הוראה

אם משולש נתון הוא שווה שוקיים או רגיל, כלומר יש לו
שתיים או שלוש צדדים, ואז חצויה שלו, לפי הנכס משולש, יהיה גם החציון. ולפיכך, ההיפך יחלק את החצייה לשניים.

מדוד את הצד הנגדי עם סרגל משולשלאן ישוט החצוי. חלקו את הצד הזה לשניים ושימו נקודה באמצע הצד.

צייר קו ישר דרך הנקודה הבנויה והקודקוד הנגדי. זה יהיה ה-bisector משולש.

מקורות:

• חציונים, חצויים וגבהים של משולש

חלוקת זווית לשניים וחישוב אורך הקו הנמשך מהחלק העליון שלו לצד הנגדי נחוצים עבור חותכים, מודדים, מתקנים ואנשי מקצוע אחרים.

אתה תצטרך

• כלים סרגל עיפרון מד זווית טבלאות של סינוסים וקוסינוסים נוסחאות ומושגים מתמטיים: הגדרת חצי-סקטור משפטי סינוס וקוסינוס

הוראה

בנה משולש בגודל הדרוש ובגודל, תלוי במה שניתן לך? צלעות dfe והזווית ביניהן, שלוש צלעות או שתי זוויות והצד הממוקם ביניהן.

ציינו את קודקודי הפינות והצדדים בלטינית מסורתית A, B ו-C. קודקודי הפינות מסומנים, הצדדים הנגדיים באותיות קטנות. לסמן את הפינות באותיות יווניות?,? ו?

בעזרת משפטי הסינוס והקוסינוס, חשב את הזוויות והצלעות משולש.

זכור חצויים. Bisector - חלוקת הזווית לשניים. חוצה זווית משולשמחלק את ההפך לשני מקטעים, השווה ליחס בין שתי הצלעות הסמוכות משולש.

צייר את חצאי הזווית. סמן את הקטעים המתקבלים עם שמות הזוויות שנכתבו אוֹתִיוֹת קְטָנוֹת, עם מנוי l. צלע c מחולקת לקטעים a ו-b עם מדדים l.

חשב את אורכי הקטעים המתקבלים באמצעות משפט הסינוס.

סרטונים קשורים

הערה

אורכו של הקטע, שהוא בו-זמנית הצלע של המשולש שנוצרה על ידי אחת מצלעות המשולש המקורי, החציו והקטע עצמו, מחושב באמצעות משפט הסינוס. על מנת לחשב את האורך של קטע אחר מאותה הצלע, השתמש ביחס בין הקטעים המתקבלים לבין הצלעות הסמוכות של המשולש המקורי.

עצה מועילה

כדי לא להתבלבל, צייר את חצויים זוויות שונות צבע שונה.

חוֹצֶה פינהנקראת קרן שמתחילה בקודקוד פינהומחלק אותו לשני חלקים שווים. הָהֵן. לבזבז חוֹצֶה, אתה צריך למצוא את האמצע פינה. הדרך הקלה ביותר לעשות זאת היא באמצעות מצפן. במקרה זה, אתה לא צריך לעשות שום חישובים, והתוצאה לא תהיה תלויה אם הערך הוא פינהמספר שלם.

אתה תצטרך

• מצפן, עיפרון, סרגל.

הוראה

השאר את רוחב פתח המצפן זהה, קבע את המחט בקצה הקטע באחד הצדדים וצייר חלק מהעיגול כך שהוא ממוקם בפנים. פינה. עשה את אותו הדבר עם השני. תקבלו שני חלקים מהמעגלים שיצטלבו בפנים פינה- בערך באמצע. חלקי המעגלים יכולים להצטלב בנקודה אחת או שתיים.

סרטונים קשורים

עצה מועילה

אתה יכול להשתמש במד זווית כדי לבנות את חוצה הזווית, אבל שיטה זו דורשת דיוק רב יותר. במקרה זה, אם ערך הזווית אינו מספר שלם, ההסתברות לטעויות בבניית החציון עולה.

כאשר בונים או מפתחים פרויקטים לעיצוב הבית, לרוב יש צורך לבנות פינהשווה לזה שכבר קיים. תבניות וידע בית ספרי בגיאומטריה נחלצים להצלה.

