הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה

הערך הגדול ביותר של פונקציה הוא הגדול ביותר, הערך הקטן ביותר הוא הקטן מכל ערכיה.

לפונקציה יכולה להיות רק ערך אחד גדול ורק אחד קטן ביותר, או שאולי אין לה ערך כלל. מציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציות רציפות מבוססת על המאפיינים הבאים של פונקציות אלה:

1) אם במרווח מסוים (סופי או אינסופי) הפונקציה y=f(x) היא רציפה ויש לה רק קיצון אחד ואם זה מקסימום (מינימום), אז זה יהיה הערך הגדול (הקטן) של הפונקציה במרווח זה.

2) אם הפונקציה f(x) רציפה במרווח כלשהו, ​​אזי יש לה בהכרח את הגדול הערך הקטן ביותר. לערכים אלו מגיעים בנקודות קיצון הנמצאות בתוך הקטע, או בגבולות הקטע הזה.

כדי למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר בקטע, מומלץ להשתמש בסכימה הבאה:

1. מצא את הנגזרת.

2. מצא נקודות קריטיות של הפונקציה שבהן =0 או לא קיימת.

3. מצא את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות ובקצה הקטע ובחר מתוכם את ה-f max הגדול וה-f max הקטן ביותר.

בעת פתרון בעיות יישומיות, בפרט אופטימיזציה, חשובות הבעיות של מציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר (מקסימום גלובלי ומינימום גלובלי) של פונקציה במרווח X. כדי לפתור בעיות כאלה, יש להסתמך על התנאי , בחר משתנה בלתי תלוי ובטא את הערך הנחקר באמצעות משתנה זה. לאחר מכן מצא את הערך הגדול ביותר או הקטן ביותר הרצוי של הפונקציה המתקבלת. במקרה זה, מרווח השינוי של המשתנה הבלתי תלוי, שיכול להיות סופי או אינסופי, נקבע גם הוא מתנאי הבעיה.

דוגמא.המיכל, שיש לו צורה של מקבילית מלבני עליון פתוח עם תחתית מרובעת, חייב להיות משוכל מבפנים עם פח. מה צריך להיות מידות המיכל אם הקיבולת שלו היא 108 ליטר? מים כך שעלות הפח תהיה מינימלית?

פִּתָרוֹן.עלות ציפוי מיכל בפח תהיה מינימלית אם, עבור קיבולת נתונה, שטח הפנים שלו הוא מינימלי. נסמן ב-a dm את דופן הבסיס, b dm את גובה המיכל. ואז השטח S של פני השטח שלו שווה ל

ו

הקשר המתקבל קובע את הקשר בין שטח הפנים של המאגר S (פונקציה) לבין הצד של הבסיס a (טיעון). הבה נבחן את הפונקציה S עבור נקודת קיצון. בוא נמצא את הנגזרת הראשונה, נשווה אותה לאפס ונפתור את המשוואה שהתקבלה:

לפיכך a = 6. (א) > 0 עבור a > 6, (א)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

דוגמא. מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה על המרווח.

פִּתָרוֹן: הפונקציה הנתונה היא רציפה לאורך כל קו המספרים. נגזרת של פונקציה

נגזרת עבור ועבור . בואו נחשב את ערכי הפונקציה בנקודות הבאות:

.

ערכי הפונקציה בקצות המרווח הנתון שווים. לכן, הערך הגדול ביותר של הפונקציה שווה ב-, הערך הקטן ביותר של הפונקציה שווה ב-.

שאלות בדיקה עצמית

1. נסח את הכלל של L'Hopital לחשיפת אי הוודאות של הצורה. ציין את סוגי אי הוודאות השונים שניתן להשתמש בחוק של L'Hopital כדי לפתור.

2. נסח את הסימנים לתפקוד הגובר והירידה.

3. הגדר את המקסימום והמינימום של פונקציה.

4. נסח תנאי הכרחי לקיומו של קיצון.

5. אילו ערכים של הטיעון (אילו נקודות) נקראים קריטיים? איך למצוא את הנקודות הללו?

6. מהם סימנים מספיקים לקיומו של קיצון של פונקציה? תאר סכמה ללימוד פונקציה בקיצוניות באמצעות הנגזרת הראשונה.

7. התווה סכמה ללימוד פונקציה בקיצוניות באמצעות הנגזרת השנייה.

8. הגדירו קמורות וקעור של עקומה.

