משימה 1(על חישוב השטח טרפז עקום).

במערכת הקואורדינטות המלבניות הקרטזית xOy, ניתנת דמות (ראה איור), תחומה על ידי ציר x, קווים ישרים x \u003d a, x \u003d b (טרפז עקום. יש צורך לחשב את השטח של\ u200b\u200b הטרפז העקום.
פִּתָרוֹן.הגיאומטריה נותנת לנו מתכונים לחישוב השטחים של מצולעים וכמה חלקים של מעגל (מגזר, קטע). באמצעות שיקולים גיאומטריים, נוכל למצוא רק ערך משוער של השטח הנדרש, בטענה כדלקמן.

בואו נחלק את הקטע [א; ב] (בסיס של טרפז עקום) ל-n חלקים שווים; מחיצה זו אפשרית בעזרת נקודות x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . הבה נצייר קווים דרך נקודות אלה במקביל לציר ה-y. ואז הטרפז העקום הנתון יחולק ל-n חלקים, ל-n עמודות צרות. שטח הטרפז כולו שווה לסכום שטחי העמודים.

שקול בנפרד את העמודה K-th, כלומר. טרפז עקום, שבסיסו הוא קטע. נחליף אותו במלבן בעל אותו בסיס וגובה שווה ל-f(x k) (ראה איור). שטח המלבן הוא \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), כאשר \(\Delta x_k \) הוא אורך הקטע; זה טבעי לשקול את המוצר המלוקט כערך משוער של שטח העמודה ה-k.

אם נעשה את אותו הדבר כעת עם כל העמודות האחרות, אז נגיע לתוצאה הבאה: שטח S של טרפז עקום נתון שווה בערך לשטח S n של דמות מדורגת המורכבת מ-n מלבנים (ראה איור):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
כאן, למען אחידות הסימון, אנו רואים כי a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - אורך קטע , \(\Delta x_1 \) - אורך קטע וכו'; בעוד, כפי שהסכמנו למעלה, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

אז, \(S \approx S_n \), והשוויון המשוער הזה הוא המדויק יותר, ה-n גדול יותר.
על פי הגדרה, ההנחה היא שהשטח הרצוי של הטרפז העקום שווה לגבול הרצף (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

משימה 2(על הזזת נקודה)
נע בקו ישר נקודה חומרית. התלות של המהירות בזמן מתבטאת בנוסחה v = v(t). מצא את העקירה של נקודה על פני מרווח הזמן [a; ב].
פִּתָרוֹן.אם התנועה הייתה אחידה, אז הבעיה הייתה נפתרת בפשטות רבה: s = vt, כלומר. s = v(b-a). לתנועה לא אחידה, יש להשתמש באותם רעיונות שעליהם התבסס פתרון הבעיה הקודמת.
1) חלקו את מרווח הזמן [א; ב] ל-n חלקים שווים.
2) חשבו על מרווח זמן והנח שבמהלך מרווח זמן זה המהירות הייתה קבועה, כמו בזמן t k . לכן, אנו מניחים ש-v = v(t k).
3) מצא את הערך המשוער של תזוזה הנקודה על פני מרווח הזמן, ערך משוער זה יסומן על ידי s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) מצא את הערך המשוער של העקירה s:
\(s \approx S_n \) איפה
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) התזוזה הנדרשת שווה לגבול הרצף (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

בואו נסכם. הפתרונות של בעיות שונות צומצמו לאותו מודל מתמטי. בעיות רבות מתחומי מדע וטכנולוגיה שונים מובילות לאותו מודל בתהליך הפתרון. אז זה מודל מתמטיצריך ללמוד במיוחד.

הרעיון של אינטגרל מובהק

הבה ניתן תיאור מתמטי של המודל שנבנה בשלוש הבעיות הנחשבות עבור הפונקציה y = f(x), שהיא רציפה (אך לא בהכרח לא שלילית, כפי שהונחה בבעיות הנחשבות) על הקטע [ א; ב]:
1) לפצל את הקטע [א; ב] ל-n חלקים שווים;
2) סכום $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) מחשב $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

במהלך הניתוח המתמטי, הוכח שגבול זה קיים במקרה של פונקציה רציפה (או רציפה חלקית). הוא נקרא אינטגרל מוגדר של הפונקציה y = f(x) מעל הקטע [a; ב]ומסומנים כך:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
המספרים a ו-b נקראים גבולות האינטגרציה (תחתון ועליון, בהתאמה).

