מה הנקודה העיקריתנוסחאות?

נוסחה זו מאפשרת לך למצוא כל לפי המספר שלו" n" .

כמובן שצריך לדעת גם את המונח הראשון א 1והפרש התקדמות ד, ובכן, בלי הפרמטרים האלה אתה לא יכול לרשום התקדמות ספציפית.

שינון (או כתיבה) של נוסחה זו אינו מספיק. צריך להבין את מהותה וליישם את הנוסחה בבעיות שונות. וגם לא לשכוח ברגע הנכון, כן...) איך לא לשכוחאני לא יודע. והנה איך לזכורבמידת הצורך, אני בהחלט אמליץ לך. למי שמסיים את השיעור עד הסוף.)

אז בואו נסתכל על הנוסחה של האיבר ה-n של התקדמות אריתמטית.

מהי נוסחה באופן כללי? אגב, תסתכל אם לא קראת את זה. הכל פשוט שם. נשאר להבין מה זה קדנציה נ'.

התקדמות פנימה השקפה כלליתניתן לכתוב כסדרה של מספרים:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

א 1- מציין את האיבר הראשון של התקדמות אריתמטית, א 3- חבר שלישי, א 4- הרביעי, וכן הלאה. אם אנחנו מעוניינים בקדנציה החמישית, נניח שאנחנו עובדים עם א 5, אם מאה ועשרים - ש' 120.

כיצד נוכל להגדיר זאת במונחים כלליים? כלמונח של התקדמות אריתמטית, עם כלמספר? פשוט מאוד! ככה:

א n

זה מה שזה איבר n' של התקדמות אריתמטית.האות n מסתירה את כל מספרי האיברים בבת אחת: 1, 2, 3, 4 וכן הלאה.

ומה נותן לנו שיא כזה? רק תחשוב, במקום מספר הם רשמו אות...

סימון זה נותן לנו כלי רב עוצמה לעבודה עם התקדמות אריתמטית. שימוש בסימון א n, נוכל למצוא במהירות כלחבר כלהתקדמות אריתמטית. ולפתור עוד המון בעיות התקדמות. אתה תראה בעצמך עוד.

בנוסחה לאיבר ה-n של התקדמות אריתמטית:

a n = a 1 + (n-1)d

א 1- האיבר הראשון של התקדמות אריתמטית;

נ- מספר חבר.

הנוסחה מחברת את הפרמטרים המרכזיים של כל התקדמות: a n; a 1; דו נ. כל בעיות ההתקדמות סובבות סביב הפרמטרים הללו.

ניתן להשתמש בנוסחת המונח ה-n גם כדי לכתוב התקדמות ספציפית. לדוגמה, הבעיה עשויה לומר שההתקדמות מוגדרת על ידי התנאי:

a n = 5 + (n-1) 2.

בעיה כזו יכולה להיות מבוי סתום... אין לא סדרה ולא הבדל... אבל, בהשוואת המצב לנוסחה, קל להבין שבהתקדמות זו a 1 =5, ו-d=2.

וזה יכול להיות אפילו יותר גרוע!) אם ניקח את אותו תנאי: a n = 5 + (n-1) 2,כן, לפתוח את הסוגריים ולהביא דומים? אנו מקבלים נוסחה חדשה:

a n = 3 + 2n.

זֶה רק לא כללי, אלא להתקדמות ספציפית. כאן מסתתרת המלכודת. יש אנשים שחושבים שהקדנציה הראשונה היא שלשה. למרות שבמציאות האיבר הראשון הוא חמש... קצת נמוך יותר נעבוד עם נוסחה כל כך שונה.

בבעיות התקדמות יש סימון נוסף - a n+1. זהו, כפי שניחשתם, המונח "n פלוס ראשון" של ההתקדמות. המשמעות שלו פשוטה ולא מזיקה.) זהו איבר של ההתקדמות שמספרו גדול ממספר n באחד. למשל, אם בבעיה כלשהי אנחנו לוקחים א nקדנציה חמישית אז a n+1יהיה החבר השישי. וכו.

לרוב הייעוד a n+1נמצא בנוסחאות הישנות. אל תפחד מהמילה המפחידה הזו!) זוהי רק דרך לבטא חבר בהתקדמות אריתמטית דרך הקודם.נניח שניתן לנו התקדמות אריתמטית בצורה זו, באמצעות נוסחה חוזרת:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

הרביעי - עד השלישי, החמישי - עד הרביעי, וכן הלאה. איך אפשר לספור מיד, נניח, את המונח העשרים? 20? אבל אין סיכוי!) עד שנגלה את המונח ה-19, אנחנו לא יכולים לספור את ה-20. זהו ההבדל המהותי בין הנוסחה החוזרת לנוסחת האיבר ה-n. עובד חוזר רק דרך קודםמונח, והנוסחה של האיבר ה-n הוא דרך ראשוןומאפשר מידלמצוא כל חבר לפי המספר שלו. בלי לחשב את כל סדרת המספרים לפי הסדר.

בהתקדמות אריתמטית, קל להפוך נוסחה חוזרת לרגילה. ספרו זוג איברים עוקבים, חשבו את ההפרש ד,מצא, במידת הצורך, את המונח הראשון א 1, כתוב את הנוסחה ב בצורה הרגילה, ולעבוד איתה. משימות כאלה נתקלות לעתים קרובות באקדמיה הממלכתית למדעים.

יישום הנוסחה לאיבר ה-n של התקדמות אריתמטית.

ראשית, בואו נסתכל על יישום ישירנוסחאות. בסוף השיעור הקודם הייתה בעיה:

ניתנת התקדמות אריתמטית (a n). מצא 121 אם a 1 =3 ו-d=1/6.

ניתן לפתור בעיה זו ללא כל נוסחאות, פשוט על סמך המשמעות של התקדמות אריתמטית. הוסף והוסף... שעה או שעתיים.)

ולפי הנוסחה, הפתרון ייקח פחות מדקה. אתה יכול לתזמן את זה.) בוא נחליט.