הוראה

זווית נוצרת משני קווים ישרים היוצאים מאותה נקודה. נקודה זו תיקרא קודקוד הפינה, והקווים יהיו צדי הפינה.

השתמש בשלוש כדי לציין פינות: אחת למעלה, שתיים בצדדים. נקראים פינה, החל מהאות שעומדת בצד אחד, אחר כך קוראים לאות למעלה, ואחר כך לאות בצד השני. השתמש באחרים כדי לסמן פינות אם אתה מעדיף אחרת. לפעמים נקראת רק אות אחת, שנמצאת למעלה. ואתה יכול לסמן את הזוויות באותיות יווניות, למשל, α, β, γ.

יש מצבים שזה נחוץ פינהכדי שזה כבר נתון פינה. אם לא ניתן להשתמש במד זווית בבנייה, אפשר להסתדר רק עם סרגל ומצפן. נניח, על הקו המסומן באותיות MN, אתה צריך לבנות פינהבנקודה K, כך שהיא שווה לזווית B. כלומר, מנקודה K יש צורך לצייר קו ישר, עם קו MN פינה, שתהיה שווה לזווית B.

ראשית, סמן נקודה בכל צד של פינה זו, למשל, נקודות A ו-C, ולאחר מכן חבר את נקודות C ו-A בקו ישר. קבל טרי פינה nik ABC.

כעת בנה על הקו MN את אותם שלוש פינהקודקוד B נמצא על הישר בנקודה K. השתמשו בכלל לבניית משולש פינההשעה שלוש. הניחו את הקטע KL מנקודה K. זה חייב להיות שווה לקטע BC. קבל נקודה L.

מנקודה K, צייר עיגול ברדיוס השווה לקטע BA. מ-L צייר עיגול עם רדיוס CA. חבר את הנקודה המתקבלת (P) של המפגש של שני מעגלים עם K. קבל שלושה פינה nick KPL, שיהיה שווה לשלושה פינה niku ABC. אז אתה מקבל פינה K. זה יהיה שווה לזווית B. כדי לעשות את זה יותר נוח ומהיר יותר, הניחו קטעים שווים מקודקוד B, בעזרת פתרון מצפן אחד, מבלי להזיז את הרגליים, תאר מעגל עם אותו רדיוס מנקודה K.

סרטונים קשורים

טיפ 5: איך לצייר משולש בהינתן שתי צלעות וחציון

משולש הוא הדמות הגיאומטרית הפשוטה ביותר שיש לה שלושה קודקודים המחוברים בזוגות על ידי קטעים היוצרים את צלעות המצולע הזה. קטע הקו המחבר את הקודקוד עם נקודת האמצע של הצלע הנגדי נקרא חציון. לדעת את אורכי שתי הצלעות ואת החציון המתחבר באחד הקודקודים, ניתן לבנות משולש מבלי לדעת את אורך הצלע השלישית או את הזוויות.

הוראה

צייר קטע מנקודה A, שאורכו הוא אחת הצלעות המוכרות של המשולש (a). סמן את נקודת הסיום של קטע זה באות B. לאחר מכן, אחת הצלעות (AB) של המשולש הרצוי כבר יכולה להיחשב בנויה.

השתמש במצפן כדי לצייר עיגול עם רדיוס השווה פי שניים מאורך החציון (2∗m) ומרכזו בנקודה A.

השתמשו במצפן כדי לצייר עיגול שני ברדיוס השווה לאורך הצלע הידועה (ב) ובמרכזו בנקודה B. שימו את המצפן בצד לזמן מה, אך השאירו עליו את המדוד - תצטרכו אותו שוב. מעט מאוחר יותר.

בנה קטע קו המחבר את נקודה A עם נקודת החיתוך של השתיים שצוירו על ידך. חצי מהקטע הזה יהיה זה שאתם בונים - מדדו את החצי הזה ושימו נקודה M. בשלב זה יש לכם צד אחד של המשולש הרצוי (AB) והחציון שלו (AM).

השתמש במצפן כדי לצייר עיגול ברדיוס השווה לאורך הצלע הידועה השנייה (b) ובמרכזו בנקודה A.

צייר קטע שאמור להתחיל בנקודה B, לעבור דרך נקודה M ולהסתיים בנקודת החיתוך של הישר עם המעגל שציירת בשלב הקודם. ציינו את נקודת החיתוך באות C. כעת, בצד הנדרש, בנויה גם הצלע BC, שאינה ידועה בתנאי הבעיה.

