בעזרת זה מחשבון מקווןאתה יכול למצוא את המרחק בין קווים במרחב. ניתן פתרון מפורט עם הסברים. כדי לחשב את המרחק בין קווים במרחב, ציין את סוג משוואת הקווים ("קנונית" או "פרמטרית"), הזן את המקדמים של משוואות הקווים לתוך התאים ולחץ על כפתור "פתור".

×

אַזהָרָה

לנקות את כל התאים?

סגור נקה

הוראה להזנת נתונים.מספרים מוזנים כמספרים שלמים (דוגמאות: 487, 5, -7623 וכו'), מספרים עשרוניים (למשל 67., 102.54 וכו') או שברים. יש להקליד את השבר בצורה a/b, כאשר a ו-b (b>0) הם מספרים שלמים או מספרים עשרוניים. דוגמאות 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 וכו'.

מרחק בין קווים במרחב – תיאוריה, דוגמאות ופתרונות

תן מערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית Oxyz ל 1 ו ל 2:

.

(1)

,

(2)

איפה M 1 (איקס 1 , y 1 , ז 1) ו M 2 (איקס 2 , y 2 , ז 2) - נקודות שוכבות על קווים ל 1 ו ל 2, ו ש 1 ={M 1 , ע 1 , ל 1) ו ש 2 ={M 2 , ע 2 , ל 2) - מכוונת וקטורים של קווים ל 1 ו ל 2, בהתאמה.

קווים (1) ו-(2) במרחב יכולים לחפוף, להיות מקבילים, להצטלב או להיות מוטים. אם קווים בחלל מצטלבים או חופפים, אז המרחק ביניהם שווה לאפס. נבחן שני מקרים. הראשון הוא שהקווים מקבילים והשני הוא שהקווים מצטלבים. השאר הם אירועים שכיחים. אם, בעת חישוב המרחק בין קווים מקבילים, נקבל את המרחק השווה לאפס, אז זה אומר שהקווים הללו חופפים. אם המרחק בין קווים מצטלבים שווה לאפס, אז הקווים הללו מצטלבים.

1. מרחק בין קווים מקבילים במרחב

שקול שתי שיטות לחישוב המרחק בין הקווים.

שיטה 1. מנקודה מסוימת M 1 ישר ל 1 לצייר מטוס α , בניצב לקו ל 2. מציאת נקודה M 3 (איקס 3 , y 3 , y 3) צמתים מישוריים α וישיר ל 3 . בעצם, אנו מוצאים השלכה של נקודה M 1 ישר ל 2. ראה כיצד למצוא השלכה של נקודה על קו. לאחר מכן, אנו מחשבים את המרחק בין הנקודות M 1 (איקס 1 , y 1 , ז 1) ו M 3 (איקס 3 , y 3 , ז 3):

דוגמה 1. מצא את המרחק בין הקווים ל 1 ו ל 2:

יָשָׁר ל 2 עובר דרך הנקודה M 2 (איקס 2 , y 2 , ז 2)=M

החלפת ערכים M 2 , ע 2 , ל 2 , איקס 1 , y 1 , ז 1 ב-(5) נקבל:

מצא את נקודת החיתוך של הקו ל 2 ומטוס α , לשם כך אנו בונים משוואה פרמטרית של הישר ל 2 .

כדי למצוא את נקודת החיתוך של קו ל 2 ומטוס α , החלף את ערכי המשתנים איקס, y, זמ-(7) עד (6):

החלפת הערך המתקבל טב-(7), נקבל את נקודת החיתוך של הקו ל 2 ומטוס α :

נותר למצוא את המרחק בין הנקודות M 1 ו M 3:

ל 1 ו ל 2 שווים ד=7.2506.

שיטה 2. מצא את המרחק בין הקווים ל 1 ו ל 2 (משוואות (1) ו-(2)). ראשית, אנו בודקים את ההקבלה של הקווים ל 1 ו ל 2. אם וקטורי הכיוון של הקווים ל 1 ו ל 2 הם קולינאריים, כלומר. אם קיים מספר λ כך שהשוויון ש 1 =λ ש 2, ואז קווים ישרים ל 1 ו ל 2 מקבילים.

