אבל מספרים טבעיים רבים ניתנים לחלוקה שווה במספרים טבעיים אחרים.

לדוגמה:

המספר 12 מתחלק ב-1, ב-2, ב-3, ב-4, ב-6, ב-12;

המספר 36 מתחלק ב-1, ב-2, ב-3, ב-4, ב-6, ב-12, ב-18, ב-36.

המספרים שבהם המספר מתחלק (עבור 12 זה 1, 2, 3, 4, 6 ו-12) נקראים מחלקי מספרים. מחלק של מספר טבעי אהוא המספר הטבעי המחלק את המספר הנתון אבלי עקבות. מספר טבעי שיש בו יותר משני גורמים נקרא מרוכבים .

שימו לב שלמספרים 12 ו-36 יש מחלקים משותפים. אלו הם המספרים: 1, 2, 3, 4, 6, 12. המחלק הגדול מבין המספרים הללו הוא 12. המחלק המשותף של שני המספרים הללו או בהוא המספר שבו שני המספרים הנתונים מתחלקים ללא שארית או ב.

כפולה משותפתמספר מספרים נקרא המספר המתחלק בכל אחד מהמספרים הללו. לדוגמה, למספרים 9, 18 ו-45 יש כפולה משותפת של 180. אבל 90 ו-360 הם גם הכפולות המשותפת שלהם. מבין כל הכפולות ה-jcommon, תמיד יש את הקטן ביותר, במקרה זה הוא 90. מספר זה נקרא הכי פחותכפולה משותפת (LCM).

LCM הוא תמיד מספר טבעי, שחייב להיות גדול מהמספר הגדול ביותר שלגביהם הוא מוגדר.

הכיפלה הנמוכה ביותר (LCM). נכסים.

קומוטטיביות:

אסוציאטיביות:

בפרט, אם והם מספרים ראשוניים , אז:

הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של שני מספרים שלמים Mו נהוא מחלק של כל הכפולות המשותפים האחרים Mו נ. יתר על כן, קבוצת הכפולות המשותפת מ,נעולה בקנה אחד עם קבוצת הכפולות עבור LCM( מ,נ).

האסימפטוטיקה של יכולה לבוא לידי ביטוי במונחים של כמה פונקציות תיאורטיות של המספרים.

כך, תפקוד צ'בישב. וגם:

הדבר נובע מההגדרה והמאפיינים של פונקציית לנדאו g(n).

מה נובע מחוק התפלגות המספרים הראשוניים.

מציאת הכפולה הפחות משותפת (LCM).

NOC( א, ב) ניתן לחשב בכמה דרכים:

1. אם ידוע המחלק המשותף הגדול ביותר, אתה יכול להשתמש בקשר שלו עם ה-LCM:

2. אפשר לדעת את הפירוק הקנוני של שני המספרים לגורמים ראשוניים:

איפה p 1 ,...,p kהם מספרים ראשוניים שונים, ו d 1 ,...,dkו e 1 ,...,ekהם מספרים שלמים לא שליליים (הם יכולים להיות אפס אם ראשוני המתאים אינו בהרחבה).

ואז LCM ( א,ב) מחושב לפי הנוסחה:

במילים אחרות, הרחבת LCM מכילה את כל הגורמים הראשוניים הכלולים לפחות באחת מהרחבות המספרים א, ב, והגדול מבין שני המעריכים של גורם זה נלקח.

דוגמא:

ניתן לצמצם את חישוב הכפולה הפחות משותפת של מספר מספרים למספר חישובים עוקבים של LCM של שני מספרים:

כְּלָל.כדי למצוא את ה-LCM של סדרת מספרים, אתה צריך:

- לפרק מספרים לגורמים ראשוניים;

- להעביר את ההרחבה הגדולה ביותר לגורמים של המוצר הרצוי (המכפלה של הגורמים של ה מספר גדולמהנתונים), ולאחר מכן להוסיף גורמים מפירוק מספרים אחרים שאינם מופיעים במספר הראשון או נמצאים בו מספר קטן יותר של פעמים;

- המכפלה המתקבלת של גורמים ראשוניים תהיה LCM של המספרים הנתונים.

כל שניים או יותר מספרים טבעייםיש NOC משלהם. אם המספרים אינם כפולים אחד של השני או שאין להם אותם גורמים בהרחבה, אזי ה-LCM שלהם שווה למכפלת המספרים הללו.

הגורמים הראשוניים של המספר 28 (2, 2, 7) נוספו עם גורם 3 (המספר 21), המכפלה המתקבלת (84) תהיה המספר הקטן ביותר, שמתחלק ב-21 וב-28.

