קטנטן ויפה משימה פשוטהמהקטגוריה של אלו המשמשים כחבל הצלה לתלמיד צף. בטבע, הממלכה המנומנמת של אמצע יולי, אז הגיע הזמן להתמקם עם מחשב נייד על החוף. מוקדם בבוקר ניגנה קרן שמש של תיאוריה כדי להתמקד בקרוב בתרגול, שלמרות קלילותו המוצהרת, מכיל שברי זכוכית בחול. בהקשר זה, אני ממליץ לשקול במצפון כמה דוגמאות של דף זה. כדי לפתור משימות מעשיות, אתה צריך להיות מסוגל למצוא נגזרותולהבין את החומר של המאמר מרווחים של מונוטוניות וקיצוניות של פונקציה.

ראשית, בקצרה על העיקר. בשיעור על המשכיות תפקודנתתי את ההגדרה של המשכיות בנקודה והמשכיות על מרווח. ההתנהגות המופתית של פונקציה על קטע מנוסחת באופן דומה. פונקציה היא רציפה בקטע אם:

1) הוא רציף על המרווח;
2) רציף בנקודה בצד ימיןובנקודה שמאלה.

הפסקה השנייה עוסקת במה שנקרא המשכיות חד צדדיתמתפקד בנקודה מסוימת. ישנן מספר גישות להגדרתו, אך אצמד לקו שהחל קודם לכן:

הפונקציה רציפה בנקודה מסוימת בצד ימין, אם הוא מוגדר בנקודה נתונה והגבול הימני שלו עולה בקנה אחד עם הערך של הפונקציה בנקודה נתונה: . זה רציף בנקודה שמאלה, אם מוגדר בנקודה נתונה והגבול השמאלי שלה שווה לערךבנקודה זו:

תארו לעצמכם שהנקודות הירוקות הן הציפורניים שעליהן מחוברת הגומייה הקסומה:

קח נפשית את הקו האדום בידיים שלך. ברור שלא משנה כמה רחוק נמתח את הגרף למעלה ולמטה (לאורך הציר), הפונקציה עדיין תישאר מוגבל- גדר חיה מעל, גדר חיה למטה, והמוצר שלנו רועה במכלאה. לכן, פונקציה רציפה על קטע מוגבלת עליו. במהלך הניתוח המתמטי, עובדה פשוטה לכאורה זו נאמרת ומוכחת בקפדנות המשפט הראשון של ויירשטראס.... אנשים רבים כועסים על כך שהצהרות יסודיות מבוססות בצורה מייגעת במתמטיקה, אבל יש לכך משמעות חשובה. נניח שתושב מסוים מימי הביניים הטרי משך את הגרף לשמיים מעבר לגבולות הראות, זה הוכנס. לפני המצאת הטלסקופ, התפקוד המוגבל בחלל לא היה ברור כלל! ואכן, איך אתה יודע מה מצפה לנו מעבר לאופק? אחרי הכל, פעם כדור הארץ נחשב שטוח, אז היום אפילו טלפורטציה רגילה דורשת הוכחה =)

לפי משפט ויירשטראס השני, רציף על הקטעהפונקציה מגיעה אליה קצה עליון מדויקושלו קצה תחתון מדויק .

המספר נקרא גם הערך המקסימלי של הפונקציה בקטעומסומן על ידי , והמספר - הערך המינימלי של הפונקציה במרווחמסומן .

במקרה שלנו:

הערה : בתיאוריה, רשומות נפוצות .

באופן כללי, הערך הגבוה ביותרממוקם במקום שבו נקודה גבוההגרפיקה, והקטנה ביותר - איפה הנקודה הנמוכה ביותר.

חָשׁוּב!כפי שכבר צוין במאמר על קיצוניות של הפונקציה, הערך הגדול ביותר של הפונקציהו ערך הפונקציה הקטן ביותר – לא אותו הדבר, מה לתפקד מקסימוםו מינימום פונקציה. אז בדוגמה זו, המספר הוא המינימום של הפונקציה, אך לא הערך המינימלי.

אגב, מה קורה מחוץ לקטע? כן, גם המבול, בהקשר של הבעיה הנבדקת, זה לא מעניין אותנו כלל. המשימה כוללת מציאת שני מספרים בלבד וזה הכל!

יתר על כן, הפתרון הוא אנליטי בלבד, ולכן, אין צורך לצייר!

האלגוריתם מונח על פני השטח ומציע את עצמו מהאיור שלמעלה:

1) מצא את ערכי הפונקציה ב נקודות קריטיות, ששייכים לפלח הזה.