9. מה נקראת נקודת הפיתול של הגרף של פונקציה? ציין שיטה למציאת נקודות אלו.

10. נסח את הסימנים ההכרחיים והמספיקים לקמורות וקיעור של עקומה על קטע נתון.

11. הגדר את האסימפטוטה של ​​עקומה. כיצד למצוא את האסימפטוטים האנכיים, האופקיים והאלכסוניים של הגרף של פונקציה?

12. מתווה תכנית כלליתחקר פונקציה ובניית הגרף שלה.

13. נסח כלל למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה במרווח נתון.

מנקודת מבט מעשית, העניין הגדול ביותר הוא בשימוש בנגזרת כדי למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה. למה זה קשור? מקסום רווחים, מזעור עלויות, קביעת עומס אופטימלי של ציוד... במילים אחרות, בתחומי חיים רבים עלינו לפתור בעיות של ייעול כמה פרמטרים. ואלה המשימות של מציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה.

יש לציין שהערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בדרך כלל מחפשים במרווח X מסוים, שהוא או כל התחום של הפונקציה או חלק מתחום ההגדרה. המרווח X עצמו יכול להיות קטע, מרווח פתוח , מרווח אינסופי.

במאמר זה נדבר על מציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר במפורש פונקציה נתונהמשתנה אחד y=f(x) .

ניווט בדף.

הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה - הגדרות, איורים.

בואו נסתכל בקצרה על ההגדרות העיקריות.

הערך הגדול ביותר של הפונקציה זה עבור כל אחד אי השוויון נכון.

הערך הקטן ביותר של הפונקציה y=f(x) במרווח X נקרא ערך כזה זה עבור כל אחד אי השוויון נכון.

הגדרות אלו אינטואיטיביות: הערך הגדול ביותר (הקטן ביותר) של פונקציה הוא הערך המקובל הגדול ביותר (הקטן ביותר) במרווח הנדון באבססיס.

נקודות נייחות– אלו הם הערכים של הארגומנט שבו הנגזרת של הפונקציה הופכת לאפס.

מדוע אנו זקוקים לנקודות נייחות כאשר אנו מוצאים את הערכים הגדולים והקטנים ביותר? התשובה לשאלה זו ניתנת על ידי משפט פרמה. ממשפט זה עולה שאם לפונקציה הניתנת להבדלה יש קיצון (מינימום מקומי או מקסימום מקומי) בשלב מסוים, אזי נקודה זו היא נייחת. לפיכך, הפונקציה לוקחת לעתים קרובות את הערך הגדול ביותר (הקטן ביותר) שלה במרווח X באחת הנקודות הנייחות מהמרווח הזה.

כמו כן, פונקציה יכולה לעתים קרובות לקבל את הערכים הגדולים והקטנים ביותר שלה בנקודות שבהן הנגזרת הראשונה של פונקציה זו אינה קיימת, והפונקציה עצמה מוגדרת.

הבה נענה מיד על אחת השאלות הנפוצות ביותר בנושא זה: "האם תמיד ניתן לקבוע את הערך הגדול (הקטן) ביותר של פונקציה"? לא לא תמיד. לפעמים הגבולות של המרווח X חופפים לגבולות תחום ההגדרה של הפונקציה, או שהמרווח X הוא אינסופי. וכמה פונקציות באינסוף ובגבולות של תחום ההגדרה יכולות לקבל ערכים גדולים לאין שיעור וגם ערכים קטנים לאין שיעור. במקרים אלה, לא ניתן לומר דבר על הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה.

לצורך הבהירות, ניתן איור גרפי. תסתכל בתמונות והרבה יתבהר.

על הקטע

באיור הראשון, הפונקציה לוקחת את הערכים הגדולים ביותר (מקסימום y) והקטנים ביותר (מינימום y) בנקודות נייחות הממוקמות בתוך הקטע [-6;6].

שקול את המקרה המתואר באיור השני. בואו נשנה את הקטע ל- . בדוגמה זו, הערך הקטן ביותר של הפונקציה מושג בנקודה נייחת, והגדול ביותר בנקודה שבה האבשיסה תואמת ל גבול ימיןהַפסָקָה.

באיור 3, נקודות הגבול של הקטע [-3;2] הן האבססיס של הנקודות המקבילות לערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה.

במרווח פתוח

באיור הרביעי, הפונקציה לוקחת את הערכים הגדולים ביותר (מקסימום y) והקטנים ביותר (מינימום y) בנקודות נייחות הממוקמות בתוך המרווח הפתוח (-6;6).