לגורמים הראשוניים של המספר הגדול ביותר 30 נוספו פקטור 5 של המספר 25, המכפלה המתקבלת 150 גדולה מהמספר הגדול ביותר 30 ומתחלקת בכל המספרים הנתונים ללא שארית. זֶה לפחות מוצרמהאפשרי (150, 250, 300...), שהוא כפולה של כל המספרים הנתונים.

המספרים 2,3,11,37 הם ראשוניים, כך שה-LCM שלהם שווה למכפלת המספרים הנתונים.

כְּלָל. כדי לחשב את LCM של מספרים ראשוניים, עליך להכפיל את כל המספרים הללו יחד.

אפשרות נוספת:

כדי למצוא את הכפולה הפחות משותפת (LCM) של מספר מספרים אתה צריך:

1) מייצגים כל מספר כמכפלה של הגורמים הראשוניים שלו, לדוגמה:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) רשום את הכוחות של כל הגורמים הראשוניים:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) רשום את כל המחלקים הראשוניים (המכפילים) של כל אחד מהמספרים הללו;

4) בחר את הדרגה הגדולה ביותר של כל אחד מהם, הנמצאת בכל ההרחבות של המספרים הללו;

5) להכפיל את החזקות הללו.

דוגמא. מצא את ה-LCM של המספרים: 168, 180 ו-3024.

פִּתָרוֹן. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

אנו כותבים את החזקות הגדולות ביותר של כל המחלקים הראשוניים ומכפילים אותם:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

שקול את הפתרון של הבעיה הבאה. המדרגה של הילד היא 75 ס"מ, והמדרגה של הילדה היא 60 ס"מ. יש צורך למצוא את המרחק הקטן ביותר שבו יעברו שניהם מספר שלם של צעדים.

פִּתָרוֹן.כל הנתיב שהחבר'ה יעברו חייב להיות מתחלק ב-60 וב-70 ללא שארית, מכיוון שכל אחד מהם צריך לעשות מספר שלם של צעדים. במילים אחרות, התשובה חייבת להיות כפולה של 75 ו-60.

ראשית, נכתוב את כל הכפולות, עבור המספר 75. נקבל:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

כעת נכתוב את המספרים שיהיו כפולה של 60. נקבל:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

כעת אנו מוצאים את המספרים שנמצאים בשתי השורות.

• כפולות נפוצות של מספרים יהיו מספרים, 300, 600 וכו'.

הקטן שבהם הוא המספר 300. במקרה זה, הוא ייקרא הכפולה הפחות משותפת של המספרים 75 ו-60.

אם נחזור למצב הבעיה, המרחק הקטן ביותר בו החבר'ה יעשו מספר צעדים שלם יהיה 300 ס"מ. הילד ילך בדרך זו ב-4 צעדים, והילדה תצטרך לעשות 5 צעדים.

מציאת הכפול הפחות משותף

• הכפולה הפחות משותפת של שני מספרים טבעיים a ו-b היא המספר הטבעי הקטן ביותר שהוא כפולה של a ו-b.

כדי למצוא את הכפולה הפחות משותפת של שני מספרים, אין צורך לרשום את כל הכפולות של המספרים הללו בשורה.

אתה יכול להשתמש בשיטה הבאה.

כיצד למצוא את הכפולה הפחות משותפת

ראשית, עליך לפרק את המספרים הללו לגורמים ראשוניים.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

כעת נרשום את כל הגורמים שנמצאים בהרחבה של המספר הראשון (2,2,3,5) ונוסיף לו את כל הגורמים החסרים מהרחבת המספר השני (5).

בסופו של דבר אנו מקבלים סדרה של מספרים ראשוניים: 2,2,3,5,5. המכפלה של מספרים אלו תהיה הגורם הפחות משותף למספרים אלו. 2*2*3*5*5 = 300.

סכמה כללית למציאת הכפולה הפחות משותפת

• 1. פירוק מספרים לגורמים ראשוניים.
• 2. רשום את הגורמים הראשוניים שהם חלק מאחד מהם.
• 3. הוסף לגורמים הללו את כל אלה שנמצאים בפירוק של השאר, אך לא באחד הנבחר.
• 4. מצא את המכפלה של כל הגורמים שנכתבו.

שיטה זו היא אוניברסלית. ניתן להשתמש בו כדי למצוא את הכפולה הפחות משותפת של כל מספר של מספרים טבעיים.