היכולת לחלק כל זווית עם חצויה נחוצה לא רק כדי לקבל "A" במתמטיקה. ידע זה יהיה שימושי מאוד לבנאי, המעצב, המודד והמתלבש. יש הרבה דברים בחיים שצריך לחלק.

כולם בבית הספר לימדו בדיחה על עכברוש שרץ מסביב לפינות ומחלק את הפינה לשניים. המכרסם הזריז והאינטיליגנטי הזה נקרא Bisector. לא ידוע איך החולדה חילקה את הפינה, ומתמטיקאים בספר הלימוד "גיאומטריה" יכולים להציע את השיטות הבאות.

בעזרת מד זווית

הדרך הקלה ביותר לצייר חצויה היא שימוש במכשיר עבור. יש צורך לחבר את מד זווית לצד אחד של הזווית, ליישר את נקודת הייחוס עם קצהו O. לאחר מכן למדוד את הזווית במעלות או ברדיאנים ולחלק אותה בשניים. בעזרת אותו מד זווית, הניחו בצד את המעלות המתקבלות מאחת הצלעות ושרטטו קו ישר, שיהפוך לחציו, עד לנקודה שבה מתחילה זווית O.

בעזרת עיגול

אתה צריך לקחת מצפן ולגדל אותו לכל גודל שרירותי (בתוך הציור). לאחר שהצבה את הקצה בנקודת תחילת הזווית O, צייר קשת שחותכת את הקרניים, מסמן עליהן שתי נקודות. סמן אותם A1 ו-A2. לאחר מכן, הגדרת המצפן לסירוגין בנקודות אלה, יש לצייר שני עיגולים באותו קוטר שרירותי (בקנה המידה של הציור). נקודות החיתוך שלהם מסומנות C ו-B. לאחר מכן, אתה צריך לצייר קו ישר דרך הנקודות O, C ו-B, אשר יהיה החצייה הרצויה.

עם סרגל

כדי לצייר את חוצה של זווית עם סרגל, אתה צריך לשים בצד קטעים באורך זהה מנקודה O על הקרניים (הצלעות) ולציין אותם עם נקודות A ו-B. לאחר מכן עליך לחבר אותם עם קו ישר והשתמש בסרגל כדי לחלק את הקטע שנוצר לשניים, סימון נקודה C. החצייה מתקבלת על ידי ציור קו ישר דרך נקודות C ו-O.

בלי כלים

אם אין כלי מדידה, אתה יכול להשתמש בכושר המצאה. זה מספיק רק לצייר זווית על נייר איתור או נייר דק רגיל ולקפל בזהירות את הסדין כך שקרני הזווית יתיישרו. קו הקיפול בשרטוט יהיה ה-bisector הרצוי.

זווית מורחבת

ניתן לחלק זווית גדולה מ-180 מעלות על ידי חוצה באותו אופן. רק שלא יהיה צורך לחלק אותו, אלא את הזווית החדה הסמוכה אליו, שנותרה מהמעגל. המשך החצייה המצוי יהפוך לקו הישר הרצוי, ויחלק את הזווית המורחבת לשניים.

זוויות במשולש

יש לזכור שבמשולש שווה צלעות, החציון הוא גם החציון והגובה. לכן, ניתן למצוא את החציו בו פשוט על ידי הורדת האנך לצד המנוגד מהזווית (גובה) או חלוקת הצלע הזו לשניים וחיבור נקודת האמצע לזווית הנגדית (חציון).

סרטונים קשורים

הכלל המנמוני "חצוף הוא חולדה שרץ מסביב לפינות ומחלק אותן לשניים" מתאר את מהות המושג, אך אינו נותן המלצות לבניית חצויה. כדי לצייר אותו, בנוסף לכלל, תצטרך מצפן וסרגל.

הוראה

נניח שאתה צריך לבנות חוֹצֶהפינה A. קח מצפן, שים אותו עם נקודה בנקודה A (זווית) וצייר עיגול של כל . היכן שהוא חוצה את צידי הפינה, מקם את נקודות B ו-C.

מדוד את רדיוס המעגל הראשון. צייר עוד אחד עם אותו רדיוס, הצב את המצפן בנקודה B.