תפוס עוד טוב אחד: אין צורך לבדוק תנאי מספיק לקיצוניות, שכן, כפי שהוצג זה עתה, נוכחות של מינימום או מקסימום עדיין לא מובטחמהו הערך המינימלי או המקסימלי. פונקציית ההדגמה מגיעה למקסימום, ולפי רצון הגורל, אותו מספר הוא הערך הגדול ביותר של הפונקציה במרווח . אבל, כמובן, צירוף מקרים כזה לא תמיד מתרחש.

לכן, בשלב הראשון, מהיר יותר וקל יותר לחשב את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות השייכות למקטע, מבלי להטריד אם יש להם קיצוניות או לא.

2) אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע.

3) מבין ערכי הפונקציה שנמצאו בפסקאות 1 ו-2, אנו בוחרים את הקטן והכי הרבה מספר גדול, רשום את התשובה.

אנחנו מתיישבים על החוף ים כחולופגע בעקבים במים רדודים:

דוגמה 1

מצא את הגדול ו הערך הקטן ביותרמתפקד על המרווח

פִּתָרוֹן:
1) חשב את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות השייכות לקטע זה:

הבה נחשב את ערך הפונקציה בנקודה הקריטית השנייה:

2) חשב את ערכי הפונקציה בקצות הקטע:

3) התקבלו תוצאות "מודגשות" עם אקספוננציאלים ולוגריתם, מה שמקשה באופן משמעותי על ההשוואה ביניהם. מסיבה זו, נתחמש במחשבון או באקסל ונחשב את הערכים המשוערים, מבלי לשכוח כי:

עכשיו הכל ברור.

תשובה:

דוגמה שברית-רציונלית לפתרון עצמאי:

דוגמה 6

מצא את הערכים המקסימליים והמינימליים של פונקציה בקטע

הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה

הערך הגדול ביותר של פונקציה נקרא הגדול ביותר, הערך הקטן ביותר הוא הקטן מכל ערכיה.

לפונקציה יכול להיות רק ערך אחד גדול ורק אחד קטן ביותר, או שלא יהיה לו בכלל. מציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר פונקציות רציפותמבוסס על המאפיינים הבאים של פונקציות אלה:

1) אם במרווח כלשהו (סופי או אינסופי) הפונקציה y=f(x) היא רציפה ויש לה רק קיצון אחד, ואם זה המקסימום (מינימום), אז זה יהיה הערך הגדול (הקטן ביותר) של הפונקציה במרווח זה.

2) אם הפונקציה f(x) רציפה בקטע כלשהו, ​​אז בהכרח יש לה את הערכים הגדולים והקטנים ביותר בקטע זה. לערכים אלו מגיעים או בנקודות הקיצון השוכנות בתוך הקטע, או בגבולות הקטע הזה.

כדי למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר בקטע, מומלץ להשתמש בסכימה הבאה:

1. מצא את הנגזרת.

2. מצא את הנקודות הקריטיות של הפונקציה שבהן =0 או לא קיים.

3. מצא את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות ובקצות הקטע ובחר מתוכם את ה-f max הגדול וה-f min הקטן ביותר.

בעת פתרון בעיות יישומיות, בפרט בעיות אופטימיזציה, חשובות הבעיות של מציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר (מקסימום גלובלי ומינימום גלובלי) של פונקציה במרווח X. כדי לפתור בעיות כאלה, יש, בהתבסס על התנאי , בחר משתנה בלתי תלוי ובטא את הערך הנחקר באמצעות משתנה זה. לאחר מכן מצא את הערך המקסימלי או המינימלי הרצוי של הפונקציה המתקבלת. במקרה זה, מרווח השינוי של המשתנה הבלתי תלוי, שיכול להיות סופי או אינסופי, נקבע גם הוא ממצב הבעיה.

דוגמא.המיכל, שצורתו מקבילית מלבני עם תחתית מרובעת, פתוחה בחלקו העליון, חייב להיות מפח מבפנים בפח. מה צריך להיות הממדים של מיכל עם קיבולת של 108 ליטר. מים כך שעלות הפח שלו תהיה הנמוכה ביותר?

