סימון התקדמות גיאומטרית. סכום התקדמות גיאומטרית אינסופית ב

הוראות

10, 30, 90, 270...

אנחנו צריכים למצוא את המכנה התקדמות גיאומטרית.
פִּתָרוֹן:

אופציה 1. ניקח מונח שרירותי של ההתקדמות (לדוגמה, 90) ונחלק אותו בקודם (30): 90/30=3.

אם ידוע הסכום של מספר איברים של התקדמות גיאומטרית או סכום כל האיברים של התקדמות גיאומטרית פוחתת, אז כדי למצוא את המכנה של ההתקדמות, השתמש בנוסחאות המתאימות:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), כאשר Sn הוא הסכום של n האיברים הראשונים של ההתקדמות הגיאומטרית
S = b1/(1-q), כאשר S הוא הסכום של התקדמות גיאומטרית פוחתת אינסופית (סכום כל האיברים של ההתקדמות עם מכנה קטן מאחד).
דוגמא.

האיבר הראשון של התקדמות גיאומטרית פוחתת שווה לאחד, וסכום כל האיברים שלו שווה לשניים.

נדרש לקבוע את המכנה של התקדמות זו.
פִּתָרוֹן:

החלף את הנתונים מהבעיה בנוסחה. יתברר:
2=1/(1-q), ומכאן – q=1/2.

התקדמות היא רצף של מספרים. בהתקדמות גיאומטרית, כל איבר עוקב מתקבל על ידי הכפלה של הקודם במספר מסוים q, הנקרא מכנה ההתקדמות.

הוראות

אם ידועים שני איברים גיאומטריים סמוכים b(n+1) ו-b(n), כדי לקבל את המכנה, עליך לחלק את המספר עם הגדול באחד שקדם לו: q=b(n+1)/b (נ). הדבר נובע מהגדרת ההתקדמות והמכנה שלה. תנאי חשוב הוא שהאיבר הראשון והמכנה של ההתקדמות אינם שווים לאפס, אחרת הוא נחשב ללא מוגדר.

לפיכך, נוצרים הקשרים הבאים בין תנאי ההתקדמות: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. באמצעות הנוסחה b(n)=b1 q^(n-1), ניתן לחשב כל איבר של ההתקדמות הגיאומטרית שבו ידועים המכנה q והמונח b1. כמו כן, כל אחת מההתקדמות שווה במודולוס לממוצע האיברים השכנים שלה: |b(n)|=√, וזה המקום שבו ההתקדמות קיבלה את ה-.

אנלוגי של התקדמות גיאומטרית הוא הפשוט ביותר פונקציה מעריכית y=a^x, כאשר x הוא מעריך, a הוא מספר מסוים. במקרה זה, המכנה של ההתקדמות עולה בקנה אחד עם המונח הראשון ו שווה למספרא. ניתן להבין את הערך של הפונקציה y קדנציה נ'התקדמות אם הארגומנט x נלקח כמספר טבעי n (מונה).

קיים עבור סכום n האיברים הראשונים של התקדמות גיאומטרית: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). נוסחה זו תקפה עבור q≠1. אם q=1, אז סכום n האיברים הראשונים מחושב על ידי הנוסחה S(n)=n b1. אגב, ההתקדמות תיקרא עלייה כאשר q גדול מאחד ו-b1 חיובי. אם המכנה של ההתקדמות אינו עולה על אחד בערך המוחלט, ההתקדמות תיקרא ירידה.

מקרה מיוחדהתקדמות גיאומטרית - ירידה אינסופית בהתקדמות גיאומטרית (b.u.g.p.). העובדה היא שהמונחים של התקדמות גיאומטרית פוחתת יפחתו שוב ושוב, אך לעולם לא יגיעו לאפס. למרות זאת, ניתן למצוא את הסכום של כל המונחים של התקדמות כזו. הוא נקבע על ידי הנוסחה S=b1/(1-q). סה"כ n איברים הם אינסופיים.

כדי לדמיין כיצד ניתן להוסיף אינסוף מספרים מבלי לקבל אינסוף, אפו עוגה. חתוך חצי ממנו. ואז חותכים חצי חצי, וכן הלאה. החלקים שתקבלו הם לא יותר מאשר איברים של התקדמות גיאומטרית פוחתת אינסופית עם מכנה של 1/2. אם אתה מוסיף את כל החלקים האלה, אתה מקבל את העוגה המקורית.

בעיות גיאומטריה הן סוג מיוחד של תרגיל הדורש חשיבה מרחבית. אם אתה לא יכול לפתור גיאומטרי מְשִׁימָה, נסה לפעול לפי הכללים הבאים.

הוראות

קרא בעיון רב את תנאי המשימה; אם אתה לא זוכר או לא מבין משהו, קרא אותו שוב.

נסה לקבוע באיזה סוג של בעיות גיאומטריות מדובר, למשל: בעיות חישוביות, כאשר אתה צריך לברר ערך כלשהו, בעיות הקשורות ב-, המחייבות שרשרת היגיון לוגית, בעיות הקשורות לבנייה באמצעות מצפן וסרגל. עוד משימות סוג מעורב. לאחר שהבנת את סוג הבעיה, נסה לחשוב בהיגיון.

