בשיעור זה נבחן כיצד להשתמש בדטרמיננט ליצירה משוואת מישור. אם אינך יודע מהו דטרמיננט, עבור לחלק הראשון של השיעור - "מטריצות וקובעות". אחרת, אתה מסתכן שלא תבין שום דבר בחומר של היום.

משוואת מישור באמצעות שלוש נקודות

למה אנחנו צריכים בכלל משוואת מישור? זה פשוט: כשאנחנו יודעים את זה, אנחנו יכולים בקלות לחשב זוויות, מרחקים ושאר שטויות בבעיה C2. באופן כללי, אתה לא יכול להסתדר בלי המשוואה הזו. לכן, אנו מנסחים את הבעיה:

מְשִׁימָה. ישנן שלוש נקודות במרחב שאינן שוכנות על אותו קו ישר. הקואורדינטות שלהם:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

יש לכתוב את משוואת המישור העובר בשלוש הנקודות הללו. והמשוואה צריכה להיראות כך:

Axe + By + Cz + D = 0

כאשר המספרים A, B, C ו-D הם המקדמים שלמעשה אתה רוצה למצוא.

ובכן, איך לקבל את משוואת המישור, אם רק הקואורדינטות של הנקודות ידועות? הדרך הקלה ביותר היא להחליף את הקואורדינטות לתוך המשוואה Ax + By + Cz + D = 0. אתה מקבל מערכת של שלוש משוואות שניתן לפתור בקלות.

תלמידים רבים מוצאים את הפתרון הזה מייגע ובלתי אמין ביותר. בחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה בשנה שעברה הראתה שהסבירות לטעות חישוב היא ממש גבוהה.

לכן, המורים המתקדמים ביותר החלו לחפש פתרונות פשוטים ואלגנטיים יותר. והם מצאו את זה! נכון, סביר יותר שהקבלה שהתקבלה תהיה כזו מתמטיקה גבוהה יותר. באופן אישי, הייתי צריך לחטט בכל הרשימה הפדרלית של ספרי לימוד כדי לוודא שיש לנו את הזכות להשתמש בטכניקה הזו ללא כל הצדקה או ראיה.

משוואת המישור דרך הקובע

די לקשקושים, בואו ניגש לעניינים. מלכתחילה, משפט על הקשר בין הקובע של מטריצה ​​לבין משוואת המישור.

מִשׁפָּט. תנו את הקואורדינטות של שלוש נקודות שדרכן יש לצייר את המישור: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). אז ניתן לכתוב את המשוואה של המישור הזה במונחים של הקובע:

כדוגמה, בואו ננסה למצוא זוג מטוסים שמתרחשים בפועל בבעיות C2. תסתכל כמה מהר הכל נחשב:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

אנו מרכיבים דטרמיננט ומשווים אותו לאפס:

אנו מרחיבים את הקובע:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

כפי שניתן לראות, בעת חישוב המספר d, "סירקתי" מעט את המשוואה כך שהמשתנים x, y ו-z יהיו ברצף הנכון. זה הכל! משוואת המטוס מוכנה!

מְשִׁימָה. כתבו משוואה למישור העובר דרך הנקודות:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

מיד נחליף את הקואורדינטות של הנקודות בקובע:

נרחיב שוב את הקובע:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

אז, משוואת המטוס מתקבלת שוב! שוב, הלאה צעד אחרוןהייתי צריך לשנות את הסימנים בו כדי לקבל נוסחה "יפה" יותר. אין צורך לעשות זאת כלל בפתרון זה, אך עדיין מומלץ - לפשט את המשך הפתרון של הבעיה.

כפי שאתה יכול לראות, חיבור המשוואה של מישור הוא כעת הרבה יותר קל. אנחנו מחליפים את הנקודות לתוך המטריצה, מחשבים את הקובע - וזהו, המשוואה מוכנה.

זה יכול לסיים את השיעור. עם זאת, תלמידים רבים שוכחים כל הזמן מה יש בתוך הקובע. לדוגמה, איזו שורה מכילה x 2 או x 3, ואיזה שורה מכילה רק x. כדי באמת להוציא את זה מהדרך, בואו נסתכל מהיכן מגיע כל מספר.

מאיפה הנוסחה עם הקובע?

אז, בואו נבין מאיפה מגיעה משוואה כה קשה עם דטרמיננטה. זה יעזור לך לזכור אותו וליישם אותו בהצלחה.

