המאפיינים הדינמיים העיקריים של תנועה סיבובית הם התנע הזוויתי סביב ציר הסיבוב z:

ואנרגיה קינטית

במקרה הכללי, האנרגיה במהלך סיבוב עם מהירות זוויתית נמצאת על ידי הנוסחה:

, היכן נמצא טנסור האינרציה .

בתרמודינמיקה

בדיוק באותו נימוק כמו במקרה תנועה קדימה, חלוקה שווה מרמזת שבשיווי משקל תרמי הממוצע אנרגיה סיבוביתכל חלקיק של גז מונוטומי: (3/2)ק ב ט. באופן דומה, משפט שווי-החלוקה מאפשר לחשב את המהירות הזוויתית השורשית-מרובעת של מולקולות.

ראה גם

קרן ויקימדיה. 2010 .

ראה מהי "אנרגיה של תנועה סיבובית" במילונים אחרים:

למונח זה יש משמעויות אחרות, ראה אנרגיה (משמעויות). אנרגיה, מימד ... ויקיפדיה

תנועות- תנועות. תוכן: גיאומטריה ד...................452 קינמטיקה ד...................456 דינמיקה ד. ...................461 מנגנונים מוטוריים ......................465 שיטות לימוד ד. של אדם ..........471 פתולוגיה ד של אדם ............. 474 ... ... אנציקלופדיה רפואית גדולה

אנרגיה קינטית היא האנרגיה של מערכת מכנית, התלויה במהירות התנועה של הנקודות שלה. לעתים קרובות להקצות את האנרגיה הקינטית של תנועה טרנסציונלית וסיבובית. באופן קפדני יותר, אנרגיה קינטית היא ההבדל בין סך ... ... ויקיפדיה

תנועה תרמית של פפטיד α. התנועה הרועדת המורכבת של האטומים המרכיבים את הפפטיד היא אקראית, והאנרגיה של אטום בודד משתנה על פני טווח רחב, אך באמצעות חוק החלוקה השוויונית מחושבת כאנרגיה קינטית ממוצעת של כל ... ... ויקיפדיה

תנועה תרמית של פפטיד α. התנועה הרועדת המורכבת של האטומים המרכיבים את הפפטיד היא אקראית, והאנרגיה של אטום בודד משתנה על פני טווח רחב, אך באמצעות חוק החלוקה השוויונית מחושבת כאנרגיה קינטית ממוצעת של כל ... ... ויקיפדיה

- (marées צרפתי, Gezeiten גרמני, גאות ושפל באנגלית) תנודות תקופתיות במפלס המים עקב המשיכה של הירח והשמש. מידע כללי. P. בולט ביותר לאורך חופי האוקיינוסים. מיד לאחר השפל של השפל הגדול ביותר, מפלס האוקיינוס ​​מתחיל ל ... ... מילון אנציקלופדי F.A. ברוקהאוז ואי.א. אפרון

כלי קירור שנהב Tirupati היציבות הראשונית היא שלילית יכולת יציבות ... ויקיפדיה

כלי קירור Ivory Tirupati היציבות הראשונית היא שלילית יציבות יכולתו של מתקן צף לעמוד בכוחות חיצוניים הגורמים לו להתגלגל או לקצץ ולחזור למצב של שיווי משקל בתום ה... ... ויקיפדיה.

אנרגיה קינטית היא כמות נוספת. לכן, האנרגיה הקינטית של גוף שנע בצורה שרירותית שווה לסכום האנרגיות הקינטיות של כל n הנקודות החומריות שאליהן ניתן לחלק את הגוף הזה מבחינה נפשית:

אם הגוף מסתובב סביב ציר z קבוע במהירות זוויתית, אז המהירות הליניארית נקודה I-th , Ri הוא המרחק לציר הסיבוב. לָכֵן,

משווים וניתן לראות שמומנט האינרציה של הגוף I הוא מדד לאינרציה בזמן תנועה סיבובית, כשם שהמסה m היא מדד לאינרציה בזמן תנועה טרנסציונלית.

במקרה הכללי, ניתן לייצג את התנועה של גוף קשיח כסכום של שתי תנועות - טרנסלציונית עם מהירות vc וסיבובית עם מהירות זוויתית ω סביב הציר המיידי העובר דרך מרכז האינרציה. ואז האנרגיה הקינטית הכוללת של הגוף הזה

כאן Ic הוא רגע האינרציה על ציר הסיבוב המיידי העובר דרך מרכז האינרציה.

