מאמר זה הוא אוסף של מידע מפורט העוסק בנושא מאפיינים של שורשים. בהתחשב בנושא, נתחיל במאפיינים, נלמד את כל הניסוחים ונביא הוכחות. כדי לגבש את הנושא, נשקול את המאפיינים של התואר ה-n.

Yandex.RTB R-A-339285-1

מאפייני שורש

נדבר על נכסים.

1. תכונה מספרים מוכפלים או ב, אשר מיוצג כשוויון a · b = a · b . זה יכול להיות מיוצג כמכפילים, חיוביים או שווה לאפס a 1 , a 2 , … , a kכ-1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k;
2. מפרטי a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, ניתן לכתוב גם בצורה זו a b = a b ;
3. קניין מחזקת מספר אעם מעריך זוגי a 2 m = a m עבור כל מספר א, למשל, תכונה מהריבוע של מספר a 2 = a .

בכל אחת מהמשוואות המוצגות, אתה יכול להחליף את החלקים לפני ואחרי סימן המקף, לדוגמה, השוויון a · b = a · b משתנה כ- a · b = a · b . מאפייני שוויון משמשים לעתים קרובות כדי לפשט משוואות מורכבות.

הוכחת המאפיינים הראשונים מבוססת על הגדרת השורש הריבועי ותכונות החזקות עם אינדיקטור טבעי. כדי לבסס את התכונה השלישית, יש צורך להתייחס להגדרת המודולוס של מספר.

קודם כל, יש צורך להוכיח את תכונות השורש הריבועי a · b = a · b . על פי ההגדרה, יש לקחת בחשבון ש- b הוא מספר חיובי או שווה לאפס שיהיה שווה ל א בבמהלך בניה לתוך ריבוע. ערכו של הביטוי a · b חיובי או שווה לאפס כמכפלה של מספרים לא שליליים. המאפיין של דרגת המספרים המוכפלים מאפשר לנו לייצג שוויון בצורה (a · b) 2 = a 2 · b 2 . לפי הגדרת השורש הריבועי a 2 \u003d a ו- b 2 \u003d b, ואז a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

באופן דומה, אפשר להוכיח זאת מהמוצר קמכפילים a 1 , a 2 , … , a kישתווה למוצר שורשים ריבועייםמהמכפילים הללו. אכן, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

מהשוויון הזה עולה כי a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

בואו נסתכל על כמה דוגמאות כדי לחזק את הנושא.

דוגמה 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 ו 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0. 2 (1) .

יש צורך להוכיח את התכונה של השורש הריבועי האריתמטי של המנה: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. המאפיין מאפשר לך לכתוב את השוויון a: b 2 = a 2: b 2, ו-a 2: b 2 = a: b , בעוד a: b הוא מספר חיובי או שווה לאפס. ביטוי זה יהיה ההוכחה.

לדוגמה, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ו-30, 121 = 30, 121.

שקול את המאפיין של השורש הריבועי של הריבוע של מספר. ניתן לכתוב אותו כשוויון כ-2 = a כדי להוכיח תכונה זו, יש צורך לשקול בפירוט מספר שוויון עבור a ≥ 0ובשעה א< 0 .

ברור, עבור a ≥ 0, השוויון a 2 = a נכון. בְּ א< 0 השוויון a 2 = - a יהיה נכון. בעצם, במקרה הזה − a > 0ו (− א) 2 = a 2 . אנו יכולים להסיק כי a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

בואו נסתכל על כמה דוגמאות.

דוגמה 2

5 2 = 5 = 5 ו - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .

הרכוש המוכח יעזור להצדיק 2 m = a m , שבו א- אמיתי, ו M –מספר טבעי. אכן, תכונת האקספונציה מאפשרת לנו להחליף את התואר 2 מ'ביטוי (בוקר) 2, ואז a 2 · m = (a m) 2 = a m .