כל המישורים המופיעים בבעיה C2 מוגדרים על ידי שלוש נקודות. נקודות אלה מסומנות תמיד על הציור, או אפילו מצוינות ישירות בטקסט של הבעיה. בכל מקרה, כדי ליצור משוואה נצטרך לרשום את הקואורדינטות שלהן:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

הבה נשקול נקודה נוספת במישור שלנו עם קואורדינטות שרירותיות:

T = (x, y, z)

קח כל נקודה משלוש הראשונות (לדוגמה, נקודה M) וצייר ממנה וקטורים לכל אחת משלוש הנקודות הנותרות. נקבל שלושה וקטורים:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

עכשיו בואו נרכיב מטריצה ​​מרובעת מהווקטורים האלה ונשווה את הקובע שלה לאפס. הקואורדינטות של הוקטורים יהפכו לשורות של המטריצה ​​- ונקבל את עצם הקובע שמצוין במשפט:

נוסחה זו פירושה שנפח מקבילי הבנוי על הוקטורים MN, MK ו-MT שווה לאפס. לכן, כל שלושת הוקטורים נמצאים באותו מישור. בפרט, נקודה שרירותית T = (x, y, z) היא בדיוק מה שחיפשנו.

החלפת נקודות וקווים של דטרמיננט

לדטרמיננטים יש כמה תכונות נהדרות שהופכות את זה אפילו לקל יותר פתרון לבעיה C2. למשל, לא משנה לנו מאיזו נקודה נשרטט את הוקטורים. לכן, הקובעים הבאים נותנים את אותה משוואת מישור כמו זו שלמעלה:

אתה יכול גם להחליף את השורות של הקובע. המשוואה תישאר ללא שינוי. לדוגמה, אנשים רבים אוהבים לכתוב קו עם הקואורדינטות של הנקודה T = (x; y; z) בחלק העליון. בבקשה, אם זה נוח לך:

יש אנשים שמתבלבלים מהעובדה שאחד מהקווים מכיל משתנים x, y ו-z, שאינם נעלמים בעת החלפת נקודות. אבל הם לא צריכים להיעלם! החלפת המספרים לתוך הקובע, אתה אמור לקבל את המבנה הזה:

לאחר מכן מרחיבים את הקובע לפי התרשים שניתן בתחילת השיעור, ומתקבלת המשוואה הסטנדרטית של המישור:

Axe + By + Cz + D = 0

תסתכל על דוגמה. זה האחרון בשיעור של היום. אני אחליף את הקווים בכוונה כדי לוודא שהתשובה תיתן את אותה משוואה של המטוס.

מְשִׁימָה. כתבו משוואה למישור העובר דרך הנקודות:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

אז, ניקח בחשבון 4 נקודות:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

ראשית, בואו ניצור דטרמיננט סטנדרטי ונשווה אותו לאפס:

אנו מרחיבים את הקובע:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

זהו, קיבלנו את התשובה: x + y + z − 2 = 0.

עכשיו בואו נסדר מחדש כמה שורות בקובע ונראה מה קורה. לדוגמה, בוא נכתוב שורה עם המשתנים x, y, z לא בתחתית, אלא בחלק העליון:

אנו מרחיבים שוב את הקובע המתקבל:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

קיבלנו בדיוק את אותה משוואת מישור: x + y + z − 2 = 0. זה אומר שזה ממש לא תלוי בסדר השורות. כל מה שנותר הוא לרשום את התשובה.

אז, אנו משוכנעים שמשוואת המישור אינה תלויה ברצף הקווים. נוכל לבצע חישובים דומים ולהוכיח שמשוואת המישור אינה תלויה בנקודה שאת הקואורדינטות שלה נחסר מנקודות אחרות.

בבעיה שנחשבת לעיל, השתמשנו בנקודה B 1 = (1, 0, 1), אבל בהחלט ניתן היה לקחת C = (1, 1, 0) או D 1 = (0, 1, 1). באופן כללי, כל נקודה עם קואורדינטות ידועות שוכבת על המישור הרצוי.

על מנת שמישור בודד יימשך דרך שלוש נקודות כלשהן במרחב, יש צורך שנקודות אלו לא יהיו על אותו קו ישר.

שקול את הנקודות M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) במערכת הקואורדינטות הקרטזית הכללית.

על מנת שנקודה שרירותית M(x, y, z) תשכב באותו מישור עם נקודות M 1, M 2, M 3, יש צורך שהווקטורים יהיו קו-מפלאריים.

(
) = 0

לכן,

משוואת מישור העובר בשלוש נקודות:

משוואת מישור בהינתן שתי נקודות ווקטור קולינארי למישור.

תנו לנקודות M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) והווקטור יינתנו
.

בואו ניצור משוואה למישור העובר דרך הנקודות הנתונות M 1 ו-M 2 ונקודה שרירותית M (x, y, z) במקביל לוקטור .

וקטורים
וקטור
חייב להיות קו-מפלרי, כלומר.

