מה הנקודה העיקריתנוסחאות?

נוסחה זו מאפשרת לך למצוא כל לפי המספר שלו" n" .

כמובן שצריך לדעת גם את המונח הראשון א 1והפרש התקדמות ד, ובכן, בלי הפרמטרים האלה אתה לא יכול לרשום התקדמות ספציפית.

שינון (או כתיבה) של נוסחה זו אינו מספיק. צריך להבין את מהותה וליישם את הנוסחה בבעיות שונות. וגם לא לשכוח ברגע הנכון, כן...) איך לא לשכוחאני לא יודע. והנה איך לזכורבמידת הצורך, אני בהחלט אמליץ לך. למי שמסיים את השיעור עד הסוף.)

אז בואו נסתכל על הנוסחה של המונח ה-n התקדמות אריתמטית.

מהי נוסחה באופן כללי? אגב, תסתכל אם לא קראת את זה. הכל פשוט שם. נשאר להבין מה זה קדנציה נ'.

התקדמות פנימה השקפה כלליתניתן לכתוב כסדרה של מספרים:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

א 1- מציין את האיבר הראשון של התקדמות אריתמטית, א 3- חבר שלישי, א 4- הרביעי, וכן הלאה. אם אנחנו מעוניינים בקדנציה החמישית, נניח שאנחנו עובדים עם א 5, אם מאה ועשרים - ש' 120.

כיצד נוכל להגדיר זאת במונחים כלליים? כלמונח של התקדמות אריתמטית, עם כלמספר? פשוט מאוד! ככה:

א n

זה מה שזה איבר n של התקדמות אריתמטית.האות n מסתירה את כל מספרי האיברים בבת אחת: 1, 2, 3, 4 וכן הלאה.

ומה נותן לנו שיא כזה? רק תחשוב, במקום מספר הם רשמו אות...

סימון זה נותן לנו כלי רב עוצמה לעבודה עם התקדמות אריתמטית. שימוש בסימון א n, נוכל למצוא במהירות כלחבר כלהתקדמות אריתמטית. ולפתור עוד המון בעיות התקדמות. אתה עוד תראה בעצמך.

בנוסחה לאיבר ה-n של התקדמות אריתמטית:

a n = a 1 + (n-1)d

א 1- האיבר הראשון של התקדמות אריתמטית;

נ- מספר חבר.

הנוסחה מחברת את הפרמטרים המרכזיים של כל התקדמות: a n; a 1; דו נ. כל בעיות ההתקדמות סובבות סביב הפרמטרים הללו.

ניתן להשתמש בנוסחת המונח ה-n גם כדי לכתוב התקדמות ספציפית. לדוגמה, הבעיה עשויה לומר שההתקדמות מוגדרת על ידי התנאי:

a n = 5 + (n-1) 2.

בעיה כזו יכולה להיות מבוי סתום... אין לא סדרה ולא הבדל... אבל, בהשוואת המצב לנוסחה, קל להבין שבהתקדמות זו a 1 =5, ו-d=2.

וזה יכול להיות אפילו יותר גרוע!) אם ניקח את אותו תנאי: a n = 5 + (n-1) 2,כן, לפתוח את הסוגריים ולהביא דומים? אנו מקבלים נוסחה חדשה:

a n = 3 + 2n.

זֶה רק לא כללי, אלא להתקדמות ספציפית. כאן מסתתרת המלכודת. יש אנשים שחושבים שהקדנציה הראשונה היא שלשה. למרות שבמציאות האיבר הראשון הוא חמש... קצת נמוך יותר נעבוד עם נוסחה כל כך שונה.

בבעיות התקדמות יש סימון נוסף - a n+1. זהו, כפי שניחשתם, המונח "n פלוס ראשון" של ההתקדמות. המשמעות שלו פשוטה ולא מזיקה.) זהו איבר של ההתקדמות שמספרו גדול ממספר n באחד. לדוגמה, אם בבעיה כלשהי אנחנו לוקחים א nקדנציה חמישית אז a n+1יהיה החבר השישי. וכו.

לרוב הייעוד a n+1נמצא בנוסחאות הישנות. אל תפחד מהמילה המפחידה הזו!) זוהי רק דרך לבטא חבר בהתקדמות אריתמטית דרך הקודם.נניח שניתן לנו התקדמות אריתמטית בצורה זו, באמצעות נוסחה חוזרת:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

הרביעי - עד השלישי, החמישי - עד הרביעי, וכן הלאה. איך אפשר לספור מיד, נניח, את המונח העשרים? 20? אבל אין סיכוי!) עד שנגלה את המונח ה-19, אנחנו לא יכולים לספור את ה-20. זהו ההבדל המהותי בין הנוסחה החוזרת לנוסחת האיבר ה-n. עובד חוזר רק דרך קודםמונח, והנוסחה של האיבר ה-n הוא דרך ראשוןומאפשר מידלמצוא כל חבר לפי המספר שלו. בלי לחשב את כל סדרת המספרים לפי הסדר.

בהתקדמות אריתמטית, קל להפוך נוסחה חוזרת לרגילה. ספרו זוג איברים עוקבים, חשבו את ההפרש ד,מצא, במידת הצורך, את המונח הראשון א 1, כתוב את הנוסחה ב בצורה הרגילה, ולעבוד איתה. משימות כאלה נתקלות לעתים קרובות באקדמיה הממלכתית למדעים.

יישום הנוסחה לאיבר ה-n של התקדמות אריתמטית.

ראשית, בואו נסתכל על יישום ישירנוסחאות. בסוף השיעור הקודם הייתה בעיה:

ניתנת התקדמות אריתמטית (a n). מצא 121 אם a 1 =3 ו-d=1/6.

ניתן לפתור בעיה זו ללא כל נוסחאות, פשוט על סמך המשמעות של התקדמות אריתמטית. הוסף והוסף... שעה או שעתיים.)

ולפי הנוסחה, הפתרון ייקח פחות מדקה. אתה יכול לתזמן את זה.) בוא נחליט.

התנאים מספקים את כל הנתונים לשימוש בנוסחה: a 1 =3, d=1/6.נותר להבין מה שווה נ.אין בעיה! אנחנו צריכים למצוא a 121. אז אנחנו כותבים:

נא לשים לב! במקום מדד נהופיע מספר מסוים: 121. וזה די הגיוני.) אנו מעוניינים באיבר של התקדמות החשבון מספר מאה עשרים ואחת.זה יהיה שלנו נ.זו המשמעות נ= 121 נחליף עוד לתוך הנוסחה, בסוגריים. נחליף את כל המספרים בנוסחה ונחשב:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

זהו זה. באותה מהירות אפשר היה למצוא את המונח חמש מאות ועשירי, ואת האלף והשלישי, כל אחד. שמנו במקום נהמספר הרצוי באינדקס האות " א"ובסוגריים, ואנחנו סופרים.

הרשו לי להזכיר לכם את הנקודה: הנוסחה הזו מאפשרת לכם למצוא כלמונח התקדמות אריתמטי לפי המספר שלו" n" .

בואו נפתור את הבעיה בצורה ערמומית יותר. בוא נתקל בבעיה הבאה:

מצא את האיבר הראשון של ההתקדמות האריתמטית (a n), אם a 17 =-2; d=-0.5.

אם יש לך קשיים, אני אגיד לך את הצעד הראשון. רשום את הנוסחה לאיבר ה-n של התקדמות אריתמטית!כן כן. רשום עם הידיים שלך, ישירות במחברת שלך:

a n = a 1 + (n-1)d

וכעת, בהסתכלות על אותיות הנוסחה, אנו מבינים אילו נתונים יש לנו ומה חסר? זמין d=-0.5,יש חבר שבעה עשר... זה זה? אם אתה חושב שזהו, אז אתה לא תפתור את הבעיה, כן...

עדיין יש לנו מספר נ! בתנאי a 17 =-2מוּסתָר שני פרמטרים.זהו גם הערך של האיבר השבע-עשר (-2) וגם המספר שלו (17). הָהֵן. n=17.ה"זוט" הזה לרוב חומק על פני הראש, ובלעדיו, (בלי ה"זוט", לא הראש!) לא ניתן לפתור את הבעיה. למרות... וגם בלי ראש.)