התנאים מספקים את כל הנתונים לשימוש בנוסחה: a 1 =3, d=1/6.נותר להבין מה שווה נ.אין בעיה! אנחנו צריכים למצוא a 121. אז אנחנו כותבים:

נא לשים לב! במקום מדד נהופיע מספר מסוים: 121. וזה די הגיוני.) אנו מעוניינים באיבר של התקדמות החשבון מספר מאה עשרים ואחת.זה יהיה שלנו נ.זו המשמעות נ= 121 נחליף עוד לתוך הנוסחה, בסוגריים. נחליף את כל המספרים בנוסחה ונחשב:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

זה כל מה שיש בזה. באותה מהירות אפשר היה למצוא את המונח חמש מאות ועשירי, ואת האלף והשלישי, כל אחד. שמנו במקום נהמספר הרצוי באינדקס האות " א"ובסוגריים, ואנו שוקלים.

הרשו לי להזכיר לכם את הנקודה: הנוסחה הזו מאפשרת לכם למצוא כלמונח התקדמות אריתמטי לפי המספר שלו" n" .

בואו נפתור את הבעיה בצורה חכמה יותר. בוא נתקל בבעיה הבאה:

מצא את האיבר הראשון של ההתקדמות האריתמטית (a n), אם a 17 =-2; d=-0.5.

אם יש לך קשיים, אני אגיד לך את הצעד הראשון. רשום את הנוסחה לאיבר ה-n של התקדמות אריתמטית!כן כן. רשום עם הידיים שלך, ישירות במחברת שלך:

a n = a 1 + (n-1)d

וכעת, בהסתכלות על אותיות הנוסחה, אנו מבינים אילו נתונים יש לנו ומה חסר? זמין d=-0.5,יש חבר שבעה עשר... זה זה? אם אתה חושב שזהו, אז אתה לא תפתור את הבעיה, כן...

יש לנו גם מספר נ! בתנאי a 17 =-2מוּסתָר שני פרמטרים.זהו גם הערך של האיבר השבע-עשר (-2) וגם המספר שלו (17). הָהֵן. n=17.ה"זוט" הזה לרוב חומק על פני הראש, ובלעדיו, (בלי ה"זוט", לא הראש!) לא ניתן לפתור את הבעיה. למרות... וגם בלי ראש.)

עכשיו אנחנו יכולים פשוט להחליף את הנתונים שלנו בנוסחה:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

אה כן, א 17אנחנו יודעים שזה -2. אוקיי, בוא נחליף:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

זה בעצם הכל. נותר לבטא את האיבר הראשון של ההתקדמות האריתמטית מהנוסחה ולחשב אותה. התשובה תהיה: a 1 = 6.

טכניקה זו - כתיבת נוסחה ופשוט החלפת נתונים ידועים - היא לעזר רב במשימות פשוטות. ובכן, כמובן, אתה חייב להיות מסוגל לבטא משתנה מתוך נוסחה, אבל מה לעשות!? ללא מיומנות זו, ייתכן שלא ילמדו מתמטיקה כלל...

פאזל פופולרי נוסף:

מצא את ההפרש של ההתקדמות האריתמטית (a n), אם a 1 =2; a 15 =12.

מה אנחנו עושים? תתפלאו, אנחנו כותבים את הנוסחה!)

a n = a 1 + (n-1)d

בואו נחשוב על מה שאנחנו יודעים: a 1 =2; a 15 =12; ו(אני אדגיש במיוחד!) n=15. אתה מוזמן להחליף את זה בנוסחה:

12=2 + (15-1)ד

אנחנו עושים את החשבון.)

12=2 + 14ד

ד=10/14 = 5/7

זו התשובה הנכונה.

אז, המשימות עבור a n, a 1ו דהחליט. כל מה שנותר הוא ללמוד איך למצוא את המספר:

המספר 99 הוא איבר בהתקדמות האריתמטית (a n), כאשר a 1 =12; d=3. מצא את המספר של חבר זה.

אנו מחליפים את הכמויות המוכרות לנו בנוסחה של האיבר ה-n:

a n = 12 + (n-1) 3

במבט ראשון, יש כאן שתי כמויות לא ידועות: a n ו-n.אבל א n- זה חלק מההתקדמות עם מספר נ...ואנחנו מכירים את חבר ההתקדמות הזה! זה 99. אנחנו לא יודעים את המספר שלו. n,אז המספר הזה הוא מה שאתה צריך למצוא. אנו מחליפים את המונח של התקדמות 99 בנוסחה:

99 = 12 + (n-1) 3

אנו מבטאים מהנוסחה נ, אנחנו חושבים. אנחנו מקבלים את התשובה: n=30.

ועכשיו בעיה באותו נושא, אבל יותר יצירתית):

קבע אם המספר 117 הוא איבר בהתקדמות האריתמטית (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

בוא נכתוב את הנוסחה שוב. מה, אין פרמטרים? הממ... למה נותנים לנו עיניים?) האם אנחנו רואים את המונח הראשון של ההתקדמות? אנחנו מבינים. זה -3.6. אתה יכול לכתוב בבטחה: a 1 = -3.6.הֶבדֵל דאפשר לדעת מהסדרה? זה קל אם אתה יודע מה ההבדל בין התקדמות אריתמטית:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

אז, עשינו את הדבר הפשוט ביותר. עם זה נשאר להתמודד מספר לא ידוע נוהמספר הבלתי מובן 117. בבעיה הקודמת לפחות היה ידוע שזהו מונח ההתקדמות שניתן. אבל כאן אנחנו אפילו לא יודעים... מה לעשות!? ובכן, מה לעשות, מה לעשות... הפעל מיומנויות יצירתיות!)

אָנוּ לְהַנִיחַש-117 הוא, אחרי הכל, חבר בהתקדמות שלנו. עם מספר לא ידוע נ. ובדיוק כמו בבעיה הקודמת, בואו ננסה למצוא את המספר הזה. הָהֵן. אנו כותבים את הנוסחה (כן, כן!)) ומחליפים את המספרים שלנו:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

שוב אנו מבטאים מהנוסחהנ, אנו סופרים ומקבלים:

אופס! המספר התברר חֶלקִי!מאה ואחת וחצי. ומספרים שברים בהתקדמות לא יכול להיות.איזו מסקנה אנחנו יכולים להסיק? כן! מספר 117 לאחבר בהתקדמות שלנו. זה איפשהו בין המונחים המאה והראשון למאה והשניים. אם המספר היה טבעי, כלומר. הוא מספר שלם חיובי, אז המספר יהיה חבר בהתקדמות עם המספר שנמצא. ובמקרה שלנו, התשובה לבעיה תהיה: לא.