(
) = 0

משוואת מישור:

משוואת מישור באמצעות נקודה אחת ושני וקטורים,

קולינארי למטוס.

תנו שני וקטורים
ו
, מטוסים קולינאריים. ואז עבור נקודה שרירותית M(x, y, z) השייכת למישור, הווקטורים
חייב להיות דו מישורי.

משוואת מישור:

משוואת מישור לפי נקודה ווקטור נורמלי .

מִשׁפָּט. אם ניתנת נקודה M במרחב 0 (איקס 0 , י 0 , ז 0 ), ואז משוואת המישור העובר דרך הנקודה M 0 מאונך לוקטור הנורמלי (א, ב, ג) יש את הצורה:

א(איקס – איקס 0 ) + ב(y – y 0 ) + ג(ז – ז 0 ) = 0.

הוכחה. עבור נקודה שרירותית M(x, y, z) השייכת למישור, אנו מרכיבים וקטור. כי וֶקטוֹר הוא הווקטור הנורמלי, אז הוא מאונך למישור, ולכן, מאונך לוקטור
. ואז המוצר הסקלרי

= 0

לפיכך, אנו מקבלים את משוואת המישור

המשפט הוכח.

משוואת מישור בקטעים.

אם במשוואה הכללית Ax + Bi + Cz + D = 0 נחלק את שני הצדדים ב-(-D)

,

מחליף
, נקבל את משוואת המישור בקטעים:

המספרים a, b, c הם נקודות החיתוך של המישור עם צירי x, y, z, בהתאמה.

משוואת מישור בצורה וקטורית.

איפה

- וקטור רדיוס של הנקודה הנוכחית M(x, y, z),

וקטור יחידה עם כיוון של ניצב שנפל על מישור מהמקור.

,  ו-  הן הזוויות שנוצרות על ידי וקטור זה עם צירי x, y, z.

p הוא האורך של הניצב הזה.

בקואורדינטות, משוואה זו נראית כך:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

מרחק מנקודה למישור.

המרחק מנקודה שרירותית M 0 (x 0, y 0, z 0) למישור Ax+By+Cz+D=0 הוא:

דוגמא.מצא את משוואת המישור, בידיעה שנקודה P(4; -3; 12) היא הבסיס של האנך שנפל מהמקור למישור הזה.

אז A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, אנו משתמשים בנוסחה:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

דוגמא.מצא את המשוואה של מישור העובר דרך שתי נקודות P(2; 0; -1) ו

Q(1; -1; 3) בניצב למישור 3x + 2y – z + 5 = 0.

וקטור רגיל למישור 3x + 2y – z + 5 = 0
במקביל למישור הרצוי.

אנחנו מקבלים:

דוגמא.מצא את משוואת המישור העובר בנקודות A(2, -1, 4) ו

B(3, 2, -1) בניצב למישור איקס + בְּ- + 2ז – 3 = 0.

למשוואה הנדרשת של המישור יש את הצורה: א איקס+ב y+C ז+ D = 0, וקטור נורמלי למישור זה (א ב ג). וֶקטוֹר
(1, 3, -5) שייך למטוס. למישור שניתן לנו, בניצב למישור הרצוי, יש וקטור נורמלי (1, 1, 2). כי נקודות A ו-B שייכות לשני המישורים, והמישורים מאונכים זה לזה

אז הווקטור הרגיל (11, -7, -2). כי נקודה A שייכת למישור הרצוי, אז הקואורדינטות שלה חייבות לעמוד במשוואה של מישור זה, כלומר. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

בסך הכל, נקבל את משוואת המישור: 11 איקס - 7y – 2ז – 21 = 0.

דוגמא.מצא את משוואת המישור, בידיעה שנקודה P(4, -3, 12) היא הבסיס של האנך שירד מהמקור למישור הזה.

מציאת הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי
= (4, -3, 12). למשוואה הנדרשת של המישור יש את הצורה: 4 איקס – 3y + 12ז+ D = 0. כדי למצוא את מקדם D, נחליף את הקואורדינטות של נקודה P במשוואה:

16 + 9 + 144 + D = 0

בסך הכל, נקבל את המשוואה הנדרשת: 4 איקס – 3y + 12ז – 169 = 0

דוגמא.נתונות הקואורדינטות של קודקודי הפירמידה A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

מצא את אורך הקצה A 1 A 2.

מצא את הזווית בין הקצוות A 1 A 2 ו- A 1 A 4.

מצא את הזווית בין קצה A 1 A 4 לפנים A 1 A 2 A 3.

ראשית נמצא את הווקטור הנורמלי לפנים A 1 A 2 A 3 כמכפלה צולבת של וקטורים
ו
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

בוא נמצא את הזווית בין הווקטור הנורמלי לווקטור
.

