מאמר זה נותן מושג כיצד ליצור משוואה למישור העובר דרך נקודה נתונה במרחב תלת מימדי בניצב לישר נתון. הבה ננתח את האלגוריתם הנתון באמצעות הדוגמה של פתרון בעיות טיפוסיות.

Yandex.RTB R-A-339285-1

מציאת משוואת מישור העובר דרך נקודה נתונה במרחב מאונך לישר נתון

תנו בו מרחב תלת מימדי ומערכת קואורדינטות מלבנית O x y z. ניתנים גם נקודה M 1 (x 1, y 1, z 1), קו a ומישור α העוברים דרך נקודה M 1 מאונך לקו a. יש צורך לרשום את משוואת המישור α.

לפני שנתחיל לפתור בעיה זו, הבה נזכור את משפט הגיאומטריה מהסילבוס לכיתות י'-י"א, שאומר:

הגדרה 1

דרך נקודה נתונה במרחב התלת-ממדי עובר מישור בודד מאונך לישר נתון.

כעת נסתכל כיצד למצוא את המשוואה של המישור הבודד הזה העובר דרך נקודת ההתחלה ומאונך לישר הנתון.

אפשר לרשום משוואה כלליתמישור, אם ידועות הקואורדינטות של נקודה השייכת למישור זה, וכן הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי של המישור.

תנאי הבעיה נותנים לנו את הקואורדינטות x 1, y 1, z 1 של הנקודה M 1 שדרכה עובר המישור α. אם נקבע את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי של המישור α, אז נוכל לרשום את המשוואה הנדרשת.

הווקטור הנורמלי של המישור α, מכיוון שהוא אינו אפס ונמצא על הישר a, בניצב למישור α, יהיה כל וקטור כיוון של הישר a. לפיכך, הבעיה של מציאת הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי של המישור α הופכת לבעיה של קביעת הקואורדינטות של הווקטור המכוון של הישר a.

קביעת הקואורדינטות של וקטור הכיוון של קו ישר a יכולה להתבצע בשיטות שונות: זה תלוי באפשרות של ציון קו ישר a בתנאים ההתחלתיים. לדוגמה, אם ישר a בהצהרת הבעיה ניתן על ידי משוואות קנוניות של הצורה

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

או משוואות פרמטריות של הצורה:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

אז לוקטור הכיוון של הישר יהיו קואורדינטות a x, a y ו- z. במקרה שבו הישר a מיוצג על ידי שתי נקודות M 2 (x 2, y 2, z 2) ו-M 3 (x 3, y 3, z 3), אזי הקואורדינטות של וקטור הכיוון ייקבעו כ- ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

הגדרה 2

אלגוריתם למציאת משוואת מישור העובר דרך נקודה נתונה בניצב לישר נתון:

אנו קובעים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של ישר a: a → = (a x, a y, a z) ;

אנו מגדירים את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי של המישור α כקואורדינטות של הווקטור המכוון של הישר a:

n → = (A, B, C), שבו A = a x , B = a y , C = a z;

אנו כותבים את משוואת המישור העובר דרך הנקודה M 1 (x 1, y 1, z 1) ובעל וקטור נורמלי n → = (A, B, C) בצורה A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. זו תהיה המשוואה הנדרשת של מישור שעובר דרך נקודה נתונה במרחב ומאונך לישר נתון.

המשוואה הכללית המתקבלת של המישור היא: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 מאפשר לקבל את משוואת המישור בקטעים או את המשוואה הרגילה של המישור.

בואו נפתור מספר דוגמאות באמצעות האלגוריתם שהתקבל לעיל.

דוגמה 1

ניתנת נקודה M 1 (3, - 4, 5), שדרכה עובר המישור, ומישור זה מאונך לישר הקואורדינטות O z.

פִּתָרוֹן

וקטור הכיוון של קו הקואורדינטות O z יהיה וקטור הקואורדינטות k ⇀ = (0, 0, 1). לכן, לוקטור הנורמלי של המישור יש קואורדינטות (0, 0, 1). הבה נכתוב את המשוואה של מישור העובר דרך נקודה נתונה M 1 (3, - 4, 5), שלווקטור הנורמלי שלה יש קואורדינטות (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

תשובה: z – 5 = 0 .

הבה נבחן דרך נוספת לפתור את הבעיה:

דוגמה 2

מישור המאונך לישר O z יינתן על ידי משוואת מישור כללית לא שלמה בצורה C z + D = 0, C ≠ 0. הבה נקבע את הערכים של C ו-D: אלה שבהם המטוס עובר דרך נקודה נתונה. הבה נחליף את הקואורדינטות של נקודה זו במשוואה C z + D = 0, נקבל: C · 5 + D = 0. הָהֵן. מספרים, C ו-D קשורים בקשר - D C = 5. אם לוקחים C = 1, נקבל D = - 5.

הבה נחליף את הערכים הללו במשוואה C z + D = 0 ונקבל את המשוואה הנדרשת של מישור המאונך לישר O z ועובר דרך הנקודה M 1 (3, - 4, 5).

זה ייראה כך: z – 5 = 0.

תשובה: z – 5 = 0 .

דוגמה 3

כתוב משוואה למישור העובר דרך המוצא ומאונך לישר x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

פִּתָרוֹן

בהתבסס על תנאי הבעיה, ניתן לטעון שניתן לקחת את וקטור הכיוון של קו ישר נתון כווקטור הנורמלי n → של מישור נתון. לפיכך: n → = (- 3 , - 7 , 2) . הבה נכתוב את המשוואה של מישור העובר דרך נקודה O (0, 0, 0) ובעל וקטור נורמלי n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

השגנו את המשוואה הנדרשת של מישור העובר דרך מוצא הקואורדינטות המאונכות לישר נתון.

תשובה:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

דוגמה 4

מערכת קואורדינטות מלבנית O x y z ניתנת במרחב תלת מימדי, בה יש שתי נקודות A (2, - 1, - 2) ו-B (3, - 2, 4). המישור α עובר דרך נקודה A בניצב לישר A B. יש צורך ליצור משוואה למישור α בקטעים.

פִּתָרוֹן

המישור α מאונך לישר A B, ואז הווקטור A B → יהיה הווקטור הנורמלי של המישור α. הקואורדינטות של וקטור זה מוגדרות כהפרש בין הקואורדינטות המתאימות של נקודות B (3, - 2, 4) ו-A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

המשוואה הכללית של המישור תיכתב כך:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

כעת נרכיב את המשוואה הנדרשת של המישור בקטעים:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

תשובה:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

יש לציין גם שישנן בעיות שהדרישה שלהן היא לכתוב משוואה של מישור העובר בנקודה נתונה ובמאונך לשני מישורים נתונים. באופן כללי, הפתרון לבעיה זו הוא לבנות משוואה למישור העובר דרך נקודה נתונה בניצב לישר נתון, מכיוון שני מישורים מצטלבים מגדירים קו ישר.

דוגמה 5

ניתנת מערכת קואורדינטות מלבנית O x y z, בה יש נקודה M 1 (2, 0, - 5). ניתנות גם משוואות שני מישורים 3 x + 2 y + 1 = 0 ו-x + 2 z – 1 = 0, החותכים לאורך הישר a. יש צורך ליצור משוואה למישור העובר דרך נקודה M 1 מאונך לישר a.

פִּתָרוֹן

בואו נקבע את הקואורדינטות של הווקטור המכוון של הישר a. הוא מאונך הן לוקטור הנורמלי n 1 → (3, 2, 0) של המישור n → (1, 0, 2) והן לוקטור הנורמלי 3 x + 2 y + 1 = 0 של x + 2 z - 1 = 0 מישור.

לאחר מכן, בתור הווקטור המכוון α → קו a, ניקח את המכפלה הווקטורית של הוקטורים n 1 → ו-n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4, - 6, - 2)

לפיכך, הווקטור n → = (4, - 6, - 2) יהיה הווקטור הנורמלי של המישור המאונך לישר a. הבה נרשום את המשוואה הנדרשת של המישור:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

תשובה: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

13.זווית בין מישורים, מרחק מנקודה למישור.

תנו למישורים α ו-β להצטלב לאורך קו ישר c.
הזווית בין מישורים היא הזווית בין הניצבים לקו החתך שלהם המצויירת במישורים אלה.

במילים אחרות, במישור α שרטטנו קו ישר a מאונך ל-c. במישור β - קו ישר b, גם מאונך ל-c. זווית בין המישורים α ו-β שווה לזוויתבין השורות a ו-b.

שימו לב שכאשר שני מישורים מצטלבים, נוצרות למעשה ארבע זוויות. אתה רואה אותם בתמונה? בתור הזווית בין המטוסים שאנו לוקחים חָרִיףפינה.

אם הזווית בין המישורים היא 90 מעלות, אז המישורים אֲנָכִי,

זוהי ההגדרה של ניצב של מישורים. כאשר פותרים בעיות בסטריאומטריה, אנו משתמשים גם סימן של ניצב של מישורים:

אם מישור α עובר דרך האנך למישור β, אז המישורים α ו- β מאונכים.

מרחק מנקודה למישור

קחו בחשבון את נקודה T, המוגדרת על ידי הקואורדינטות שלה:

T = (x 0 , y 0 , z 0)

אנו רואים גם את המישור α שניתן על ידי המשוואה:

Axe + By + Cz + D = 0

לאחר מכן ניתן לחשב את המרחק L מנקודה T למישור α באמצעות הנוסחה:

במילים אחרות, אנו מחליפים את הקואורדינטות של הנקודה במשוואת המישור, ואז מחלקים את המשוואה הזו באורך הווקטור הנורמלי n למישור:

המספר המתקבל הוא המרחק. בואו נראה איך המשפט הזה עובד בפועל.

כבר הפקנו את המשוואות הפרמטיות של ישר במישור, בואו נקבל את המשוואות הפרמטריות של ישר, המוגדר במערכת קואורדינטות מלבנית במרחב התלת מימדי.

תנו למערכת קואורדינטות מלבנית להיות קבועה במרחב תלת מימדי Oxyz. הבה נגדיר בו קו ישר א(ראה סעיף על שיטות להגדרת קו במרחב), ציון וקטור הכיוון של הישר והקואורדינטות של נקודה כלשהי על הקו . נתחיל מהנתונים הללו כשנעצב משוואות פרמטריות של קו ישר במרחב.

תן להיות נקודה שרירותית במרחב תלת מימדי. אם נחסר מהקואורדינטות של הנקודה Mקואורדינטות נקודות מתאימות M 1, אז נקבל את הקואורדינטות של הווקטור (ראה מאמר מציאת הקואורדינטות של וקטור מהקואורדינטות של נקודות הסוף וההתחלה שלו), כלומר, .

ברור שקבוצת הנקודות מגדירה קו אאם ורק אם הוקטורים וקולינאריים.

הבה נרשום את התנאי ההכרחי והמספיק לקולינאריות של וקטורים ו : , איפה מספר ממשי כלשהו. המשוואה המתקבלת נקראת משוואה וקטורית-פרמטרית של הישרבמערכת קואורדינטות מלבנית Oxyzבמרחב תלת מימדי. למשוואה הווקטורית-פרמטרית של קו ישר בצורת קואורדינטות יש את הצורה ומייצגת משוואות פרמטריות של הישר א. השם "פרמטרי" אינו מקרי, מכיוון שהקואורדינטות של כל הנקודות על הקו מצוינות באמצעות הפרמטר.

הבה ניתן דוגמה למשוואות פרמטריות של קו ישר במערכת קואורדינטות מלבנית Oxyzבחלל: . כאן

15.זווית בין קו ישר למישור. נקודת החיתוך של קו עם מישור.

כל משוואת מדרגה ראשונה ביחס לקואורדינטות x, y, z

Axe + By + Cz +D = 0 (3.1)

מגדיר מישור, ולהיפך: כל מישור יכול להיות מיוצג על ידי משוואה (3.1), שנקראת משוואת מישור.

וֶקטוֹר נ(A, B, C) אורתוגונלי למישור נקרא וקטור רגילמָטוֹס. במשוואה (3.1), המקדמים A,B,C אינם שווים ל-0 בו-זמנית.

מקרים מיוחדיםמשוואות (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - המישור עובר דרך המוצא.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - המישור מקביל לציר עוץ.

3. C = D = 0, Axe + By = 0 - המטוס עובר בציר עוץ.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - המישור מקביל למישור Oyz.

משוואות של מישורי קואורדינטות: x = 0, y = 0, z = 0.

ניתן לציין קו ישר במרחב:

1) כקו חיתוך של שני מישורים, כלומר. מערכת משוואות:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) לפי שתי הנקודות שלו M 1 (x 1, y 1, z 1) ו-M 2 (x 2, y 2, z 2), אז הישר העובר דרכם ניתן על ידי המשוואות:

3) הנקודה M 1 (x 1, y 1, z 1) השייכת אליה, והווקטור א(m, n, p), קולינארי אליו. אז הקו הישר נקבע על ידי המשוואות:

. (3.4)

משוואות (3.4) נקראות משוואות קנוניות של הקו.

וֶקטוֹר אשקוראים לו וקטור כיוון ישר.

אנו מקבלים משוואות פרמטריות של הישר על ידי השוואת כל אחד מהיחסים (3.4) לפרמטר t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

מערכת פתרון (3.2) כמערכת משוואות ליניאריותיחסית לא ידוע איקסו y, אנו מגיעים למשוואות הקו פנימה הקרנותאו ל נתון משוואות של הישר:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

ממשוואות (3.6) נוכל ללכת למשוואות הקנוניות, למצוא זמכל משוואה והשוואת הערכים המתקבלים:

.

ממשוואות כלליות (3.2) אתה יכול ללכת לקנוניות בדרך אחרת, אם אתה מוצא נקודה כלשהי על הישר הזה ואת וקטור הכיוון שלו נ= [נ 1 , נ 2], איפה נ 1 (A 1, B 1, C 1) ו נ 2 (A 2, B 2, C 2) - וקטורים נורמליים מטוסים נתונים. אם אחד המכנים מ, נאוֹ רבמשוואות (3.4) מסתבר כשווה לאפס, אז המונה של השבר המתאים חייב להיות שווה לאפס, כלומר. מערכת

שווה למערכת ; קו ישר כזה מאונך לציר השור.

מערכת שווה למערכת x = x 1, y = y 1; הקו הישר מקביל לציר עוץ.

דוגמה 1.15. כתבו משוואה למישור, בידיעה שנקודה A(1,-1,3) משמשת כבסיס של ניצב שנמשך מהמקור למישור הזה.

