הַגדָרָה. פּרִיזמָה- זהו רב-הדרון, שכל קודקודיו ממוקמים בשני מישורים מקבילים, ובאותם שני מישורים יש שני פנים של המנסרה, שהם מצולעים שווים עם צלעות מקבילות בהתאמה, וכל הקצוות שאינם מונחים בהם. מטוסים מקבילים.

שני פרצופים שווים נקראים בסיסי פריזמה(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

כל שאר הפנים של המנסרה נקראים פני צד(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

את כל פני צדטופס משטח צד של המנסרה .

כל פני הצד של מנסרה הם מקבילים .

קצוות שאינם מונחים בבסיסים נקראים קצוות רוחביים של המנסרה ( AA 1, ב.ב. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

אלכסון פריזמה נקרא קטע, שקצהו הם שני קודקודים של המנסרה שאינם מונחים על אחד מפניו (לספירה 1).

אורך הקטע המחבר את בסיסי הפריזמה ומאונך לשני הבסיסים בו זמנית נקרא גובה מנסרה .

יִעוּד:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (תחילה, לפי סדר המעקף, מסומנים קודקודי בסיס אחד, ולאחר מכן, באותו סדר, קודקודים של השני; הקצוות של כל קצה צד מסומנים באותן אותיות, רק הקודקודים נמצאים בפנים בסיס אחד מסומן באותיות ללא אינדקס, ובשני - עם אינדקס)

שם המנסרה קשור למספר הזוויות באיור השוכב בבסיסה, לדוגמה, באיור 1, הבסיס הוא מחומש, ולכן המנסרה נקראת פריזמה מחומשת. אך מאז למנסרה כזו יש 7 פנים, אז היא ההפטהדרון(2 פרצופים הם בסיסי המנסרה, 5 פרצופים הם מקבילים, הם פני הצד שלה)

בין מנסרות ישרות בולט סוג מסוים: מנסרות רגילות.

מנסרה ישרה נקראת נכון,אם הבסיסים שלו הם מצולעים רגילים.

מַקבִּילוֹן

קוביד- מקביל ימני שבסיסו הוא מלבן.

מאפיינים ומשפטים:

,

כאשר d הוא האלכסון של הריבוע;
a - צד של הריבוע.

הרעיון של פריזמה ניתן על ידי:

• שׁוֹנִים מבנים אדריכליים;
• צעצועי ילדים;
• קופסאות אריזה;
• פריטי מעצבים וכו'.

שטח פנים כולל ולרוחב של המנסרה

S מלא \u003d צד S + 2S ראשי,

איפה S מלא- שטח פנים כולל, צד S- שטח פנים צדדי, S עיקרי- שטח בסיס

שטח המשטח הרוחבי של פריזמה ישרה שווה למכפלת היקף הבסיס וגובה המנסרה.

צד S\u003d P main * h,

איפה צד Sהוא שטח פני השטח לרוחב של פריזמה ישרה,

P main - היקף הבסיס של פריזמה ישרה,

h הוא גובה הפריזמה הישר, שווה לקצה הצד.

נפח פריזמה

נפח הפריזמה שווה למכפלת שטח הבסיס והגובה.

קורס הווידאו "קבל א'" כולל את כל הנושאים הדרושים להצלחת עובר את הבחינהבמתמטיקה עבור 60-65 נקודות. מלא את כל המשימות 1-13 של פרופיל USE במתמטיקה. מתאים גם למעבר ה- Basic USE במתמטיקה. אם אתה רוצה לעבור את הבחינה עם 90-100 נקודות, אתה צריך לפתור את חלק 1 תוך 30 דקות וללא טעויות!

קורס הכנה לבחינה לכיתות י'-י"א וכן למורים. כל מה שצריך כדי לפתור את חלק 1 של הבחינה במתמטיקה (12 הבעיות הראשונות) ובעיה 13 (טריגונומטריה). וזה יותר מ-70 נקודות בבחינת המדינה המאוחדת, וגם סטודנט של מאה נקודות וגם הומניסט לא יכולים בלעדיהם.

כל התיאוריה הדרושה. דרכים מהירותפתרונות, מלכודות וסודות הבחינה. כל המשימות הרלוונטיות של חלק 1 ממשימות הבנק של FIPI נותחו. הקורס עומד במלואו בדרישות USE-2018.