נחזור למשימות שנדונו לעיל. כעת ניתן לשכתב את הגדרת השטח שניתנה בבעיה 1 באופן הבא:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
כאן S הוא השטח של הטרפז העקום המוצג באיור שלמעלה. זה מה משמעות גיאומטרית של האינטגרל המובהק.

ניתן לכתוב מחדש את ההגדרה של התזוזה s של נקודה הנעה בקו ישר במהירות v = v(t) על פני מרווח הזמן מ-t = a ל-t = b, שניתנה בבעיה 2:

נוסחת ניוטון - לייבניץ

ראשית, נענה על השאלה: מה הקשר בין אינטגרל מובהק לנגזרת אנטי?

את התשובה ניתן למצוא בבעיה 2. מצד אחד, התזוזה s של נקודה הנעה לאורך קו ישר במהירות v = v(t) על פני מרווח זמן מ-t = a עד t = b ומחושבת לפי הנוסחה
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

מצד שני, הקואורדינטה של ​​הנקודה הנעה היא הנגזרת האנטי-נגזרת למהירות - נסמן אותה s(t); מכאן שהעקירה s מתבטאת בנוסחה s = s(b) - s(a). כתוצאה מכך, אנו מקבלים:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
כאשר s(t) הוא האנטי-נגזרת של v(t).

המשפט הבא הוכח במהלך ניתוח מתמטי.
מִשׁפָּט. אם הפונקציה y = f(x) רציפה על הקטע [a; b], ואז הנוסחה
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
כאשר F(x) היא הנגזרת האנטי-נגזרת של f(x).

הנוסחה לעיל נקראת בדרך כלל נוסחת ניוטון-לייבניץלכבודו של הפיזיקאי האנגלי אייזק ניוטון (1643-1727) ו פילוסוף גרמניגוטפריד לייבניץ (1646-1716), שקיבלו אותו ללא תלות זה בזה וכמעט בו זמנית.

בפועל, במקום לכתוב F(b) - F(a), הם משתמשים בסימון \(\left. F(x)\right|_a^b \) (זה נקרא לפעמים החלפה כפולה) ובהתאם, כתוב מחדש את נוסחת ניוטון-לייבניץ בצורה זו:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

חישוב אינטגרל מוגדר, תחילה מצא את הנגזרת האנטי, ולאחר מכן בצע החלפה כפולה.

בהתבסס על נוסחת ניוטון-לייבניץ, ניתן לקבל שתי תכונות של אינטגרל מוגדר.

נכס 1.אינטגרל של סכום הפונקציות שווה לסכוםאינטגרלים:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

נכס 2.ניתן להוציא את הגורם הקבוע מהסימן האינטגרלי:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

חישוב השטחים של דמויות מישוריות באמצעות אינטגרל מוגדר

באמצעות האינטגרל, אתה יכול לחשב את השטח לא רק של טרפזים עקומים, אלא גם של דמויות שטוחות יותר מ סוג מורכב, כמו זה שמוצג באיור. הדמות P תחומה בקווים ישרים x = a, x = b ובגרפים של פונקציות רציפות y = f(x), y = g(x), ועל הקטע [a; b] אי השוויון \(g(x) \leq f(x) \) מתקיים. כדי לחשב את שטח S של דמות כזו, נמשיך כדלקמן:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

אז, השטח S של הדמות התחום על ידי הקווים הישרים x = a, x = b והגרפים של הפונקציות y = f (x), y = g (x), רציף על הקטע וכזה שעבור כל x מ- הקטע [א; b] אי השוויון \(g(x) \leq f(x) \) מרוצה, מחושב לפי הנוסחה
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

טבלה של אינטגרלים בלתי מוגדרים (אנטי-נגזרים) של פונקציות מסוימות

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

אנו מתחילים לשקול את תהליך חישוב האינטגרל הכפול בפועל ולהכיר את המשמעות הגאומטרית שלו.

אינטגרל כפול מבחינה מספרית שווה לשטחדמות מישור (אזורי אינטגרציה). זוהי הצורה הפשוטה ביותר של האינטגרל הכפול, כאשר הפונקציה של שני משתנים שווה לאחד: .

תחילה נבחן את הבעיה במונחים כלליים. עכשיו תופתעו כמה זה פשוט באמת! בואו לחשב את השטח של דמות שטוחה התחום בקווים. ליתר ביטחון, אנו מניחים שבמרווח . השטח של נתון זה שווה מספרית ל:

בואו נתאר את האזור בציור:

בואו נבחר את הדרך הראשונה לעקוף את האזור:

לכן:

ומיד טריק טכני חשוב: ניתן לשקול אינטגרלים חוזרים בנפרד. קודם האינטגרל הפנימי, אחר כך האינטגרל החיצוני. השיטה הזאתממליץ בחום למתחילים בנושא קנקני תה.