פִּתָרוֹן.לפי תנאי הבעיה, הווקטור OA(1,-1,3) הוא וקטור נורמלי של המישור, אז ניתן לכתוב את המשוואה שלו כ
x-y+3z+D=0. בהחלפת הקואורדינטות של נקודה A(1,-1,3) השייכות למישור, נמצא D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. אז x-y+3z-11=0.

דוגמה 1.16. כתבו משוואה למישור העובר בציר עוץ ויוצר זווית של 60° עם המישור 2x+y-z-7=0.

פִּתָרוֹן.המישור העובר דרך ציר עוץ ניתן על ידי המשוואה Ax+By=0, כאשר A ו-B אינם נעלמים בו זמנית. תן ל-B לא
שווה ל-0, A/Bx+y=0. שימוש בנוסחת הקוסינוס לזווית בין שני מישורים

.

מחליטים משוואה ריבועית 3m 2 + 8m - 3 = 0, מצא את השורשים שלו
m 1 = 1/3, m 2 = -3, משם נקבל שני מישורים 1/3x+y = 0 ו-3x+y = 0.

דוגמה 1.17.חבר את המשוואות הקנוניות של הישר:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

פִּתָרוֹן.למשוואות הקנוניות של הישר יש את הצורה:

איפה מ, נ, עמ- קואורדינטות של הווקטור המכוון של הקו הישר, x 1, y 1, z 1- קואורדינטות של כל נקודה השייכת לקו. קו ישר מוגדר כקו החיתוך של שני מישורים. כדי למצוא נקודה השייכת לישר, אחת הקואורדינטות קבועה (הדרך הקלה ביותר היא לקבוע, למשל, x=0) והמערכת המתקבלת נפתרת כמערכת של משוואות לינאריות עם שני לא ידועים. אז תן ל-x=0, ואז y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, ומכאן y=-1, z=1. מצאנו את הקואורדינטות של הנקודה M(x 1, y 1, z 1) השייכות לישר זה: M (0,-1,1). קל למצוא את וקטור הכיוון של קו ישר, בהכרת הווקטורים הנורמליים של המישורים המקוריים נ 1 (5,1,1) ו נ 2 (2,3,-2). לאחר מכן

למשוואות הקנוניות של הישר יש את הצורה: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

דוגמה 1.18. בקרן המוגדרת על ידי המישורים 2x-y+5z-3=0 ו-x+y+2z+1=0, מצא שני מישורים מאונכים, שאחד מהם עובר דרך הנקודה M(1,0,1).

פִּתָרוֹן.למשוואת האלומה המוגדרת על ידי מישורים אלה יש את הצורה u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, כאשר u ו-v אינם נעלמים בו-זמנית. הבה נכתוב מחדש את משוואת האלומה באופן הבא:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

על מנת לבחור מישור מהקרן שעוברת דרך נקודה M, נחליף את הקואורדינטות של נקודה M במשוואת האלומה. אנחנו מקבלים:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, או v = - u.

אז נמצא את משוואת המישור המכיל את M על ידי החלפת v = - u במשוואת האלומה:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

כי u¹0 (אחרת v=0, וזה סותר את ההגדרה של אלומה), אז יש לנו את המשוואה של המישור x-2y+3z-4=0. המישור השני השייך לקורה חייב להיות מאונך אליו. הבה נכתוב את התנאי לאורתוגונליות של מישורים:

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, או v = - 19/5u.

זה אומר שלמשוואת המישור השני יש את הצורה:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 או 9x +24y + 13z + 34 = 0

שלב ראשון

קואורדינטות ווקטורים. מדריך מקיף (2019)

במאמר זה, נתחיל לדון ב"שרביט קסמים" אחד שיאפשר לך לצמצם בעיות גיאומטריה רבות לאריתמטיקה פשוטה. ה"מקל" הזה יכול לעשות את החיים שלך הרבה יותר קלים, במיוחד כאשר אתה מרגיש לא בטוח בבניית דמויות מרחביות, קטעים וכו'. כל זה דורש דמיון מסוים וכישורים פרקטיים. השיטה שנתחיל לשקול כאן תאפשר לכם להפשט כמעט לחלוטין מכל מיני קונסטרוקציות והיגיון גיאומטריים. השיטה נקראת "שיטת קואורדינטות". במאמר זה נשקול את השאלות הבאות:

1. מטוס קואורדינטות
2. נקודות ווקטורים במישור
3. בניית וקטור משתי נקודות
4. אורך וקטור (מרחק בין שתי נקודות).
5. קואורדינטות של אמצע הקטע
6. מכפלת נקודה של וקטורים
7. זווית בין שני וקטורים

אני חושב שכבר ניחשתם למה קוראים לשיטת הקואורדינטות כך? זה נכון, זה קיבל את השם הזה כי הוא פועל לא עם אובייקטים גיאומטריים, אלא עם שלהם מאפיינים מספריים(קואורדינטות). והטרנספורמציה עצמה, המאפשרת לנו לעבור מגיאומטריה לאלגברה, מורכבת מהכנסת מערכת קואורדינטות. אם הדמות המקורית הייתה שטוחה, אז הקואורדינטות הן דו מימדיות, ואם הדמות היא תלת מימדית, אז הקואורדינטות הן תלת מימדיות. במאמר זה נשקול רק את המקרה הדו-ממדי. והמטרה העיקרית של המאמר היא ללמד אותך כיצד להשתמש בכמה טכניקות בסיסיות של שיטת הקואורדינטות (הן מתגלות לפעמים כמועילות בפתרון בעיות בפלנימטריה בחלק ב' של בחינת המדינה המאוחדת). שני הסעיפים הבאים בנושא זה מוקדשים לדיון בשיטות לפתרון בעיות C2 (בעיית הסטריאומטריה).

איפה יהיה הגיוני להתחיל לדון בשיטת הקואורדינטות? כנראה מהרעיון של מערכת קואורדינטות. זכור מתי נתקלת בה לראשונה. נראה לי שבכיתה ז', כשלמדת על הקיום פונקציה לינארית, לדוגמה. תן לי להזכיר לך שבנית את זה נקודה אחר נקודה. האם אתה זוכר? בחרת מספר שרירותי, החלפת אותו בנוסחה וחישבת אותו כך. למשל, אם, אז, אם, אז וכו'. מה קיבלת בסוף? וקיבלתם נקודות עם קואורדינטות: ו. לאחר מכן, ציירת "צלב" (מערכת קואורדינטות), בחרת עליו קנה מידה (כמה תאים יהיו לך כקטע יחידה) וסימנת עליו את הנקודות שהשגת, שאותן חיברת עם קו ישר; קו הוא הגרף של הפונקציה.

יש כאן כמה נקודות שכדאי להסביר לך בפירוט קטן יותר:

1. אתה בוחר קטע בודד מטעמי נוחות, כדי שהכל ישתלב יפה וקומפקטי בשרטוט.

2. מקובל שהציר הולך משמאל לימין, והציר הולך מלמטה למעלה

3. הם מצטלבים בזוויות ישרות, ונקודת החיתוך שלהם נקראת מוצא. זה מסומן במכתב.

4. בכתיבת הקואורדינטות של נקודה, למשל, משמאל בסוגריים יש את הקואורדינטה של ​​הנקודה לאורך הציר, ומימין, לאורך הציר. בפרט, זה פשוט אומר שבנקודה זו

5. על מנת לציין נקודה כלשהי על ציר הקואורדינטות, עליך לציין את הקואורדינטות שלה (2 מספרים)

6. לכל נקודה השוכבת על הציר,

7. לכל נקודה השוכבת על הציר,

8. הציר נקרא ציר ה-x

9. הציר נקרא ציר ה-y

כעת נעבור לשלב הבא: סמן שתי נקודות. בואו נחבר את שתי הנקודות הללו עם קטע. ונשים את החץ כאילו אנחנו מציירים קטע מנקודה לנקודה: כלומר, נהפוך את הקטע שלנו למכוון!

זוכרים איך קוראים לקטע כיווני אחר? זה נכון, זה נקרא וקטור!

אז אם נחבר נקודה לנקודה, וההתחלה תהיה נקודה א', והסוף תהיה נקודה ב',ואז נקבל וקטור. גם אתה עשית את הבנייה הזאת בכיתה ח', זוכר?

מתברר כי וקטורים, כמו נקודות, יכולים להיות מסומנים בשני מספרים: המספרים הללו נקראים קואורדינטות וקטוריות. שאלה: האם לדעתך מספיק שנדע את הקואורדינטות של תחילת וסוף וקטור כדי למצוא את הקואורדינטות שלו? מסתבר שכן! וזה נעשה בצורה פשוטה מאוד:

לפיכך, מכיוון שבווקטור הנקודה היא ההתחלה והנקודה היא הסוף, לוקטור יש את הקואורדינטות הבאות:

לדוגמה, אם, אז הקואורדינטות של הווקטור

עכשיו בואו נעשה את ההפך, נמצא את הקואורדינטות של הווקטור. מה אנחנו צריכים לשנות בשביל זה? כן, אתה צריך להחליף את ההתחלה והסוף: עכשיו ההתחלה של הווקטור תהיה בנקודה, והסוף יהיה בנקודה. לאחר מכן:

תסתכל היטב, מה ההבדל בין וקטורים לבין? ההבדל היחיד ביניהם הוא הסימנים בקואורדינטות. הם הפכים. עובדה זו כתובה בדרך כלל כך:

לפעמים, אם לא מצוין במפורש איזו נקודה היא תחילתו של הווקטור ומהו הסוף, אז וקטורים מסומנים לא בשתי אותיות גדולות, אלא באות קטנה אחת, למשל: וכו'.

עכשיו קצת תרגולבעצמך ומצא את הקואורדינטות של הוקטורים הבאים:

בְּדִיקָה:

עכשיו פתור בעיה קצת יותר קשה:

לוקטור עם התחלה בנקודה יש ​​קו-או-די-נא-אתה. מצא את נקודות abs-cis-su.

כל זאת פרוזאית למדי: תנו להיות הקואורדינטות של הנקודה. לאחר מכן

הרכבתי את המערכת לפי ההגדרה מהן קואורדינטות וקטוריות. אז לנקודה יש ​​קואורדינטות. אנחנו מתעניינים באבשיסה. לאחר מכן

תשובה:

מה עוד אפשר לעשות עם וקטורים? כן, כמעט הכל זהה למספרים רגילים (חוץ מזה שאתה לא יכול לחלק, אבל אתה יכול להכפיל בשתי דרכים, אחת מהן נדון כאן קצת מאוחר יותר)

1. ניתן להוסיף וקטורים זה לזה
2. וקטורים ניתן לגרוע אחד מהשני
3. ניתן להכפיל (או לחלק) וקטורים במספר שרירותי שאינו אפס
4. ניתן להכפיל וקטורים זה בזה

לכל הפעולות הללו יש ייצוג גיאומטרי ברור מאוד. לדוגמה, כלל המשולש (או המקבילית) עבור חיבור וחיסור:

וקטור נמתח או מתכווץ או משנה כיוון כאשר מכפילים או מחלקים במספר:

עם זאת, כאן נתעניין בשאלה מה קורה לקואורדינטות.

1. כאשר מוסיפים (חיסור) שני וקטורים, נוסיף (מחסיר) את הקואורדינטות שלהם אלמנט אחר אלמנט. זה:

2. כשמכפילים (מחלקים) וקטור במספר, כל הקואורדינטות שלו מוכפלות (מחלקים) במספר זה:

לדוגמה:

· מצא את הכמות של co-or-di-nat מאה-to-ra.

תחילה נמצא את הקואורדינטות של כל אחד מהווקטורים. לשניהם אותו מוצא - נקודת המוצא. הקצוות שלהם שונים. לאחר מכן, . כעת נחשב את הקואורדינטות של הווקטור ואז סכום הקואורדינטות של הווקטור המתקבל שווה.

תשובה:

כעת פתור את הבעיה הבאה בעצמך:

· מצא את סכום הקואורדינטות הווקטוריות

אנחנו בודקים:

הבה נשקול כעת את הבעיה הבאה: יש לנו שתי נקודות במישור הקואורדינטות. איך למצוא את המרחק ביניהם? תן לנקודה הראשונה להיות, והשנייה. הבה נסמן את המרחק ביניהם ב. בואו נעשה את הציור הבא לבהירות:

מה אני עשיתי? קודם כל התחברתי נקודות ו,אגם מנקודה ציירתי קו מקביל לציר, ומנקודה ציירתי קו מקביל לציר. האם הם הצטלבו בנקודה מסוימת ויצרו דמות יוצאת דופן? מה כל כך מיוחד בה? כן, אתה ואני יודעים כמעט הכל משולש ישר זווית. ובכן, משפט פיתגורס ללא ספק. הקטע הנדרש הוא התחתון של משולש זה, והקטעים הם הרגליים. מהן הקואורדינטות של הנקודה? כן, קל למצוא אותם מהתמונה: מכיוון שהקטעים מקבילים לצירים ובהתאמה קל למצוא את אורכם: אם נסמן את אורכי הקטעים בהתאמה, אז

כעת נשתמש במשפט פיתגורס. אנחנו יודעים את אורכי הרגליים, נמצא את ההיפוטנוז:

לפיכך, המרחק בין שתי נקודות הוא שורש סכום ההפרשים בריבוע מהקואורדינטות. או - המרחק בין שתי נקודות הוא אורך הקטע המחבר ביניהן. קל לראות שהמרחק בין נקודות אינו תלוי בכיוון. לאחר מכן:

מכאן אנו מסיקים שלוש מסקנות:

בואו נתאמן קצת על חישוב המרחק בין שתי נקודות:

לדוגמה, אם, אז המרחק בין לבין שווה ל

או בוא נלך בדרך אחרת: נמצא את הקואורדינטות של הווקטור

ומצא את אורך הווקטור:

כפי שאתה יכול לראות, זה אותו דבר!

עכשיו תתאמן קצת בעצמך:

משימה: מצא את המרחק בין הנקודות המצוינות:

אנחנו בודקים:

הנה עוד כמה בעיות המשתמשות באותה נוסחה, למרות שהן נשמעות קצת שונות:

1. מצא את הריבוע של אורך העפעף.

2. מצא את הריבוע של אורך העפעף

אני חושב שהתמודדת איתם ללא קושי? אנחנו בודקים:

1. וזה לשם תשומת לב) כבר מצאנו את הקואורדינטות של הוקטורים קודם לכן: . אז לוקטור יש קואורדינטות. ריבוע אורכו יהיה שווה ל:

2. מצא את הקואורדינטות של הווקטור

אז הריבוע של אורכו הוא

שום דבר מסובך, נכון? חשבון פשוט, לא יותר.