החל את המשפט הדרוש עבור משימה נתונה, אך אם יש לך ספקות או שאין לך אפשרויות כלל, נסה לזכור את התיאוריה שלמדת בנושא הרלוונטי.

רשום גם את הפתרון לבעיה בטופס טיוטה. נסה להשתמש בשיטות מוכרות כדי לבדוק את נכונות הפתרון שלך.

מלאו את פתרון הבעיה בקפידה במחברת שלכם, מבלי למחוק או למחוק, והכי חשוב - .ייתכן שייקח זמן ומאמץ לפתור את הבעיות הגיאומטריות הראשונות. עם זאת, ברגע שתשלוט בתהליך הזה, תתחיל ללחוץ על משימות כמו אגוזים, וליהנות ממנו!

התקדמות גיאומטרית היא רצף של מספרים b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) כך ש- b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. במילים אחרות, כל איבר של ההתקדמות מתקבל מהקודם על ידי הכפלתו באיזה מכנה שאינו אפס של ההתקדמות q.

הוראות

בעיות התקדמות נפתרות לרוב על ידי שרטוט ולאחר מכן מעקב אחר מערכת ביחס לאיבר הראשון של ההתקדמות b1 והמכנה של ההתקדמות q. כדי ליצור משוואות, כדאי לזכור כמה נוסחאות.

כיצד לבטא את האיבר ה-n של ההתקדמות דרך האיבר הראשון של ההתקדמות ואת המכנה של ההתקדמות: b(n)=b1*q^(n-1).

הבה נבחן בנפרד את המקרה |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

שיעור ומצגת בנושא: "רצפי מספרים. התקדמות גיאומטרית"

חומרים נוספים
משתמשים יקרים, אל תשכחו להשאיר הערות, ביקורות, משאלות! כל החומרים נבדקו על ידי תוכנת אנטי וירוס.

עזרים חינוכיים וסימולטורים בחנות המקוונת אינטגרל לכיתה ט'
כוחות ושורשים פונקציות וגרפים

חבר'ה, היום נכיר סוג אחר של התקדמות.
נושא השיעור של היום הוא התקדמות גיאומטרית.

התקדמות גיאומטרית

הַגדָרָה. רצף מספרי שבו כל איבר, החל מהשני, שווה למכפלה של הקודם ומספר קבוע כלשהו נקרא התקדמות גיאומטרית.
בואו נגדיר את הרצף שלנו באופן רקורסיבי: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
כאשר b ו-q הם מספרים נתונים מסוימים. המספר q נקרא המכנה של ההתקדמות.

דוגמא. 1,2,4,8,16... התקדמות גיאומטרית שבה האיבר הראשון שווה לאחד, ו-$q=2$.

דוגמא. 8,8,8,8... התקדמות גיאומטרית שבה האיבר הראשון שווה לשמונה,
ו-$q=1$.

דוגמא. 3,-3,3,-3,3... התקדמות גיאומטרית שבה האיבר הראשון שווה לשלוש,
ו-$q=-1$.

להתקדמות גיאומטרית יש תכונות של מונוטוניות.
אם $b_(1)>0$, $q>1$,
ואז הרצף הולך וגדל.
אם $b_(1)>0$, $0 הרצף מסומן בדרך כלל בצורה: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

בדיוק כמו בהתקדמות אריתמטית, אם בהתקדמות גיאומטרית מספר היסודות סופי, אז ההתקדמות נקראת התקדמות גיאומטרית סופית.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
שימו לב שאם רצף הוא התקדמות גיאומטרית, אז גם רצף ריבועי האיברים הוא התקדמות גיאומטרית. ברצף השני, האיבר הראשון שווה ל-$b_(1)^2$, והמכנה שווה ל-$q^2$.

נוסחה לאיבר ה-n של התקדמות גיאומטרית

ניתן לציין התקדמות גיאומטרית גם בצורה אנליטית. בוא נראה איך עושים את זה:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
אנו מבחינים בקלות בתבנית: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
הנוסחה שלנו נקראת "נוסחת האיבר ה-n של התקדמות גיאומטרית".

נחזור לדוגמאות שלנו.

דוגמא. 1,2,4,8,16... התקדמות גיאומטרית שבה האיבר הראשון שווה לאחד,
ו-$q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

דוגמא. 16,8,4,2,1,1/2... התקדמות גיאומטרית שבה האיבר הראשון שווה לשש עשרה, ו-$q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

דוגמא. 8,8,8,8... התקדמות גיאומטרית שבה האיבר הראשון שווה לשמונה, ו-$q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

דוגמא. 3,-3,3,-3,3... התקדמות גיאומטרית שבה האיבר הראשון שווה לשלוש, ו-$q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

דוגמא. בהינתן התקדמות גיאומטרית $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
א) ידוע ש$b_(1)=6, q=3$. מצא את $b_(5)$.
ב) ידוע ש$b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. מצא את נ.
ג) ידוע ש$q=-2, b_(6)=96$. מצא את $b_(1)$.
ד) ידוע ש$b_(1)=-2, b_(12)=4096$. מצא את ש.