1) חשב את האינטגרל הפנימי, בעוד שהשילוב מתבצע על המשתנה "y":

האינטגרל הבלתי מוגדר כאן הוא הפשוט ביותר, ואז משתמשים בנוסחה הבנאלית של ניוטון-לייבניץ, עם ההבדל היחיד שהוא גבולות האינטגרציה אינם מספרים, אלא פונקציות. הוחלף לראשונה ב-"y" ( פונקציה אנטי-נגזרת) גבול עליון, ואז גבול תחתון

2) יש להחליף את התוצאה המתקבלת בפסקה הראשונה באינטגרל החיצוני:

סימון קומפקטי יותר עבור הפתרון כולו נראה כך:

הנוסחה שהתקבלה - זה בדיוק נוסחת עבודהכדי לחשב את השטח של דמות שטוחה באמצעות האינטגרל המובהק "הרגיל"! ראה שיעור חישוב שטח באמצעות אינטגרל מוגדר, הנה היא בכל פינה!

זה, הבעיה של חישוב השטח באמצעות אינטגרל כפול קצת שונהמהבעיה של מציאת השטח באמצעות אינטגרל מובהק!למעשה, הם אותו דבר!

בהתאם, לא צריכים להתעורר קשיים! לא אתייחס להרבה מאוד דוגמאות, שכן אתה, למעשה, נתקלת שוב ושוב בבעיה זו.

דוגמה 9

פִּתָרוֹן:בואו נתאר את האזור בציור:

בואו נבחר את סדר המעבר הבא של האזור:

כאן ולמטה, לא אכנס כיצד לחצות אזור מכיוון שהפסקה הראשונה הייתה מאוד מפורטת.

לכן:

כפי שכבר ציינתי, עדיף למתחילים לחשב אינטגרלים חוזרים בנפרד, אני אצמד לאותה שיטה:

1) ראשית, באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ, אנו עוסקים באינטגרל הפנימי:

2) התוצאה המתקבלת בשלב הראשון מוחלפת באינטגרל החיצוני:

נקודה 2 היא למעשה מציאת השטח של דמות שטוחה באמצעות אינטגרל מוגדר.

תשובה:

הנה משימה כל כך טיפשית ונאיבית.

דוגמה מוזרה לפתרון עצמאי:

דוגמה 10

באמצעות האינטגרל הכפול, חשב את השטח של דמות מישור התחום בקווים , ,

מדגם מדגםסיום הפתרון בסוף השיעור.

בדוגמאות 9-10 הרבה יותר משתלם להשתמש בדרך הראשונה לעקוף את השטח, קוראים סקרנים, אגב, יכולים לשנות את סדר העקיפה ולחשב את השטחים בדרך השנייה. אם אתה לא עושה טעות, אז, באופן טבעי, אותם ערכי אזור הושגו.

אבל במקרים מסוימים, הדרך השנייה לעקוף את האזור יעילה יותר, ובסיכום הקורס של החנון הצעיר, בואו נסתכל על עוד כמה דוגמאות בנושא זה:

דוגמה 11

באמצעות האינטגרל הכפול, חשב את השטח של דמות מישור התחום בקווים.

פִּתָרוֹן:אנחנו מצפים לשתי פרבולות עם משב רוח ששוכבות על הצד שלהן. אין צורך לחייך, לעתים קרובות נתקלים בדברים דומים במספר אינטגרלים.

מהי הדרך הקלה ביותר לצייר ציור?

בואו נציג את הפרבולה כשתי פונקציות:
- ענף עליון ו - ענף תחתון.

באופן דומה, דמיינו פרבולה כעליון ותחתון ענפים.

לאחר מכן, כוננים מתווים נקודה אחר נקודה, וכתוצאה מכך נתון כה מוזר:

שטח הדמות מחושב באמצעות האינטגרל הכפול לפי הנוסחה:

מה יקרה אם נבחר בדרך הראשונה לעקוף את האזור? ראשית, אזור זה יצטרך להיות מחולק לשני חלקים. ושנית, נתבונן בתמונה העצובה הזו: . אינטגרלים, כמובן, אינם ברמה סופר-מורכבת, אבל... יש פתגם מתמטי ישן שאומר: מי שמתיידד עם השורשים לא צריך קיזוז.

לכן, מתוך אי ההבנה הניתנת בתנאי, אנו מבטאים את הפונקציות ההפוכות:

פונקציות הפוכותבדוגמה זו, יש להם יתרון שהם מייצרים מיד את כל הפרבולה ללא עלים, בלוטים, ענפים ושורשים.