דוגמה 3

3 8 = 3 4 = 3 4 ו- (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

תכונות של השורש ה-n

ראשית עליך לשקול את המאפיינים העיקריים של שורשי התואר ה-n:

1. תכונה ממכפלת המספרים או ב, שהם חיוביים או שווה לאפס, ניתן לבטא כשוויון a b n = a n b n , תכונה זו תקפה עבור המכפלה קמספרים a 1 , a 2 , … , a kכ-1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. מ מספר חלקייש את המאפיין a b n = a n b n , שבו אהוא כל מספר ממשי שהוא חיובי או שווה לאפס, ו בהוא מספר אמיתי חיובי;
3. לכל אומספרים זוגיים n = 2 מ' a 2 m 2 m = a הוא נכון, ועבור אי-זוגי n = 2 מ' - 1השוויון a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a מתקיים.
4. מאפיין חילוץ מ- a m n = a n m , שבו א- כל מספר, חיובי או שווה לאפס, נו Mהם מספרים טבעיים, תכונה זו יכולה להיות מיוצגת גם כ . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . נק ;
5. לכל א' לא שלילי ושרירותי נו M, שהם טבעיים, אפשר גם להגדיר את השוויון ההוגן a m n · m = a n ;
6. נכס לתואר נמחזקת מספר א, שהוא חיובי או שווה לאפס, בעין M, מוגדר על ידי השוויון a m n = a n m ;
7. מאפיין השוואה שיש להם אותם מעריכים: לכל מספרים חיוביים או בכך ש א< b , אי השוויון א נ< b n ;
8. תכונה של השוואות שיש להן אותם מספרים מתחת לשורש: אם Mו n-מספרים טבעיים ש מ > נ, ואז ב 0 < a < 1 אי השוויון a m > a n תקף, ועבור a > 1א מ< a n .

המשוואות לעיל תקפות אם החלקים לפני ואחרי סימן השוויון הפוכים. ניתן להשתמש בהם גם בצורה זו. זה משמש לעתים קרובות במהלך פישוט או טרנספורמציה של ביטויים.

ההוכחה לתכונות השורש לעיל מבוססת על ההגדרה, תכונות התואר והגדרת המודולוס של מספר. יש להוכיח תכונות אלו. אבל הכל מסודר.

1. קודם כל, נוכיח את תכונות השורש של המעלה ה-n מהמכפלה a · b n = a n · b n . ל או ב, אשרהם חיובי או אפס , גם הערך a n · b n חיובי או שווה לאפס, מכיוון שהוא תוצאה של הכפל של מספרים לא שליליים. התכונה של תוצר כוח טבעי מאפשר לנו לכתוב את השוויון a n · b n n = a n n · b n n . לפי הגדרת השורש נהתואר a n n = a ו-b n n = b, לכן, a n · b n n = a · b. השוויון שנוצר הוא בדיוק מה שנדרש להוכחה.

תכונה זו הוכחה באופן דומה עבור המוצר קגורמים: עבור מספרים לא שליליים a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

להלן דוגמאות לשימוש במאפיין השורש נהחזקה מהמוצר: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ו-8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. הבה נוכיח את המאפיין של שורש המנה a b n = a n b n . בְּ a ≥ 0ו b > 0מתקיים התנאי a n b n ≥ 0, ו- a n b n n = a n n b n n = a b .

בואו נראה דוגמאות:

דוגמה 4

8 27 3 = 8 3 27 3 ו-2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. לשלב הבא, יש צורך להוכיח את תכונות המעלה ה-n מהמספר ועד המעלה נ. אנו מייצגים זאת כשוויון של 2 מ' 2 מ' = a ו- 2 מ' - 1 2 מ' - 1 = a עבור כל ממשי אוטבעי M. בְּ a ≥ 0נקבל a = a ו- a 2 m = a 2 m , מה שמוכיח שהשוויון a 2 m 2 m = a , והשוויון a 2 m - 1 2 m - 1 = a ברור. בְּ א< 0 נקבל בהתאמה a = - a ו- 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . ההמרה האחרונה של המספר תקפה לפי תכונת התואר. זה מה שמוכיח שהשוויון של 2 מ' 2 מ' \u003d a, ו- 2 מ' - 1 2 מ' - 1 \u003d א יהיה נכון, שכן - c 2 מ' - 1 \u003d - c 2 מ' נחשב אי-זוגי תואר - 1 עבור כל מספר ג ,חיובי או שווה לאפס.