שיטה זו לחישוב המרחק בין וקטורים מקבילים מבוססת על הרעיון של מכפלת צולב של וקטורים. זה ידוע כי הנורמה של מכפלת וקטור של וקטורים ו ש 1 נותן את השטח של המקבילית שנוצרה על ידי וקטורים אלה (איור 2). לדעת את השטח של מקבילית, אתה יכול למצוא את קודקוד המקבילית דעל ידי חלוקת השטח בבסיס ש 1 מקבילית.

ש 1:

.

מרחק בין קווים ישרים ל 1 ו ל 2 שווה ל:

,

,

דוגמה 2. פתרו דוגמה 1 באמצעות שיטה 2. מצאו את המרחק בין הקווים

יָשָׁר ל 2 עובר דרך הנקודה M 2 (איקס 2 , y 2 , ז 2)=M 2 (8, 4, 1) ויש לו וקטור כיוון

ש 2 ={M 2 , ע 2 , ל 2 }={2, −4, 8}

וקטורים ש 1 ו ש 2 הם קולינאריים. מכאן הישיר ל 1 ו ל 2 מקבילים. כדי לחשב את המרחק בין קווים מקבילים, אנו משתמשים במכפלה הווקטורית של וקטורים.

בוא נבנה וקטור =( איקס 2 −איקס 1 , y 2 −y 1 , ז 2 −ז 1 }={7, 2, 0}.

הבה נחשב את המכפלה הווקטורית של וקטורים ו ש 1 . לשם כך, אנו מרכיבים מטריצה ​​3 × 3, שהשורה הראשונה שלה היא וקטורי הבסיס אני, י, ק, והשורות הנותרות מלאות באלמנטים של וקטורים ו ש 1:

לפיכך, התוצאה של מכפלת צולב של וקטורים ו ש 1 יהיה וקטור:

תשובה: מרחק בין השורות ל 1 ו ל 2 שווים ד=7.25061.

2. מרחק בין קווים מצטלבים במרחב

תן מערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית Oxyzולתת קווים במערכת הקואורדינטות הזו ל 1 ו ל 2 (משוואות (1) ו-(2)).

תן ישר ל 1 ו ל 2 אינם מקבילים (דנו בקווים מקבילים בפסקה הקודמת). כדי למצוא את המרחק בין השורות ל 1 ו ל 2 צריך לבנות מישורים מקבילים α 1 ו α 2 כך ישר ל 1 שכב שטוח α 1 ישר ל 2 - במטוס α 2. ואז המרחק בין השורות ל 1 ו ל 2 שווה למרחק בין המישורים ל 1 ו ל 2 (איור 3).

איפה נ 1 ={א 1 , ב 1 , ג 1) − וקטור נורמלי של המישור α 1 . למטוס α 1 עבר בקו ישר ל 1, וקטור רגיל נ 1 חייב להיות אורתוגונלי לווקטור הכיוון ש 1 ישר ל 1, כלומר. המכפלה הסקלרית של הוקטורים הללו חייבת להיות שווה לאפס:

פתרון המערכת משוואות ליניאריות(27)–(29), עם שלוש משוואות וארבעה לא ידועים א 1 , ב 1 , ג 1 , ד 1, והחלפה לתוך המשוואה

מטוסים α 1 ו α 2 מקבילים, ומכאן הוקטורים הנורמליים המתקבלים נ 1 ={א 1 , ב 1 , ג 1) ו נ 2 ={א 2 , ב 2 , ג 2) מהמישורים הללו הם קולינאריים. אם הוקטורים הללו אינם שווים, נוכל להכפיל את (31) במספר כלשהו כך שהווקטור הנורמלי שנוצר נ 2 עלה בקנה אחד עם הווקטור הנורמלי של המשוואה (30).

ואז המרחק בין מישורים מקביליםמחושב לפי הנוסחה:

(33)

פִּתָרוֹן. יָשָׁר ל 1 עובר דרך הנקודה M 1 (איקס 1 , y 1 , ז 1)=M 1 (2, 1, 4) ויש לו וקטור כיוון ש 1 ={M 1 , ע 1 , ל 1 }={1, 3, −2}.

יָשָׁר ל 2 עובר דרך הנקודה M 2 (איקס 2 , y 2 , ז 2)=M 2 (6, −1, 2) ויש לו וקטור כיוון ש 2 ={M 2 , ע 2 , ל 2 }={2, −3, 7}.

בוא נבנה מטוס α 1 עובר בקו ל 1, במקביל לקו ל 2 .