החוק הבסיסי של הדינמיקה של תנועה סיבובית.

דינמיקה סיבובית

החוק הבסיסי של הדינמיקה של תנועה סיבובית:

אוֹ M=Je, כאשר M הוא רגע הכוח M=[ r F ] , J -רגע האינרציה הוא רגע המומנטום של הגוף.

אם M(external)=0 - חוק שימור התנע הזוויתי. - אנרגיה קינטית של גוף מסתובב.

עבודה סיבובית.

חוק שימור התנע הזוויתי.

התנע הזוויתי (מומנטום) של נקודה חומרית A ביחס לנקודה קבועה O הוא גודל פיזיקלי שנקבע על ידי מכפלה וקטורית:

כאשר r הוא וקטור הרדיוס המצייר מנקודה O לנקודה A, p=mv הוא התנע של נקודת החומר (איור 1); L הוא פסאודוקטור, שכיוונו עולה בקנה אחד עם כיוון תנועת התרגום של הבורג הימני במהלך סיבובו מ-r ל-p.

מודול וקטור תנע

כאשר α היא הזווית בין הוקטורים r ו-p, l היא הכתף של הווקטור p ביחס לנקודה O.

התנע הזוויתי ביחס לציר z הקבוע הוא הערך הסקלרי Lz, השווה להשלכה על ציר זה של וקטור התנע הזוויתי, המוגדר ביחס לנקודה שרירותית O של ציר זה. התנע הזוויתי Lz אינו תלוי במיקום הנקודה O על ציר z.

כאשר גוף קשיח לחלוטין מסתובב סביב ציר z קבוע, כל נקודה בגוף נעה לאורך מעגל ברדיוס קבוע ri במהירות vi. המהירות vi ותנופה mivi מאונכים לרדיוס זה, כלומר הרדיוס הוא הזרוע של הווקטור mivi. אז אנחנו יכולים לכתוב שהתנע הזוויתי של חלקיק בודד הוא

והוא מכוון לאורך הציר בכיוון שנקבע על ידי כלל הבורג הימני.

התנע של גוף קשיח ביחס לציר הוא סכום התנע של החלקיקים הבודדים:

באמצעות הנוסחה vi = ωri, נקבל

לפיכך, התנע הזוויתי של גוף קשיח סביב ציר שווה לרגע האינרציה של הגוף סביב אותו ציר, כפול המהירות הזוויתית. הבה נבדיל את המשוואה (2) ביחס לזמן:

נוסחה זו היא צורה נוספת של משוואת הדינמיקה של התנועה הסיבובית של גוף קשיח סביב ציר קבוע: הנגזרת של התנע הזוויתי של גוף קשיח סביב ציר שווה למומנט הכוחות סביב אותו ציר.

ניתן להראות שהשוויון הווקטור מתקיים

במערכת סגורה, מומנט הכוחות החיצוניים הוא M = 0 ומאיפה

ביטוי (4) הוא חוק שימור התנע הזוויתי: התנע הזוויתי של מערכת סגורה נשמר, כלומר אינו משתנה עם הזמן.

חוק שימור התנע הזוויתי וכן חוק שימור האנרגיה הוא חוק יסוד של הטבע. היא קשורה לתכונת הסימטריה של החלל - האיזוטרופיה שלו, כלומר, עם האינווריאנטיות של חוקים פיזיקליים ביחס לבחירת כיוון צירי הקואורדינטות של מערכת הייחוס (ביחס לסיבוב של מערכת סגורה במרחב על ידי כל זווית).

כאן נדגים את חוק שימור המומנטום הזוויתי באמצעות ספסל ז'וקובסקי. אדם היושב על ספסל, מסתובב סביב ציר אנכי, ומחזיק משקולות בידיים מושטות (איור 2), מסובב על ידי מנגנון חיצוני עם מהירות זוויתית ω1. אם אדם לוחץ את המשקולות לגוף, אז רגע האינרציה של המערכת יקטן. אבל מומנט הכוחות החיצוניים שווה לאפס, התנע הזוויתי של המערכת נשמר ומהירות הסיבוב ω2 עולה. באופן דומה, המתעמל, תוך כדי קפיצה מעל ראשו, מקרב את ידיו ורגליו לגוף על מנת להפחית את רגע האינרציה שלו ובכך להגביר את מהירות הסיבוב הזוויתית.