-4 – 4 = -8.

הזווית הרצויה  בין הווקטור למישור תהיה שווה ל  = 90 0 - .

מצא את שטח הפנים A 1 A 2 A 3.

מצא את נפח הפירמידה.

מצא את משוואת המישור A 1 A 2 A 3.

בוא נשתמש בנוסחה למשוואת מישור העובר דרך שלוש נקודות.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

בעת שימוש בגרסת המחשב " קורס מתמטיקה גבוה יותר” אתה יכול להפעיל תוכנית שתפתור את הדוגמה לעיל עבור כל קואורדינטות של קודקודי הפירמידה.

כדי להפעיל את התוכנית, לחץ פעמיים על הסמל:

בחלון התוכנית שנפתח, הזינו את הקואורדינטות של קודקודי הפירמידה והקש Enter. כך ניתן לקבל את כל נקודות ההחלטה אחת לאחת.

הערה: כדי להפעיל את התוכנית, יש להתקין במחשב שלך תוכנית Maple ( Waterloo Maple Inc.) מכל גרסה, החל מ-MapleV Release 4.

משוואת מישור. איך כותבים משוואה של מישור?
סידור הדדימטוסים. משימות

גיאומטריה מרחבית אינה הרבה יותר מסובכת מגיאומטריה "שטוחה", והטיסות שלנו בחלל מתחילות במאמר זה. כדי לשלוט בנושא, אתה צריך להיות בעל הבנה טובה של וקטורים, בנוסף, רצוי להכיר את הגיאומטריה של המטוס - יהיו קווי דמיון רבים, אנלוגיות רבות, כך שהמידע יתעכל הרבה יותר טוב. בסדרת השיעורים שלי, העולם הדו-ממדי נפתח במאמר משוואת קו ישר במישור. אבל עכשיו באטמן עזב את מסך הטלוויזיה השטוח ומשיק מהקוסמודרום בייקונור.

נתחיל עם ציורים וסמלים. באופן סכמטי, ניתן לצייר את המטוס בצורה של מקבילית, היוצרת רושם של חלל:

המטוס הוא אינסופי, אבל יש לנו הזדמנות לתאר רק חלק ממנו. בפועל, בנוסף למקבילית, מציירים גם אליפסה או אפילו ענן. מסיבות טכניות יותר נוח לי לתאר את המטוס בדיוק ככה ובדיוק בעמדה הזו. מטוסים אמיתיים שנבחן בהם דוגמאות מעשיות, ניתן למקם בכל דרך - קח מנטלית את הציור בידיים שלך וסובב אותו בחלל, נותן למטוס כל נטייה, כל זווית.

ייעודים: מטוסים מסומנים בדרך כלל באותיות יווניות קטנות, ככל הנראה כדי לא לבלבל אותם עם ישר על המטוסאו עם ישר בחלל. אני רגיל להשתמש באות. בציור זו האות "סיגמה", ולא חור בכלל. אם כי, המטוס הולי בהחלט מצחיק למדי.

במקרים מסוימים, נוח להשתמש באותן אותיות יווניות עם רישומים נמוכים יותר כדי לייעד מטוסים, למשל, .

ברור שהמישור מוגדר באופן ייחודי על ידי שלוש נקודות שונות שאינן שוכנות על אותו קו. לכן, ייעודי מטוסים בני שלוש אותיות הם די פופולריים - לפי הנקודות השייכות להם, למשל וכו'. לעתים קרובות אותיות מוקפות בסוגריים: , כדי לא לבלבל את המטוס עם דמות גיאומטרית אחרת.

לקוראים מנוסים אתן תפריט גישה מהירה:

• איך יוצרים משוואה של מישור באמצעות נקודה ושני וקטורים?
• איך יוצרים משוואה של מישור באמצעות נקודה ווקטור נורמלי?

ולא נמק בהמתנה ארוכה:

משוואת מישור כללית

למשוואה הכללית של המישור יש את הצורה , כאשר המקדמים בו זמנית אינם אפסים.

מספר חישובים תיאורטיים ו בעיות מעשיותתקף הן לבסיס האורתונורמלי הרגיל והן לבסיס האפיני של החלל (אם השמן הוא שמן, חזור לשיעור תלות לינארית (לא) של וקטורים. בסיס וקטור). לשם הפשטות, נניח שכל האירועים מתרחשים בבסיס אורתונורמלי ובמערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית.

ועכשיו בואו נאמן קצת דמיון מרחבי. זה בסדר אם זה רע לך, עכשיו נפתח את זה קצת. אפילו לשחק על עצבים דורש תרגול.