עכשיו אנחנו יכולים פשוט להחליף את הנתונים שלנו בנוסחה:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

אה כן, א 17אנחנו יודעים שזה -2. אוקיי, בוא נחליף:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

זה בעצם הכל. נותר לבטא את האיבר הראשון של ההתקדמות האריתמטית מהנוסחה ולחשב אותה. התשובה תהיה: a 1 = 6.

טכניקה זו - כתיבת נוסחה ופשוט החלפת נתונים ידועים - היא לעזר רב במשימות פשוטות. ובכן, כמובן, אתה חייב להיות מסוגל לבטא משתנה מתוך נוסחה, אבל מה לעשות!? ללא מיומנות זו, ייתכן שלא ילמדו מתמטיקה כלל...

פאזל פופולרי נוסף:

מצא את ההפרש של ההתקדמות האריתמטית (a n), אם a 1 =2; a 15 =12.

מה אנחנו עושים? תתפלאו, אנחנו כותבים את הנוסחה!)

a n = a 1 + (n-1)d

בואו נחשוב על מה שאנחנו יודעים: a 1 =2; a 15 =12; ו(אני אדגיש במיוחד!) n=15. אתה מוזמן להחליף את זה בנוסחה:

12=2 + (15-1)ד

אנחנו עושים את החשבון.)

12=2 + 14ד

ד=10/14 = 5/7

זו התשובה הנכונה.

אז, המשימות עבור a n, a 1ו דהחליט. כל מה שנותר הוא ללמוד איך למצוא את המספר:

המספר 99 הוא איבר בהתקדמות האריתמטית (a n), כאשר a 1 =12; d=3. מצא את המספר של חבר זה.

אנו מחליפים את הכמויות המוכרות לנו בנוסחה של האיבר ה-n:

a n = 12 + (n-1) 3

במבט ראשון, יש כאן שתי כמויות לא ידועות: a n ו-n.אבל א n- זה חלק מההתקדמות עם מספר נ...ואנחנו מכירים את חבר ההתקדמות הזה! זה 99. אנחנו לא יודעים את המספר שלו. נ,אז המספר הזה הוא מה שאתה צריך למצוא. אנו מחליפים את המונח של התקדמות 99 בנוסחה:

99 = 12 + (n-1) 3

אנו מבטאים מהנוסחה נ, אנחנו חושבים. אנחנו מקבלים את התשובה: n=30.

ועכשיו בעיה באותו נושא, אבל יותר יצירתית):

קבע אם המספר 117 הוא איבר בהתקדמות האריתמטית (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

בוא נכתוב את הנוסחה שוב. מה, אין פרמטרים? הממ... למה נותנים לנו עיניים?) האם אנחנו רואים את המונח הראשון של ההתקדמות? אנחנו מבינים. זה -3.6. אתה יכול לכתוב בבטחה: a 1 = -3.6.הֶבדֵל דאפשר לדעת מהסדרה? זה קל אם אתה יודע מה ההבדל בין התקדמות אריתמטית:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

אז, עשינו את הדבר הפשוט ביותר. עם זה נשאר להתמודד מספר לא ידוע נוהמספר הבלתי מובן 117. בבעיה הקודמת לפחות היה ידוע שזהו מונח ההתקדמות שניתן. אבל כאן אנחנו אפילו לא יודעים... מה לעשות!? ובכן, מה לעשות, מה לעשות... הפעל מיומנויות יצירתיות!)

אָנוּ לְהַנִיחַש-117 הוא, אחרי הכל, חבר בהתקדמות שלנו. עם מספר לא ידוע נ. ובדיוק כמו בבעיה הקודמת, בואו ננסה למצוא את המספר הזה. הָהֵן. אנו כותבים את הנוסחה (כן, כן!)) ומחליפים את המספרים שלנו:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

שוב אנו מבטאים מהנוסחהנ, אנו סופרים ומקבלים:

אופס! המספר התברר חֶלקִי!מאה ואחת וחצי. ומספרים שברים בהתקדמות לא יכול להיות.איזו מסקנה אנחנו יכולים להסיק? כן! מספר 117 לאחבר בהתקדמות שלנו. זה איפשהו בין המונחים המאה והראשון למאה והשניים. אם המספר היה טבעי, כלומר. הוא מספר שלם חיובי, אז המספר יהיה חבר בהתקדמות עם המספר שנמצא. ובמקרה שלנו, התשובה לבעיה תהיה: לא.

משימה המבוססת על גרסה אמיתית של GIA:

התקדמות אריתמטית ניתנת על ידי התנאי:

a n = -4 + 6.8n

מצא את האיבר הראשון והעשירי של ההתקדמות.

כאן ההתקדמות נקבעת בצורה יוצאת דופן. איזושהי נוסחה... זה קורה.) עם זאת, הנוסחה הזו (כפי שכתבתי למעלה) - גם הנוסחה לאיבר ה-n של התקדמות אריתמטית!היא גם מאפשרת למצוא כל חבר בהתקדמות לפי מספרו.

אנחנו מחפשים את החבר הראשון. זה שחושב. שהמונח הראשון הוא מינוס ארבע הוא טעות חמורה!) כי הנוסחה בבעיה שונה. האיבר הראשון של ההתקדמות האריתמטית בו מוּסתָר.זה בסדר, נמצא את זה עכשיו.)

בדיוק כמו בבעיות קודמות, אנחנו מחליפים n=1לתוך הנוסחה הזו:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

כאן! האיבר הראשון הוא 2.8, לא -4!

אנו מחפשים את המונח העשירי באותו אופן:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

זהו זה.

ועכשיו, למי שקרא עד שורות אלו, הבונוס המובטח.)

נניח, במצב קרב קשה של בחינת המדינה או בחינת המדינה המאוחדת, שכחת את הנוסחה השימושית למונח ה-n של התקדמות אריתמטית. אני זוכר משהו, אבל איכשהו לא בטוח... או נשם, או n+1, או n-1...איך להיות!?

לְהַרְגִיעַ! קל לגזור את הנוסחה הזו. זה לא מאוד קפדני, אבל זה בהחלט מספיק לביטחון עצמי ולהחלטה הנכונה!) כדי להגיע למסקנה, מספיק לזכור את המשמעות היסודית של התקדמות אריתמטית ויש לך כמה דקות של זמן. אתה רק צריך לצייר ציור. למען הבהירות.

צייר קו מספר וסמן עליו את הראשון. שני, שלישי וכו'. חברים. ואנחנו שמים לב להבדל דבין חברים. ככה:

אנחנו מסתכלים על התמונה וחושבים: מה שווה האיבר השני? שְׁנִיָה אחד ד:

א 2 =a 1+ 1 ד

מהי המונח השלישי? שְׁלִישִׁימונח שווה מונח ראשון פלוס שתיים ד.

א 3 =a 1+ 2 ד

אתה מבין את זה? לא בכדי אני מדגיש כמה מילים מודגשות. אוקיי, עוד שלב).

מהי הקדנציה הרביעית? רביעימונח שווה מונח ראשון פלוס שְׁלוֹשָׁה ד.

א 4 =a 1+ 3 ד

הגיע הזמן להבין שמספר הפערים, כלומר. ד, תמיד אחד פחות ממספר החבר שאתה מחפש נ. כלומר למספר n, מספר רווחיםרָצוֹן n-1.לכן, הנוסחה תהיה (ללא וריאציות!):

a n = a 1 + (n-1)d

באופן כללי, תמונות חזותיות מועילות מאוד בפתרון בעיות רבות במתמטיקה. אל תזניח את התמונות. אבל אם קשה לצייר תמונה, אז... רק נוסחה!) בנוסף, הנוסחה של המונח ה-n מאפשרת לחבר את כל הארסנל החזק של המתמטיקה לפתרון - משוואות, אי-שוויון, מערכות וכו'. אתה לא יכול להכניס תמונה למשוואה...

משימות לפתרון עצמאי.

להתחמם:

1. בהתקדמות אריתמטית (a n) a 2 =3; a 5 = 5.1. מצא 3.

רמז: לפי התמונה ניתן לפתור את הבעיה תוך 20 שניות... לפי הנוסחה זה מתברר יותר קשה. אבל עבור שליטה בנוסחה, זה שימושי יותר.) בסעיף 555, בעיה זו נפתרת באמצעות התמונה והנוסחה. הרגישו את ההבדל!)