הקורס מכיל 5 נושאים גדולים, 2.5 שעות כל אחד. כל נושא ניתן מאפס, פשוט וברור.

מאות משימות בחינה. בעיות טקסט ותורת ההסתברות. פשוט וקל לזכור אלגוריתמים לפתרון בעיות. גֵאוֹמֶטרִיָה. תיאוריה, חומר עזר, ניתוח כל סוגי משימות ה-USE. סטריאומטריה. טריקים ערמומיים לפתרון, דפי רמאות שימושיים, פיתוח דמיון מרחבי. טריגונומטריה מאפס - למשימה 13. הבנה במקום לדחוס. הסבר ויזואלי מושגים מורכבים. אַלגֶבּרָה. שורשים, חזקות ולוגריתמים, פונקציה ונגזרת. בסיס לפתרון בעיות מורכבות של חלק ב' של הבחינה.

הגדרה 1. משטח מנסרתי
משפט 1. בערך קטעים מקביליםמשטח מנסרתי
הגדרה 2. חתך מאונך של משטח מנסרתי
הגדרה 3. פריזמה
הגדרה 4. גובה פריזמה
הגדרה 5. פריזמה ישירה
משפט 2. שטח פני השטח הצדדיים של המנסרה

מקביל:
הגדרה 6. Parallelepiped
משפט 3. על מפגש האלכסונים של מקבילי
הגדרה 7. מקבילית ימנית
הגדרה 8. מקבילי מלבני
הגדרה 9. מידות מקבילית
הגדרה 10. קובייה
הגדרה 11. רומבוהדרון
משפט 4. על האלכסונים של מקבילי מלבני
משפט 5. נפח של מנסרה
משפט 6. נפח של פריזמה ישרה
משפט 7. נפח של מקבילית מלבני

פּרִיזמָהנקרא פולידרון, שבו שני פנים (בסיסים) שוכבים במישורים מקבילים, והקצוות שאינם מונחים בפרצופים הללו מקבילים זה לזה.
פרצופים שאינם בסיסים נקראים צְדָדִי.
הצדדים של פני הצד והבסיסים נקראים קצוות מנסרה, הקצוות של הקצוות נקראים החלק העליון של המנסרה. צלעות לרוחבנקראים קצוות שאינם שייכים לבסיסים. האיחוד של פני הצד נקרא משטח צד של המנסרה, ואיחוד כל הפנים נקרא משטח מלא של המנסרה. גובה פריזמהנקרא הניצב שירד מנקודת הבסיס העליון למישור הבסיס התחתון או אורך הניצב הזה. פריזמה ישרהנקראת פריזמה, שבה קצוות הצד מאונכים למישורי הבסיסים. נכוןהמכונה פריזמה ישרה (איור 3), שבבסיסה נמצא מצולע רגיל.

ייעודים:
l - צלע צד;
P - היקף בסיס;
S o - שטח בסיס;
H - גובה;
P ^ - היקף החתך הניצב;
S b - שטח פנים צדדי;
V - נפח;
S p - שטח של פני השטח הכולל של המנסרה.

הגדרה 2 . חתך מאונך של משטח מנסרתי הוא חתך ממשטח זה במישור המאונך לקצוותיו. בהתבסס על המשפט הקודם, כל החתכים הניצבים של אותו משטח מנסרתי יהיו מצולעים שווים.

הגדרה 3 . מנסרה היא רב-הדרון התחום על ידי משטח מנסרתי ושני מישורים מקבילים זה לזה (אך לא מקבילים לקצוות המשטח הפריזמטי)
הפרצופים השוכבים במישורים האחרונים הללו נקראים בסיסי פריזמה; פרצופים השייכים למשטח מנסרתי - פני צד; קצוות המשטח הפריזמטי - קצוות צד של המנסרה. מכוח המשפט הקודם, הבסיסים של המנסרה הם מצולעים שווים. כל פני הצד של המנסרה מקביליות; כל הקצוות הצדדיים שווים זה לזה.
ברור שאם בסיס המנסרה ABCDE ואחד הקצוות AA" ניתנים בגודל ובכיוון, אז אפשר לבנות פריזמה על ידי ציור הקצוות BB", CC", .., שווים ומקבילים ל הקצה AA".