על המרווח, לא ניתן להסיק מסקנות לגבי הערך הגדול ביותר.

באינסוף

בדוגמה המוצגת באיור השביעי, הפונקציה לוקחת את הערך הגדול ביותר (מקסימום y) בנקודה נייחת עם abscissa x=1, והערך הקטן ביותר (min y) מושג על הגבול הימני של המרווח. במינוס אינסוף, ערכי הפונקציה מתקרבים באופן אסימפטוטי ל-y=3.

במהלך המרווח, הפונקציה לא מגיעה לא לערך הקטן ביותר ולא לערך הגדול ביותר. כאשר x=2 מתקרב מימין, ערכי הפונקציה נוטים למינוס אינסוף (הקו הישר x=2 הוא אסימפטוטה אנכית), וכאשר האבשיסה נוטה לפלוס אינסוף, ערכי הפונקציה מתקרבים באופן אסימפטוטי ל-y=3. איור גרפי של דוגמה זו מוצג באיור 8.

אלגוריתם למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה רציפה בקטע.

הבה נכתוב אלגוריתם המאפשר לנו למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בקטע.

1. אנו מוצאים את תחום ההגדרה של הפונקציה ובודקים האם היא מכילה את כל הקטע.
2. אנו מוצאים את כל הנקודות שבהן הנגזרת הראשונה אינה קיימת ושנכללות בקטע (בדרך כלל נקודות כאלה נמצאות בפונקציות עם ארגומנט מתחת לסימן המודולוס וב פונקציות כוחעם מעריך שברי-רציונלי). אם אין נקודות כאלה, עברו לנקודה הבאה.
3. אנו קובעים את כל הנקודות הנייחות הנופלות בתוך הקטע. לשם כך, נשווה אותו לאפס, פותרים את המשוואה המתקבלת ובוחרים שורשים מתאימים. אם אין נקודות נייחות או שאף אחת מהן לא נופלת לתוך הקטע, אז עברו לנקודה הבאה.
4. אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות נייחות נבחרות (אם יש), בנקודות שבהן הנגזרת הראשונה לא קיימת (אם בכלל), וכן ב-x=a ו-x=b.
5. מתוך הערכים המתקבלים של הפונקציה, אנו בוחרים את הגדול והקטן ביותר - הם יהיו הערכים הגדולים והקטנים ביותר הנדרשים של הפונקציה, בהתאמה.

בואו ננתח את האלגוריתם לפתרון דוגמה כדי למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בקטע.

דוגמא.

מצא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה

• על הקטע;
• על הקטע [-4;-1] .

פִּתָרוֹן.

תחום ההגדרה של פונקציה הוא כל קבוצת המספרים הממשיים, למעט אפס, כלומר. שני המקטעים נכנסים לתחום ההגדרה.

מצא את הנגזרת של הפונקציה ביחס ל:

ברור שהנגזרת של הפונקציה קיימת בכל הנקודות של המקטעים ו-[-4;-1].

אנו קובעים נקודות נייחות מהמשוואה. השורש האמיתי היחיד הוא x=2. נקודה נייחת זו נופלת לקטע הראשון.

במקרה הראשון, אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע ובנקודה הנייחת, כלומר עבור x=1, x=2 ו-x=4:

לכן, הערך הגדול ביותר של הפונקציה מושגת ב-x=1, והערך הקטן ביותר – ב-x=2.

במקרה השני, אנו מחשבים את ערכי הפונקציה רק ​​בקצות הקטע [-4;-1] (מכיוון שהוא אינו מכיל נקודה נייחת אחת):

לפעמים בבעיות B15 יש פונקציות "גרועות" שקשה למצוא להן נגזרת. בעבר, זה קרה רק במהלך מבחנים לדוגמה, אך כעת המשימות הללו נפוצות כל כך עד שאי אפשר להתעלם מהן עוד בעת הכנה לבחינה האמיתית של Unified State.

במקרה זה, טכניקות אחרות עובדות, אחת מהן היא מוֹנוֹטוֹנִיוּת.

