1. המספר הקטן ביותרלטטרהדרון 6 קצוות.
2. לפריזמה יש n פנים. איזה מצולע נמצא בבסיסו?
(n - 2) - ריבוע.
3. האם פריזמה ישרה אם שני פני הצד הצמודים שלה מאונכים למישור הבסיס?
כן זה כן.
4. באיזו פריזמה הקצוות הצדדיים מקבילים לגובהה?
בפריזמה ישרה.
5. האם פריזמה סדירה אם כל הקצוות שלה שווים זה לזה?
לא, יכול להיות שזה לא ישיר.
6. האם גובה אחד מחזיתות הצד של פריזמה משופעת יכול להיות גם גובה המנסרה?
כן, אם הפנים האלה מאונכות לבסיס.
7. האם יש פריזמה שבה: א) קצה הצד מאונך רק לקצה אחד של הבסיס; ב) רק פנים צד אחד מאונך לבסיס?
א) כן. ב) לא.
8. מנסרה משולשת רגילה מחולקת לשתי מנסרות על ידי מישור העובר דרך קווי האמצע של הבסיסים. מהו היחס בין שטחי הפנים לרוחב של מנסרות אלו?
לפי המשפט של פריט 27, אנו משיגים שהמשטחים הצדדיים קשורים כ-5:3
9. האם הפירמידה תהיה סדירה אם פני הצלעות שלה הם משולשים רגילים?
10. כמה פרצופים מאונכים למישור הבסיס יכולה להיות לפירמידה?
11. האם קיימת פירמידה מרובעת שפני הצדדים הנגדיים שלה מאונכים לבסיס?
לא, אחרת יהיו לפחות שני קווים ישרים שעוברים בראש הפירמידה, בניצב לבסיסים.
12. האם כל פניה של פירמידה משולשת יכולים להיות משולשים ישרים?
כן (איור 183).
קורס הווידאו "קבל A" כולל את כל הנושאים שאתה צריך השלמה מוצלחתבחינת מדינה מאוחדת במתמטיקה עבור 60-65 נקודות. מלא את כל המשימות 1-13 של בחינת המדינה המאוחדת בפרופיל במתמטיקה. מתאים גם למעבר בבחינת המדינה המאוחדת הבסיסית במתמטיקה. אם אתה רוצה לעבור את הבחינה עם 90-100 נקודות, אתה צריך לפתור את חלק 1 תוך 30 דקות וללא טעויות!
קורס הכנה לבחינת המדינה המאוחדת לכיתות י'-י"א וכן למורים. כל מה שצריך כדי לפתור את חלק 1 של הבחינה במתמטיקה (12 הבעיות הראשונות) ובעיה 13 (טריגונומטריה). וזה יותר מ-70 נקודות בבחינת המדינה המאוחדת, וגם סטודנט של מאה נקודות וגם הומניסט לא יכולים בלעדיהם.
כל התיאוריה הדרושה. דרכים מהירותפתרונות, מלכודות וסודות של בחינת המדינה המאוחדת. כל המשימות הנוכחיות של חלק 1 מבנק המשימות של FIPI נותחו. הקורס עומד במלואו בדרישות של בחינת המדינה המאוחדת 2018.
הקורס מכיל 5 נושאים גדולים, 2.5 שעות כל אחד. כל נושא ניתן מאפס, פשוט וברור.
מאות משימות בחינות המדינה המאוחדת. בעיות מילים ותורת ההסתברות. אלגוריתמים פשוטים וקלים לזיכרון לפתרון בעיות. גֵאוֹמֶטרִיָה. תיאוריה, חומר עזר, ניתוח של כל סוגי משימות בחינות המדינה המאוחדת. סטריאומטריה. טריקים ערמומיים לפתרון, דפי רמאות שימושיים, פיתוח דמיון מרחבי. טריגונומטריה מאפס לבעיה 13. הבנה במקום לדחוס. הסבר ויזואלי מושגים מורכבים. אַלגֶבּרָה. שורשים, חזקות ולוגריתמים, פונקציה ונגזרת. בסיס לפתרון בעיות מורכבות של חלק 2 של בחינת המדינה המאוחדת.
מידע כללי על פריזמה ישרה
המשטח לרוחב של פריזמה (ליתר דיוק, שטח הפנים לרוחב) נקרא סְכוּםאזורים של פני הצד. המשטח הכולל של המנסרה שווה לסכום המשטח הרוחבי ושטחי הבסיסים.
משפט 19.1. המשטח הרוחבי של מנסרה ישרה שווה למכפלת היקף הבסיס ולגובה המנסרה, כלומר אורך קצה הצד.