צייר את העיגול הבא (שווה בגודלו לקודמים) במרכזו בנקודה C.

כל שלושת המעגלים חייבים להצטלב בנקודה אחת - נקרא לזה F. בעזרת סרגל, צייר קרן העוברת בנקודות A ו-F. זה יהיה החציקטור הרצוי של זווית A.

ישנם מספר כללים שיעזרו לך למצוא. לדוגמה, הוא הפוך ב , שווה ליחס של שתי צלעות סמוכות. בשווי שוקיים

חציו של משולש הוא מושג גיאומטרי נפוץ שאינו גורם לקושי רב בלמידה. לדעת על תכונותיו, ניתן לפתור בעיות רבות ללא קושי רב. מה זה ביסקטור? ננסה להכיר לקורא את כל הסודות של שורה מתמטית זו.

בקשר עם

מהות הרעיון

שם המושג הגיע משימוש במילים בלטינית, שמשמעותן היא "בי" - שתיים, "סצ'יו" - חתוך. הם מתייחסים ספציפית ל חוש גיאומטרימושגים - פירוק הרווח בין הקרניים לשני חלקים שווים.

חציו של משולש הוא קטע שמקורו בראש הדמות, ואת הקצה השני מניחים בצד שממול, תוך חלוקת החלל לשני חלקים זהים.

מורים רבים לשינון אסוציאטיבי מהיר של מושגים מתמטיים על ידי תלמידים משתמשים בטרמינולוגיה שונה, המוצגת בפסוקים או באסוציאציות. כמובן שהגדרה זו מומלצת לילדים גדולים יותר.

איך מסומן הקו הזה? כאן אנו מסתמכים על הכללים לייעוד מקטעים או קרניים. אם אנחנו מדבריםעל ייעודו של חצוי הזווית של דמות משולשת, אז הוא כתוב בדרך כלל כקטע, שקצהו הם קודקוד ונקודת החיתוך עם הצד הנגדי של הקודקוד. יתר על כן, תחילת הייעוד כתובה בדיוק מלמעלה.

תשומת הלב!כמה חצויים יש למשולש? התשובה ברורה: כמה שיש קודקודים - שלושה.

נכסים

בנוסף להגדרה, אין כל כך הרבה מאפיינים של מושג גיאומטרי זה בספר לימוד בית ספרי. התכונה הראשונה של חצויה של משולש, שאליו מתוודעים תלמידי בית הספר, היא המרכז הכתוב, והשני, הקשור ישירות אליו, הוא המידתיות של המקטעים. השורה התחתונה היא כזו:

1. יהיה הקו המפריד אשר יהיה, יש בו נקודות שכן באותו מרחק מהצדדים, המרכיבות את החלל בין הקרניים.
2. על מנת לרשום מעגל בדמות משולשת, יש צורך לקבוע את הנקודה שבה יצטלבו מקטעים אלה. זה מה שזה נקודה מרכזיתמעגלים.
3. חלקים מהצד של דמות גיאומטרית משולשת, שאליה היא מחולקת בקו מפריד, הם V תלות פרופורציונליתמצדי סיבוב.

ננסה להביא את שאר התכונות למערכת ולהציג עובדות נוספות שיעזרו להבין טוב יותר את היתרונות של מושג גיאומטרי זה.

אורך

אחד מסוגי המשימות הגורמות לקושי עבור תלמידי בית הספר הוא מציאת אורך חצויה של זווית המשולש. האפשרות הראשונה, שבה נמצא אורכה, מכילה את הנתונים הבאים:

• גודל המרווח בין הקרניים, שמראשו יוצא הקטע הנתון;
• אורכי הצלעות היוצרות זווית זו.

לפתור את הבעיה נעשה שימוש בנוסחה, שמשמעותו היא למצוא את היחס בין המכפלה הכפולה של ערכי הצלעות המרכיבות את הזווית, לפי הקוסינוס של מחציתה, לסכום הצלעות.

בואו נסתכל על דוגמה ספציפית. נניח שניתן לנו דמות ABC, שבה הקטע נמשך מזווית A וחוצה את הצלע BC בנקודה K. נסמן את הערך של A ב-Y. על סמך זה, AK \u003d (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).