מאז המטוס α 1 עובר בקו ל 1, אז זה גם עובר דרך הנקודה M 1 (איקס 1 , y 1 , ז 1)=M 1 (2, 1, 4) ווקטור רגיל נ 1 ={M 1 , ע 1 , ל 1) מטוס α 1 מאונך לווקטור הכיוון ש 1 ישר ל 1 . אז משוואת המישור חייבת לעמוד בתנאי:

מאז המטוס α 1 חייב להיות מקביל לקו ל 2 , אזי יש לעמוד בתנאי הבא:

אנו מייצגים את המשוואות הללו בצורה מטריצה:

(40)

הבה נפתור את מערכת המשוואות הלינאריות (40) ביחס ל א 1 , ב 1 , ג 1 , ד 1.

במאמר זה, באמצעות הדוגמה של פתרון בעיה C2 מבחינת המדינה המאוחדת, מנותחת שיטת מציאת הקואורדינטות באמצעות השיטה. זכור כי קווים מוטים אם הם אינם מונחים באותו מישור. בפרט, אם קו אחד נמצא במישור, והקו השני חוצה את המישור הזה בנקודה שאינה שוכנת על הקו הראשון, אז קווים כאלה הם מוטים (ראה איור).

בשביל למצוא מרחקים בין קווים מצטלביםנחוץ:

1. צייר מישור דרך אחד מקווי ההטיה המקביל לקו ההטיה השני.
2. זרוק מאונך מכל נקודה של הקו הישר השני למישור המתקבל. אורכו של הניצב הזה יהיה המרחק הרצוי בין הקווים.

בואו ננתח אלגוריתם זהבפירוט רב יותר על הדוגמה של פתרון בעיה C2 מבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה.

מרחק בין קווים במרחב

מְשִׁימָה.בקובייה אחת ABCDA 1 ב 1 ג 1 דמצא את המרחק בין הקווים תוֹאַר רִאשׁוֹן 1 ו ד.ב. 1 .

אורז. 1. ציור למשימה

פִּתָרוֹן.דרך נקודת האמצע של אלכסון הקובייה ד.ב. 1 (נקודה O) צייר קו מקביל לקו א 1 ב. נקודות חיתוך של קו נתון עם קצוות לִפנֵי הַסְפִירָהו א 1 ד 1 מציין בהתאמה נו M. יָשָׁר MNשוכב במטוס MNB 1 ובמקביל לקו א 1 ב, שאינו טמון במישור הזה. זה אומר שהישיר א 1 בבמקביל למטוס MNB 1 על בסיס מקביליות של קו ישר ומישור (איור 2).

אורז. 2. המרחק הרצוי בין קווי החצייה שווה למרחק מכל נקודה של הקו שנבחר למישור המתואר

כעת אנו מחפשים את המרחק מנקודה כלשהי על הקו הישר א 1 בעד למטוס MNB 1 . מרחק זה, בהגדרה, יהיה המרחק הרצוי בין קווי ההטיה.

כדי למצוא את המרחק הזה, אנו משתמשים בשיטת הקואורדינטות. אנו מציגים מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית כך שהמקור שלה עולה בקנה אחד עם נקודה B, הציר איקסהופנה לאורך הקצה תוֹאַר רִאשׁוֹן, ציר י- לאורך הצלע לִפנֵי הַסְפִירָה, ציר ז- לאורך הצלע ב.ב 1 (איור 3).

אורז. 3. נבחר מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית כפי שמוצג באיור

נמצא את משוואת המישור MNB 1 במערכת הקואורדינטות הזו. לשם כך, אנו קובעים תחילה את הקואורדינטות של הנקודות M, נו ב 1: אנו מחליפים את הקואורדינטות שהתקבלו במשוואה הכללית של ישר ונקבל את מערכת המשוואות הבאה:

מהמשוואה השנייה של המערכת נקבל מהשלישית, ואז מהראשונה נקבל. נחליף את הערכים שהתקבלו במשוואה הכללית של הישר:

שימו לב שאם לא כן המטוס MNB 1 יעבור דרך המוצא. נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב- ונקבל:

המרחק מנקודה למישור נקבע על ידי הנוסחה.

