואורדינטות נקודות. תסתכל על האיור: ברור שהיישום של נקודה שווה לאפס (הנקודה שוכנת על מישור). הסמין שלו שווה (מכיוון שהוא החציון). קשה יותר למצוא את האבשיסה שלו. עם זאת, זה נעשה בקלות על בסיס משפט פיתגורס: שקול משולש. התחתון שלו שווה, ואחת מהרגליים שווה אז:
לבסוף יש לנו:
עכשיו בואו נמצא את הקואורדינטות של הנקודה. ברור שהיישום שלו שוב שווה לאפס, והאורדינאטה שלו זהה לזה של נקודה, כלומר. בוא נמצא את האבשיסה שלו. זה נעשה בצורה טריוויאלית למדי אם זוכרים את זה הגבהים של משולש שווה צלעות מחולקים בנקודת החיתוך בפרופורציהסופרים מלמעלה. מאז:, אז האבססיס הרצוי של הנקודה, שווה לאורך הקטע, שווה ל:. לפיכך, הקואורדינטות של הנקודה הן:
בוא נמצא את הקואורדינטות של הנקודה. ברור שהאבשיסה והאורד שלה חופפים לאבשיסה והאורדינטה של הנקודה. והאפליקציה שווה לאורך הקטע. - זו אחת מרגלי המשולש. התחתון של משולש הוא קטע - רגל. מחפשים אותו מהסיבות שהדגשתי בהדגשה:
הנקודה היא נקודת האמצע של הקטע. אז עלינו לזכור את הנוסחה של הקואורדינטות של אמצע הקטע:
זהו, כעת נוכל לחפש את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון:
ובכן, הכל מוכן: אנו מחליפים את כל הנתונים בנוסחה:
לכן,
תשובה:
אתה לא צריך לפחד מתשובות "איומות" כאלה: לבעיות C2 זה נוהג נפוץ. אני מעדיף להיות מופתע מהתשובה ה"יפה" בחלק הזה. כמו כן, כפי שציינת, למעשה לא נעזרתי בשום דבר מלבד משפט פיתגורס ותכונת הגבהים של משולש שווה צלעות. כלומר, כדי לפתור את הבעיה הסטריאומטרית, השתמשתי במינימום של סטריאומטריה. הרווח בכך "נכבה" בחלקו על ידי חישובים מסורבלים למדי. אבל הם די אלגוריתמיים!
2. צייר פירמידה משושה רגילה יחד עם מערכת הקואורדינטות, כמו גם הבסיס שלה:
אנחנו צריכים למצוא את הזווית בין הקווים ו. לפיכך, המשימה שלנו מצטמצמת למציאת הקואורדינטות של הנקודות: . נמצא את הקואורדינטות של שלוש האחרונות מהציור הקטן, ונמצא את קואורדינטת הקודקוד דרך קואורדינטת הנקודה. הרבה עבודה, אבל צריך להתחיל!
א) קואורדינטה: ברור שהיישום והאורדינטה שלה הם אפס. בוא נמצא את האבשיסה. כדי לעשות זאת, שקול משולש ישר זווית. למרבה הצער, בו אנו מכירים רק את היפוטנוזה, ששווה ל. ננסה למצוא את הרגל (כי ברור שכפול אורך הרגל ייתן לנו את האבשיסה של הנקודה). איך אנחנו יכולים לחפש את זה? בואו נזכור איזו דמות יש לנו בבסיס הפירמידה? זהו משושה רגיל. מה זה אומר? זה אומר שכל הצלעות וכל הזוויות שוות. אנחנו צריכים למצוא פינה אחת כזו. רעיונות כלשהם? יש הרבה רעיונות, אבל יש נוסחה:
סכום הזוויות של n-גון רגיל הוא .
לפיכך, סכום הזוויות של משושה רגיל הוא מעלות. אז כל אחת מהזוויות שווה ל:
בואו נסתכל שוב על התמונה. ברור שהקטע הוא חציו של הזווית. ואז הזווית היא מעלות. לאחר מכן:
אז איפה.
אז יש לזה קואורדינטות
ב) כעת נוכל למצוא בקלות את הקואורדינטה של הנקודה: .