הגרסה השנייה של הבעיה, שבה נקבע אורך חציו של משולש, מכילה את הנתונים הבאים:

• הערכים של כל הצדדים של הדמות ידועים.

כאשר פותרים בעיה מסוג זה, בתחילה לקבוע את חצי היקפי. כדי לעשות זאת, הוסף את הערכים של כל הצדדים וחלק לשניים: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. לאחר מכן, אנו מיישמים את הנוסחה החישובית, ששימשה לקביעת אורך המקטע הזה בבעיה הקודמת. יש צורך רק לבצע כמה שינויים במהות הנוסחה בהתאם לפרמטרים החדשים. לכן, יש צורך למצוא את היחס בין השורש הכפול של התואר השני מהמכפלה של אורכי הצלעות הצמודות לחלק העליון, לחצי ההיקף וההבדל בין חצי ההיקף לאורך של הצלע הנגדית לסכום הצלעות המרכיבות את הזווית. That is, AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

תשומת הלב!כדי להקל על השליטה בחומר, אתה יכול להתייחס לסיפורי קומיקס הזמינים באינטרנט המספרים על "הרפתקאות" הקו הזה.

משולש הוא מצולע בעל שלוש צלעות, או קו שבור סגור עם שלוש חוליות, או דמות שנוצרת משלושה קטעים המחברים שלוש נקודות שאינן שוכנות על קו ישר אחד (ראה איור 1).

אלמנטים הכרחיים משולש abc

פסגות – נקודות א', ב' ו-ג';

מסיבות – קטעים a = BC, b = AC ו-c = AB המחברים את הקודקודים;

פינות – α , β, γ הנוצרים משלושה זוגות צלעות. פינות מסומנות לעתים קרובות באותו אופן כמו קודקודים, עם האותיות A, B ו-C.

הזווית שנוצרת מצלעי המשולש ומונחת בחלק הפנימי שלו נקראת הזווית הפנימית, והזווית הסמוכה לה היא הזווית הסמוכה למשולש (2, עמ' 534).

גבהים, חציונים, חצויים וקווי אמצע של משולש

בנוסף ליסודות העיקריים במשולש, נחשבים גם קטעים אחרים בעלי תכונות מעניינות: גבהים, חציונים, חצויים וקווי אמצע.

גוֹבַה

גבהים של משולשהם הניצבים שנפלו מקודקודי המשולש לצדדים מנוגדים.

כדי לבנות את הגובה, בצע את הפעולות הבאות:

1) צייר קו ישר המכיל את אחת מצלעות המשולש (אם הגובה נמשך מקודקוד זווית חדה במשולש קהה);

2) מקודקוד השוכן מול הקו המצויר, צייר קטע מנקודה לישר זה, ויוצר איתו זווית של 90 מעלות.

נקודת החיתוך של הגובה עם צלע המשולש נקראת בסיס גובה (ראה איור 2).

מאפייני גובה המשולש

במשולש ישר זווית, הגובה הנמשך מהקודקוד זווית נכונה, מפצל אותו לשני משולשים הדומים למשולש המקורי.

במשולש חד, שני הגבהים שלו מנתקים ממנו משולשים דומים.

אם המשולש הוא בעל זווית חדה, אז כל בסיסי הגבהים שייכים לצלעות המשולש, ולמשולש קהה, שני גבהים נופלים על הרחבה של הצלעות.

שלושה גבהים במשולש חריף מצטלבים בנקודה אחת ונקודה זו נקראת אורתוסנטר משולש.

חֲצִיוֹן

חציונים(מלטינית mediana - "אמצע") - אלו קטעים המחברים את קודקודי המשולש עם נקודות האמצע של הצלעות הנגדיות (ראה איור 3).

כדי לבנות חציון, בצע את הפעולות הבאות:

1) מצא את אמצע הצד;

2) חבר את הנקודה, שהיא אמצע הצלע של המשולש, עם הקודקוד הנגדי עם קטע.

מאפיינים חציוניים של משולש

החציון מחלק את המשולש לשני משולשים מאותו שטח.

החציונים של משולש מצטלבים בנקודה אחת, המחלקת כל אחד מהם ביחס של 2:1, בספירה מלמעלה. נקודה זו נקראת מרכז כוח המשיכה משולש.

המשולש כולו מחולק לפי החציונים שלו לשישה משולשים שווים.