לא ניתן לסווג את הבעיות הבאות באופן חד משמעי; הן עוסקות יותר בידע כללי וביכולת לצייר תמונות פשוטות.

1. מצא את הסינוס של הזווית מהחתך, מחבר את הנקודה, עם ציר האבססיס.

ו

איך נמשיך כאן? אנחנו צריכים למצוא את הסינוס של הזווית בין הציר. היכן נוכל לחפש סינוס? נכון, במשולש ישר זווית. אז מה אנחנו צריכים לעשות? בנה את המשולש הזה!

מכיוון שהקואורדינטות של הנקודה הן ו, אז הקטע שווה ל, והקטע. אנחנו צריכים למצוא את הסינוס של הזווית. הרשו לי להזכיר לכם שסינוס הוא היחס בין הצלע הנגדית לתחתית, אם כן

מה נשאר לנו לעשות? מצא את ההיפוטנוזה. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים: באמצעות משפט פיתגורס (הרגליים ידועות!) או שימוש בנוסחה למרחק בין שתי נקודות (למעשה, אותו דבר כמו השיטה הראשונה!). אני אלך בדרך השנייה:

תשובה:

המשימה הבאה תיראה לך אפילו קלה יותר. היא על הקואורדינטות של הנקודה.

משימה 2.מהנקודה מורידים את ה-per-pen-di-ku-lyar אל ציר האב-סיס. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

בואו נעשה ציור:

הבסיס של מאונך הוא הנקודה בה הוא חותך את ציר ה-x (ציר), עבורי זו נקודה. האיור מראה שיש לו קואורדינטות: . אנו מעוניינים באבשיסה - כלומר, רכיב "x". היא שווה.

תשובה: .

משימה 3.בתנאים של הבעיה הקודמת, מצא את סכום המרחקים מהנקודה לצירי הקואורדינטות.

המשימה היא בדרך כלל יסודית אם אתה יודע מה המרחק מנקודה לצירים. אתה יודע? אני מקווה, אבל בכל זאת אזכיר לך:

אז, בציור שלי ממש למעלה, האם כבר ציירתי מאונך כזה? על איזה ציר הוא נמצא? אל הציר. ומה אורכו אם כן? היא שווה. כעת צייר בעצמך מאונך לציר ומצא את אורכו. זה יהיה שווה, נכון? אז הסכום שלהם שווה.

תשובה: .

משימה 4.בתנאים של משימה 2, מצא את האידינטה של ​​נקודה סימטרית לנקודה ביחס לציר האבשיסה.

אני חושב שברור לך אינטואיטיבית מהי סימטריה? לחפצים רבים יש את זה: מבנים רבים, שולחנות, מטוסים, צורות גיאומטריות רבות: כדור, צילינדר, ריבוע, מעוין וכו'. באופן גס, ניתן להבין את הסימטריה כך: דמות מורכבת משני חצאים זהים (או יותר). סימטריה זו נקראת סימטריה צירית. מהו אם כן ציר? זה בדיוק הקו שלאורכו אפשר "לחתוך" את הדמות, יחסית, לחצאים שווים (בתמונה זו ציר הסימטריה ישר):

עכשיו בואו נחזור למשימה שלנו. אנחנו יודעים שאנחנו מחפשים נקודה שהיא סימטרית על הציר. אז הציר הזה הוא ציר הסימטריה. זה אומר שאנחנו צריכים לסמן נקודה כזו שהציר חותך את הקטע לשני חלקים שווים. נסו לסמן נקודה כזו בעצמכם. עכשיו השווה עם הפתרון שלי:

האם זה הסתדר לך באותו אופן? בסדר גמור! אנו מעוניינים בקואורדינטה של ​​הנקודה שנמצאה. זה שווה

תשובה:

עכשיו תגיד לי, לאחר מחשבה של כמה שניות, מה תהיה האבססיס של נקודה סימטרית לנקודה A ביחס לאשרה? מה התשובה שלך? תשובה נכונה: .

באופן כללי, ניתן לכתוב את הכלל כך:

לנקודה סימטרית לנקודה ביחס לציר האבשיסה יש את הקואורדינטות:

לנקודה סימטרית לנקודה ביחס לציר הסמין יש קואורדינטות:

ובכן, עכשיו זה מפחיד לגמרי מְשִׁימָה: מצא את הקואורדינטות של נקודה סימטרית לנקודה ביחס למקור. תחשוב קודם בעצמך, ואז תסתכל על הציור שלי!

תשובה:

עַכשָׁיו בעיה מקבילית:

משימה 5: הנקודות מופיעות ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. מצא או-די-על הנקודה ההיא.

אתה יכול לפתור בעיה זו בשתי דרכים: לוגיקה ושיטת הקואורדינטות. אני אשתמש קודם בשיטת הקואורדינטות, ואחר כך אספר לך איך אתה יכול לפתור את זה אחרת.

די ברור שהאבססיס של הנקודה שווה. (הוא שוכב על הניצב הנמשך מהנקודה לציר האבשיסה). אנחנו צריכים למצוא את ה-ordinate. בואו ננצל את העובדה שהדמות שלנו היא מקבילית, זה אומר ש. בואו נמצא את אורך הקטע באמצעות הנוסחה למרחק בין שתי נקודות:

אנו מורידים את האנך המחבר את הנקודה לציר. אציין את נקודת ההצטלבות באות.

אורך הקטע שווה. (מצא בעצמך את הבעיה שבה דנו בנקודה זו), ואז נמצא את אורך הקטע באמצעות משפט פיתגורס:

אורכו של קטע עולה בקנה אחד עם הסמין שלו.

תשובה: .

פתרון נוסף (אני רק אתן תמונה שממחישה את זה)

התקדמות הפתרון:

1. התנהלות

2. מצא את הקואורדינטות של הנקודה והאורך

3. תוכיח את זה.

עוד אחד בעיה באורך המקטע:

הנקודות מופיעות על גבי המשולש. מצא את אורך קו האמצע שלו, מקביל.

אתה זוכר מה זה קו אמצעימשולש? אז משימה זו היא בסיסית עבורך. אם אתה לא זוכר, אזכיר לך: הקו האמצעי של משולש הוא הקו המחבר את נקודות האמצע צדדים הפוכים. הוא מקביל לבסיס ושווה למחציתו.

הבסיס הוא קטע. היינו צריכים לחפש את האורך שלו מוקדם יותר, הוא שווה. ואז אורך הקו האמצעי גדול ושווה בחצי.

תשובה: .

הערה: ניתן לפתור בעיה זו בדרך אחרת, אליה נפנה מעט מאוחר יותר.

בינתיים, הנה כמה בעיות עבורכם, תרגל עליהן, הן מאוד פשוטות, אבל הן עוזרות לך להשתפר בשימוש בשיטת הקואורדינטות!

1. הנקודות הן החלק העליון של ה-tra-pe-tions. מצא את אורך קו האמצע שלו.

2. נקודות והופעות ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. מצא או-די-על-הנקודה הזו.

3. מצא את האורך מהחתך, חיבור הנקודה ו

4. מצא את השטח מאחורי הדמות הצבעונית במישור הקואורדינאט.

5. עיגול עם מרכז ב-na-cha-le ko-or-di-nat עובר דרך הנקודה. מצא אותה רא-די-אנו.

6. מצא-די-te ra-di-us של המעגל, תאר-san-noy על זווית ישרה-no-ka, לחלק העליון של משהו יש שיתוף או -די-נה-אתה כל כך אחראי

פתרונות:

1. ידוע שקו האמצע של טרפז שווה למחצית מסכום הבסיסים שלו. הבסיס שווה, והבסיס. לאחר מכן

תשובה:

2. הדרך הקלה ביותר לפתור בעיה זו היא לשים לב לכך (כלל המקבילה). חישוב הקואורדינטות של וקטורים אינו קשה: . בעת הוספת וקטורים, הקואורדינטות מתווספות. ואז יש קואורדינטות. לנקודה יש ​​גם את הקואורדינטות האלה, שכן מקור הווקטור הוא הנקודה עם הקואורדינטות. אנחנו מעוניינים באורינטה. היא שווה.

תשובה:

3. מיד נפעל לפי הנוסחה למרחק בין שתי נקודות:

תשובה:

4. התבוננו בתמונה ותגידו לי לאיזה שתי דמויות "מחובב" האזור המוצל? הוא דחוס בין שני ריבועים. ואז שטח הדמות הרצויה שווה לשטח הריבוע הגדול מינוס שטח הקטן. הצלע של ריבוע קטן היא קטע המחבר בין הנקודות ואורכו הוא

ואז שטח הריבוע הקטן הוא

כך נעשה עם ריבוע גדול: הצלע שלו היא קטע המחבר את הנקודות ואורכו הוא

ואז שטח הריבוע הגדול הוא

אנו מוצאים את השטח של הדמות הרצויה באמצעות הנוסחה:

תשובה:

5. אם למעגל יש את המוצא כמרכזו והוא עובר דרך נקודה, אז הרדיוס שלו יהיה שווה בדיוק לאורך הקטע (ערכו ציור ותבינו למה זה ברור). בוא נמצא את אורך הקטע הזה:

תשובה:

6. ידוע שרדיוס מעגל המוקף סביב מלבן שווה למחצית האלכסון שלו. בואו נמצא את האורך של כל אחד משני האלכסונים (אחרי הכל, במלבן הם שווים!)

תשובה:

ובכן, התמודדת עם הכל? זה לא היה מאוד קשה להבין את זה, נכון? יש כאן רק כלל אחד - להיות מסוגל ליצור תמונה ויזואלית ופשוט "לקרוא" את כל הנתונים ממנה.

נשאר לנו מעט מאוד. ישנן שתי נקודות נוספות שהייתי רוצה לדון בהן.

בואו ננסה לפתור את הבעיה הפשוטה הזו. תן שתי נקודות וניתן. מצא את הקואורדינטות של נקודת האמצע של הקטע. הפתרון לבעיה זו הוא כדלקמן: תן לנקודה להיות האמצע הרצוי, אז יש לה קואורדינטות:

זה: קואורדינטות של אמצע הקטע = הממוצע האריתמטי של הקואורדינטות המתאימות של קצוות הקטע.

כלל זה פשוט מאוד ובדרך כלל אינו גורם לקשיים לתלמידים. בואו נראה באילו בעיות וכיצד משתמשים בו:

1. מצא-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point and

2. נראה שהנקודות הן הטופ של העולם. מצא-di-te or-di-na-tu נקודות ל-re-se-che-niya של dia-go-na-ley שלו.

3. מצא-di-te abs-cis-su מרכז המעגל, תאר-san-noy על המלבני-no-ka, החלק העליון של משהו יש שיתוף או-di-na-אתה כל כך-אחראי-אבל.

פתרונות:

1. הבעיה הראשונה היא פשוט קלאסיקה. אנו ממשיכים מיד כדי לקבוע את אמצע הקטע. יש לו קואורדינטות. הסמין שווה.

תשובה:

2. קל לראות שהמרובע הזה הוא מקבילית (אפילו מעוין!). אתה יכול להוכיח זאת בעצמך על ידי חישוב אורכי הצלעות והשוואה ביניהן. מה אני יודע על מקביליות? האלכסונים שלו מחולקים לשניים לפי נקודת החיתוך! כֵּן! אז מהי נקודת החיתוך של האלכסונים? זהו האמצע של כל אחד מהאלכסונים! אני אבחר, במיוחד, באלכסון. אז לנקודה יש ​​קואורדינטות האורדינאטה של ​​הנקודה שווה ל.

תשובה:

3. עם מה חופף מרכז המעגל המוקף על המלבן? זה חופף לנקודת החיתוך של האלכסונים שלו. מה אתה יודע על האלכסונים של מלבן? הם שווים ונקודת החיתוך מחלקת אותם לשניים. המשימה צומצמה לקודמתה. ניקח, למשל, את האלכסון. אז אם הוא מרכז המעגל, אז הוא נקודת האמצע. אני מחפש קואורדינטות: האבשיסה שווה.

תשובה:

עכשיו תתאמן קצת לבד, אני רק אתן את התשובות לכל בעיה כדי שתוכל לבדוק את עצמך.

1. מצא-די-te ra-di-us של המעגל, תאר-san-noy על משולש-זווית-no-ka, לחלק העליון של משהו יש שיתוף או-di-no misters

2. מצא-di-te or-di-על-מרכז המעגל הזה, תאר-san-noy על המשולש-no-ka, שבראשיו יש קואורדינטות

3. איזה סוג של ra-di-u-sa צריך להיות עיגול עם מרכז בנקודה כך שהוא נוגע בציר האב-סיס?

4. מצא-די-אלו או-די-על-אותה נקודת זיהוי מחדש של הציר ומתוך-חתך, חבר את הנקודה ו

תשובות:

הכל הצליח? אני ממש מקווה לזה! עכשיו - הדחיפה האחרונה. עכשיו היזהר במיוחד. החומר שאסביר כעת קשור ישירות לא רק אליו משימות פשוטותלשיטת הקואורדינטות מחלק ב', אבל נמצא גם בכל מקום בבעיה C2.

אילו מההבטחות שלי עדיין לא עמדתי? זוכרים אילו פעולות על וקטורים הבטחתי להציג ואילו בסופו של דבר הצגתי? אתה בטוח שלא שכחתי כלום? שכח! שכחתי להסביר מה המשמעות של כפל וקטור.

ישנן שתי דרכים להכפיל וקטור בוקטור. בהתאם לשיטה שנבחרה, נקבל חפצים בעלי אופי שונה:

מוצר הצלב נעשה בצורה חכמה למדי. נדון כיצד לעשות זאת ומדוע זה נחוץ במאמר הבא. ובזה נתמקד במוצר הסקלרי.

ישנן שתי דרכים המאפשרות לנו לחשב אותו:

כפי שניחשתם, התוצאה צריכה להיות זהה! אז בואו נסתכל קודם על השיטה הראשונה:

נקדו את המוצר באמצעות קואורדינטות

מצא: - סימון מקובל למוצר סקלרי

הנוסחה לחישוב היא כדלקמן:

כלומר, המכפלה הסקלרית = סכום מכפלות הקואורדינטות הווקטוריות!

דוגמא:

מצא-די-טה

פִּתָרוֹן:

בוא נמצא את הקואורדינטות של כל אחד מהווקטורים:

אנו מחשבים את התוצר הסקלרי באמצעות הנוסחה:

תשובה:

תראה, ממש שום דבר מסובך!

ובכן, עכשיו נסה זאת בעצמך:

· מצא פרו-יז-ו-דה-nie סקלארי של מאות שנים ו

הסתדרת? אולי שמת לב למלכוד קטן? בוא נבדוק:

קואורדינטות וקטוריות, כמו בבעיה הקודמת! תשובה: .