על מנת לאחד את המידע שהתקבל, שקול כמה דוגמאות לשימוש בנכס:

דוגמה 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 ו- (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. הבה נוכיח את השוויון הבא a m n = a n · m . לשם כך, עליך לשנות את המספרים לפני סימן השוויון ואחריו במקומות a n · m = a m n . זה יציין את הערך הנכון. ל א ,שזה חיובי או שווה לאפס , מהצורה a m n הוא מספר חיובי או שווה לאפס. נפנה לנכס של העלאת כוח לכוח ולהגדרה. בעזרתם תוכלו להפוך שוויון בצורה a m n n · m = a m n n m = a m m = a . זה מוכיח את התכונה הנחשבת של שורש משורש.

מאפיינים אחרים מוכחים באופן דומה. באמת, . . . א ן ק ן 2 ן 1 ן 1 ן 2 . . . נק = . . . א ן ק ן 3 ן 2 ן 2 ן 3 . . . נק = . . . א נק ן 4 ן 3 ן 3 ן 4 . . . נק = . . . = a n k n k = a .

לדוגמה, 7 3 5 = 7 5 3 ו-0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. הבה נוכיח את התכונה הבאה a m n · m = a n . לשם כך, יש צורך להראות ש-n הוא מספר חיובי או שווה לאפס. כאשר מועלים לחזקה n m הוא א מ. אם מספר אאם כך הוא חיובי או אפס נתואר מקרב אהוא מספר חיובי או שווה לאפס יתר על כן, a n · m n = a n n m , שהיה צריך להוכיח.

על מנת לגבש את הידע הנרכש, שקול כמה דוגמאות.

1. הבה נוכיח את התכונה הבאה - תכונת שורש החזקה של הצורה a m n = a n m . ברור שבשעה a ≥ 0התואר a n m הוא מספר לא שלילי. יתר על כן, היא נ-הדרגה שווה ל א מ, אכן, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . זה מוכיח את המאפיין הנחשב של התואר.

לדוגמה, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. אנחנו צריכים להוכיח את זה עבור כל מספר חיובי או ב א< b . שקול את אי השוויון a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию א< b . לכן, נ< b n при א< b .

לדוגמה, אנו נותנים 12 4< 15 2 3 4 .

1. שקול את תכונת השורש נ-תואר ראשון. ראשית, שקול את החלק הראשון של אי השוויון. בְּ מ > נו 0 < a < 1 נכון a m > a n. נניח a m ≤ a n. מאפיינים יפשטו את הביטוי ל- a n m · n ≤ a m m · n . ואז, לפי המאפיינים של תואר עם מעריך טבעי, מתקיים אי השוויון a n m n m n ≤ a m m n m n, כלומר, a n ≤ a m. הערך שהושג ב מ > נו 0 < a < 1 אינו תואם את המאפיינים שלמעלה.

באותו אופן, אפשר להוכיח זאת מ > נו a > 1מצב א מ< a n .

על מנת לתקן את המאפיינים לעיל, שקול כמה דוגמאות קונקרטיות. שקול אי שוויון באמצעות מספרים ספציפיים.

דוגמה 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

וידאו שיעור 2: מאפייני שורש של תואר n > 1

הַרצָאָה: שורש מדרגה n > 1 ותכונותיו

שורש

נניח שיש לך משוואה כמו:

הפתרון למשוואה זו יהיה x 1 \u003d 2 ו-x 2 \u003d (-2). שני הפתרונות מתאימים כתשובה, שכן מספרים בעלי מודולים שווים, כאשר מועלים לחזקה זוגית, נותנים את אותה תוצאה.

