• תִרגוּם

נכסים מספרים ראשונייםהתחילו לראשונה ללמוד מתמטיקה יוון העתיקה. מתמטיקאים של האסכולה הפיתגורית (500 - 300 לפנה"ס) התעניינו בעיקר בתכונות המיסטיות והנומרולוגיות של המספרים הראשוניים. הם היו הראשונים שהעלו רעיונות לגבי מספרים מושלמים וידידותיים.

למספר מושלם יש סכום של המחלקים שלו השווים לעצמו. לדוגמה, המחלקים הנכונים של המספר 6 הם 1, 2 ו-3. 1 + 2 + 3 = 6. המחלקים של המספר 28 הם 1, 2, 4, 7 ו-14. יתר על כן, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

מספרים נקראים ידידותיים אם סכום המחלקים הנכונים של מספר אחד שווה לאחר, ולהיפך - למשל, 220 ו-284. ניתן לומר שמספר מושלם ידידותי לעצמו.

עד לתקופת היסודות של אוקלידס בשנת 300 לפנה"ס. מספר עובדות חשובות על מספרים ראשוניים כבר הוכחו. בספר ה-IX של היסודות, אוקלידס הוכיח שיש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים. זו, אגב, אחת הדוגמאות הראשונות לשימוש בהוכחה על ידי סתירה. הוא גם מוכיח את משפט היסוד של האריתמטיקה - כל מספר שלם יכול להיות מיוצג באופן ייחודי כמכפלה של מספרים ראשוניים.

הוא גם הראה שאם המספר 2n-1 הוא ראשוני, אז המספר 2n-1 * (2n-1) יהיה מושלם. מתמטיקאי אחר, אוילר, הצליח להראות ב-1747 שניתן לכתוב את כל המספרים אפילו המושלמים בצורה זו. עד היום לא ידוע אם קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים.

בשנת 200 לפני הספירה. ארוטוסטנס היווני המציא אלגוריתם למציאת מספרים ראשוניים שנקרא המסננת של ארטוסתנס.

ואז היה שבר גדול בהיסטוריה של חקר המספרים הראשוניים, הקשורים לימי הביניים.

התגליות הבאות התגלו כבר בתחילת המאה ה-17 על ידי המתמטיקאי פרמה. הוא הוכיח את השערתו של אלברט ז'ירארד לפיה ניתן לכתוב כל מספר ראשוני בצורה 4n+1 באופן ייחודי כסכום של שני ריבועים, וכן ניסח את המשפט לפיו ניתן לכתוב כל מספר כסכום של ארבע ריבועים.

הוא התפתח שיטה חדשהפירוק לגורמים מספרים גדולים, והדגים זאת על המספר 2027651281 = 44021 × 46061. הוא גם הוכיח את המשפט הקטן של פרמה: אם p הוא מספר ראשוני, אז עבור כל מספר שלם a יהיה נכון ש- p = מודולו p.

הצהרה זו מוכיחה מחצית ממה שהיה ידוע כ"השערה הסינית" ומתוארכת ל-2000 שנה: מספר n שלם הוא ראשוני אם ורק אם 2 n -2 מתחלק ב-n. החלק השני של ההשערה התברר כשקרי - לדוגמה, 2,341 - 2 מתחלק ב-341, למרות שהמספר 341 מורכב: 341 = 31 × 11.

המשפט הקטן של פרמה שימש בסיס לתוצאות רבות אחרות בתורת המספרים ושיטות לבדיקה האם מספרים הם ראשוניים - שרבים מהם נמצאים בשימוש עד היום.

פרמה התכתב רבות עם בני דורו, במיוחד עם נזיר בשם מארן מרסן. באחת ממכתביו, הוא שיער שמספרים בצורה 2 n +1 יהיו תמיד ראשוניים אם n הוא חזקת שתיים. הוא בדק זאת עבור n = 1, 2, 4, 8 ו-16, והיה בטוח שבמקרה שבו n אינו חזקה של שתיים, המספר אינו בהכרח ראשוני. המספרים הללו נקראים המספרים של פרמה, ורק 100 שנים לאחר מכן אוילר הראה שהמספר הבא, 2 32 + 1 = 4294967297, מתחלק ב-641, ולכן אינו ראשוני.

גם מספרים מהצורה 2 n - 1 היו נושא למחקר, שכן קל להראות שאם n הוא מורכב, אז גם המספר עצמו מורכב. המספרים הללו נקראים מספרי מרסן מכיוון שהוא חקר אותם בהרחבה.

אבל לא כל המספרים מהצורה 2 n - 1, כאשר n הוא ראשוני, הם ראשוניים. לדוגמה, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. זה התגלה לראשונה בשנת 1536.