משימה המבוססת על גרסה אמיתית של GIA:

התקדמות אריתמטיתנתון על ידי התנאי:

a n = -4 + 6.8n

מצא את האיבר הראשון והעשירי של ההתקדמות.

כאן ההתקדמות נקבעת בצורה יוצאת דופן. איזושהי נוסחה... זה קורה.) עם זאת, הנוסחה הזו (כפי שכתבתי למעלה) - גם הנוסחה לאיבר ה-n של התקדמות אריתמטית!היא גם מאפשרת למצוא כל חבר בהתקדמות לפי מספרו.

אנחנו מחפשים את החבר הראשון. זה שחושב. שהמונח הראשון הוא מינוס ארבע הוא טעות חמורה!) כי הנוסחה בבעיה שונה. האיבר הראשון של ההתקדמות האריתמטית בו מוּסתָר.זה בסדר, נמצא את זה עכשיו.)

בדיוק כמו בבעיות קודמות, אנחנו מחליפים n=1לתוך הנוסחה הזו:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

כאן! האיבר הראשון הוא 2.8, לא -4!

אנו מחפשים את המונח העשירי באותו אופן:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

זהו זה.

ועכשיו, למי שקרא עד שורות אלו, הבונוס המובטח.)

נניח, במצב קרב קשה של בחינת המדינה או בחינת המדינה המאוחדת, שכחת את הנוסחה השימושית למונח ה-n של התקדמות אריתמטית. אני זוכר משהו, אבל איכשהו לא בטוח... או נשם, או n+1, או n-1...איך להיות!?

לְהַרְגִיעַ! קל לגזור את הנוסחה הזו. זה לא מאוד קפדני, אבל זה בהחלט מספיק לביטחון עצמי ולהחלטה הנכונה!) כדי להגיע למסקנה, מספיק לזכור את המשמעות היסודית של התקדמות אריתמטית ויש לך כמה דקות של זמן. אתה רק צריך לצייר ציור. למען הבהירות.

צייר קו מספר וסמן עליו את הראשון. שני, שלישי וכו'. חברים. ואנחנו שמים לב להבדל דבין חברים. ככה:

אנחנו מסתכלים על התמונה וחושבים: מה שווה האיבר השני? שְׁנִיָה אחד ד:

א 2 =a 1+ 1 ד

מהי המונח השלישי? שְׁלִישִׁימונח שווה מונח ראשון פלוס שתיים ד.

א 3 =a 1+ 2 ד

אתה מבין את זה? לא בכדי אני מדגיש כמה מילים מודגשות. אוקיי, עוד שלב).

מהי הקדנציה הרביעית? רביעימונח שווה מונח ראשון פלוס שְׁלוֹשָׁה ד.

א 4 =a 1+ 3 ד

הגיע הזמן להבין שמספר הפערים, כלומר. ד, תמיד אחד פחות ממספר החבר שאתה מחפש נ. כלומר למספר n, מספר רווחיםרָצוֹן n-1.לכן, הנוסחה תהיה (ללא וריאציות!):

a n = a 1 + (n-1)d

באופן כללי, תמונות חזותיות מועילות מאוד בפתרון בעיות רבות במתמטיקה. אל תזניח את התמונות. אבל אם קשה לצייר תמונה, אז... רק נוסחה!) בנוסף, הנוסחה של המונח ה-n מאפשרת לחבר את כל הארסנל העוצמתי של המתמטיקה לפתרון - משוואות, אי-שוויון, מערכות וכו'. אתה לא יכול להכניס תמונה למשוואה...

משימות לפתרון עצמאי.

להתחמם:

1. בהתקדמות אריתמטית (a n) a 2 =3; a 5 = 5.1. מצא 3.

רמז: לפי התמונה ניתן לפתור את הבעיה תוך 20 שניות... לפי הנוסחה זה מתברר יותר קשה. אבל עבור שליטה בנוסחה, זה שימושי יותר.) בסעיף 555, בעיה זו נפתרת באמצעות התמונה והנוסחה. הרגישו את ההבדל!)

וזה כבר לא חימום.)

2. בהתקדמות אריתמטית (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. מצא 3 .

מה, אתה לא רוצה לצייר תמונה?) כמובן! עדיף לפי הנוסחה, כן...

3. ההתקדמות האריתמטית ניתנת על ידי התנאי:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. מצא את האיבר המאה עשרים וחמישה של התקדמות זו.

במשימה זו, ההתקדמות מוגדרת באופן חוזר. אבל סופרים עד המונח המאה עשרים וחמישה... לא כולם מסוגלים להישג כזה.) אבל הנוסחה של המונח ה-n נמצאת בכוחו של כולם!

4. בהינתן התקדמות אריתמטית (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

מצא את המספר של האיבר החיובי הקטן ביותר של ההתקדמות.

5. לפי התנאים של משימה 4, מצא את סכום האיברים החיוביים והשליליים הגדולים ביותר של ההתקדמות.

6. המכפלה של האיברים החמישי והשנים עשר של התקדמות אריתמטית הולכת וגדלה שווה ל-2.5, וסכום האיברים השלישי והאחד עשר שווה לאפס. מצא 14.

לא המשימה הכי קלה, כן...) שיטת "קצות האצבעות" לא תעבוד כאן. יהיה עליך לכתוב נוסחאות ולפתור משוואות.

תשובות (בחוסר סדר):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

קרה? זה נחמד!)

לא הכל מסתדר? קורה. אגב, יש נקודה אחת עדינה במשימה האחרונה. תידרש זהירות בעת קריאת הבעיה. והיגיון.

הפתרון לכל הבעיות הללו נדון בהרחבה בסעיף 555. ואלמנט הפנטזיה לרביעי, והנקודה העדינה לשישית, וגישות כלליות לפתרון כל בעיה הכרוכה בנוסחה של המונח ה-n - הכל מתואר. אני ממליץ.

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.