לחץ בנוזל ובגז.

מולקולות גז, המבצעות תנועה כאוטית, כאוטית, אינן קשורות או דווקא חלשות על ידי כוחות אינטראקציה, ולכן הן נעות כמעט בחופשיות וכתוצאה מהתנגשויות מתפזרות לכל הכיוונים, תוך מילוי כל הנפח המסופק להן. כלומר, נפח הגז נקבע על ידי כלי הנפח התפוס על ידי הגז.

והנוזל, בעל נפח מסוים, מקבל את צורת הכלי שבו הוא סגור. אבל בניגוד לגזים בנוזלים, המרחק הממוצע בין מולקולות נשאר קבוע בממוצע, ולכן לנוזל יש נפח כמעט קבוע.

המאפיינים של נוזלים וגזים שונים מאוד במובנים רבים, אך בכמה תופעות מכניות תכונותיהם נקבעות על ידי אותם פרמטרים ומשוואות זהות. מסיבה זו, הידרו-אירומכניקה היא ענף של מכניקה החוקר את שיווי המשקל והתנועה של גזים ונוזלים, את האינטראקציה ביניהם ובין הגופים המוצקים הזורמים סביבם, כלומר. מיושמת גישה מאוחדת לחקר נוזלים וגזים.

במכניקה, נוזלים וגזים נחשבים ברמת דיוק גבוהה כרציפים, מופצים באופן רציף בחלק של החלל התפוס על ידם. בגזים, הצפיפות תלויה בלחץ באופן משמעותי. הוקמה מניסיון. שלעתים קרובות ניתן להזניח את יכולת הדחיסה של נוזל וגז ורצוי להשתמש במושג אחד - חוסר הדחיסה של נוזל - נוזל בעל אותה צפיפות בכל מקום, שאינו משתנה עם הזמן.

אנו מניחים אותו בצלחת דקה במצב מנוחה, כתוצאה מכך, חלקים מהנוזל הממוקמים בצדדים מנוגדים של הצלחת יפעלו על כל אחד מהיסודות שלו ΔS בכוחות ΔF, שיהיו שווים בערכם המוחלט ומכוונים בניצב לאתר ΔS, ללא קשר לכיוון האתר, אחרת נוכחותם של כוחות משיקים תגרום לתנועה של חלקיקי הנוזל (איור 1)

הכמות הפיזית שנקבעת על ידי הכוח הנורמלי הפועל מצד הנוזל (או הגז) ליחידת שטח נקראת הלחץ p / נוזל (או גז): p=ΔF / ΔS.

יחידת לחץ - פסקל (Pa): 1 Pa שווה ללחץ, שנוצר על ידי כוח של 1 N, אשר מפוזר באופן שווה על פני משטח נורמלי אליו בשטח של 1 m2 (1 Pa = 1 N/m2).

לחץ בשיווי משקל של נוזלים (גזים) מציית לחוק פסקל: הלחץ בכל מקום של נוזל במנוחה זהה לכל הכיוונים, והלחץ מועבר באופן שווה לאורך כל הנפח התפוס על ידי הנוזל במנוחה.

הבה נחקור את השפעת משקלו של נוזל על התפלגות הלחץ בתוך נוזל נייח שאינו ניתן לדחיסה. כאשר נוזל נמצא בשיווי משקל, הלחץ לאורך כל קו אופקי תמיד זהה, אחרת לא היה שיווי משקל. המשמעות היא שהמשטח החופשי של נוזל במנוחה הוא תמיד אופקי (איננו לוקחים בחשבון את המשיכה של הנוזל על ידי דפנות הכלי). אם נוזל אינו ניתן לדחיסה, אזי צפיפות הנוזל אינה תלויה בלחץ. לאחר מכן, עם חתך S של עמוד הנוזל, גובהו h וצפיפותו ρ, המשקל הוא P=ρgSh, בעוד הלחץ על הבסיס התחתון הוא: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

כלומר הלחץ משתנה באופן ליניארי עם הגובה. הלחץ ρgh נקרא לחץ הידרוסטטי.

לפי נוסחה (1), כוח הלחץ על השכבות התחתונות של הנוזל יהיה גדול יותר מאשר על העליונות, לכן, כוח שנקבע בחוק ארכימדס פועל על גוף השקוע בנוזל (גז): ציפה כלפי מעלה. כוח השווה למשקל הנוזל (הגז) שנעקר על ידי הגוף: FA = ρgV, כאשר ρ היא צפיפות הנוזל, V הוא נפח הגוף השקוע בנוזל.