במקרה הכללי ביותר, כאשר המספרים אינם שווים לאפס, המישור חותך את כל שלושת צירי הקואורדינטות. לדוגמה, כך:

אני חוזר שוב על כך שהמטוס ממשיך ללא הגבלת זמן לכל הכיוונים, ויש לנו הזדמנות לתאר רק חלק ממנו.

שקול את המשוואות הפשוטות ביותר של מישורים:

איך להבין את המשוואה הזו? תחשוב על זה: "Z" הוא תמיד שווה לאפס, עבור כל ערכים של "X" ו- "Y". זוהי המשוואה של מישור הקואורדינטות ה"יליד". ואכן, פורמלית ניתן לשכתב את המשוואה באופן הבא: , משם אתה יכול לראות בבירור שלא אכפת לנו מהם הערכים "x" ו-"y", חשוב ש-"z" יהיה שווה לאפס.

כְּמוֹ כֵן:
- משוואת מישור הקואורדינטות;
- משוואת מישור הקואורדינטות.

בואו נסבך מעט את הבעיה, ניקח בחשבון מישור (כאן ובהמשך בפסקה אנו מניחים שהמקדמים המספריים אינם שווים לאפס). נכתוב מחדש את המשוואה בצורה: . איך להבין את זה? "X" הוא תמיד, עבור כל ערכים של "Y" ו- "Z", שווה למספר מסוים. מישור זה מקביל למישור הקואורדינטות. לדוגמה, מישור מקביל למישור ועובר דרך נקודה.

כְּמוֹ כֵן:
– משוואת מישור המקביל למישור הקואורדינטות;
– משוואת מישור המקביל למישור הקואורדינטות.

הוסף חברים: . ניתן לשכתב את המשוואה באופן הבא: , כלומר, "זט" יכול להיות כל דבר. מה זה אומר? "X" ו-"Y" מחוברים על ידי היחס, שמצייר קו ישר מסוים במישור (תגלה משוואת ישר במישור?). מכיוון ש"z" יכול להיות כל דבר, הקו הישר הזה "משוכפל" בכל גובה. לפיכך, המשוואה מגדירה מישור מקביל לציר הקואורדינטות

כְּמוֹ כֵן:
– משוואת מישור המקביל לציר הקואורדינטות;
– משוואת מישור המקביל לציר הקואורדינטות.

אם התנאים החופשיים הם אפס, אז המטוסים יעברו ישירות דרך הצירים המתאימים. לדוגמה, "מידתיות ישירה" הקלאסי:. שרטטו קו ישר במישור והכפילו אותו נפשית למעלה ולמטה (שכן "Z" הוא כל). מסקנה: המישור המוגדר במשוואה עובר דרך ציר הקואורדינטות.

אנחנו משלימים את הסקירה: משוואת המטוס עובר דרך המוצא. ובכן, כאן זה די ברור שהנקודה עונה על המשוואה הזו.

ולבסוף, המקרה המוצג בציור: - המטוס ידידותי לכל צירי הקואורדינטות, בעוד שהוא תמיד "חותך" משולש, שיכול להיות ממוקם בכל אחד משמונת האוקטנטים.

אי שוויון ליניארי במרחב

כדי להבין את המידע אתה צריך ללמוד היטב אי שוויון ליניארי במישור, כי הרבה דברים יהיו דומים. הפסקה תהיה בעלת אופי סקירה קצר עם מספר דוגמאות, שכן החומר די נדיר בפועל.

אם המשוואה מגדירה מישור, אז אי השוויון
לִשְׁאוֹל חצאי רווחים. אם אי השוויון אינו קפדני (השניים האחרונים ברשימה), אז הפתרון של אי השוויון, בנוסף לחצי החלל, כולל גם את המישור עצמו.

דוגמה 5

מצא את הווקטור הנורמלי של היחידה של המישור .

פִּתָרוֹן: וקטור יחידה הוא וקטור שאורכו הוא אחד. הבה נסמן את הווקטור הזה ב- . ברור לחלוטין שהווקטורים הם קולינאריים:

ראשית, נסיר את הווקטור הנורמלי ממשוואת המישור: .

איך למצוא וקטור יחידה? כדי למצוא את וקטור היחידה, אתה צריך כֹּלמחלקים את הקואורדינטה הווקטורית באורך הווקטור.

נכתוב מחדש את הווקטור הנורמלי בצורה ונמצא את אורכו:

לפי האמור לעיל:

תשובה:

אימות: מה נדרש לאימות.