בנוסף לקואורדינטה, ישנה דרך נוספת לחשב את המכפלה הסקלרית, כלומר דרך אורכי הווקטורים והקוסינוס של הזווית ביניהם:

מציין את הזווית בין הוקטורים ו.

כלומר, המכפלה הסקלרית שווה למכפלת אורכי הווקטורים והקוסינוס של הזווית ביניהם.

למה אנחנו צריכים את הנוסחה השנייה הזו אם יש לנו את הראשונה, שהיא הרבה יותר פשוטה, שהיא מכילה לפחותאין קוסינוסים. וזה נחוץ כדי שמהנוסחה הראשונה והשנייה אתה ואני נוכל להסיק איך למצוא את הזווית בין וקטורים!

תן אז לזכור את הנוסחה עבור אורך הווקטור!

ואז אם אני מחליף את הנתונים האלה בנוסחת המוצר הסקלרי, אני מקבל:

אבל בדרך אחרת:

אז מה אתה ואני קיבלנו? כעת יש לנו נוסחה המאפשרת לנו לחשב את הזווית בין שני וקטורים! לפעמים זה גם כתוב כך לקיצור:

כלומר, האלגוריתם לחישוב הזווית בין הוקטורים הוא כדלקמן:

1. חשב את התוצר הסקלרי באמצעות קואורדינטות
2. מצא את אורכי הווקטורים והכפל אותם
3. חלקו את התוצאה של נקודה 1 בתוצאה של נקודה 2

בואו נתאמן עם דוגמאות:

1. מצא את הזווית בין העפעפיים ו. תן את התשובה בגראד-דו-סח.

2. בתנאים של הבעיה הקודמת, מצא את הקוסינוס בין הוקטורים

בוא נעשה זאת: אני אעזור לך לפתור את הבעיה הראשונה, ואנסה לעשות את השנייה בעצמך! לְהַסכִּים? אז בואו נתחיל!

1. הווקטורים האלה הם החברים הוותיקים שלנו. כבר חישבנו את התוצר הסקלרי שלהם והוא היה שווה. הקואורדינטות שלהם הן: , . ואז אנו מוצאים את האורכים שלהם:

לאחר מכן אנו מחפשים את הקוסינוס בין הוקטורים:

מהו הקוסינוס של הזווית? זו הפינה.

תשובה:

ובכן, עכשיו פתור את הבעיה השנייה בעצמך, ואז השווה! אני אתן רק פתרון קצר מאוד:

2. יש קואורדינטות, יש קואורדינטות.

תן להיות הזווית בין הוקטורים ולאחר מכן

תשובה:

יש לציין שבעיות ישירות על וקטורים ושיטת הקואורדינטות בחלק ב' של עבודת הבחינה נדירות למדי. עם זאת, ניתן לפתור בקלות את הרוב המכריע של בעיות C2 על ידי הכנסת מערכת קואורדינטות. אז אתה יכול לראות במאמר זה את הבסיס שעל בסיסו ניצור קונסטרוקציות חכמות למדי שנצטרך לפתור בעיות מורכבות.

קואורדינאטות ווקטורים. רמה ממוצעת

אתה ואני ממשיכים ללמוד את שיטת הקואורדינטות. בחלק האחרון גזרנו סדרה נוסחאות חשובות, המאפשר:

1. מצא קואורדינטות וקטוריות
2. מצא את אורכו של וקטור (לחלופין: המרחק בין שתי נקודות)
3. הוסף והורדת וקטורים. הכפל אותם במספר ממשי
4. מצא את נקודת האמצע של קטע
5. חשב מכפלת נקודות של וקטורים
6. מצא את הזווית בין הוקטורים

כמובן שכל שיטת הקואורדינטות אינה מתאימה ל-6 הנקודות הללו. זה עומד בבסיס מדע כמו גיאומטריה אנליטית, שתכירו באוניברסיטה. אני רק רוצה לבנות בסיס שיאפשר לך לפתור בעיות במצב אחד. מבחן. התמודדנו עם המשימות של חלק ב' עכשיו הגיע הזמן לעבור לרמה חדשה לגמרי! מאמר זה יוקדש לשיטה לפתרון אותן בעיות C2 שבהן יהיה סביר לעבור לשיטת הקואורדינטות. סבירות זו נקבעת לפי מה שנדרש להימצא בבעיה ואיזה נתון ניתן. אז, הייתי משתמש בשיטת הקואורדינטות אם השאלות הן:

1. מצא את הזווית בין שני מישורים
2. מצא את הזווית בין קו ישר למישור
3. מצא את הזווית בין שני קווים ישרים
4. מצא את המרחק מנקודה למישור
5. מצא את המרחק מנקודה לישר
6. מצא את המרחק מקו ישר למישור
7. מצא את המרחק בין שני קווים

אם הדמות המופיעה בהצהרת הבעיה היא גוף סיבוב (כדור, צילינדר, חרוט...)

נתונים מתאימים לשיטת הקואורדינטות הם:

1. מקבילי מלבני
2. פירמידה (משולש, מרובע, משושה)

גם מהניסיון שלי זה לא מתאים להשתמש בשיטת הקואורדינטות עבור:

1. מציאת שטחי חתך
2. חישוב נפחים של גופים

עם זאת, יש לציין מיד כי שלושת המצבים ה"בלתי חיוביים" לשיטת הקואורדינטות הם די נדירים בפועל. ברוב המשימות, זה יכול להפוך למושיע שלך, במיוחד אם אתה לא מאוד טוב בבניות תלת מימדיות (שלפעמים יכול להיות די מורכב).

מה הם כל הדמויות שרשמתי למעלה? הם כבר לא שטוחים, כמו, למשל, ריבוע, משולש, עיגול, אלא נפחיים! בהתאם לכך, עלינו לשקול לא מערכת קואורדינטות דו-ממדית, אלא תלת-ממדית. זה די קל לבנות: רק בנוסף לציר האבססיס והאורדינטה, נציג ציר נוסף, ציר היישום. האיור מציג באופן סכמטי את מיקומם היחסי:

כולם מאונכים זה לזה ומצטלבים בנקודה אחת, שאותה נקרא מקור הקואורדינטות. כמו קודם, נסמן את ציר האבססיס, ציר הסמיכה - וציר היישום המובא - .

אם בעבר כל נקודה במישור הייתה מאופיינת בשני מספרים - האבססיס והאורדינטה, הרי שכל נקודה במרחב כבר מתוארת בשלושה מספרים - האבססיסה, הקוסמינטה והיישומה. לדוגמה:

בהתאם לכך, האבססיס של נקודה שווה, הסמין הוא , והיישום הוא .

לפעמים האבשיסה של נקודה נקראת גם השלכה של נקודה על ציר האבשיסה, האסמינטה - השלכת נקודה על ציר הסמיכה, והאפליקטית - השלכת נקודה על ציר היישום. בהתאם לכך, אם ניתנת נקודה, אז נקודה עם קואורדינטות:

נקראת השלכה של נקודה על מישור

נקראת השלכה של נקודה על מישור

מתעוררת שאלה טבעית: האם כל הנוסחאות הנגזרות למקרה הדו-ממדי תקפות במרחב? התשובה היא כן, הם הוגנים ובעלי אותו מראה. לפרט קטן. אני חושב שכבר ניחשתם באיזה מהם מדובר. בכל הנוסחאות נצטרך להוסיף עוד מונח אחד האחראי על ציר היישום. כלומר.

1. אם ניתנות שתי נקודות: , אז:

• קואורדינטות וקטוריות:
• מרחק בין שתי נקודות (או אורך וקטור)
• לנקודת האמצע של הקטע יש קואורדינטות

2. אם ניתנים שני וקטורים: וכן, אז:

• התוצר הסקלרי שלהם שווה ל:
• הקוסינוס של הזווית בין הוקטורים שווה ל:

עם זאת, החלל אינו כל כך פשוט. כפי שאתה מבין, הוספת קואורדינטה אחת נוספת מציגה גיוון משמעותי בספקטרום הדמויות ש"חיות" במרחב הזה. ולקראות נוספת אצטרך להציג קצת "הכללה" של הקו הישר, באופן גס. ה"הכללה" הזו תהיה מטוס. מה אתה יודע על מטוס? נסו לענות על השאלה, מהו מטוס? קשה מאוד לומר. עם זאת, כולנו מדמיינים באופן אינטואיטיבי איך זה נראה:

באופן גס, זהו סוג של "סדין" אינסופי תקוע בחלל. "אינסוף" צריך להיות מובן שהמישור משתרע לכל הכיוונים, כלומר, שטחו שווה לאינסוף. עם זאת, ההסבר ה"מעשי" הזה אינו נותן שמץ של מושג לגבי מבנה המטוס. והיא זו שתתעניין בנו.

בואו נזכור את אחת האקסיומות הבסיסיות של הגיאומטריה:

• קו ישר עובר דרך שתי נקודות שונות במישור, ורק אחת:

או האנלוגי שלו בחלל:

כמובן, אתה זוכר איך לגזור את המשוואה של ישר משתי נקודות נתונות; זה בכלל לא קשה: אם לנקודה הראשונה יש קואורדינטות: והשנייה, אז משוואת הישר תהיה כדלקמן:

לקחת את זה בכיתה ז'. במרחב, משוואת הישר נראית כך: תנו לנו שתי נקודות עם קואורדינטות: , אז למשוואת הישר העובר בהן יש את הצורה:

לדוגמה, קו עובר דרך נקודות:

כיצד יש להבין זאת? יש להבין זאת באופן הבא: נקודה שוכנת על קו אם הקואורדינטות שלה עומדות במערכת הבאה:

לא נתעניין מאוד במשוואת הישר, אבל צריך לשים לב למושג החשוב מאוד של וקטור הכיוון של ישר. - כל וקטור שאינו אפס השוכב על קו נתון או מקביל לו.

לדוגמה, שני הוקטורים הם וקטורי כיוון של קו ישר. תן להיות נקודה השוכבת על קו ותן להיות וקטור הכיוון שלה. אז ניתן לכתוב את משוואת הקו בצורה הבאה:

שוב, אני לא מאוד אתעניין במשוואה של קו ישר, אבל אני באמת צריך שתזכרו מהו וקטור כיוון! שוב: זהו כל וקטור שאינו אפס השוכב על קו או מקביל לו.

לָסֶגֶת משוואת מישור המבוססת על שלוש נקודות נתונותכבר לא כל כך טריוויאלי, ובדרך כלל הנושא הזה לא מטופל בקורס בית ספר תיכון. אך לשווא! טכניקה זו חיונית כאשר אנו פונים לשיטת הקואורדינטות כדי לפתור בעיות מורכבות. עם זאת, אני מניח שאתה להוט ללמוד משהו חדש? יתרה מכך, תוכלו להרשים את המורה שלכם באוניברסיטה כאשר יתברר שאתם כבר יודעים להשתמש בטכניקה שלרוב לומדים בקורס גיאומטריה אנליטית. אז בואו נתחיל.

המשוואה של מישור אינה שונה מדי מהמשוואה של קו ישר במישור, כלומר, יש לה את הצורה:

כמה מספרים (לא כולם שווים לאפס), אבל משתנים, למשל: וכו'. כפי שאתה יכול לראות, משוואת מישור אינה שונה מאוד מהמשוואה של ישר (פונקציה לינארית). עם זאת, זוכר על מה אתה ואני התווכחנו? אמרנו שאם יש לנו שלוש נקודות שאינן שוכנות על אותו קו, אז ניתן לשחזר מהן באופן ייחודי את משוואת המישור. אבל איך? אני אנסה להסביר לך.

מכיוון שמשוואת המישור היא:

והנקודות שייכות למישור הזה, אז כאשר מחליפים את הקואורדינטות של כל נקודה במשוואת המישור עלינו לקבל את הזהות הנכונה:

לפיכך, יש צורך לפתור שלוש משוואות עם לא ידועים! דִילֶמָה! עם זאת, אתה תמיד יכול להניח את זה (כדי לעשות זאת אתה צריך לחלק ב). לפיכך, נקבל שלוש משוואות עם שלושה לא ידועים:

עם זאת, לא נפתור מערכת כזו, אלא נכתוב את הביטוי המסתורי הנובע ממנה:

משוואת מישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(מערך)) \right| = 0\]

תפסיק! מה זה? איזה מודול מאוד יוצא דופן! עם זאת, לאובייקט שאתה רואה מולך אין שום קשר למודול. אובייקט זה נקרא דטרמיננט מסדר שלישי. מעתה ואילך, כאשר תתמודדו עם שיטת הקואורדינטות במישור, תפגשו לעיתים קרובות מאוד באותם גורמים. מהו קובע מסדר שלישי? באופן מוזר, זה רק מספר. נותר להבין איזה מספר ספציפי נשווה עם הקובע.

בוא נכתוב תחילה את הקובע מסדר שלישי בעוד השקפה כללית:

איפה יש מספרים. יתרה מכך, באינדקס הראשון אנו מתכוונים למספר השורה, ובאינדקס אנו מתכוונים למספר העמודה. לדוגמה, זה אומר שמספר זה נמצא בצומת של השורה השנייה והעמודה השלישית. בואו נשים את זה שאלה הבאה: איך בדיוק נחשב דטרמיננטה כזו? כלומר, איזה מספר ספציפי נשווה אליו? עבור הקובע מסדר שלישי יש כלל משולש היוריסטי (חזותי), זה נראה כך:

1. מכפלת האלמנטים של האלכסון הראשי (מהפינה השמאלית העליונה לימין התחתונה) מכפלת היסודות היוצרים את המשולש הראשון "מאונך" לאלכסון הראשי מכפלת היסודות היוצרים את המשולש השני "מאונך" לאלכסון הראשי. אלכסון ראשי
2. מכפלת האלמנטים של האלכסון המשני (מהפינה הימנית העליונה לשמאל התחתונה) מכפלת היסודות היוצרים את המשולש הראשון "מאונך" לאלכסון המשני מכפלת היסודות היוצרים את המשולש השני "מאונך" לאלכסון המשני. אלכסון משני
3. ואז הקובע שווה להפרשערכים שהושגו בשלב ו

אם נכתוב את כל זה במספרים, נקבל את הביטוי הבא:

עם זאת, אינך צריך לזכור את שיטת החישוב בצורה זו; זה מספיק רק לשמור בראש את המשולשים ואת עצם הרעיון של מה מצטבר למה ומה מופחת אז ממה).