אנרגיה קינטית של סיבוב

הרצאה 3. דינמיקה של גוף קשיח

תוכנית הרצאה

3.1. רגע של כוח.

3.2. משוואות בסיסיות של תנועה סיבובית. רגע של אינרציה.

3.3. אנרגיה קינטית של סיבוב.

3.4. רגע של דחף. חוק שימור התנע הזוויתי.

3.5. אנלוגיה בין תנועה טרנסציונלית וסיבובית.

רגע של כוח

שקול את התנועה של גוף נוקשה סביב ציר קבוע. לתת מוצקבעל ציר סיבוב קבוע OO ( איור.3.1) ומופעל עליו כוח שרירותי.

אורז. 3.1

אנו מפרקים את הכוח לשני מרכיבים של הכוח, הכוח נמצא במישור הסיבוב, והכוח מקביל לציר הסיבוב. לאחר מכן אנו מפרקים את הכוח לשני מרכיבים: - פועל לאורך וקטור הרדיוס ו- בניצב לו.

שום כוח המופעל על גוף לא יסובב אותו. כוחות ויוצרים לחץ על המסבים, אך אל תסובב אותו.

הכוח עשוי להוציא את הגוף מאיזון או לא, תלוי היכן בווקטור הרדיוס הוא מופעל. לכן, המושג של רגע הכוח סביב הציר מוצג. רגע של כוחיחסית לציר הסיבוב נקרא המכפלה הווקטורית של וקטור הרדיוס והכוח.

הווקטור מכוון לאורך ציר הסיבוב ונקבע על ידי כלל המוצר הצלב או כלל הבורג הימני, או כלל הגימלט.

מודול מומנט הכוח

כאשר α היא הזווית בין הווקטורים לבין .

מתוך איור 3.1. זה ברור .

r0- המרחק הקצר ביותר מציר הסיבוב לקו הפעולה של הכוח ונקרא כתף הכוח. אז אפשר לכתוב את רגע הכוח

M = F r 0 . (3.3)

מתוך איור. 3.1.

איפה והוא השלכה של הווקטור על הכיוון המאונך לווקטור רדיוס הווקטור. במקרה זה, רגע הכוח הוא

. (3.4)

אם מספר כוחות פועלים על הגוף, אז מומנט הכוח המתקבל שווה לסכום הווקטור של המומנטים של כוחות בודדים, אך מכיוון שכל המומנטים מכוונים לאורך הציר, ניתן להחליף אותם סכום אלגברי. הרגע ייחשב חיובי אם הוא מסובב את הגוף בכיוון השעון ושלילי אם נגד כיוון השעון. אם כל רגעי הכוחות שווים לאפס (), הגוף יהיה בשיווי משקל.

ניתן להדגים את הרעיון של רגע של כוח באמצעות "סליל גחמני". סליל החוט נמשך בקצה החופשי של החוט ( אורז. 3.2).

אורז. 3.2

בהתאם לכיוון מתח החוט, הסליל מתגלגל לכיוון זה או אחר. אם אתה מושך בזווית α , ואז רגע הכוח סביב הציר על אודות(מאונך לאיור) מסובב את הסליל נגד כיוון השעון והוא מתגלגל לאחור. במקרה של מתח בזווית β המומנט הוא נגד כיוון השעון והסליל מתגלגל קדימה.

באמצעות תנאי שיווי המשקל (), ניתן לתכנן מנגנונים פשוטים שהם "ממירים" של כוח, כלומר. על ידי הפעלת פחות כוח, אתה יכול להרים ולהזיז משאות במשקלים שונים. מנוף, מריצות, בלוקים מסוגים שונים, הנמצאים בשימוש נרחב בבנייה, מבוססים על עיקרון זה. כדי לעמוד בתנאי שיווי המשקל במנופי בנייה כדי לפצות על רגע הכוח הנגרם ממשקל העומס, תמיד ישנה מערכת של משקולות נגד שיוצרת רגע כוח של הסימן ההפוך.