הַגדָרָה.המספר הטבעי הגדול ביותר שבו מתחלקים המספרים a ו-b ללא שארית נקרא המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd)המספרים הללו.

בוא נמצא את הגדול ביותר מחלק משותףמספרים 24 ו-35.
המחלקים של 24 יהיו המספרים 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, והמחלקים של 35 יהיו המספרים 1, 5, 7, 35.
אנו רואים שלמספרים 24 ו-35 יש רק מחלק משותף אחד - המספר 1. מספרים כאלה נקראים קופריים.

הַגדָרָה.המספרים הטבעיים נקראים קופרייםאם המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם (gcd) הוא 1.

המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD)ניתן למצוא מבלי לכתוב את כל המחלקים של המספרים הנתונים.

בהתייחס למספרים 48 ו-36, נקבל:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
מהגורמים הכלולים בהרחבת המספר הראשון מבין אלה, אנו מוחקים את אלה שאינם נכללים בהרחבה של המספר השני (כלומר, שני צמדים).
נותרו הגורמים 2 * 2 * 3. המכפלה שלהם היא 12. מספר זה הוא המחלק המשותף הגדול ביותר מבין המספרים 48 ו-36. נמצא גם המחלק המשותף הגדול ביותר מבין שלושה מספרים או יותר.

למצוא המחלק המשותף הגדול ביותר

2) מהגורמים הכלולים בהרחבה של אחד מספרים אלה, חוצים את אלה שאינם כלולים בהרחבה של מספרים אחרים;
3) מצא את המכפלה של הגורמים הנותרים.

אם כל המספרים הנתונים מתחלקים באחד מהם, אז המספר הזה הוא המחלק המשותף הגדול ביותרמספרים נתונים.
לדוגמה, המחלק המשותף הגדול ביותר של 15, 45, 75 ו-180 הוא 15, מכיוון שהוא מחלק את כל שאר המספרים: 45, 75 ו-180.

כפולה פחות משותפת (LCM)

הַגדָרָה. כפולה פחות משותפת (LCM)המספרים הטבעיים a ו-b הם המספר הטבעי הקטן ביותר שהוא כפולה של a ו-b. ניתן למצוא את הכפולה הפחות משותפת (LCM) של המספרים 75 ו-60 מבלי לכתוב כפולות של המספרים הללו ברצף. לשם כך, אנו מפרקים את 75 ו-60 לגורמים פשוטים: 75 \u003d 3 * 5 * 5, ו-60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
אנו כותבים את הגורמים הכלולים בהרחבה של הראשון מבין המספרים הללו, ומוסיפים אליהם את הגורמים החסרים 2 ו-2 מהתרחבות המספר השני (כלומר, אנו משלבים את הגורמים).
נקבל חמישה גורמים 2 * 2 * 3 * 5 * 5, המכפלה שלהם היא 300. מספר זה הוא הכפולה הפחות משותפת של המספרים 75 ו-60.

מצא גם את הכפולה הפחות משותפת של שלושה מספרים או יותר.

ל למצוא את הכפולה הפחות משותפתכמה מספרים טבעיים, אתה צריך:
1) לפרק אותם לגורמים ראשוניים;
2) רשום את הגורמים הכלולים בהרחבה של אחד המספרים;
3) להוסיף להם את הגורמים החסרים מהרחבות של המספרים הנותרים;
4) מצא את המכפלה של הגורמים המתקבלים.

שים לב שאם אחד מהמספרים הללו מתחלק בכל שאר המספרים, אז המספר הזה הוא הכפולה הפחות משותפת של המספרים הללו.
לדוגמה, הכפולה הפחות משותפת של 12, 15, 20 ו-60 תהיה 60, מכיוון שהיא מתחלקת בכל המספרים הנתונים.