לפי השיטה השנייה, חציית השטח תהיה כדלקמן:

לכן:

כמו שאומרים, הרגישו את ההבדל.

1) אנו עוסקים באינטגרל הפנימי:

נחליף את התוצאה באינטגרל החיצוני:

אינטגרציה על המשתנה "y" לא אמורה להיות מביכה, אם הייתה אות "zyu" - יהיה נהדר להשתלב עליה. אמנם מי קרא את הפסקה השנייה של השיעור כיצד לחשב נפח של גוף מהפכה, הוא כבר לא חווה שמץ של מבוכה עם אינטגרציה על פני "y".

שימו לב גם לשלב הראשון: האינטגרנד זוגי, וקטע האינטגרציה סימטרי בערך אפס. לכן, ניתן לחצות את הקטע, ולהכפיל את התוצאה. טכניקה זו מוערת בפירוט בשיעור. שיטות יעילותחישוב של אינטגרל מוגדר.

מה להוסיף…. את כל!

תשובה:

כדי לבדוק את טכניקת האינטגרציה שלך, אתה יכול לנסות לחשב . התשובה צריכה להיות זהה לחלוטין.

דוגמה 12

באמצעות האינטגרל הכפול, חשב את השטח של דמות מישור התחום בקווים

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. מעניין לציין שאם תנסה להשתמש בדרך הראשונה כדי לעקוף את האזור, אז הדמות כבר לא תחולק לשניים, אלא לשלושה חלקים! ובהתאם לכך, אנו מקבלים שלושה זוגות של אינטגרלים חוזרים. לפעמים זה קורה.

כיתת המאסטר הגיעה לסיומה, והגיע הזמן לעבור לרמת הגראנדמאסטר - איך מחשבים את האינטגרל הכפול? דוגמאות לפתרונות. אני אשתדל לא להיות כל כך מאני במאמר השני =)

אני מאחל לך הצלחה!

פתרונות ותשובות:

דוגמה 2:פִּתָרוֹן: צייר אזור על הציור:

בואו נבחר את סדר המעבר הבא של האזור:

לכן:
נעבור לפונקציות הפוכות:


לכן:
תשובה:

דוגמה 4:פִּתָרוֹן: בואו נעבור לפונקציות ישירות:


בוא נבצע את הציור:

נשנה את סדר המעבר של האזור:

תשובה:

כעת נפנה לבחינת יישומים של החשבון האינטגרלי. בשיעור זה ננתח משימה טיפוסית ונפוצה ביותר. חישוב השטח של דמות שטוחה באמצעות אינטגרל מוגדר. לבסוף, כל אלה שמחפשים משמעות מתמטיקה גבוהה יותר- שימצאו אותו. אתה אף פעם לא יודע. בחיים האמיתיים, תצטרך להעריך קוטג' קיץ עם פונקציות אלמנטריות ולמצוא את השטח שלו באמצעות אינטגרל מסוים.

כדי לשלוט בהצלחה בחומר, עליך:

1) להבין אינטגרל בלתי מוגבללפחות ברמה ממוצעת. לפיכך, על בובות לקרוא תחילה את השיעור לֹא.

2) להיות מסוגל ליישם את נוסחת ניוטון-לייבניץ ולחשב את האינטגרל המובהק. אתה יכול ליצור קשרי ידידות חמים עם אינטגרלים מסוימים בדף אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות. המשימה "לחשב את השטח באמצעות אינטגרל מוגדר" כרוכה תמיד בבניית שרטוטלכן, גם הידע שלך וכישורי הציור יהיו נושא דחוף. לכל הפחות צריך להיות מסוגל לבנות קו ישר, פרבולה והיפרבולה.

נתחיל עם טרפז עקום. טרפז עקום הוא דמות שטוחה התחום על ידי הגרף של פונקציה כלשהי y = ו(איקס), ציר שׁוֹרוקווים איקס = א; איקס = ב.

השטח של טרפז עקום שווה מספרית לאינטגרל מסוים

לכל אינטגרל מוגדר (שקיים) יש משמעות גיאומטרית טובה מאוד. בשיעור אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונותאמרנו שאינטגרל מוגדר הוא מספר. ועכשיו הגיע הזמן לציין עוד עובדה שימושית. מנקודת מבט של גיאומטריה, האינטגרל המובהק הוא ה-AREA. זה, האינטגרל המובהק (אם הוא קיים) מתאים מבחינה גיאומטרית לשטח של דמות כלשהי. שקול את האינטגרל המובהק

אינטגרנד

מגדיר עקומה במישור (ניתן לצייר אותה אם תרצה), והאינטגרל המובהק עצמו שווה מספרית לשטח הטרפז העקום המקביל.