ג) מצא את הקואורדינטות של הנקודה. מכיוון שהאבססיס שלו חופף לאורך הקטע, הוא שווה. מציאת הסמין היא גם לא מאוד קשה: אם נחבר את הנקודות ווסמן את נקודת החיתוך של הישר, נניח עבור. (עשה זאת בעצמך בנייה פשוטה). אז לפיכך, הסמין של נקודה B שווה לסכום אורכי הקטעים. בואו נסתכל שוב על המשולש. לאחר מכן
ואז מאז ועד אז לנקודה יש קואורדינטות
ד) כעת מצא את הקואורדינטות של הנקודה. שקול מלבן והוכיח כי לפיכך, הקואורדינטות של הנקודה הן:
ה) נותר למצוא את הקואורדינטות של הקודקוד. ברור שהאבשיסה והאורד שלה חופפים לאבשיסה והאורדינטה של הנקודה. בוא נמצא אפליקציה. מאז. שקול משולש ישר זווית. לפי מצב הבעיה, הקצה לרוחב. זה התחתון של המשולש שלי. ואז גובה הפירמידה הוא הרגל.
אז לנקודה יש קואורדינטות:
זהו, יש לי את הקואורדינטות של כל הנקודות שמעניין אותי. אני מחפש את הקואורדינטות של הווקטורים המכוונים של הקווים הישרים:
אנו מחפשים את הזווית בין הוקטורים הללו:
תשובה:
שוב, כשפתרתי את הבעיה הזו, לא השתמשתי באף תחבולה מתוחכמת, מלבד הנוסחה של סכום הזוויות של n-גון רגיל, כמו גם הגדרת הקוסינוס והסינוס של משולש ישר זווית.
3. מכיוון ששוב לא ניתן לנו את אורכי הקצוות בפירמידה, אראה אותם כשווים לאחד. לפיכך, מכיוון שכל הקצוות, ולא רק הצלעות, שווים זה לזה, אז בבסיס הפירמידה ואני שוכן ריבוע, ופני הצלעות הם משולשים רגילים. בואו נתאר פירמידה כזו, כמו גם את הבסיס שלה על מישור, מסמן את כל הנתונים הניתנים בטקסט של הבעיה:
אנחנו מחפשים את הזווית בין לבין. אעשה חישובים קצרים מאוד כאשר אני מחפש את הקואורדינטות של הנקודות. תצטרך "לפענח" אותם:
ב) - אמצע הקטע. הקואורדינטות שלה:
ג) אמצא את אורך הקטע באמצעות משפט פיתגורס במשולש. אמצא לפי משפט פיתגורס במשולש.
קואורדינטות:
ד) - אמצע הקטע. הקואורדינטות שלו הן
ה) קואורדינטות וקטוריות
ו) קואורדינטות וקטוריות
ז) מחפש זווית:
הקובייה היא הדמות הפשוטה ביותר. אני בטוח שאתה יכול להבין את זה לבד. התשובות לבעיות 4 ו-5 הן כדלקמן:
מציאת הזווית בין קו למישור
ובכן, הזמן של חידות פשוטות נגמר! כעת הדוגמאות יהיו קשות עוד יותר. כדי למצוא את הזווית בין ישר למישור, נמשיך כך:
- בעזרת שלוש נקודות, אנו בונים את משוואת המישור
,
באמצעות קביעה מסדר שלישי. - לפי שתי נקודות אנו מחפשים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר:
- אנו מיישמים את הנוסחה כדי לחשב את הזווית בין ישר למישור:
כפי שאתה יכול לראות, נוסחה זו דומה מאוד לזו שבה השתמשנו כדי למצוא את הזוויות בין שני קווים. המבנה של צד ימין זהה, ובצד שמאל אנחנו מחפשים עכשיו סינוס, ולא קוסינוס, כמו קודם. ובכן, נוספה פעולה מגעילה אחת - החיפוש אחר משוואת המטוס.
בואו לא נגנז פתרון דוגמאות:
1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia שווים-אבל-עני-ren-ny triangle-nick you-with-the-prize-אנחנו שווים. מצא את הזווית בין הקו הישר למישור
2. ב-pa-ral-le-le-pi-pe-de מלבני מהמערב Nai-di-te הזווית בין הקו הישר למישור
3. בפריזמת שש הפחם הימנית, כל הקצוות שווים. מצא את הזווית בין הקו הישר למישור.
4. במשולש הימני pi-ra-mi-de עם ה-os-but-va-ni-em ממערב זווית Nai-di-te, מישור ob-ra-zo-van-ny של ה-os. -נו-ו-נייה וישר-מי, עוברים דרך ה-se-re-di-na של הצלעות ו
5. אורכי כל הקצוות של pi-ra-mi-dy מרובע הימני עם החלק העליון שווים זה לזה. מצא את הזווית בין הקו הישר למישור, אם הנקודה היא se-re-di-בקצה bo-ko-in-th של pi-ra-mi-dy.