הוכחה. הפנים הצדדיות של מנסרה ישרה הם מלבנים. הבסיסים של מלבנים אלה הם צלעות המצולע השוכנות בבסיס המנסרה, והגבהים שווים לאורך קצוות הצדדיים. מכאן נובע שהמשטח הרוחבי של המנסרה שווה ל
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
כאשר a 1 ו-n הם אורכי קצוות הבסיס, p הוא היקף בסיס המנסרה, ו-I הוא אורך קצוות הצד. המשפט הוכח.
משימה מעשית
בעיה (22) . בפריזמה משופעת זה מתבצע סָעִיף, מאונך לצלעות הצדדיות ומצטלבות את כל הצלעות הצדדיות. מצא את המשטח הרוחבי של המנסרה אם היקף החתך שווה ל-p וקצוות הצד שווים ל-l.
פִּתָרוֹן. מישור החתך המצויר מחלק את הפריזמה לשני חלקים (איור 411). הבה נעביר אחד מהם לתרגום מקביל, תוך שילוב בסיסי הפריזמה. במקרה זה, נקבל פריזמה ישרה, שבסיסה הוא חתך הרוחב של המנסרה המקורית, וקצוות הצד שווים ל-l. למנסרה זו יש את אותו משטח רוחבי כמו למקורי. לפיכך, המשטח הרוחבי של המנסרה המקורית שווה ל-pl.
סיכום הנושא המכוסה
עכשיו בואו ננסה לסכם את הנושא שסקרנו לגבי פריזמות ונזכור אילו תכונות יש לפריזמה.
תכונות פריזמה
ראשית, למנסרה יש את כל הבסיסים שלה כמצולעים שווים;
שנית, למנסרה יש את הכל פני צדהם מקבילים;
שלישית, בדמות רבת פנים כמו פריזמה, כל הקצוות הצדדיים שווים;
כמו כן, יש לזכור שפוליהדרות כגון מנסרות יכולות להיות ישרות או נטויות.
איזו פריזמה נקראת פריזמה ישרה?
אם קצה הצד של מנסרה ממוקם בניצב למישור הבסיס שלה, אז מנסרה כזו נקראת ישרה.
לא יהיה מיותר לזכור שהפנים הצדדיות של פריזמה ישרה הם מלבנים.
איזה סוג של פריזמה נקרא אלכסוני?
אבל אם קצה הצד של פריזמה אינו ממוקם בניצב למישור הבסיס שלה, אז אנחנו יכולים לומר בבטחה שזו פריזמה נוטה.
איזו פריזמה נקראת נכונה?
אם מצולע רגיל נמצא בבסיסה של פריזמה ישרה, אז פריזמה כזו היא רגילה.
כעת נזכור את התכונות שיש לפריזמה רגילה.
תכונות של פריזמה רגילה
ראשית, מצולעים רגילים משמשים תמיד כבסיס של פריזמה רגילה;
שנית, אם ניקח בחשבון את הפנים הצדדיות של פריזמה רגילה, הם תמיד יהיו מלבנים שווים;
שלישית, אם אתה משווה את הגדלים של הצלעות בצד, אז בפריזמה רגילה הם תמיד שווים.
רביעית, פריזמה נכונה היא תמיד ישרה;
חמישית, אם בפריזמה רגילה לפנים הצדדיות יש צורה של ריבועים, אז דמות כזו נקראת בדרך כלל מצולע חצי סדיר.
חתך פריזמה
כעת נסתכל על החתך של המנסרה:
שיעורי בית
עכשיו בואו ננסה לאחד את הנושא שלמדנו על ידי פתרון בעיות.
נצייר פריזמה משולשת נוטה, המרחק בין הקצוות שלה יהיה שווה ל: 3 ס"מ, 4 ס"מ ו-5 ס"מ, והמשטח הרוחבי של פריזמה זו יהיה שווה ל-60 ס"מ2. לאחר הפרמטרים האלה, מצא את הקצה הצדדי של פריזמה זו.
האם אתה יודע שדמויות גיאומטריות מקיפות אותנו כל הזמן לא רק בשיעורי גיאומטריה, אלא גם ב חיי היום - יוםישנם חפצים הדומים לדמות גיאומטרית כזו או אחרת.
בכל בית, בית ספר או עבודה יש מחשב שיחידת המערכת שלו מעוצבת כמו פריזמה ישרה.
אם תרים עיפרון פשוט, תראה שהחלק העיקרי של העיפרון הוא פריזמה.
בהליכה ברחוב המרכזי של העיר, אנו רואים שמתחת לרגלינו משתרע אריח בעל צורה של פריזמה משושה.
A.V. Pogorelov, גיאומטריה לכיתות ז'-י"א, ספר לימוד למוסדות חינוך
פוליהדרה
האובייקט העיקרי של חקר הסטריאומטריה הוא גופים מרחביים. גוּףמייצג חלק מהמרחב המוגבל על ידי משטח מסוים.