כדי להשתמש בתצוגה המקדימה של מצגות, צור חשבון Google (חשבון) והיכנס: https://accounts.google.com

כתוביות של שקופיות:

סטריאומטריה מרחק בין קווי הטיה

האנך המשותף של שני קווים מצטלבים הוא קטע עם קצוות על קווים אלה, שהוא מאונך לכל אחד מהם. a b A B המרחק בין קווים מצטלבים הוא אורך האנך המשותף שלהם.

שיטות לחישוב המרחק בין קווי הטיה. המרחק בין קווי ההטיה שווה למרחק מכל נקודה של אחד מהקווים הללו למישור העובר דרך הקו השני המקביל לקו הראשון.

שיטות לחישוב המרחק בין קווי הטיה. המרחק בין קווי הטיה שווה למרחק בין שני מישורים מקבילים המכילים קווים אלה.

מס' 1 בקובייה אחת, מצא

מס' 2 בקובייה אחת, מצא

מס' 3 בקובייה אחת, מצא

מס' 4 בקובייה אחת, מצא

הניצב המשותף של שני קווים מצטלבים הוא הקטע המחבר בין נקודות האמצע של הקטעים ו-E - נקודת האמצע F - נקודת האמצע.

מס' 5 בקובייה בודדת, מצא ~

שיטות לחישוב המרחק בין קווי הטיה. המרחק בין קווי הטיה שווה למרחק בין ההקרנות שלהם על מישור המאונך לאחד מהם.

מס' 5 בקוביית יחידה, מצא את O - הקרנת הקו הישר AC על המישור

מס' 6 דנה פירמידה ימין PABC עם קצה צד PA = 3 וצד בסיס 2. למצוא

מלבני - מלבני - מלבני

מס' 7 בקוביית יחידה, מצא את המרחק בין הקווים ו

על הנושא: פיתוחים מתודולוגיים, מצגות והערות

זווית בין קווי הטיה

מצגת להתכונן לקראתה עובר את הבחינהבמתמטיקה בנושא "הזווית בין קווי הטיה" ...

פותח עם תלמידי כיתות יא'. נחשב שיטות שונותפתרון בעיות בנושא זה.

המאמר נועד למצוא את המרחק בין קווים מצטלבים בשיטת הקואורדינטות. תישקל קביעת המרחק בין הקווים הללו, נקבל אלגוריתם בעזרתו נמיר את מציאת המרחק בין הקווים החוצים. בואו נתקן את הנושא על ידי פתרון דוגמאות דומות.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ראשית, יש צורך להוכיח משפט המגדיר את הקשר בין קווי ההטיה הנתונים.

פֶּרֶק מיקום יחסיקווים במרחב אומר שאם שני קווים נקראים מצטלבים, אם מיקומם אינו באותו מישור.

מִשׁפָּט

דרך כל זוג קווים מצטלבים יכול לעבור מישור מקביל לזה הנתון, ורק אחד.

הוכחה

לפי תנאי, ניתנים לנו קווים מצטלבים a ו-b. יש צורך להוכיח מעבר של מישור בודד דרך הקו b המקביל לישר הנתון a. יש להחיל הוכחה דומה על קו a שדרכו עובר מישור במקביל לישר ב' נתון.

ראשית עליך לסמן את הנקודה Q על קו b. אם נלך מההגדרה של מקבילות של ישרים, אז נקבל שדרך נקודה במרחב אפשר לצייר קו מקביל לישר נתון, ורק אחד. זה אומר שרק ישר אחד עובר בנקודה Q והוא מקביל לישר a. ניקח את הסימון a a 1 .

בסעיף הדרכים לציון מישור נאמר שמעבר של מישור בודד אפשרי דרך שני קווים מצטלבים. אז, נקבל שהקווים b ו-a 1 הם קווים חותכים דרכם המישור, מסומנים ב-χ.

בהתבסס על סימן ההקבלה של ישר עם מישור, נוכל להסיק שהישר הנתון a מקביל למישור χ, מכיוון שהישר a מקביל לישר a 1 שנמצא במישור χ.

מישור χ הוא ייחודי, שכן הישר העובר דרך הישר הנתון במרחב מקביל לישר הנתון. שקול את האיור למטה.

במעבר מקביעת המרחק בין קווים מצטלבים, אנו קובעים את המרחק דרך המרחק בין הישר למישור המקביל לו.