התקדמות אריתמטיתשם רצף של מספרים (מונחים של התקדמות)

שבו כל מונח עוקב שונה מהקודם במונח חדש, הנקרא גם הבדל שלב או התקדמות.

לפיכך, על ידי ציון שלב ההתקדמות והמונח הראשון שלו, תוכל למצוא כל אחד מהאלמנטים שלו באמצעות הנוסחה

מאפיינים של התקדמות אריתמטית

1) כל איבר בהתקדמות אריתמטית, החל מהמספר השני, הוא הממוצע האריתמטי של האיברים הקודמים והבאים של ההתקדמות

גם ההיפך נכון. אם הממוצע האריתמטי של איברים אי-זוגיים (זוגיים) סמוכים של התקדמות שווה לאיבר העומד ביניהם, אז רצף המספרים הזה הוא התקדמות אריתמטית. באמצעות הצהרה זו, קל מאוד לבדוק כל רצף.

כמו כן, לפי התכונה של התקדמות אריתמטית, ניתן להכליל את הנוסחה לעיל לדברים הבאים

קל לאמת זאת אם כותבים את התנאים מימין לסימן השוויון

הוא משמש לעתים קרובות בפועל כדי לפשט חישובים בבעיות.

2) סכום n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית מחושב באמצעות הנוסחה

זכור היטב את הנוסחה של סכום התקדמות אריתמטית; היא הכרחית בחישובים ונמצאת לעתים קרובות למדי במצבי חיים פשוטים.

3) אם אתה צריך למצוא לא את כל הסכום, אלא חלק מהרצף החל מהאיבר ה-k' שלו, אז נוסחת הסכום הבאה תהיה שימושית עבורך

4) עניין מעשי הוא למצוא את הסכום של n איברים של התקדמות אריתמטית החל מהמספר kth. לשם כך, השתמש בנוסחה

בכך מסתיים החומר התיאורטי ועובר לפתרון בעיות נפוצות בפועל.

דוגמה 1. מצא את האיבר הארבעים של ההתקדמות האריתמטית 4;7;...

פִּתָרוֹן:

לפי המצב שיש לנו

בואו נקבע את שלב ההתקדמות

בעזרת נוסחה ידועה אנו מוצאים את האיבר הארבעים של ההתקדמות

דוגמה 2. התקדמות אריתמטית ניתנת על ידי האיברים השלישי והשביעי שלה. מצא את האיבר הראשון של ההתקדמות ואת הסכום של עשר.

פִּתָרוֹן:

הבה נכתוב את המרכיבים הנתונים של ההתקדמות באמצעות הנוסחאות

נחסר את הראשון מהמשוואה השנייה, וכתוצאה מכך נמצא את שלב ההתקדמות

נחליף את הערך שנמצא בכל אחת מהמשוואות כדי למצוא את האיבר הראשון של ההתקדמות האריתמטית

אנו מחשבים את סכום עשרת האיברים הראשונים של ההתקדמות

בלי להגיש בקשה חישובים מורכביםמצאנו את כל הכמויות הנדרשות.

דוגמה 3. התקדמות אריתמטית ניתנת על ידי המכנה ואחד האיברים שלו. מצא את האיבר הראשון של ההתקדמות, את סכום 50 האיברים שלו החל מ-50 ואת סכום ה-100 הראשונים.

פִּתָרוֹן:

נרשום את הנוסחה של האלמנט המאה של ההתקדמות

ולמצוא את הראשון

בהתבסס על הראשון, אנו מוצאים את המונח ה-50 של ההתקדמות

מציאת סכום החלק של ההתקדמות

וסכום ה-100 הראשונים

כמות ההתקדמות היא 250.

דוגמה 4.

מצא את מספר האיברים של התקדמות אריתמטית אם:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

פִּתָרוֹן:

נכתוב את המשוואות מבחינת האיבר הראשון ושלב ההתקדמות ונקבע אותן

אנו מחליפים את הערכים שהתקבלו בנוסחת הסכום כדי לקבוע את מספר האיברים בסכום

אנו מבצעים הפשטות

ולפתור את המשוואה הריבועית

מבין שני הערכים שנמצאו, רק המספר 8 מתאים לתנאי הבעיה. לפיכך, הסכום של שמונת האיברים הראשונים של ההתקדמות הוא 111.

דוגמה 5.

פתור את המשוואה

1+3+5+...+x=307.

פתרון: משוואה זו היא סכום התקדמות אריתמטית. בואו נכתוב את המונח הראשון שלו ונמצא את ההבדל בהתקדמות

סכום של התקדמות אריתמטית.

הסכום של התקדמות אריתמטית הוא דבר פשוט. גם במשמעות וגם בנוסחה. אבל יש כל מיני משימות בנושא הזה. מבסיסי ועד די מוצק.

ראשית, בואו נבין את המשמעות והנוסחה של הסכום. ואז נחליט. להנאתכם.) משמעות הסכום היא פשוטה כמו מו. כדי למצוא את הסכום של התקדמות אריתמטית, אתה רק צריך להוסיף בזהירות את כל המונחים שלה. אם המונחים האלה מועטים, אתה יכול להוסיף בלי שום נוסחאות. אבל אם יש הרבה, או הרבה... הוספה היא מעצבנת.) במקרה זה, הנוסחה באה להציל.

הנוסחה לכמות פשוטה:

בואו להבין איזה סוג של אותיות כלולות בנוסחה. זה יבהיר את הדברים הרבה.

S n - סכום התקדמות אריתמטית. תוצאת הוספה כל אחדחברים, עם ראשוןעל ידי אחרון.זה חשוב. הם מסתכמים בדיוק את כלחברים ברצף, מבלי לדלג או לדלג. ובדיוק, החל מ ראשון.בבעיות כמו מציאת סכום האיברים השלישי והשמיני, או סכום האיברים החמישי עד העשרים, יישום ישיר של הנוסחה יאכזב.)

א 1 - ראשוןחבר בהתקדמות. הכל ברור כאן, זה פשוט ראשוןמספר שורה.

א n- אחרוןחבר בהתקדמות. המספר האחרון של הסדרה. לא שם מאוד מוכר, אבל כשמיושמים אותו על הכמות, זה מאוד מתאים. ואז תראה בעצמך.