הגדרה 4 . גובהה של פריזמה הוא המרחק בין מישורי הבסיסים שלה (HH").

הגדרה 5 . פריזמה נקראת קו ישר אם הבסיסים שלה הם קטעים מאונכים של משטח מנסרתי. במקרה זה, גובה הפריזמה הוא, כמובן, שלה צלע צד; קצוות צד יהיו מלבנים.
ניתן לסווג פריזמות לפי מספר פני הצד, מספר שווההצדדים של המצולע המשמש כבסיס שלו. לפיכך, מנסרות יכולות להיות משולשות, מרובעות, מחומשות וכו'.

משפט 2 . שטח המשטח הרוחבי של המנסרה שווה למכפלת הקצה הרוחבי והיקף החתך הניצב.
תן ABCDEA"B"C"D"E" להיות המנסרה הנתונה ו-abcde יהיה החתך הניצב שלה, כך שהקטעים ab, bc, .. מאונכים לקצוות הצדדיים שלו. הפנים ABA"B" הוא מקבילית; שטחו שווה למכפלת הבסיס AA " לגובה התואם ab; שטח הפנים BCV "C" שווה למכפלת הבסיס BB" בגובה bc וכו'. לכן, משטח הצד (כלומר, סכום השטחים של פני הצד) הוא שווה למכפלת קצה הצד, במילים אחרות, האורך הכולל של הקטעים AA", BB", .., בסכום ab+bc+cd+de+ea.

מידע כללי על פריזמה ישרה

המשטח הרוחבי של המנסרה (ליתר דיוק, שטח הפנים לרוחב) נקרא סְכוּםאזורי פנים צדדיים. המשטח הכולל של המנסרה שווה לסכום המשטח הרוחבי ושטחי הבסיסים.

משפט 19.1. משטח הצד של מנסרה ישרה שווה למכפלת היקף הבסיס וגובה המנסרה, כלומר אורך קצה הצד.

הוכחה. פני הצד של מנסרה ישרה הם מלבנים. הבסיסים של מלבנים אלו הם צלעות המצולע השוכנות בבסיס המנסרה, והגבהים שווים לאורך קצוות הצדדיים. מכאן נובע שהמשטח הרוחבי של המנסרה שווה ל

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

כאשר a 1 ו-n הם אורכי הצלעות של הבסיס, p הוא היקף בסיס הפריזמה, ו-I הוא אורך הצלעות הצדדיות. המשפט הוכח.

משימה מעשית

משימה (22) . בפריזמה נוטה סָעִיף, בניצב לקצוות הצדדיים וחוצים את כל הקצוות הצדדיים. מצא את משטח הצד של המנסרה אם היקף החתך הוא p וקצוות הצד הם l.

פִּתָרוֹן. מישור החתך המשורטט מחלק את הפריזמה לשני חלקים (איור 411). נניח אחד מהם לתרגום מקביל המשלב את בסיסי הפריזמה. במקרה זה, נקבל פריזמה ישרה, שבה הקטע של המנסרה המקורית משמש כבסיס, וקצוות הצד שווים ל-l. למנסרה זו יש את אותו משטח צד כמו למקורי. לפיכך, משטח הצד של המנסרה המקורית שווה ל-pl.

הכללה של הנושא

ועכשיו בואו ננסה איתכם לסכם את נושא הפריזמה ולזכור אילו תכונות יש לפריזמה.

מאפייני פריזמה

ראשית, עבור פריזמה, כל הבסיסים שלה הם מצולעים שווים;
שנית, עבור פריזמה, כל פני הצד שלה הם מקבילים;
שלישית, בדמות רבת פנים כמו פריזמה, כל הקצוות הצדדיים שווים;

כמו כן, יש לזכור שפוליהדרות כגון מנסרות יכולות להיות ישרות ונטויות.

מהי פריזמה ישרה?

אם קצה הצד של מנסרה מאונך למישור הבסיס שלה, אז מנסרה כזו נקראת קו ישר.

לא יהיה מיותר לזכור שפני הצד של פריזמה ישרה הם מלבנים.

מהי פריזמה אלכסונית?