פֵּאוֹןהוא גוף אשר פני השטח שלו מורכבים ממספר סופי של מצולעים שטוחים. פולידרון נקרא קמור אם הוא ממוקם בצד אחד של המישור של כל מצולע מישור על פני השטח שלו. החלק המשותף של מישור כזה ומשטח הפולידרון נקרא קָצֶה. פניו של פולידרון קמור הם מצולעים קמורים שטוחים. דפנות הפנים נקראות קצוות הפוליהדרון, והקודקודים הם קודקודים של הפוליהדרון.
לדוגמה, קובייה מורכבת משישה ריבועים, שהם פניה. הוא מכיל 12 קצוות (צלעות הריבועים) ו-8 קודקודים (הראשים של הריבועים).
הפוליהדרות הפשוטות ביותר הן מנסרות ופירמידות, אותן נלמד עוד.
פּרִיזמָה
הגדרה ומאפיינים של פריזמה
פּרִיזמָההוא פולידרון המורכב משני מצולעים שטוחים השוכנים פנימה מישורים מקביליםבשילוב על ידי תרגום מקביל, וכל הקטעים המחברים את הנקודות המתאימות של המצולעים הללו. מצולעים נקראים בסיסי פריזמה, והקטעים המחברים את הקודקודים המתאימים של המצולעים הם קצוות לרוחב של המנסרה.
גובה פריזמהנקרא המרחק בין המישורים של הבסיסים שלו (). קטע המחבר בין שני קודקודים של פריזמה שאינם שייכים לאותו פנים נקרא אלכסון מנסרה(). המנסרה נקראת n-פחמן, אם הבסיס שלו מכיל n-גון.
לכל פריזמה יש את התכונות הבאות, הנובעות מהעובדה שבסיסי המנסרה משולבים בתרגום מקביל:
1. הבסיסים של המנסרה שווים.
2. הקצוות הרוחביים של המנסרה מקבילים ושווים.
פני השטח של המנסרה מורכבים מבסיסים ו משטח לרוחב. המשטח הרוחבי של המנסרה מורכב מקביליות (זה נובע מתכונות המנסרה). שטח פני השטח לרוחב של פריזמה הוא סכום שטחי הפנים הצדדיים.
פריזמה ישרה
המנסרה נקראת יָשָׁר, אם הקצוות הצדדיים שלו מאונכים לבסיסים. אחרת נקראת המנסרה נוֹטֶה.
פניה של פריזמה ישרה הם מלבנים. גובהה של פריזמה ישרה שווה לפנים הצדדיים שלה.
משטח פריזמה מלאנקרא סכום שטח הפנים לרוחב ושטחי הבסיסים.
עם הפריזמה הנכונהנקראת פריזמה ישרה עם מצולע רגיל בבסיסה.
משפט 13.1. שטח המשטח הרוחבי של פריזמה ישרה שווה למכפלת ההיקף ולגובה המנסרה (או, שזהה, בקצה הרוחבי).
הוכחה. פניה הרוחביים של מנסרה ישרה הם מלבנים, שבסיסיהם הם צלעות המצולעים בבסיסי המנסרה, והגבהים הם הקצוות הרוחביים של המנסרה. אז, בהגדרה, שטח הפנים לרוחב הוא:
,
היכן היקף הבסיס של פריזמה ישרה.
מַקבִּילוֹן
אם מקביליות שוכנות בבסיסי פריזמה, אז זה נקרא מַקבִּילוֹן. כל פניו של מקבילי הם מקבילים. במקרה זה, הפרצופים המנוגדים של המקבילית מקבילים ושווים.
משפט 13.2. האלכסונים של מקבילי מצטלבים בנקודה אחת ומחולקים לשניים על ידי נקודת החיתוך.
הוכחה. שקול שני אלכסונים שרירותיים, למשל, ו. כי פניו של מקבילי הם מקבילים, אז ו, כלומר לפי To ישנם שני קווים ישרים במקביל לשלישי. בנוסף, זה אומר שקווים ישרים ושקרים באותו מישור (מישור). מישור זה חוצה מישורים מקבילים ולאורך קווים מקבילים ו. לפיכך, מרובע הוא מקבילית, ולפי תכונת המקבילה, האלכסונים שלו נחתכים ומתחלקים לשניים על ידי נקודת החיתוך, וזה מה שהיה צריך להוכיח.
מקביל ימני שבסיסו הוא מלבן נקרא קוביד. כל פניו של קוביים הם מלבנים. אורכי הקצוות הלא מקבילים של מקבילי מלבני נקראים הממדים הליניאריים שלו (מידות). ישנם שלושה גדלים כאלה (רוחב, גובה, אורך).
משפט 13.3. במקביל מלבני, הריבוע של כל אלכסון שווה לסכוםריבועים של שלושת הממדים שלו 
(הוכח על ידי יישום Pythagorean T פעמיים).