הגדרה 1

המרחק בין אחד מהקווים המצטלבים למישור המקביל לו העובר דרך הקו השני נקרא.

כלומר, המרחק בין קו למישור הוא המרחק מ נקודה נתונהלמטוס. אז הניסוח של ההגדרה של המרחק בין קווי הטיה ישים.

הגדרה 2

מרחק בין קווים מצטלביםנקרא המרחק מנקודה כלשהי של קווי הטיה למישור העובר דרך קו אחר במקביל לקו הראשון.

הבה נעשה שיקול מפורט של השורות a ו-b. נקודה M 1 ממוקמת על קו a, מישור χ נמשך דרך הישר b, במקביל לישר a. מהנקודה M 1 אנו מציירים מאונך M 1 H 1 למישור χ. אורכו של הניצב הזה הוא המרחק בין הקווים a ו-b המצטלבים. שקול את האיור למטה.

מציאת המרחק בין חציית קווים - תיאוריה, דוגמאות, פתרונות

המרחקים בין קווי הטיה נמצאים בעת בניית קטע. המרחק הרצוי שווה לאורכו של קטע זה. לפי מצב הבעיה, אורכה נמצא לפי משפט פיתגורס, לפי סימני השוויון או הדמיון של משולשים, או אחרים.

כאשר יש לנו מרחב תלת מימדי עם מערכת קואורדינטות O x y z עם קווים ישרים a ו-b נתונים בתוכה, אז יש לבצע חישובים החל מהמרחק בין אלה המצטלבים בשיטת הקואורדינטות. בואו נסתכל בפירוט.

תנו לפי תנאי χ להיות מישור העובר דרך הישר b, המקביל לישר a. המרחק הרצוי בין הקווים החותכים a ו-b שווה למרחק מהנקודה M 1 הממוקמת על הישר a למישור _ χ. על מנת לקבל את המשוואה הנורמלית של המישור χ, יש צורך לקבוע את הקואורדינטות של הנקודה M 1 (x 1, y 1, z 1) הממוקמת על הישר a. לאחר מכן נקבל cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 , אשר נחוץ כדי לקבוע את המרחק M 1 H 1 מהנקודה M 1 x 1 , y 1 , z 1 למישור χ . החישובים נעשים לפי הנוסחה M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . המרחק הנדרש שווה למרחק הרצוי בין קווי ההטיה.

משימה זו כוללת השגת הקואורדינטות של הנקודה M 1, הממוקמת על הישר a, מציאת המשוואה הנורמלית של המישור χ.

קביעת הקואורדינטות של הנקודה M 1 נחוצה ואפשרית עם הכרת הסוגים העיקריים של משוואות של ישר במרחב. כדי לקבל את משוואת המישור χ, יש צורך להתעכב ביתר פירוט על אלגוריתם החישוב.

אם הקואורדינטות x 2 , y 2 , z 2 נקבעות באמצעות הנקודה M 2 שדרכה נמשך המישור χ, נקבל את הווקטור הנורמלי של המישור χ בצורה של וקטור n → = (A , B , C) . בעקבות זאת, נוכל לכתוב את המשוואה הכללית של מישור χ כ-A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0 .

במקום הנקודה M 2 ניתן לקחת כל נקודה אחרת השייכת לישר b, מכיוון שהמישור χ עובר דרכה. המשמעות היא שנמצאות הקואורדינטות של הנקודה M 2. יש צורך להמשיך למציאת הווקטור הנורמלי של המישור χ.

יש לנו שהמישור χ עובר דרך הישר b, והוא מקביל לישר a. מכאן שהווקטור הנורמלי של המישור χ מאונך לווקטור המכוון של הישר a , המסומן ב- a → , ולווקטור המכוון של הישר b , המסומן b → . הווקטור n → יהיה שווה למכפלת הצלב של a → ו- b → , כלומר n → = a → × b → . לאחר קביעת הקואורדינטות a x , a y , a z ו- b x , b y , b z של וקטורי הכיוון של הקווים a ו- b הנתונים , אנו מחשבים

n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

מכאן נמצא את ערך הקואורדינטות A , B , C של הווקטור הנורמלי למישור χ .

אנו יודעים שלמשוואה הכללית של מישור χ יש את הצורה A · (x - x 2) + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.

יש צורך לנרמל את המשוואה cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . לאחר מכן, עליך לחשב את המרחק הרצוי בין קווי החצייה a ו-b, בהתבסס על הנוסחה M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p.