3.2. משוואת סיבוב בסיסית
תְנוּעָה. רגע של אינרציה

שקול גוף קשיח לחלוטין מסתובב סביב ציר קבוע OO(איור.3.3). בואו נחלק את הגוף הזה מנטלית ליסודות עם מסות Δ מ 1, Δ m2, …, Δ מ נ. במהלך הסיבוב, אלמנטים אלה יתארו עיגולים עם רדיוסים r1,r2 , …,rn. כוחות פועלים על כל אלמנט F1,F2 , …,F n. סיבוב של גוף סביב ציר OOמתרחש בהשפעת מומנט הכוחות הכולל M.

M \u003d M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)

איפה M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

לפי החוק השני של ניוטון, כל כוח ו, הפועל על יסוד בעל מסה D M, גורם להאצה של האלמנט הנתון א, כלומר

F i =ד אני א אני (3.5)

החלפת הערכים המתאימים ל-(3.4), נקבל

אורז. 3.3

הכרת הקשר בין תאוצה זוויתית לינארית ε () וכי התאוצה הזוויתית זהה לכל האלמנטים, כך תיראה נוסחה (3.6).

M = (3.7)

=אני (3.8)

אניהוא רגע האינרציה של הגוף סביב הציר הקבוע.

ואז נקבל

M = I ε (3.9)

או בצורה וקטורית

(3.10)

משוואה זו היא המשוואה הבסיסית לדינמיקה של תנועה סיבובית. הוא דומה בצורתו למשוואה II של חוק ניוטון. מ(3.10) מומנט האינרציה הוא

לפיכך, מומנט האינרציה של גוף נתון הוא היחס בין מומנט הכוח לתאוצה הזוויתית הנגרמת ממנו. מ-(3.11) ניתן לראות שמומנט האינרציה הוא מדד לאינרציה של הגוף ביחס לתנועה סיבובית. רגע האינרציה ממלא את אותו תפקיד כמו מסה בתנועה תרגום. יחידת SI [ אני] = kg m 2. מנוסחה (3.7) עולה כי מומנט האינרציה מאפיין את התפלגות המסות של חלקיקי הגוף ביחס לציר הסיבוב.

אז, מומנט האינרציה של יסוד בעל מסה ∆m הנע לאורך מעגל ברדיוס r שווה ל

I = r2ד M (3.12)

אני= (3.13)

במקרה של התפלגות מסה רציפה, ניתן להחליף את הסכום באינטגרל

I= ∫ r 2 dm (3.14)

שבו האינטגרציה מתבצעת על כל מסת הגוף.

זה מראה שרגע האינרציה של הגוף תלוי במסה ובחלוקתו ביחס לציר הסיבוב. ניתן להדגים זאת בניסוי איור.3.4).

אורז. 3.4

שני גלילים עגולים, אחד חלול (למשל מתכת), השני מוצק (עץ) עם אותם אורכים, רדיוסים ומסות, מתחילים להתגלגל מטה בו זמנית. גליל חלול עם מומנט אינרציה גדול יפגר מאחורי אחד מוצק.

אתה יכול לחשב את מומנט האינרציה אם אתה יודע את המסה Mוהתפלגותו ביחס לציר הסיבוב. המקרה הפשוט ביותר הוא טבעת, כאשר כל מרכיבי המסה ממוקמים באופן שווה מציר הסיבוב ( אורז. 3.5):

אני= (3.15)

אורז. 3.5

הבה ניתן ביטויים לרגעי האינרציה של גופים סימטריים שונים בעלי מסה M.

1. רגע של אינרציה טבעות, גליל דק חלולעל ציר הסיבוב החופף לציר הסימטריה.

, (3.16)

רהוא הרדיוס של הטבעת או הגליל

2. עבור גליל מוצק ודיסק, מומנט האינרציה סביב ציר הסימטריה

(3.17)

3. רגע האינרציה של הכדור סביב הציר העובר במרכז

(3.18)

ר- רדיוס כדור

4. רגע האינרציה של מוט דק של ארוך לביחס לציר המאונך למוט ועובר באמצעו

(3.19)

ל- אורך המוט.

אם ציר הסיבוב אינו עובר דרך מרכז המסה, אז מומנט האינרציה של הגוף סביב ציר זה נקבע על ידי משפט שטיינר.

(3.20)

לפי משפט זה, מומנט האינרציה סביב ציר שרירותי О'O' ( ) שווה לרגע האינרציה סביב ציר מקביל העובר דרך מרכז המסה של הגוף ( ) בתוספת מכפלת מסת הגוף כפול ריבוע המרחק אבין סרנים ( אורז. 3.6).