אומרים שפונקציה f (x) גדלה באופן מונוטוני על הקטע אם עבור נקודות x 1 ו-x 2 של קטע זה מתקיים הדבר הבא:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

אומרים שפונקציה f (x) יורדת באופן מונוטוני על הקטע אם עבור כל נקודות x 1 ו-x 2 של קטע זה מתקיים הדבר הבא:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

במילים אחרות, עבור פונקציה הולכת וגדלה, ככל ש-x גדול יותר, כך f(x) גדול יותר. עבור פונקציה יורדת ההיפך הוא הנכון: ככל שה-x גדול יותר, ה- פָּחוֹת f(x).

לדוגמה, הלוגריתם גדל באופן מונוטוני אם הבסיס a > 1, ומונוטוני יורד אם 0< a < 1. Не забывайте про область ערכים מקובליםלוגריתם: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

השורש הריבועי האריתמטי (ולא רק הריבועי) גדל באופן מונוטוני על פני כל תחום ההגדרה:

הפונקציה המעריכית מתנהגת בדומה ללוגריתם: היא גדלה עבור a > 1 ויורדת עבור 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, פונקציה מעריכיתמוגדר עבור כל המספרים, לא רק עבור x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

לבסוף, מעלות עם מעריך שלילי. אתה יכול לכתוב אותם כשבר. יש להם נקודת שבירה שבה המונוטוניות נשברת.

כל הפונקציות הללו אף פעם לא נמצאות ב צורה טהורה. הם מוסיפים פולינומים, שברים ושטויות אחרות, מה שמקשה על חישוב הנגזרת. בואו נסתכל מה קורה במקרה הזה.

קואורדינטות קודקוד פרבולה

לרוב ארגומנט הפונקציה מוחלף ב טרינום ריבועימהצורה y = ax 2 + bx + c. הגרף שלו הוא פרבולה סטנדרטית בה אנו מעוניינים:

1. הענפים של פרבולה יכולים לעלות למעלה (עבור > 0) או למטה (א< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. הקודקוד של פרבולה הוא נקודת הקיצון של פונקציה ריבועית שבה פונקציה זו לוקחת את המינימום שלה (עבור > 0) או המקסימום (a< 0) значение.

העניין הגדול ביותר הוא קודקוד פרבולה, שהאבססיס שלו מחושב על ידי הנוסחה:

אז מצאנו את נקודת הקיצון של הפונקציה הריבועית. אבל אם הפונקציה המקורית היא מונוטונית, עבורה הנקודה x 0 תהיה גם נקודת קיצון. לפיכך, הבה ננסח את כלל המפתח:

נקודות קיצון של טרינום ריבועי ו פונקציה מורכבת, שהוא כלול בו, חופפים. לכן, אתה יכול לחפש את x 0 עבור טרינום ריבועי, ולשכוח מהפונקציה.

מהנימוק לעיל, לא ברור איזו נקודה אנחנו מקבלים: מקסימום או מינימום. עם זאת, המשימות תוכננו במיוחד כך שזה לא משנה. תשפטו בעצמכם:

1. אין קטע בהצהרת הבעיה. לכן, אין צורך לחשב את f(a) ו-f(b). נותר לשקול רק את נקודות הקיצון;
2. אבל יש רק נקודה אחת כזו - זה הקודקוד של הפרבולה x 0, שהקואורדינטות שלה מחושבות מילולית בעל פה וללא כל נגזרות.

לפיכך, פתרון הבעיה מפושט מאוד ומסתכם בשני שלבים בלבד:

1. כתוב את משוואת הפרבולה y = ax 2 + bx + c ומצא את הקודקוד שלה באמצעות הנוסחה: x 0 = −b /2a ;
2. מצא את הערך של הפונקציה המקורית בנקודה זו: f (x 0). אם אין תנאים נוספים, זו תהיה התשובה.

במבט ראשון, אלגוריתם זה והרציונל שלו עשויים להיראות מורכבים. אני בכוונה לא מפרסם תרשים פתרון "חשוף", שכן יישום חסר מחשבה של כללים כאלה טומן בחובו שגיאות.

בואו נסתכל על בעיות אמיתיות מ ניסיון בבחינת המדינה המאוחדתבמתמטיקה - זה המקום שבו טכניקה זו נמצאת לרוב. יחד עם זאת, נוודא שבדרך זו בעיות B15 רבות יהפכו כמעט בעל פה.

מתחת לשורש עומד פונקציה ריבועית y = x 2 + 6x + 13. הגרף של פונקציה זו הוא פרבולה עם ענפים כלפי מעלה, שכן מקדם a = 1 > 0.

קודקוד הפרבולה:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

מכיוון שענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, בנקודה x 0 = −3 הפונקציה y = x 2 + 6x + 13 מקבלת את הערך המינימלי שלה.