שוב, אני אפתור את שתי הבעיות הראשונות בפירוט, השלישית - בקצרה, ואת שתי האחרונות אני משאיר לך לפתור בעצמך. בנוסף, כבר היית צריך להתמודד עם פירמידות משולשות ומרובעות, אבל עדיין לא עם מנסרות.
פתרונות:
1. צייר פריזמה, כמו גם את הבסיס שלה. נשלב אותו עם מערכת הקואורדינטות ונסמן את כל הנתונים המופיעים בהצהרת הבעיה:
אני מתנצל על אי עמידה בפרופורציות, אבל על פתרון הבעיה זה, למעשה, לא כל כך חשוב. המטוס הוא רק ה"קיר האחורי" של הפריזמה שלי. זה מספיק פשוט לנחש שלמשוואה של מישור כזה יש את הצורה:
עם זאת, ניתן להציג זאת גם ישירות:
אנו בוחרים שלוש נקודות שרירותיות במישור הזה: למשל, .
בואו נעשה את המשוואה של המישור:
תרגיל בשבילך: חשב את הקובע הזה בעצמך. האם הצלחת? אז למשוואת המישור יש את הצורה:
או בפשטות
לכן,
כדי לפתור את הדוגמה, אני צריך למצוא את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר. מכיוון שהנקודה חופפת למקור, הקואורדינטות של הווקטור פשוט יחפכו עם הקואורדינטות של הנקודה. לשם כך, נמצא תחילה את הקואורדינטות של הנקודה.
כדי לעשות זאת, שקול משולש. נצייר גובה (הוא גם חציון וחוצה) מלמעלה. מאז, אז הסמין של הנקודה שווה. על מנת למצוא את האבססיס של נקודה זו, עלינו לחשב את אורך הקטע. לפי משפט פיתגורס יש לנו:
אז לנקודה יש קואורדינטות:
נקודה היא "מוגבה" על נקודה:
ואז הקואורדינטות של הווקטור:
תשובה:
כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר קשה ביסודו בפתרון בעיות כאלה. למעשה, ה"ישירות" של דמות כמו פריזמה מפשטת את התהליך קצת יותר. כעת נעבור לדוגמא הבאה:
2. אנו מציירים מקבילית, מציירים בו מישור וקו ישר, וגם מציירים בנפרד את הבסיס התחתון שלו:
ראשית, נמצא את משוואת המישור: הקואורדינטות של שלוש הנקודות המונחות בו:
(שתי הקואורדינטות הראשונות מתקבלות בצורה ברורה, וניתן למצוא בקלות את הקואורדינטה האחרונה מהתמונה מהנקודה). לאחר מכן נרכיב את משוואת המישור:
אנו מחשבים:
אנחנו מחפשים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון: ברור שהקואורדינטות שלו חופפות את הקואורדינטות של הנקודה, לא? איך למצוא קואורדינטות? אלו הן הקואורדינטות של הנקודה, מורמות לאורך ציר היישום באחת! . אז אנחנו מחפשים את הזווית הרצויה:
תשובה:
3. צייר פירמידה משושה רגילה, ולאחר מכן צייר בתוכה מישור וקו ישר.
כאן זה אפילו בעייתי לצייר מישור, שלא לדבר על פתרון הבעיה הזו, אבל לשיטת הקואורדינטות לא אכפת! היתרון העיקרי שלו הוא הרבגוניות שלו!
המטוס עובר בשלוש נקודות:. אנחנו מחפשים את הקואורדינטות שלהם:
1) . הצג את הקואורדינטות עבור שתי הנקודות האחרונות בעצמך. תצטרך לפתור את הבעיה עם פירמידה משושה בשביל זה!
2) נבנה את משוואת המישור:
אנו מחפשים את הקואורדינטות של הווקטור: . (ראה שוב בעיית פירמידה משולשת!)