זו הייתה דוגמה פשוטה, אבל מה אנחנו יכולים לעשות אם, למשל,

בואו ננסה לצייר גרף של הפונקציה y=x 2 . הגרף שלו הוא פרבולה:

על הגרף, עליך למצוא נקודות המתאימות לערך y \u003d 3. נקודות אלה הן:

המשמעות היא שלא ניתן לקרוא לערך הזה מספר שלם, אלא ניתן לייצג אותו כשורש ריבועי.

כל שורש הוא מספר לא רציונלי. מספרים אי-רציונליים כוללים שורשים, שברים אינסופיים שאינם מחזוריים.

שורש ריבועיהוא מספר לא שלילי "a", שהביטוי הרדיקלי שלו שווה למספר הנתון "a" בריבוע.

לדוגמה,

כלומר, כתוצאה מכך נקבל רק ערך חיובי. עם זאת, כפתרון משוואה ריבועיתסוג

הפתרון יהיה x 1 = 4, x 2 = (-4).

מאפייני שורש ריבועי

1. לא משנה מה ערך x לוקח, הביטוי הזה נכון בכל מקרה:

2. השוואה של מספרים המכילים שורש ריבועי. כדי להשוות מספרים אלה, יש צורך להזין גם את המספר האחד וגם את המספר השני תחת סימן השורש. המספר הזה יהיה גדול יותר שהביטוי הרדיקלי שלו גדול יותר.

נזין את המספר 2 מתחת לסימן השורש

עכשיו בואו נשים את המספר 4 מתחת לסימן השורש. כתוצאה מכך, אנו מקבלים

ורק עכשיו ניתן להשוות את שני הביטויים שהתקבלו:

3. הסרת המכפיל מתחת לשורש.

אם ניתן לפרק את הביטוי הרדיקלי לשני גורמים, שאחד מהם ניתן להוציא מהתת-סימן של השורש, אז יש להשתמש בכלל זה.

4. יש תכונה הפוכה לזה - הכנסת מכפיל מתחת לשורש. ברור שהשתמשנו בנכס הזה בנכס השני.

הפרטיות שלך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא קרא את מדיניות הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם לזיהוי אדם מסויםאו קשר איתו.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר וליידע אותך לגבי הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח לך הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם תצטרף להגרלת פרס, לתחרות או תמריץ דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

חשיפה לצדדים שלישיים

איננו חושפים מידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במידת הצורך - בהתאם לחוק, לצו השיפוטי, בהליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות הציבור מאת סוכנויות ממשלתיותבשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או אינטרס ציבורי אחר.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים ליורש הצד השלישי הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם מפני גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

שמירה על פרטיותך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים לעובדים שלנו נוהלי פרטיות ואבטחה ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

ניתנות המאפיינים העיקריים של פונקציית החזקה, כולל נוסחאות ומאפיינים של השורשים. מוצגים ההרחבה והייצוג של סדרת החזקה, הנגזרת, האינטגרל, באמצעות מספרים מרוכבים של פונקציית החזקה.

הַגדָרָה

הַגדָרָה
פונקציית כוח עם מעריך pהיא הפונקציה f (x) = xp, שערכו בנקודה x שווה לערך הפונקציה המעריכית עם בסיס x בנקודה p .
בנוסף, ו (0) = 0 p = 0עבור p > 0 .

עבור ערכים טבעיים של המעריך, פונקציית החזקה היא המכפלה של n מספרים השווים ל-x:
.
זה מוגדר עבור כל אמיתי.

עבור ערכים רציונליים חיוביים של המעריך, פונקציית החזקה היא המכפלה של n שורשים ממעלה מ' מהמספר x:
.
עבור m אי זוגי, הוא מוגדר עבור כל x אמיתי. עבור אפילו m , פונקציית החזקה מוגדרת עבור לא שלילי .

עבור שלילי, פונקציית החזקה מוגדרת על ידי הנוסחה:
.
לכן, זה לא מוגדר בשלב .

עבור ערכים אי-רציונליים של המעריך p, הפונקציה המעריכית נקבעת על ידי הנוסחה:
,
כאשר a הוא מספר חיובי שרירותי שאינו שווה לאחד:.
עבור , הוא מוגדר עבור .
עבור , פונקציית העוצמה מוגדרת עבור .