נ - מספר החבר האחרון. חשוב להבין שבנוסחה מספר זה עולה בקנה אחד עם מספר המונחים שנוספו.

בואו נגדיר את המושג אחרוןחבר א n. שאלה מסובכת: איזה חבר יהיה האחרוןאם ניתן אינסופיהתקדמות אריתמטית?)

כדי לענות בביטחון, אתה צריך להבין את המשמעות היסודית של התקדמות אריתמטית ו... לקרוא את המשימה בעיון!)

במשימה של מציאת סכום התקדמות אריתמטית, תמיד מופיע האיבר האחרון (במישרין או בעקיפין), שאמור להיות מוגבל.אחרת, כמות סופית וספציפית פשוט לא קיים.לפתרון, זה לא משנה איזה סוג של התקדמות ניתן: סופית או אינסופית. זה לא משנה איך זה ניתן: על ידי סדרה של מספרים, או על ידי הנוסחה של האיבר ה-n.

הדבר החשוב ביותר הוא להבין שהנוסחה פועלת מהאיבר הראשון של ההתקדמות למונח עם מספר נ.למעשה, השם המלא של הנוסחה נראה כך: הסכום של n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית.מספר החברים הראשונים הללו, כלומר. נ, נקבע אך ורק על ידי המשימה. במשימה, כל המידע היקר הזה מוצפן לעתים קרובות, כן... אבל לא משנה, בדוגמאות למטה אנו חושפים את הסודות הללו.)

דוגמאות למשימות על סכום התקדמות אריתמטית.

ראשית כל, מידע מועיל:

הקושי העיקרי במשימות הכרוכות בסכום של התקדמות אריתמטית הוא הגדרה נכונהרכיבי נוסחה.

כותבי המשימות מצפינים את האלמנטים האלה בדמיון חסר גבולות.) העיקר כאן הוא לא לפחד. הבנת מהות היסודות, מספיק פשוט לפענח אותם. בואו נסתכל על כמה דוגמאות בפירוט. נתחיל במשימה המבוססת על GIA אמיתי.

1. ההתקדמות האריתמטית ניתנת על ידי התנאי: a n = 2n-3.5. מצא את סכום 10 האיברים הראשונים שלו.

עבודה טובה. קל.) כדי לקבוע את הכמות באמצעות הנוסחה, מה אנחנו צריכים לדעת? חבר ראשון א 1, סמסטר אחרון א n, כן המספר של החבר האחרון נ.

איפה אני יכול להשיג את המספר של החבר האחרון? נ? כן, באותו מקום, במצב! כתוב למצוא את הסכום 10 החברים הראשונים.ובכן, איזה מספר זה יהיה אחרון,חבר עשירי?) לא תאמינו, המספר שלו עשירי!) לכן, במקום א nנחליף לנוסחה 10, ובמקום נ- עשר. אני חוזר, המספר של החבר האחרון תואם למספר החברים.

נותר לקבוע א 1ו 10. זה מחושב בקלות באמצעות הנוסחה של האיבר ה-n, המופיע בהצהרת הבעיה. לא יודע איך לעשות את זה? השתתפו בשיעור הקודם, בלי זה אין סיכוי.

א 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

גילינו את המשמעות של כל מרכיבי הנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית. כל שנותר הוא להחליף אותם ולספור:

זהו זה. תשובה: 75.

משימה נוספת המבוססת על GIA. קצת יותר מסובך:

2. בהינתן התקדמות אריתמטית (a n), שההפרש שלה הוא 3.7; a 1 = 2.3. מצא את סכום 15 האיברים הראשונים שלו.

נכתוב מיד את נוסחת הסכום:

נוסחה זו מאפשרת לנו למצוא את הערך של כל איבר לפי מספרו. אנו מחפשים תחליף פשוט:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

נותר להחליף את כל האלמנטים בנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית ולחשב את התשובה:

תשובה: 423.

אגב, אם בנוסחת הסכום במקום א nאנו פשוט מחליפים את הנוסחה במונח ה-n ומקבלים:

הבה נציג דומים ונקבל נוסחה חדשה לסכום האיברים של התקדמות אריתמטית:

כפי שאתה יכול לראות, המונח ה-n אינו נדרש כאן א n. בבעיות מסוימות הנוסחה הזו עוזרת מאוד, כן... אפשר לזכור את הנוסחה הזו. או שאתה יכול פשוט להציג אותו בזמן הנכון, כמו כאן. אחרי הכל, אתה תמיד צריך לזכור את הנוסחה עבור הסכום ואת הנוסחה עבור האיבר ה-n.)

עכשיו המשימה בצורה של הצפנה קצרה):

3. מצא את הסכום של כל החיובים מספרים דו ספרתיים, כפולות של שלוש.

וואו! אין חבר ראשון, אין אחרון, אין התקדמות בכלל... איך לחיות!?

תצטרך לחשוב עם הראש ולשלוף את כל המרכיבים של סכום ההתקדמות האריתמטית מהתנאי. מה הם מספרים דו ספרתיים - אנחנו יודעים. הם מורכבים משני מספרים.) איזה מספר דו ספרתי יהיה ראשון? 10, ככל הנראה.) א דבר אחרוןמספר דו ספרתי? 99, כמובן! התלת ספרות ילכו אחריו...

כפולות של שלוש... הממ... אלו מספרים שמתחלקים בשלוש, הנה! עשר אינו מתחלק בשלוש, 11 אינו מתחלק... 12... מתחלק! אז, משהו מתגלה. אפשר כבר לרשום סדרה לפי תנאי הבעיה:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

האם הסדרה הזו תהיה התקדמות אריתמטית? בְּהֶחלֵט! כל מונח שונה מהקודם בשלושה בהחלט. אם תוסיף 2 או 4 למונח, נניח, התוצאה, כלומר. המספר החדש אינו מתחלק עוד ב-3. אתה יכול מיד לקבוע את ההפרש של ההתקדמות האריתמטית: d = 3.זה יהיה שימושי!)

אז אנחנו יכולים לכתוב בבטחה כמה פרמטרים של התקדמות:

מה יהיה המספר נחבר אחרון? כל מי שחושב ש-99 טועה אנושות... המספרים תמיד הולכים ברצף, אבל החברים שלנו קופצים מעל שלוש. הם לא תואמים.