פִּתָרוֹן.
א) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ב) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, מאז $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
ג) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
ד) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

דוגמא. ההבדל בין האיבר השביעי והחמישי של ההתקדמות הגיאומטרית הוא 192, סכום האיברים החמישי והשישי של ההתקדמות הוא 192. מצא את האיבר העשירי של ההתקדמות הזו.

פִּתָרוֹן.
אנו יודעים ש: $b_(7)-b_(5)=192$ ו-$b_(5)+b_(6)=192$.
אנחנו גם יודעים: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
לאחר מכן:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
קיבלנו מערכת משוואות:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
משווים את המשוואות שלנו נקבל:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
יש לנו שני פתרונות ש: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
החלף ברצף לתוך המשוואה השנייה:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ אין פתרונות.
קיבלנו את זה: $b_(1)=4, q=2$.
בואו נמצא את האיבר העשירי: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

סכום של התקדמות גיאומטרית סופית

תן לנו התקדמות גיאומטרית סופית. בואו, בדיוק כמו עבור התקדמות אריתמטית, נחשב את סכום האיברים שלה.

תן התקדמות גיאומטרית סופית: $b_(1),b_(2),...,b_(n-1),b_(n)$.
הבה נציג את הייעוד עבור סכום האיברים שלו: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
במקרה שבו $q=1$. כל האיברים של ההתקדמות הגיאומטרית שווים לאיבר הראשון, אז ברור ש$S_(n)=n*b_(1)$.
הבה נבחן כעת את המקרה $q≠1$.
בוא נכפיל את הסכום שלעיל ב-q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
הערה:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

קיבלנו את הנוסחה לסכום של התקדמות גיאומטרית סופית.

דוגמא.
מצא את סכום שבעת האיברים הראשונים של התקדמות גיאומטרית שהאיבר הראשון שלה הוא 4 והמכנה הוא 3.

פִּתָרוֹן.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

דוגמא.
מצא את האיבר החמישי של ההתקדמות הגיאומטרית הידועה: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

פִּתָרוֹן.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

תכונה אופיינית של התקדמות גיאומטרית

חבר'ה, ניתן התקדמות גיאומטרית. בואו נסתכל על שלושת האיברים הרצופים שלו: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
אנחנו יודעים את זה:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
לאחר מכן:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
אם ההתקדמות היא סופית, אזי השוויון הזה מתקיים עבור כל המונחים מלבד הראשון והאחרון.
אם לא ידוע מראש איזו צורה יש לרצף, אבל ידוע ש: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
אז אנחנו יכולים לומר בבטחה שזו התקדמות גיאומטרית.

רצף מספרים הוא התקדמות גיאומטרית רק כאשר הריבוע של כל איבר שווה למכפלת שני האיברים הסמוכים להתקדמות. אל תשכח שעבור התקדמות סופית תנאי זה אינו מתקיים עבור המונח הראשון והאחרון.

בואו נסתכל על הזהות הזו: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ נקרא הממוצע הגיאומטרי של המספרים a ו-b.

המודולוס של כל איבר של התקדמות גיאומטרית שווה לממוצע הגיאומטרי של שני האיברים הסמוכים לו.

דוגמא.
מצא את x כך ש-$x+2; 2x+2; 3x+3$ היו שלושה איברים רצופים של התקדמות גיאומטרית.

פִּתָרוֹן.
בואו נשתמש בתכונה האופיינית:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ו-$x_(2)=-1$.
הבה נחליף את הפתרונות שלנו ברצף בביטוי המקורי:
עם $x=2$, קיבלנו את הרצף: 4;6;9 - התקדמות גיאומטרית עם $q=1.5$.
עבור $x=-1$, נקבל את הרצף: 1;0;0.
תשובה: $x=2.$

בעיות לפתרון עצמאי

1. מצא את האיבר הראשון השמיני של ההתקדמות הגיאומטרית 16;-8;4;-2….
2. מצא את האיבר העשירי של ההתקדמות הגיאומטרית 11,22,44….
3. ידוע ש$b_(1)=5, q=3$. מצא את $b_(7)$.
4. ידוע ש$b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. מצא את נ.
5. מצא את סכום 11 האיברים הראשונים של ההתקדמות הגיאומטרית 3;12;48….
6. מצא את x כך ש-$3x+4; 2x+4; x+5$ הם שלושה איברים עוקבים של התקדמות גיאומטרית.

התקדמות גיאומטרית לצד התקדמות אריתמטית היא סדרת מספרים חשובה הנלמדת בקורס אלגברה בית ספרית בכיתה ט'. במאמר זה נבחן את המכנה של התקדמות גיאומטרית וכיצד הערך שלה משפיע על תכונותיה.

הגדרה של התקדמות גיאומטרית

ראשית, ניתן את ההגדרה של סדרת מספרים זו. סדרה כזו נקראת התקדמות גיאומטרית מספר רציונלי, שנוצר על ידי הכפלה ברצף של האלמנט הראשון שלו במספר קבוע הנקרא המכנה.

לדוגמה, המספרים בסדרה 3, 6, 12, 24, ... הם התקדמות גיאומטרית, כי אם מכפילים 3 (האלמנט הראשון) ב-2, מקבלים 6. אם מכפילים 6 ב-2, מקבלים 12, וכן הלאה.

איברי הרצף הנדון מסומנים בדרך כלל בסמל ai, כאשר i הוא מספר שלם המציין את מספר האלמנט בסדרה.