3) אנחנו מחפשים זווית:
תשובה:
כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר קשה באופן על טבעי במשימות האלה. אתה רק צריך להיות זהיר מאוד עם השורשים. לשתי הבעיות האחרונות אתן רק תשובות:
כפי שאתה יכול לראות, הטכניקה לפתרון בעיות זהה בכל מקום: המשימה העיקרית היא למצוא את הקואורדינטות של הקודקודים ולהחליף אותם בכמה נוסחאות. נותר לנו לשקול עוד סוג אחד של בעיות לחישוב זוויות, כלומר:
חישוב זוויות בין שני מישורים
אלגוריתם הפתרון יהיה כדלקמן:
- עבור שלוש נקודות אנו מחפשים את המשוואה של המישור הראשון:
- עבור שלוש הנקודות האחרות, אנו מחפשים את המשוואה של המישור השני:
- אנו מיישמים את הנוסחה:
כפי שניתן לראות, הנוסחה דומה מאוד לשתי הקודמות, בעזרתן חיפשנו זוויות בין ישרים ובין ישר למישור. אז לזכור את זה לא יהיה לך קשה. בואו נקפוץ ישר לבעיה:
1. מאה-רו-על בסיס הפריזמה המשולשת הימנית שווה, והדיאלוג של פני הצד שווה. מצא את הזווית בין המטוס למישור בסיס הפרס.
2. ב-4you-re-coal-noy pi-ra-mi-de ימינה קדימה, כל הקצוות של מישהו שווים, מצא את הסינוס של הזווית בין המישור למישור קו-סטו, העובר דרכו הנקודה של פר-פן-די-קו-ליאר-אבל ישר-מי.
3. בפריזמה רגילה של ארבעה פחמים, צלעות ה-os-no-va-nia שוות, וקצוות הצד שווים. על הקצה מ-me-che-to the point כך. מצא את הזווית בין המישורים ו
4. בפריזמה המרובעת הימנית, צלעות הבסיסים שוות, וקצוות הצד שווים. על הקצה מ-me-che-לנקודה כך מצא את הזווית בין המישורים ו.
5. בקובייה, מצא את הקו-סי-נוס של הזווית בין המישורים ו
פתרונות לבעיות:
1. אני מצייר פריזמה משולשת רגילה (בבסיס - משולש שווה צלעות) ומסמן עליה את המישורים המופיעים במצב הבעיה:
אנחנו צריכים למצוא את המשוואות של שני מישורים: משוואת הבסיס מתקבלת באופן טריוויאלי: אתה יכול לעשות את הקובע המתאים לשלוש נקודות, אבל אני אעשה את המשוואה מיד:
כעת נמצא את המשוואה לנקודה יש קואורדינטות הנקודה - מאחר - החציון וגובה המשולש, קל למצוא לפי משפט פיתגורס במשולש. אז לנקודה יש קואורדינטות: מצא את היישום של הנקודה כדי לעשות זאת, שקול משולש ישר זווית
לאחר מכן נקבל את הקואורדינטות הבאות: אנו מרכיבים את משוואת המישור.
אנו מחשבים את הזווית בין המישורים:
תשובה:
2. יצירת ציור:
הדבר הקשה ביותר הוא להבין איזה סוג של מישור מסתורי זה, העובר דרך נקודה בניצב. ובכן, העיקר מה זה? העיקר תשומת לב! אכן, הקו מאונך. הקו הוא גם מאונך. אז המטוס העובר דרך שני הקווים הללו יהיה מאונך לקו, ודרך אגב, יעבור דרך הנקודה. מישור זה עובר גם בחלק העליון של הפירמידה. ואז המטוס הרצוי - והמטוס כבר ניתן לנו. אנחנו מחפשים קואורדינטות של נקודות.
אנו מוצאים את הקואורדינטה של הנקודה דרך הנקודה. קל להסיק מציור קטן שהקואורדינטות של הנקודה יהיו כדלקמן: מה נותר כעת למצוא כדי למצוא את הקואורדינטות של ראש הפירמידה? עדיין צריך לחשב את הגובה שלו. זה נעשה באמצעות אותו משפט פיתגורס: ראשית, הוכיחו את זה (טריוויאלי ממשולשים קטנים היוצרים ריבוע בבסיס). מאז לפי תנאי, יש לנו:
עכשיו הכל מוכן: קואורדינטות קודקוד:
אנו מרכיבים את משוואת המישור:
אתה כבר מומחה בחישוב דטרמיננטים. בקלות תקבל:
או אחרת (אם נכפיל את שני החלקים בשורש של שניים)
עכשיו בואו נמצא את משוואת המישור:
(לא שכחת איך אנחנו מקבלים את משוואת המטוס, נכון? אם אתה לא מבין מאיפה הגיע המינוס הזה, אז תחזור להגדרה של משוואת המטוס! פשוט תמיד התברר שלי המטוס היה שייך למקור!)