יש כאן שני פתרונות. דרך אחת היא לחרוצים במיוחד. אתה יכול לרשום את ההתקדמות, את כל סדרת המספרים, ולספור את מספר האיברים עם האצבע.) הדרך השנייה היא עבור המתחשבים. אתה צריך לזכור את הנוסחה של האיבר ה-n. אם נחיל את הנוסחה על הבעיה שלנו, נגלה ש-99 הוא האיבר השלושים של ההתקדמות. הָהֵן. n = 30.

אנו מסתכלים על הנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית:

אנחנו מסתכלים ושמחים.) שלפנו מהצהרת הבעיה את כל מה שצריך כדי לחשב את הסכום:

א 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

מה שנשאר זה חשבון יסודי. החליפו את המספרים בנוסחה וחשבו:

תשובה: 1665

סוג נוסף של פאזלים פופולריים:

4. ניתן התקדמות אריתמטית:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

מצא את סכום האיברים מהעשרים עד השלושים וארבע.

אנחנו מסתכלים על נוסחת הסכום ו...אנחנו מוטרדים.) הנוסחה, להזכירכם, מחשבת את הסכום מההתחלהחבר. ובבעיה צריך לחשב את הסכום מאז העשרים...הנוסחה לא תעבוד.

אתה יכול, כמובן, לכתוב את כל ההתקדמות בסדרה, ולהוסיף מונחים מ-20 עד 34. אבל... זה איכשהו טיפשי ולוקח הרבה זמן, נכון?)

יש פתרון אלגנטי יותר. בואו נחלק את הסדרה שלנו לשני חלקים. החלק הראשון יהיה מהקדנציה הראשונה ועד התשע עשרה.חלק שני - מעשרים עד שלושים וארבע.ברור שאם נחשב את סכום האיברים של החלק הראשון ס 1-19, בואו נוסיף אותו עם סכום התנאים של החלק השני ש' 20-34, נקבל את סכום ההתקדמות מהמונח הראשון לשלושים וארבעה ס 1-34. ככה:

ס 1-19 + ש' 20-34 = ס 1-34

מכאן נוכל לראות למצוא את הסכום ש' 20-34ניתן לעשות על ידי חיסור פשוט

ש' 20-34 = ס 1-34 - ס 1-19

שני הסכומים בצד ימין נחשבים מההתחלהחבר, כלומר. נוסחת הסכום הסטנדרטית די ישימה עליהם. בואו נתחיל?

אנו מחלצים את פרמטרי ההתקדמות מהצהרת הבעיה:

d = 1.5.

א 1= -21,5.

כדי לחשב את הסכומים של 19 האיברים הראשונים ו-34 האיברים הראשונים, נצטרך את האיברים ה-19 וה-34. אנו מחשבים אותם באמצעות הנוסחה של האיבר ה-n, כמו בבעיה 2:

19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

א 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

לא נשאר כלום. מהסכום של 34 איברים יש להפחית את הסכום של 19 איברים:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

תשובה: 262.5

הערה אחת חשובה! יש טריק שימושי מאוד בפתרון בעיה זו. במקום חישוב ישיר מה שאתה צריך (S 20-34),ספרנו משהו שנראה שאין צורך - S 1-19.ואז הם קבעו ש' 20-34, להשליך את המיותר מהתוצאה השלמה. סוג זה של "עבירה באוזניים" מציל אותך לעתים קרובות בבעיות מרושעות.)

בשיעור זה הסתכלנו על בעיות שעבורן מספיק להבין את המשמעות של סכום התקדמות אריתמטית. ובכן, אתה צריך לדעת כמה נוסחאות.)

עצה מעשית:

כאשר פותרים כל בעיה הכרוכה בסכום של התקדמות אריתמטית, אני ממליץ לכתוב מיד את שתי הנוסחאות העיקריות מהנושא הזה.

נוסחה לקדנציה ה-n:

נוסחאות אלו יגידו לכם מיד מה לחפש ובאיזה כיוון לחשוב על מנת לפתור את הבעיה. עוזר.

ועכשיו המשימות לפתרון עצמאי.

5. מצא את הסכום של כל המספרים הדו ספרתיים שאינם מתחלקים בשלוש.

מגניב?) הרמז חבוי בהערה לבעיה 4. ובכן, בעיה 3 תעזור.

6. ההתקדמות האריתמטית ניתנת על ידי התנאי: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. מצא את סכום 24 האיברים הראשונים שלו.

יוצא דופן?) זוהי נוסחה חוזרת. תוכל לקרוא על כך בשיעור הקודם. אל תתעלם מהקישור, בעיות כאלה נמצאות לעתים קרובות באקדמיה הממלכתית למדעים.

7. ואסיה חסכה כסף לחג. עד 4550 רובל! והחלטתי לתת לאדם האהוב עליי (עצמי) כמה ימים של אושר). תחיה יפה בלי למנוע מעצמך כלום. הוצא 500 רובל ביום הראשון, והוציא 50 רובל יותר בכל יום שלאחר מכן מאשר ביום הקודם! עד שיגמר הכסף. כמה ימים של אושר היו לווסיה?

זה קשה?) האם זה יעזור? נוסחה נוספתממשימה 2.

תשובות (בחוסר סדר): 7, 3240, 6.

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.

I. V. Yakovlev | חומרים למתמטיקה | MathUs.ru

התקדמות אריתמטית

התקדמות אריתמטית היא סוג מיוחדהמשך. לכן, לפני הגדרת התקדמות אריתמטית (ואחר כך גיאומטרית), עלינו לדון בקצרה במושג החשוב של רצף מספרים.

המשך

תארו לעצמכם מכשיר על המסך שלו מספרים מסוימים מוצגים בזה אחר זה. נניח 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : קבוצת המספרים הזו היא בדיוק דוגמה לרצף.

הַגדָרָה. רצף מספרים הוא קבוצה של מספרים שבה לכל מספר ניתן להקצות מספר ייחודי (כלומר, משויך למספר טבעי בודד)1. המספר עם המספר n נקרא חבר nרצפים.