חוֹצֶה

חצויים(מתוך lat. bis - פעמיים "וסקו - אני חותך) קוראים לקטעי הקווים הישרים הכלואים בתוך המשולש החוצים את פינותיו (ראה איור 4).

כדי לבנות חוצה, עליך לבצע את השלבים הבאים:

1) לבנות קרן היוצאת מקודקוד הזווית ומחלקה אותה לשני חלקים שווים (חוצה זווית);

2) מצא את נקודת החיתוך של חצויה של זווית המשולש עם הצלע הנגדית;

3) בחר קטע המחבר את קודקוד המשולש עם נקודת החיתוך בצד הנגדי.

תכונות חוצה משולש

חוצה הזווית של משולש מחלקת את הצלע הנגדית ביחס השווה ליחס של שתי הצלעות הסמוכות.

חצוי הזוויות הפנימיות של משולש מצטלבים בנקודה אחת. נקודה זו נקראת מרכז המעגל הכתוב.

חצויים של הפינות הפנימיות והחיצוניות מאונכים.

אם חצויה של הזווית החיצונית של המשולש חוצה את המשך הצלע הנגדית, אז ADBD=ACBC.

חצויים של זוויות פנימיות אחת ושתי זוויות חיצוניות של משולש מצטלבות בנקודה אחת. נקודה זו היא המרכז של אחד מהשלושה מוציא מעגליםהמשולש הזה.

הבסיסים של חצוי הזווית של שתי זוויות פנימיות ואחת חיצונית של משולש נמצאים על אותו קו אם חצוי הזווית החיצונית אינו מקביל לצלע הנגדית של המשולש.

אם חצוי הזוויות החיצוניות של משולש אינם מקבילים לצלעות מנוגדות, אז הבסיסים שלהם שוכנים על אותו קו.

היום הולך להיות שיעור קל מאוד. נשקול רק עצם אחד - חוצה הזווית - ונוכיח את התכונה החשובה ביותר שלו, שתועיל לנו מאוד בעתיד.

רק אל תירגע: לפעמים תלמידים שרוצים לקבל ציון גבוה באותו OGE או USE, בשיעור הראשון, אפילו לא יכולים לנסח את ההגדרה המדויקת של החציון.

ובמקום לעשות משימות מעניינות באמת, אנחנו מקדישים זמן לדברים פשוטים כאלה. אז קראו, צפו - ואמצו. :)

ראשית, שאלה קצת מוזרה: מהי זווית? זה נכון: זווית היא רק שתי קרניים שיוצאות מאותה נקודה. לדוגמה:

דוגמאות לזוויות: חדות, קהות וימינה

כפי שניתן לראות מהתמונה, הפינות יכולות להיות חדות, קהות, ישרות - זה לא משנה עכשיו. לעתים קרובות, מטעמי נוחות, מסומנת נקודה נוספת על כל קרן ואומרים, הם אומרים, יש לנו זווית $AOB$ (נכתבת בתור $\angle AOB$).

נראה שהקפטן רומז שבנוסף לקרניים $OA$ ו-$OB$, תמיד אפשר לצייר חבורה של קרניים מהנקודה $O$. אבל ביניהם יהיה אחד מיוחד - זה נקרא ה-bisector.

הַגדָרָה. חוצה של זווית הוא קרן היוצאת מקודקוד הזווית וחוצה את הזווית.

עבור הזוויות לעיל, חצויים ייראו כך:

דוגמאות של חצויים עבור זוויות חדות, קהות וישרות

מכיוון שרחוק מתמיד בציורים אמיתיים ברור שקרן מסוימת (במקרה שלנו, זו קרן $OM$) מפצלת את הזווית ההתחלתית לשניים שוות, נהוג בגיאומטריה לסמן זוויות שוותאותו מספר של קשתות (בציור שלנו זה 1 קשת עבור זווית חדה, שתיים עבור אחת קהה, שלוש עבור ישרה).

אוקיי, הבנו את ההגדרה. עכשיו אתה צריך להבין אילו תכונות יש ל-bisector.

תכונה בסיסית של חוצה הזווית

למעשה, לחציו יש הרבה תכונות. ובהחלט נשקול אותם בשיעור הבא. אבל יש טריק אחד שאתה צריך להבין עכשיו:

מִשׁפָּט. חוצה של זווית הוא מוקד הנקודות במרחק שווה מצלעי הזווית הנתונה.