במשך שנים רבות, מספרים מהסוג הזה סיפקו למתמטיקאים את המספרים הראשוניים הידועים ביותר. ש-M 19 הוכח על ידי קטאלדי ב-1588, ובמשך 200 שנה היה המספר הראשוני הידוע הגדול ביותר, עד שאולר הוכיח שגם M 31 הוא ראשוני. השיא הזה עמד על עוד מאה שנים, ואז לוקאס הראה ש-M 127 הוא ראשוני (וזה כבר מספר של 39 ספרות), ואחרי זה המשיך המחקר עם הופעת המחשבים.

בשנת 1952 הוכחה ראשוניותם של המספרים M 521, M 607, M 1279, M 2203 ו-M 2281.

עד 2005, נמצאו 42 ראשוני מרסן. הגדול שבהם, M 25964951, מורכב מ-7816230 ספרות.

לעבודתו של אוילר הייתה השפעה עצומה על תורת המספרים, כולל מספרים ראשוניים. הוא הרחיב את המשפט הקטן של פרמה והציג את הפונקציה φ. ביצע את מספר הפרמה החמישי 2 32 +1, מצא 60 זוגות של מספרים ידידותיים, וניסח (אך לא הצליח להוכיח) את חוק ההדדיות הריבועית.

הוא היה הראשון שהציג שיטות של ניתוח מתמטי ופיתח תורת המספרים האנליטית. הוא הוכיח שלא רק את הסדרה ההרמונית ∑ (1/n), אלא גם סדרה של הצורה

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

התוצאה המתקבלת על ידי סכום ההדדיות של מספרים ראשוניים מתפצלת אף היא. הסכום של n איברים של הסדרה ההרמונית גדל בערך כמו log(n), והסדרה השנייה מתפצלת לאט יותר בתור log[ log(n) ]. זה אומר, למשל, הסכום הדדיותלכל המספרים הראשוניים שנמצאו עד היום יתנו רק 4, למרות שהסדרה עדיין מתפצלת.

במבט ראשון, נראה שמספרים ראשוניים מחולקים באופן אקראי למדי בין מספרים שלמים. למשל, בין 100 המספרים שמיד לפני 10000000 יש 9 ראשוניים, ובין 100 המספרים שמיד אחרי הערך הזה יש רק 2. אבל על פני מקטעים גדולים המספרים הראשוניים מחולקים בצורה די שווה. לג'נדר וגאוס עסקו בסוגיות של הפצתם. גאוס אמר פעם לחבר שבכל 15 דקות חופשיות הוא תמיד סופר את מספר הראשוניים ב-1000 המספרים הבאים. עד סוף חייו, הוא ספר את כל המספרים הראשוניים עד 3 מיליון. Legendre וגאוס חישבו באותה מידה שעבור n גדול הצפיפות הראשונית היא 1/log(n). Legendre העריך את מספר המספרים הראשוניים בטווח שבין 1 ל-n as

π(n) = n/(log(n) - 1.08366)

וגאוס הוא כמו אינטגרל לוגריתמי

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

עם מרווח אינטגרציה מ-2 עד n.

ההצהרה על צפיפות ראשוניים 1/log(n) ידועה כמשפט התפלגות ראשוניים. הם ניסו להוכיח זאת לאורך המאה ה-19, והתקדמות הושגה על ידי צ'בישב ורימן. הם חיברו אותה עם השערת רימן, השערה שעדיין לא מוכחת לגבי התפלגות האפסים של פונקציית הזטה של ​​רימן. צפיפות המספרים הראשוניים הוכחה בו-זמנית על ידי Hadamard ו-Vallée-Poussin ב-1896.

יש עדיין הרבה שאלות בלתי פתורות בתורת המספרים הראשוניים, חלקן בנות מאות שנים:

• השערת ראשוני התאומים היא על מספר אינסופי של זוגות של מספרים ראשוניים הנבדלים זה מזה ב-2
• השערת גולדבך: כל מספר זוגי, שמתחיל ב-4, יכול להיות מיוצג כסכום של שני מספרים ראשוניים
• האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים בצורה n 2 + 1?
• האם תמיד ניתן למצוא מספר ראשוני בין n 2 ל-(n + 1) 2? (העובדה שתמיד יש מספר ראשוני בין n ל-2n הוכחה על ידי צ'בישב)
• האם מספר ראשוני פרמה הוא אינסופי? האם יש פרמה ראשוניים אחרי 4?
• האם זה קיים התקדמות אריתמטיתשל מספרים ראשוניים עוקבים בכל אורך נתון? לדוגמה, עבור אורך 4: 251, 257, 263, 269. האורך המקסימלי שנמצא הוא 26.
• האם יש מספר אינסופי של קבוצות של שלושה מספרים ראשוניים עוקבים בהתקדמות אריתמטית?
• n 2 - n + 41 הוא מספר ראשוני עבור 0 ≤ n ≤ 40. האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים כאלה? אותה שאלה עבור הנוסחה n 2 - 79 n + 1601. המספרים הללו הם ראשוניים עבור 0 ≤ n ≤ 79.
• האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים בצורה n# + 1? (n# הוא התוצאה של הכפלת כל המספרים הראשוניים הקטן מ-n)
• האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים בצורה n# -1 ?
• האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים בצורה n? + 1?
• האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים בצורה n? - 1?
• אם p הוא ראשוני, האם 2 p -1 אינו מכיל תמיד ריבועים ראשוניים בין הגורמים שלו?
• האם רצף פיבונאצ'י מכיל מספר אינסופי של מספרים ראשוניים?