וזה כבר לא חימום.)

2. בהתקדמות אריתמטית (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. מצא 3 .

מה, אתה לא רוצה לצייר תמונה?) כמובן! עדיף לפי הנוסחה, כן...

3. ההתקדמות האריתמטית ניתנת על ידי התנאי:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. מצא את האיבר המאה עשרים וחמישה של התקדמות זו.

במשימה זו, ההתקדמות מוגדרת באופן חוזר. אבל סופרים עד המונח המאה עשרים וחמישה... לא כולם מסוגלים להישג כזה.) אבל הנוסחה של המונח ה-n נמצאת בכוחו של כולם!

4. בהינתן התקדמות אריתמטית (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

מצא את המספר של האיבר החיובי הקטן ביותר של ההתקדמות.

5. לפי התנאים של משימה 4, מצא את סכום האיברים החיוביים והשליליים הגדולים ביותר של ההתקדמות.

6. המכפלה של האיברים החמישי והשנים עשר של התקדמות אריתמטית הולכת וגדלה שווה ל-2.5, וסכום האיברים השלישי והאחד עשר שווה לאפס. מצא 14.

לא המשימה הכי קלה, כן...) שיטת "קצות האצבעות" לא תעבוד כאן. יהיה עליך לכתוב נוסחאות ולפתור משוואות.

תשובות (בחוסר סדר):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

קרה? זה נחמד!)

לא הכל מסתדר? קורה. אגב, יש נקודה אחת עדינה במשימה האחרונה. תידרש זהירות בעת קריאת הבעיה. והיגיון.

הפתרון לכל הבעיות הללו נדון בהרחבה בסעיף 555. ואלמנט הפנטזיה לרביעי, והנקודה העדינה לשישית, וגישות כלליות לפתרון כל בעיה הכרוכה בנוסחה של המונח ה-n - הכל מתואר. אני ממליץ.

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.

יש אנשים שמתייחסים בזהירות למילה "התקדמות", כמונח מורכב מאוד מהסעיפים מתמטיקה גבוהה יותר. בינתיים, ההתקדמות האריתמטית הפשוטה ביותר היא עבודת מונה המוניות (היכן שהם עדיין קיימים). ולהבין את המהות (ובמתמטיקה אין דבר חשוב יותר מ"להשיג את המהות") רצף אריתמטיזה לא כל כך קשה ברגע שאתה מבין כמה מושגים בסיסיים.

רצף מספרים מתמטי

רצף מספרי נקרא בדרך כלל סדרה של מספרים, שלכל אחד מהם יש מספר משלו.

a 1 הוא האיבר הראשון ברצף;

ו-2 הוא האיבר השני של הרצף;

ו-7 הוא האיבר השביעי ברצף;

ו-n הוא האיבר ה-n של הרצף;

עם זאת, שום קבוצה שרירותית של מספרים ומספרים לא מעניינת אותנו. נמקד את תשומת הלב שלנו ברצף מספרי שבו ערכו של האיבר ה-n קשור למספר הסידורי שלו על ידי קשר שניתן לנסח בצורה מתמטית בבירור. במילים אחרות: ערך מספריהמספר ה-n הוא פונקציה כלשהי של n.

a הוא הערך של איבר ברצף מספרי;

n - שלו מספר סידורי;

f(n) היא פונקציה, כאשר המספר הסידורי ברצף המספרי n הוא הארגומנט.

הַגדָרָה

התקדמות אריתמטית נקראת בדרך כלל רצף מספרי שבו כל איבר עוקב גדול (פחות) מהקודם באותו מספר. הנוסחה לאיבר ה-n של רצף אריתמטי היא כדלקמן:

a n - הערך של האיבר הנוכחי של ההתקדמות האריתמטית;

a n+1 - נוסחה של המספר הבא;

d - הפרש (מספר מסוים).

קל לקבוע שאם ההפרש חיובי (d>0), אז כל איבר עוקב בסדרה הנבדקת יהיה גדול מהקודם והתקדמות אריתמטית כזו תגדל.

בגרף למטה קל לראות מדוע רצף מספריםנקרא "מגדיל".

במקרים בהם ההפרש שלילי (ד<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

ערך חבר שצוין

לפעמים יש צורך לקבוע את הערך של כל איבר שרירותי a n של התקדמות אריתמטית. ניתן לעשות זאת על ידי חישוב רציף של הערכים של כל איברי ההתקדמות האריתמטית, החל מהראשון לרצוי. עם זאת, הדרך הזו לא תמיד מקובלת אם, למשל, יש צורך למצוא את הערך של המונח חמשת האלפים או השמונה מיליון. חישובים מסורתיים ייקח הרבה זמן. עם זאת, ניתן ללמוד התקדמות אריתמטית ספציפית באמצעות נוסחאות מסוימות. יש גם נוסחה לאיבר ה-n: ניתן לקבוע את הערך של כל איבר של התקדמות אריתמטית כסכום האיבר הראשון של ההתקדמות עם הפרש ההתקדמות, כפול מספר האיבר הרצוי, מופחת ב- אחד.

הנוסחה היא אוניברסלית להגדלה והפחתה של התקדמות.

דוגמה לחישוב ערכו של מונח נתון

הבה נפתור את הבעיה הבאה של מציאת הערך של האיבר ה-n של התקדמות אריתמטית.

מצב: יש התקדמות אריתמטית עם פרמטרים:

האיבר הראשון של הרצף הוא 3;

ההבדל בסדרת המספרים הוא 1.2.

משימה: עליך למצוא את הערך של 214 מונחים

פתרון: כדי לקבוע את הערך של מונח נתון, אנו משתמשים בנוסחה:

a(n) = a1 + d(n-1)

החלפת הנתונים מהצהרת הבעיה בביטוי, יש לנו:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

תשובה: האיבר ה-214 של הרצף שווה ל-258.6.

היתרונות של שיטת חישוב זו ברורים - הפתרון כולו לוקח לא יותר מ-2 שורות.

סכום של מספר נתון של איברים

לעתים קרובות מאוד, בסדרה אריתמטית נתונה, יש צורך לקבוע את סכום הערכים של חלק מהקטעים שלה. לשם כך, גם אין צורך לחשב את הערכים של כל מונח ואז לחבר אותם. שיטה זו ישימה אם מספר המונחים שצריך למצוא את הסכום שלהם קטן. במקרים אחרים, נוח יותר להשתמש בנוסחה הבאה.

סכום האיברים של התקדמות אריתמטית מ-1 ל-n שווה לסכום האיברים הראשון וה-n', מוכפל במספר האיבר n ומחלקים בשתיים. אם בנוסחה הערך של האיבר ה-n מוחלף בביטוי מהפסקה הקודמת של המאמר, נקבל:

דוגמא חישוב

לדוגמה, בואו נפתור בעיה עם התנאים הבאים:

האיבר הראשון של הרצף הוא אפס;

ההבדל הוא 0.5.

הבעיה מחייבת קביעת סכום המונחים של הסדרה מ-56 עד 101.

פִּתָרוֹן. בואו נשתמש בנוסחה לקביעת כמות ההתקדמות:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ראשית, אנו קובעים את סכום הערכים של 101 מונחים של ההתקדמות על ידי החלפת התנאים הנתונים של הבעיה שלנו בנוסחה:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

ברור שכדי לגלות את סכום התנאים של ההתקדמות מה-56 ל-101, יש צורך להחסיר את S 55 מ-S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

לפיכך, סכום ההתקדמות האריתמטית עבור דוגמה זו הוא:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

דוגמה ליישום מעשי של התקדמות אריתמטית

בסוף המאמר נחזור לדוגמא של רצף אריתמטי המובא בפסקה הראשונה - מונה מונית (מד רכב מונית). הבה נשקול את הדוגמה הזו.

עלייה למונית (הכוללת 3 ק"מ נסיעה) עולה 50 רובל. כל קילומטר עוקב משולם בשיעור של 22 רובל/ק"מ. מרחק הנסיעה הוא 30 ק"מ. חשב את עלות הטיול.

1. נזרוק את 3 הק"מ הראשונים, שמחירם כלול בעלות הנחיתה.

30 - 3 = 27 ק"מ.

2. חישוב נוסף אינו אלא ניתוח סדרת מספרים אריתמטית.