פִּתָרוֹן.עלות ציפוי המיכל בפח תהיה הנמוכה ביותר אם, עבור קיבולת נתונה, פני השטח שלו מינימליים. סמן ב-dm - דופן הבסיס, b dm - גובה המיכל. ואז השטח S של פני השטח שלו שווה ל

ו

היחס המתקבל קובע את הקשר בין שטח הפנים של המיכל S (פונקציה) לבין הצד של הבסיס a (טיעון). אנו חוקרים את הפונקציה S עבור נקודת קיצון. מצא את הנגזרת הראשונה, השווה אותה לאפס ופתור את המשוואה שהתקבלה:

לפיכך a = 6. (א) > 0 עבור a > 6, (א)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

דוגמא. מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בין לבין.

פִּתָרוֹן: הגדר פונקציהרציף על כל קו המספרים. נגזרת פונקציה

נגזרת ב ובשעה . בואו נחשב את ערכי הפונקציה בנקודות הבאות:

.

ערכי הפונקציה בקצות המרווח הנתון שווים ל. לכן, הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא ב , הערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא ב .

שאלות לבדיקה עצמית

1. נסח את הכלל של L'Hopital לחשיפת אי הוודאות של הטופס. רשום את סוגי אי הוודאות השונים שעבורם ניתן להשתמש בחוק של L'Hospital.

2. נסח סימנים של תפקוד עולה ויורד.

3. הגדר את המקסימום והמינימום של פונקציה.

4. ניסוח תנאי הכרחיקיומו של קיצון.

5. אילו ערכים של הטיעון (אילו נקודות) נקראים קריטיים? איך למצוא את הנקודות הללו?

6. מהם סימנים מספיקים לקיומו של קיצון של פונקציה? תאר סכימה ללימוד פונקציה עבור קיצון באמצעות הנגזרת הראשונה.

7. תאר את הסכימה ללימוד הפונקציה של קיצון באמצעות הנגזרת השנייה.

8. הגדירו קמורות, קיעור של עקומה.

9. מהי נקודת הפיתול של גרף פונקציות? ציין כיצד למצוא את הנקודות הללו.

10. נסח את הסימנים ההכרחיים והמספיקים לקמורות וקיעור של העקומה על קטע נתון.

11. הגדר את האסימפטוטה של ​​העקומה. כיצד למצוא את האסימפטוטות האנכיות, האופקיות והאלכסוניות של גרף פונקציות?

12. מדינה תכנית כלליתלימוד הפונקציה והבנייה של הגרף שלו.

13. נסח כלל למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה במרווח נתון.

תהליך מציאת הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה על קטע מזכיר טיסה מרתקת סביב אובייקט (גרף של פונקציה) במסוק תוך ירי מתותח ארוך טווח בנקודות מסוימות ובחירה מתוך נקודות אלה נקודות מאוד מיוחדות עבור יריות שליטה. הנקודות נבחרות בצורה מסוימת ולפי חוקים מסוימים. לפי אילו כללים? עוד נדבר על זה.

אם הפונקציה y = ו(איקס) מתמשך במרווח [ א, ב] , ואז הוא מגיע לקטע הזה הכי פחות ו הערכים הגבוהים ביותר . זה יכול לקרות גם ב נקודות קיצוןאו בסוף הקטע. לכן, למצוא הכי פחות ו הערכים הגדולים ביותר של הפונקציה , רציף על הקטע [ א, ב] , עליך לחשב את הערכים שלו בסך הכל נקודות קריטיותובקצה הקטע, ולאחר מכן בחר את הקטן והגדול שבהם.

תן, למשל, זה נדרש לקבוע את הערך המרבי של הפונקציה ו(איקס) על הקטע [ א, ב] . כדי לעשות זאת, מצא את כל הנקודות הקריטיות שלו מונחות על [ א, ב] .

נקודה קריטית נקרא הנקודה שבה פונקציה מוגדרת, והיא נגזרהוא אפס או לא קיים. לאחר מכן עליך לחשב את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות. ולבסוף, יש להשוות את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות ובקצות הקטע ( ו(א) ו ו(ב) ). הגדול מבין המספרים הללו יהיה הערך הגדול ביותר של הפונקציה במרווח [א, ב] .

הבעיה למצוא הערכים הקטנים ביותר של הפונקציה .

אנו מחפשים את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של הפונקציה ביחד

דוגמה 1. מצא את הערכים הקטן והגדול ביותר של פונקציה על הקטע [-1, 2] .