את ההגדרה לעיל של התקדמות ניתן לכתוב בשפה מתמטית באופן הבא: an = bn-1 * a1, כאשר b הוא המכנה. קל לבדוק את הנוסחה הזו: אם n = 1, אז b1-1 = 1, ונקבל a1 = a1. אם n = 2, אז an = b * a1, ושוב נגיע להגדרה של סדרת המספרים המדוברת. אפשר להמשיך בנימוקים דומים ערכים גדוליםנ.

מכנה של התקדמות גיאומטרית

המספר b קובע לחלוטין איזה תו יהיה לסדרת המספרים כולה. המכנה b יכול להיות חיובי, שלילי או גדול או קטן מאחד. כל האפשרויות לעיל מובילות לרצפים שונים:

ב > 1. יש סדרה הולכת וגדלה של מספרים רציונליים. לדוגמה, 1, 2, 4, 8, ... אם אלמנט a1 שלילי, אז הרצף כולו יגדל רק בערך המוחלט, אך יקטן בהתאם לסימן המספרים.
b = 1. לעתים קרובות מקרה זה אינו נקרא התקדמות, שכן יש סדרה רגילה של מספרים רציונליים זהים. לדוגמה, -4, -4, -4.

נוסחה לכמות

לפני שעוברים לבחינת בעיות ספציפיות תוך שימוש במכנה של סוג ההתקדמות הנבדקת, יש צורך לתת נוסחה חשובהעבור סכום n האלמנטים הראשונים שלו. הנוסחה נראית כך: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

אתה יכול להשיג את הביטוי הזה בעצמך אם אתה מחשיב את הרצף הרקורסיבי של מונחים של ההתקדמות. שימו לב גם שבנוסחה לעיל מספיק לדעת רק את האלמנט הראשון ואת המכנה כדי למצוא סכום של מספר שרירותי של איברים.

רצף הולך ופוחת לאין שיעור

ניתן לעיל הסבר על מה זה. כעת, כשאני מכיר את הנוסחה של Sn, בואו ניישם אותה על סדרת המספרים הזו. מכיוון שכל מספר שהמודלוס שלו אינו עולה על 1 שואף לאפס כשהוא מועלה לחזקות גדולות, כלומר b∞ => 0 אם -1

מכיוון שההפרש (1 - b) תמיד יהיה חיובי, ללא קשר לערך המכנה, סימן הסכום של התקדמות גיאומטרית פוחתת אינסופית S∞ נקבע באופן ייחודי על ידי הסימן של האלמנט הראשון שלו a1.

כעת נסתכל על מספר בעיות שבהן נראה כיצד ליישם את הידע הנרכש על מספרים ספציפיים.

משימה מס' 1. חישוב אלמנטים לא ידועים של התקדמות וסכום

בהינתן התקדמות גיאומטרית, המכנה של ההתקדמות הוא 2, והיסוד הראשון שלו הוא 3. למה יהיו האיברים ה-7 וה-10 שלו שווים, ומהו סכום שבעת היסודות ההתחלתיים שלו?

מצב הבעיה די פשוט וכרוך בשימוש ישיר בנוסחאות הנ"ל. לכן, כדי לחשב אלמנט מספר n, אנו משתמשים בביטוי an = bn-1 * a1. עבור האלמנט השביעי יש לנו: a7 = b6 * a1, בהחלפת הנתונים הידועים, נקבל: a7 = 26 * 3 = 192. אנו עושים את אותו הדבר עבור האיבר העשירי: a10 = 29 * 3 = 1536.

הבה נשתמש בנוסחה הידועה לסכום ונקבע את הערך הזה עבור 7 האלמנטים הראשונים של הסדרה. יש לנו: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

בעיה מס' 2. קביעת סכום המרכיבים השרירותיים של התקדמות

תן -2 להיות שווה למכנה של ההתקדמות הגיאומטרית bn-1 * 4, כאשר n הוא מספר שלם. יש צורך לקבוע את הסכום מהאלמנט ה-5 עד ה-10 של סדרה זו, כולל.

לא ניתן לפתור את הבעיה שנוצרה ישירות באמצעות נוסחאות ידועות. אפשר לפתור את זה ב-2 דרכים שיטות שונות. לשלמות הצגת הנושא, אנו מציגים את שניהם.

שיטה 1. הרעיון פשוט: צריך לחשב את שני הסכומים התואמים של האיברים הראשונים, ואז להחסיר את השני מאחד. אנו מחשבים את הסכום הקטן יותר: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. כעת אנו מחשבים את הסכום הגדול יותר: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. שימו לב שבביטוי האחרון סוכמו רק 4 מונחים, שכן ה-5 כבר כלול בסכום שצריך לחשב לפי תנאי הבעיה. לבסוף, ניקח את ההבדל: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

שיטה 2. לפני החלפת מספרים וספירה, ניתן לקבל נוסחה לסכום בין האיברים m ו-n של הסדרה המדוברת. אנחנו עושים בדיוק כמו בשיטה 1, רק שאנחנו קודם עובדים עם הייצוג הסמלי של הכמות. יש לנו: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . אתה יכול להחליף מספרים ידועים בביטוי המתקבל ולחשב את התוצאה הסופית: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

בעיה מס' 3. מהו המכנה?