מספר חבר - מספר הקילומטרים שנסעו (מינוס שלושת הראשונים).

הערך של החבר הוא הסכום.

המונח הראשון בבעיה זו יהיה שווה ל-1 = 50 רובל.

הפרש התקדמות d = 22 r.

המספר שאנו מעוניינים בו הוא הערך של האיבר (27+1) של ההתקדמות האריתמטית - קריאת המטרים בסוף הקילומטר ה-27 היא 27.999... = 28 ק"מ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

חישובי נתוני לוח שנה לתקופה ארוכה באופן שרירותי מבוססים על נוסחאות המתארות רצפים מספריים מסוימים. באסטרונומיה, אורך המסלול תלוי גיאומטרית במרחק של הגוף השמימי לכוכב. בנוסף, סדרות מספרים שונות משמשות בהצלחה בסטטיסטיקה ובתחומים יישומיים אחרים במתמטיקה.

סוג אחר של רצף מספרים הוא גיאומטרי

התקדמות גיאומטרית מאופיינת בשיעורי שינוי גדולים יותר בהשוואה להתקדמות אריתמטית. לא במקרה בפוליטיקה, בסוציולוגיה וברפואה, כדי להראות את מהירות ההתפשטות הגבוהה של תופעה מסוימת, למשל, מחלה בזמן מגיפה, אומרים שהתהליך מתפתח בהתקדמות גיאומטרית.

האיבר ה-N של סדרת המספרים הגיאומטרית שונה מהקודם בכך שהוא מוכפל במספר קבוע כלשהו - המכנה, למשל, האיבר הראשון הוא 1, המכנה שווה בהתאמה ל-2, ואז:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - הערך של המונח הנוכחי של ההתקדמות הגיאומטרית;

b n+1 - נוסחת האיבר הבא של ההתקדמות הגיאומטרית;

q הוא המכנה של ההתקדמות הגיאומטרית (מספר קבוע).

אם הגרף של התקדמות אריתמטית הוא קו ישר, אז התקדמות גיאומטרית מצייר תמונה מעט שונה:

כמו במקרה של חשבון, התקדמות גיאומטריתיש נוסחה לערך של מונח שרירותי. כל איבר n של התקדמות גיאומטרית שווה למכפלת האיבר הראשון ולמכנה ההתקדמות בחזקת n מופחת באחד:

דוגמא. יש לנו התקדמות גיאומטרית כשהאיבר הראשון שווה ל-3 והמכנה של ההתקדמות שווה ל-1.5. בוא נמצא את האיבר החמישי של ההתקדמות

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

סכום של מספר נתון של איברים מחושב גם באמצעות נוסחה מיוחדת. הסכום של n האיברים הראשונים של התקדמות גיאומטרית שווה להפרש בין מכפלת האיבר ה-n של ההתקדמות והמכנה שלו לבין האיבר הראשון של ההתקדמות, חלקי המכנה המופחת באחד:

אם b n יוחלף באמצעות הנוסחה שנדונה לעיל, הערך של סכום ה-n האיברים הראשונים של סדרת המספרים הנידונה יקבל את הצורה:

דוגמא. ההתקדמות הגיאומטרית מתחילה באיבר הראשון השווה ל-1. המכנה מוגדר ל-3. בוא נמצא את סכום שמונת האיברים הראשונים.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

סכום של התקדמות אריתמטית.

הסכום של התקדמות אריתמטית הוא דבר פשוט. גם במשמעות וגם בנוסחה. אבל יש כל מיני משימות בנושא הזה. מבסיסי ועד די מוצק.

ראשית, בואו נבין את המשמעות והנוסחה של הסכום. ואז נחליט. להנאתכם.) משמעות הסכום היא פשוטה כמו מו. כדי למצוא את הסכום של התקדמות אריתמטית, אתה רק צריך להוסיף בזהירות את כל המונחים שלה. אם המונחים האלה מועטים, אתה יכול להוסיף בלי שום נוסחאות. אבל אם יש הרבה, או הרבה... הוספה היא מעצבנת.) במקרה זה, הנוסחה באה להציל.

הנוסחה לכמות פשוטה:

בואו להבין איזה סוג של אותיות כלולות בנוסחה. זה יבהיר את הדברים הרבה.

S n - סכום התקדמות אריתמטית. תוצאת הוספה כל אחדחברים, עם ראשוןעל ידי אחרון.זה חשוב. הם מסתכמים בדיוק את כלחברים ברצף, מבלי לדלג או לדלג. ובדיוק, החל מ ראשון.בבעיות כמו מציאת סכום האיברים השלישי והשמיני, או סכום האיברים החמישי עד העשרים, יישום ישיר של הנוסחה יאכזב.)

א 1 - ראשוןחבר בהתקדמות. הכל ברור כאן, זה פשוט ראשוןמספר שורה.

א n- אחרוןחבר בהתקדמות. המספר האחרון של הסדרה. לא שם מאוד מוכר, אבל כשמיושמים אותו על הכמות, זה מאוד מתאים. ואז תראה בעצמך.

נ - מספר החבר האחרון. חשוב להבין שבנוסחה מספר זה עולה בקנה אחד עם מספר המונחים שנוספו.

בואו נגדיר את המושג אחרוןחבר א n. שאלה מסובכת: איזה חבר יהיה האחרוןאם ניתן אינסופיהתקדמות אריתמטית?)

כדי לענות בביטחון, אתה צריך להבין את המשמעות היסודית של התקדמות אריתמטית ו... לקרוא את המשימה בעיון!)

במשימה של מציאת סכום התקדמות אריתמטית, תמיד מופיע האיבר האחרון (במישרין או בעקיפין), שאמור להיות מוגבל.אחרת, סכום סופי וספציפי פשוט לא קיים.לפתרון, אין זה משנה אם ההתקדמות נתונה: סופית או אינסופית. זה לא משנה איך זה ניתן: סדרה של מספרים, או נוסחה לאיבר ה-n.

הדבר החשוב ביותר הוא להבין שהנוסחה פועלת מהאיבר הראשון של ההתקדמות למונח עם מספר נ.למעשה, השם המלא של הנוסחה נראה כך: הסכום של n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית.מספר החברים הראשונים הללו, כלומר. נ, נקבע אך ורק על ידי המשימה. במשימה, כל המידע היקר הזה מוצפן לעתים קרובות, כן... אבל לא משנה, בדוגמאות למטה אנו חושפים את הסודות הללו.)

דוגמאות למשימות על סכום התקדמות אריתמטית.

קודם כל, מידע שימושי:

הקושי העיקרי במשימות הכרוכות בסכום של התקדמות אריתמטית טמון בקביעה נכונה של מרכיבי הנוסחה.

כותבי המשימות מצפינים את האלמנטים האלה בדמיון חסר גבולות.) העיקר כאן הוא לא לפחד. הבנת מהות היסודות, מספיק פשוט לפענח אותם. בואו נסתכל על כמה דוגמאות בפירוט. נתחיל במשימה המבוססת על GIA אמיתי.

1. ההתקדמות האריתמטית ניתנת על ידי התנאי: a n = 2n-3.5. מצא את סכום 10 האיברים הראשונים שלו.

עבודה טובה. קל.) כדי לקבוע את הכמות באמצעות הנוסחה, מה אנחנו צריכים לדעת? חבר ראשון א 1, סמסטר אחרון א n, כן המספר של החבר האחרון נ.

איפה אני יכול להשיג את המספר של החבר האחרון? נ? כן, ממש שם, בתנאי! כתוב: מצא את הסכום 10 החברים הראשונים.ובכן, עם איזה מספר זה יהיה? אחרון,חבר עשירי?) לא תאמינו, המספר שלו עשירי!) לכן, במקום א nנחליף לנוסחה 10, ובמקום נ- עשר. אני חוזר, המספר של החבר האחרון תואם למספר החברים.

נותר לקבוע א 1ו 10. זה מחושב בקלות באמצעות הנוסחה של האיבר ה-n, המופיע בהצהרת הבעיה. לא יודע איך לעשות את זה? השתתפו בשיעור הקודם, בלי זה אין סיכוי.

א 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

גילינו את המשמעות של כל מרכיבי הנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית. כל שנותר הוא להחליף אותם ולספור:

זהו זה. תשובה: 75.