כדי למצוא את המרחק בין הקווים a ו-b המצטלבים, עליך לפעול לפי האלגוריתם:

• קביעת קואורדינטות (x 1, y 1, z 1) ו-x 2, y 2, z 2 נקודות M 1 ו-M 2 הממוקמות על קווים a ו-b בהתאמה;
• השגת קואורדינטות a x, a y, a z ו-b x, b y, b z השייכות לוקטורים המכוונים של הקווים a ו-b;
• מציאת הקואורדינטות A, B, C, השייכות לווקטור n → במישור χ העובר דרך הישר b, הממוקם במקביל ל-a, על ידי השוויון n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ;
• כְּנִיסָה משוואה כלליתמישור χ בצורה A x - x 2 + B (y - y 2) + C (z - z 2) = 0;
• הפחתת המשוואה המתקבלת של המישור χ למשוואה בצורה נורמלית cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ;
• חישוב המרחק M 1 H 1 מ-M 1 x 1 , y 1 , z 1 למישור χ, מבוסס על הנוסחה M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p .

דוגמה 1

ישנם שני קווים מצטלבים במערכת קואורדינטות Oxyz מלבנית של מרחב תלת מימדי. הישר a מוגדר על ידי המשוואה הפרמטרית של הישר במרחב x = - 2 y = 1 + 2 · λ z = 4 - 3 · λ , הישר b נקבע על ידי המשוואה הקנונית של הישר במרחב x 1 = y - 1 - 2 = z + 4 6 . מצא את המרחק בין קווי הטיה.

פִּתָרוֹן

ברור שהישר a חוצה את הנקודה M 1 (- 2 , 1 , 4) עם וקטור הכיוון a → = (0 , 2 , - 3) , והקו b חוצה את הנקודה M 2 (0 , 1 , - 4) עם וקטור הכיוון b → = (1 , - 2 , 6).

ראשית עליך לחשב את וקטורי הכיוון a → \u003d (0, 2, - 3) ו- b → \u003d (1, - 2, 6) לפי הנוסחה. ואז נקבל את זה

a → × b → = i → j → k → 0 2 - 3 1 - 2 6 = 6 i → - 3 j → - 2 k →

מכאן נקבל ש- n → = a → × b → הוא וקטור המישור χ העובר דרך הישר b המקביל ל- a עם קואורדינטות 6 , - 3 , - 2 . אנחנו מקבלים:

6 (x - 0) - 3 (y - 1) - 2 (z - (- 4)) = 0 ⇔ 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0

נמצא את הגורם המנרמל עבור המשוואה הכללית של המישור 6 x-3 y-2 z-5 = 0. חשב לפי הנוסחה 1 6 2 + - 3 2 + - 2 2 = 1 7 . משמעות הדבר היא שהמשוואה הרגילה תקבל את הצורה 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0 .

יש צורך להשתמש בנוסחה כדי למצוא את המרחק מהנקודה M 1 - 2 , 1 , 4 למישור שניתן על ידי המשוואה 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0 . אנחנו מקבלים את זה

M 1 H 1 \u003d 6 7 (- 2) - 3 7 1 - 2 7 4 - 5 7 \u003d - 28 7 \u003d 4

מכאן נובע שהמרחק הרצוי הוא המרחק בין קווי ההטיה הנתונים, הוא הערך 4 .

תשובה: 4 .

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

גֵאוֹמֶטרִיָה. כיתה יא

נושא השיעור: מרחק בין קווים מצטלבים

Ter-Ovanesyan G.L., מורה הקטגוריה הגבוהה ביותר, חתן פרס קרן סורוס

מוסקבה

שקול את הבעיה של מציאת המרחק בין קווי הטיה. המרחק בין קווים מצטלבים הוא אורך האנך המשותף לקווים אלו.

תנו לנו קובייה ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 שהקצה שלה שווה לאחד AB=1. יש צורך למצוא את המרחק בין הישרים AB ו-DC 1: ρ (AB; DC 1) - ?