אנו מחשבים את הקובע:
(ייתכן שתבחין שמשוואת המישור עולה בקנה אחד עם משוואת הישר העובר דרך הנקודות ו! תחשוב למה!)
כעת אנו מחשבים את הזווית:
אנחנו צריכים למצוא את הסינוס:
תשובה:
3. שאלה מסובכת: מהי פריזמה מלבנית, מה אתה חושב? זה פשוט מקבילה ידועה לך! ציור מיד! אתה אפילו לא יכול לתאר בנפרד את הבסיס, אין לו שימוש מועט כאן:
המישור, כפי שציינו קודם לכן, כתוב כמשוואה:
עכשיו אנחנו עושים מטוס
אנו מרכיבים מיד את משוואת המישור:
מחפש זווית
עכשיו התשובות לשתי הבעיות האחרונות:
ובכן, עכשיו זה הזמן לקחת הפסקה, כי אתה ואני נהדרים ועשינו עבודה נהדרת!
קואורדינטות ווקטורים. שלב מתקדם
במאמר זה נדון איתך בסוג נוסף של בעיות שניתן לפתור בשיטת הקואורדינטות: בעיות מרחק. כלומר, נשקול את המקרים הבאים:
- חישוב המרחק בין קווי הטיה.
הזמנתי את המשימות הנתונות ככל שהמורכבות שלהן עולה. הכי קל זה למצוא מרחק נקודה למטוסוהחלק הכי קשה זה למצוא מרחק בין קווים מצטלבים. אם כי, כמובן, שום דבר אינו בלתי אפשרי! בואו לא נדחה ונמשיך מיד לבחינת הסוג הראשון של בעיות:
חישוב המרחק מנקודה למישור
מה אנחנו צריכים כדי לפתור את הבעיה הזו?
1. קואורדינטות נקודות
לכן, ברגע שנקבל את כל הנתונים הדרושים, אנו מיישמים את הנוסחה:
אתם אמורים כבר לדעת איך בונים את משוואת המישור מהבעיות הקודמות שניתחתי בחלק האחרון. בואו ניגש לעניינים מיד. הסכימה היא כדלקמן: 1, 2 - אני עוזר לך להחליט, ובפירוט מסוים, 3, 4 - רק התשובה, אתה מקבל את ההחלטה בעצמך ומשווה. התחיל!
משימות:
1. נתנו קובייה. אורך הקצה של הקוביה הוא Find-di-te מרחק מ-se-re-di-ny מחתך לשטוח
2. בהינתן הימין-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe edge מאה-ro-on the os-no-va-nia שווה. מצא-די-את המרחקים האלה מנקודה למישור שבו - se-re-di-על הקצוות.
3. במשולש הימני pi-ra-mi-de עם os-but-va-ni-em, הקצה השני שווה, ומאה-ro-on os-no-va-niya שווה. מצא את המרחקים האלה מהחלק העליון למטוס.
4. בפריזמת שש הפחם הימנית, כל הקצוות שווים. מצא את המרחקים האלה מנקודה למישור.
פתרונות:
1. צייר קובייה עם קצוות בודדים, בנה קטע ומישור, סמן את אמצע הקטע באות
.
ראשית, נתחיל עם אחד קל: למצוא את הקואורדינטות של נקודה. מאז (זכור את הקואורדינטות של אמצע הקטע!)
כעת אנו מרכיבים את משוואת המישור על שלוש נקודות
\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]
עכשיו אני יכול להתחיל למצוא את המרחק:
2. מתחילים שוב עם ציור, עליו נסמן את כל הנתונים!
עבור פירמידה, זה יהיה שימושי לצייר את הבסיס שלה בנפרד.
אפילו העובדה שאני מצייר כמו כפת עוף לא תמנע מאיתנו לפתור בקלות את הבעיה הזו!