משימה נוספת המבוססת על GIA. קצת יותר מסובך:

2. בהינתן התקדמות אריתמטית (a n), שההפרש שלה הוא 3.7; a 1 = 2.3. מצא את סכום 15 האיברים הראשונים שלו.

נכתוב מיד את נוסחת הסכום:

נוסחה זו מאפשרת לנו למצוא את הערך של כל איבר לפי מספרו. אנו מחפשים תחליף פשוט:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

נותר להחליף את כל האלמנטים בנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית ולחשב את התשובה:

תשובה: 423.

אגב, אם בנוסחת הסכום במקום א nאנו פשוט מחליפים את הנוסחה במונח ה-n ומקבלים:

הבה נציג דומים ונקבל נוסחה חדשה לסכום האיברים של התקדמות אריתמטית:

כפי שאתה יכול לראות, המונח ה-n אינו נדרש כאן א n. בבעיות מסוימות הנוסחה הזו עוזרת מאוד, כן... אפשר לזכור את הנוסחה הזו. או שאתה יכול פשוט להציג אותו בזמן הנכון, כמו כאן. אחרי הכל, אתה תמיד צריך לזכור את הנוסחה עבור הסכום ואת הנוסחה עבור האיבר ה-n.)

עכשיו המשימה בצורה של הצפנה קצרה):

3. מצא את הסכום של כל המספרים הדו ספרתיים החיוביים שהם כפולות של שלוש.

וואו! לא החבר הראשון שלך, לא האחרון שלך, ולא התקדמות בכלל... איך לחיות!?

תצטרך לחשוב עם הראש ולשלוף את כל המרכיבים של סכום ההתקדמות האריתמטית מהתנאי. אנחנו יודעים מה זה מספרים דו ספרתיים. הם מורכבים משני מספרים.) איזה מספר דו ספרתי יהיה ראשון? 10, ככל הנראה.) א דבר אחרוןמספר דו ספרתי? 99, כמובן! התלת ספרות ילכו אחריו...

כפולות של שלוש... הממ... אלו מספרים שמתחלקים בשלוש, הנה! עשר אינו מתחלק בשלוש, 11 אינו מתחלק... 12... מתחלק! אז, משהו מתגלה. אפשר כבר לרשום סדרה לפי תנאי הבעיה:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

האם הסדרה הזו תהיה התקדמות אריתמטית? בְּהֶחלֵט! כל מונח שונה מהקודם בשלושה בהחלט. אם תוסיף 2 או 4 למונח, נניח, התוצאה, כלומר. המספר החדש אינו מתחלק עוד ב-3. אתה יכול מיד לקבוע את ההפרש של ההתקדמות האריתמטית: d = 3.זה יהיה שימושי!)

אז אנחנו יכולים לכתוב בבטחה כמה פרמטרים של התקדמות:

מה יהיה המספר? נחבר אחרון? כל מי שחושב ש-99 טועה אנושות... המספרים תמיד הולכים ברצף, אבל החברים שלנו קופצים מעל שלוש. הם לא תואמים.

יש כאן שני פתרונות. דרך אחת היא לחרוצים במיוחד. אתה יכול לרשום את ההתקדמות, את כל סדרת המספרים, ולספור את מספר האיברים עם האצבע.) הדרך השנייה היא עבור המתחשבים. אתה צריך לזכור את הנוסחה של האיבר ה-n. אם נחיל את הנוסחה על הבעיה שלנו, נגלה ש-99 הוא האיבר השלושים של ההתקדמות. הָהֵן. n = 30.

הבה נסתכל על הנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית:

אנחנו מסתכלים ושמחים.) שלפנו מהצהרת הבעיה את כל מה שצריך כדי לחשב את הסכום:

א 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

כל מה שנותר הוא חשבון יסודי. נחליף את המספרים בנוסחה ונחשב:

תשובה: 1665

סוג אחר של פאזל פופולרי:

4. בהינתן התקדמות אריתמטית:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

מצא את סכום האיברים מעשרים עד שלושים וארבע.

אנחנו מסתכלים על הנוסחה של הכמות ו... אנחנו מתעצבנים.) הנוסחה, להזכירכם, מחשבת את הסכום מההתחלהחבר. ובבעיה צריך לחשב את הסכום מאז העשרים...הנוסחה לא תעבוד.

אתה יכול, כמובן, לכתוב את כל ההתקדמות בסדרה, ולהוסיף מונחים מ-20 עד 34. אבל... זה איכשהו טיפשי ולוקח הרבה זמן, נכון?)

יש פתרון אלגנטי יותר. בואו נחלק את הסדרה שלנו לשני חלקים. החלק הראשון יהיה מהקדנציה הראשונה ועד התשע עשרה.חלק שני - מעשרים עד שלושים וארבע.ברור שאם נחשב את סכום האיברים של החלק הראשון ס 1-19, בואו נוסיף אותו עם סכום התנאים של החלק השני ש' 20-34, נקבל את סכום ההתקדמות מהמונח הראשון לשלושים וארבעה ס 1-34. ככה:

ס 1-19 + ש' 20-34 = ס 1-34

מכאן נוכל לראות למצוא את הסכום ש' 20-34ניתן לעשות על ידי חיסור פשוט

ש' 20-34 = ס 1-34 - ס 1-19

שני הסכומים בצד ימין נחשבים מההתחלהחבר, כלומר. נוסחת הסכום הסטנדרטית די ישימה עליהם. בואו נתחיל?

אנו מחלצים את פרמטרי ההתקדמות מהצהרת הבעיה:

d = 1.5.

א 1= -21,5.

כדי לחשב את הסכומים של 19 האיברים הראשונים ו-34 האיברים הראשונים, נצטרך את האיברים ה-19 וה-34. אנו מחשבים אותם באמצעות הנוסחה של האיבר ה-n, כמו בבעיה 2:

19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

א 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

לא נשאר כלום. מהסכום של 34 איברים יש להפחית את הסכום של 19 איברים:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

תשובה: 262.5

הערה אחת חשובה! יש טריק שימושי מאוד בפתרון בעיה זו. במקום חישוב ישיר מה שאתה צריך (S 20-34),ספרנו משהו שנראה שאין צורך - S 1-19.ואז הם קבעו ש' 20-34, להשליך את המיותר מהתוצאה השלמה. סוג זה של "עבירה באוזניים" מציל אותך לעתים קרובות בבעיות מרושעות.)

בשיעור זה הסתכלנו על בעיות שעבורן מספיק להבין את המשמעות של סכום התקדמות אריתמטית. ובכן, אתה צריך לדעת כמה נוסחאות.)

עצה מעשית:

כאשר פותרים כל בעיה הכרוכה בסכום של התקדמות אריתמטית, אני ממליץ לכתוב מיד את שתי הנוסחאות העיקריות מהנושא הזה.

נוסחה לקדנציה ה-n:

נוסחאות אלו יגידו לכם מיד מה לחפש ובאיזה כיוון לחשוב על מנת לפתור את הבעיה. עוזר.

ועכשיו המשימות לפתרון עצמאי.

5. מצא את הסכום של כל המספרים הדו ספרתיים שאינם מתחלקים בשלוש.

מגניב?) הרמז חבוי בהערה לבעיה 4. ובכן, בעיה 3 תעזור.

6. ההתקדמות האריתמטית ניתנת על ידי התנאי: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. מצא את סכום 24 האיברים הראשונים שלו.

יוצא דופן?) זוהי נוסחה חוזרת. תוכל לקרוא על כך בשיעור הקודם. אל תתעלם מהקישור, בעיות כאלה נמצאות לעתים קרובות באקדמיה הממלכתית למדעים.

7. ואסיה חסכה כסף לחג. עד 4550 רובל! והחלטתי לתת לאדם האהוב עליי (עצמי) כמה ימים של אושר). תחיה יפה בלי למנוע מעצמך כלום. הוצא 500 רובל ביום הראשון, ובכל יום שלאחר מכן הוצא 50 רובל יותר מהקודם! עד שיגמר הכסף. כמה ימים של אושר היו לווסיה?

האם זה קשה?) הנוסחה הנוספת מבעיה 2 תעזור.

תשובות (בחוסר סדר): 7, 3240, 6.

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.