הֶמשֵׁכִיוּת. פונקציית כוח היא רציפה בתחום ההגדרה שלה.

מאפיינים ונוסחאות של פונקציית החזקה עבור x ≥ 0

כאן אנו רואים את המאפיינים של פונקציית החזקה עבור ערכים לא שליליים של הארגומנט x . כפי שהוזכר לעיל, עבור חלק מהערכים של המעריך p, הפונקציה המעריכית מוגדרת גם עבור ערכים שליליים של x . במקרה זה, ניתן לקבל את המאפיינים שלו מהמאפיינים ב-, באמצעות זוגיות זוגית או אי זוגית. מקרים אלו נדונים ומומחשים בפירוט בעמוד "".

לפונקציית חזקה, y = x p , עם מעריך p יש את המאפיינים הבאים:
(1.1) מוגדר ורציף על הסט
ב,
ב ;
(1.2) בעל משמעויות רבות
ב,
ב ;
(1.3) עולה בקפדנות ב,
יורד בקפדנות ב ;
(1.4) ב ;
ב ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

הוכחת המאפיינים ניתנת בדף Power Function (הוכחת המשכיות ומאפיינים).

שורשים - הגדרה, נוסחאות, מאפיינים

הַגדָרָה
שורש x בחזקת nהוא המספר שהעלאתו בחזקת n נותן x:
.
כאן n = 2, 3, 4, ... הוא מספר טבעי הגדול מאחד.

אפשר גם לומר ששורש המספר x של תואר n הוא השורש (כלומר הפתרון) של המשוואה
.
שימו לב שהפונקציה היא היפוך של הפונקציה.

השורש הריבועי של xהוא שורש של דרגה 2: .

שורש קובייה של xהוא שורש של דרגה 3: .

אפילו תואר

עבור עצמות זוגיות n = 2 מ', השורש מוגדר עבור x ≥ 0 . נוסחה בשימוש תכוף תקפה עבור x חיובי ושלילי כאחד:
.
לשורש ריבועי:
.

יש כאן חשיבות לסדר ביצוע הפעולות - כלומר קודם מבצעים ריבוע, וכתוצאה מכך נוצר מספר לא שלילי, ולאחר מכן מוצאים ממנו את השורש (ממספר לא שלילי אפשר לחלץ את השורש הריבועי ). אם נשנה את הסדר: , אז עבור x שלילי השורש יהיה לא מוגדר, ואיתו כל הביטוי לא מוגדר.

תואר מוזר

עבור חזקות אי-זוגיות, השורש מוגדר עבור כל x:
;
.

מאפיינים ונוסחאות של שורשים

השורש של x הוא פונקציית חזקה:
.
עבור x ≥ 0 הנוסחאות הבאות מתקיימות:
;
;
, ;
.

ניתן ליישם נוסחאות אלו גם עבור ערכים שליליים של המשתנים. צריך רק לוודא שהביטוי הרדיקלי של סמכויות אפילו לא יהיה שלילי.

ערכים פרטיים

השורש של 0 הוא 0: .
השורש של 1 הוא 1: .
השורש הריבועי של 0 הוא 0: .
השורש הריבועי של 1 הוא 1: .

דוגמא. שורש משורשים

שקול את הדוגמה של השורש הריבועי של השורשים:
.
המר את השורש הריבועי הפנימי באמצעות הנוסחאות לעיל:
.
עכשיו בואו נשנה את השורש המקורי:
.
כך,
.

y = x p עבור ערכים שונים של המעריך p .

להלן הגרפים של הפונקציה עבור ערכים לא שליליים של ארגומנט x. גרפים של פונקציית הכוח המוגדרת עבור ערכים שליליים של x ניתנים בעמוד "פונקציית כוח, המאפיינים והגרפים שלה"

פונקציה הפוכה

היפוך של פונקציית חזקה עם מעריך p הוא פונקציית חזקה עם מעריך 1/p .

אם, אז.

נגזרת פונקציית הכוח

נגזרת מהסדר ה-n:
;

גזירת נוסחאות > > >

אינטגרל של פונקציית כוח

P≠- 1 ;
.

הרחבת סדרת הכוח

ב- 1 < x < 1 מתרחש הפירוק הבא:

ביטויים במונחים של מספרים מרוכבים

שקול פונקציה של משתנה מורכב z:
ו (z) = z t.
אנו מבטאים את המשתנה המורכב z במונחים של המודול r והארגומנט φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
אנו מייצגים את המספר המרוכב t כחלקים ממשיים ודמיוניים:
t = p + i q.
יש לנו:

יתר על כן, אנו לוקחים בחשבון שהטיעון φ אינו מוגדר באופן ייחודי:
,

שקול את המקרה כאשר q = 0 , כלומר, המעריך הוא מספר ממשי, t = p. לאחר מכן
.

אם p הוא מספר שלם, אז kp הוא גם מספר שלם. לאחר מכן, בשל המחזוריות של פונקציות טריגונומטריות:
.
זה פונקציה מעריכיתעם מעריך שלם, עבור z נתון, יש רק ערך אחד ולכן הוא בעל ערך יחיד.

אם p הוא לא רציונלי, אז התוצרים של kp אינם נותנים מספר שלם עבור כל k. מכיוון ש-k עוברת בסדרה אינסופית של ערכים k = 0, 1, 2, 3, ..., אז לפונקציה z p יש אינסוף ערכים. בכל פעם שהארגומנט z מוגדל 2 π(סיבוב אחד), אנו עוברים לענף חדש של הפונקציה.

אם p הוא רציונלי, אז זה יכול להיות מיוצג כך:
, איפה מ,נ- שלם, לא מכיל מחלקים משותפים. לאחר מכן
.
n ערכים ראשונים, עבור k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, תן נ משמעויות שונות kp:
.
עם זאת, ערכים הבאים נותנים ערכים שונים מהקודמים במספר שלם. לדוגמה, עבור k = k 0+nיש לנו:
.
פונקציות טריגונומטריות, שהטיעונים שלהם שונים בכפולות של 2 π, יש ערכים שווים. לכן, עם עלייה נוספת ב-k, נקבל את אותם ערכים של z p כמו עבור k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

לפיכך, פונקציה מעריכית עם מעריך רציונלי היא רב-ערכים ויש לה n ערכים (ענפים). בכל פעם שהארגומנט z מוגדל 2 π(סיבוב אחד), אנו עוברים לענף חדש של הפונקציה. לאחר n סיבובים כאלה, אנו חוזרים לסניף הראשון שממנו החלה הספירה לאחור.

בפרט, לשורש של תואר n יש n ערכים. כדוגמה, שקול את השורש ה-n של מספר חיובי אמיתי z = x. במקרה זה φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
אז, עבור השורש הריבועי, n = 2 ,
.
עבור אפילו k, (- 1 ) k = 1. עבור ק' אי זוגי, (- 1 ) k = - 1.
כלומר, לשורש הריבועי יש שתי משמעויות: + ו-.

הפניות:
I.N. ברונשטיין, ק.א. Semendyaev, מדריך מתמטיקה למהנדסים וסטודנטים של מוסדות חינוך גבוהים, Lan, 2009.

שיעור ומצגת בנושא: "תכונות שורש תואר נ'. משפטים"

חומרים נוספים
משתמשים יקרים, אל תשכחו להשאיר הערות, משוב, הצעות! כל החומרים נבדקים על ידי תוכנת אנטי וירוס.

עזרי הוראה וסימולטורים בחנות המקוונת "אינטגרל" לכיתה יא
מדריך אינטראקטיבי לכיתות ט'-י"א "טריגונומטריה"
מדריך אינטראקטיבי לכיתות י'-י"א "לוגריתמים"

תכונות של שורש מדרגה נ'. משפטים

חבר'ה, אנחנו ממשיכים ללמוד את השורשים של המדרגה ה-n של מספר ממשי. כמו כמעט כל אובייקטים מתמטיים, לשורשי המדרגה ה-n יש כמה תכונות, היום נלמד אותם.
כל המאפיינים שאנו רואים מנוסחים ומוכחים רק עבור ערכים לא שליליים של המשתנים הכלולים תחת סימן השורש.
במקרה של מעריך שורש אי זוגי, הם מתקיימים גם עבור משתנים שליליים.