עכשיו קל למצוא את הקואורדינטות של נקודה
מאז הקואורדינטות של הנקודה
2. מכיוון שהקואורדינטות של הנקודה a הן אמצע הקטע, אז
נוכל למצוא בקלות את הקואורדינטות של שתי נקודות נוספות במישור, אנו מרכיבים את משוואת המישור ומפשטים אותה:
\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(מערך)) \right|) \right| = 0\]
מכיוון שלנקודה יש קואורדינטות: , אז אנו מחשבים את המרחק:
תשובה (נדיר מאוד!):
נו, הבנת? נראה לי שהכל כאן טכני בדיוק כמו בדוגמאות שחשבנו איתך בחלק הקודם. אז אני בטוח שאם שלטת בחומר הזה, אז לא יהיה לך קשה לפתור את שתי הבעיות הנותרות. אני רק אתן לך את התשובות:
חישוב המרחק מקו למטוס
למעשה, אין כאן שום דבר חדש. כיצד ניתן למקם קו ומישור ביחס זה לזה? יש להם את כל האפשרויות: להצטלב, או קו ישר מקביל למישור. מהו לדעתך המרחק מהקו למישור שבו נחתך הישר הנתון? נראה לי שברור שמרחק כזה שווה לאפס. מקרה לא מעניין.
המקרה השני מסובך יותר: כאן המרחק כבר לא אפס. עם זאת, מכיוון שהקו מקביל למישור, אז כל נקודה של הישר נמצאת במרחק שווה מהמישור הזה:
לכן:
וזה אומר שהמשימה שלי הצטמצמה לקודמתה: אנחנו מחפשים את הקואורדינטות של כל נקודה על הקו, אנחנו מחפשים את משוואת המישור, אנחנו מחשבים את המרחק מהנקודה למישור. למעשה, משימות כאלה בבחינה הן נדירות ביותר. הצלחתי למצוא רק בעיה אחת, והנתונים בה היו כאלה ששיטת הקואורדינטות לא ממש ישימה עליה!
כעת נעבור לסוג אחר, הרבה יותר חשוב של בעיות:
חישוב המרחק של נקודה לקו
מה נצטרך?
1. הקואורדינטות של הנקודה ממנה אנו מחפשים את המרחק:
2. קואורדינטות של כל נקודה השוכנת על קו ישר
3. קואורדינטות וקטוריות של הקו הישר
באיזו נוסחה אנו משתמשים?
מה אומר לכם המכנה של השבר הזה ולכן זה צריך להיות ברור: זהו אורך הווקטור המכוון של הקו הישר. הנה מונה מסובך מאוד! משמעות הביטוי היא המודול (אורך) המכפלה הווקטורית של הוקטורים וכיצד לחשב את המכפלה הווקטורית, למדנו בחלק הקודם של העבודה. רענן את הידע שלך, זה יהיה מאוד שימושי עבורנו עכשיו!
לפיכך, האלגוריתם לפתרון בעיות יהיה כדלקמן:
1. אנו מחפשים את הקואורדינטות של הנקודה ממנה אנו מחפשים את המרחק:
2. אנחנו מחפשים את הקואורדינטות של כל נקודה על הקו שאליה אנחנו מחפשים את המרחק:
3. בניית וקטור
4. אנו בונים את וקטור הכיוון של קו ישר
5. חשב את המוצר הצלב
6. אנו מחפשים את אורך הווקטור המתקבל:
7. חשב את המרחק:
יש לנו הרבה עבודה, והדוגמאות יהיו די מורכבות! אז עכשיו מקד את כל תשומת הלב שלך!
1. דנה היא פי-רה-מי-דה משולש ימני עם קודקוד. מאה-רו-על ה-os-no-va-niya pi-ra-mi-dy שווה, you-so-ta שווה. מצא את המרחקים האלה מה-se-re-di-ny של הקצה בו-ko-th ועד לקו הישר, כאשר הנקודות והן הם ה-se-re-di-ny של הצלעות ו-co-from-vet -סטבן-אבל.
2. אורכי הצלעות והזווית הישרה-no-para-ral-le-le-pi-pe-da שווים, בהתאמה, ומרחק Find-di-te מ-top-shi-ny עד ישר-my
3. בפריזמת שישה פחם הימנית, כל הקצוות של נחיל שווים מרחק מוצא-די-אלה מנקודה לישר.
פתרונות:
1. אנו יוצרים ציור מסודר, עליו אנו מסמנים את כל הנתונים:
יש לנו הרבה עבודה בשבילך! ראשית ברצוני לתאר במילים מה נחפש ובאיזה סדר:
1. קואורדינטות של נקודות ו
2. קואורדינטות נקודות
3. קואורדינטות של נקודות ו
4. קואורדינטות של וקטורים ו
5. תוצר הצלב שלהם
6. אורך וקטור
7. אורך התוצר הווקטורי
8. מרחק מ-to
ובכן, יש לנו הרבה עבודה לעשות! בואו להפשיל שרוולים!