קוראים שלמדו בקפידה את הפסקה האחרונה של השיעור כנראה שמו לב לכך הקואורדינטות של וקטור היחידה הן בדיוק קוסינוס הכיוון של הווקטור:

בואו ניקח הפסקה מהבעיה שעל הפרק: כאשר ניתן לך וקטור לא אפס שרירותי, ובהתאם לתנאי הוא נדרש למצוא את הקוסינוסים לכיוון שלו (ראה את הבעיות האחרונות של השיעור מכפלת נקודה של וקטורים), אז אתה, למעשה, מוצא וקטור יחידה קולינארי לזה. למעשה שתי משימות בבקבוק אחד.

הצורך למצוא את הווקטור הנורמלי של היחידה מתעורר בכמה בעיות של ניתוח מתמטי.

הבנו איך לדוג וקטור רגיל, עכשיו בואו נענה על השאלה ההפוכה:

איך יוצרים משוואה של מישור באמצעות נקודה ווקטור נורמלי?

הבנייה הנוקשה הזו של וקטור נורמלי ונקודה מוכרת היטב ללוח החצים. נא להמתח את היד קדימה ולבחור נפשית נקודה שרירותית בחלל, למשל, חתול קטן במזנון. ברור, דרך הנקודה הזואתה יכול לצייר מישור בודד בניצב ליד שלך.

משוואת מישור העובר דרך נקודה מאונכת לווקטור באה לידי ביטוי בנוסחה:

בחומר זה, נבחן כיצד למצוא את המשוואה של מישור אם אנו יודעים את הקואורדינטות של שלוש נקודות שונות שאינן שוכנות על אותו קו ישר. כדי לעשות זאת, עלינו לזכור מהי מערכת קואורדינטות מלבנית במרחב תלת מימדי. כדי להתחיל, נציג את העיקרון הבסיסי של משוואה זו ונראה בדיוק כיצד להשתמש בו כדי לפתור בעיות ספציפיות.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ראשית, עלינו לזכור אקסיומה אחת, הנשמעת כך:

הגדרה 1

אם שלוש נקודות אינן חופפות זו לזו ואינן שוכנות על אותו קו, הרי שבמרחב התלת מימדי עובר דרכן רק מישור אחד.

במילים אחרות, אם יש לנו שלוש נקודות שונות שהקואורדינטות שלהן אינן חופפות ולא ניתן לחברן בישר, אז נוכל לקבוע את המישור העובר דרכה.

נניח שיש לנו מערכת קואורדינטות מלבנית. בואו נסמן את זה O x y z. הוא מכיל שלוש נקודות M עם קואורדינטות M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), שאינן ניתנות לחיבור קו ישר. בהתבסס על תנאים אלו, נוכל לרשום את משוואת המישור שאנו צריכים. ישנן שתי גישות לפתרון בעיה זו.

1. הגישה הראשונה משתמשת משוואה כלליתמָטוֹס. בצורת האות, הוא כתוב כ-A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. בעזרתו, ניתן להגדיר במערכת קואורדינטות מלבנית מישור אלפא מסוים שעובר דרך הנקודה הנתונה הראשונה M 1 (x 1, y 1, z 1). מסתבר שלווקטור הנורמלי של המישור α יהיו קואורדינטות A,B,C.

הגדרה של N

לדעת את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי ואת הקואורדינטות של הנקודה שדרכה עובר המישור, נוכל לרשום את המשוואה הכללית של מישור זה.

מזה נמשיך בעתיד.

כך, לפי תנאי הבעיה, יש לנו את הקואורדינטות של הנקודה הרצויה (אפילו שלוש) שדרכה עובר המטוס. כדי למצוא את המשוואה, עליך לחשב את הקואורדינטות של הווקטור הרגיל שלה. בואו נסמן את זה n → .

הבה נזכור את הכלל: כל וקטור שאינו אפס של מישור נתון מאונך לווקטור הנורמלי של אותו מישור. אז יש לנו ש-n → יהיה מאונך לוקטורים המורכבים מהנקודות המקוריות M 1 M 2 → ו-M 1 M 3 → . אז נוכל לסמן את n → כמכפלה וקטורית של הצורה M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

מאז M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ו-M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (הוכחות לשוויון זה ניתנות במאמר המוקדש לחישוב הקואורדינטות של וקטור מקואורדינטות של נקודות), ואז מתברר כי:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

אם נחשב את הקובע, נקבל את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי n → שאנו צריכים. כעת נוכל לרשום את המשוואה שאנו צריכים עבור מטוס שעובר דרך שלוש נקודות שניתנו.

2. הגישה השנייה למציאת המשוואה העוברת דרך M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), מבוסס על מושג כמו קו-מפלאריות של וקטורים.