אורז. 3.6

אנרגיה קינטית של סיבוב

שקול את הסיבוב של גוף קשיח לחלוטין סביב ציר קבוע OO עם מהירות זוויתית ω (אורז. 3.7). בואו נחלק את הגוף הנוקשה לתוך נמסות יסוד ∆ מ אני. כל אלמנט של המסה מסתובב במעגל ברדיוס אניעם מהירות לינארית (). אנרגיה קינטית היא סכום האנרגיות הקינטיות של יסודות בודדים.

(3.21)

אורז. 3.7

זכור מ (3.13) את זה הוא רגע האינרציה על ציר OO.

לפיכך, האנרגיה הקינטית של גוף מסתובב

E k \u003d (3.22)

שקלנו את האנרגיה הקינטית של סיבוב סביב ציר קבוע. אם הגוף מעורב בשתי תנועות: בתנועות טרנסלציוניות וסיבוביות, אזי האנרגיה הקינטית של הגוף היא סכום האנרגיה הקינטית של התנועה המתרגלת והאנרגיה הקינטית של הסיבוב.

לדוגמה, כדור מסה Mגִלגוּל; מרכז המסה של הכדור נע קדימה במהירות u (אורז. 3.8).

אורז. 3.8

האנרגיה הקינטית הכוללת של הכדור תהיה שווה ל

(3.23)

3.4. רגע של דחף. חוק השימור
מומנטום זוויתי

כמות פיסיתשווה למכפלת מומנט האינרציה אנילמהירות זוויתית ω , נקרא המומנטום הזוויתי (מומנט התנע) לעל ציר הסיבוב.

- תנע זוויתי הוא גודל וקטור וחופף בכיוון לכיוון המהירות הזוויתית.

משוואת בידול (3.24) ביחס לזמן, אנו מקבלים

איפה, Mהוא הרגע הכולל של כוחות חיצוניים. במערכת מבודדת, אין רגע של כוחות חיצוניים ( M=0) ו

1. קחו בחשבון את סיבוב הגוף מסביב ללא תנועהציר Z. הבה נחלק את כל הגוף לקבוצה של מסות יסודיות מ אני. מהירות קומסה יסודית מ אני– v i = w R אני, שבו ר אני– מרחק מסה m אנימציר הסיבוב. לכן, האנרגיה הקינטית אניהמסה היסודית תהיה שווה ל . אנרגיה קינטית כוללת של הגוף: , הנה רגע האינרציה של הגוף סביב ציר הסיבוב.

לפיכך, האנרגיה הקינטית של גוף המסתובב סביב ציר קבוע היא:

2. תן לגוף עכשיו מסתובבעל איזה ציר, ו ציר נעבהדרגה, נשאר מקביל לעצמו.

לדוגמא: כדור שמתגלגל ללא החלקה מבצע תנועה סיבובית, ומרכז הכובד שלו, שדרכו עובר ציר הסיבוב (נקודת "O") נע קדימה (איור 4.17).

מְהִירוּת אני-המסה היסודית של הגוף שווה ל , איפה המהירות של נקודה כלשהי "O" של הגוף; – רדיוס-וקטור הקובע את מיקום המסה היסודית ביחס לנקודה "O".

האנרגיה הקינטית של מסה יסודית שווה ל:

הערה: המכפלה הווקטורית חופפת בכיוון הווקטור ובעלת מודולוס שווה ל (איור 4.18).

בהתחשב בהערה זו, אנו יכולים לכתוב זאת , היכן המרחק של המסה מציר הסיבוב. במונח השני, אנו מבצעים תמורה מחזורית של הגורמים, ולאחר מכן נקבל

כדי לקבל את האנרגיה הקינטית הכוללת של הגוף, אנו מסכמים את הביטוי הזה על פני כל המסות היסודיות, ומוציאים את הגורמים הקבועים מסימן הסכום. לקבל

סכום המסות היסודיות הוא מסת הגוף "m". הביטוי שווה למכפלת מסת הגוף ולווקטור הרדיוס של מרכז האינרציה של הגוף (בהגדרת מרכז האינרציה). לבסוף, - מומנט האינרציה של הגוף סביב הציר העובר דרך נקודת "O". לכן אפשר לכתוב

.