דוגמה 1

, , , .

זוהי משימה טיפוסית. הנקודה החשובה ביותר של ההחלטה היא בניית שרטוט. יתר על כן, יש לבנות את השרטוט ימין.

בעת בניית תוכנית, אני ממליץ על הסדר הבא: בתחילהעדיף לבנות את כל הקווים (אם יש) ורק לאחר מכן- פרבולות, היפרבולות, גרפים של פונקציות אחרות. ניתן למצוא את טכניקת הבנייה הנקודתית בחומר העזר גרפים ומאפיינים פונקציות אלמנטריות . שם תוכלו למצוא גם חומר שימושי מאוד ביחס לשיעור שלנו – איך לבנות פרבולה במהירות.

בבעיה זו, הפתרון עשוי להיראות כך.

בואו נעשה ציור (שימו לב שהמשוואה y= 0 מציין את הציר שׁוֹר):

לא נבקע את הטרפז העקום, ברור כאן באיזה אזור בשאלה. הפתרון ממשיך כך:

על הקטע [-2; 1] גרף פונקציות y = איקס 2 + 2 ממוקם מעל צירשׁוֹר, בגלל זה:

תשובה: .

מי מתקשה לחשב את האינטגרל המובהק וליישם את נוסחת ניוטון-לייבניץ

,

עיין בהרצאה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות. לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, "לפי העין" אנו סופרים את מספר התאים בציור - ובכן, בערך 9 יוקלדו, נראה שזה נכון. די ברור שאם הייתה לנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים בעליל לא מתאימים לדמות המדוברת, לכל היותר תריסר. אם התברר שהתשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.

דוגמה 2

חשב את השטח של דמות התחום בקווים xy = 4, איקס = 2, איקס= 4 וציר שׁוֹר.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. פתרון מלאוהתשובה בסוף השיעור.

מה לעשות אם הטרפז העקמומי ממוקם מתחת לסרןשׁוֹר?

דוגמה 3

חשב את השטח של דמות התחום בקווים y = לְשֶׁעָבַר, איקס= 1 וצירי קואורדינטות.

פתרון: בואו נעשה ציור:

אם טרפז עקום לגמרי מתחת לסרן שׁוֹר , אז ניתן למצוא את השטח שלו על ידי הנוסחה:

במקרה הזה:

.

תשומת הלב! אין לבלבל בין שני סוגי המשימות:

1) אם תתבקשו לפתור רק אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז זה יכול להיות שלילי.

2) אם תתבקשו למצוא את השטח של דמות באמצעות אינטגרל מוגדר, אז השטח תמיד חיובי! לכן המינוס מופיע בנוסחה שנחשבה זה עתה.

בפועל, לרוב הדמות ממוקמת במישור החצי העליון והתחתון כאחד, ולכן, מבעיות בית הספר הפשוטות ביותר, אנו עוברים לדוגמאות משמעותיות יותר.

דוגמה 4

מצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים y = 2איקס – איקס 2 , y = -איקס.

פתרון: ראשית אתה צריך לעשות ציור. כאשר בונים ציור בבעיות שטח, אנו מתעניינים בעיקר בנקודות החיתוך של קווים. מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה y = 2איקס – איקס 2 וישר y = -איקס. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים. הדרך הראשונה היא אנליטית. נפתור את המשוואה:

אז הגבול התחתון של האינטגרציה א= 0, גבול עליון של אינטגרציה ב= 3. לרוב רווחי ומהיר יותר לבנות קווים נקודה אחר נקודה, בעוד שגבולות האינטגרציה מתגלים כאילו "בעצמם". עם זאת, עדיין יש להשתמש בשיטה האנליטית של מציאת הגבולות אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהמבנה המושחל לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים). אנו חוזרים למשימה שלנו: יותר רציונלי לבנות תחילה קו ישר ורק אחר כך פרבולה. בואו נעשה ציור:

אנו חוזרים על כך שבבנייה נקודתית, גבולות האינטגרציה מתגלים לרוב "באופן אוטומטי".

ועכשיו נוסחת העבודה:

אם במרווח [ א; ב] פונקציה רציפה כלשהי ו(איקס) גדול או שווהכמה תפקוד רציף ז(איקס), אז ניתן למצוא את השטח של הדמות המקבילה על ידי הנוסחה:

כאן כבר אין צורך לחשוב היכן ממוקמת הדמות - מעל הציר או מתחת לציר, אלא זה משנה איזה תרשים נמצא למעלה(ביחס לגרף אחר), ואיזה מהם נמצא מתחת.

בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל הקו הישר, ולכן מ-2 איקס – איקסיש לגרוע 2 - איקס.

השלמת הפתרון עשויה להיראות כך:

הנתון הרצוי מוגבל על ידי פרבולה y = 2איקס – איקס 2 עליונים וישרים y = -איקסמלמטה.

על קטע 2 איקס – איקס 2 ≥ -איקס. לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה: .

למעשה, נוסחת בית הספרעבור השטח של טרפז עקום בחצי המישור התחתון (ראה דוגמה מס' 3) - מקרה מיוחדנוסחאות

.

מאז הציר שׁוֹרניתן על ידי המשוואה y= 0, והגרף של הפונקציה ז(איקס) ממוקם מתחת לציר שׁוֹר, זה

.

ועכשיו כמה דוגמאות לפתרון עצמאי

דוגמה 5

דוגמה 6

מצא את השטח של דמות התחום בקווים

במהלך פתרון בעיות לחישוב השטח באמצעות אינטגרל מסוים, קורה לפעמים תקרית מצחיקה. הציור נעשה בצורה נכונה, החישובים היו נכונים, אבל, בגלל חוסר תשומת לב, ... מצא את השטח של הדמות הלא נכונה.

דוגמה 7

בוא נצייר קודם:

הדמות שאת השטח שלה אנחנו צריכים למצוא מוצללת בכחול.(הסתכלו היטב על המצב - איך הנתון מוגבל!). אבל בפועל, בגלל חוסר תשומת לב, הם מחליטים לעתים קרובות שהם צריכים למצוא את השטח של הדמות המוצלת בירוק!

דוגמה זו שימושית גם בכך שבה מחושב השטח של הדמות באמצעות שני אינטגרלים מוגדרים. בֶּאֱמֶת:

1) על הקטע [-1; 1] מעל הסרן שׁוֹרהגרף ישר y = איקס+1;

2) על הקטע שמעל הציר שׁוֹרגרף ההיפרבולה נמצא y = (2/איקס).

ברור למדי שניתן (וצריך) להוסיף את האזורים, לכן:

תשובה:

דוגמה 8

חשב את השטח של דמות התחום בקווים

נציג את המשוואות בצורת "בית ספר".

ותעשה את ציור הקו:

ניתן לראות מהציור שהגבול העליון שלנו הוא "טוב": ב = 1.

אבל מה הגבול התחתון? ברור שזה לא מספר שלם, אלא מה?

אולי, א=(-1/3)? אבל איפה הערובה שהציור נעשה בדיוק מושלם, יכול בהחלט להתברר שכן א=(-1/4). מה אם לא נבין את הגרף בכלל?

במקרים כאלה, יש להשקיע זמן נוסף ולחדד את גבולות האינטגרציה בצורה אנליטית.

מצא את נקודות החיתוך של הגרפים

לשם כך נפתור את המשוואה:

.

לָכֵן, א=(-1/3).

הפתרון הנוסף הוא טריוויאלי. העיקר לא להתבלבל בהחלפות ובסימנים. החישובים כאן הם לא הכי קלים. על הקטע

, ,

לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה:

לסיכום השיעור, נשקול שתי משימות קשות יותר.

דוגמה 9

חשב את השטח של דמות התחום בקווים

פתרון: צייר את הדמות הזו בציור.

עבור ציור נקודתי, אתה צריך לדעת מראה חיצוניסינוסואידים. באופן כללי, כדאי לדעת את הגרפים של כל הפונקציות היסודיות, כמו גם כמה ערכים של הסינוס. ניתן למצוא אותם בטבלת הערכים פונקציות טריגונומטריות . במקרים מסוימים (למשל במקרה זה), מותר לבנות שרטוט סכמטי, שעליו יש להציג גרפים ומגבלות אינטגרציה באופן עקרוני בצורה נכונה.

אין בעיות עם מגבלות האינטגרציה כאן, הן נובעות ישירות מהתנאי:

- "x" משתנה מאפס ל-"pi". אנו מקבלים החלטה נוספת:

על הקטע, הגרף של הפונקציה y= חטא 3 איקסממוקם מעל הציר שׁוֹר, בגלל זה:

(1) ניתן לראות כיצד סינוסים וקוסינוסים משולבים בחזקות אי-זוגיות בשיעור אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות. אנחנו צובטים סינוס אחד.