מחשבון מקוון.
פתרון התקדמות אריתמטית.
נתון: א , ד , נ
מצא: 1

תוכנית מתמטית זו מוצאת \(a_1\) של התקדמות אריתמטית המבוססת על מספרים שצוינו על ידי המשתמש \(a_n, d\) ו-\(n\).
ניתן לציין את המספרים \(a_n\) ו-\(d\) לא רק כמספרים שלמים, אלא גם כשברים. יתרה מכך, ניתן להזין את המספר השברי בצורה של שבר עשרוני (\(2.5\)) ובצורה של שבר רגיל (\(-5\frac(2)(7)\)).

התוכנית לא רק נותנת את התשובה לבעיה, אלא גם מציגה את תהליך מציאת הפתרון.

מחשבון מקוון זה יכול להיות שימושי עבור תלמידי תיכון בבתי ספר תיכוניים בעת הכנה למבחנים ומבחנים, בעת בדיקת ידע לפני בחינת המדינה המאוחדת, ולהורים לשלוט בפתרון בעיות רבות במתמטיקה ובאלגברה. או שאולי זה יקר מדי בשבילך לשכור מורה או לקנות ספרי לימוד חדשים? או שאתה פשוט רוצה לעשות את שיעורי הבית שלך במתמטיקה או אלגברה כמה שיותר מהר? במקרה זה, תוכל גם להשתמש בתוכנות שלנו עם פתרונות מפורטים.

כך תוכלו לערוך בעצמכם הכשרה ו/או הכשרה של אחיכם או אחיותיכם הצעירים, תוך עלייה ברמת ההשכלה בתחום פתרון הבעיות.

אם אינכם מכירים את הכללים להזנת מספרים, אנו ממליצים לכם להכיר אותם.

כללים להזנת מספרים

ניתן לציין את המספרים \(a_n\) ו-\(d\) לא רק כמספרים שלמים, אלא גם כשברים.
המספר \(n\) יכול להיות רק מספר שלם חיובי.

כללים להזנת שברים עשרוניים.
ניתן להפריד בין החלקים השלמים והשברים בשברים עשרוניים באמצעות נקודה או פסיק.
לדוגמה, אתה יכול להזין שברים עשרוניים כמו 2.5 או כמו 2.5

כללים להזנת שברים רגילים.
רק מספר שלם יכול לשמש כחלק המונה, המכנה והמספר השלם של שבר.

המכנה לא יכול להיות שלילי.

בעת הזנת שבר מספרי, המונה מופרד מהמכנה בסימן חלוקה: /
קֶלֶט:
תוצאה: \(-\frac(2)(3)\)

החלק כולו מופרד מהשבר על ידי סימן אמפרסנד: &
קֶלֶט:
תוצאה: \(-1\frac(2)(3)\)

הזן מספרים a n, d, n

מצא 1

התגלה שחלק מהסקריפטים הדרושים לפתרון בעיה זו לא נטענו, וייתכן שהתוכנית לא תעבוד.
ייתכן שהפעלת את AdBlock.
במקרה זה, השבת אותו ורענן את הדף.

JavaScript מושבת בדפדפן שלך.
כדי שהפתרון יופיע, עליך להפעיל JavaScript.
להלן הוראות כיצד להפעיל JavaScript בדפדפן שלך.

כי יש הרבה אנשים שמוכנים לפתור את הבעיה, הבקשה שלך הועמדה בתור.
תוך מספר שניות הפתרון יופיע למטה.
המתן בבקשה שניה...

אם אתה הבחין בשגיאה בפתרון, אז תוכל לכתוב על כך בטופס המשוב.
אל תשכח לציין איזו משימהאתה מחליט מה הזן בשדות.

המשחקים, הפאזלים, האמולטורים שלנו:

קצת תיאוריה.

רצף מספרים

בתרגול היומיומי, משתמשים לעתים קרובות במספור של חפצים שונים כדי לציין את הסדר שבו הם מסודרים. לדוגמה, הבתים בכל רחוב ממוספרים. בספרייה ממוספרים מנויי הקורא ולאחר מכן מסודרים לפי סדר המספרים המוקצים בקבצי כרטיסים מיוחדים.

בקופת חיסכון, באמצעות מספר החשבון האישי של המפקיד, תוכלו למצוא את החשבון הזה בקלות ולראות איזה הפקדה יש ​​עליו. תן לחשבון מס' 1 להכיל הפקדה של a1 רובל, בחשבון מס' 2 להכיל הפקדה של a2 רובל וכו'. מסתבר רצף מספרים
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
כאשר N הוא המספר של כל החשבונות. כאן, כל מספר טבעי n מ-1 עד N משויך למספר a n.

למד גם במתמטיקה רצפי מספרים אינסופיים:
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... .
המספר a 1 נקרא האיבר הראשון של הרצף, מספר 2 - מונח שני של הרצף, מספר א 3 - איבר שלישי של הרצףוכו '
המספר a n נקרא איבר nth (nth) ברצף, והמספר הטבעי n הוא שלו מספר.

לדוגמה, ברצף הריבועים של המספרים הטבעיים 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ו- 1 = 1 הוא האיבר הראשון של הרצף; ו-n = n 2 הוא קדנציה נ'רצפים; a n+1 = (n + 1) 2 הוא האיבר (n + 1) (n פלוס ראשון) של הרצף. לעתים קרובות ניתן לציין רצף על ידי הנוסחה של האיבר ה-n שלו. לדוגמה, הנוסחה \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) מגדירה את הרצף \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

התקדמות אריתמטית

אורך השנה כ-365 ימים. ערך מדויק יותר הוא \(365\frac(1)(4)\) ימים, כך שכל ארבע שנים מצטברת שגיאה של יום אחד.

כדי לתת את הדעת על טעות זו, מוסיפים יום לכל שנה רביעית, והשנה המורחבת נקראת שנה מעוברת.

לדוגמה, באלף השלישי שנים מעוברות הן השנים 2004, 2008, 2012, 2016, ....

ברצף זה, כל איבר, החל מהשני, שווה לקודם, נוסף לאותו מספר 4. רצפים כאלה נקראים התקדמות אריתמטית.

הַגדָרָה.
רצף המספרים a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... נקרא התקדמות אריתמטית, אם בכלל טבעי n השוויון
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
כאשר d הוא מספר כלשהו.

מנוסחה זו עולה כי a n+1 - a n = d. המספר d נקרא ההפרש התקדמות אריתמטית.

בהגדרה של התקדמות אריתמטית יש לנו:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
איפה
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), כאשר \(n>1 \)

לפיכך, כל איבר של התקדמות אריתמטית, החל מהשני, שווה לממוצע האריתמטי של שני האיברים הסמוכים לו. זה מסביר את התקדמות השם "אריתמטי".

שימו לב שאם ניתנים a 1 ו-d, אז ניתן לחשב את שאר האיברים של ההתקדמות האריתמטית באמצעות הנוסחה החוזרת על a n+1 = a n + d. בדרך זו לא קשה לחשב את המונחים הראשונים של ההתקדמות, אולם, למשל, 100 כבר ידרוש הרבה חישובים. בדרך כלל, משתמשים בנוסחת המונח ה-n עבור זה. בהגדרה של התקדמות אריתמטית
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
וכו '
בכלל,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
מכיוון שהאיבר ה-n של התקדמות אריתמטית מתקבל מהאיבר הראשון על ידי הוספת (n-1) כפול המספר d.
נוסחה זו נקראת נוסחה לאיבר ה-n של התקדמות אריתמטית.

סכום n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית

מצא את הסכום של כל המספרים הטבעיים מ-1 עד 100.
בוא נכתוב את הסכום הזה בשתי דרכים:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
בואו נוסיף את השוויון מונח אחר מונח:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
לסכום זה יש 100 תנאים
לכן, 2S = 101 * 100, ומכאן S = 101 * 50 = 5050.