בואו נמחיש את שיטת המשולש בדוגמה:

1. חשב את הקובע:

בואו נבין מה נוסיף ומה נחסר:

תנאים שמגיעים עם יתרון:

זהו האלכסון העיקרי: מכפלת היסודות שווה ל

המשולש הראשון, "מאונך לאלכסון הראשי: מכפלת היסודות שווה ל

משולש שני, "מאונך לאלכסון הראשי: מכפלת היסודות שווה ל

חבר שלושה מספרים:

מונחים שמגיעים עם מינוס

זהו אלכסון צדדי: מכפלת היסודות שווה ל

המשולש הראשון, "מאונך לאלכסון המשני: מכפלת היסודות שווה ל

המשולש השני, "מאונך לאלכסון המשני: מכפלת היסודות שווה ל

חבר שלושה מספרים:

כל מה שנותר לעשות הוא להחסיר את סכום האיברים "פלוס" מסכום האיברים "מינוס":

לכן,

כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר מסובך או על טבעי בחישוב דטרמיננטים מסדר שלישי. רק חשוב לזכור על משולשים ולא לעשות שגיאות חשבון. עכשיו נסה לחשב את זה בעצמך:

אנחנו בודקים:

1. המשולש הראשון בניצב לאלכסון הראשי:
2. משולש שני בניצב לאלכסון הראשי:
3. סכום המונחים עם פלוס:
4. המשולש הראשון בניצב לאלכסון המשני:
5. משולש שני בניצב לאלכסון הצלע:
6. סכום איברים עם מינוס:
7. סכום המונחים עם פלוס מינוס סכום התנאים עם מינוס:

הנה עוד כמה גורמים קובעים, חשב את הערכים שלהם בעצמך והשווה אותם עם התשובות:

תשובות:

ובכן, הכל עלה בקנה אחד? מעולה, אז אתה יכול להמשיך הלאה! אם יש קשיים, אז העצה שלי היא כזו: באינטרנט יש הרבה תוכנות לחישוב הקובע באינטרנט. כל מה שאתה צריך הוא להמציא את הקובע שלך, לחשב אותו בעצמך, ולאחר מכן להשוות אותו עם מה שהתוכנית מחשבת. וכך הלאה עד שהתוצאות מתחילות להתאים. אני בטוח שהרגע הזה לא ייקח הרבה זמן להגיע!

עכשיו נחזור לקובע שכתבתי כשדיברתי על המשוואה של מטוס שעובר דרך שלושה נקודות שניתנו:

כל מה שצריך זה לחשב את ערכו ישירות (בשיטת המשולש) ולהגדיר את התוצאה לאפס. מטבע הדברים, מכיוון שמדובר במשתנים, תקבל ביטוי כלשהו שתלוי בהם. הביטוי הזה הוא המשוואה של מישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות שאינן שוכנות על אותו קו ישר!

בואו נמחיש זאת בדוגמה פשוטה:

1. בנו את המשוואה של מישור העובר דרך הנקודות

אנו מרכיבים קובע לשלוש הנקודות הללו:

בואו נפשט:

כעת אנו מחשבים אותו ישירות באמצעות כלל המשולש:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ ימין| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

לפיכך, משוואת המישור העובר דרך הנקודות היא:

עכשיו נסה לפתור בעיה אחת בעצמך, ואז נדון בה:

2. מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודות

ובכן, בואו נדון כעת בפתרון:

בואו ניצור קובע:

וחשב את הערך שלו:

אז למשוואת המישור יש את הצורה:

או, בצמצום בשיעור, אנו מקבלים:

כעת שתי משימות לשליטה עצמית:

1. בנה את המשוואה של מישור העובר בשלוש נקודות:

תשובות:

האם הכל עלה בקנה אחד? שוב, אם יש קשיים מסוימים, אז העצה שלי היא כזו: קח שלוש נקודות מהראש שלך (ברמת סבירות גבוהה שהן לא ישכבו על אותו קו ישר), בנה על בסיסן מטוס. ואז אתה בודק את עצמך באינטרנט. למשל באתר:

עם זאת, בעזרת דטרמיננטים נבנה לא רק את משוואת המישור. זכור, אמרתי לך שלא רק תוצר נקודה מוגדר לוקטורים. יש גם מוצר וקטור, כמו גם מוצר מעורב. ואם המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא מספר, אז המכפלה הווקטורית של שני וקטורים תהיה וקטור, והווקטור הזה יהיה מאונך לאלו הנתונים:

יתר על כן, המודול שלו יהיה שווה לשטחמקבילית הבנויה על וקטורים ו. נצטרך את הווקטור הזה כדי לחשב את המרחק מנקודה לישר. כיצד נוכל לחשב את המכפלה הווקטורית של וקטורים ואם ניתנות הקואורדינטות שלהם? הקובע מסדר שלישי חוזר לעזרתנו. עם זאת, לפני שאני עובר לאלגוריתם לחישוב המכפלה הווקטורית, אני צריך לעשות סטייה קטנה.

סטייה זו נוגעת לוקטורי בסיס.

הם מוצגים באופן סכמטי באיור:

למה אתה חושב שהם נקראים בסיסיים? העובדה היא :

או בתמונה:

התוקף של נוסחה זו ברור, כי:

יצירות אמנות וקטוריות

עכשיו אני יכול להתחיל להציג את המוצר המוצלב:

המכפלה הווקטורית של שני וקטורים היא וקטור, אשר מחושב לפי הכלל הבא:

כעת ניתן כמה דוגמאות לחישוב המכפלה הצולבת:

דוגמה 1: מצא את המכפלה הצולבת של וקטורים:

פתרון: אני ממציא דטרמיננטה:

ואני מחשב את זה:

כעת מכתיבה דרך וקטורי בסיס, אחזור לסימון הווקטור הרגיל:

לכן:

עכשיו נסה את זה.

מוּכָן? אנחנו בודקים:

ובאופן מסורתי שניים משימות לבקרה:

1. מצא את המכפלה הווקטורית של הוקטורים הבאים:
2. מצא את המכפלה הווקטורית של הוקטורים הבאים:

תשובות:

מכפלה מעורבת של שלושה וקטורים

הבנייה האחרונה שאצטרך היא המכפלה המעורבת של שלושה וקטורים. זה, כמו סקלאר, הוא מספר. ישנן שתי דרכים לחשב זאת. - דרך קובע, - דרך מוצר מעורב.

כלומר, תנו לנו שלושה וקטורים:

לאחר מכן ניתן לחשב את המכפלה המעורבת של שלושה וקטורים, המסומנים ב:

1. - כלומר, המכפלה המעורבת היא המכפלה הסקלרית של וקטור והמכפלה הווקטורית של שני וקטורים אחרים

לדוגמה, המכפלה המעורבת של שלושה וקטורים היא:

נסו לחשב זאת בעצמכם באמצעות התוצר הווקטורי וודאו שהתוצאות תואמות!

ושוב, שתי דוגמאות לפתרונות עצמאיים:

תשובות:

בחירת מערכת קואורדינטות

ובכן, כעת יש לנו את כל הבסיס הדרוש לידע כדי לפתור בעיות גיאומטריות סטריאומטריות מורכבות. עם זאת, לפני שנמשיך ישירות לדוגמאות ואלגוריתמים לפתרון אותן, אני מאמין שיהיה שימושי להתעכב על השאלה הבאה: איך בדיוק בחר מערכת קואורדינטות עבור דמות מסוימת.אחרי הכל, זו הבחירה מיקום יחסימערכות קואורדינטות וצורות במרחב יקבעו בסופו של דבר עד כמה החישובים יהיו מסורבלים.

הרשו לי להזכיר לכם שבסעיף זה אנו מתייחסים לנתונים הבאים:

1. מקבילי מלבני
2. מנסרה ישרה (משולשת, משושה...)
3. פירמידה (משולש, מרובע)
4. טטרהדרון (זהה לפירמידה משולשת)

עבור מקבילי מלבני או קובייה, אני ממליץ לך על המבנה הבא:

כלומר, אני אמקם את הדמות "בפינה". הקובייה והמקבילית הם דמויות טובות מאוד. עבורם, אתה תמיד יכול למצוא בקלות את הקואורדינטות של הקודקודים שלו. לדוגמה, אם (כפי שמוצג בתמונה)

אז הקואורדינטות של הקודקודים הן כדלקמן:

כמובן, אינך צריך לזכור זאת, אך מומלץ לזכור כיצד למקם קובייה או מקבילית מלבני.

פריזמה ישרה

הפריזמה היא דמות מזיקה יותר. ניתן למקם אותו בחלל בדרכים שונות. עם זאת, האפשרות הבאה נראית לי המקובלת ביותר:

מנסרה משולשת:

כלומר, אנו מניחים את אחת מצלעות המשולש כולה על הציר, ואחד הקודקודים חופף למקור הקואורדינטות.

פריזמה משושה:

כלומר, אחד הקודקודים חופף למקור, ואחד הצדדים שוכן על הציר.

פירמידה מרובעת ומשושה:

המצב דומה לקובייה: אנו מיישרים את שתי צלעות הבסיס עם צירי הקואורדינטות, ומיישרים את אחד הקודקודים עם מוצא הקואורדינטות. הקושי הקל היחיד יהיה לחשב את הקואורדינטות של הנקודה.

עבור פירמידה משושה - זהה לפריזמה משושה. המשימה העיקרית תהיה שוב למצוא את הקואורדינטות של הקודקוד.

טטרהדרון (פירמידה משולשת)

המצב דומה מאוד לזה שנתתי לפריזמה משולשת: קודקוד אחד חופף למקור, צד אחד שוכן על ציר הקואורדינטות.

ובכן, עכשיו אתה ואני סוף סוף קרובים להתחיל לפתור בעיות. ממה שאמרתי ממש בתחילת המאמר, אתה יכול להסיק את המסקנה הבאה: רוב בעיות C2 מחולקות ל-2 קטגוריות: בעיות זווית ובעיות מרחק. ראשית, נבחן את הבעיות של מציאת זווית. הם בתורם מחולקים לקטגוריות הבאות (ככל שהמורכבות עולה):

בעיות במציאת זוויות

1. מציאת הזווית בין שני קווים ישרים
2. מציאת הזווית בין שני מישורים

הבה נסתכל על הבעיות הללו ברצף: נתחיל במציאת הזווית בין שני קווים ישרים. ובכן, תזכור, האם אתה ואני לא פתרנו דוגמאות דומות בעבר? אתה זוכר, כבר היה לנו משהו דומה... חיפשנו את הזווית בין שני וקטורים. תן לי להזכיר לך, אם ניתנים שני וקטורים: ואז הזווית ביניהם נמצאת מהיחס:

כעת המטרה שלנו היא למצוא את הזווית בין שני קווים ישרים. בואו נסתכל על "התמונה השטוחה":

כמה זוויות קיבלנו כששני קווים ישרים הצטלבו? רק כמה דברים. נכון, רק שניים מהם אינם שווים, ואילו האחרים אנכיים להם (ולכן חופפים להם). אז איזו זווית עלינו לשקול את הזווית בין שני קווים ישרים: או? כאן הכלל הוא: הזווית בין שני קווים ישרים היא תמיד לא יותר ממעלות. כלומר, משתי זוויות נבחר תמיד את הזווית עם מידת המעלה הקטנה ביותר. כלומר, בתמונה זו הזווית בין שני קווים ישרים שווה. כדי לא לטרוח בכל פעם במציאת הזוויות הקטנה ביותר משתי זוויות, הציעו מתמטיקאים ערמומיים להשתמש במודולוס. לפיכך, הזווית בין שני קווים ישרים נקבעת על ידי הנוסחה:

לך, כקורא קשוב, הייתה צריכה להיות שאלה: מאיפה בדיוק אנחנו מקבלים את המספרים האלה שאנחנו צריכים כדי לחשב את הקוסינוס של זווית? תשובה: ניקח אותם מקוקטורי הכיוון של הקווים! לפיכך, האלגוריתם למציאת הזווית בין שני קווים ישרים הוא כדלקמן:

1. אנו מיישמים נוסחה 1.

או ביתר פירוט:

1. אנו מחפשים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר הראשון
2. אנו מחפשים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר השני
3. אנו מחשבים את המודולוס של התוצר הסקלרי שלהם
4. אנו מחפשים את אורך הווקטור הראשון
5. אנו מחפשים את אורך הווקטור השני
6. הכפל את התוצאות של נקודה 4 בתוצאות של נקודה 5
7. נחלק את התוצאה של נקודה 3 בתוצאה של נקודה 6. נקבל את הקוסינוס של הזווית בין הקווים
8. אם תוצאה זומאפשר לך לחשב במדויק את הזווית, לחפש אותה
9. אחרת אנחנו כותבים דרך arc cosinus

ובכן, עכשיו הגיע הזמן לעבור לבעיות: אני אדגים את הפתרון לשתי הראשונות בפירוט, אציג את הפתרון לפתרון אחר ב בקיצור, ולשתי הבעיות האחרונות אתן רק תשובות, עליך לבצע את כל החישובים עבורן בעצמך.

משימות:

1. ב-tet-ra-ed-re הימני, מצא את הזווית בין גובה ה-tet-ra-ed-ra לצד האמצעי.

2. בשש הפינות הימנית pi-ra-mi-de, מאה os-no-va-niyas שווים, וקצוות הצד שווים, מצא את הזווית בין הקווים ו.

3. האורכים של כל הקצוות של ארבעת הפחם הימנית pi-ra-mi-dy שווים זה לזה. מצא את הזווית בין הקווים הישרים ואם מהחתך - אתה עם ה-pi-ra-mi-dy הנתון, הנקודה היא se-re-di-על הצלעות הבו-קו-שניות שלו

4. על קצה הקוביה יש נקודה כך מצא את הזווית בין הקווים הישרים ו

5. נקודה - על קצוות הקוביה מצא את הזווית בין הקווים הישרים ו.

לא במקרה סידרתי את המשימות בסדר הזה. בעוד שעדיין לא התחלת לנווט בשיטת הקואורדינטות, אני אנתח בעצמי את הדמויות ה"בעייתיות" ביותר, ואשאיר לך להתמודד עם הקובייה הפשוטה ביותר! לאט לאט תצטרכו ללמוד איך לעבוד עם כל הדמויות, אני אגדיל את מורכבות המשימות מנושא לנושא.

בואו נתחיל לפתור בעיות:

1. צייר טטרהדרון, הנח אותו במערכת הקואורדינטות כפי שהצעתי קודם. מכיוון שהטטרהדרון רגיל, אז כל פניו (כולל הבסיס) הם משולשים רגילים. מכיוון שלא ניתן לנו את אורך הצלע, אני יכול לקחת אותה כשווה. אני חושב שאתה מבין שהזווית לא תהיה תלויה בעצם כמה הטטרהדרון שלנו "מתוח"?. אצייר גם את הגובה והחציון בטטרהדרון. על הדרך אצייר את הבסיס שלו (הוא גם יועיל לנו).