אם ניקח את מרכז האינרציה של הגוף "C" כנקודה "O", וקטור הרדיוס יהיה שווה לאפס והאיבר השני ייעלם. ואז, מציינים דרך - את מהירות מרכז האינרציה, ודרך - מומנט האינרציה של הגוף ביחס לציר העובר דרך נקודת "C", נקבל:

(4.6)

לפיכך, האנרגיה הקינטית של גוף במהלך תנועת מישור מורכבת מהאנרגיה של תנועה תרגום במהירות, מהירות שווהמרכז האינרציה, ואנרגיית הסיבוב סביב ציר העובר דרך מרכז האינרציה של הגוף.

העבודה של כוחות חיצוניים במהלך תנועת סיבוב של גוף קשיח.

מצא את העבודה שעושים הכוחות כאשר הגוף מסתובב סביב ציר ה-Z הקבוע.

תנו לכוח פנימי ולכוח חיצוני לפעול על המסה (הכוח המתקבל נמצא במישור הניצב לציר הסיבוב) (איור 4.19). הכוחות האלה עושים בזמן dtעבודה:

לאחר ביצוע תמורה מחזורית של גורמים במוצרים מעורבים של וקטורים, אנו מוצאים:

כאשר , - בהתאמה, הרגעים של הכוחות הפנימיים והחיצוניים ביחס לנקודה "O".

בסיכומו של כל המיסות היסודיות, אנו משיגים את העבודה היסודית שנעשתה על הגוף במהלך הזמן dt:

סכום המומנטים של הכוחות הפנימיים שווה לאפס. ואז, מציינים את הרגע הכולל של כוחות חיצוניים דרך , אנו מגיעים לביטוי:

.

ידוע שהמכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא סקלרית השווה למכפלת המודולוס של אחד הוקטורים המוכפלים והשלכת הווקטור השני על כיוון הראשון, תוך התחשבות בכך , (כיווני ה- ציר Z וחופפים), אנו מקבלים

,

אבל w dt=ד j, כלומר. הזווית שדרכה הגוף מסתובב בזמן dt. בגלל זה

.

סימן העבודה תלוי בסימן M z, כלומר. מהסימן של הקרנת הווקטור לכיוון הווקטור.

אז, כשהגוף מסתובב כוחות פנימייםלא נעשית עבודה, ועבודתם של כוחות חיצוניים נקבעת על ידי הנוסחה .

העבודה הנעשית על פני מרווח זמן סופי נמצאת על ידי אינטגרציה

.

אם ההקרנה של מומנט הכוחות החיצוניים המתקבל על הכיוון נשארת קבועה, ניתן להוציא אותה מהסימן האינטגרלי:

, כלומר .

הָהֵן. העבודה של כוח חיצוני במהלך תנועת הסיבוב של הגוף שווה למכפלת הקרנת מומנט הכוח החיצוני וכיוון וזווית הסיבוב.

מצד שני, עבודת הכוח החיצוני הפועל על הגוף עוברת להגדלת האנרגיה הקינטית של הגוף (או שווה לשינוי באנרגיה הקינטית של הגוף המסתובב). בואו נראה את זה:

;

לָכֵן,

. (4.7)

לבד:

כוחות אלסטיים;

חוק הוק.

הרצאה 7

הידרודינמיקה

קווים וצינורות של זרם.

ההידרודינמיקה חוקרת את תנועתם של נוזלים, אך חוקיה חלים גם על תנועת גזים. בזרימת נוזל נייחת, מהירות חלקיקיו בכל נקודה בחלל היא כמות שאינה תלויה בזמן ובפונקציה של הקואורדינטות. בזרימה נייחת, מסלולי חלקיקי הנוזל יוצרים קו ייעול. מערך קווי היעילות יוצר צינור נחל (איור 5.1). אנו מניחים שהנוזל אינו ניתן לדחיסה, ואז נפח הנוזל הזורם דרך המקטעים ס 1 ו ס 2 יהיו אותו הדבר. בשנייה דרך אלה הסעיף יעבורנפח נוזל שווה ל

, (5.1)

היכן והן מהירויות נוזל בחתכים ס 1 ו ס 2 , והווקטורים ו מוגדרים כ ו , היכן והם הנורמלים למקטעים ס 1 ו ס 2. משוואה (5.1) נקראת משוואת המשכיות הסילון. מכאן נובע שמהירות הנוזל עומדת ביחס הפוך לחתך הרוחב של הצינור הנוכחי.

משוואת ברנולי.