תן a1 = 2, מצא את המכנה של ההתקדמות הגיאומטרית, בתנאי שלה כמות אינסופיתהוא 3, ואנחנו יודעים שזו סדרה יורדת של מספרים.

בהתבסס על תנאי הבעיה, לא קשה לנחש באיזו נוסחה יש להשתמש כדי לפתור אותה. כמובן, עבור סכום ההתקדמות בירידה אינסופית. יש לנו: S∞ = a1 / (1 - b). מהמקום שבו אנו מבטאים את המכנה: b = 1 - a1 / S∞. כל מה שנותר הוא להחליף ערכים ידועיםוקבל את המספר הנדרש: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 או -0.333(3). נוכל לבדוק את התוצאה הזו בצורה איכותית אם נזכור שעבור סוג זה של רצף המודולוס b לא צריך לעבור מעבר ל-1. כפי שניתן לראות, |-1 / 3|

משימה מס' 4. שחזור סדרת מספרים

תנו 2 אלמנטים מסדרת מספרים, למשל, ה-5 שווה ל-30 וה-10 שווה ל-60. יש צורך לשחזר את הסדרה כולה מנתונים אלו, בידיעה שהיא עונה על המאפיינים של התקדמות גיאומטרית.

כדי לפתור את הבעיה, תחילה עליך לרשום את הביטוי המתאים לכל מונח ידוע. יש לנו: a5 = b4 * a1 ו- a10 = b9 * a1. כעת נחלק את הביטוי השני בראשון, נקבל: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. מכאן אנו קובעים את המכנה על ידי נטילת השורש החמישי של היחס בין האיברים הידועים מהצהרת הבעיה, b = 1.148698. נחליף את המספר המתקבל באחד הביטויים עבור האלמנט הידוע, נקבל: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

לפיכך, מצאנו את המכנה של ההתקדמות bn, ואת ההתקדמות הגיאומטרית bn-1 * 17.2304966 = an, כאשר b = 1.148698.

היכן משתמשים בהתקדמות גיאומטריות?

אם לא היה יישום מעשי של סדרת מספרים זו, אזי המחקר שלה היה מצטמצם לעניין תיאורטי בלבד. אבל אפליקציה כזו קיימת.

להלן 3 הדוגמאות המפורסמות ביותר:

הפרדוקס של זינו, שבו אכילס הזריז אינו יכול להדביק את הצב האיטי, נפתר באמצעות הרעיון של רצף מספרים הולך ופוחת לאין שיעור.
אם לכל תא לוח שחמטשים גרגירי חיטה כך שבתא 1 תשים 1 גרגר, ב-2 - 2, ב-3 - 3 וכן הלאה, ואז כדי למלא את כל התאים של הלוח תצטרך 18446744073709551615 גרגירים!
במשחק "מגדל האנוי", על מנת להעביר דיסקים ממוט אחד למשנהו, יש צורך לבצע פעולות של 2n - 1, כלומר מספרם גדל באופן אקספוננציאלי עם מספר n הדיסקים בהם נעשה שימוש.

אם לכל מספר טבעי נ להתאים למספר אמיתי א n , אז אומרים שזה ניתן רצף מספרים :

א 1 , א 2 , א 3 , . . . , א n , . . . .

אז, רצף המספרים הוא פונקציה של הארגומנט הטבעי.

מספר א 1 שקוראים לו האיבר הראשון של הרצף , מספר א 2 — מונח שני של הרצף , מספר א 3 — שְׁלִישִׁי וכולי. מספר א n שקוראים לו קדנציה נ'רצפים , ומספר טבעי נ — המספר שלו .

משני חברים סמוכים א n ו א n +1 איבר רצף א n +1 שקוראים לו לאחר מכן (לִקרַאת א n ), א א n — קודם (לִקרַאת א n +1 ).

כדי להגדיר רצף, עליך לציין שיטה המאפשרת לך למצוא איבר ברצף עם כל מספר.

לעתים קרובות הרצף מצוין באמצעות נוסחאות מונח n , כלומר נוסחה המאפשרת לקבוע איבר ברצף לפי מספרו.

לדוגמה,

ניתן לתת רצף של מספרים אי-זוגיים חיוביים על ידי הנוסחה

א n= 2n- 1,

והרצף של מתחלפים 1 ו -1 - נוסחה

בנ = (-1)נ +1 . ◄

ניתן לקבוע את הרצף נוסחה חוזרת, כלומר, נוסחה המבטאת כל איבר ברצף, החל בכמה, דרך האיברים הקודמים (אחד או יותר).

לדוגמה,

אם א 1 = 1 , א א n +1 = א n + 5

א 1 = 1,

א 2 = א 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

א 3 = א 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

א 4 = א 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

א 5 = א 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

אם א 1= 1, א 2 = 1, א n +2 = א n + א n +1 , אחר כך שבעת החברים הראשונים רצף מספריםלהתקין באופן הבא:

א 1 = 1,

א 2 = 1,

א 3 = א 1 + א 2 = 1 + 1 = 2,

א 4 = א 2 + א 3 = 1 + 2 = 3,

א 5 = א 3 + א 4 = 2 + 3 = 5,

א 6 = א 4 + א 5 = 3 + 5 = 8,

א 7 = א 5 + א 6 = 5 + 8 = 13. ◄

רצפים יכולים להיות סופי ו אינסופי .