בתרגום ממתמטי לרוסית, משמעות הדבר היא שתי עובדות בבת אחת:

1. כל נקודה השוכנת על חוצה של זווית נמצאת באותו מרחק מצלעי זווית זו.
2. ולהיפך: אם נקודה שוכנת באותו מרחק מצלעי זווית נתונה, אז מובטח שהיא שוכנת על חוצה של זווית זו.

לפני שנוכיח את ההצהרות הללו, בואו נבהיר נקודה אחת: מה בעצם נקרא המרחק מנקודה לצלע של זווית? ההגדרה הישנה והטובה של המרחק מנקודה לקו תעזור לנו כאן:

הַגדָרָה. המרחק מנקודה לישר הוא אורך האנך הנמשך מאותה נקודה לאותו הישר.

לדוגמה, שקול קו $l$ ונקודה $A$ שאינה שוכבת על קו זה. צייר $AH$ מאונך, כאשר $H\in l$. אז אורך הניצב הזה יהיה המרחק מהנקודה $A$ לישר $l$.

ייצוג גרפי של המרחק מנקודה לישר

מכיוון שזווית היא רק שתי קרניים, וכל קרן היא חתיכת קו, קל לקבוע את המרחק מנקודה לצדדים של זווית. זה רק שני ניצבים:

קבע את המרחק מנקודה לצדדים של זווית

זה הכל! עכשיו אנחנו יודעים מה זה מרחק ומה זה חוצה. לכן, נוכל להוכיח את הרכוש העיקרי.

כפי שהובטח, אנו מפרקים את ההוכחה לשני חלקים:

1. המרחקים מנקודה על החצייה לצידי הזווית זהים

שקול זווית שרירותית עם קודקוד $O$ וחוצה $OM$:

הבה נוכיח שאותה נקודה $M$ נמצאת באותו מרחק מצידי הזווית.

הוכחה. נצייר ניצבים מהנקודה $M$ לצידי הזווית. בואו נקרא להם $M((H)_(1))$ ו-$M((H)_(2))$:

צייר ניצבים לצידי הפינה

קיבל שניים משולש ישר זווית: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ו-$\vartriangle OM((H)_(2))$. יש להם תחתון משותף $OM$ וזוויות שוות:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ לפי הנחה (מכיוון ש-$OM$ הוא חוצה);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ לפי בנייה;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ בגלל הסכום פינות חדותשל משולש ישר זווית הוא תמיד 90 מעלות.

לכן, משולשים שווים בצלע ובשתי זוויות סמוכות (ראה סימני שוויון של משולשים). לכן, במיוחד, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, כלומר. המרחקים מהנקודה $O$ לצלעי הזווית אכן שווים. Q.E.D. :)

2. אם המרחקים שווים, אז הנקודה מונחת על חוצה

כעת המצב הפוך. תנו לזווית $O$ ונקודה $M$ במרחק שווה מצלעי זווית זו:

הבה נוכיח שהקרן $OM$ היא חוצה, כלומר. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

הוכחה. מלכתחילה, בואו נצייר את הקרן הזו $OM$, אחרת לא יהיה מה להוכיח:

בילה את הקורה $OM$ בתוך הפינה

קיבלנו שוב שני משולשים ישרים: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ו-$\vartriangle OM((H)_(2))$. ברור שהם שווים כי:

1. התחתון $OM$ נפוץ;
2. הרגליים $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ לפי תנאי (מכיוון שהנקודה $M$ נמצאת במרחק שווה מצידי הפינה);
3. גם הרגליים הנותרות שוות, כי לפי משפט פיתגורס $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

לכן, משולשים $\vartriangle OM((H)_(1))$ ו-$\vartriangle OM((H)_(2))$ בשלושה צלעות. בפרט, הזוויות שלהם שוות: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. וזה רק אומר ש$OM$ הוא חוצה.