המספרים הראשוניים התאומים הגדולים ביותר הם 2003663613 × 2 195000 ± 1. הם מורכבים מ-58711 ספרות והתגלו ב-2007.

המספר הראשוני הפקטוריאלי הגדול ביותר (מהסוג n! ± 1) הוא 147855! - 1. הוא מורכב מ-142891 ספרות ונמצא ב-2002.

המספר הראשוני הראשוני הגדול ביותר (מספר בצורת n# ± 1) הוא 1098133# + 1.

תגיות: הוסף תגיות

מספרים שונים: טבעי, רציונלי, רציונלי, מספר שלם ושבר, חיובי ושלילי, מרוכב וראשוני, אי זוגי וזוגי, ממשי וכו'. ממאמר זה ניתן לגלות מהם מספרים ראשוניים.

אילו מספרים נקראים "פשוטים" באנגלית?

לעתים קרובות מאוד, תלמידי בית הספר אינם יודעים לענות על אחת השאלות הפשוטות ביותר במתמטיקה במבט ראשון, על מהו מספר ראשוני. לעתים קרובות הם מבלבלים בין מספרים ראשוניים למספרים טבעיים (כלומר, המספרים שאנשים משתמשים בהם בעת ספירת עצמים, בעוד שבמקורות מסוימים הם מתחילים באפס, ובאחרים באחד). אבל אלו שני מושגים שונים לחלוטין. מספרים ראשוניים הם מספרים טבעיים, כלומר מספרים שלמים ומספרים חיוביים שגדולים מאחד ושיש להם רק 2 מחלקים טבעיים. יתר על כן, אחד המחלקים הללו הוא המספר הנתון, והשני הוא אחד. לדוגמה, שלוש הוא מספר ראשוני מכיוון שלא ניתן לחלק אותו ללא שארית בכל מספר מלבד עצמו ואחד.

מספרים מורכבים

ההפך ממספרים ראשוניים הוא מספרים מרוכבים. הם גם טבעיים, גם גדולים מאחד, אבל אין להם שניים, אלא מספר גדול יותר של מחלקים. אז, למשל, המספרים 4, 6, 8, 9 וכו' הם טבעיים, מרוכבים, אבל לא מספרים ראשוניים. כפי שאתה יכול לראות, אלו הם בעיקר מספרים זוגיים, אבל לא כולם. אבל "שניים" הוא מספר זוגי ו"המספר הראשון" בסדרה של מספרים ראשוניים.

המשך

כדי לבנות סדרה של מספרים ראשוניים, יש צורך לבחור מכל המספרים הטבעיים, תוך התחשבות בהגדרתם, כלומר, עליך לפעול על פי סתירה. יש לבחון כל אחד מהמספרים הטבעיים החיוביים כדי לראות אם יש לו יותר משני מחלקים. בואו ננסה לבנות סדרה (רצף) שמורכבת ממספרים ראשוניים. הרשימה מתחילה בשתיים, ואחריה שלוש, מכיוון שהיא ניתנת לחלוקה רק בעצמה ובאחד. קחו בחשבון את המספר ארבע. האם יש לו מחלקים מלבד ארבע ואחד? כן, המספר הזה הוא 2. אז ארבע הוא לא מספר ראשוני. חמש הוא גם ראשוני (אינו מתחלק בשום מספר אחר, מלבד 1 ו-5), אבל שש מתחלק. ובכלל, אם תעקבו אחרי כל המספרים הזוגיים, תשימו לב שחוץ מ"שניים", אף אחד מהם אינו ראשוני. מכאן אנו מסיקים שמספרים זוגיים, למעט שניים, אינם ראשוניים. תגלית נוספת: כל המספרים המתחלקים בשלוש, מלבד השלושה עצמם, בין זוגי או אי-זוגי, גם הם אינם ראשוניים (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 וכו'). כך גם לגבי מספרים שמתחלקים בחמש ושבע. גם כל ההמון שלהם לא פשוט. בואו נסכם. אז, מספרים חד ספרתיים פשוטים כוללים את כל המספרים האי-זוגיים מלבד אחד ותשע, ואפילו "שניים" הם מספרים זוגיים. העשרות עצמן (10, 20,... 40 וכו') אינן פשוטות. ניתן לקבוע מספרים ראשוניים דו ספרתיים, תלת ספרתיים וכו' על סמך העקרונות הנ"ל: אם אין להם מחלקים מלבד עצמם ואחד.