הרצף נקרא סופי , אם יש לו מספר סופי של איברים. הרצף נקרא אינסופי , אם יש בו אינסוף חברים.

לדוגמה,

רצף של מספרים טבעיים דו ספרתיים:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

סופי.

רצף של מספרים ראשוניים:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

אינסופי. ◄

הרצף נקרא גָדֵל , אם כל אחד מאבריו, החל מהשני, גדול מהקודם.

הרצף נקרא פּוֹחֵת , אם כל אחד מהחברים שלו, החל מהשני, קטן מהקודם.

לדוגמה,

2, 4, 6, 8, . . . , 2נ, . . . - רצף הולך וגובר;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /נ, . . . - רצף יורד. ◄

רצף שהאלמנטים שלו אינם יורדים ככל שהמספר גדל, או להיפך, אינם גדלים, נקרא רצף מונוטוני .

רצפים מונוטוניים, בפרט, הם רצפים הולכים וגדלים ורצפים פוחתים.

התקדמות אריתמטית

התקדמות אריתמטית הוא רצף שבו כל איבר, החל מהשני, שווה לקודם, אליו מתווסף אותו מספר.

א 1 , א 2 , א 3 , . . . , א n, . . .

הוא התקדמות אריתמטית אם בכלל מספר טבעי נ מתקיים התנאי:

א n +1 = א n + ד,

איפה ד - מספר מסוים.

לפיכך, ההבדל בין האיברים הבאים והקודמים של התקדמות אריתמטית נתונה תמיד קבוע:

א 2 - א 1 = א 3 - א 2 = . . . = א n +1 - א n = ד.

מספר ד שקוראים לו הבדל בהתקדמות אריתמטית.

כדי להגדיר התקדמות אריתמטית, מספיק לציין את האיבר הראשון וההבדל שלה.

לדוגמה,

אם א 1 = 3, ד = 4 , אז נמצא את חמשת האיברים הראשונים של הרצף באופן הבא:

א 1 =3,

א 2 = א 1 + ד = 3 + 4 = 7,

א 3 = א 2 + ד= 7 + 4 = 11,

א 4 = א 3 + ד= 11 + 4 = 15,

א 5 = א 4 + ד= 15 + 4 = 19. ◄

להתקדמות אריתמטית עם המונח הראשון א 1 ואת ההבדל ד שֶׁלָה נ

א n = א 1 + (נ- 1)ד.

לדוגמה,

מצא את האיבר השלושים של ההתקדמות האריתמטית

1, 4, 7, 10, . . .

א 1 =1, ד = 3,

30 = א 1 + (30 - 1)ד = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = א 1 + (נ- 2)ד,

א n= א 1 + (נ- 1)ד,

א n +1 = א 1 + נד,

אז ברור

א n=	a n-1 + a n+1
	2

כל איבר בהתקדמות אריתמטית, החל מהשנייה, שווה לממוצע האריתמטי של האיברים הקודמים והבאים.

המספרים a, b ו-c הם איברים עוקבים של התקדמות אריתמטית כלשהי אם ורק אם אחד מהם שווה לממוצע האריתמטי של השניים האחרים.

לדוגמה,

א n = 2נ- 7 , הוא התקדמות אריתמטית.

בואו נשתמש בהצהרה לעיל. יש לנו:

א n = 2נ- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2נ- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2נ- 5.

לָכֵן,

a n+1 + a n-1	=	2נ- 5 + 2נ- 9	= 2נ- 7 = א n,
2		2

◄

ציין זאת נ המונח ה-th של התקדמות אריתמטית ניתן למצוא לא רק דרך א 1 , אבל גם כל הקודם א ק

א n = א ק + (נ- ק)ד.

לדוגמה,

ל א 5 ניתן לרשום

א 5 = א 1 + 4ד,

א 5 = א 2 + 3ד,

א 5 = א 3 + 2ד,

א 5 = א 4 + ד. ◄

א n = א נ-ק + kd,

א n = a n+k - kd,

אז ברור

א n=	א n-k +א n+k
	2

כל איבר בהתקדמות אריתמטית, החל מהשנייה, שווה למחצית הסכום של האיברים המרווחים באופן שווה של ההתקדמות האריתמטית הזו.

בנוסף, עבור כל התקדמות אריתמטית מתקיים השוויון הבא:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

לדוגמה,

בהתקדמות אריתמטית

1) א 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (א 9 + א 11 )/2;

2) 28 = 10 = א 3 + 7ד= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, כי

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ א n,

ראשון נ איברים של התקדמות אריתמטית שווה למכפלה של מחצית מסכום האיברים הקיצונים ומספר האיברים:

מכאן, במיוחד, נובע שאם אתה צריך לסכם את התנאים

א ק, א ק +1 , . . . , א n,

אז הנוסחה הקודמת שומרת על המבנה שלה:

לדוגמה,

בהתקדמות אריתמטית 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ס 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ס 10 - ס 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

אם ניתן התקדמות אריתמטיתואז הכמויות א 1 , א n, ד, נוס נ מחוברים בשתי נוסחאות:

לכן, אם הערכים של שלוש מהכמויות הללו ניתנים, אז הערכים המקבילים של שתי הכמויות האחרות נקבעים מהנוסחאות הללו, משולבות למערכת של שתי משוואות עם שני לא ידועים.