אז בדוגמה שלמעלה, המספר הראשון הוא 2, זהו האיבר הראשון ברצף, אותו ניתן לסמן ב-a1; למספר חמש יש את המספר 6 הוא האיבר החמישי של הרצף, אותו ניתן לסמן ב-a5. באופן כללי, האיבר ה-n של רצף מסומן על ידי an (או bn, cn וכו').

מצב נוח מאוד הוא כאשר ניתן לציין את האיבר ה-n של הרצף באמצעות נוסחה כלשהי. לדוגמה, הנוסחה an = 2n 3 מציינת את הרצף: 1; 1; 3; 5; 7; : : : הנוסחה an = (1)n מציינת את הרצף: 1; 1; 1; 1; : : :

לא כל קבוצת מספרים היא רצף. לפיכך, קטע אינו רצף; הוא מכיל "יותר מדי" מספרים למספור מחדש. גם קבוצת R של כל המספרים הממשיים אינה רצף. עובדות אלו מוכחות במהלך ניתוח מתמטי.

התקדמות אריתמטית: הגדרות בסיסיות

כעת אנו מוכנים להגדיר התקדמות אריתמטית.

הַגדָרָה. התקדמות אריתמטית היא רצף שבו כל איבר (החל מהשני) שווה לסכוםהאיבר הקודם ומספר קבוע כלשהו (נקרא הפרש של התקדמות אריתמטית).

לדוגמה, רצף 2; 5; 8; אחד עשר; : : : הוא התקדמות אריתמטית עם איבר ראשון 2 והפרש 3. רצף 7; 2; 3; 8; : : : הוא התקדמות אריתמטית עם איבר ראשון 7 והפרש 5. רצף 3; 3; 3; : : : הוא התקדמות אריתמטית בהפרש שווה לאפס.

הגדרה מקבילה: הרצף an נקרא התקדמות אריתמטית אם ההפרש an+1 an הוא ערך קבוע (בלתי תלוי ב-n).

התקדמות אריתמטית נקראת עלייה אם ההפרש שלה חיובי, וירידה אם ההפרש שלה שלילי.

1 הנה הגדרה תמציתית יותר: רצף הוא פונקציה המוגדרת על קבוצה מספרים טבעיים. לדוגמה, רצף של מספרים ממשיים הוא פונקציה f: N ! ר.

כברירת מחדל, רצפים נחשבים אינסופיים, כלומר מכילים מספר אינסופי של מספרים. אבל אף אחד לא מפריע לנו לשקול רצפים סופיים; למעשה, כל קבוצה סופית של מספרים יכולה להיקרא רצף סופי. לדוגמה, רצף הסיום הוא 1; 2; 3; 4; 5 מורכב מחמישה מספרים.

נוסחה לאיבר ה-n של התקדמות אריתמטית

קל להבין שהתקדמות אריתמטית נקבעת לחלוטין על ידי שני מספרים: האיבר הראשון וההפרש. לכן, נשאלת השאלה: איך, לדעת את האיבר הראשון ואת ההבדל, למצוא איבר שרירותי של התקדמות אריתמטית?

לא קשה להשיג את הנוסחה הנדרשת עבור האיבר ה-n של התקדמות אריתמטית. תן א

התקדמות אריתמטית בהפרש ד. יש לנו:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : :: :):
במיוחד אנו כותבים:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ועכשיו מתברר שהנוסחה של an היא:
an = a1 + (n 1)d:

בעיה 1. בהתקדמות אריתמטית 2; 5; 8; אחד עשר; : : : מצא את הנוסחה לאיבר ה-n וחשב את האיבר המאה.

פִּתָרוֹן. לפי הנוסחה (1) יש לנו:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

תכונה וסימן להתקדמות אריתמטית

תכונה של התקדמות אריתמטית. בהתקדמות אריתמטית לכל

במילים אחרות, כל איבר בהתקדמות אריתמטית (החל מהשנייה) הוא הממוצע האריתמטי של האיברים השכנים לו.

	הוכחה. יש לנו:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

שזה מה שנדרש.

באופן כללי יותר, ההתקדמות האריתמטית מספקת את השוויון

a n = a n k+ a n+k

עבור כל n > 2 וכל k טבעי< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

מסתבר שנוסחה (2) משמשת לא רק כתנאי הכרחי אלא גם כתנאי מספיק כדי שהרצף יהיה התקדמות אריתמטית.

סימן התקדמות אריתמטי. אם השוויון (2) מתקיים עבור כל n > 2, אז הרצף an הוא התקדמות אריתמטית.

הוכחה. הבה נשכתב את הנוסחה (2) באופן הבא:

a na n 1= a n+1a n:

מכאן אנו יכולים לראות שההפרש an+1 an אינו תלוי ב-n, וזה אומר בדיוק שהרצף an הוא התקדמות אריתמטית.

ניתן לנסח את המאפיין והסימן של התקדמות אריתמטית בצורה של אמירה אחת; מטעמי נוחות, נעשה זאת עבור שלושה מספרים (זה המצב שמתרחש לעתים קרובות בבעיות).

אפיון התקדמות אריתמטית. שלושה מספרים a, b, c יוצרים התקדמות אריתמטית אם ורק אם 2b = a + c.

בעיה 2. (MSU, הפקולטה לכלכלה, 2007) שלושה מספרים 8x, 3 x2 ו-4 בסדר המצוין יוצרים התקדמות אריתמטית פוחתת. מצא את x וציין את ההבדל של התקדמות זו.

פִּתָרוֹן. לפי המאפיין של התקדמות אריתמטית יש לנו:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

אם x = 1, אז נקבל התקדמות יורדת של 8, 2, 4 בהפרש של 6. אם x = 5, אז נקבל התקדמות הולכת וגדלה של 40, 22, 4; מקרה זה אינו מתאים.

תשובה: x = 1, ההבדל הוא 6.

סכום n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית

האגדה מספרת שיום אחד המורה אמרה לילדים למצוא את סכום המספרים מ-1 עד 100 והתיישבה בשקט לקרוא את העיתון. עם זאת, תוך מספר דקות, ילד אחד אמר שהוא פתר את הבעיה. זה היה קרל פרידריך גאוס בן ה-9, לימים אחד מגדולי המתמטיקאים בהיסטוריה.