נשקול נוזל בלתי דחוס אידיאלי שאין בו חיכוך פנימי (צמיגות). הבה נבחין צינור דק של זרם בנוזל זורם נייח (איור 5.2) עם חתכים. S1ו S2בניצב לקווי היעילות. בסעיף 1 בזמן קצר טחלקיקים נעים מרחק l 1, ובמדור 2 - ממרחק l 2. דרך שני הסעיפים בזמן טנפחים קטנים שווים של נוזל יעברו V= V 1 = V 2ולשאת הרבה נוזלים m=rV, איפה רהיא צפיפות הנוזל. באופן כללי, השינוי באנרגיה המכנית של הנוזל כולו בצינור הנוכחי בין קטעים S1ו S2, מה שקרה במהלך הזמן ט, ניתן להחליף בשינוי באנרגיה בנפח V, שהתרחשה כאשר עברה מסעיף 1 לסעיף 2. עם תנועה כזו, האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של נפח זה תשתנה, והשינוי הכולל באנרגיה שלו

, (5.2)

איפה v 1 ו-v 2 - מהירות חלקיקי הנוזל בחתכים S1ו S2בהתאמה; ז- האצת כוח המשיכה; h1ו h2- גבהים של מרכז הקטעים.

בנוזל אידיאלי, אין הפסדי חיכוך, ולכן האנרגיה עולה DEחייב להיות שווה לעבודה שנעשתה על ידי כוחות הלחץ על הנפח המוקצה. בהיעדר כוחות חיכוך, עבודה זו:

השוואת הצדדים הימניים של השוויון (5.2) ו- (5.3) והעברת המונחים עם אותם מדדים לחלק אחד של השוויון, אנו מקבלים

. (5.4)

קטעי צינור S1ו S2נלקחו באופן שרירותי, כך שניתן לטעון שהביטוי תקף בכל חלק של הצינור הנוכחי

. (5.5)

משוואה (5.5) נקראת משוואת ברנולי. לייעול אופקי ח = קונסט ,והשוויון (5.4) מקבל את הצורה

ר /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

הָהֵן. הלחץ קטן בנקודות שבהן המהירות גדולה יותר.

כוחות חיכוך פנימיים.

צמיגות טבועה בנוזל אמיתי, המתבטאת בכך שכל תנועה של נוזל וגז נעצרת באופן ספונטני בהיעדר הגורמים שגרמו לה. הבה נבחן ניסוי שבו שכבה נוזלית ממוקמת מעל משטח קבוע, וצלחת שצפה עליה עם משטח נעה מעליה במהירות ס(איור 5.3). הניסיון מלמד שכדי להזיז את הצלחת במהירות קבועה, יש צורך לפעול עליה בכוח. מכיוון שהלוח אינו מקבל תאוצה, פירוש הדבר שפעולת הכוח הזה מאוזנת על ידי כוח אחר השווה לו בגודלו ומכוון הפוך, שהוא כוח החיכוך. . ניוטון הראה שכוח החיכוך

, (5.7)

איפה דהוא עובי שכבת הנוזל, h הוא מקדם הצמיגות או מקדם החיכוך של הנוזל, סימן המינוס לוקח בחשבון כיוון שונהוקטורים F trו v o. אם נלמד את מהירות חלקיקי הנוזל ב מקומות שוניםשכבה, מסתבר שהיא משתנה לפי חוק ליניארי (איור 5.3):

v(z) = (v 0 /d) z.

מבדיל את השוויון הזה, אנחנו מבינים dv/dz= v 0 /ד. בהתחשב בכך ש

הנוסחה (5.7) מקבלת את הצורה

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

איפה ח- מקדם צמיגות דינמי. ערך dv/dzנקרא שיפוע המהירות. זה מראה כמה מהר משתנה המהירות בכיוון הציר ז. בְּ dv/dz= שיפוע מהירות קבוע שווה מספרית לשינוי המהירות vכאשר זה משתנה זליחידה. שמנו מספרית בנוסחה (5.8) dv/dz =-1 ו ס= 1, אנחנו מקבלים ח = ו. זה מרמז משמעות פיזיתח: מקדם צמיגות מספרית שווה לחוזק, הפועלת על שכבה נוזלית של יחידת שטח בשיפוע מהירות השווה לאחדות. יחידת הצמיגות SI נקראת שנייה פסקל (מסומנת Pa s). במערכת CGS, יחידת הצמיגות היא 1 poise (P), כאשר 1 Pa s = 10P.