אבל אם הקצה הצדדי של המנסרה אינו ממוקם בניצב למישור הבסיס שלה, אז אנחנו יכולים לומר בבטחה שזו פריזמה נוטה.

מהי הפריזמה הנכונה?

אם מצולע רגיל נמצא בבסיסה של פריזמה ישרה, אז פריזמה כזו היא רגילה.

כעת נזכיר את התכונות שיש לפריזמה רגילה.

תכונות של פריזמה רגילה

ראשית, מצולעים רגילים משמשים תמיד כבסיסים של פריזמה רגילה;
שנית, אם ניקח בחשבון את פני הצד של פריזמה רגילה, אז הם תמיד מלבנים שווים;
שלישית, אם נשווה את הגדלים של הצלעות הצדדיות, אז בפריזמה הנכונה הן תמיד שוות.
רביעית, פריזמה רגילה היא תמיד ישרה;
חמישית, אם בפריזמה רגילה פני הצד הם בצורת ריבועים, אז דמות כזו, ככלל, נקראת מצולע חצי רגיל.

קטע פריזמה

כעת נסתכל על חתך הרוחב של פריזמה:

שיעורי בית

ועכשיו בואו ננסה לגבש את הנושא הנלמד על ידי פתרון בעיות.

נצייר פריזמה משולשת נוטה, שבה המרחק בין הקצוות שלה יהיה: 3 ס"מ, 4 ס"מ ו-5 ס"מ, ומשטח הצד של המנסרה הזו יהיה שווה ל-60 ס"מ2. בעזרת פרמטרים אלה, מצא את הקצה הרוחבי של המנסרה הנתונה.

האם אתה יודע שדמויות גיאומטריות מקיפות אותנו כל הזמן לא רק בשיעורי גיאומטריה, אלא גם ב חיי היום - יוםיש חפצים הדומים לדמות גיאומטרית כזו או אחרת.

בכל בית, בית ספר או עבודה יש ​​מחשב, שיחידת המערכת שלו היא בצורת פריזמה ישרה.

אם תרים עיפרון פשוט, תראה שהחלק העיקרי של העיפרון הוא פריזמה.

בהליכה לאורך הרחוב הראשי של העיר, אנו רואים שמתחת לרגלינו מונח אריח בעל צורה של פריזמה משושה.

A.V. Pogorelov, גיאומטריה לכיתות ז'-י"א, ספר לימוד למוסדות חינוך

1. המספר הקטן ביותרלקצוות יש טטרהדרון - 6.

2. לפריזמה יש n פנים. איזה מצולע נמצא בבסיסו?

(n - 2) - ריבוע.

3. האם פריזמה ישרה אם שני פני הצד הצמודים שלה מאונכים למישור הבסיס?

כן זה כן.

4. באיזו פריזמה קצוות הצד מקבילים לגובהה?

בפריזמה ישרה.

5. האם פריזמה סדירה אם כל הקצוות שלה שווים זה לזה?

לא, יכול להיות שזה לא ישיר.

6. האם גובה אחד מחזיתות הצד של פריזמה משופעת יכול להיות גם גובה המנסרה?

כן, אם הפנים האלה מאונכות לבסיסים.

7. האם יש פריזמה שבה: א) הקצה הרוחבי מאונך רק לקצה אחד של הבסיס; ב) רק פנים צד אחד מאונך לבסיס?

א) כן. ב) לא.

8. פריזמה משולשת רגילה מחולקת על ידי מישור העובר דרך קווי האמצע של הבסיסים לשתי מנסרות. איך הם שטחי המשטחים הצדדיים של פריזמות אלו?

לפי משפט 27 אנחנו מקבלים את זה משטחי צדמתייחסים כמו 5:3

9. האם הפירמידה תהיה סדירה אם פני הצלעות שלה הם משולשים רגילים?

10. כמה פרצופים מאונכים למישור הבסיס יכולה להיות לפירמידה?

11. האם קיימת פירמידה מרובעת שפני הצדדים הנגדיים שלה מאונכים לבסיס?

לא, אחרת לפחות שני קווים ישרים, מאונכים לבסיסים, יעברו בראש הפירמידה.

12. האם כל פניה של פירמידה משולשת יכולים להיות משולשים ישרים?

כן (איור 183).