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו. השוו את הנגזרת לאפס () וקבלו שתי נקודות קריטיות: ו. כדי למצוא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה בקטע נתון, מספיק לחשב את ערכיה בקצות הקטע ובנקודה , מכיוון שהנקודה אינה שייכת לקטע [-1, 2] . ערכי פונקציות אלה הם הבאים: , , . מכאן נובע ערך הפונקציה הקטן ביותר(מסומן באדום בגרף למטה), שווה ל-7, מגיעים בקצה הימני של הקטע - בנקודה , ו הגדול ביותר(גם אדום בגרף), שווה ל-9, - בנקודה הקריטית .

אם הפונקציה רציפה במרווח מסוים והמרווח הזה אינו קטע (אלא הוא, למשל, מרווח; ההבדל בין מרווח לקטע: נקודות הגבול של המרווח אינן נכללות במרווח, אלא נקודות הגבול של הקטע כלולות בקטע), אז בין ערכי הפונקציה ייתכן שלא יהיו הקטן והגדול ביותר. כך, למשל, הפונקציה המתוארת באיור למטה היא רציפה על ]-∞, +∞[ ואין לה את הערך הגדול ביותר.

עם זאת, עבור כל מרווח (סגור, פתוח או אינסופי), התכונה הבאה של פונקציות רציפות מתקיימת.

דוגמה 4. מצא את הערכים הקטן והגדול ביותר של פונקציה על הקטע [-1, 3] .

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו כנגזרת של המנה:

.

אנחנו משווים את הנגזרת לאפס, מה שנותן לנו אחד נקודה קריטית: . זה שייך למרווח [-1, 3] . כדי למצוא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה בקטע נתון, אנו מוצאים את ערכיה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית שנמצאה:

בואו נשווה את הערכים הללו. מסקנה: שווה ל-5/13, בנקודה ו הערך הגדול ביותרשווה ל-1 בנקודה.

אנו ממשיכים לחפש את הערכים הקטן והגדול ביותר של הפונקציה ביחד

יש מורים שבנושא מציאת הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה, לא נותנים לתלמידים דוגמאות מסובכות יותר מאלה שנחשבו כרגע, כלומר, כאלו שבהן הפונקציה היא פולינום או שבר, המונה. והמכנה שלהם הם פולינומים. אבל לא נגביל את עצמנו לדוגמאות כאלה, שכן בקרב המורים יש אוהבי לגרום לתלמידים לחשוב במלואם (טבלת נגזרות). לכן, הלוגריתם והפונקציה הטריגונומטרית ישמשו.

דוגמה 6. מצא את הערכים הקטן והגדול ביותר של פונקציה על הקטע .

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו כ נגזרת של המוצר :

אנו משווים את הנגזרת לאפס, מה שנותן נקודה קריטית אחת: . זה שייך לפלח. כדי למצוא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה בקטע נתון, אנו מוצאים את ערכיה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית שנמצאה:

התוצאה של כל הפעולות: הפונקציה מגיעה לערך המינימלי שלה, שווה ל-0, בנקודה ובנקודה ו הערך הגדול ביותרשווה ל ה², בנקודה.

דוגמה 7. מצא את הערכים הקטן והגדול ביותר של פונקציה על הקטע .

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו:

השווה את הנגזרת לאפס:

הנקודה הקריטית היחידה שייכת לקטע. כדי למצוא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של פונקציה בקטע נתון, אנו מוצאים את ערכיה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית שנמצאה:

סיכום: הפונקציה מגיעה לערך המינימלי שלה, שווה ל , בנקודה ו הערך הגדול ביותר, שווה ל , בנקודה .

בבעיות קיצוניות יישומיות, מציאת ערכי הפונקציה הקטנים (הגדולים) ביותר, ככלל, מצטמצמת למציאת המינימום (המקסימום). אבל לא המינימום או המקסימום עצמם הם בעלי עניין מעשי גדול יותר, אלא ערכי הטיעון שבו הם מושגים. בעת פתרון בעיות יישומיות, מתעורר קושי נוסף - הידור של פונקציות המתארות את התופעה או התהליך הנבדקים.

דוגמה 8מיכל בנפח 4, בעל צורת מקבילית עם בסיס מרובע ופתוח בחלקו העליון, חייב להיות מפח. מה צריך להיות מידות המיכל על מנת לכסות אותו בכמות הכי קטנה של חומר?

פִּתָרוֹן. לתת איקס- צד הבסיס ח- גובה הטנק, ס- שטח הפנים שלו ללא כיסוי, V- הנפח שלו. שטח הפנים של המיכל מבוטא בנוסחה, כלומר. היא פונקציה של שני משתנים. להביע סכפונקציה של משתנה אחד, אנו משתמשים בעובדה שממנו . החלפת הביטוי המצוי חלתוך הנוסחה עבור ס:

הבה נבחן פונקציה זו עבור קיצון. הוא מוגדר וניתן להבדיל בכל מקום ב-]0, +∞[, ו

.