הבה נבחן כעת התקדמות אריתמטית שרירותית
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
תן S n להיות הסכום של n האיברים הראשונים של התקדמות זו:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
לאחר מכן הסכום של n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית שווה ל
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

מכיוון ש-\(a_n=a_1+(n-1)d\), אז החלפת n בנוסחה זו נקבל נוסחה נוספת למציאת סכום n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

ספרים (ספרי לימוד) תקצירים של בחינת המדינה המאוחדת ובחינת המדינה המאוחדת באינטרנט משחקים, פאזלים שרטוט גרפים של פונקציות מילון איות של השפה הרוסית מילון סלנג נוער קטלוג בתי ספר רוסים קטלוג מוסדות חינוך תיכוניים של רוסיה קטלוג אוניברסיטאות רוסיות רשימת של משימות

אם לכל מספר טבעי נ להתאים למספר אמיתי א n , אז אומרים שזה ניתן רצף מספרים :

א 1 , א 2 , א 3 , . . . , א n , . . . .

אז, רצף המספרים הוא פונקציה של הארגומנט הטבעי.

מספר א 1 שקוראים לו האיבר הראשון של הרצף , מספר א 2 — מונח שני של הרצף , מספר א 3 — שְׁלִישִׁי וכולי. מספר א n שקוראים לו איבר n ברצף , ומספר טבעי נ — המספר שלו .

משני חברים סמוכים א n ו א n +1 איבר רצף א n +1 שקוראים לו לאחר מכן (לִקרַאת א n ), א א n — קודם (לִקרַאת א n +1 ).

כדי להגדיר רצף, עליך לציין שיטה המאפשרת לך למצוא איבר ברצף עם כל מספר.

לעתים קרובות הרצף מצוין באמצעות נוסחאות מונח n , כלומר נוסחה המאפשרת לקבוע איבר ברצף לפי מספרו.

לדוגמה,

ניתן לתת רצף של מספרים אי-זוגיים חיוביים על ידי הנוסחה

א n= 2n- 1,

והרצף של מתחלפים 1 ו -1 - נוסחה

בנ = (-1)נ +1 . ◄

ניתן לקבוע את הרצף נוסחה חוזרת, כלומר, נוסחה המבטאת כל איבר ברצף, החל בכמה, דרך האיברים הקודמים (אחד או יותר).

לדוגמה,

אם א 1 = 1 , א א n +1 = א n + 5

א 1 = 1,

א 2 = א 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

א 3 = א 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

א 4 = א 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

א 5 = א 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

אם א 1= 1, א 2 = 1, א n +2 = א n + א n +1 , אז שבעת האיברים הראשונים של הרצף המספרי נקבעים באופן הבא:

א 1 = 1,

א 2 = 1,

א 3 = א 1 + א 2 = 1 + 1 = 2,

א 4 = א 2 + א 3 = 1 + 2 = 3,

א 5 = א 3 + א 4 = 2 + 3 = 5,

א 6 = א 4 + א 5 = 3 + 5 = 8,

א 7 = א 5 + א 6 = 5 + 8 = 13. ◄

רצפים יכולים להיות סופי ו אינסופי .

הרצף נקרא סופי , אם יש לו מספר סופי של איברים. הרצף נקרא אינסופי , אם יש בו אינסוף חברים.

לדוגמה,

רצף של מספרים טבעיים דו ספרתיים:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

סופי.

רצף של מספרים ראשוניים:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

אינסופי. ◄

הרצף נקרא גָדֵל , אם כל אחד מאבריו, החל מהשני, גדול מהקודם.

הרצף נקרא פּוֹחֵת , אם כל אחד מהחברים שלו, החל מהשני, קטן מהקודם.

לדוגמה,

2, 4, 6, 8, . . . , 2נ, . . . - רצף הולך וגובר;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /נ, . . . - רצף יורד. ◄

רצף שהאלמנטים שלו אינם יורדים ככל שהמספר גדל, או להיפך, אינם גדלים, נקרא רצף מונוטוני .

רצפים מונוטוניים, בפרט, הם רצפים הולכים וגדלים ורצפים פוחתים.

התקדמות אריתמטית

התקדמות אריתמטית הוא רצף שבו כל איבר, החל מהשני, שווה לקודם, אליו מתווסף אותו מספר.

א 1 , א 2 , א 3 , . . . , א n, . . .

הוא התקדמות אריתמטית אם בכלל מספר טבעי נ מתקיים התנאי:

א n +1 = א n + ד,

איפה ד - מספר מסוים.

לפיכך, ההבדל בין האיברים הבאים והקודמים של התקדמות אריתמטית נתונה תמיד קבוע:

א 2 - א 1 = א 3 - א 2 = . . . = א n +1 - א n = ד.

מספר ד שקוראים לו הבדל בהתקדמות אריתמטית.

כדי להגדיר התקדמות אריתמטית, מספיק לציין את האיבר הראשון וההבדל שלה.

לדוגמה,

אם א 1 = 3, ד = 4 , אז נמצא את חמשת האיברים הראשונים של הרצף באופן הבא:

א 1 =3,

א 2 = א 1 + ד = 3 + 4 = 7,

א 3 = א 2 + ד= 7 + 4 = 11,

א 4 = א 3 + ד= 11 + 4 = 15,

א 5 = א 4 + ד= 15 + 4 = 19. ◄

להתקדמות אריתמטית עם המונח הראשון א 1 ואת ההבדל ד שֶׁלָה נ

א n = א 1 + (נ- 1)ד.

לדוגמה,

מצא את האיבר השלושים של ההתקדמות האריתמטית

1, 4, 7, 10, . . .

א 1 =1, ד = 3,

30 = א 1 + (30 - 1)ד = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = א 1 + (נ- 2)ד,

א n= א 1 + (נ- 1)ד,

א n +1 = א 1 + נד,

אז ברור

א n=	a n-1 + a n+1
	2

כל איבר בהתקדמות אריתמטית, החל מהשנייה, שווה לממוצע האריתמטי של האיברים הקודמים והבאים.

המספרים a, b ו-c הם איברים עוקבים של התקדמות אריתמטית כלשהי אם ורק אם אחד מהם שווה לממוצע האריתמטי של השניים האחרים.

לדוגמה,

א n = 2נ- 7 , הוא התקדמות אריתמטית.

בואו נשתמש בהצהרה לעיל. יש לנו:

א n = 2נ- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2נ- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2נ- 5.

לָכֵן,

a n+1 + a n-1	=	2נ- 5 + 2נ- 9	= 2נ- 7 = א n,
2		2

◄

ציין זאת נ המונח ה-th של התקדמות אריתמטית ניתן למצוא לא רק דרך א 1 , אבל גם כל הקודם א ק

א n = א ק + (נ- ק)ד.

לדוגמה,

ל א 5 ניתן לרשום

א 5 = א 1 + 4ד,

א 5 = א 2 + 3ד,

א 5 = א 3 + 2ד,

א 5 = א 4 + ד. ◄

א n = א נ-ק + kd,

א n = a n+k - kd,

אז ברור

א n=	א n-k + א n+k
	2

כל איבר בהתקדמות אריתמטית, החל מהשנייה, שווה למחצית הסכום של האיברים המרווחים באופן שווה של ההתקדמות האריתמטית הזו.

בנוסף, עבור כל התקדמות אריתמטית מתקיים השוויון הבא:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

לדוגמה,

בהתקדמות אריתמטית

1) א 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (א 9 + א 11 )/2;

2) 28 = 10 = א 3 + 7ד= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, כי

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ א n,

ראשון נ איברים של התקדמות אריתמטית שווה למכפלה של מחצית מסכום האיברים הקיצונים ומספר האיברים:

מכאן, במיוחד, נובע שאם אתה צריך לסכם את התנאים

א ק, א ק +1 , . . . , א n,

אז הנוסחה הקודמת שומרת על המבנה שלה:

לדוגמה,

בהתקדמות אריתמטית 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ס 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ס 10 - ס 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

אם ניתנת התקדמות אריתמטית, אז הכמויות א 1 , א n, ד, נוס נ מחוברים בשתי נוסחאות:

לכן, אם הערכים של שלוש מהכמויות הללו ניתנים, אז הערכים המקבילים של שתי הכמויות האחרות נקבעים מהנוסחאות הללו, משולבות למערכת של שתי משוואות עם שני לא ידועים.

התקדמות אריתמטית היא רצף מונוטוני. שבו:

• אם ד > 0 , אז זה הולך וגדל;
• אם ד < 0 , אז זה הולך ופוחת;
• אם ד = 0 , אז הרצף יהיה נייח.

התקדמות גיאומטרית

התקדמות גיאומטרית הוא רצף שבו כל איבר, החל מהשני, שווה לקודם כפול באותו מספר.