(2) אנו משתמשים בזהות הטריגונומטרית הבסיסית בטופס

(3) הבה נשנה את המשתנה ט= cos איקס, אז: ממוקם מעל הציר , אז:

.

.

הערה:שימו לב כיצד נלקח האינטגרל של הטנגנס בקובייה, כאן התוצאה של ה-main זהות טריגונומטרית

.

א)

פִּתָרוֹן.

ראשית ו נקודה מכרעתפתרונות - בניית שרטוט.

בואו נעשה ציור:

המשוואה y=0 קובע את ציר ה-x;

- x=-2 ו x=1 - ישר, מקביל לציר OU;

- y \u003d x 2 +2 - פרבולה שענפיה מופנים כלפי מעלה, עם קודקוד בנקודה (0;2).

תגובה.כדי לבנות פרבולה, מספיק למצוא את נקודות החיתוך שלה עם צירי הקואורדינטות, כלומר. לשים x=0 למצוא את הצומת עם הציר OU ולהחליט על המתאים משוואה ריבועית, מצא את החתך עם הציר אה .

ניתן למצוא את הקודקוד של פרבולה באמצעות הנוסחאות:

אתה יכול לצייר קווים ונקודה אחר נקודה.

על המרווח [-2;1] הגרף של הפונקציה y=x 2 +2 ממוקם מעל ציר שׁוֹר , בגלל זה:

תשובה: ס \u003d 9 יחידות מרובעות

לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, "לפי העין" אנו סופרים את מספר התאים בציור - ובכן, בערך 9 יוקלדו, נראה שזה נכון. די ברור שאם הייתה לנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים בעליל לא מתאימים לדמות המדוברת, לכל היותר תריסר. אם התברר שהתשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.

מה לעשות אם הטרפז העקמומי ממוקם מתחת לסרן אה?

ב)חשב את השטח של דמות התחום בקווים y=-e x , x=1 ולתאם צירים.

פִּתָרוֹן.

בואו נעשה ציור.

אם טרפז עקום לגמרי מתחת לסרן אה , ואז ניתן למצוא את השטח שלו על ידי הנוסחה:

תשובה: S=(e-1) יחידת מ"ר" 1.72 יחידת מ"ר

תשומת הלב! אל תבלבלו בין שני סוגי המשימות:

1) אם תתבקשו לפתור רק אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז הוא יכול להיות שלילי.

2) אם תתבקשו למצוא את השטח של דמות באמצעות אינטגרל מוגדר, אז השטח תמיד חיובי! לכן המינוס מופיע בנוסחה שנחשבה זה עתה.

בפועל, לרוב הדמות ממוקמת במישור החצי העליון והתחתון כאחד.

עם)מצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

פִּתָרוֹן.

ראשית אתה צריך לעשות ציור. באופן כללי, כאשר בונים שרטוט בבעיות שטח, אנו מתעניינים בעיקר בנקודות החיתוך של קווים. מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה וישיר ניתן לעשות זאת בשתי דרכים. הדרך הראשונה היא אנליטית.

נפתור את המשוואה:

אז הגבול התחתון של האינטגרציה a=0 , הגבול העליון של האינטגרציה b=3 .

אנו בונים את הקווים הנתונים: 1. פרבולה - קודקוד בנקודה (1;1); צומת ציר אה -נקודות(0;0) ו-(0;2). 2. קו ישר - חצויה של זוויות הקואורדינטות ה-2 וה-4. ועכשיו שימו לב! אם במרווח [ א;ב] פונקציה רציפה כלשהי f(x)גדול או שווה לפונקציה רציפה כלשהי g(x), אז ניתן למצוא את השטח של הדמות המקבילה על ידי הנוסחה: . וזה לא משנה היכן ממוקמת הדמות - מעל הציר או מתחת לציר, אבל חשוב איזה תרשים הוא HIGHER (ביחס לתרשים אחר), ואיזה הוא BELOW. בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל לקו הישר, ולכן יש צורך להחסיר ממנו

אפשר לבנות קווים נקודה אחר נקודה, בעוד שגבולות האינטגרציה מתגלים כאילו "מעצמם". עם זאת, עדיין יש להשתמש בשיטה האנליטית של מציאת הגבולות אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהמבנה המושחל לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים).

הדמות הרצויה מוגבלת על ידי פרבולה מלמעלה וקו ישר מלמטה.