השורש גדל באופן מונוטוני, כלומר x 0 היא נקודת המינימום של הפונקציה כולה. יש לנו:

מְשִׁימָה. מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

מתחת ללוגריתם יש שוב פונקציה ריבועית: y = x 2 + 2x + 9. הגרף הוא פרבולה עם ענפים למעלה, מכיוון a = 1 > 0.

קודקוד הפרבולה:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

אז, בנקודה x 0 = −1 הפונקציה הריבועית מקבלת את הערך המינימלי שלה. אבל הפונקציה y = log 2 x היא מונוטונית, אז:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

המעריך מכיל את הפונקציה הריבועית y = 1 − 4x − x 2 . בוא נשכתב אותו בצורה רגילה: y = −x 2 − 4x + 1.

ברור שהגרף של פונקציה זו הוא פרבולה, מסתעף למטה (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

הפונקציה המקורית היא אקספוננציאלית, היא מונוטונית, כך שהערך הגדול ביותר יהיה בנקודת המוצא x 0 = −2:

קורא קשוב בוודאי ישים לב שלא כתבנו את טווח הערכים המותרים של השורש והלוגריתם. אבל זה לא היה נדרש: בפנים יש פונקציות שהערכים שלהן תמיד חיוביים.

תוצאות מתחום הפונקציה

לפעמים פשוט למצוא את קודקוד הפרבולה לא מספיק כדי לפתור בעיה B15. הערך שאתה מחפש עשוי לשקר בסוף הקטע, וכלל לא בנקודת הקיצון. אם הבעיה אינה מצביעה על קטע כלל, תסתכל על טווח של ערכים מקובליםפונקציה מקורית. כלומר:

שים לב שוב: ייתכן שאפס נמצא מתחת לשורש, אך לעולם לא בלוגריתם או במכנה של שבר. בוא נראה איך זה עובד עם דוגמאות ספציפיות:

מְשִׁימָה. מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה:

מתחת לשורש נמצאת שוב פונקציה ריבועית: y = 3 − 2x − x 2 . הגרף שלו הוא פרבולה, אבל מסתעף מטה כי a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический שורש ריבועישל מספר שלילי לא קיים.

אנו כותבים את טווח הערכים המותרים (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

עכשיו בואו נמצא את קודקוד הפרבולה:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

הנקודה x 0 = −1 שייכת לקטע ODZ - וזה טוב. כעת אנו מחשבים את ערך הפונקציה בנקודה x 0, כמו גם בקצות ה-ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

אז קיבלנו את המספרים 2 ו-0. אנחנו מתבקשים למצוא את הגדול ביותר - זה המספר 2.

מְשִׁימָה. מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה:

y = log 0.5 (6x - x 2 - 5)

בתוך הלוגריתם יש פונקציה ריבועית y = 6x − x 2 − 5. זוהי פרבולה עם סניפים למטה, אבל בלוגריתם לא יכול להיות מספרים שליליים, אז אנחנו כותבים את ה-ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

שימו לב: אי השוויון מחמיר, ולכן הקצוות אינם שייכים לאו"ד. זה שונה מהלוגריתם מהשורש, שבו קצוות הקטע מתאימים לנו די טוב.

אנו מחפשים את קודקוד הפרבולה:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

קודקוד הפרבולה מתאים לפי ה-ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). אך מכיוון שאיננו מעוניינים בקצוות הקטע, אנו מחשבים את ערך הפונקציה רק ​​בנקודה x 0:

y min = y (3) = log 0.5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0.5 (18 - 9 - 5) = log 0.5 4 = −2

קטנטן ויפה משימה פשוטהמקטגוריית אלו המשמשים כמציל חיים לתלמיד צף. זה אמצע יולי בטבע, אז זה הזמן להתמקם עם המחשב הנייד על החוף. בשעת בוקר מוקדמת החלה להתנגן קרן השמש של התיאוריה, כדי להתמקד במהרה בתרגול, שלמרות הקלות המוצהרת מכיל רסיסי זכוכית בחול. בהקשר זה, אני ממליץ לך לשקול באופן מצפוני את הדוגמאות המעטות של דף זה. כדי לפתור בעיות מעשיות אתה חייב להיות מסוגל למצוא נגזרותולהבין את החומר של המאמר מרווחי מונוטוניות וקיצוניות של הפונקציה.