פיתגורס (המאה השישית לפני הספירה) ותלמידיו למדו את נושא חלוקת המספרים. מספר, שווה לסכוםלכל המחלקים שלו (ללא המספר עצמו), הם קראו למספר המושלם. לדוגמה, המספרים 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) הם מושלמים. המספרים המושלמים הבאים הם 496, 8128, 33,550,336. הפיתגוראים ידעו רק את שלושת המספרים המושלמים הראשונים. הרביעי - 8128 - נודע במאה ה-1. נ. ה. החמישי - 33 550 336 - נמצא במאה ה-15. ב-1983 כבר היו ידועים 27 מספרים מושלמים. אבל עד עכשיו, מדענים לא יודעים אם יש מספרים אי-זוגיים מושלמים, אם יש את המספר המושלם הגדול ביותר.
העניין של מתמטיקאים קדומים במספרים ראשוניים נובע מהעובדה שכל מספר הוא או ראשוני או יכול להיות מיוצג כמכפלה של מספרים ראשוניים, כלומר, מספרים ראשוניים הם כמו לבנים שמהן בנויים שאר המספרים הטבעיים.
בטח שמתם לב שמספרים ראשוניים בסדרת המספרים הטבעיים מתרחשים בצורה לא אחידה - בחלקים מסוימים בסדרה יש יותר מהם, באחרים - פחות. אבל ככל שאנו מתקדמים לאורך סדרת המספרים, כך המספרים הראשוניים נדירים יותר. נשאלת השאלה: האם המספר הראשוני האחרון (הגדול) קיים? המתמטיקאי היווני הקדום אוקלידס (המאה ה-3 לפנה"ס), בספרו "התחלות", שבמשך אלפיים שנה היה ספר הלימוד העיקרי של המתמטיקה, הוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים, כלומר מאחורי כל מספר ראשוני ישנו זוגיות מספר ראשוני גדול יותר.
כדי למצוא מספרים ראשוניים, מתמטיקאי יווני אחר מאותה תקופה, ארטוסתנס, המציא שיטה כזו. הוא רשם את כל המספרים מ-1 למספר כלשהו, ​​ואז חצה את היחידה, שהיא לא ראשוני ולא מספר מורכב, ולאחר מכן חוצה דרך אחד את כל המספרים שאחרי 2 (מספרים שהם כפולות של 2, כלומר 4, 6, 8 וכו'). המספר הראשון שנותר אחרי 2 היה 3. לאחר מכן, אחרי שניים, כל המספרים שאחרי 3 נמחקו (מספרים שהם כפולות של 3, כלומר 6, 9, 12 וכו'). בסופו של דבר, רק המספרים הראשוניים נותרו ללא חוצה.

כפולות נפוצות

במילים פשוטות, כל מספר שלם שמתחלק בכל אחד מהמספרים הנתונים הוא כפולה משותפתנתונים שלמים.

אתה יכול למצוא את הכפולה המשותפת של שני מספרים שלמים או יותר.

דוגמה 1

חשב את הכפולה המשותפת של שני מספרים: $2$ ו-$5$.

פִּתָרוֹן.

בהגדרה, הכפולה המשותפת של $2$ ו$5$ היא $10$, בגלל זה כפול של $2$ ו$5$:

הכפולות המשותפת של המספרים $2$ ו-$5$ יהיו גם המספרים $–10, 20, –20, 30, –30$ וכו', מכיוון כולם מתחלקים ב-$2$ ו-$5$.

הערה 1

אפס הוא כפולה משותפת של כל מספר של מספרים שלמים שאינם אפס.

לפי תכונות ההתחלקות, אם מספר מסוים הוא כפולה משותפת של מספר מספרים, אזי המספר שממול בסימן יהיה גם כפולה משותפת של המספרים הנתונים. ניתן לראות זאת מהדוגמה הנחשבת.

עבור מספרים שלמים נתונים, אתה תמיד יכול למצוא את הכפולה המשותפת שלהם.

דוגמה 2

חשב את הכפולה המשותפת של $111$ ו-$55$.

פִּתָרוֹן.

הכפל את המספרים הנתונים: $111\div 55=6105$. קל לבדוק שהמספר $6105$ מתחלק במספר $111$ ובמספר $55$:

$6105\div 111=55$;

$6105\div 55=111$.

לפיכך, $6105$ הוא מכפלה משותפת של $111$ ו-$55$.

תשובה: הכפולה המשותפת של $111$ ו$55$ היא $6105$.

אבל, כפי שכבר ראינו מהדוגמה הקודמת, הכפולה המשותפת הזו אינה אחת. מכפילים נפוצים אחרים יהיו $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050$, וכן הלאה. לפיכך, הגענו למסקנה הבאה:

הערה 2

לכל קבוצה של מספרים שלמים יש מספר אינסופי של כפולות משותפות.

בפועל, הם מוגבלים למציאת כפולות משותפות של מספרים שלמים (טבעיים) חיוביים בלבד, מכיוון קבוצות הכפולות של מספר נתון והיפוכו חופפים.

מציאת הכפול הפחות משותף

לרוב, מכל הכפולות של מספר נתון, נעשה שימוש בכפולה הנמוכה ביותר (LCM).

הגדרה 2

הכפולה המשותפת הפחות חיובית של המספרים השלמים הנתונים היא כפולה משותפת מינימאליתהמספרים הללו.

דוגמה 3

חשב את ה-LCM של המספרים $4$ ו-$7$.

פִּתָרוֹן.

כי למספרים האלה אין מחלקים משותפים, אז $LCM(4,7)=28$.

תשובה: $LCM(4,7)=28$.

מציאת ה-NOC דרך ה-NOD

כי יש קשר בין LCM ל-GCD, בעזרתו אפשר לחשב LCM של שני מספרים שלמים חיוביים:

הערה 3

דוגמה 4

חשב את ה-LCM של המספרים $232$ ו-$84$.

פִּתָרוֹן.

בואו נשתמש בנוסחה למציאת ה-LCM דרך ה-GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(gcd (a,b))$

בואו נמצא את ה-gcd של המספרים $232$ ו-$84$ באמצעות האלגוריתם האוקלידי:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

הָהֵן. $gcd (232, 84)=4$.

בוא נמצא $LCM (232, 84)$:

$LCC(232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

תשובה: $NOK(232.84)=4872$.

דוגמה 5

חשב $LCM (23, 46)$.

פִּתָרוֹן.

כי $46$ מתחלק באופן שווה ב-$23$, ואז $gcd(23, 46)=23$. בוא נמצא את ה-NOC:

$LCC(23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

תשובה: $NOK(23.46)=46$.

כך, אפשר לנסח כְּלָל:

הערה 4

הכפולה הפחות משותפת של שני מספרים קשורה ישירות למחלק המשותף הגדול ביותר של אותם מספרים. זֶה קישור בין GCD ל-NOCמוגדר על ידי המשפט הבא.

מִשׁפָּט.

הכפולה הפחות משותפת של שני מספרים שלמים חיוביים a ו-b שווה למכפלת a ו-b חלקי המחלק המשותף הגדול ביותר של a ו-b, כלומר, LCM(a,b)=a b: GCD(a,b).

הוכחה.

לתת M הוא כפולה כלשהי של המספרים a ו-b. כלומר, M מתחלק ב-a, ולפי הגדרת ההתחלקות, יש איזה מספר k שלם כך שהשוויון M=a·k נכון. אבל M מתחלק גם ב-b, ואז k מתחלק ב-b.

סמן gcd(a,b) כ-d . אז נוכל לרשום את השוויון a=a 1 ·d ו-b=b 1 ·d, ו-a 1 =a:d ו-b 1 =b:d יהיו מספרים ראשוניים. לכן, את התנאי שהתקבל בפסקה הקודמת לפיו a k מתחלק ב-b ניתן לנסח מחדש באופן הבא: a 1 d k מתחלק ב-b 1 d , וזה, בשל תכונות ההתחלקות, שווה ערך לתנאי ש- a 1 k מתחלק ב-b 1.

עלינו גם לרשום שתי מסקנות חשובות מהמשפט הנחשב.

מכפילות משותפות של שני מספרים זהות לכפולות של הכפולה הפחות משותפת שלהם.

זה נכון, מכיוון שכל כפולה משותפת של M מספרים a ו-b מוגדרת על ידי השוויון M=LCM(a,b) t עבור ערך שלם כלשהו t .

הכפולה הפחות משותפת של מספרים חיוביים ראשוניים a ו-b שווה למכפלתם.

הרציונל לעובדה זו ברור למדי. מכיוון ש-a ו-b הם קו-פריים, אז gcd(a, b)=1, לכן, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

כפולה משותפת קטנה ביותר של שלושה מספרים או יותר

ניתן לצמצם את מציאת הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של שלושה או יותר מספרים למציאת LCM של שני מספרים ברציפות. איך זה נעשה מצוין במשפט הבא: a 1 , a 2 , …, a k חופפים לכפולות משותפת של מספרים m k-1 ו- a k , לפיכך, חופפים לכפולות של m k . ומכיוון שהכפולה הפחות חיובית של המספר m k היא המספר m k עצמו, אז הכפולה הפחות משותפת של המספרים a 1 , a 2 , …, a k היא m k .

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• Vilenkin N.Ya. וכו' מתמטיקה. כיתה ו': ספר לימוד למוסדות חינוך.
• וינוגרדוב I.M. יסודות תורת המספרים.
• מיכאלוביץ ש.ח. תורת המספרים.
• קוליקוב ל.יא. ואחרים. אוסף של בעיות באלגברה ותורת המספרים: הדרכהלתלמידי פיזיקה ומתמטיקה. התמחויות של מכונים פדגוגיים.