אני צריך למצוא את הזווית בין לבין. מה אנחנו יודעים? אנחנו יודעים רק את הקואורדינטה של ​​הנקודה. זה אומר שאנחנו צריכים למצוא את הקואורדינטות של הנקודות. כעת אנו חושבים: נקודה היא נקודת החיתוך של הגבהים (או חצויים או חציונים) של המשולש. ונקודה היא נקודה שהועלתה. הנקודה היא אמצע הקטע. אז אנחנו צריכים סוף סוף למצוא: את הקואורדינטות של הנקודות:.

נתחיל בדבר הפשוט ביותר: הקואורדינטות של נקודה. תסתכל על האיור: ברור שהיישום של נקודה שווה לאפס (הנקודה שוכנת על המישור). הסמין שלו שווה (שכן הוא החציון). קשה יותר למצוא את האבשיסה שלו. עם זאת, זה נעשה בקלות בהתבסס על משפט פיתגורס: שקול משולש. התחתון שלו שווה, ואחת מרגליו שווה אז:

לבסוף יש לנו: .

עכשיו בואו נמצא את הקואורדינטות של הנקודה. ברור שהיישום שלו שוב שווה לאפס, והאורדינאטה שלו זהה לזה של הנקודה, כלומר. בואו נמצא את האבשיסה שלו. זה נעשה בצורה די טריוויאלית אם אתה זוכר את זה הגבהים של משולש שווה צלעות לפי נקודת החיתוך מחולקים בפרופורציה, סופר מלמעלה. מאז: , אז האבשיסה הנדרשת של הנקודה, שווה לאורך הקטע, שווה ל: . לפיכך, הקואורדינטות של הנקודה הן:

בוא נמצא את הקואורדינטות של הנקודה. ברור שהאבשיסה והאורד שלה חופפים לאבשיסה והאורדינטה של ​​הנקודה. והאפליקציה שווה לאורך הקטע. - זו אחת מרגלי המשולש. התחתון של משולש הוא קטע - רגל. הוא מבוקש מסיבות שהדגשתי בהדגשה:

הנקודה היא אמצע הקטע. אז עלינו לזכור את הנוסחה לקואורדינטות של נקודת האמצע של הקטע:

זהו, כעת נוכל לחפש את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון:

ובכן, הכל מוכן: אנו מחליפים את כל הנתונים בנוסחה:

לכן,

תשובה:

אתה לא צריך לפחד מתשובות "מפחידות" כאלה: עבור משימות C2 זה נוהג מקובל. אני מעדיף להיות מופתע מהתשובה "היפה" בחלק הזה. כמו כן, כפי ששמתם לב, למעשה לא נעזרתי בשום דבר מלבד משפט פיתגורס ותכונת הגבהים של משולש שווה צלעות. כלומר, כדי לפתור את הבעיה הסטריאומטרית, השתמשתי במינימום של סטריאומטריה. הרווח בכך "נכבה" בחלקו על ידי חישובים מסורבלים למדי. אבל הם די אלגוריתמיים!

2. הבה נצייר פירמידה משושה רגילה יחד עם מערכת הקואורדינטות, כמו גם הבסיס שלה:

אנחנו צריכים למצוא את הזווית בין הקווים ו. לפיכך, המשימה שלנו מסתכמת במציאת הקואורדינטות של הנקודות:. נמצא את הקואורדינטות של שלושת האחרונים באמצעות ציור קטן, ונמצא את קואורדינטת הקודקוד דרך קואורדינטת הנקודה. יש הרבה עבודה לעשות, אבל אנחנו צריכים להתחיל!

א) קואורדינטה: ברור שהיישום והאורדינטה שלו שווים לאפס. בוא נמצא את האבשיסה. כדי לעשות זאת, שקול משולש ישר זווית. למרבה הצער, בו אנו מכירים רק את היפוטנוזה, שהוא שווה. ננסה למצוא את הרגל (שהרי ברור שכפול אורך הרגל ייתן לנו את האבשיסה של הנקודה). איך אנחנו יכולים לחפש את זה? בואו נזכור איזו דמות יש לנו בבסיס הפירמידה? זהו משושה רגיל. מה זה אומר? זה אומר שכל הצלעות וכל הזוויות שוות. אנחנו צריכים למצוא זווית אחת כזו. רעיונות כלשהם? יש הרבה רעיונות, אבל יש נוסחה:

סכום הזוויות של n-גון רגיל הוא .

לפיכך, סכום הזוויות של משושה רגיל שווה למעלות. אז כל אחת מהזוויות שווה ל:

בואו נסתכל שוב על התמונה. ברור שהקטע הוא חציו של הזווית. ואז הזווית שווה למעלות. לאחר מכן:

ואז מאיפה.

לפיכך, יש קואורדינטות

ב) כעת נוכל למצוא בקלות את הקואורדינטה של ​​הנקודה: .

ג) מצא את הקואורדינטות של הנקודה. מכיוון שהאבססיס שלו חופף לאורך הקטע, הוא שווה. מציאת הסמין היא גם לא מאוד קשה: אם נחבר את הנקודות ונציין את נקודת החיתוך של הישר כמו, נניח, . (עשה זאת בעצמך בנייה פשוטה). אז לפיכך, הסמין של נקודה B שווה לסכום אורכי הקטעים. בואו נסתכל שוב על המשולש. לאחר מכן

ואז מאז ועד אז לנקודה יש ​​קואורדינטות

ד) כעת נמצא את הקואורדינטות של הנקודה. שקול את המלבן והוכיח כי לפיכך, הקואורדינטות של הנקודה הן:

ה) נותר למצוא את הקואורדינטות של הקודקוד. ברור שהאבשיסה והאורד שלה חופפים לאבשיסה והאורדינטה של ​​הנקודה. בוא נמצא את האפליקציה. מאז. שקול משולש ישר זווית. לפי תנאי הבעיה, קצה צדדי. זה התחתון של המשולש שלי. ואז גובה הפירמידה הוא רגל.

אז לנקודה יש ​​קואורדינטות:

ובכן, זהו, יש לי את הקואורדינטות של כל הנקודות שמעניינות אותי. אני מחפש את הקואורדינטות של וקטורי הכוונה של קווים ישרים:

אנו מחפשים את הזווית בין הוקטורים הללו:

תשובה:

שוב, בפתרון הבעיה הזו לא השתמשתי באף טכניקה מתוחכמות מלבד הנוסחה של סכום הזוויות של n-גון רגיל, וכן בהגדרת הקוסינוס והסינוס של משולש ישר זווית.

3. מכיוון ששוב לא ניתן לנו את אורכי הקצוות בפירמידה, אראה אותם כשווים לאחד. לפיכך, מכיוון שכל הקצוות, ולא רק הצדדיים, שווים זה לזה, אז בבסיס הפירמידה ואני יש ריבוע, ו פני צד- משולשים רגילים. הבה נצייר פירמידה כזו, כמו גם את הבסיס שלה על מישור, ונשים לב לכל הנתונים שניתנו בטקסט של הבעיה:

אנחנו מחפשים את הזווית בין לבין. אעשה חישובים קצרים מאוד כשאחפש את הקואורדינטות של הנקודות. תצטרך "לפענח" אותם:

ב) - אמצע הקטע. הקואורדינטות שלו:

ג) אמצא את אורך הקטע באמצעות משפט פיתגורס במשולש. אני יכול למצוא אותו באמצעות משפט פיתגורס במשולש.

קואורדינטות:

ד) - אמצע הקטע. הקואורדינטות שלו הן

ה) קואורדינטות וקטוריות

ו) קואורדינטות וקטוריות

ז) מחפשים את הזווית:

קובייה היא הדמות הפשוטה ביותר. אני בטוח שתבין את זה לבד. התשובות לבעיות 4 ו-5 הן כדלקמן:

מציאת הזווית בין קו ישר למישור

ובכן, הזמן של חידות פשוטות נגמר! כעת הדוגמאות יהיו מסובכות עוד יותר. כדי למצוא את הזווית בין קו ישר למישור, נמשיך כך:

1. בעזרת שלוש נקודות אנו בונים משוואה של המישור
   ,
   באמצעות קביעה מסדר שלישי.
2. בעזרת שתי נקודות, נחפש את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר:
3. אנו מיישמים את הנוסחה כדי לחשב את הזווית בין ישר למישור:

כפי שאתה יכול לראות, נוסחה זו דומה מאוד לזו שבה השתמשנו כדי למצוא זוויות בין שני קווים ישרים. המבנה בצד ימין פשוט זהה, ובצד שמאל אנחנו מחפשים עכשיו את הסינוס, לא את הקוסינוס כמו קודם. ובכן, נוספה פעולה מגעילה אחת - חיפוש אחר משוואת המטוס.

בואו לא נדחה דוגמאות לפתרונות:

1. המנסרה הישירה הראשית-אבל-ני-אם-אנחנו משולש שווה-לעני. מצא את הזווית בין הקו הישר למישור

2. ב-par-ral-le-le-pi-pe-de מלבני מהמערב מצא את הזווית בין הקו הישר למישור

3. בפריזמה ימנית בעלת שש פינות, כל הקצוות שווים. מצא את הזווית בין הקו הישר למישור.

4. במשולש הימני pi-ra-mi-de עם ה-os-no-va-ni-em של הצלעות הידועות מצא פינה, ob-ra-zo-van -שטוח בבסיס וישר, העובר דרך האפור צלעות ו

5. אורכי כל הקצוות של pi-ra-mi-dy מרובע ישר עם קודקוד שווים זה לזה. מצא את הזווית בין הקו הישר למישור אם הנקודה נמצאת בצד של קצה ה-pi-ra-mi-dy.

שוב, אני אפתור את שתי הבעיות הראשונות בפירוט, את השלישית בקצרה, ואת שתי האחרונות אשאיר לך לפתור בעצמך. חוץ מזה, כבר נאלצתם להתמודד עם המשולש ו פירמידות מרובעות, אבל עם פריזמות - עדיין לא.

פתרונות:

1. הבה נצייר פריזמה, כמו גם את הבסיס שלה. נשלב אותו עם מערכת הקואורדינטות ונציין את כל הנתונים המופיעים בהצהרת הבעיה:

אני מתנצל על אי עמידה בפרופורציות, אבל לפתרון הבעיה זה, למעשה, לא כל כך חשוב. המטוס הוא פשוט ה"קיר האחורי" של הפריזמה שלי. זה מספיק פשוט לנחש שלמשוואה של מישור כזה יש את הצורה:

עם זאת, ניתן להציג זאת ישירות:

בואו נבחר שלוש נקודות שרירותיות במישור הזה: למשל, .

בואו ניצור את משוואת המישור:

תרגיל בשבילך: חשב את הקובע הזה בעצמך. האם הצלחת? ואז משוואת המישור נראית כך:

או בפשטות

לכן,

כדי לפתור את הדוגמה, אני צריך למצוא את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר. כיוון שהנקודה חופפת למקור הקואורדינטות, הקואורדינטות של הווקטור פשוט יתאימו לקואורדינטות של הנקודה, לשם כך נמצא תחילה את הקואורדינטות של הנקודה.

כדי לעשות זאת, שקול משולש. נצייר את הגובה (הידוע גם כחציון וחוצה) מהקודקוד. מאז, הסמין של הנקודה שווה ל. על מנת למצוא את האבססיס של נקודה זו, עלינו לחשב את אורך הקטע. לפי משפט פיתגורס יש לנו:

אז לנקודה יש ​​קואורדינטות:

נקודה היא נקודה "מוגבהת":

אז הקואורדינטות הווקטוריות הן:

תשובה:

כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר קשה ביסודו כשפותרים בעיות כאלה. למעשה, התהליך מפושט מעט יותר על ידי ה"ישירות" של דמות כמו פריזמה. כעת נעבור לדוגמא הבאה:

2. צייר מקבילית, צייר בו מישור וקו ישר, וגם צייר בנפרד את הבסיס התחתון שלו:

ראשית, נמצא את משוואת המישור: הקואורדינטות של שלוש הנקודות המונחות בו:

(שתי הקואורדינטות הראשונות מתקבלות בצורה ברורה, וניתן למצוא בקלות את הקואורדינטה האחרונה מהתמונה מהנקודה). לאחר מכן נרכיב את משוואת המישור:

אנו מחשבים:

אנחנו מחפשים את הקואורדינטות של הווקטור המנחה: ברור שהקואורדינטות שלו חופפות את הקואורדינטות של הנקודה, לא? איך למצוא קואורדינטות? אלו הן הקואורדינטות של הנקודה, מורמות לאורך ציר היישום באחת! . לאחר מכן אנו מחפשים את הזווית הרצויה:

תשובה:

3. צייר פירמידה משושה רגילה, ולאחר מכן צייר בתוכה מישור וקו ישר.

כאן זה אפילו בעייתי לצייר מטוס, שלא לדבר על פתרון הבעיה הזו, אבל לשיטת הקואורדינטות לא אכפת! הרבגוניות שלו היא היתרון העיקרי שלו!

המטוס עובר בשלוש נקודות:. אנחנו מחפשים את הקואורדינטות שלהם:

1) . גלה את הקואורדינטות עבור שתי הנקודות האחרונות בעצמך. תצטרך לפתור את בעיית הפירמידה המשושה בשביל זה!

2) נבנה את משוואת המישור:

אנו מחפשים את הקואורדינטות של הווקטור: . (ראה שוב את בעיית הפירמידה המשולשת!)

3) מחפשים זווית:

תשובה:

כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר קשה באופן על טבעי במשימות האלה. אתה רק צריך להיות זהיר מאוד עם השורשים. אני אתן רק תשובות לשתי הבעיות האחרונות:

כפי שאתה יכול לראות, הטכניקה לפתרון בעיות זהה בכל מקום: המשימה העיקרית היא למצוא את הקואורדינטות של הקודקודים ולהחליף אותם בנוסחאות מסוימות. אנחנו עדיין צריכים לשקול עוד סוג אחד של בעיות לחישוב זוויות, כלומר:

חישוב זוויות בין שני מישורים

אלגוריתם הפתרון יהיה כדלקמן:

1. בעזרת שלוש נקודות אנו מחפשים את המשוואה של המישור הראשון:
2. בעזרת שלוש הנקודות האחרות אנו מחפשים את משוואת המישור השני:
3. אנו מיישמים את הנוסחה:

כפי שניתן לראות, הנוסחה דומה מאוד לשתי הקודמות, בעזרתה חיפשנו זוויות בין ישרים ובין ישר למישור. אז לא יהיה לך קשה לזכור את זה. נעבור לניתוח המשימות:

1. צלע הבסיס של המנסרה המשולשת הימנית שווה, והדיאלוג של פני הצד שווה. מצא את הזווית בין המישור למישור ציר המנסרה.