אם יש לנו קבוצה של נקודות M (x, y, z), אז במערכת קואורדינטות מלבנית הם מגדירים מישור עבור נקודות נתונות M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) רק במקרה שבו הווקטורים M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ו-M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) יהיו דו-מישוריים .

בתרשים זה ייראה כך:

משמעות הדבר היא שהמכפלה המעורבת של הוקטורים M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → יהיה שווה לאפס: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , מכיוון שזהו התנאי העיקרי של קומפלאריות: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ו-M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

הבה נכתוב את המשוואה המתקבלת בצורת קואורדינטות:

לאחר שנחשב את הקובע, נוכל לקבל את משוואת המישור הדרושה לנו לשלוש נקודות שאינן שוכנות על אותו קו ישר M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

מהמשוואה המתקבלת ניתן לעבור למשוואת המישור בקטעים או למשוואה הרגילה של המישור, אם תנאי הבעיה מחייבים זאת.

בפסקה הבאה ניתן דוגמאות כיצד הגישות שציינו מיושמות בפועל.

דוגמאות לבעיות להרכבת משוואה של מישור העובר דרך 3 נקודות

בעבר, זיהינו שתי גישות שניתן להשתמש בהן כדי למצוא את המשוואה הרצויה. בואו נסתכל כיצד הם משמשים לפתרון בעיות ומתי כדאי לבחור כל אחת מהן.

דוגמה 1

ישנן שלוש נקודות שאינן שוכנות על אותו קו, עם קואורדינטות M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). כתבו משוואה למישור העובר דרכם.

פִּתָרוֹן

אנו משתמשים בשתי השיטות לסירוגין.

1. מצא את הקואורדינטות של שני הוקטורים שאנו צריכים M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

עכשיו בואו נחשב את המוצר הווקטורי שלהם. לא נתאר את חישובי הקובע:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

יש לנו וקטור נורמלי של המישור שעובר דרך שלוש הנקודות הנדרשות: n → = (- 5, 30, 2) . לאחר מכן, עלינו לקחת את אחת הנקודות, למשל, M 1 (- 3, 2, - 1), ולכתוב את המשוואה עבור המישור עם וקטור n → = (- 5, 30, 2). נקבל את זה: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

זו המשוואה שאנחנו צריכים למישור שעובר דרך שלוש נקודות.

2. בואו ננקוט בגישה אחרת. הבה נכתוב את המשוואה למישור עם שלוש נקודות M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ב הטופס הבא:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

כאן אתה יכול להחליף נתונים מהצהרת הבעיה. מאז x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, כתוצאה מכך אנו מקבלים:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 ז - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

קיבלנו את המשוואה שהיינו צריכים.

תשובה:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

אבל מה אם הנקודות הנתונות עדיין שוכנות על אותו קו ואנחנו צריכים ליצור עבורן משוואת מישור? כאן יש לומר מיד שתנאי זה לא יהיה לגמרי נכון. מספר אינסופי של מטוסים יכול לעבור דרך נקודות כאלה, כך שאי אפשר לחשב תשובה אחת. הבה נשקול בעיה כזו כדי להוכיח את אי נכונותו של ניסוח כזה של השאלה.

דוגמה 2

יש לנו מערכת קואורדינטות מלבנית במרחב תלת מימדי, שבה שלוש נקודות ממוקמות עם קואורדינטות M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1) . יש צורך לכתוב משוואה עבור המטוס העובר דרכו.

פִּתָרוֹן

אנו משתמשים בשיטה הראשונה ומתחילים בחישוב הקואורדינטות של שני וקטורים M 1 M 2 → ו- M 1 M 3 → . בואו נחשב את הקואורדינטות שלהם: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

המוצר הצלב יהיה שווה ל:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

מאז M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , אז הווקטורים שלנו יהיו קולינאריים (קרא שוב את המאמר עליהם אם שכחת את ההגדרה של מושג זה). לפיכך, הנקודות הראשוניות M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) נמצאות על אותו קו ישר, ולבעיה שלנו יש אינסוף אפשרויות רבות עונות.

אם נשתמש בשיטה השנייה, נקבל:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

מהשוויון המתקבל עולה גם שהנקודות הנתונות M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) נמצאות על אותו קו.

אם אתה רוצה למצוא לפחות תשובה אחת לבעיה זו מתוך המספר האינסופי של האפשרויות שלה, עליך לבצע את השלבים הבאים:

1. רשמו את משוואת הישר M 1 M 2, M 1 M 3 או M 2 M 3 (במידת הצורך, הסתכלו בחומר על פעולה זו).

2. קח נקודה M 4 (x 4, y 4, z 4), שאינה שוכנת על הקו הישר M 1 M 2.