1. כדי למצוא את הקואורדינטות של גובה הפירמידה, עלינו לדעת את הקואורדינטות של הנקודה, היישום שלה הוא אפס, והאורדינטה שווה לאבשיסה שלה. לבסוף, קיבלנו את הקואורדינטות:
קואורדינטות נקודות
2. - אמצע הקטע
3. - אמצע הקטע
נקודת אמצע
4. קואורדינטות
קואורדינטות וקטוריות
5. חשב את המכפלה הווקטורית:
6. אורך הווקטור: הדרך הקלה ביותר היא להחליף שהקטע הוא הקו האמצעי של המשולש, כלומר הוא שווה למחצית הבסיס. כך.
7. אנו רואים את אורך התוצר הווקטורי:
8. לבסוף, מצא את המרחק:
פי, זה הכל! בכנות, אני אגיד לך: פתרון בעיה זו בשיטות מסורתיות (באמצעות קונסטרוקציות) יהיה הרבה יותר מהיר. אבל כאן צמצמתי הכל לאלגוריתם מוכן! אני חושב שאלגוריתם הפתרון ברור לך? לכן, אבקש ממך לפתור את שתי הבעיות הנותרות בעצמך. להשוות תשובות?
שוב, אני חוזר: קל יותר (מהיר יותר) לפתור את הבעיות הללו באמצעות קונסטרוקציות, במקום להיעזר בשיטת הקואורדינטות. הדגמתי את דרך הפתרון הזו רק כדי להראות לכם שיטה אוניברסלית שמאפשרת לכם "לא לסיים כלום".
לבסוף, שקול את הסוג האחרון של בעיות:
חישוב המרחק בין קווי הטיה
כאן האלגוריתם לפתרון בעיות יהיה דומה לזה הקודם. מה יש לנו:
3. כל וקטור המחבר בין הנקודות של הקו הראשון והשני:
איך נמצא את המרחק בין הקווים?
הנוסחה היא:
המונה הוא המודול של המכפלה המעורבת (הצגנו אותו בחלק הקודם), והמכנה זהה לנוסחה הקודמת (המודול של המכפלה הווקטורית של הווקטורים המכוונים של הקווים, המרחק ביניהם אנו מחפשים).
אני אזכיר לך את זה
לאחר מכן ניתן לכתוב מחדש את נוסחת המרחק כ:
חלקו את הקובע הזה בדטרמיננט! למרות שלמען האמת, אני לא במצב רוח לבדיחות כאן! הנוסחה הזו, למעשה, מסורבלת מאוד ומובילה לחישובים מסובכים למדי. במקומך, הייתי משתמש בו רק כמוצא אחרון!
בואו ננסה לפתור כמה בעיות באמצעות השיטה לעיל:
1. בפריזמה המשולשת הימנית, כל הקצוות שווים איכשהו, מצא את המרחק בין הקווים הישרים ו.
2. בהינתן פריזמה משולשת בצורת ימין קדימה, כל הקצוות של ה-os-no-va-niya של מישהו שווים ל-Se-che-tion, העוברים דרך הצלע השנייה ו-se-re-di-nu הם. yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie בין סטרייט-we-mi ו
אני מחליט על הראשון, ועל פיו אתה מחליט על השני!
1. אני מצייר פריזמה ומסמן את הקווים ו
קואורדינטות נקודה C: אז
קואורדינטות נקודות
קואורדינטות וקטוריות
קואורדינטות נקודות
קואורדינטות וקטוריות
קואורדינטות וקטוריות
\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]
אנו רואים את מכפלת הצלב בין הוקטורים ו
\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2)))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]
כעת נשקול את אורכו:
תשובה:
כעת נסו להשלים בזהירות את המשימה השנייה. התשובה לכך תהיה:.
קואורדינטות ווקטורים. תיאור קצר ונוסחאות בסיסיות
וקטור הוא קטע מכוון. - תחילת הווקטור, - סוף הווקטור.
הווקטור מסומן על ידי או.
ערך מוחלטוקטור - אורך הקטע המייצג את הווקטור. מיועד כ.
קואורדינטות וקטוריות:
,
היכן נמצאים הקצוות של הווקטור \displaystyle a .
סכום הוקטורים: .