2. בארבע הפינות הימנית pi-ra-mi-de, שכל הקצוות שלה שווים, מצא את הסינוס של הזווית בין המישור לעצם המישור, העובר דרך הנקודה per-pen-di-ku- שקרן-אבל ישר.

3. בפריזמה רגילה בעלת ארבע פינות, צלעות הבסיס שוות, וקצוות הצד שווים. יש נקודה על הקצה from-me-che-on כך ש. מצא את הזווית בין המישורים ו

4. בפריזמה מרובעת ישרה, צלעות הבסיס שוות, וקצוות הצד שווים. יש נקודה על הקצה מהנקודה כך מצא את הזווית בין המישורים ו.

5. בקובייה, מצא את ה-co-si-nus של הזווית בין המישורים ו

פתרונות לבעיות:

1. אני מצייר את הנכון (בבסיס יש משולש שווה צלעות) מנסרה משולשתוסמן עליו את המישורים המופיעים בהצהרת הבעיה:

אנחנו צריכים למצוא את המשוואות של שני מישורים: משוואת הבסיס היא טריוויאלית: אתה יכול לחבר את הקובע המתאים באמצעות שלוש נקודות, אבל אני ארכיב את המשוואה מיד:

עכשיו בואו נמצא את המשוואה לנקודה יש ​​קואורדינטות נקודה - מכיוון שהוא החציון והגובה של המשולש, ניתן למצוא אותה בקלות באמצעות משפט פיתגורס במשולש. אז לנקודה יש ​​קואורדינטות: בוא נמצא את היישום של הנקודה. לשם כך, שקול משולש ישר זווית

לאחר מכן נקבל את הקואורדינטות הבאות: אנו מרכיבים את משוואת המישור.

אנו מחשבים את הזווית בין המישורים:

תשובה:

2. יצירת ציור:

הדבר הקשה ביותר הוא להבין איזה סוג של מישור מסתורי זה, העובר בניצב דרך הנקודה. ובכן, העיקר, מה זה? העיקר תשומת לב! למעשה, הקו הוא מאונך. הקו הישר הוא גם מאונך. אז המטוס העובר דרך שני הקווים הללו יהיה מאונך לקו, ודרך אגב, יעבור דרך הנקודה. מישור זה עובר גם בחלק העליון של הפירמידה. ואז המטוס הרצוי - והמטוס כבר ניתן לנו. אנחנו מחפשים את הקואורדינטות של הנקודות.

אנו מוצאים את הקואורדינטה של ​​הנקודה דרך הנקודה. מהתמונה הקטנה קל להסיק שהקואורדינטות של הנקודה יהיו כדלקמן: מה נותר כעת למצוא כדי למצוא את הקואורדינטות של ראש הפירמידה? אתה צריך גם לחשב את הגובה שלו. זה נעשה באמצעות אותו משפט פיתגורס: תחילה הוכיחו זאת (טריוויאלי ממשולשים קטנים היוצרים ריבוע בבסיס). מאז לפי תנאי, יש לנו:

עכשיו הכל מוכן: קואורדינטות קודקוד:

אנו מרכיבים את משוואת המישור:

אתה כבר מומחה בחישוב דטרמיננטים. ללא קושי תקבל:

או אחרת (אם נכפיל את שני הצדדים בשורש של שניים)

עכשיו בואו נמצא את משוואת המישור:

(לא שכחת איך אנחנו מקבלים את המשוואה של מישור, נכון? אם אתה לא מבין מאיפה הגיע המינוס הזה, אז תחזור להגדרה של המשוואה של מישור! זה פשוט תמיד התברר לפני זה המטוס שלי היה שייך למקור הקואורדינטות!)

אנו מחשבים את הקובע:

(ייתכן שתבחין שמשוואת המישור עולה בקנה אחד עם משוואת הישר העובר דרך הנקודות ו! תחשוב למה!)

עכשיו בואו נחשב את הזווית:

אנחנו צריכים למצוא את הסינוס:

תשובה:

3. שאלה מסובכת: מהי לדעתך פריזמה מלבנית? זה רק מקבילי שאתה מכיר היטב! בואו לצייר ציור מיד! אתה אפילו לא צריך לתאר את הבסיס בנפרד; זה מועיל כאן:

המישור, כפי שציינו קודם לכן, כתוב בצורה של משוואה:

עכשיו בואו ניצור מטוס

אנו יוצרים מיד את משוואת המישור:

מחפש זווית:

עכשיו התשובות לשתי הבעיות האחרונות:

ובכן, עכשיו זה הזמן לקחת הפסקה קטנה, כי אתה ואני נהדרים ועשינו עבודה נהדרת!

קואורדינטות ווקטורים. שלב מתקדם

במאמר זה נדון איתך בסוג נוסף של בעיות שניתן לפתור בשיטת הקואורדינטות: בעיות חישוב מרחק. כלומר, נשקול את המקרים הבאים:

1. חישוב המרחק בין קווים מצטלבים.

הזמנתי את המטלות האלה לפי סדר הקושי הגובר. מסתבר שהכי קל למצוא אותו מרחק מנקודה למישור, והדבר הכי קשה הוא למצוא מרחק בין קווי חצייה. אם כי, כמובן, שום דבר אינו בלתי אפשרי! בואו לא נדחה ונמשיך מיד לשקול את הסוג הראשון של בעיות:

חישוב המרחק מנקודה למישור

מה אנחנו צריכים כדי לפתור את הבעיה הזו?

1. קואורדינטות נקודות

לכן, ברגע שנקבל את כל הנתונים הדרושים, אנו מיישמים את הנוסחה:

אתה צריך כבר לדעת איך אנחנו בונים את המשוואה של מישור מהבעיות הקודמות שדיברתי עליהן בחלק האחרון. בואו ניגש ישר למשימות. הסכימה היא כדלקמן: 1, 2 - אני עוזר לך להחליט, ובפירוט מסוים, 3, 4 - רק התשובה, אתה מבצע את הפתרון בעצמך ומשווה. בואו נתחיל!

משימות:

1. נתנו קובייה. אורך קצה הקוביה שווה. מצא את המרחק מה-se-re-di-na מהחתך למטוס

2. בהינתן הארבעה פחמים פי-רה-מי-כן, הצד של הצד שווה לבסיס. מצא את המרחק מהנקודה למישור שבו - se-re-di-על הקצוות.

3. במשולש הימני pi-ra-mi-de עם os-no-va-ni-em, קצה הצד שווה, והמאה-ro-על ה-os-no-va-nia שווה. מצא את המרחק מהחלק העליון למטוס.

4. בפריזמה משושה ישרה, כל הקצוות שווים. מצא את המרחק מנקודה למישור.

פתרונות:

1. צייר קובייה עם קצוות בודדים, בנה קטע ומישור, סמן את אמצע הקטע באות

.

ראשית, נתחיל מהקל: מצא את הקואורדינטות של הנקודה. מאז (זכור את הקואורדינטות של אמצע הקטע!)

כעת נרכיב את משוואת המישור באמצעות שלוש נקודות

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

עכשיו אני יכול להתחיל למצוא את המרחק:

2. מתחילים שוב בציור שעליו נסמן את כל הנתונים!

עבור פירמידה, זה יהיה שימושי לצייר את הבסיס שלה בנפרד.

אפילו העובדה שאני מצייר כמו תרנגולת בכפה לא תמנע מאיתנו לפתור את הבעיה הזו בקלות!

עכשיו קל למצוא את הקואורדינטות של נקודה

מאז הקואורדינטות של הנקודה, אז

2. מכיוון שהקואורדינטות של נקודה a הן אמצע הקטע, אז

ללא כל בעיה נוכל למצוא את הקואורדינטות של שתי נקודות נוספות במישור.ניצור משוואה למישור ונפשט אותה:

\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(מערך)) \right|) \right| = 0\]

מכיוון שלנקודה יש ​​קואורדינטות: , אנו מחשבים את המרחק:

תשובה (נדיר מאוד!):

נו, הבנת את זה? נראה לי שהכל כאן טכני בדיוק כמו בדוגמאות שראינו בחלק הקודם. אז אני בטוח שאם שלטת בחומר הזה, אז לא יהיה לך קשה לפתור את שתי הבעיות הנותרות. אני רק אתן לך את התשובות:

חישוב המרחק מקו ישר למישור

למעשה, אין כאן שום דבר חדש. כיצד ניתן למקם קו ישר ומישור זה ביחס לזה? יש להם רק אפשרות אחת: להצטלב, או קו ישר מקביל למישור. מהו לדעתך המרחק מישר ישר למישור שבו נחתך הישר הזה? נראה לי שברור כאן שמרחק כזה שווה לאפס. לא מקרה מעניין.

המקרה השני מסובך יותר: כאן המרחק כבר לא אפס. עם זאת, מכיוון שהקו מקביל למישור, אז כל נקודה של הישר נמצאת במרחק שווה מהמישור הזה:

לכן:

זה אומר שהמשימה שלי הצטמצמה לקודמתה: אנחנו מחפשים את הקואורדינטות של כל נקודה על קו ישר, מחפשים את משוואת המישור ומחשבים את המרחק מהנקודה למישור. למעשה, משימות כאלה נדירות ביותר בבחינת המדינה המאוחדת. הצלחתי למצוא רק בעיה אחת, והנתונים בה היו כאלה ששיטת הקואורדינטות לא ממש ישימה עליה!

כעת נעבור לסוג אחר, הרבה יותר חשוב של בעיות:

חישוב המרחק של נקודה לישר

מה אנחנו צריכים?

1. קואורדינטות של הנקודה ממנה אנו מחפשים את המרחק:

2. קואורדינטות של כל נקודה השוכנת על קו

3. קואורדינטות של וקטור הכיוון של הקו הישר

באיזו נוסחה אנו משתמשים?

מה אומר המכנה של השבר הזה צריך להיות ברור לך: זהו אורך הווקטור המכוון של הישר. זהו מונה מסובך מאוד! משמעות הביטוי היא המודולוס (אורך) המכפלה הווקטורית של הוקטורים וכיצד לחשב את המכפלה הווקטורית, למדנו בחלק הקודם של העבודה. רענן את הידע שלך, אנחנו נזדקק לו מאוד עכשיו!

לפיכך, האלגוריתם לפתרון בעיות יהיה כדלקמן:

1. אנו מחפשים את הקואורדינטות של הנקודה ממנה אנו מחפשים את המרחק:

2. אנחנו מחפשים את הקואורדינטות של כל נקודה על הקו שאליה אנחנו מחפשים את המרחק:

3. בנה וקטור

4. בנו וקטור מכוון של קו ישר

5. חשב את המכפלה הווקטורית

6. אנו מחפשים את אורך הווקטור המתקבל:

7. חשב את המרחק:

יש לנו הרבה עבודה לעשות, והדוגמאות יהיו די מורכבות! אז עכשיו מקד את כל תשומת הלב שלך!

1. נתון pi-ra-mi-da משולש ישר עם טופ. המאה-רו-על בסיס הפי-רא-מי-די שווה, אתה שווה. מצא את המרחק מהקצה האפור לקו הישר, כאשר הנקודות והן הם הקצוות האפורים ומווטרינרי.

2. אורכי הצלעות והזווית הישר-לא-גו-פראל-לה-לה-פי-פה-דה שווים בהתאם ומצא את המרחק מלמעלה לקו הישר

3. בפריזמה משושה ישרה, כל הקצוות שווים, מצא את המרחק מנקודה לישר

פתרונות:

1. אנחנו יוצרים ציור מסודר שעליו נסמן את כל הנתונים:

יש לנו הרבה עבודה לעשות! ראשית, ברצוני לתאר במילים מה נחפש ובאיזה סדר:

1. קואורדינטות של נקודות ו

2. קואורדינטות נקודות

3. קואורדינטות של נקודות ו

4. קואורדינטות של וקטורים ו

5. תוצר הצלב שלהם

6. אורך וקטור

7. אורך התוצר הווקטורי

8. מרחק מ-to

ובכן, יש לנו הרבה עבודה לפנינו! בואו נגיע לזה עם שרוולים מופשלים!

1. כדי למצוא את הקואורדינטות של גובה הפירמידה, עלינו לדעת את הקואורדינטות של הנקודה. היישום שלה הוא אפס, והאורדינטה שלה שווה לאבשיסה שלה שווה לאורך הקטע. הואיל והוא גובהו של משולש שווה צלעות, הוא מחולק ביחס, ספירה מהקודקוד, מכאן. לבסוף, קיבלנו את הקואורדינטות:

קואורדינטות נקודות

2. - אמצע הקטע

3. - אמצע הקטע

נקודת האמצע של הקטע

4. קואורדינטות

קואורדינטות וקטוריות

5. חשב את המכפלה הווקטורית:

6. אורך וקטור: הדרך הקלה ביותר להחליף היא שהקטע הוא קו האמצע של המשולש, כלומר הוא שווה למחצית הבסיס. כך.

7. חשב את אורך המכפלה הווקטורית:

8. לבסוף, נמצא את המרחק:

אוף, זהו! אני אגיד לך בכנות: הפתרון לבעיה זו הוא שיטות מסורתיות(באמצעות בנייה), זה יהיה הרבה יותר מהיר. אבל כאן צמצמתי הכל לאלגוריתם מוכן! אני חושב שאלגוריתם הפתרון ברור לך? לכן, אבקש ממך לפתור את שתי הבעיות הנותרות בעצמך. בואו נשווה את התשובות?

שוב, אני חוזר: קל יותר (מהיר יותר) לפתור את הבעיות הללו באמצעות קונסטרוקציות, במקום לפנות אליהם שיטת קואורדינטות. הדגמתי את שיטת הפתרון הזו רק כדי להראות לך שיטה אוניברסלית המאפשרת לך "לא לסיים לבנות שום דבר".

לבסוף, שקול את הסוג האחרון של בעיות:

חישוב המרחק בין קווים מצטלבים

כאן האלגוריתם לפתרון בעיות יהיה דומה לזה הקודם. מה יש לנו:

3. כל וקטור המחבר את נקודות הקו הראשון והשני:

איך נמצא את המרחק בין הקווים?