תיאוריות על תכונות המספרים הראשוניים

יש מדע שחוקר את תכונותיהם של מספרים שלמים, כולל מספרים ראשוניים. זהו ענף במתמטיקה הנקרא גבוה יותר. בנוסף למאפיינים של מספרים שלמים, היא עוסקת גם במספרים אלגבריים וטרנסצנדנטליים, וכן בפונקציות ממקורות שונים הקשורים לאריתמטיקה של המספרים הללו. בלימודים אלו, בנוסף ליסודי ו שיטות אלגבריות, אנליטי וגיאומטרי משמשים גם. באופן ספציפי, "תורת המספרים" עוסקת בחקר המספרים הראשוניים.

מספרים ראשוניים הם "אבני הבניין" של המספרים הטבעיים

בחשבון ישנו משפט שנקרא משפט היסוד. לדבריה, כל מספר טבעי, למעט אחד, יכול להיות מיוצג כמכפל שהגורמים שלו הם מספרים ראשוניים, וסדר הגורמים הוא ייחודי, זה אומר ששיטת הייצוג היא ייחודית. זה נקרא פירוק מספר טבעי לגורמים ראשוניים. ישנו שם נוסף לתהליך הזה - פירוק של מספרים. בהתבסס על זה, ניתן לקרוא למספרים ראשוניים "חומר בנייה", "בלוקים" לבניית מספרים טבעיים.

חפש מספרים ראשוניים. מבחני פשטות

מדענים רבים מתקופות שונות ניסו למצוא כמה עקרונות (מערכות) למציאת רשימה של מספרים ראשוניים. המדע מכיר מערכות הנקראות מסננת אטקין, מסננת סונדארטם ומסננת ארטוסתנס. עם זאת, הם אינם מניבים תוצאות משמעותיות, ומשתמשים במבחן פשוט כדי למצוא את המספרים הראשוניים. גם מתמטיקאים יצרו אלגוריתמים. הם נקראים בדרך כלל מבחני ראשוניות. למשל, יש מבחן שפיתחו רבין ומילר. משתמשים בה קריפטוגרפים. יש גם את מבחן Kayal-Agrawal-Sasquena. עם זאת, למרות דיוק מספיק, קשה מאוד לחישוב, מה שמפחית את המשמעות המעשית שלו.

האם לקבוצת המספרים הראשוניים יש גבול?

המדען היווני הקדום אוקלידס כתב בספרו "אלמנטים" שקבוצת הראשוניים היא אינסוף. הוא אמר את זה: "בוא נדמיין לרגע שלמספרים ראשוניים יש גבול. אז בואו נכפיל אותם אחד עם השני, ונוסיף אחד למוצר. המספר הנובע מאלה פעולות פשוטות, לא ניתן לחלק באף אחד ממספר מספרים ראשוניים, מכיוון שהשאר תמיד יהיה אחד. זה אומר שיש מספר אחר שעדיין לא נכלל ברשימת המספרים הראשוניים. לכן, ההנחה שלנו לא נכונה, ולסט הזה לא יכול להיות גבול. מלבד ההוכחה של אוקלידס, יש נוסחה מודרנית יותר שניתנה על ידי המתמטיקאי השוויצרי בן המאה השמונה-עשרה לאונרד אוילר. לפיו, הסכום ההדדיות של סכום n המספרים הראשונים גדל ללא הגבלה ככל שהמספר n גדל. והנה נוסחת המשפט לגבי התפלגות המספרים הראשוניים: (n) גדל כמו n/ln (n).

מהו המספר הראשוני הגדול ביותר?

אותו לאונרד אוילר הצליח למצוא את המספר הראשוני הגדול ביותר בתקופתו. זהו 2 31 - 1 = 2147483647. עם זאת, עד 2013, חושב אחר הגדול ביותר המדויק ביותר ברשימת המספרים הראשוניים - 2 57885161 - 1. הוא נקרא מספר מרסן. הוא מכיל כ-17 מיליון ספרות עשרוניות. כפי שאתה יכול לראות, המספר שמצא מדען בן המאה השמונה עשרה קטן מזה פי כמה. זה היה צריך להיות כך, כי אוילר ביצע את החישוב הזה באופן ידני, בעוד בן זמננו כנראה נעזר במחשב. יתרה מכך, מספר זה הושג בפקולטה למתמטיקה באחת המחלקות האמריקאיות. מספרים הנקראים על שם המדען הזה עוברים את מבחן הראשוניות של לוק-למר. עם זאת, המדע לא רוצה לעצור שם. קרן החזית האלקטרונית, שנוסדה ב-1990 בארצות הברית של אמריקה (EFF), הציעה פרס כספי על מציאת מספרים ראשוניים גדולים. ואם עד 2013 הפרס הוענק לאותם מדענים שימצאו אותם מבין 1 ו-10 מיליון מספרים עשרוניים, היום הנתון הזה הגיע מ-100 מיליון ל-1 מיליארד. הפרסים נעים בין 150 ל-250 אלף דולר אמריקאי.