המכפלה של וקטורים:
מכפלת נקודה של וקטורים:
יהיה צורך למצוא את המשוואה של מישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות שאינן שוכנות על קו ישר אחד. ציון וקטור הרדיוס שלהם ב-ווקטור הרדיוס הנוכחי ב-, נוכל להשיג בקלות את המשוואה הרצויה בצורה וקטורית. ואכן, הווקטורים חייבים להיות קומפלנריים (כולם שוכבים במישור הרצוי). לכן, המכפלה הווקטורית-סקלרית של הוקטורים הללו חייבת להיות שווה לאפס:
זוהי משוואת מישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות, בצורה וקטורית.
אם נפנה לקואורדינטות, נקבל את המשוואה בקואורדינטות:
אם שלוש הנקודות הנתונות שוכנות על אותו קו ישר, אז הוקטורים יהיו קולינאריים. לכן, האלמנטים התואמים של שתי השורות האחרונות של הקובע במשוואה (18) יהיו פרופורציונליים והקובע יהיה שווה לאפס באופן זהה. לכן, משוואה (18) תהפוך לזהות עבור כל ערכים של x, y ו-z. מבחינה גיאומטרית, זה אומר שכל נקודת מרחב עוברת מישור, שבה נמצאות גם שלוש נקודות נתונות.
הערה 1. ניתן לפתור את אותה בעיה ללא שימוש בוקטורים.
בציון הקואורדינטות של שלוש הנקודות הנתונות, בהתאמה, נכתוב את המשוואה של כל מישור העובר דרך הנקודה הראשונה:
כדי לקבל את המשוואה של המישור הרצוי, יש לדרוש שמשוואה (17) תעמוד בקואורדינטות של שתי הנקודות האחרות:
מתוך משוואות (19), יש צורך לקבוע את היחסים של שני מקדמים לשלישי ולהזין את הערכים שנמצאו במשוואה (17).
דוגמה 1. כתבו משוואה למישור העובר בנקודות.
המשוואה למישור העובר דרך הראשונה מבין הנקודות הללו תהיה:
התנאים למעבר המטוס (17) דרך שתי נקודות נוספות והנקודה הראשונה הם:
אם מוסיפים את המשוואה השנייה לראשונה, נקבל:
החלפה לתוך המשוואה השנייה, נקבל:
החלפה במשוואה (17) במקום A, B, C, בהתאמה, 1, 5, -4 (מספרים פרופורציונליים אליהם), נקבל:
דוגמה 2. כתבו משוואה למישור העובר דרך הנקודות (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).
המשוואה של כל מישור שעובר דרך הנקודה (0, 0, 0) תהיה]
התנאים למעבר מישור זה דרך הנקודות (1, 1, 1) ו-(2, 2, 2) הם:
צמצום המשוואה השנייה ב-2, אנו רואים שכדי לקבוע את שני הלא ידועים, לקשר יש משוואה אחת עם
מכאן אנו מקבלים. החלפה כעת למשוואת המישור במקום ערכה, אנו מוצאים:
זוהי משוואת המישור הרצוי; זה תלוי שרירותי
כמויות B, C (כלומר, מהיחס, כלומר, יש מספר אינסופי של מישורים העוברים דרך שלוש נקודות נתונות (שלוש נקודות נתונות שוכנות על קו ישר אחד).
הערה 2. הבעיה של ציור מישור דרך שלוש נקודות נתונות שאינן שוכנות על אותו קו ישר נפתרת בקלות בצורה כללית אם נשתמש בדטרמיננטים. ואכן, מכיוון שבמשוואות (17) ו-(19) המקדמים A, B, C אינם יכולים להיות שווים לאפס בו-זמנית, אז, בהתחשב במשוואות אלה כמערכת הומוגנית עם שלושה לא ידועים A, B, C, אנו כותבים הכרחי ומספיק תנאי לקיומו של פתרון של מערכת זו, מלבד אפס (חלק 1, פרק ו', סעיף 6):
הרחבת הקואורדינטנט הזה על ידי האלמנטים של השורה הראשונה, נקבל משוואה מהמעלה הראשונה ביחס לקואורדינטות הנוכחיות, אשר תסופק, במיוחד, על ידי הקואורדינטות של שלוש הנקודות הנתונות.
זה האחרון יכול גם להיות מאומת ישירות אם נחליף את הקואורדינטות של כל אחת מהנקודות הללו במקום במשוואה שנכתבה באמצעות הקובע. בצד שמאל, מתקבל דטרמיננט, שבו הרכיבים של השורה הראשונה הם אפס, או שיש שתי שורות זהות. לפיכך, המשוואה המנוסחת מייצגת מישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות.