הנוסחה היא כדלקמן:

המונה הוא המודולוס של המכפלה המעורבת (הצגנו אותו בחלק הקודם), והמכנה הוא, כמו בנוסחה הקודמת (מודול המכפלה הווקטורית של וקטורי הכיוון של הקווים הישרים, המרחק ביניהם אנו מחפשים).

אני אזכיר לך את זה

לאחר מכן ניתן לכתוב מחדש את הנוסחה למרחק כ:

זהו דטרמיננט מחולק בדטרמיננט! למרות שלמען האמת, אין לי זמן לבדיחות כאן! נוסחה זו, למעשה, מסורבלת מאוד ומובילה למדי חישובים מורכבים. במקומך, הייתי נוקט בזה רק כמוצא אחרון!

בואו ננסה לפתור כמה בעיות באמצעות השיטה לעיל:

1. בפריזמה משולשת ישרה, שכל קצוותיה שווים, מצא את המרחק בין הקווים הישרים ו.

2. בהינתן פריזמה משולשת ישרה, כל קצוות הבסיס שווים לקטע העובר דרך צלע הגוף וצלעות se-re-di-well הן ריבוע. מצא את המרחק בין הקווים הישרים ו

אני מחליט על הראשון, ועל פיו אתה מחליט על השני!

1. אני מצייר פריזמה ומסמן קווים ישרים ו

קואורדינטות של נקודה C: אז

קואורדינטות נקודות

קואורדינטות וקטוריות

קואורדינטות נקודות

קואורדינטות וקטוריות

קואורדינטות וקטוריות

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

אנו מחשבים את המכפלה הווקטורית בין וקטורים ו

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2)))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

כעת אנו מחשבים את אורכו:

תשובה:

כעת נסו להשלים את המשימה השנייה בזהירות. התשובה לכך תהיה: .

קואורדינטות ווקטורים. תיאור קצר ונוסחאות בסיסיות

וקטור הוא קטע מכוון. - תחילת הווקטור, - סוף הווקטור.
וקטור מסומן על ידי או.

ערך מוחלטוקטור - אורך הקטע המייצג את הווקטור. מסומן כ.

קואורדינטות וקטוריות:

,
היכן נמצאים הקצוות של הווקטור \displaystyle a .

סכום הוקטורים: .

תוצר של וקטורים:

מכפלת נקודה של וקטורים:

נניח שעלינו למצוא את המשוואה של מישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות שאינן שוכנות על אותו קו. ציון וקטור הרדיוס שלהם ב-ווקטור הרדיוס הנוכחי ב-, נוכל להשיג בקלות את המשוואה הנדרשת בצורה וקטורית. למעשה, הוקטורים חייבים להיות קומפלנריים (כולם נמצאים במישור הרצוי). לכן, המכפלה הווקטורית-סקלרית של הוקטורים הללו חייבת להיות שווה לאפס:

זוהי משוואת מישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות, בצורה וקטורית.

נעבור לקואורדינטות, נקבל את המשוואה בקואורדינטות:

אם שלוש נקודות נתונות נמצאות על אותו קו, אז הוקטורים יהיו קולינאריים. לכן, האלמנטים התואמים של שתי השורות האחרונות של הקובע במשוואה (18) יהיו פרופורציונליים והקובע יהיה שווה לאפס באופן זהה. כתוצאה מכך, משוואה (18) תהיה זהה עבור כל ערכים של x, y ו-z. מבחינה גיאומטרית, זה אומר שדרך כל נקודה במרחב עובר מישור שבו נמצאות שלוש הנקודות הנתונות.

הערה 1. ניתן לפתור את אותה בעיה ללא שימוש בוקטורים.

בציון הקואורדינטות של שלוש הנקודות הנתונות, בהתאמה, נכתוב את המשוואה של כל מישור העובר דרך הנקודה הראשונה:

כדי לקבל את המשוואה של המישור הרצוי, יש צורך לדרוש שמשוואה (17) תעמוד בקואורדינטות של שתי נקודות אחרות:

מתוך משוואות (19), יש צורך לקבוע את היחס בין שני מקדמים לשלישי ולהזין את הערכים שנמצאו במשוואה (17).

דוגמה 1. כתבו משוואה למישור העובר דרך הנקודות.

משוואת המישור העובר דרך הראשונה מבין הנקודות הללו תהיה:

התנאים למעבר המטוס (17) דרך שתי נקודות נוספות והנקודה הראשונה הם:

הוספת המשוואה השנייה לראשונה, נמצא:

החלפה לתוך המשוואה השנייה, נקבל:

בהחלפה במשוואה (17) במקום A, B, C, בהתאמה, 1, 5, -4 (מספרים פרופורציונליים אליהם), נקבל:

דוגמה 2. כתבו משוואה למישור העובר דרך הנקודות (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

המשוואה של כל מישור שעובר דרך הנקודה (0, 0, 0) תהיה]

התנאים למעבר של מישור זה דרך נקודות (1, 1, 1) ו-(2, 2, 2) הם:

אם מקטינים את המשוואה השנייה ב-2, אנו רואים שכדי לקבוע שני לא ידועים, יש משוואה אחת עם

מכאן אנו מקבלים. כעת, בהחלפת ערך המישור במשוואה, אנו מוצאים:

זוהי משוואת המישור הרצוי; זה תלוי שרירותי

כמויות B, C (כלומר, מהיחס כלומר יש מספר אינסופי של מישורים שעוברים דרך שלוש נקודות נתונות (שלוש נקודות נתונות שוכנות על אותו קו ישר).

הערה 2. ניתן לפתור בקלות בצורה כללית את הבעיה של ציור מישור דרך שלוש נקודות נתונות שאינן שוכנות על אותו קו אם נשתמש בדטרמיננטים. אכן, מכיוון שבמשוואות (17) ו-(19) המקדמים A, B, C אינם יכולים להיות שווים לאפס בו-זמנית, אם כן, בהתחשב במשוואות אלה כעל מערכת הומוגניתעם שלושה לא ידועים A, B, C, אנו כותבים תנאי הכרחי ומספיק לקיומו של פתרון למערכת זו השונה מאפס (חלק 1, פרק ו', סעיף 6):

לאחר שהרחבנו את הקואורדינטנט הזה למרכיבי השורה הראשונה, אנו מקבלים משוואה ממעלה ראשונה ביחס לקואורדינטות הנוכחיות, אשר תסופק, במיוחד, על ידי הקואורדינטות של שלוש הנקודות הנתונות.

אתה יכול גם לאמת את האחרון ישירות על ידי החלפת הקואורדינטות של כל אחת מהנקודות הללו במקום . בצד שמאל נקבל דטרמיננטה שבה או שהרכיבים של השורה הראשונה הם אפסים או שיש שתי שורות זהות. לפיכך, המשוואה שנבנתה מייצגת מישור העובר דרך שלוש הנקודות הנתונות.

בחומר זה, נבחן כיצד למצוא את המשוואה של מישור אם אנו יודעים את הקואורדינטות של שלוש נקודות שונות שאינן שוכנות על אותו קו ישר. כדי לעשות זאת, עלינו לזכור מהי מערכת קואורדינטות מלבנית במרחב תלת מימדי. כדי להתחיל, נציג את העיקרון הבסיסי של משוואה זו ונראה בדיוק כיצד להשתמש בו כדי לפתור בעיות ספציפיות.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ראשית, עלינו לזכור אקסיומה אחת, הנשמעת כך:

הגדרה 1

אם שלוש נקודות אינן חופפות זו לזו ואינן שוכנות על אותו קו, הרי שבמרחב התלת מימדי עובר דרכן רק מישור אחד.

במילים אחרות, אם יש לנו שלוש נקודות שונות שהקואורדינטות שלהן אינן חופפות ושלא ניתן לחברן בישר, אז נוכל לקבוע את המישור העובר דרכה.

נניח שיש לנו מערכת קואורדינטות מלבנית. בואו נסמן את זה O x y z. הוא מכיל שלוש נקודות M עם קואורדינטות M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), שאינן ניתנות לחיבור קו ישר. בהתבסס על תנאים אלו, נוכל לרשום את משוואת המישור שאנו צריכים. ישנן שתי גישות לפתרון בעיה זו.

1. הגישה הראשונה משתמשת במשוואת המישור הכללית. בצורת האות, הוא כתוב כ-A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. בעזרתו, ניתן להגדיר במערכת קואורדינטות מלבנית מישור אלפא מסוים שעובר דרך הנקודה הנתונה הראשונה M 1 (x 1, y 1, z 1). מסתבר שלווקטור הנורמלי של המישור α יהיו קואורדינטות A,B,C.

הגדרה של N

לדעת את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי ואת הקואורדינטות של הנקודה שדרכה עובר המישור, נוכל לרשום את המשוואה הכללית של מישור זה.

מזה נמשיך בעתיד.

כך, לפי תנאי הבעיה, יש לנו את הקואורדינטות של הנקודה הרצויה (אפילו שלוש) שדרכה עובר המטוס. כדי למצוא את המשוואה, עליך לחשב את הקואורדינטות של הווקטור הרגיל שלה. בואו נסמן את זה n → .

הבה נזכור את הכלל: כל וקטור שאינו אפס של מישור נתון מאונך לווקטור הנורמלי של אותו מישור. אז יש לנו ש-n → יהיה מאונך לוקטורים המורכבים מהנקודות המקוריות M 1 M 2 → ו-M 1 M 3 → . אז נוכל לסמן את n → כמכפלה וקטורית של הצורה M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

מאז M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ו-M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (הוכחות לשוויון זה ניתנות במאמר המוקדש לחישוב הקואורדינטות של וקטור מקואורדינטות של נקודות), ואז מתברר כי:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

אם נחשב את הקובע, נקבל את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי n → שאנו צריכים. כעת נוכל לרשום את המשוואה הדרושה לנו למישור שעובר דרך שלוש נקודות נתונות.

2. הגישה השנייה למציאת המשוואה העוברת דרך M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), מבוסס על מושג כמו קו-מפלאריות של וקטורים.

אם יש לנו קבוצה של נקודות M (x, y, z), אז במערכת קואורדינטות מלבנית הם מגדירים מישור עבור נקודות נתונות M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) רק במקרה שבו הווקטורים M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ו-M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) יהיו דו-מישוריים .

בתרשים זה ייראה כך:

משמעות הדבר היא שהמכפלה המעורבת של הוקטורים M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → יהיה שווה לאפס: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , מכיוון שזהו התנאי העיקרי של קומפלאריות: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ו-M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

הבה נכתוב את המשוואה המתקבלת בצורת קואורדינטות:

לאחר שנחשב את הקובע, נוכל לקבל את משוואת המישור הדרושה לנו לשלוש נקודות שאינן שוכנות על אותו קו ישר M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

מהמשוואה המתקבלת ניתן לעבור למשוואת המישור בקטעים או למשוואה הרגילה של המישור, אם תנאי הבעיה מחייבים זאת.

בפסקה הבאה ניתן דוגמאות כיצד הגישות שציינו מיושמות בפועל.

דוגמאות לבעיות להרכבת משוואה של מישור העובר דרך 3 נקודות

בעבר, זיהינו שתי גישות שניתן להשתמש בהן כדי למצוא את המשוואה הרצויה. בואו נסתכל כיצד הם משמשים לפתרון בעיות ומתי כדאי לבחור כל אחת מהן.

דוגמה 1

ישנן שלוש נקודות שאינן שוכנות על אותו קו, עם קואורדינטות M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). כתבו משוואה למישור העובר דרכם.

פִּתָרוֹן

אנו משתמשים בשתי השיטות לסירוגין.

1. מצא את הקואורדינטות של שני הוקטורים שאנו צריכים M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

עכשיו בואו נחשב את המוצר הווקטורי שלהם. לא נתאר את חישובי הקובע:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

יש לנו וקטור נורמלי של המישור שעובר דרך שלוש הנקודות הנדרשות: n → = (- 5, 30, 2) . לאחר מכן, עלינו לקחת את אחת הנקודות, למשל, M 1 (- 3, 2, - 1), ולכתוב את המשוואה עבור המישור עם וקטור n → = (- 5, 30, 2). נקבל את זה: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

זו המשוואה שאנחנו צריכים למישור שעובר דרך שלוש נקודות.

2. בואו ננקוט בגישה אחרת. הבה נכתוב את המשוואה למישור עם שלוש נקודות M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ב הטופס הבא:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

כאן אתה יכול להחליף נתונים מהצהרת הבעיה. מאז x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, כתוצאה מכך אנו מקבלים:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 ז - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

קיבלנו את המשוואה שהיינו צריכים.

תשובה:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

אבל מה אם הנקודות הנתונות עדיין שוכנות על אותו קו ואנחנו צריכים ליצור עבורן משוואת מישור? כאן יש לומר מיד שתנאי זה לא יהיה לגמרי נכון. מספר אינסופי של מטוסים יכול לעבור דרך נקודות כאלה, כך שאי אפשר לחשב תשובה אחת. הבה נשקול בעיה כזו כדי להוכיח את אי נכונותו של ניסוח כזה של השאלה.

דוגמה 2

יש לנו מערכת קואורדינטות מלבנית במרחב תלת מימדי, שבה שלוש נקודות ממוקמות עם קואורדינטות M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1) . יש צורך לכתוב משוואה עבור המטוס העובר דרכו.

פִּתָרוֹן

בואו נשתמש בשיטה הראשונה ונתחיל בחישוב הקואורדינטות של שני וקטורים M 1 M 2 → ו- M 1 M 3 →. בואו נחשב את הקואורדינטות שלהם: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

המוצר הצלב יהיה שווה ל:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

מאז M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, אז הוקטורים שלנו יהיו קולינאריים (קרא שוב את המאמר עליהם אם שכחת את ההגדרה של מושג זה). לפיכך, הנקודות הראשוניות M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) נמצאות על אותו קו, ולבעיה שלנו יש אינסוף הרבה תשובות לאפשרויות.

אם נשתמש בשיטה השנייה, נקבל:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

מהשוויון המתקבל עולה גם שהנקודות הנתונות M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) נמצאות על אותו קו.

אם אתה רוצה למצוא לפחות תשובה אחת לבעיה זו מתוך המספר האינסופי של האפשרויות שלה, עליך לבצע את השלבים הבאים:

1. רשמו את משוואת הישר M 1 M 2, M 1 M 3 או M 2 M 3 (במידת הצורך, הסתכלו בחומר על פעולה זו).

2. קח נקודה M 4 (x 4, y 4, z 4), שאינה שוכנת על הקו הישר M 1 M 2.

3. רשום את משוואת המישור שעובר בשלוש נקודות שונות M 1, M 2 ו-M 4 שאינן שוכנות על אותו קו.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter