שלב ראשון

תואר ותכונותיו. מדריך מקיף (2019)

למה צריך תארים? איפה תצטרך אותם? למה כדאי לך לקחת את הזמן ללמוד אותם?

כדי ללמוד הכל על תארים, למה הם מיועדים, איך להשתמש בידע שלך חיי היום - יוםלקרוא את המאמר הזה.

וכמובן, ידע בתארים יקרב אותך השלמה מוצלחתבחינת OGE או Unified State וקבלה לאוניברסיטת חלומותיך.

בוא נלך בוא נלך!)

הערה חשובה! אם אתה רואה gobbledygook במקום נוסחאות, נקה את המטמון שלך. כדי לעשות זאת, הקש CTRL+F5 (ב-Windows) או Cmd+R (ב-Mac).

שלב ראשון

אקספוננציה היא פעולה מתמטית בדיוק כמו חיבור, חיסור, כפל או חילוק.

עכשיו אסביר הכל בשפה אנושית מאוד דוגמאות פשוטות. הזהר. הדוגמאות הן אלמנטריות, אבל מסבירות דברים חשובים.

נתחיל בתוספת.

אין כאן מה להסביר. אתה כבר יודע הכל: אנחנו שמונה. לכל אחד יש שני בקבוקי קולה. כמה קולה יש? נכון - 16 בקבוקים.

עכשיו כפל.

את אותה דוגמה עם קולה אפשר לכתוב אחרת: . מתמטיקאים הם אנשים ערמומיים ועצלנים. תחילה הם מבחינים בכמה דפוסים, ואז מוצאים דרך "לספור" אותם מהר יותר. במקרה שלנו, הם שמו לב שלכל אחד משמונת האנשים יש אותו מספר של בקבוקי קולה והגיעו עם טכניקה שנקראת כפל. מסכים, זה נחשב קל ומהיר יותר מאשר.

אז, כדי לספור מהר יותר, קל יותר וללא שגיאות, אתה רק צריך לזכור לוח הכפל. כמובן שאפשר לעשות הכל יותר לאט, קשה יותר ועם טעויות! אבל…

הנה לוח הכפל. חזור.

ועוד אחד, יותר יפה:

אילו עוד תרגילי ספירה חכמים העלו מתמטיקאים עצלנים? ימין - העלאת מספר לחזקה.

העלאת מספר לעוצמה

אם אתה צריך להכפיל מספר בפני עצמו חמש פעמים, אז מתמטיקאים אומרים שאתה צריך להעלות את המספר הזה לחזקה חמישית. לדוגמה, . מתמטיקאים זוכרים שכוח שני עד חמישי הוא... והם פותרים בעיות כאלה בראש - מהר יותר, קל יותר וללא טעויות.

כל מה שאתה צריך לעשות הוא זכור מה מודגש בצבע בטבלת החזקות של מספרים. תאמין לי, זה יעשה לך את החיים הרבה יותר קלים.

אגב, למה זה נקרא תואר שני? כיכרמספרים, והשלישי - קוּבִּיָה? מה זה אומר? מאוד שאלה טובה. עכשיו יהיו לך גם ריבועים וגם קוביות.

דוגמה מס' 1 לחיים האמיתיים

נתחיל בריבוע או בחזקת השנייה של המספר.

דמיינו בריכה מרובעת בגודל מטר על מטר. הבריכה נמצאת בדאצ'ה שלך. חם ואני ממש רוצה לשחות. אבל... לבריכה אין תחתית! אתה צריך לכסות את קרקעית הבריכה באריחים. כמה אריחים אתה צריך? כדי לקבוע זאת, אתה צריך לדעת את השטח התחתון של הבריכה.

אתה יכול פשוט לחשב על ידי הצבעת האצבע שתחתית הבריכה מורכבת מקוביות מטר על מטר. אם יש לך אריחים מטר על מטר אחד, תצטרך חתיכות. זה קל... אבל איפה ראית אריחים כאלה? סביר להניח שהאריח יהיה ס"מ על ס"מ. ואז תתענה על ידי "ספירה באצבע". אז צריך להכפיל. לכן, בצד אחד של תחתית הבריכה נתאים אריחים (חתיכות) וגם בצד השני אריחים. תכפילו ותקבלו אריחים ().

שמתם לב שכדי לקבוע את שטח קרקעית הבריכה הכפלנו את אותו מספר בעצמו? מה זה אומר? מכיוון שאנו מכפילים את אותו מספר, אנו יכולים להשתמש בטכניקת "אקספונציה". (כמובן, כשיש לך רק שני מספרים, אתה עדיין צריך להכפיל אותם או להעלות אותם לחזקה. אבל אם יש לך הרבה מהם, אז להעלות אותם לחזקה זה הרבה יותר קל ויש גם פחות טעויות בחישובים לבחינת המדינה המאוחדת, זה חשוב מאוד).
אז, שלושים עד החזקה השנייה יהיו (). או שנוכל לומר ששלושים בריבוע יהיו. במילים אחרות, החזקה השנייה של מספר תמיד יכולה להיות מיוצגת כריבוע. ולהיפך, אם אתה רואה ריבוע, זה תמיד החזקה השנייה של מספר כלשהו. ריבוע הוא תמונה בחזקת השנייה של מספר.

דוגמה מהחיים האמיתיים מס' 2

הנה משימה עבורכם: ספרו כמה משבצות יש על לוח השחמט באמצעות ריבוע המספר... בצד אחד של התאים וגם בצד השני. כדי לספור את מספרם, אתה צריך להכפיל שמונה בשמונה או... אם אתה שם לב לזה לוח שחמט- זה ריבוע עם צלע, אז אתה יכול ריבוע שמונה. אתה תקבל תאים. () כך?

דוגמה מס' 3 מהחיים האמיתיים

כעת הקובייה או החזקה השלישית של מספר. אותה בריכה. אבל עכשיו אתה צריך לגלות כמה מים יהיה צורך לשפוך לתוך הבריכה הזו. אתה צריך לחשב את הנפח. (נפחים ונוזלים, אגב, נמדדים ב מטר מעוקב. לא צפוי, נכון?) ציירו בריכה: תחתית בגודל מטר ועומק של מטר ונסו לספור כמה קוביות במידות של מטר על מטר יכנסו לבריכה שלכם.

רק להצביע באצבע ולספור! אחת, שתיים, שלוש, ארבע...עשרים ושתיים, עשרים ושלושה...כמה השגת? לא אבוד? קשה לספור עם האצבע? אז זה! קח דוגמה ממתמטיקאים. הם עצלנים ולכן שמו לב שכדי לחשב את נפח הבריכה צריך להכפיל זה בזה את אורכה, רוחבה וגובהה. במקרה שלנו, נפח הבריכה יהיה שווה לקוביות... יותר קל, נכון?

עכשיו תארו לעצמכם כמה מתמטיקאים עצלנים וערמומיים הם אם היו מפשטים גם את זה. צמצמנו הכל לפעולה אחת. הם שמו לב שהאורך, הרוחב והגובה שווים ושאותו מספר מוכפל בעצמו... מה זה אומר? זה אומר שאתה יכול לנצל את התואר. אז, מה שפעם ספרתם באצבע, הם עושים בפעולה אחת: שלוש קוביות זהות. כתוב כך: .

כל מה שנשאר זה זכור את טבלת המעלות. אלא אם כן, כמובן, אתה עצלן וערמומי כמו מתמטיקאים. אם אתה אוהב לעבוד קשה ולעשות טעויות, אתה יכול להמשיך לספור עם האצבע.

ובכן, כדי לשכנע אותך סוף סוף שתארים הומצאו על ידי נפטרים ואנשים ערמומיים כדי לפתור את בעיות החיים שלהם, ולא כדי ליצור עבורך בעיות, הנה עוד כמה דוגמאות מהחיים.

דוגמה בחיים האמיתיים מס' 4

יש לך מיליון רובל. בתחילת כל שנה, על כל מיליון שאתה מרוויח, אתה מרוויח עוד מיליון. כלומר, כל מיליון יש לך מכפילים בתחילת כל שנה. כמה כסף יהיה לך בעוד שנים? אם אתה יושב עכשיו ו"סופר באצבע", אז אתה אדם מאוד חרוץ ו... טיפש. אבל סביר להניח שתתן תשובה תוך כמה שניות, כי אתה חכם! אז, בשנה הראשונה - שניים מוכפלים בשניים... בשנה השנייה - מה קרה, בשניים נוספים, בשנה השלישית... עצור! שמתם לב שהמספר מוכפל בעצמו פעמים. אז שניים עד חמישית זה מיליון! עכשיו תארו לעצמכם שיש לכם תחרות ומי שיכול לספור הכי מהר יקבל את המיליונים האלה... כדאי לזכור את כוחות המספרים, אתה לא חושב?

דוגמה מהחיים האמיתיים מס' 5

יש לך מיליון. בתחילת כל שנה, על כל מיליון שאתה מרוויח, אתה מרוויח שניים נוספים. נהדר לא? כל מיליון גדל פי שלושה. כמה כסף יהיה לך בשנה? בוא נספור. בשנה הראשונה - תכפילו ב, ואז התוצאה באחר... זה כבר משעמם, כי כבר הבנתם הכל: שלוש מוכפל בעצמו פעמים. אז בחזקת הרביעית זה שווה למיליון. אתה רק צריך לזכור ששלוש עד החזקה היא או.

עכשיו אתה יודע שעל ידי העלאת מספר לעוצמה תעשה את החיים שלך הרבה יותר קלים. בואו נסתכל עוד על מה אתה יכול לעשות עם תארים ומה אתה צריך לדעת עליהם.

מונחים ומושגים... כדי לא להתבלבל

אז, ראשית, בואו נגדיר את המושגים. מה אתה חושב, מה זה אקספוננט? זה מאוד פשוט – זה המספר שנמצא "בראש" בחזקת המספר. לא מדעי, אבל ברור וקל לזכור...

ובכן, במקביל, מה בסיס לתואר כזה? אפילו יותר פשוט - זה המספר שנמצא מתחת, בבסיס.

הנה ציור למטרה טובה.

טוב בפנים השקפה כללית, על מנת להכליל ולזכור טוב יותר... תואר עם בסיס " " ומעריך " " נקראת "לדרגה" ונכתבת כך:

כוח של מספר עם מעריך טבעי

בטח כבר ניחשתם: כי המעריך הוא מספר טבעי. כן, אבל מה זה מספר טבעי? יְסוֹדִי! מספרים טבעיים הם אותם מספרים המשמשים בספירה בעת רישום עצמים: אחד, שניים, שלושה... כאשר אנו סופרים עצמים, איננו אומרים: "מינוס חמישה", "מינוס שש", "מינוס שבעה". אנחנו גם לא אומרים: "שליש", או "אפס נקודה חמש". לא מספרים שלמים. באילו מספרים מדובר לדעתך?

מספרים כמו "מינוס חמש", "מינוס שש", "מינוס שבע" מתייחסים מספרים שלמים.באופן כללי, מספרים שלמים כוללים את כל המספרים הטבעיים, מספרים הפוכים למספרים טבעיים (כלומר, נלקחים עם סימן מינוס) ומספר. קל להבין את אפס - זה כשאין כלום. מה המשמעות של מספרים שליליים ("מינוס")? אבל הם הומצאו בעיקר כדי לציין חובות: אם יש לך יתרה בטלפון שלך ברובלים, זה אומר שאתה חייב רובל למפעיל.

כל השברים הם מספר רציונלי. איך הם קמו, אתה חושב? פשוט מאוד. לפני כמה אלפי שנים גילו אבותינו שחסרים להם מספרים טבעיים למדידת אורך, משקל, שטח וכו'. והם הגיעו עם מספר רציונלי... מעניין, לא?

יש גם מספרים אי-רציונליים. מה זה המספרים האלה? בקיצור, אין סוף נקודה. לדוגמה, אם מחלקים את היקף המעגל בקוטר שלו, מקבלים מספר אי-רציונלי.

סיכום:

הבה נגדיר את המושג של תואר שהמעריך שלה הוא מספר טבעי (כלומר, מספר שלם וחיובי).

1. כל מספר בחזקת ראשון שווה לעצמו:
2. ריבוע של מספר פירושו להכפיל אותו בעצמו:
3. להכפיל מספר בקובייה פירושו להכפיל אותו בעצמו שלוש פעמים:

הַגדָרָה.העלאת מספר לחזקה טבעית פירושה הכפלת המספר בעצמו פעמים:
.

מאפיינים של תארים

מאיפה הגיעו הנכסים האלה? אני אראה לך עכשיו.

בוא נראה: מה זה ו ?

A-priory:

כמה מכפילים יש בסך הכל?

זה מאוד פשוט: הוספנו מכפילים לגורמים, והתוצאה היא מכפילים.

אבל בהגדרה, מדובר בחזקת מספר עם מעריך, כלומר: , וזה מה שהיה צריך להוכיח.

דוגמא: פשט את הביטוי.

פִּתָרוֹן:

דוגמא:פשט את הביטוי.

פִּתָרוֹן:חשוב לציין שבכלל שלנו בהכרחחייבות להיות אותן סיבות!
לכן, אנו משלבים את הכוחות עם הבסיס, אבל זה נשאר גורם נפרד:

רק לתוצר של כוחות!

בשום מקרה אתה לא יכול לכתוב את זה.

2. זהו החזקה של מספר

בדיוק כמו עם המאפיין הקודם, הבה נפנה להגדרת התואר:

מסתבר שהביטוי מוכפל בעצמו פעמים, כלומר לפי ההגדרה זהו החזקה של המספר:

למעשה, אפשר לקרוא לזה "הוצאת המחוון מהסוגריים". אבל אתה אף פעם לא יכול לעשות את זה בסך הכל:

בואו נזכור את נוסחאות הכפל המקוצר: כמה פעמים רצינו לכתוב?

אבל זה לא נכון, אחרי הכל.

כוח עם בסיס שלילי

עד לנקודה זו, דנו רק במה צריך להיות המעריך.

אבל מה צריך להיות הבסיס?

בסמכויות של אינדיקטור טבעיהבסיס עשוי להיות כל מספר. אכן, אנו יכולים להכפיל כל מספר זה בזה, בין אם הם חיוביים, שליליים או זוגיים.

בואו נחשוב לאילו סימנים ("" או "") יהיו כוחות של מספרים חיוביים ושליליים?

לדוגמה, האם המספר חיובי או שלילי? א? ? עם הראשון, הכל ברור: לא משנה כמה מספרים חיוביים נכפיל זה בזה, התוצאה תהיה חיובית.

אבל השליליים קצת יותר מעניינים. אנו זוכרים את הכלל הפשוט מכיתה ו': "מינוס עבור מינוס נותן פלוס." כלומר, או. אבל אם נכפיל בפי זה עובד.

קבע בעצמך איזה סימן יהיו לביטויים הבאים:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

הסתדרת?

הנה התשובות: בארבע הדוגמאות הראשונות, אני מקווה שהכל ברור? אנחנו פשוט מסתכלים על הבסיס והמעריך ומיישמים את הכלל המתאים.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

בדוגמה 5) הכל גם לא מפחיד כמו שזה נראה: אחרי הכל, זה לא משנה למה שווה הבסיס - המידה היא זוגית, מה שאומר שהתוצאה תמיד תהיה חיובית.

ובכן, למעט כאשר הבסיס הוא אפס. הבסיס לא שווה, נכון? ברור שלא, שכן (כי).

דוגמה 6) כבר לא כל כך פשוטה!

6 דוגמאות לתרגול

ניתוח הפתרון 6 דוגמאות

אם נתעלם מהחזקה השמינית, מה אנחנו רואים כאן? בואו נזכור את תכנית כיתה ז'. אז אתה זוכר? זוהי הנוסחה לכפל מקוצר, כלומר הפרש הריבועים! אנחנו מקבלים:

בואו נסתכל היטב על המכנה. זה נראה מאוד כמו אחד מגורמי המונה, אבל מה רע? סדר התנאים שגוי. אם הם היו הפוכים, הכלל יכול לחול.

אבל איך לעשות את זה? מסתבר שזה מאוד קל: הדרגה הזוגית של המכנה עוזרת לנו כאן.

באופן קסום המונחים שינו מקום. "תופעה" זו חלה על כל ביטוי במידה שווה: אנו יכולים בקלות לשנות את הסימנים בסוגריים.

אבל חשוב לזכור: כל הסימנים משתנים בו זמנית!

נחזור לדוגמא:

ושוב הנוסחה:

כֹּלאנו קוראים למספרים הטבעיים, להפכים שלהם (כלומר, נלקחים עם הסימן " ") והמספר.

מספר שלם חיובי, וזה לא שונה מטבעי, אז הכל נראה בדיוק כמו בסעיף הקודם.

עכשיו בואו נסתכל על מקרים חדשים. נתחיל עם מחוון השווה ל.

כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד:

כמו תמיד, הבה נשאל את עצמנו: מדוע זה כך?

בואו נשקול תואר מסוים עם בסיס. קח, למשל, והכפיל ב:

אז, הכפלנו את המספר ב-, וקיבלנו אותו הדבר כפי שהיה - . באיזה מספר כדאי להכפיל כדי ששום דבר לא ישתנה? נכון, הלאה. אומר.

אנחנו יכולים לעשות את אותו הדבר עם מספר שרירותי:

בואו נחזור על הכלל:

כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד.

אבל יש חריגים לכללים רבים. והנה זה גם שם - זה מספר (כבסיס).

מצד אחד, זה חייב להיות שווה בכל מעלה - לא משנה כמה תכפילו אפס מעצמו, עדיין תקבלו אפס, זה ברור. אבל מצד שני, כמו כל מספר בחזקת אפס, הוא חייב להיות שווה. אז כמה מזה נכון? המתמטיקאים החליטו לא להתערב וסירבו להעלות אפס לחזקת אפס. כלומר, עכשיו אנחנו לא יכולים רק לחלק באפס, אלא גם להעלות אותו לחזקת אפס.

בוא נמשיך הלאה. בנוסף למספרים ומספרים טבעיים, מספרים שלמים כוללים גם מספרים שליליים. כדי להבין מהו חזקה שלילית, בוא נעשה כמו בפעם הקודמת: נכפיל מספר נורמלי באותו מספר לחזקה שלילית:

מכאן קל להביע את מה שאתה מחפש:

כעת נרחיב את הכלל המתקבל במידה שרירותית:

אז בואו ננסח כלל:

מספר בעל חזקה שלילית הוא ההדדיות של אותו מספר בעל חזקה חיובית. אבל באותו זמן הבסיס לא יכול להיות null:(כי אי אפשר לחלק ב).

בואו נסכם:

ט. הביטוי אינו מוגדר בתיק. אם, אז.

II. כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד: .

III. מספר שאינו שווה לאפס בחזקת שלילית הוא היפוך של אותו מספר בחזקת חיובית:.

משימות לפתרון עצמאי:

ובכן, כרגיל, דוגמאות לפתרונות עצמאיים:

ניתוח בעיות לפתרון עצמאי:

אני יודע, אני יודע, המספרים מפחידים, אבל בבחינת המדינה המאוחדת אתה צריך להיות מוכן לכל דבר! פתרו את הדוגמאות הללו או נתחו את הפתרונות שלהן אם לא הצלחתם לפתור אותן ותלמדו להתמודד איתן בקלות בבחינה!

בואו נמשיך להרחיב את טווח המספרים "המתאימים" כמעריך.

עכשיו בואו נשקול מספר רציונלי.אילו מספרים נקראים רציונליים?

תשובה: כל מה שניתן לייצג כשבר, היכן והן מספרים שלמים, ו.

כדי להבין מה זה "תואר חלקי", שקול את השבר:

בואו נעלה את שני הצדדים של המשוואה לחזקה:

עכשיו בואו נזכור את הכלל לגבי "תואר לתואר":

איזה מספר צריך להעלות לכוח כדי לקבל?

ניסוח זה הוא ההגדרה של שורש התואר.

תן לי להזכיר לך: שורש החזקה של מספר () הוא מספר שכשהוא מועלה לחזקה שווה לו.

כלומר, שורש החזקה הוא הפעולה ההפוכה של העלאה לחזקה:.

מסתבר ש. ברור שזה מקרה מיוחדניתן להרחיב: .

כעת נוסיף את המונה: מה זה? קל להשיג את התשובה באמצעות כלל כוח לכוח:

אבל האם הבסיס יכול להיות מספר כלשהו? הרי לא ניתן לחלץ את השורש מכל המספרים.

אף אחד!

הבה נזכור את הכלל: כל מספר המועלה לחזקה זוגית הוא מספר חיובי. כלומר, אי אפשר לחלץ שורשים זוגיים ממספרים שליליים!

המשמעות היא שאי אפשר להעלות מספרים כאלה לחזקה שברית עם מכנה זוגי, כלומר, הביטוי אינו הגיוני.

מה עם הביטוי?

אבל כאן נוצרת בעיה.

ניתן לייצג את המספר בצורה של שברים אחרים הניתנים להפחתה, למשל, או.

ומסתבר שזה קיים, אבל לא קיים, אבל אלו רק שני רשומות שונות מאותו מספר.

או דוגמה אחרת: פעם אחת, אז אתה יכול לרשום את זה. אבל אם נרשום את המחוון אחרת, שוב נסתבך: (כלומר, קיבלנו תוצאה אחרת לגמרי!).

כדי להימנע מפרדוקסים כאלה, אנו שוקלים רק מעריך בסיס חיובי עם מעריך שבר.

אז אם:

• - מספר טבעי;
• - מספר שלם;

דוגמאות:

אקספוננטים רציונליים שימושיים מאוד להמרת ביטויים עם שורשים, למשל:

5 דוגמאות לתרגול

ניתוח 5 דוגמאות להדרכה

ובכן, עכשיו מגיע החלק הקשה ביותר. עכשיו נבין את זה תואר עם מעריך לא רציונלי.

כל הכללים והמאפיינים של התארים כאן זהים לחלוטין לתואר עם מעריך רציונלי, למעט

הרי בהגדרה, מספרים אי-רציונליים הם מספרים שלא ניתן לייצג אותם כשבר, כאשר ו הם מספרים שלמים (כלומר, מספרים אי-רציונליים הם כולם מספרים ממשיים מלבד אלה רציונליים).

כאשר לומדים תארים עם אקספוננטים טבעיים, שלמים ורציונליים, בכל פעם יצרנו "תמונה", "אנלוגיה" מסוימת או תיאור במונחים מוכרים יותר.

לדוגמה, תואר עם מעריך טבעי הוא מספר המוכפל בעצמו מספר פעמים;

...מספר בחזקת אפס- זהו, כביכול, מספר שהוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר, הם עדיין לא התחילו להכפיל אותו, מה שאומר שהמספר עצמו אפילו לא הופיע עדיין - לכן התוצאה היא רק "מספר ריק" מסוים , כלומר מספר;

...תואר שלם שלילי- זה כאילו התרחש איזה "תהליך הפוך", כלומר, המספר לא הוכפל בעצמו, אלא חולק.

אגב, במדעים משתמשים לרוב בתואר עם מעריך מורכב, כלומר, המעריך הוא אפילו לא מספר ממשי.

אבל בבית הספר אנחנו לא חושבים על קשיים כאלה; תהיה לך הזדמנות להבין את המושגים החדשים האלה במכון.

לאן אנחנו בטוחים שתלך! (אם תלמד לפתור דוגמאות כאלה :))

לדוגמה:

תחליט בעצמך:

ניתוח פתרונות:

1. נתחיל עם הכלל הרגיל להעלאת כוח לכוח:

עכשיו תסתכל על המחוון. הוא לא מזכיר לך כלום? הבה נזכיר את הנוסחה לכפל מקוצר של הפרש של ריבועים:

במקרה הזה,

מסתבר ש:

תשובה: .

2. נפחית שברים במעריכים לאותה צורה: או שניהם עשרוניים או שניהם רגילים. אנחנו מקבלים, למשל:

תשובה: 16

3. שום דבר מיוחד, אנו משתמשים במאפיינים הרגילים של מעלות:

שלב מתקדם

קביעת תואר

תואר הוא ביטוי של הצורה: , כאשר:

• — בסיס תואר;
• - מעריך.

תואר עם מחוון טבעי (n = 1, 2, 3,...)

העלאת מספר בחזקת n הטבעית פירושה הכפלת המספר בעצמו פעמים:

תואר עם מעריך שלם (0, ±1, ±2,...)

אם המעריך הוא מספר שלם חיובימספר:

בְּנִיָה עד דרגת אפס:

הביטוי הוא בלתי מוגדר, כי מצד אחד, בכל דרגה זה, ומצד שני, כל מספר במעלה ה' הוא זה.

אם המעריך הוא מספר שלם שלילימספר:

(כי אי אפשר לחלק ב).

שוב על אפסים: הביטוי אינו מוגדר במקרה. אם, אז.

דוגמאות:

כוח עם מעריך רציונלי

• - מספר טבעי;
• - מספר שלם;

דוגמאות:

מאפיינים של תארים

כדי להקל על פתרון בעיות, בואו ננסה להבין: מאיפה הגיעו המאפיינים האלה? בואו נוכיח אותם.

בוא נראה: מה זה ו?

A-priory:

אז, בצד ימין של הביטוי הזה אנחנו מקבלים את המוצר הבא:

אבל בהגדרה זה חזק של מספר עם מעריך, כלומר:

Q.E.D.

דוגמא : פשט את הביטוי.

פִּתָרוֹן : .

דוגמא : פשט את הביטוי.

פִּתָרוֹן : חשוב לציין שבכלל שלנו בהכרחחייבות להיות אותן סיבות. לכן, אנו משלבים את הכוחות עם הבסיס, אבל זה נשאר גורם נפרד:

הערה חשובה נוספת: כלל זה - רק עבור תוצר של כוחות!

בשום פנים ואופן אתה לא יכול לכתוב את זה.

בדיוק כמו עם המאפיין הקודם, הבה נפנה להגדרת התואר:

בואו נקבץ מחדש את העבודה הזו כך:

מסתבר שהביטוי מוכפל בעצמו פעמים, כלומר לפי ההגדרה זהו החזקה של המספר:

למעשה, אפשר לקרוא לזה "הוצאת המחוון מהסוגריים". אבל אתה אף פעם לא יכול לעשות את זה בסך הכל: !

בואו נזכור את נוסחאות הכפל המקוצר: כמה פעמים רצינו לכתוב? אבל זה לא נכון, אחרי הכל.

כוח עם בסיס שלילי.

עד לנקודה זו דנו רק איך זה צריך להיות אינדקסמעלות. אבל מה צריך להיות הבסיס? בסמכויות של טִבעִי אינדיקטור הבסיס עשוי להיות כל מספר .

אכן, אנו יכולים להכפיל כל מספר זה בזה, בין אם הם חיוביים, שליליים או זוגיים. בואו נחשוב לאילו סימנים ("" או "") יהיו דרגות של מספרים חיוביים ושליליים?

לדוגמה, האם המספר חיובי או שלילי? א? ?

עם הראשון, הכל ברור: לא משנה כמה מספרים חיוביים נכפיל זה בזה, התוצאה תהיה חיובית.

אבל השליליים קצת יותר מעניינים. אנו זוכרים את הכלל הפשוט מכיתה ו': "מינוס עבור מינוס נותן פלוס." כלומר, או. אבל אם נכפיל ב-(), נקבל - .

וכך הלאה עד אינסוף: עם כל כפל עוקב הסימן ישתנה. נוכל לנסח את הדברים הבאים כללים פשוטים:

1. אֲפִילוּתואר, - מספר חִיוּבִי.
2. מספר שלילי, מובנה מוזרתואר, - מספר שלילי.
3. מספר חיובי בכל מידה הוא מספר חיובי.
4. אפס בכל חזקה שווה לאפס.

קבע בעצמך איזה סימן יהיו לביטויים הבאים:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

הסתדרת? הנה התשובות:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

בארבע הדוגמאות הראשונות, אני מקווה שהכל ברור? אנחנו פשוט מסתכלים על הבסיס והמעריך ומיישמים את הכלל המתאים.

בדוגמה 5) הכל גם לא מפחיד כמו שזה נראה: אחרי הכל, זה לא משנה למה שווה הבסיס - המידה היא זוגית, מה שאומר שהתוצאה תמיד תהיה חיובית. ובכן, למעט כאשר הבסיס הוא אפס. הבסיס לא שווה, נכון? ברור שלא, שכן (כי).

דוגמה 6) כבר לא כל כך פשוטה. כאן אתה צריך לגלות מה פחות: או? אם נזכור זאת, יתברר כי, ולכן הבסיס פחות מאפס. כלומר, אנו מיישמים כלל 2: התוצאה תהיה שלילית.

ושוב אנו משתמשים בהגדרה של תואר:

הכל כרגיל - אנחנו רושמים את הגדרת התארים ומחלקים אותם אחד בשני, מחלקים אותם לזוגות ומקבלים:

לפני שנסתכל על הכלל האחרון, בואו נפתור כמה דוגמאות.

חשב את הביטויים:

פתרונות :

אם נתעלם מהחזקה השמינית, מה אנחנו רואים כאן? בואו נזכור את תכנית כיתה ז'. אז אתה זוכר? זוהי הנוסחה לכפל מקוצר, כלומר הפרש הריבועים!

אנחנו מקבלים:

בואו נסתכל היטב על המכנה. זה נראה מאוד כמו אחד מגורמי המונה, אבל מה רע? סדר התנאים שגוי. אם הם היו הפוכים, כלל 3 יכול לחול. אבל איך? מסתבר שזה מאוד קל: הדרגה הזוגית של המכנה עוזרת לנו כאן.

אם תכפיל את זה בשום דבר לא ישתנה, נכון? אבל עכשיו זה יוצא ככה:

באופן קסום המונחים החליפו מקום. "תופעה" זו חלה על כל ביטוי במידה שווה: אנו יכולים בקלות לשנות את הסימנים בסוגריים. אבל חשוב לזכור: כל הסימנים משתנים בו זמנית!אתה לא יכול להחליף אותו על ידי שינוי רק חיסרון אחד שאנחנו לא אוהבים!

נחזור לדוגמא:

ושוב הנוסחה:

אז עכשיו הכלל האחרון:

איך נוכיח את זה? כמובן, כרגיל: בואו נרחיב על מושג התואר ונפשט אותו:

ובכן, עכשיו בואו נפתח את הסוגריים. כמה אותיות יש בסך הכל? פעמים לפי מכפילים - מה זה מזכיר לך? זו לא יותר מהגדרה של מבצע כֶּפֶל: היו שם רק מכפילים. כלומר, זה, בהגדרה, הוא חזקה של מספר עם מעריך:

דוגמא:

תואר עם מעריך לא רציונלי

בנוסף למידע על תארים לרמה הממוצעת, ננתח את התואר עם מעריך לא רציונלי. כל הכללים והמאפיינים של מעלות כאן זהים לחלוטין לתואר עם מעריך רציונלי, למעט החריג - אחרי הכל, בהגדרה, מספרים אי-רציונליים הם מספרים שלא ניתן לייצג כשבר, כאשר והם מספרים שלמים (כלומר. , מספרים אי-רציונליים הם כולם מספרים ממשיים מלבד מספרים רציונליים).

כאשר לומדים תארים עם אקספוננטים טבעיים, שלמים ורציונליים, בכל פעם יצרנו "תמונה", "אנלוגיה" מסוימת או תיאור במונחים מוכרים יותר. לדוגמה, תואר עם מעריך טבעי הוא מספר המוכפל בעצמו מספר פעמים; מספר בחזקת אפס הוא, כביכול, מספר מוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר עוד לא התחילו להכפיל אותו, כלומר המספר עצמו אפילו לא הופיע עדיין - לכן התוצאה היא רק ודאית "מספר ריק", כלומר מספר; תואר עם מעריך שלילי של מספר שלם - זה כאילו התרחש "תהליך הפוך" כלשהו, ​​כלומר, המספר לא הוכפל בעצמו, אלא חולק.

קשה מאוד לדמיין תואר עם מעריך לא רציונלי (כמו שקשה לדמיין מרחב 4 מימדי). זהו אובייקט מתמטי גרידא שהמתמטיקאים יצרו כדי להרחיב את מושג התואר לכל מרחב המספרים.

אגב, במדעים משתמשים לרוב בתואר עם מעריך מורכב, כלומר, המעריך הוא אפילו לא מספר ממשי. אבל בבית הספר אנחנו לא חושבים על קשיים כאלה; תהיה לך הזדמנות להבין את המושגים החדשים האלה במכון.

אז מה אנחנו עושים אם אנחנו רואים מעריך לא רציונלי? אנחנו מנסים כמיטב יכולתנו להיפטר מזה! :)

לדוגמה:

תחליט בעצמך:

1)

2)

3)

תשובות:

1. בואו נזכור את הנוסחה של ההבדל בין הריבועים. תשובה: .
2. אנו מצמצמים את השברים לאותה צורה: או שניהם עשרוניים או שניהם רגילים. אנו מקבלים, למשל: .
3. שום דבר מיוחד, אנו משתמשים במאפיינים הרגילים של מעלות:

תקציר הסעיף והנוסחאות הבסיסיות

תוֹאַרנקרא ביטוי של הצורה: , שבו:

תואר עם מעריך שלם

תואר שהמעריך שלו הוא מספר טבעי (כלומר, מספר שלם וחיובי).

כוח עם מעריך רציונלי

תואר, שהמעריך שלה הוא מספרים שליליים ושברים.

תואר עם מעריך לא רציונלי

תואר שהמעריך שלה הוא שבר עשרוני אינסופי או שורש.

מאפיינים של תארים

תכונות של מעלות.

• מספר שלילי הועלה ל אֲפִילוּתואר, - מספר חִיוּבִי.
• מספר שלילי הועלה ל מוזרתואר, - מספר שלילי.
• מספר חיובי בכל מידה הוא מספר חיובי.
• אפס שווה לכל כוח.
• כל מספר בחזקת אפס שווה.

עכשיו יש לך את המילה...

איך אתה אוהב את המאמר? כתבו למטה בתגובות אם אהבתם או לא.

ספר לנו על הניסיון שלך בשימוש בנכסי תואר.

אולי יש לך שאלות. או הצעות.

כתבו בתגובות.

ובהצלחה במבחנים!

הבה נשקול את הנושא של הפיכת ביטויים עם כוחות, אבל קודם נתעכב על מספר טרנספורמציות שניתן לבצע עם כל ביטוי, כולל עוצמה. נלמד כיצד לפתוח סוגריים, להוסיף מונחים דומים, לעבוד עם בסיסים ומעריכים ולהשתמש בתכונות של חזקות.

Yandex.RTB R-A-339285-1

מהם ביטויי כוח?

בקורסים בבית הספר, מעט אנשים משתמשים בביטוי " ביטויי כוח", אבל המונח הזה נמצא כל הזמן באוספים להכנה לבחינת המדינה המאוחדת. ברוב המקרים, ביטוי מציין ביטויים המכילים מעלות בערכים שלהם. זה מה שנשקף בהגדרה שלנו.

הגדרה 1

ביטוי כוחניהוא ביטוי המכיל מעלות.

הבה ניתן מספר דוגמאות לביטויי כוח, החל בחזק עם מעריך טבעי וכלה בחזק עם מעריך ממשי.

ביטויי החזקה הפשוטים ביותר יכולים להיחשב בחזקות של מספר עם מעריך טבעי: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . וגם חזקות עם אפס מעריך: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. ומעלות עם מספרים שלמים כוחות שליליים: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

קצת יותר קשה לעבוד עם תואר שיש לו אקספוננטים רציונליים ואי-רציונליים: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 א 1 4 א 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

המחוון יכול להיות המשתנה 3 x - 54 - 7 3 x - 58 או הלוגריתם x 2 · l g x − 5 · x l g x.

עסקנו בשאלה מהם ביטויי כוח. עכשיו בואו נתחיל להמיר אותם.

סוגים עיקריים של טרנספורמציות של ביטויי כוח

קודם כל, נבחן את התמורות הזהות הבסיסיות של ביטויים שניתן לבצע עם ביטויי כוח.

דוגמה 1

חשב את הערך של ביטוי כוח 2 3 (4 2 - 12).

פִּתָרוֹן

אנו נבצע את כל השינויים בהתאם לסדר הפעולות. במקרה זה, נתחיל בביצוע הפעולות בסוגריים: נחליף את התואר בערך דיגיטלי ונחשב את ההפרש של שני מספרים. יש לנו 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

כל שעלינו לעשות הוא להחליף את התואר 2 3 המשמעות שלו 8 ולחשב את המוצר 8 4 = 32. הנה התשובה שלנו.

תשובה: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .

דוגמה 2

פשט את הביטוי בכוחות 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

פִּתָרוֹן

הביטוי שניתן לנו בהצהרת הבעיה מכיל מונחים דומים שאנו יכולים לתת: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

תשובה: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

דוגמה 3

הביעו את הביטוי בחזקות 9 - b 3 · π - 1 2 כמכפלה.

פִּתָרוֹן

בואו נדמיין את המספר 9 ככוח 3 2 והחל את נוסחת הכפל המקוצר:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

תשובה: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

כעת נעבור לניתוח של טרנספורמציות זהות שניתן ליישם ספציפית על ביטויי כוח.

עבודה עם בסיס ואקספונט

התואר בבסיס או במעריך יכול לכלול מספרים, משתנים וכמה ביטויים. לדוגמה, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7ו . קשה לעבוד עם רשומות כאלה. הרבה יותר קל להחליף את הביטוי בבסיס התואר או את הביטוי באקספוננט בביטוי שווה זהה.

טרנספורמציות של תואר ומעריך מתבצעות לפי הכללים המוכרים לנו בנפרד זה מזה. הדבר החשוב ביותר הוא שהטרנספורמציה מביאה לביטוי זהה לזה המקורי.

מטרת הטרנספורמציות היא לפשט את הביטוי המקורי או להשיג פתרון לבעיה. לדוגמה, בדוגמה שנתנו למעלה, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 אתה יכול לעקוב אחר השלבים כדי לעבור לתואר 4 , 1 1 , 3 . על ידי פתיחת הסוגריים, נוכל להציג מונחים דומים לבסיס הכוח (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)ולקבל ביטוי כוחני בצורה פשוטה יותר a 2 (x + 1).

שימוש במאפייני תואר

מאפייני סמכויות, הכתובים בצורה של שוויון, הם אחד הכלים העיקריים להפיכת ביטויים עם סמכויות. אנו מציגים כאן את העיקריים שבהם, תוך התחשבות בכך או בהם מספרים חיוביים כלשהם, ו רו ס- מספרים ממשיים שרירותיים:

הגדרה 2

• a r · a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (א · ב) r = a r · b r;
• (א: ב) r = a r: b r;
• (a r) s = a r · s .

במקרים בהם עסקינן במעריכים טבעיים, שלמים, חיוביים, ההגבלות על המספרים a ו-b יכולות להיות הרבה פחות נוקשות. כך, למשל, אם ניקח בחשבון את השוויון a m · a n = a m + n, איפה Mו נהם מספרים טבעיים, אז זה יהיה נכון עבור כל ערכים של a, חיובי ושלילי, כמו גם עבור a = 0.

ניתן ליישם את המאפיינים של חזקות ללא הגבלות במקרים שבהם בסיסי החזקות חיוביים או מכילים משתנים, שטח ערכים מקובליםשהוא כזה שהבסיסים עליו מקבלים רק ערכים חיוביים. למעשה, בפנים מערכת של ביהסבמתמטיקה, המשימה של התלמיד היא לבחור תכונה מתאימה וליישם אותה בצורה נכונה.

בעת הכנה לכניסה לאוניברסיטאות, אתה עלול להיתקל בבעיות שבהן יישום לא מדויק של מאפיינים יוביל לצמצום ה-DL ולקשיים אחרים בפתרון. בחלק זה נבחן רק שני מקרים כאלה. מידע נוסף בנושא ניתן למצוא בנושא "המרת ביטויים באמצעות מאפיינים של כוחות".

דוגמה 4

דמיינו את הביטוי a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5בצורה של כוח עם בסיס א.

פִּתָרוֹן

ראשית, אנו משתמשים בתכונת האקספונציה וממירים את הגורם השני באמצעותה (א 2) - 3. לאחר מכן אנו משתמשים בתכונות של כפל וחלוקת כוחות עם אותו בסיס:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

תשובה: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

טרנספורמציה של ביטויי כוח לפי תכונת הכוחות יכולה להיעשות גם משמאל לימין וגם בכיוון ההפוך.

דוגמה 5

מצא את הערך של ביטוי העוצמה 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

פִּתָרוֹן

אם נחיל שוויון (א · ב) r = a r · b r, מימין לשמאל, נקבל מכפלה של הצורה 3 · 7 1 3 · 21 2 3 ולאחר מכן 21 1 3 · 21 2 3 . בוא נוסיף את המעריכים כשמכפילים חזקות עם אותם בסיסים: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

ישנה דרך נוספת לבצע את השינוי:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

תשובה: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

דוגמה 6

ניתן ביטוי כוחני a 1, 5 - a 0, 5 - 6, הזן משתנה חדש t = a 0.5.

פִּתָרוֹן

בואו נדמיין את התואר א 1, 5אֵיך a 0.5 3. שימוש בתכונה של מעלות למעלות (a r) s = a r · sמימין לשמאל ונקבל (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. אתה יכול בקלות להכניס משתנה חדש לביטוי המתקבל t = a 0.5: אנחנו מקבלים t 3 − t − 6.

תשובה: t 3 − t − 6 .

המרת שברים המכילים חזקות

בדרך כלל אנו עוסקים בשתי גרסאות של ביטויי עוצמה עם שברים: הביטוי מייצג שבר בעל חזקה או מכיל שבר כזה. כל הטרנספורמציות הבסיסיות של שברים חלות על ביטויים כאלה ללא הגבלות. ניתן לצמצם אותם, להביאם למכנה חדש, או לעבוד בנפרד עם המונה והמכנה. בואו נמחיש זאת בעזרת דוגמאות.

דוגמה 7

פשט את ביטוי העוצמה 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

פִּתָרוֹן

אנו עוסקים בשבר, אז נבצע טרנספורמציות הן במונה והן במכנה:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

הצב סימן מינוס לפני השבר כדי לשנות את הסימן של המכנה: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

תשובה: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

שברים המכילים חזקה מצטמצמים למכנה חדש באותו אופן כמו שברים רציונליים. לשם כך, עליך למצוא גורם נוסף ולהכפיל בו את המונה והמכנה של השבר. יש צורך לבחור גורם נוסף בצורה כזו שהוא לא ילך לאפס עבור כל ערכים של משתנים ממשתני ODZ עבור הביטוי המקורי.

דוגמה 8

הפחת את השברים למכנה חדש: א) a + 1 a 0, 7 למכנה א, ב) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 למכנה x + 8 · y 1 2 .

פִּתָרוֹן

א) בואו נבחר גורם שיאפשר לנו לצמצם למכנה חדש. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,לכן, כגורם נוסף ניקח א 0, 3. טווח הערכים המותרים של המשתנה a כולל את קבוצת כל המספרים הממשיים החיוביים. תואר בתחום זה א 0, 3לא הולך לאפס.

בוא נכפיל את המונה והמכנה של שבר ב א 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

ב) נשים לב למכנה:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

נכפיל את הביטוי הזה ב-x 1 3 + 2 · y 1 6, נקבל את סכום הקוביות x 1 3 ו-2 · y 1 6, כלומר. x + 8 · y 1 2 . זה המכנה החדש שלנו שאליו אנחנו צריכים לצמצם את השבר המקורי.

כך מצאנו את הגורם הנוסף x 1 3 + 2 · y 1 6 . על טווח הערכים המותרים של משתנים איקסו yהביטוי x 1 3 + 2 y 1 6 אינו נעלם, לכן, נוכל להכפיל בו את המונה והמכנה של השבר:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

תשובה: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · י 1 2 .

דוגמה 9

צמצם את השבר: א) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, ב) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

פִּתָרוֹן

א) אנו משתמשים במכנה המשותף הגדול ביותר (GCD), שבאמצעותו נוכל לצמצם את המונה והמכנה. עבור המספרים 30 ו-45 זה 15. אנחנו יכולים גם לבצע הפחתה ב x0.5+1ועל x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

אנחנו מקבלים:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

ב) כאן נוכחותם של גורמים זהים אינה ברורה. תצטרך לבצע כמה טרנספורמציות כדי לקבל את אותם גורמים במונה ובמכנה. לשם כך, אנו מרחיבים את המכנה באמצעות נוסחת הפרש הריבועים:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

תשובה:א) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , ב) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

פעולות בסיסיות עם שברים כוללות המרת שברים למכנה חדש והקטנת שברים. שתי הפעולות מבוצעות בהתאם למספר כללים. בחיבור וחיסור שברים, ראשית מצטמצמים השברים למכנה משותף, ולאחר מכן מתבצעות פעולות (חיבור או חיסור) עם המונים. המכנה נשאר זהה. התוצאה של פעולותינו היא שבר חדש, שהמונה שלו הוא מכפלת המונים, והמכנה הוא מכפלת המכנים.

דוגמה 10

בצע את השלבים x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

פִּתָרוֹן

נתחיל בהפחתת השברים שנמצאים בסוגריים. בואו נביא אותם למכנה משותף:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

בוא נחסר את המונים:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

כעת נכפיל את השברים:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

בואו נפחית בכוח x 1 2, נקבל 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

בנוסף, ניתן לפשט את ביטוי העוצמה במכנה באמצעות נוסחת הפרש הריבועים: ריבועים: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

תשובה: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

דוגמה 11

פשט את ביטוי חוק הכוח x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
פִּתָרוֹן

אנחנו יכולים להפחית את השבר ב (x 2, 7 + 1) 2. נקבל את השבר x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

בואו נמשיך לשנות את החזקות של x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. כעת אתה יכול להשתמש בתכונה של חלוקת כוחות עם אותם בסיסים: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

אנו עוברים מהמוצר האחרון לשבר x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

תשובה: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

ברוב המקרים, נוח יותר להעביר גורמים בעלי מעריכים שליליים מהמונה למכנה ובחזרה, תוך שינוי הסימן של המעריך. פעולה זו מאפשרת לך לפשט את ההחלטה הנוספת. בוא ניתן דוגמה: ניתן להחליף את ביטוי העוצמה (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 ב-x 3 · (x + 1) 0, 2.

המרת ביטויים עם שורשים וכוחות

בבעיות יש ביטויי עוצמה המכילים לא רק כוחות עם מעריכים שברים, אלא גם שורשים. רצוי לצמצם ביטויים כאלה רק לשורשים או רק לכוחות. עדיף ללכת לתארים מכיוון שקל יותר לעבוד איתם. מעבר זה עדיף במיוחד כאשר ה-ODZ של משתנים עבור הביטוי המקורי מאפשר לך להחליף את השורשים בכוחות ללא צורך לגשת למודולוס או לפצל את ה-ODZ למספר מרווחים.

דוגמה 12

הביעו את הביטוי x 1 9 · x · x 3 6 כחזקה.

פִּתָרוֹן

טווח ערכי משתנים מותרים איקסמוגדר על ידי שני אי שוויון x ≥ 0ו-x x 3 ≥ 0, שמגדירים את הסט [ 0 , + ∞) .

בסט הזה יש לנו את הזכות לעבור משורשים לכוחות:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

באמצעות מאפיינים של כוחות, אנו מפשטים את ביטוי העוצמה המתקבל.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

תשובה: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

המרת חזקות עם משתנים במעריך

טרנספורמציות אלה די קלות לביצוע אם משתמשים במאפייני התואר בצורה נכונה. לדוגמה, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

אנחנו יכולים להחליף במכפלה של חזקות, שהמעריכים שלהן הם סכום של משתנה כלשהו ומספר. בצד שמאל, ניתן לעשות זאת עם המונח הראשון והאחרון של הצד השמאלי של הביטוי:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

כעת נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב 7 2 x. ביטוי זה עבור המשתנה x לוקח רק ערכים חיוביים:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

בואו נפחית שברים בחזקות, נקבל: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

לבסוף, יחס החזקות עם אותם מעריכים מוחלף בחזקות יחסים, וכתוצאה מכך מתקבלת המשוואה 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, שהיא שווה ערך ל-5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

הבה נציג משתנה חדש t = 5 7 x, המפחית את הפתרון של המשוואה המעריכית המקורית לפתרון המשוואה הריבועית 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

המרת ביטויים בחזקות ולוגריתמים

ביטויים המכילים חזקות ולוגריתמים נמצאים גם בבעיות. דוגמה לביטויים כאלה היא: 1 4 1 - 5 · log 2 3 או log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. הטרנספורמציה של ביטויים כאלה מתבצעת באמצעות הגישות והמאפיינים של לוגריתמים שנדונו לעיל, עליהם דנו בפירוט בנושא "טרנספורמציה של ביטויים לוגריתמיים".

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

היכנסו לערוץ היוטיוב של האתר שלנו כדי להישאר מעודכנים בכל שיעורי הווידאו החדשים.

ראשית, בואו נזכור את הנוסחאות הבסיסיות של כוחות ותכונותיהם.

תוצר של מספר אמתרחש על עצמו n פעמים, נוכל לכתוב את הביטוי הזה בתור a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

כוח או משוואות אקספוננציאליות – אלו משוואות שבהן המשתנים נמצאים בחזקות (או מעריכים), והבסיס הוא מספר.

דוגמאות למשוואות אקספוננציאליות:

בדוגמה זו, המספר 6 הוא הבסיס; הוא תמיד בתחתית, והמשתנה איקסתואר או מחוון.

תנו דוגמאות נוספות למשוואות אקספוננציאליות.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

עכשיו בואו נסתכל כיצד פותרים משוואות אקספוננציאליות?

ניקח משוואה פשוטה:

2 x = 2 3

את הדוגמה הזו אפשר לפתור אפילו בראש שלך. ניתן לראות כי x=3. הרי כדי שהשמאל ו חלק ימיןהיו שווים, עליך להחליף את x במספר 3.
עכשיו בואו נראה כיצד להמציא החלטה זו:

2 x = 2 3
x = 3

כדי לפתור משוואה כזו, הסרנו נימוקים זהים(כלומר שניים) ורשמו מה שנשאר, אלו מעלות. קיבלנו את התשובה שחיפשנו.

עכשיו בואו נסכם את ההחלטה שלנו.

אלגוריתם לפתרון המשוואה המעריכית:
1. צריך לבדוק אותו הדברהאם למשוואה יש בסיסים על ימין ועל שמאל. אם הסיבות אינן זהות, אנו מחפשים אפשרויות לפתור את הדוגמה הזו.
2. לאחר שהבסיסים יהיו זהים, להשוותמעלות ולפתור את המשוואה החדשה שהתקבלה.

עכשיו בואו נסתכל על כמה דוגמאות:

נתחיל במשהו פשוט.

הבסיסים בצד שמאל וימין שווים למספר 2, מה שאומר שנוכל לזרוק את הבסיס ולהשוות את החזקות שלהם.

x+2=4 מתקבלת המשוואה הפשוטה ביותר.
x=4 – 2
x=2
תשובה: x=2

בדוגמה הבאה ניתן לראות שהבסיסים שונים: 3 ו-9.

3 3x - 9 x+8 = 0

ראשית, הזז את התשע לצד ימין, נקבל:

עכשיו אתה צריך לעשות את אותם בסיסים. אנחנו יודעים ש-9=3 2. בוא נשתמש בנוסחת החזקה (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

נקבל 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 עכשיו אתה יכול לראות את זה בצד שמאל ו צד ימיןהבסיסים זהים ושווים לשלוש, מה שאומר שאנחנו יכולים להשליך אותם ולהשוות את המעלות.

3x=2x+16 נקבל את המשוואה הפשוטה ביותר
3x - 2x=16
x=16
תשובה: x=16.

בואו נסתכל על הדוגמה הבאה:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

קודם כל, אנחנו מסתכלים על הבסיסים, בסיסים שניים וארבעה. ואנחנו צריכים שהם יהיו אותו הדבר. נמיר את הארבעה באמצעות הנוסחה (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

ואנחנו גם משתמשים בנוסחה אחת a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

הוסף למשוואה:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

הבאנו דוגמה מאותן סיבות. אבל מספרים אחרים 10 ו-24 מטרידים אותנו. מה לעשות איתם? אם תסתכלו היטב תוכלו לראות שבצד שמאל יש לנו 2 פי 2 חוזרים, הנה התשובה - נוכל לשים 2 פי 2 מתוך סוגריים:

2 2x (2 4 - 10) = 24

בוא נחשב את הביטוי בסוגריים:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

נחלק את המשוואה כולה ב-6:

בואו נדמיין 4=2 2:

2 2x = 2 2 בסיסים זהים, נזרוק אותם ונשווה את המעלות.
2x = 2 היא המשוואה הפשוטה ביותר. נחלק את זה ב-2 ונקבל
x = 1
תשובה: x = 1.

בואו נפתור את המשוואה:

9 x – 12*3 x +27= 0

בואו נעשה שינוי:
9 x = (3 2) x = 3 2x

נקבל את המשוואה:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

הבסיסים שלנו זהים, שווים ל-3. בדוגמה זו, אתה יכול לראות שלשלושה הראשונים יש מעלה פעמיים (2x) מהשני (רק x). במקרה זה, אתה יכול לפתור שיטת החלפה. מספר s תואר לפחותהחלף:

ואז 3 2x = (3 x) 2 = t 2

אנו מחליפים את כל החזקות x במשוואה ב-t:

t 2 - 12t+27 = 0
אנחנו מקבלים משוואה ריבועית. אם נפתור באמצעות המבחין, אנו מקבלים:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

חוזרים למשתנה איקס.

קח את t 1:
t 1 = 9 = 3 x

זה,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

נמצא שורש אחד. אנחנו מחפשים את השני מ-t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
תשובה: x 1 = 2; x 2 = 1.

באתר תוכלו לשאול כל שאלה שיש לכם במדור HELP DECIDE, אנחנו בהחלט נענה לכם.

הצטרף לקבוצה

סוג שיעור:שיעור של הכללה ושיטתיות של ידע

מטרות:

• חינוכית– לחזור על הגדרת תואר, כללי הכפל וחילוק מעלות, העלאת תואר לחזקה, איחוד מיומנויות פתרון דוגמאות המכילות תארים,
• מתפתח- התפתחות חשיבה לוגיתתלמידים, עניין בחומר הנלמד,
• הַעֲלָאָה- טיפוח יחס אחראי ללמידה, תרבות תקשורת ותחושת קולקטיביזם.

צִיוּד:מחשב, מקרן מולטימדיה, לוח אינטראקטיבי, הצגת "תארים" לחישוב נפש, כרטיסי משימות, דפי מידע.

מערך שיעור:

1. ארגון זמן.
2. חזרה על כללים
3. ספירה מילולית.
4. התייחסות היסטורית.
5. עבודה בדירקטוריון.
6. דקת חינוך גופני.
7. עבודה על לוח אינטראקטיבי.
8. עבודה עצמאית.
9. שיעורי בית.
10. מסכם את השיעור.

במהלך השיעורים

א. רגע ארגוני

העבירו את הנושא ומטרות השיעור.

בשיעורים קודמים גילית עולם מדהיםדרגות, למד להכפיל ולחלק דרגות, ולהעלותן לחזקה. כיום עלינו לגבש את הידע הנרכש על ידי פתרון דוגמאות.

II. חזרה על כללים(בְּעַל פֶּה)

1. תן את ההגדרה של תואר עם מעריך טבעי? (כוח המספר אעם מעריך טבעי גדול מ-1 נקרא מוצר נגורמים, שכל אחד מהם שווה א.)
2. איך מכפילים שתי חזקות? (כדי להכפיל חזקות עם אותם בסיסים, עליך להשאיר את הבסיס זהה ולהוסיף את המעריכים.)
3. איך מחלקים תואר אחר תואר? (כדי לחלק חזקות עם אותם בסיסים, עליך להשאיר את הבסיס זהה ולחסיר את המעריכים.)
4. איך להעלות מוצר לעוצמה? (כדי להעלות מוצר לעוצמה, אתה צריך להעלות כל גורם לעוצמה זו)
5. איך להעלות תואר לכוח? (כדי להעלות חזקה לחזקה, אתה צריך להשאיר את הבסיס זהה ולהכפיל את המעריכים)

III. ספירה מילולית(באמצעות מולטימדיה)

IV. התייחסות היסטורית

כל הבעיות הן מהפפירוס של אחמס, שנכתב בסביבות 1650 לפני הספירה. ה. הקשורים לעיסוק בבנייה, תיחום חלקות קרקע וכו'. המשימות מקובצות לפי נושאים. מדובר בעיקר במשימות על מציאת שטחי משולש, מרובעים ומעגל, פעולות שונות עם מספרים שלמים ושברים, חלוקה פרופורציונלית, מציאת יחסים, ויש גם העלאה ב דרגות שונות, פתרון משוואות מהמעלה הראשונה והשנייה עם אחד לא ידוע.

יש חוסר מוחלט של כל הסבר או ראיה. התוצאה הרצויה ניתנת ישירות או שניתן אלגוריתם קצר לחישובה. שיטת הצגה זו, אופיינית למדע במדינות מזרח עתיק, מציע שהמתמטיקה שם התפתחה באמצעות הכללות וניחושים שלא יצרו שום תיאוריה כללית. עם זאת, הפפירוס מכיל מספר עדויות לכך שמתמטיקאים מצרים ידעו לחלץ שורשים ולהעלות לעצמות, לפתור משוואות, ואף שלטו בבסיסי האלגברה.

V. עבודה בדירקטוריון

מצא את משמעות הביטוי בצורה רציונלית:

חשב את הערך של הביטוי:

VI. דקת חינוך גופני

1. לעיניים
2. עבור הצוואר
3. לידיים
4. עבור הגו
5. לרגליים

VII. פתרון בעיות(עם תצוגה על הלוח האינטראקטיבי)

האם שורש המשוואה הוא מספר חיובי?

א) 3x + (-0.1) 7 = (-0.496) 4 (x > 0)

ב) (10.381) 5 = (-0.012) 3 - 2x (x< 0)

ח. עבודה עצמאית

ט. שיעורי בית

X. מסכם את השיעור

ניתוח תוצאות, פרסום ציונים.

אנו נשתמש בידע הנרכש על תארים בעת פתרון משוואות ובעיות בתיכון; הם גם נמצאים לעתים קרובות בבחינת המדינה המאוחדת.

נוסחאות לתוארמשמש בתהליך של צמצום ופישוט ביטויים מורכבים, בפתרון משוואות ואי שוויון.

מספר גהוא נ-חזק של מספר אמתי:

פעולות עם תארים.

1. על ידי הכפלת מעלות עם אותו בסיס, האינדיקטורים שלהם מתווספים:

א מ·a n = a m + n .

2. כאשר מחלקים מעלות עם אותו בסיס, המעריכים שלהן מוחסרים:

3. כוח המכפלה של 2 או יותרגורמים שווה למכפלת הכוחות של גורמים אלה:

(abc...) n = a n · b n · c n …

4. דרגת השבר שווה ליחס בין דרגות הדיבידנד והמחלק:

(a/b) n = a n /b n .

5. העלאת חזקה לחזקה, המעריכים מוכפלים:

(a m) n = a m n .

כל נוסחה למעלה נכונה לכיוונים משמאל לימין ולהיפך.

לדוגמה. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

פעולות עם שורשים.

1. שורש המכפלה של מספר גורמים שווה למכפלת השורשים של גורמים אלה:

2. שורש יחס שווה ליחס הדיבידנד ומחלק השורשים:

3. כשמעלים שורש לחזקה, מספיק להעלות את המספר הרדיקלי לעוצמה זו:

4. אם מגדילים את מידת השורש פנימה נפעם אחת ובו זמנית לבנות לתוך נהחזקה היא מספר רדיקלי, אז הערך של השורש לא ישתנה:

5. אם מורידים את מידת השורש פנימה נלחלץ את השורש בו זמנית נהחזקה של מספר רדיקלי, אז הערך של השורש לא ישתנה:

תואר עם מעריך שלילי.החזקה של מספר מסוים עם מעריך לא חיובי (מספר שלם) מוגדרת כאחד מחולק בחזקת אותו מספר עם מעריך שווה לערך המוחלט של המעריך הלא חיובי:

נוּסחָה א מ:a n =a m - nיכול לשמש לא רק עבור M> נ, אבל גם עם M< נ.

לדוגמה. א4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

לנוסחה א מ:a n =a m - nהפך להיות הוגן מתי m=n, נדרשת נוכחות של תואר אפס.

תואר עם מדד אפס.החזקה של כל מספר שאינו שווה לאפס עם מעריך אפס שווה לאחד.

לדוגמה. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

תואר עם מעריך שבר.להעלות מספר אמיתי אלתואר m/n, אתה צריך לחלץ את השורש נהתואר של Mהחזקה של מספר זה א.