מקבילית מלבני שכל הקצוות שווים נקראת קוּבִּיָה.
משימות
13.1 כמה אלכסונים יש לו? נ-פריזמת פחמן
13.2 במנסרה משולשת משופעת, המרחקים בין הקצוות הצדדיים הם 37, 13 ו-40. מצא את המרחק בין פני הצד הגדולים יותר לקצה הצד הנגדי.
13.3 דרך הצד של הבסיס התחתון של הנכון מנסרה משולשתמצויר מישור החותך את פני הצד לאורך הקטעים, שהזווית ביניהם היא . מצא את זווית הנטייה של מישור זה לבסיס המנסרה.
הַגדָרָה. פּרִיזמָה- זהו רב-הדרון, שכל קודקודיו נמצאים בשני מישורים מקבילים, ובאותם שני מישורים יש שני פנים של המנסרה, שהם מצולעים שווים עם צלעות מקבילות בהתאמה, וכל הקצוות שאינם מונחים בהם. מטוסים מקבילים.
שני פרצופים שווים נקראים בסיסי פריזמה(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
כל שאר הפנים של המנסרה נקראים פני צד(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
כל פני הצד נוצרים משטח לרוחב של המנסרה .
כל הפנים הצדדיות של המנסרה הן מקבילות .
הקצוות שאינם מונחים בבסיסים נקראים הקצוות הרוחביים של המנסרה ( AA 1, ב.ב. 1, CC 1, DD 1, EE 1).
מנסרה אלכסונית נקרא קטע, שקצהו הם שני קודקודים של המנסרה שאינם מונחים על אחד מפניו (לספירה 1).
אורך הקטע המחבר את בסיסי הפריזמה ומאונך לשני הבסיסים בו זמנית נקרא גובה מנסרה .
יִעוּד:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (תחילה, לפי סדר המעקף, מסומנים קודקודי בסיס אחד, ולאחר מכן, באותו סדר, קודקודים של השני; הקצוות של כל קצה צד מסומנים באותן אותיות, רק הקודקודים נמצאים בפנים בסיס אחד מסומן באותיות ללא אינדקס, ובשני - עם אינדקס)
שם המנסרה קשור למספר הזוויות באיור השוכב בבסיסה, לדוגמה, באיור 1, הבסיס הוא מחומש, ולכן נקראת המנסרה. פריזמה מחומשת. אלא בגלל למנסרה כזו יש 7 פנים, אז היא ההפטהדרון(2 פרצופים הם בסיסי המנסרה, 5 פרצופים הם מקבילים, הם פני הצד שלה)
בין מנסרות ישרות בולט סוג מסוים: מנסרות רגילות.
מנסרה ישרה נקראת נכון,אם הבסיסים שלו הם מצולעים רגילים.
מַקבִּילוֹן
מַקבִּילוֹןהיא פריזמה מרובעת, שבבסיסה נמצאת מקבילית (מקבילית נוטה). מקבילית ימנית- מקבילית שהקצוות הצדדיים שלו מאונכים למישורי הבסיס.קוביד- מקביל ימני שבסיסו הוא מלבן.
מאפיינים ומשפטים:
כמה תכונות של מקבילית דומות לתכונות הידועות של מקבילית. מקבילית מלבני בעלת ממדים שווים נקראת קוּבִּיָה
.כל פני הקוביה הם ריבועים שווים ריבוע האלכסון שווה לסכום הריבועים של שלושת מימדיו 
,
כאשר d הוא האלכסון של הריבוע;
a הוא הצלע של הריבוע.
הרעיון של פריזמה ניתן על ידי:
- שׁוֹנִים מבנים אדריכליים;
- צעצועי ילדים;
- קופסאות אריזה;
- פריטי מעצבים וכו'.
שטח המשטח הכולל והצדדי של המנסרה
שטח הפנים הכולל של המנסרההוא סכום השטחים של כל פניו שטח פנים לרוחבנקרא סכום השטחים של פניו הצדדיים. הבסיסים של המנסרה הם מצולעים שווים, ואז שטחיהם שווים. בגלל זהS מלא = צד S + 2S ראשי,
איפה S מלא- שטח פנים כולל, צד S-שטח פנים רוחבי, בסיס S- שטח בסיס
שטח הפנים לרוחב של פריזמה ישרה שווה למכפלת היקף הבסיס וגובה המנסרה.
צד S= P basic * h,
איפה צד S-שטח של פני השטח לרוחב של פריזמה ישרה,
P main - היקף הבסיס של פריזמה ישרה,
h הוא גובה הפריזמה הישר, שווה לקצה הצד.
נפח פריזמה
נפח הפריזמה שווה למכפלת שטח הבסיס והגובה.