נשווה את הנגזרת לאפס () ונמצא את הנקודה הקריטית. בנוסף, ב-, הנגזרת אינה קיימת, אך ערך זה אינו נכלל בתחום ההגדרה ולכן אינו יכול להיות נקודת קיצון. אז, - הנקודה הקריטית היחידה. הבה נבדוק את נוכחותו של קיצון באמצעות הקריטריון השני מספיק. בואו נמצא את הנגזרת השנייה. כאשר הנגזרת השנייה גדולה מאפס (). זה אומר שכאשר הפונקציה מגיעה למינימום . בגלל זה מינימום - הקצה היחיד של פונקציה זו, זה הערך הקטן ביותר שלה. אז, הצד של בסיס הטנק צריך להיות שווה ל -2 מ', וגובהו.

דוגמה 9מתוך פסקה א, הממוקם על קו הרכבת, לנקודה עם, במרחק ממנו ל, יש להעביר סחורה. עלות הובלת יחידת משקל ליחידת מרחק ברכבת שווה ל , ולפי כביש מהיר היא שווה ל . לאיזה נקודה Mשורות מסילת רכבתצריך לבנות כביש מהיר כך שהובלת סחורות מ א V עםהיה החסכוני ביותר א.במניחים שהרכבת ישרה)?

כיצד למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בקטע?

לזה אנו פועלים לפי האלגוריתם הידוע:

1 . אנו מוצאים פונקציות ODZ.

2 . מציאת הנגזרת של פונקציה

3 . השווה את הנגזרת לאפס

4 . אנו מוצאים את המרווחים שבהם הנגזרת שומרת על הסימן, ומתוכם אנו קובעים את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה:

אם על המרווח I הנגזרת של הפונקציה 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} עולה במרווח זה.

אם על המרווח I הנגזרת של הפונקציה , אז הפונקציה פוחת במרווח זה.

5 . אנחנו מוצאים נקודות מקסימום ומינימום של הפונקציה.

IN הפונקציה נקודת המקסימום, הנגזרת משנה את הסימן מ-"+" ל-"-".

IN נקודת מינימום של הפונקציההנגזרת משנה את הסימן מ-"-" ל-"+".

6 . אנו מוצאים את הערך של הפונקציה בקצות הקטע,

• לאחר מכן נשווה את הערך של הפונקציה בקצות הקטע ובנקודות המקסימום, ו בחר את הגדול שבהם אם אתה צריך למצוא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה
• או שאנו משווים את ערך הפונקציה בקצות הקטע ובנקודות המינימום, ו בחר את הקטן שבהם אם אתה צריך למצוא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה

עם זאת, בהתאם לאופן שבו הפונקציה מתנהגת במרווח, אלגוריתם זה יכול להיות מופחת באופן משמעותי.

שקול את הפונקציה . הגרף של פונקציה זו נראה כך:

הבה נבחן מספר דוגמאות לפתרון בעיות מבנק המשימות הפתוח עבור

1 . משימה B15 (#26695)

על החתך.

1. הפונקציה מוגדרת עבור כל הערכים האמיתיים של x

ברור שלמשוואה זו אין פתרונות, והנגזרת חיובית עבור כל הערכים של x. לכן, הפונקציה גדלה ומקבלת את הערך הגדול ביותר בקצה הימני של המרווח, כלומר ב-x=0.

תשובה: 5.

2 . משימה B15 (מס' 26702)

מצא את הערך הגדול ביותר של פונקציה על הקטע.

פונקציית 1.ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

הנגזרת היא אפס ב-, עם זאת, בנקודות אלה היא לא משנה סימן:

לכן, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} גדל ולוקח את הערך הגדול ביותר בקצה הימני של המרווח, ב-.

כדי להבהיר מדוע הנגזרת אינה משנה סימן, אנו הופכים את הביטוי לנגזרת באופן הבא:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

תשובה: 5.

3 . משימה B15 (#26708)

מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה במרווח.

1. פונקציות ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

הבה נמקם את השורשים של המשוואה הזו על מעגל טריגונומטרי.

המרווח מכיל שני מספרים: ו

בואו נשים את השלטים. לשם כך, אנו קובעים את הסימן של הנגזרת בנקודה x=0: . כאשר עוברים דרך הנקודות והנגזרת משנה סימן.