ראשית, בקצרה על העיקר. בשיעור על המשכיות של תפקודנתתי את ההגדרה של המשכיות בנקודה והמשכיות במרווח. ההתנהגות המופתית של פונקציה על קטע מנוסחת באופן דומה. פונקציה היא רציפה במרווח אם:

1) הוא רציף על המרווח;
2) רציף בנקודה בצד ימיןובנקודה שמאלה.

בפסקה השנייה דיברנו על מה שנקרא המשכיות חד צדדיתמתפקד בנקודה מסוימת. יש כמה גישות להגדרתו, אבל אני אצמד לקו שהתחלתי קודם:

הפונקציה רציפה בנקודה בצד ימין, אם הוא מוגדר בנקודה נתונה והגבול הימני שלו עולה בקנה אחד עם הערך של הפונקציה בנקודה נתונה: . זה רציף בנקודה שמאלה, אם מוגדר בנקודה נתונה וגבול הצד השמאלי שלה שווה לערךבנקודה זו:

תארו לעצמכם שהנקודות הירוקות הן ציפורניים עם רצועת אלסטית קסומה המחוברת אליהן:

קח נפשית את הקו האדום בידיים שלך. ברור שלא משנה כמה רחוק נמתח את הגרף למעלה ולמטה (לאורך הציר), הפונקציה עדיין תישאר מוגבל– גדר למעלה, גדר למטה, והמוצר שלנו רועה במכלאה. לכן, פונקציה רציפה על מרווח מוגבלת עליה. במהלך הניתוח המתמטי, עובדה פשוטה לכאורה זו מוצהרת ומוכחת בקפדנות. המשפט הראשון של ויירשטראס....אנשים רבים מתרגזים מכך שהצהרות יסודיות מבוססות בצורה מייגעת במתמטיקה, אבל יש לכך משמעות חשובה. נניח שתושב מסוים מימי הביניים הטרי משך גרף לשמים מעבר לגבולות הראות, זה הוכנס. לפני המצאת הטלסקופ, התפקוד המוגבל בחלל לא היה ברור כלל! באמת, איך אתה יודע מה מצפה לנו באופק? אחרי הכל, כדור הארץ נחשב פעם שטוח, אז היום אפילו טלפורטציה רגילה דורשת הוכחה =)

לפי המשפט השני של ויירשטראס, רציף על קטעהפונקציה מגיעה אליה גבול עליון מדויקושלך קצה תחתון מדויק .

המספר נקרא גם הערך המקסימלי של הפונקציה בקטעומסומנים ב, והמספר הוא הערך המינימלי של הפונקציה בקטעמסומן .

במקרה שלנו:

הערה : בתיאוריה, הקלטות נפוצות .

באופן גס, הערך הגדול ביותר הוא היכן הכי הרבה נקודה גבוההגרפיקה, והקטן ביותר הוא המקום בו נמצאת הנקודה הנמוכה ביותר.

חָשׁוּב!כפי שכבר הודגש במאמר על קיצוניות של הפונקציה, ערך הפונקציה הגדול ביותרו ערך הפונקציה הקטן ביותר – לא אותו הדבר, מה תפקוד מקסימליו מינימום פונקציה. אז, בדוגמה הנבדקת, המספר הוא המינימום של הפונקציה, אך לא הערך המינימלי.

אגב, מה קורה מחוץ לקטע? כן, אפילו שיטפון, בהקשר של הבעיה הנבדקת, זה לא מעניין אותנו כלל. המשימה כוללת רק מציאת שני מספרים וזה הכל!

יתר על כן, הפתרון הוא אנליטי בלבד, לפיכך אין צורך לעשות ציור!

האלגוריתם מונח על פני השטח ומציע את עצמו מהאיור שלמעלה:

1) מצא את ערכי הפונקציה ב נקודות קריטיות, השייכים לפלח זה.

תפסו בונוס נוסף: כאן אין צורך לבדוק את התנאי המספיק לקיצוניות, שכן, כפי שהוצג זה עתה, נוכחות של מינימום או מקסימום עדיין לא מבטיח, מהו הערך המינימלי או המקסימלי. פונקציית ההדגמה מגיעה למקסימום ולפי רצון הגורל, אותו מספר הוא הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע. אבל, כמובן, צירוף מקרים כזה לא תמיד מתרחש.

לכן, בשלב הראשון, מהיר יותר וקל יותר לחשב את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות השייכות למקטע, מבלי להטריד אם יש בהן קיצוניות או לא.

2) אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע.

3) מבין ערכי הפונקציות שנמצאו בפסקה הראשונה והשנייה, בחר את הקטן והכי גדול מספר גדול, רשום את התשובה.

אנחנו מתיישבים על החוף ים כחולולהכות במים הרדודים עם העקבים:

דוגמה 1

מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בקטע

פִּתָרוֹן:
1) בואו נחשב את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות השייכות למקטע הזה:

בוא נחשב את ערך הפונקציה בנקודה הקריטית השנייה:

2) בוא נחשב את ערכי הפונקציה בקצות הקטע:

3) התקבלו תוצאות "מודגשות" עם אקספוננטים ולוגריתמים, מה שמקשה באופן משמעותי על ההשוואה ביניהם. מסיבה זו, בואו נתחמש במחשבון או באקסל ונחשב ערכים משוערים, בלי לשכוח את זה:

עכשיו הכל ברור.

תשובה:

דוגמה שברית-רציונלית לפתרון עצמאי:

דוגמה 6

מצא את הערכים המקסימליים והמינימליים של פונקציה בקטע

מהו קיצון של פונקציה ומהו התנאי ההכרחי לקיצון?

הקצה הקיצוני של פונקציה הוא המקסימום והמינימום של הפונקציה.

תְנַאִי מוּקדָםהמקסימום והמינימום (קיצוני) של פונקציה הם כדלקמן: אם לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה x = a, אז בנקודה זו הנגזרת היא אפס, או אינסופית, או שאינה קיימת.

תנאי זה הכרחי, אך אינו מספיק. הנגזרת בנקודה x = a יכולה להגיע לאפס, לאינסוף או לא להתקיים מבלי שלפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה זו.

מהו תנאי מספיק לקצה הקיצוני של פונקציה (מקסימום או מינימום)?

תנאי ראשון:

אם, בסמיכות מספקת לנקודה x = a, הנגזרת f?(x) חיובית משמאל ל-a ושלילי מימין ל-a, אזי בנקודה x = a יש לפונקציה f(x) מַקסִימוּם

אם, בסמיכות מספקת לנקודה x = a, הנגזרת f?(x) שלילית משמאל ל-a וחיובית מימין ל-a, אזי בנקודה x = a יש לפונקציה f(x) מִינִימוּםבתנאי שהפונקציה f(x) כאן היא רציפה.

במקום זאת, אתה יכול להשתמש בתנאי השני מספיק עבור הקצה הקיצוני של פונקציה:

תן בנקודה x = a הנגזרת הראשונה f?(x) תיעלם; אם הנגזרת השנייה f??(a) שלילית, אז לפונקציה f(x) יש מקסימום בנקודה x = a, אם היא חיובית, אז יש לה מינימום.

מהי הנקודה הקריטית של פונקציה וכיצד למצוא אותה?

זהו הערך של ארגומנט הפונקציה שבו לפונקציה יש נקודת קיצון (כלומר מקסימום או מינימום). כדי למצוא אותו אתה צריך למצוא את הנגזרתפונקציה f?(x) ו, משווה אותה לאפס, פתור את המשוואה f?(x) = 0. השורשים של המשוואה הזו, כמו גם הנקודות שבהן לא קיימת הנגזרת של פונקציה זו, הם נקודות קריטיות, כלומר ערכים של הארגומנט שבהם יכול להיות נקודת קיצון. ניתן לזהות אותם בקלות על ידי התבוננות גרף נגזרת: אנו מתעניינים באותם ערכים של הארגומנט שבהם גרף הפונקציה חותך את ציר האבססיס (ציר שוורי) ובאלה שבהם הגרף סובל מחוסר המשכיות.

למשל, בואו נמצא קיצוני של פרבולה.

הפונקציה y(x) = 3x2 + 2x - 50.

נגזרת של הפונקציה: y?(x) = 6x + 2

פתרו את המשוואה: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

במקרה זה, הנקודה הקריטית היא x0=-1/3. עם ערך הארגומנט הזה יש לפונקציה קיצוני. לו למצוא, החלף את המספר שנמצא בביטוי בפונקציה במקום "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

כיצד לקבוע את המקסימום והמינימום של פונקציה, כלומר. הערכים הגדולים והקטנים ביותר שלו?