על הקטע , לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה: ס \u003d 4.5 יחידות מ"ר

נתון התחום על ידי הגרף של פונקציה לא שלילית רציפה $f(x)$ במרווח $$ והקווים $y=0, \ x=a$ ו-$x=b$ נקרא טרפז עקום.

השטח של הטרפז העקום המתאים מחושב על ידי הנוסחה:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

את הבעיות של מציאת השטח של טרפז עקום נחלק באופן מותנה לסוגי $4$. בואו נשקול כל סוג ביתר פירוט.

סוג I: טרפז עקום ניתן במפורש.לאחר מכן החל מיד את הנוסחה (*).

לדוגמה, מצא את השטח של טרפז עקום התחום על ידי הגרף של הפונקציה $y=4-(x-2)^(2)$ והקווים $y=0, \ x=1$ ו-$x = 3$.

בואו נצייר את הטרפז העקמומי הזה.

יישום הנוסחה (*), אנו מוצאים את השטח של הטרפז העקמומי הזה.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).

סוג II: טרפז עקום מצויין באופן מרומז.במקרה זה, הקווים הישרים $x=a, \ x=b$ בדרך כלל אינם מצוינים או מצוינים באופן חלקי. במקרה זה, עליך למצוא את נקודות החיתוך של הפונקציות $y=f(x)$ ו-$y=0$. נקודות אלו יהיו הנקודות $a$ ו-$b$.

לדוגמה, מצא את השטח של הדמות התחום על ידי הגרפים של הפונקציות $y=1-x^(2)$ ו-$y=0$.

בוא נמצא את נקודות ההצטלבות. לשם כך, אנו משווים את החלקים הנכונים של הפונקציות.

אז $a=-1$ ו-$b=1$. בואו נצייר את הטרפז העקמומי הזה.

מצא את השטח של הטרפז העקמומי הזה.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).

סוג III: השטח של דמות התחום על ידי החתך של שתי פונקציות לא שליליות רציפות.נתון זה לא יהיה טרפז עקום, כלומר באמצעות הנוסחה (*) לא ניתן לחשב את שטחו. איך להיות?מסתבר שניתן למצוא את השטח של נתון זה כהבדל בין השטחים של טרפזים עקומים התחום בפונקציה העליונה לבין $y=0$ ($S_(uf)$), וכן פונקציה תחתונהו-$y=0$ ($S_(lf)$), כאשר $x=a, \ x=b$ הן הקואורדינטות $x$ של נקודות החיתוך של פונקציות אלו, כלומר.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

הדבר החשוב ביותר בעת חישוב אזורים כאלה הוא לא "להחמיץ" את הבחירה של הפונקציות העליונות והתחתונות.

לדוגמה, מצא את השטח של דמות התחום על ידי הפונקציות $y=x^(2)$ ו-$y=x+6$.

בואו נמצא את נקודות החיתוך של הגרפים האלה:

לפי משפט וייטה,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

כלומר, $a=-2, \ b=3$. בואו נצייר צורה:

אז הפונקציה העליונה היא $y=x+6$ והתחתון היא $y=x^(2)$. לאחר מכן, מצא את $S_(uf)$ ו-$S_(lf)$ באמצעות הנוסחה (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2) )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (יחידה $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unit$^(2)$).

תחליף נמצא ב-(**) וקבל:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (יחידה $^(2)$).

סוג IV: שטח דמות, תפקוד מוגבל(-s) שאינו עומד בתנאי אי-שליליות.כדי למצוא את השטח של דמות כזו, עליך להיות סימטרי על ציר $Ox$ ( במילים אחרות,שימו "מינוסים" לפני הפונקציות) הציגו את השטח ובאמצעות השיטות המתוארות בסוגים I - III, מצאו את השטח של האזור המוצג. אזור זה יהיה השטח הנדרש. ראשית, ייתכן שיהיה עליך למצוא את נקודות החיתוך של גרפי הפונקציות.

לדוגמה, מצא את שטח הדמות התחום על ידי הגרפים של הפונקציות $y=x^(2)-1$ ו-$y=0$.

בואו נמצא את נקודות החיתוך של גרפי הפונקציות:

הָהֵן. $a=-1$ ו-$b=1$. בואו נצייר את השטח.

בואו נציג את האזור באופן סימטרי:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

אתה מקבל טרפז עקום תחום על ידי הגרף של הפונקציה $y=1-x^(2)$ ו-$y=0$. זו בעיה של מציאת טרפז עקום מהסוג השני. כבר פתרנו את זה. התשובה הייתה: $S= 1\frac(1)(3)$ (יחידות $^(2)$). אז, השטח של הטרפז העקום הרצוי שווה ל:

$S=1\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).