התקדמות אריתמטית היא רצף מונוטוני. שבו:

אם ד > 0 , אז זה הולך וגדל;
אם ד < 0 , אז זה הולך ופוחת;
אם ד = 0 , אז הרצף יהיה נייח.

התקדמות גיאומטרית

התקדמות גיאומטרית הוא רצף שבו כל איבר, החל מהשני, שווה לקודם כפול באותו מספר.

ב 1 , ב 2 , ב 3 , . . . , ב נ, . . .

הוא התקדמות גיאומטרית אם עבור מספר טבעי כלשהו נ מתקיים התנאי:

ב נ +1 = ב נ · ש,

איפה ש ≠ 0 - מספר מסוים.

לפיכך, היחס בין האיבר העוקב של התקדמות גיאומטרית נתונה לקודם הוא מספר קבוע:

ב 2 / ב 1 = ב 3 / ב 2 = . . . = ב נ +1 / ב נ = ש.

מספר ש שקוראים לו מכנה של התקדמות גיאומטרית.

כדי להגדיר התקדמות גיאומטרית, מספיק לציין את המונח והמכנה הראשון שלו.

לדוגמה,

אם ב 1 = 1, ש = -3 , אז נמצא את חמשת האיברים הראשונים של הרצף באופן הבא:

ב 1 = 1,

ב 2 = ב 1 · ש = 1 · (-3) = -3,

ב 3 = ב 2 · ש= -3 · (-3) = 9,

ב 4 = ב 3 · ש= 9 · (-3) = -27,

ב 5 = ב 4 · ש= -27 · (-3) = 81. ◄

ב 1 ומכנה ש שֶׁלָה נ ניתן למצוא את המונח ה-th באמצעות הנוסחה:

ב נ = ב 1 · qn -1 .

לדוגמה,

מצא את האיבר השביעי של ההתקדמות הגיאומטרית 1, 2, 4, . . .

ב 1 = 1, ש = 2,

ב 7 = ב 1 · ש 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = ב 1 · qn -2 ,

ב נ = ב 1 · qn -1 ,

ב נ +1 = ב 1 · qn,

אז ברור

ב נ 2 = ב נ -1 · ב נ +1 ,

כל איבר בהתקדמות הגיאומטרית, החל מהשני, שווה לממוצע הגיאומטרי (פרופורציונלי) של האיברים הקודמים והבאים.

מכיוון שגם ההיפך נכון, האמירה הבאה מתקיימת:

המספרים a, b ו-c הם איברים עוקבים של התקדמות גיאומטרית כלשהי אם ורק אם הריבוע של אחד מהם שווה למכפלת השניים האחרים, כלומר, אחד המספרים הוא הממוצע הגיאומטרי של השניים האחרים.

לדוגמה,

הבה נוכיח שהרצף שניתן על ידי הנוסחה ב נ= -3 2 נ , הוא התקדמות גיאומטרית. בואו נשתמש בהצהרה לעיל. יש לנו:

ב נ= -3 2 נ,

ב נ -1 = -3 2 נ -1 ,

ב נ +1 = -3 2 נ +1 .

לָכֵן,

ב נ 2 = (-3 2 נ) 2 = (-3 2 נ -1 ) · (-3 · 2 נ +1 ) = ב נ -1 · ב נ +1 ,

מה שמוכיח את האמירה הרצויה. ◄

ציין זאת נ ניתן למצוא את האיבר ה-th של התקדמות גיאומטרית לא רק דרך ב 1 , אבל גם כל חבר קודם ב ק , שעבורו מספיק להשתמש בנוסחה

ב נ = ב ק · qn - ק.

לדוגמה,

ל ב 5 ניתן לרשום

ב 5 = ב 1 · ש 4 ,

ב 5 = ב 2 · ש 3,

ב 5 = ב 3 · ש 2,

ב 5 = ב 4 · ש. ◄

ב נ = ב ק · qn - ק,

ב נ = ב נ - ק · q k,

אז ברור

ב נ 2 = ב נ - ק· ב נ + ק

הריבוע של כל איבר של התקדמות גיאומטרית, החל מהשני, שווה למכפלת האיברים של התקדמות זו במרחק שווה ממנו.

בנוסף, עבור כל התקדמות גיאומטרית השוויון נכון:

ב מ· ב נ= ב ק· ב ל,

M+ נ= ק+ ל.