משפט 1. השורש ה-n של המכפלה של שני מספרים לא שליליים שווה למכפלת השורשים ה-n של המספרים האלה: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( ב) $ .

בואו נוכיח את המשפט.
הוכחה. חבר'ה, כדי להוכיח את המשפט, בואו נציג משתנים חדשים, נסמן:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
אנחנו צריכים להוכיח ש$x=y*z$.
שימו לב שהזהויות הבאות מתקיימות גם:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
אז מתקיימת גם הזהות הבאה: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
המעלות של שני מספרים לא שליליים והמעריכים שלהם שווים, ואז הבסיסים של המעלות עצמם שווים. מכאן $x=y*z$, שזה מה שנדרש להוכיח.

משפט 2. אם $a≥0$, $b>0$ ו-n הוא מספר טבעי הגדול מ-1, אזי השוויון הבא מתקיים: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](א))(\sqrt[n](ב))$.

כלומר, השורש ה-n של המנה שווה למנה של השורשים ה-n.

הוכחה.
כדי להוכיח זאת, אנו משתמשים בסכימה מפושטת בצורה של טבלה:

דוגמאות לחישוב השורש ה-n

דוגמא.
חשב: $\sqrt(16*81*256)$.
פִּתָרוֹן. בואו נשתמש במשפט 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

דוגמא.
חשב: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
פִּתָרוֹן. בואו נציג את הביטוי הרדיקלי כשבר לא תקין: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
בואו נשתמש במשפט 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1) ) (2)$.

דוגמא.
לחשב:
א) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
ב) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
פִּתָרוֹן:
א) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
ב) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

משפט 3. אם $a≥0$, k ו-n הם מספרים טבעיים הגדולים מ-1, אז השוויון נכון: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

כדי להעלות שורש לכוח טבעי, מספיק להעלות את הביטוי הרדיקלי לכוח זה.

הוכחה.
בואו נשקול מקרה מיוחדעבור $k=3$. בוא נשתמש במשפט 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a) *a)=\sqrt[n](a^3)$.
ניתן להוכיח את אותו הדבר לגבי כל מקרה אחר. חבר'ה, תוכיחו זאת בעצמכם במקרה שבו $k=4$ ו-$k=6$.

משפט 4. אם $a≥0$ b n,k הם מספרים טבעיים הגדולים מ-1, אז השוויון נכון: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

כדי לחלץ שורש משורש, מספיק להכפיל את מעריכי השורשים.

הוכחה.
הבה נוכיח שוב בקצרה באמצעות הטבלה. כדי להוכיח זאת, אנו משתמשים בסכימה מפושטת בצורה של טבלה:

דוגמא.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

משפט 5. אם המדדים של השורש וביטוי השורש מוכפלים באותו מספר טבעי, אז הערך של השורש לא ישתנה: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

הוכחה.
עקרון ההוכחה למשפט שלנו זהה לזה שבדוגמאות אחרות. בואו נציג משתנים חדשים:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (בהגדרה).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (בהגדרה).
אנחנו מעלים את השוויון האחרון לחזקת p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
יש:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
כלומר, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, שהיה צריך להוכיח.

דוגמאות:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (חלקי 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (חלקי 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (כפול 3).

דוגמא.
הפעל פעולות: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
פִּתָרוֹן.
מעריצי שורש הם מספרים שונים, אז אנחנו לא יכולים להשתמש במשפט 1, אבל ביישום משפט 5 נוכל לקבל מעריכים שווים.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (כפול 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (מוכפל ב-4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

משימות לפתרון עצמאי

1. חשב: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. חשב: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. חשב:
א) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
ב) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. פשט:
א) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ב) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ג) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. בצע פעולות: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.