לסיכום ההוכחה, אנו מסמנים את הזוויות השוות שנוצרו עם קשתות אדומות:

החציון חילק את הזווית $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ לשניים שווים

כפי שאתה יכול לראות, שום דבר לא מסובך. הוכחנו שחציו של זווית הוא המוקד של נקודות במרחק שווה לצלעי זווית זו. :)

כעת, לאחר שהחלטנו פחות או יותר על הטרמינולוגיה, הגיע הזמן לעבור לרמה חדשה. בשיעור הבא, ננתח תכונות מורכבות יותר של החציון ונלמד כיצד ליישם אותן כדי לפתור בעיות אמיתיות.

בין המקצועות הרבים של בית הספר התיכון יש כגון "גיאומטריה". באופן מסורתי מאמינים כי מייסדי המדע השיטתי הזה הם היוונים. כיום, הגיאומטריה היוונית נקראת יסודית, שכן היא זו שהחלה ללמוד את הצורות הפשוטות ביותר: מישורים, קווים ומשולשים. נתמקד באחרון, או ליתר דיוק בחציו של הדמות הזו. למי שכבר שכח, חציו של משולש הוא קטע של חציו של אחת מזוויות המשולש, המחלק אותו לשניים ומחבר את הקודקוד לנקודה שנמצאת בצד הנגדי.

לחציו של משולש יש מספר תכונות שאתה צריך לדעת בעת פתרון בעיות מסוימות:

• חוצה של זווית הוא מוקד הנקודות שנמצאות במרחק שווה מהצלעות הסמוכות לזווית.
• חצויה במשולש מחלק את הצלע הנגדית של הזווית לקטעים פרופורציונליים לצלעות הסמוכות. לדוגמה, נתון משולש MKB, שבו חוצה יוצא מזווית K, המחבר את קודקוד זווית זו עם נקודה A בצד הנגדי של MB. לאחר ניתוח המאפיין הזה והמשולש שלנו, יש לנו MA/AB=MK/KB.
• הנקודה שבה חוצים חצויים של כל שלוש הזוויות של משולש היא מרכז המעגל שנרשם באותו משולש.
• בסיס חצוי הזווית החיצונית ושתי זווית פנימית אחת נמצאים על אותו קו, בתנאי שהחציו של הזווית החיצונית אינו מקביל לצלע הנגדית של המשולש.
• אם שני חצויים של אחד אז זה

יש לציין שאם ניתנים שלושה חצויים, אז בניית משולש באמצעותם, אפילו בעזרת מצפן, היא בלתי אפשרית.

לעתים קרובות מאוד, כאשר פותרים בעיות, חציו של משולש אינו ידוע, אך יש צורך לקבוע את אורכו. כדי לפתור בעיה כזו, יש צורך לדעת את הזווית המחולקת על ידי החצייה לשניים, ואת הצלעות הסמוכות לזווית זו. במקרה זה, האורך הרצוי מוגדר כיחס בין המכפלה הכפולה של הצלעות הסמוכות לפינה והקוסינוס של הזווית המחולקת לשניים לסכום הצלעות הסמוכות לפינה. לדוגמה, בהינתן אותו משולש MKB. החציון עוזב את זווית K ומצטלב הצד הנגדי MV בנקודה A. הזווית שממנה יוצא החצייה תסומן ב-y. כעת נרשום את כל מה שנאמר במילים בצורה של נוסחה: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

אם ערך הזווית ממנה יוצא חצוי המשולש אינו ידוע, אך כל צלעותיו ידועות, אזי כדי לחשב את אורך החוצה נשתמש במשתנה נוסף, שנקרא לו חצי-היקף ונסמן לפי האות P: P=1/2*(MK+KB+MB). לאחר מכן, נבצע כמה שינויים בנוסחה הקודמת, לפיה נקבע אורך החצייה, כלומר במונה השבר שמנו פי שניים מהמכפלה של אורכי הצלעות הסמוכות לפינה בחצי-היקף. והמנה, שבה מופחת אורך הצלע השלישית מהחצי-היקף. אנו משאירים את המכנה ללא שינוי. בצורה של נוסחה, זה ייראה כך: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

לחציו של משולש שווה שוקיים, יחד עם תכונות משותפות, יש כמה משלו. בואו נזכור מהו משולש. במשולש כזה שתי צלעות שוות, והזוויות הסמוכות לבסיס שוות. מכאן נובע שהחצויים היורדים לצלעות של משולש שווה שוקיים שווים זה לזה. בנוסף, החציון שהורד לבסיס הוא גם הגובה וגם החציון בו-זמנית.