שמות של מספרים ראשוניים מיוחדים

המספרים הללו שנמצאו הודות לאלגוריתמים שנוצרו על ידי מדענים מסוימים ועברו את מבחן הפשטות נקראים מיוחדים. הנה כמה מהם:

1. מרסן.

4. קאלן.

6. מילס וחב'.

הפשטות של מספרים אלה, הנקראים על שם המדענים לעיל, מבוססת באמצעות הבדיקות הבאות:

1. לוק-למאיר.

2. פפינה.

3. ריזל.

4. בילהארט - למר - סלפרידג' ואחרים.

המדע המודרני לא עוצר שם, וכנראה שבעתיד הקרוב העולם ילמד את שמותיהם של אלה שהצליחו לקבל את הפרס של 250,000 דולר על ידי מציאת המספר הראשוני הגדול ביותר.

הַגדָרָה 1. מספר ראשוני- הוא מספר טבעי הגדול מאחד שמתחלק רק בעצמו וב-1.

במילים אחרות, מספר הוא ראשוני אם יש לו רק שני מחלקים טבעיים ברורים.

הַגדָרָה 2. כל מספר טבעי שיש לו מחלקים נוספים מלבד עצמו ואחד נקרא מספר מורכב.

במילים אחרות, מספרים טבעיים שאינם מספרים ראשוניים נקראים מספרים מרוכבים. מהגדרה 1 עולה שלמספר מורכב יש יותר משני גורמים טבעיים. המספר 1 אינו ראשוני ואינו מורכב מכיוון יש רק מחלק אחד 1 ובנוסף, משפטים רבים לגבי מספרים ראשוניים אינם מתקיימים לאחדות.

מהגדרות 1 ו-2 עולה שכל מספר שלם חיובי הגדול מ-1 הוא מספר ראשוני או מספר מורכב.

להלן תוכנית להצגת מספרים ראשוניים עד 5000. מלא את התאים, לחץ על כפתור "צור" והמתן מספר שניות.

טבלת מספרים ראשוניים

הַצהָרָה 1. אם ע- מספר ראשוני ו אכל מספר שלם, אז גם כן אמחולק ב ע, או עו אמספרים ראשוניים.

בֶּאֱמֶת. אם עמספר ראשוני מתחלק רק בעצמו וב-1 אם אלא ניתן לחלוקה ב ע, ואז הגדול ביותר מחלק משותף או עשווה ל-1. ואז עו אמספרים ראשוניים.

הַצהָרָה 2. אם מכפלה של מספר מספרים של מספרים א 1 , א 2 , א 3, ... מתחלק במספר ראשוני ע, אז לפי לפחותאחד המספרים א 1 , א 2 , א 3, ...ניתן לחלוקה ב ע.

בֶּאֱמֶת. אם אף אחד מהמספרים לא היה מתחלק ב ע, ואז המספרים א 1 , א 2 , א 3, ... יהיו מספרים ראשוניים ביחס ל ע. אבל מתוצאה 3 () עולה שהמוצר שלהם א 1 , א 2 , א 3, ... הוא גם ראשוני יחסית ביחס ל ע, מה שסותר את תנאי האמירה. לכן לפחות אחד מהמספרים מתחלק ב ע.

מִשׁפָּט 1. כל מספר מורכב תמיד יכול להיות מיוצג, ויתרה מכך, הדרך היחידהכמכפלה של מספר סופי של מספרים ראשוניים.

הוכחה. לתת קמספר מורכב, ולתת א 1 הוא אחד המחלקים שלו שונים מ-1 ומעצמו. אם א 1 הוא מורכב, ואז יש לו בנוסף ל-1 ו א 1 ועוד מחלק א 2. אם א 2 הוא מספר מורכב, ואז יש לו, בנוסף ל-1 ו א 2 ומחלק נוסף א 3. מנמק כך ומתחשב בכך שהמספרים א 1 , א 2 , א 3, ... ירידה וסדרה זו מכילה מספר סופי של איברים, נגיע למספר ראשוני כלשהו ע 1 . לאחר מכן קיכול להיות מיוצג בטופס

נניח שיש שני פירוקים של מספר ק:

כי k=p 1 ע 2 ע 3...מתחלק במספר ראשוני ש 1, אז לפחות אחד מהגורמים, למשל ע 1 מתחלק ב ש 1 . אבל ע 1 הוא מספר ראשוני ומתחלק רק ב-1 ובעצמו. לָכֵן ע 1 =ש 1 (בגלל ש 1 ≠1)

ואז מ-(2) נוכל להוציא ע 1 ו ש 1:

לפיכך, אנו משוכנעים שכל מספר ראשוני המופיע כגורם בהרחבה הראשונה פעם אחת או יותר מופיע גם בהרחבה השנייה לפחות כמה פעמים, ולהיפך, כל מספר ראשוני המופיע כגורם בהרחבה השנייה פעם אחת או יותר מופיעה גם בהרחבה הראשונה לפחות אותו מספר פעמים. לכן, כל מספר ראשוני מופיע כגורם בשתי ההרחבות אותו מספר פעמים, ולפיכך, שתי ההרחבות הללו זהות.■

הרחבה של מספר מורכב קניתן לכתוב בצורה הבאה

(3)

איפה ע 1 , ע 2, ... מספרים ראשוניים שונים, α, β, γ ... מספרים שלמים חיוביים.

הרחבה (3) נקראת הרחבה קנוניתמספרים.

מספרים ראשוניים מתרחשים בצורה לא אחידה בסדרת המספרים הטבעיים. בחלקים מסוימים של השורה יש יותר מהם, בחלקים אחרים - פחות. ככל שאנו מתקדמים לאורך סדרת המספרים, מספרים ראשוניים נפוצים פחות. נשאלת השאלה, האם יש מספר ראשוני הגדול ביותר? המתמטיקאי היווני הקדום אוקלידס הוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים. אנו מציגים הוכחה זו להלן.

מִשׁפָּט 2. מספר המספרים הראשוניים הוא אינסופי.

הוכחה. נניח שיש מספר סופי של מספרים ראשוניים, ותן למספר הראשוני הגדול ביותר להיות ע. בואו ניקח בחשבון את כל המספרים גדולים יותר ע. בהנחה של ההצהרה, המספרים הללו חייבים להיות מורכבים וחייבים להיות מתחלקים באחד מהמספרים הראשוניים לפחות. בוא נבחר מספר שהוא המכפלה של כל המספרים הראשוניים האלה פלוס 1:

מספר זיותר עכי 2 עמ'כבר יותר ע. עאינו מתחלק באף אחד מהמספרים הראשוניים הללו, כי כאשר מחלקים בכל אחד מהם נותן שארית של 1. כך אנו מגיעים לסתירה. לכן יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים.

משפט זה הוא מקרה מיוחד של משפט כללי יותר:

מִשׁפָּט 3. תן התקדמות אריתמטית

ואז כל מספר ראשוני שנכלל ב נ, צריך להיכלל ב M, לכן ב נגורמים ראשוניים אחרים שאינם כלולים ב Mויתרה מכך, הגורמים העיקריים הללו ב ננכללים לא יותר פעמים מאשר ב M.

גם ההפך הוא הנכון. אם כל גורם ראשוני של מספר נכלול לפחות כמה פעמים במספר M, זה Mמחולק ב נ.

הַצהָרָה 3. לתת א 1 ,א 2 ,א 3,... מספרים ראשוניים שונים הכלולים ב Mכך

איפה אני=0,1,...α , י=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . שים לב ש αiמקבל α ערכי 1+, β j מקבל β ערכי 1+, γ k מקבל γ ערכי 1+, ... .

במאמר זה נחקור מספרים ראשוניים ומרוכבים. ראשית, ניתן הגדרות של מספרים ראשוניים ומרוכבים, וכן ניתן דוגמאות. אחרי זה נוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים. לאחר מכן, נרשום טבלה של מספרים ראשוניים, ונבחן שיטות להרכבת טבלה של מספרים ראשוניים, תוך שימת לב מיוחדת לשיטה הנקראת המסננת של ארוטוסטנס. לסיכום, נדגיש את הנקודות העיקריות שיש לקחת בחשבון כאשר מוכיחים שמספר נתון הוא ראשוני או מרוכב.

ניווט בדף.

מספרים ראשוניים ומרוכבים - הגדרות ודוגמאות

המושגים של מספרים ראשוניים ומספרים מרוכבים מתייחסים למספרים שגדולים מאחד. מספרים שלמים כאלה, בהתאם למספר המחלקים החיוביים שלהם, מחולקים למספרים ראשוניים ומרוכבים. אז להבין הגדרות של מספרים ראשוניים ומרוכבים, אתה צריך להבין טוב מה הם מחלקים ומכפילים.

הַגדָרָה.

מספרים ראשונייםהם מספרים שלמים, יחידות גדולות, שיש להם רק שני מחלקים חיוביים, שהם עצמם ו-1.

הַגדָרָה.

מספרים מורכביםהם מספרים שלמים, גדולים, שיש להם לפחות שלושה מחלקים חיוביים.

בנפרד, נציין שהמספר 1 אינו חל על מספרים ראשוניים או מרוכבים. ליחידה יש ​​רק מחלק חיובי אחד, שהוא המספר 1 עצמו. זה מבדיל את המספר 1 מכל שאר המספרים השלמים החיוביים שיש להם לפחות שני מחלקים חיוביים.