אם הסימן של הנגזרת במעבר דרך הנקודה הקריטית x0 משתנה מ"פלוס" ל"מינוס", אז x0 הוא נקודת מקסימום; אם הסימן של הנגזרת משתנה ממינוס לפלוס, אז x0 הוא נקודת מינימום; אם הסימן לא משתנה, אז בנקודה x0 אין לא מקסימום ולא מינימום.

לדוגמא שנחשבת:

קח ערך ארגומנט שרירותי משמאל ל נקודה קריטית: x = -1

ב-x = -1, הערך של הנגזרת יהיה y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (כלומר הסימן הוא "מינוס").

כעת ניקח ערך שרירותי של הארגומנט מימין לנקודה הקריטית: x = 1

ב-x = 1, הערך של הנגזרת יהיה y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (כלומר הסימן הוא "פלוס").

כפי שאתה יכול לראות, הנגזרת שינתה את הסימן ממינוס לפלוס במעבר בנקודה הקריטית. זה אומר שבערך הקריטי x0 יש לנו נקודת מינימום.

הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה על המרווח(על קטע) נמצאות תוך שימוש באותו הליך, רק תוך התחשבות בעובדה שאולי לא כל הנקודות הקריטיות יהיו בתוך המרווח שצוין. נקודות קריטיות אלו שנמצאות מחוץ למרווח חייבות להיכלל בשיקול. אם יש רק נקודה קריטית אחת בתוך המרווח, יהיה לה מקסימום או מינימום. במקרה זה, כדי לקבוע את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה, אנו לוקחים בחשבון גם את ערכי הפונקציה בקצות המרווח.

לדוגמה, בואו נמצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

במרווחים:

אז הנגזרת של הפונקציה היא

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

נפתור את המשוואה 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

אנו מוצאים נקודות קריטיות במרווח [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (לא כלול במרווח)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (לא כלול במרווח)

אנו מוצאים את ערכי הפונקציה בערכים קריטיים של הארגומנט:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

ניתן לראות שבמרווח [-9; 9] לפונקציה יש את הערך הגדול ביותר ב-x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

והקטן ביותר - ב-x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398.

על המרווח [-6; -3] יש לנו רק נקודה קריטית אחת: x = -4.88. הערך של הפונקציה ב-x = -4.88 שווה ל-y = 5.398.

מצא את הערך של הפונקציה בקצוות המרווח:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

על המרווח [-6; -3] יש לנו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה

y = 5.398 ב-x = -4.88

הערך הקטן ביותר -

y = 1.077 ב-x = -3

כיצד למצוא את נקודות הפיתול של גרף פונקציות ולקבוע את הצלעות הקמורות והקעורות?

כדי למצוא את כל נקודות הפיתול של הישר y = f(x), אתה צריך למצוא את הנגזרת השנייה, לשוות אותה לאפס (לפתור את המשוואה) ולבדוק את כל הערכים של x שעבורם הנגזרת השנייה היא אפס, אינסופי או לא קיים. אם, כאשר עוברים דרך אחד מהערכים הללו, הנגזרת השנייה משנה סימן, אז לגרף של הפונקציה יש הטיה בנקודה זו. אם זה לא משתנה, אז אין עיקול.

שורשי המשוואה f? (x) = 0, כמו גם נקודות אפשריות של אי-רציפות של הפונקציה והנגזרת השנייה, מחלקים את תחום ההגדרה של הפונקציה למספר מרווחים. הקמורות בכל אחד מהמרווחים שלהם נקבעת לפי הסימן של הנגזרת השנייה. אם הנגזרת השנייה בנקודה במרווח הנחקר היא חיובית, אז הישר y = f(x) קעור כלפי מעלה, ואם שלילי, אז כלפי מטה.

איך מוצאים את הקיצוניות של פונקציה של שני משתנים?

כדי למצוא את הקיצוניות של הפונקציה f(x,y), הניתנת להבדלה בתחום המפרט שלה, אתה צריך:

1) למצוא את הנקודות הקריטיות, ולשם כך - לפתור את מערכת המשוואות

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) עבור כל נקודה קריטית P0(a;b) בדוק אם סימן ההפרש נשאר ללא שינוי

עבור כל הנקודות (x;y) קרוב מספיק ל-P0. אם ההפרש נשאר חיובי, אז בנקודה P0 יש לנו מינימום, אם שלילי, אז יש לנו מקסימום. אם ההפרש לא שומר על הסימן שלו, אז אין קיצון בנקודה P0.

הקיצוניות של הפונקציה נקבעות באופן דומה עבור יותרטיעונים.