לדוגמה,

בהתקדמות גיאומטרית

1) ב 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ב 5 · ב 7 ;

2) 1024 = ב 11 = ב 6 · ש 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ב 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ב 4 · ב 8 ;

4) ב 2 · ב 7 = ב 4 · ב 5 , כי

ב 2 · ב 7 = 2 · 64 = 128,

ב 4 · ב 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ב 1 + ב 2 + ב 3 + . . . + ב נ

ראשון נ איברים של התקדמות גיאומטרית עם מכנה ש ≠ 0 מחושב לפי הנוסחה:

ומתי ש = 1 - לפי הנוסחה

S n= הערה: 1

שים לב שאם אתה צריך לסכם את התנאים

ב ק, ב ק +1 , . . . , ב נ,

אז נעשה שימוש בנוסחה:

S n- ס ק -1 = ב ק + ב ק +1 + . . . + ב נ = ב ק ·	1 - qn - ק +1	.
	1 - ש

לדוגמה,

בהתקדמות גיאומטרית 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ס 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ס 10 - ס 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

אם ניתנת התקדמות גיאומטרית, אז הכמויות ב 1 , ב נ, ש, נו S n מחוברים בשתי נוסחאות:

להתקדמות גיאומטרית עם המונח הראשון ב 1 ומכנה ש הפעולות הבאות מתרחשות תכונות של מונוטוניות :

ההתקדמות גדלה אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

ב 1 > 0 ו ש> 1;

ב 1 < 0 ו 0 < ש< 1;

ההתקדמות הולכת ופוחתת אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

ב 1 > 0 ו 0 < ש< 1;

ב 1 < 0 ו ש> 1.

אם ש< 0 , אז ההתקדמות הגיאומטרית מתחלפת: לאיברים שלו עם מספרים אי-זוגיים יש סימן זהה לאיבר הראשון שלו, ולאברים עם מספרים זוגיים יש סימן הפוך. ברור שהתקדמות גיאומטרית מתחלפת אינה מונוטונית.

המוצר של הראשון נ ניתן לחשב מונחים של התקדמות גיאומטרית באמצעות הנוסחה:

P n= ב 1 · ב 2 · ב 3 · . . . · ב נ = (ב 1 · ב נ) נ / 2 .

לדוגמה,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

התקדמות גיאומטרית פוחתת לאין שיעור

התקדמות גיאומטרית פוחתת לאין שיעור נקרא התקדמות גיאומטרית אינסופית שמודול המכנה שלה קטן 1 , זה

|ש| < 1 .

שים לב שהתקדמות גיאומטרית הולכת ופוחתת באופן אינסופי עשויה להיות לא רצף יורד. זה מתאים לאירוע

1 < ש< 0 .

עם מכנה כזה, הרצף מתחלף. לדוגמה,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

סכום התקדמות גיאומטרית הולכת ופוחתת באופן אינסופי שם את המספר שאליו מתקרב סכום הראשונים ללא הגבלה נ חברים בהתקדמות עם עלייה בלתי מוגבלת במספר נ . מספר זה הוא תמיד סופי ומתבטא בנוסחה

ס= ב 1 + ב 2 + ב 3 + . . . =	ב 1	.
	1 - ש

לדוגמה,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

קשר בין התקדמות אריתמטית וגיאומטרית

התקדמות אריתמטית וגאומטרית קשורה קשר הדוק. בואו נסתכל על שתי דוגמאות בלבד.

א 1 , א 2 , א 3 , . . . ד , זה

ב א 1 , ב א 2 , ב א 3 , . . . ב ד .

לדוגמה,

1, 3, 5, . . . - התקדמות אריתמטית עם הבדל 2 ו

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - התקדמות גיאומטרית עם מכנה 7 2 . ◄

ב 1 , ב 2 , ב 3 , . . . - התקדמות גיאומטרית עם מכנה ש , זה

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - התקדמות אריתמטית עם הבדל יומן אש .

לדוגמה,

2, 12, 72, . . . - התקדמות גיאומטרית עם מכנה 6 ו

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - התקדמות אריתמטית עם הבדל lg 6 . ◄

התקדמות גיאומטריתלא פחות חשוב במתמטיקה לעומת חשבון. התקדמות גיאומטרית היא רצף של מספרים b1, b2,..., b[n], שכל איבר הבא שלו מתקבל על ידי הכפלת הקודם במספר קבוע. מספר זה, המאפיין גם את קצב הגדילה או הירידה בהתקדמות, נקרא מכנה של התקדמות גיאומטריתולסמן

כדי לציין לחלוטין התקדמות גיאומטרית, בנוסף למכנה, יש צורך לדעת או לקבוע את המונח הראשון שלו. עבור ערך חיובי של המכנה, ההתקדמות היא רצף מונוטוני, ואם רצף המספרים הזה יורד באופן מונוטוני ואם הוא עולה מונוטונית. המקרה שבו המכנה שווה לאחד אינו נחשב בפועל, שכן יש לנו רצף של מספרים זהים, ולסיכום שלהם אין עניין מעשי

מונח כללי של התקדמות גיאומטריתמחושב לפי הנוסחה

סכום n האיברים הראשונים של התקדמות גיאומטריתנקבע לפי הנוסחה

בואו נסתכל על פתרונות לבעיות התקדמות גיאומטריות קלאסיות. נתחיל עם הפשוטים ביותר להבנה.

דוגמה 1. האיבר הראשון של התקדמות גיאומטרית הוא 27, והמכנה שלו הוא 1/3. מצא את ששת האיברים הראשונים של ההתקדמות הגיאומטרית.

פתרון: הבה נכתוב את מצב הבעיה בטופס

לחישובים אנו משתמשים בנוסחה של האיבר ה-n של התקדמות גיאומטרית

על סמך זה, אנו מוצאים את המונחים הלא ידועים של ההתקדמות