3. רשום את משוואת המישור שעובר בשלוש נקודות שונות M 1, M 2 ו-M 4 שאינן שוכנות על אותו קו.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

נניח שעלינו למצוא את המשוואה של מישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות שאינן שוכנות על אותו קו. ציון וקטור הרדיוס שלהם ב-ווקטור הרדיוס הנוכחי ב-, נוכל להשיג בקלות את המשוואה הנדרשת בצורה וקטורית. למעשה, הוקטורים חייבים להיות קומפלנריים (כולם נמצאים במישור הרצוי). לכן, המכפלה הווקטורית-סקלרית של הוקטורים הללו חייבת להיות שווה לאפס:

זוהי משוואת מישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות, בצורה וקטורית.

נעבור לקואורדינטות, נקבל את המשוואה בקואורדינטות:

אם שלוש נקודות נתונות נמצאות על אותו קו, אז הוקטורים יהיו קולינאריים. לכן, האלמנטים התואמים של שתי השורות האחרונות של הקובע במשוואה (18) יהיו פרופורציונליים והקובע יהיה שווה לאפס באופן זהה. כתוצאה מכך, משוואה (18) תהיה זהה עבור כל ערכים של x, y ו-z. מבחינה גיאומטרית, זה אומר שדרך כל נקודה במרחב עובר מישור שבו נמצאות שלוש הנקודות הנתונות.

הערה 1. ניתן לפתור את אותה בעיה ללא שימוש בוקטורים.

בציון הקואורדינטות של שלוש הנקודות הנתונות, בהתאמה, נכתוב את המשוואה של כל מישור העובר דרך הנקודה הראשונה:

כדי לקבל את המשוואה של המישור הרצוי, יש לדרוש שמשוואה (17) תעמוד בקואורדינטות של שתי הנקודות האחרות:

מתוך משוואות (19), יש צורך לקבוע את היחסים של שני מקדמים לשלישי ולהזין את הערכים שנמצאו במשוואה (17).

דוגמה 1. כתבו משוואה למישור העובר דרך הנקודות.

משוואת המישור העובר דרך הראשונה מבין הנקודות הללו תהיה:

התנאים למעבר המטוס (17) דרך שתי נקודות נוספות והנקודה הראשונה הם:

הוספת המשוואה השנייה לראשונה, נמצא:

החלפה לתוך המשוואה השנייה, נקבל:

החלפה במשוואה (17) במקום A, B, C, בהתאמה, 1, 5, -4 (מספרים פרופורציונליים אליהם), נקבל:

דוגמה 2. כתבו משוואה למישור העובר דרך הנקודות (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

המשוואה של כל מישור שעובר דרך הנקודה (0, 0, 0) תהיה]

התנאים למעבר של מישור זה דרך נקודות (1, 1, 1) ו-(2, 2, 2) הם:

צמצום המשוואה השנייה ב-2, אנו רואים שכדי לקבוע את שני הלא ידועים, לקשר יש משוואה אחת עם

מכאן אנו מקבלים. כעת, בהחלפת ערך המישור במשוואה, אנו מוצאים:

זוהי משוואת המישור הרצוי; זה תלוי שרירותי

כמויות B, C (כלומר, מהיחס, כלומר, יש מספר אינסופי של מישורים העוברים דרך שלוש נקודות נתונות (שלוש נקודות נתונות שוכנות על קו ישר אחד).

הערה 2. הבעיה של ציור מישור דרך שלוש נקודות נתונות שאינן שוכנות על אותו קו נפתרת בקלות ב השקפה כללית, אם נשתמש בדטרמיננטים. אכן, מכיוון שבמשוואות (17) ו-(19) המקדמים A, B, C אינם יכולים להיות שווים לאפס בו-זמנית, אם כן, בהתחשב במשוואות אלה כעל מערכת הומוגניתעם שלושה לא ידועים A, B, C, אנו כותבים תנאי הכרחי ומספיק לקיומו של פתרון למערכת זו השונה מאפס (חלק 1, פרק ו', סעיף 6):

לאחר שהרחבנו את הקואורדינטנט הזה למרכיבי השורה הראשונה, אנו מקבלים משוואה ממעלה ראשונה ביחס לקואורדינטות הנוכחיות, אשר תסופק, במיוחד, על ידי הקואורדינטות של שלוש הנקודות הנתונות.

אתה יכול גם לאמת את האחרון ישירות על ידי החלפת הקואורדינטות של כל אחת מהנקודות הללו במקום . בצד שמאל נקבל דטרמיננטה שבה או שהרכיבים של השורה הראשונה הם אפסים או שיש שתי שורות זהות. לפיכך, המשוואה שנבנתה מייצגת מישור העובר דרך שלוש הנקודות הנתונות.