ב 1 , ב 2 , ב 3 , . . . , ב נ, . . .

הוא התקדמות גיאומטרית אם עבור מספר טבעי כלשהו נ מתקיים התנאי:

ב נ +1 = ב נ · ש,

איפה ש ≠ 0 - מספר מסוים.

לפיכך, היחס בין האיבר העוקב של התקדמות גיאומטרית נתונה לקודם הוא מספר קבוע:

ב 2 / ב 1 = ב 3 / ב 2 = . . . = ב נ +1 / ב נ = ש.

מספר ש שקוראים לו מכנה של התקדמות גיאומטרית.

כדי להגדיר התקדמות גיאומטרית, מספיק לציין את המונח והמכנה הראשון שלו.

לדוגמה,

אם ב 1 = 1, ש = -3 , אז נמצא את חמשת האיברים הראשונים של הרצף באופן הבא:

ב 1 = 1,

ב 2 = ב 1 · ש = 1 · (-3) = -3,

ב 3 = ב 2 · ש= -3 · (-3) = 9,

ב 4 = ב 3 · ש= 9 · (-3) = -27,

ב 5 = ב 4 · ש= -27 · (-3) = 81. ◄

ב 1 ומכנה ש שֶׁלָה נ ניתן למצוא את המונח ה-th באמצעות הנוסחה:

ב נ = ב 1 · qn -1 .

לדוגמה,

מצא את האיבר השביעי של ההתקדמות הגיאומטרית 1, 2, 4, . . .

ב 1 = 1, ש = 2,

ב 7 = ב 1 · ש 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = ב 1 · qn -2 ,

ב נ = ב 1 · qn -1 ,

ב נ +1 = ב 1 · qn,

אז ברור

ב נ 2 = ב נ -1 · ב נ +1 ,

כל איבר בהתקדמות הגיאומטרית, החל מהשני, שווה לממוצע הגיאומטרי (פרופורציונלי) של האיברים הקודמים והבאים.

מכיוון שגם ההיפך נכון, האמירה הבאה מתקיימת:

המספרים a, b ו-c הם איברים עוקבים של התקדמות גיאומטרית כלשהי אם ורק אם הריבוע של אחד מהם שווה למכפלת השניים האחרים, כלומר, אחד המספרים הוא הממוצע הגיאומטרי של השניים האחרים.

לדוגמה,

הבה נוכיח שהרצף שניתן על ידי הנוסחה ב נ= -3 2 נ , הוא התקדמות גיאומטרית. בואו נשתמש בהצהרה לעיל. יש לנו:

ב נ= -3 2 נ,

ב נ -1 = -3 2 נ -1 ,

ב נ +1 = -3 2 נ +1 .

לָכֵן,

ב נ 2 = (-3 2 נ) 2 = (-3 2 נ -1 ) · (-3 · 2 נ +1 ) = ב נ -1 · ב נ +1 ,

מה שמוכיח את האמירה הרצויה. ◄

ציין זאת נ ניתן למצוא את האיבר ה-th של התקדמות גיאומטרית לא רק דרך ב 1 , אבל גם כל חבר קודם ב ק , שעבורו מספיק להשתמש בנוסחה

ב נ = ב ק · qn - ק.

לדוגמה,

ל ב 5 ניתן לרשום

ב 5 = ב 1 · ש 4 ,

ב 5 = ב 2 · ש 3,

ב 5 = ב 3 · ש 2,

ב 5 = ב 4 · ש. ◄

ב נ = ב ק · qn - ק,

ב נ = ב נ - ק · q k,

אז ברור

ב נ 2 = ב נ - ק· ב נ + ק

הריבוע של כל איבר של התקדמות גיאומטרית, החל מהשני, שווה למכפלת האיברים של התקדמות זו במרחק שווה ממנו.

בנוסף, עבור כל התקדמות גיאומטרית השוויון נכון:

ב מ· ב נ= ב ק· ב ל,

M+ נ= ק+ ל.

לדוגמה,

בהתקדמות גיאומטרית

1) ב 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ב 5 · ב 7 ;

2) 1024 = ב 11 = ב 6 · ש 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ב 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ב 4 · ב 8 ;

4) ב 2 · ב 7 = ב 4 · ב 5 , כי

ב 2 · ב 7 = 2 · 64 = 128,

ב 4 · ב 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ב 1 + ב 2 + ב 3 + . . . + ב נ

ראשון נ איברים של התקדמות גיאומטרית עם מכנה ש ≠ 0 מחושב לפי הנוסחה:

ומתי ש = 1 - לפי הנוסחה

S n= הערה: 1

שימו לב שאם אתם צריכים לסכם את התנאים

ב ק, ב ק +1 , . . . , ב נ,

אז נעשה שימוש בנוסחה:

S n- ס ק -1 = ב ק + ב ק +1 + . . . + ב נ = ב ק ·	1 - qn - ק +1	.
	1 - ש

לדוגמה,

בהתקדמות גיאומטרית 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ס 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ס 10 - ס 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

אם ניתנת התקדמות גיאומטרית, אז הכמויות ב 1 , ב נ, ש, נו S n מחוברים בשתי נוסחאות:

לכן, אם הערכים של שלוש מהכמויות הללו ניתנים, אז הערכים המקבילים של שתי הכמויות האחרות נקבעים מהנוסחאות הללו, משולבות למערכת של שתי משוואות עם שני לא ידועים.

להתקדמות גיאומטרית עם המונח הראשון ב 1 ומכנה ש הפעולות הבאות מתרחשות תכונות של מונוטוניות :

• ההתקדמות גדלה אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

ב 1 > 0 ו ש> 1;

ב 1 < 0 ו 0 < ש< 1;

• ההתקדמות הולכת ופוחתת אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

ב 1 > 0 ו 0 < ש< 1;

ב 1 < 0 ו ש> 1.

אם ש< 0 , אז ההתקדמות הגיאומטרית מתחלפת: לאיברים שלו עם מספרים אי-זוגיים יש סימן זהה לאיבר הראשון שלו, ולאברים עם מספרים זוגיים יש את הסימן ההפוך. ברור שהתקדמות גיאומטרית מתחלפת אינה מונוטונית.

המוצר של הראשון נ ניתן לחשב מונחים של התקדמות גיאומטרית באמצעות הנוסחה:

P n= ב 1 · ב 2 · ב 3 · . . . · ב נ = (ב 1 · ב נ) נ / 2 .

לדוגמה,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

התקדמות גיאומטרית פוחתת לאין שיעור

התקדמות גיאומטרית פוחתת לאין שיעור נקרא התקדמות גיאומטרית אינסופית שמודול המכנה שלה קטן 1 , זה

|ש| < 1 .

שים לב שהתקדמות גיאומטרית הולכת ופוחתת באופן אינסופי עשויה להיות לא רצף יורד. זה מתאים לאירוע

1 < ש< 0 .

עם מכנה כזה, הרצף מתחלף. לדוגמה,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

סכום התקדמות גיאומטרית הולכת ופוחתת באופן אינסופי שם את המספר שאליו מתקרב סכום הראשונים ללא הגבלה נ חברים בהתקדמות עם עלייה בלתי מוגבלת במספר נ . מספר זה הוא תמיד סופי ומתבטא בנוסחה

ס= ב 1 + ב 2 + ב 3 + . . . =	ב 1	.
	1 - ש

לדוגמה,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

קשר בין התקדמות אריתמטית וגיאומטרית

התקדמות אריתמטית וגאומטרית קשורה קשר הדוק. בואו נסתכל על שתי דוגמאות בלבד.

א 1 , א 2 , א 3 , . . . ד , זה

ב א 1 , ב א 2 , ב א 3 , . . . ב ד .

לדוגמה,

1, 3, 5, . . . - התקדמות אריתמטית עם הבדל 2 ו

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - התקדמות גיאומטרית עם מכנה 7 2 . ◄

ב 1 , ב 2 , ב 3 , . . . - התקדמות גיאומטרית עם מכנה ש , זה

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - התקדמות אריתמטית עם הבדל יומן אש .

לדוגמה,

2, 12, 72, . . . - התקדמות גיאומטרית עם מכנה 6 ו

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - התקדמות אריתמטית עם הבדל lg 6 . ◄