נתאר את שינוי הסימנים של הנגזרת של הפונקציה על קו הקואורדינטות:

ברור שהנקודה היא נקודת מינימום (בה הנגזרת משנה סימן מ-"-" ל-"+"), וכדי למצוא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה במרווח, צריך להשוות את ערכי הפונקציה בנקודת המינימום ובקצה השמאלי של הקטע,.

האלגוריתם הסטנדרטי לפתרון משימות כאלה כולל, לאחר מציאת האפסים של הפונקציה, קביעת סימני הנגזרת במרווחים. לאחר מכן חישוב הערכים בנקודות המצוי של המקסימום (או המינימום) ובגבול המרווח, תלוי באיזו שאלה נמצאת בתנאי.

אני ממליץ לך לעשות דברים קצת אחרת. למה? כתב על זה.

אני מציע לפתור משימות כאלה כדלקמן:

1. מצא את הנגזרת.
2. מצא את האפסים של הנגזרת.
3. קבע מי מהם שייך למרווח הנתון.
4. אנו מחשבים את ערכי הפונקציה על גבולות המרווח והנקודות של פריט 3.
5. אנו מסיקים מסקנה (אנו עונים על השאלה שנשאלה).

במהלך פתרון הדוגמאות שהוצגו, הפתרון לא נשקל בפירוט. משוואות ריבועיות, אתה אמור להיות מסוגל לעשות זאת. הם גם צריכים לדעת.

שקול דוגמאות:

77422. מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה y=x 3 –3x+4 על הקטע [–2;0].

בוא נמצא את האפסים של הנגזרת:

הנקודה x = –1 שייכת למרווח שצוין בתנאי.

אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות –2, –1 ו-0:

הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 6.

תשובה: 6

77425. מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 בקטע.

מצא את הנגזרת של הפונקציה הנתונה:

בוא נמצא את האפסים של הנגזרת:

הנקודה x = 2 שייכת למרווח המצוין בתנאי.

אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות 1, 2 ו-4:

הערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא -2.

תשובה: -2

77426. מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה y \u003d x 3 - 6x 2 בקטע [-3; 3].

מצא את הנגזרת של הפונקציה הנתונה:

בוא נמצא את האפסים של הנגזרת:

הנקודה x = 0 שייכת למרווח שצוין בתנאי.

אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות -3, 0 ו-3:

הערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא 0.

תשובה: 0

77429. מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 בקטע.

מצא את הנגזרת של הפונקציה הנתונה:

3x 2 - 4x + 1 = 0

אנו מקבלים את השורשים: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

רק x = 1 שייך למרווח שצוין בתנאי.

מצא את ערכי הפונקציה בנקודות 1 ו-4:

מצאנו שהערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא 3.

תשובה: 3

77430. מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 בקטע [- 4; -1].

מצא את הנגזרת של הפונקציה הנתונה:

מצא את האפסים של הנגזרת, פתור את המשוואה הריבועית:

3x 2 + 4x + 1 = 0

בואו ניקח את השורשים:

השורש х = –1 שייך למרווח שצוין בתנאי.

מצא את ערכי הפונקציה בנקודות –4, –1, –1/3 ו-1:

מצאנו שהערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 3.

תשובה: 3

77433. מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 בקטע.

מצא את הנגזרת של הפונקציה הנתונה:

מצא את האפסים של הנגזרת, פתור את המשוואה הריבועית:

3x 2 - 2x - 40 = 0

בואו ניקח את השורשים:

השורש x = 4 שייך למרווח שצוין בתנאי.

אנו מוצאים את ערכי הפונקציה בנקודות 0 ו-4:

מצאנו שהערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא -109.

תשובה: -109

שקול שיטה לקביעת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציות ללא נגזרת. ניתן להשתמש בגישה זו אם עם ההגדרה של הנגזרת יש לך בעיות גדולות. העיקרון פשוט - אנו מחליפים את כל ערכי המספרים השלמים מהמרווח לתוך הפונקציה (העובדה היא שבכל אבות טיפוס כאלה התשובה היא מספר שלם).

77437. מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה y \u003d 7 + 12x - x 3 בקטע [-2; 2].

אנו מחליפים נקודות מ-2 ל-2: צפה בפתרון

77434. מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 בקטע [-2; 0].

זה הכל. בהצלחה לך!

בברכה, אלכסנדר קרוטיסקיך.

נ.ב: אודה לך אם תספר על האתר ברשתות החברתיות.