שני קווים אלו נמצאים במישורים מקבילים: AB נמצא במישור AA 1 B 1 B, DC 1 נמצא במישור D 1 DC 1 C. ראשית נמצא את האנך לשני המישורים הללו. יש הרבה ניצבים כאלה באיור. זהו הקטע BC, B 1 C 1, A 1 D 1 ו-AD. מבין אלה, הגיוני לבחור את הקטע שהוא לא רק מאונך למישורים האלה, ולכן מאונך לקווים שלנו AB ו-DC 1, אלא גם עובר דרך קווים אלה. קטע כזה הוא AD. הוא מאונך בו זמנית לישר AB, כי הוא מאונך למישור AA 1 B 1 B ולקו DC 1, כי הוא מאונך למישור D 1 DC 1 C. וזה אומר ש-AD הוא מאונך משותף לישרים החותכים AB ו-DC 1. המרחק בין הקווים הללו הוא אורך הניצב הזה, כלומר אורך הקטע AD. אבל AD הוא קצה של קובייה. לכן המרחק הוא 1:

ρ(AB;DC 1)=AD=1

שקול בעיה נוספת, קצת יותר מסובכת, לגבי מציאת המרחק בין קווי הטיה.

הבה נקבל שוב קובייה שהקצה שלה שווה לאחד. אתה צריך למצוא את המרחק בין האלכסונים של פרצופים מנוגדים. כלומר, בהינתן הקובייה ABCD 1 B 1 C 1 D 1. קצה AB=1. יש צורך למצוא את המרחק בין הקווים הישרים VA ​​1 ו-DC 1: ρ (A 1 B; DC 1) - ?

שני קווים אלו מצטלבים, כלומר המרחק הוא אורך הניצב המשותף. אתה לא יכול לצייר מאונך משותף, אלא לנסח כך: זהו אורך האנך בין המישורים המקבילים בהם שוכנים הקווים הללו. הקו BA 1 נמצא במישור ABB 1 A 1 והקו DC 1 נמצא במישור D 1 DCC 1 . הם מקבילים, כך שהמרחק ביניהם הוא המרחק בין הקווים הללו. והמרחק בין פניה של קובייה הוא אורך הקצה. לדוגמה, אורך הקצה לפני הספירה. כי BC מאונך גם למישור ABB 1 A 1 וגם למישור DCC 1 D 1. המשמעות היא שהמרחק בין הקווים הנתונים בתנאי שווה למרחק בין מישורים מקבילים ושווה ל-1:

ρ (A 1 B; DС 1) \u003d BC \u003d 1

שקול בעיה נוספת של מציאת המרחק בין קווי הטיה.

תן לנו את הנכונה מנסרה משולשתשעבורו ידועים כל הקצוות. אתה צריך למצוא את המרחק בין הקצוות של הבסיס העליון והתחתון. כלומר, ניתנת לנו הפריזמה ABCA 1 B 1 C 1. יתר על כן, AB=3=AA 1 . יש צורך למצוא את המרחק בין הקווים הישרים BC ל-A 1 C 1: ρ (BC; A 1 C 1) - ?

מכיוון שהקווים הללו מצטלבים, המרחק ביניהם הוא אורך האנך המשותף, או אורך האנך למישורים המקבילים בהם הם נמצאים. מצא את המישורים המקבילים האלה.

הקו BC נמצא במישור ABC, והקו A 1 C 1 נמצא במישור A 1 B 1 C 1. שני המישורים הללו מקבילים מכיוון שהם הבסיס העליון והתחתון של המנסרה. אז המרחק בין הקווים שלנו הוא המרחק בין המישורים המקבילים הללו. והמרחק ביניהם שווה בדיוק לאורך קצה הצד AA 1, כלומר שווה ל-3:

ρ (BC; A 1 C 1) \u003d AA 1 \u003d 3

בבעיה מסוימת זו, אתה יכול למצוא לא רק את אורך הניצב המשותף, אלא גם לבנות אותו. לשם כך, אנו בוחרים מכל הקצוות הצדדיים אחד שיש לו נקודות משותפותעם ישיר BC ו-A 1 C 1. באיור שלנו, זהו הקצה SS 1. הוא יהיה מאונך לישר A 1 C 1, מכיוון שהוא מאונך למישור הבסיס העליון, ולקו BC, מכיוון שהוא מאונך למישור הבסיס התחתון. לפיכך, אנו יכולים למצוא לא רק את המרחק, אלא גם לבנות את הניצב המשותף הזה.

היום בשיעור נזכרנו איך למצוא את אורך האנך המשותף בין קווי הטיה.