בהתחשב בכך שמספרים שלמים חיוביים הם , וכי לאחד יש רק מחלק חיובי אחד, אנו יכולים לתת ניסוחים אחרים של ההגדרות המוצהרות של מספרים ראשוניים ומרוכבים.

הַגדָרָה.

מספרים ראשונייםהם מספרים טבעיים שיש להם רק שני מחלקים חיוביים.

הַגדָרָה.

מספרים מורכביםהם מספרים טבעיים שיש להם יותר משני מחלקים חיוביים.

שימו לב שכל מספר שלם חיובי הגדול מאחד הוא מספר ראשוני או מרוכב. במילים אחרות, אין מספר שלם אחד שהוא לא ראשוני ולא מורכב. הדבר נובע ממאפיין ההתחלקות, הקובע שהמספרים 1 ו-a הם תמיד מחלקים של כל מספר שלם a.

בהתבסס על המידע בפסקה הקודמת, נוכל לתת את ההגדרה הבאה של מספרים מרוכבים.

הַגדָרָה.

קוראים למספרים טבעיים שאינם ראשוניים מרוכבים.

בואו ניתן דוגמאות למספרים ראשוניים ומרוכבים.

דוגמאות למספרים מורכבים כוללות 6, 63, 121 ו-6,697. גם אמירה זו זקוקה להבהרה. למספר 6, בנוסף למחלקים החיוביים 1 ו-6, יש גם מחלקים 2 ו-3, שכן 6 = 2 3, לכן 6 הוא באמת מספר מורכב. גורמים חיוביים של 63 הם המספרים 1, 3, 7, 9, 21 ו-63. המספר 121 שווה למכפלה 11·11, ולכן המחלקים החיוביים שלו הם 1, 11 ו-121. והמספר 6,697 מורכב, שכן המחלקים החיוביים שלו, בנוסף ל-1 ו-6,697, הם גם המספרים 37 ו-181.

לסיכום נקודה זו, ברצוני גם להסב את תשומת הלב לעובדה שמספרים ראשוניים ומספרים ראשוניים רחוקים מלהיות אותו דבר.

טבלת מספרים ראשוניים

מספרים ראשוניים, לנוחות השימוש הנוסף בהם, נרשמים בטבלה הנקראת טבלת מספרים ראשוניים. להלן טבלת המספרים הראשונייםעד 1,000.

נשאלת שאלה הגיונית: "מדוע מילאנו את טבלת המספרים הראשוניים רק עד 1,000, האם לא ניתן ליצור טבלה של כל המספרים הראשוניים הקיימים"?

בואו נענה תחילה על החלק הראשון של שאלה זו. עבור רוב הבעיות הדורשות שימוש במספרים ראשוניים, מספרים ראשוניים בתוך אלף יספיקו. במקרים אחרים, סביר להניח, תצטרך לפנות לכמה פתרונות מיוחדים. למרות שאנחנו בהחלט יכולים ליצור טבלה של מספרים ראשוניים עד למספר שלם חיובי סופי גדול באופן שרירותי, בין אם זה 10,000 או 1,000,000,000, בפסקה הבאה נדבר על שיטות ליצירת טבלאות של מספרים ראשוניים, בפרט, נסתכל על שיטה שקוראים לו.

כעת נסתכל על האפשרות (או ליתר דיוק, חוסר האפשרות) להרכיב טבלה של כל המספרים הראשוניים הקיימים. אנחנו לא יכולים לעשות טבלה של כל המספרים הראשוניים כי יש אינסוף מספרים ראשוניים. המשפט האחרון הוא משפט שנוכיח לאחר משפט העזר הבא.

מִשׁפָּט.

המחלק החיובי הקטן ביותר מלבד 1 של מספר טבעי הגדול מאחד הוא מספר ראשוני.

הוכחה.

לתת a הוא מספר טבעי הגדול מאחד, ו-b הוא המחלק החיובי הקטן ביותר של אחר מאחד. הבה נוכיח ש-b הוא מספר ראשוני בסתירה.

נניח ש-b הוא מספר מורכב. ואז יש מחלק של המספר b (בואו נסמן אותו b 1), שהוא שונה גם מ-1 וגם מ-b. אם ניקח בחשבון גם שהערך המוחלט של המחלק אינו עולה על הערך המוחלט של הדיבידנד (אנו יודעים זאת מתכונות החלוקה), אזי יש להתקיים בתנאי 1

מכיוון שהמספר a מתחלק ב-b לפי התנאי, ואמרנו ש-b מתחלק ב-b 1, מושג ההתחלקות מאפשר לדבר על קיומם של מספרים שלמים q ו-q 1 כך ש-a=b q ו-b=b 1 q 1 , משם a= b 1 ·(q 1 ·q) . מכאן נובע שהמכפלה של שני מספרים שלמים הוא מספר שלם, ואז השוויון a=b 1 ·(q 1 ·q) מציין ש-b 1 הוא מחלק של המספר a. בהתחשב באי השוויון לעיל 1

כעת אנו יכולים להוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים.