הרעיון של גאוס הקטן היה כדלקמן. לתת

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

בוא נכתוב את הסכום הזה בסדר הפוך:

S = 100 + 99 + 98 + :: : + 3 + 2 + 1;

והוסיפו את שתי הנוסחאות הללו:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

כל איבר בסוגריים שווה ל-101, ויש 100 איברים כאלה בסך הכל. לכן

2S = 101 100 = 10100;

אנו משתמשים ברעיון זה כדי לגזור את נוסחת הסכום

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

שינוי שימושי של נוסחה (3) מתקבל אם נחליף לתוכה את הנוסחה של האיבר ה-n = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

בעיה 3. מצא את הסכום של כל המספרים התלת ספרתיים החיוביים המתחלקים ב-13.

פִּתָרוֹן. מספרים תלת ספרתיים, כפולות של 13, יוצרות התקדמות אריתמטית עם האיבר הראשון 104 וההפרש 13; למונח ה-n של התקדמות זו יש את הצורה:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

בואו לגלות כמה מונחים ההתקדמות שלנו מכילה. לשם כך, אנו פותרים את אי השוויון:

an 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

אז, ישנם 69 חברים בהתקדמות שלנו. באמצעות נוסחה (4) אנו מוצאים את הכמות הנדרשת:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

או אריתמטיקה היא סוג של רצף מספרי מסודר, שתכונותיו נלמדות בקורס אלגברה בבית הספר. מאמר זה דן בפירוט בשאלה כיצד למצוא את הסכום של התקדמות אריתמטית.

איזו מין התקדמות זו?

לפני שנעבור לשאלה (איך מוצאים את סכום התקדמות אריתמטית), כדאי להבין על מה אנחנו מדברים.

כל רצף של מספרים ממשיים שמתקבל על ידי חיבור (חיסור) ערך כלשהו מכל מספר קודם נקרא התקדמות אלגברית (אריתמטית). הגדרה זו, כאשר היא מתורגמת לשפה מתמטית, לובשת את הצורה:

הנה אני - מספר סידוריאלמנט של הסדרה a i. לפיכך, בידיעת מספר ראשוני אחד בלבד, אתה יכול בקלות לשחזר את כל הסדרה. הפרמטר d בנוסחה נקרא הפרש ההתקדמות.

ניתן להראות בקלות שהשוויון הבא מתקיים עבור סדרת המספרים הנבחנת:

a n = a 1 + d * (n - 1).

כלומר, כדי למצוא את הערך של האלמנט ה-n לפי הסדר, הוסף את ההפרש d לאלמנט הראשון a 1 n-1 פעמים.

מהו סכום התקדמות אריתמטית: נוסחה

לפני מתן הנוסחה לכמות המצוינת, כדאי לשקול פשוט מקרה מיוחד. בהתחשב בהתקדמות של מספרים טבעיים מ-1 ל-10, עליך למצוא את הסכום שלהם. מכיוון שיש מעט מונחים בהתקדמות (10), אפשר לפתור את הבעיה חזיתית, כלומר לסכם את כל האלמנטים לפי הסדר.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

כדאי לשקול דבר מעניין אחד: מכיוון שכל איבר שונה מהבא באותו ערך d \u003d 1, אז הסיכום הזוגי של הראשון עם העשירי, השני עם התשיעי וכן הלאה ייתן את אותה תוצאה . בֶּאֱמֶת:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

כפי שאתה יכול לראות, יש רק 5 מהסכומים האלה, כלומר, בדיוק פי שניים פחות ממספר האלמנטים בסדרה. לאחר מכן תכפילו את מספר הסכומים (5) בתוצאה של כל סכום (11), תגיעו לתוצאה שהתקבלה בדוגמה הראשונה.

אם נכליל את הטיעונים הללו, נוכל לכתוב את הביטוי הבא:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

ביטוי זה מראה שאין צורך כלל לסכם את כל האלמנטים בשורה, מספיק לדעת את הערך של ה-a 1 הראשון וה-n האחרון, וגם מספר כולל n מונחים.

מאמינים שגאוס חשב לראשונה על השוויון הזה כשחיפש פתרון למשוואה נתונה. מורה בבית הספרמשימה: סכום את 100 המספרים השלמים הראשונים.

סכום האלמנטים מ-m עד n: נוסחה

הנוסחה שניתנה בפסקה הקודמת עונה על השאלה כיצד למצוא סכום של התקדמות אריתמטית (של האלמנטים הראשונים), אך לעיתים קרובות במשימות יש צורך לסכם סדרת מספרים באמצע ההתקדמות. איך לעשות את זה?

הדרך הקלה ביותר לענות על שאלה זו היא על ידי בחינת הדוגמה הבאה: שיהיה צורך למצוא את סכום האיברים מ-mth עד nth. כדי לפתור את הבעיה, קטע נתון מ-m עד n של ההתקדמות צריך להיות מיוצג כסדרת מספרים חדשה. מהמבט הזה קדנציה חודשית a m יהיה ראשון, ו- n יספר n-(m-1). במקרה זה, באמצעות הנוסחה הסטנדרטית עבור הסכום, יתקבל הביטוי הבא:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

דוגמה לשימוש בנוסחאות

לדעת איך למצוא את הסכום של התקדמות אריתמטית, כדאי לשקול דוגמה פשוטה לשימוש בנוסחאות לעיל.

להלן מובא רצף מספרים, עליך למצוא את סכום התנאים שלו, החל מה-5 וכלה ב-12:

המספרים הנתונים מצביעים על כך שההפרש d שווה ל-3. בעזרת הביטוי עבור האלמנט ה-n, ניתן למצוא את הערכים של האיברים ה-5 וה-12 של ההתקדמות. מתברר:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

הכרת ערכי המספרים בקצות הנתון התקדמות אלגברית, וגם לדעת אילו מספרים בשורה הם תופסים, אתה יכול להשתמש בנוסחה לכמות שהתקבלה בפסקה הקודמת. לקבל:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

ראוי לציין שניתן לקבל ערך זה אחרת: תחילה מצא את הסכום של 12 האלמנטים הראשונים באמצעות הנוסחה הסטנדרטית, לאחר מכן חשב את סכום 4 היסודות הראשונים באמצעות אותה נוסחה, ולאחר מכן החסר את השני מהסכום הראשון.