מִשׁפָּט.

יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים.

הוכחה.

בואו נניח שזה לא המצב. כלומר, נניח שיש רק n מספרים ראשוניים, ומספרים ראשוניים אלו הם p 1, p 2, ..., p n. הבה נראה שתמיד נוכל למצוא מספר ראשוני שונה מאלה שצוינו.

שקול את המספר p שווה ל-p 1 ·p 2 ·…·p n +1. ברור שמספר זה שונה מכל אחד מהמספרים הראשוניים p 1, p 2, ..., p n. אם המספר p הוא ראשוני, אז המשפט מוכח. אם מספר זה מורכב, אזי מתוקף המשפט הקודם יש מחלק ראשוני של מספר זה (נסמן אותו p n+1). הבה נראה שמחלק זה אינו עולה בקנה אחד עם אף אחד מהמספרים p 1, p 2, ..., p n.

אם זה לא היה כך, אז לפי תכונות ההתחלקות, המכפלה p 1 ·p 2 ·…·p n היה מחולק ב-p n+1. אבל המספר p מתחלק גם ב-p n+1, שווה לסכום p 1 ·p 2 ·…·p n +1. מכאן נובע ש-p n+1 חייב לחלק את האיבר השני של הסכום הזה, ששווה לאחד, אבל זה בלתי אפשרי.

לפיכך, הוכח שתמיד ניתן למצוא מספר ראשוני חדש שאינו נכלל בין כל מספר של מספרים ראשוניים שנקבעו מראש. לכן, ישנם אינסוף מספרים ראשוניים.

לכן, בשל העובדה שיש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים, בעת הידור טבלאות של מספרים ראשוניים, אתה תמיד מגביל את עצמך מלמעלה למספר כלשהו, ​​בדרך כלל 100, 1,000, 10,000 וכו'.

מסננת של ארוטוסטנס

כעת נדון בדרכים ליצירת טבלאות של מספרים ראשוניים. נניח שעלינו ליצור טבלה של מספרים ראשוניים עד 100.

השיטה הברורה ביותר לפתרון בעיה זו היא לבדוק ברצף מספרים שלמים חיוביים, החל מ-2 וכלה ב-100, עבור נוכחות של מחלק חיובי שגדול מ-1 וקטן מהמספר הנבדק (מתכונות ההתחלקות המוכרות לנו שהערך המוחלט של המחלק אינו עולה על הערך המוחלט של הדיבידנד, שאינו אפס). אם לא נמצא מחלק כזה, אז המספר הנבדק הוא ראשוני, והוא מוזן לטבלת המספרים הראשוניים. אם נמצא מחלק כזה, המספר הנבדק הוא מורכב; הוא לא מוזן בטבלת המספרים הראשוניים. לאחר מכן, יש מעבר למספר הבא, אשר נבדק באופן דומה עבור נוכחות של מחלק.

בואו נתאר את השלבים הראשונים.

נתחיל במספר 2. למספר 2 אין מחלקים חיוביים מלבד 1 ו-2. לכן, זה פשוט, לכן, אנו מכניסים אותו בטבלת המספרים הראשוניים. כאן צריך לומר ש-2 הוא המספר הראשוני הקטן ביותר. נעבור למספר 3. המחלק החיובי האפשרי שלו מלבד 1 ו-3 הוא המספר 2. אבל 3 אינו מתחלק ב-2, לכן, 3 הוא מספר ראשוני, והוא גם צריך להיכלל בטבלת המספרים הראשוניים. נעבור למספר 4. המחלקים החיוביים שלו מלבד 1 ו-4 יכולים להיות המספרים 2 ו-3, בואו נבדוק אותם. המספר 4 מתחלק ב-2, לכן, 4 הוא מספר מורכב ואין צורך להיכלל בטבלת המספרים הראשוניים. שימו לב ש-4 הוא המספר המשולב הקטן ביותר. נעבור למספר 5. אנו בודקים אם לפחות אחד מהמספרים 2, 3, 4 הוא המחלק שלו. מכיוון ש-5 אינו מתחלק ב-2, 3 או 4, אז הוא ראשוני, ויש לרשום אותו בטבלת המספרים הראשוניים. לאחר מכן יש מעבר למספרים 6, 7 וכן הלאה עד 100.

גישה זו לעריכת טבלה של מספרים ראשוניים רחוקה מלהיות אידיאלית. כך או אחרת, יש לו זכות קיום. שימו לב שבשיטה זו של בניית טבלת מספרים שלמים, ניתן להשתמש בקריטריונים של חלוקה, שיזרזו מעט את תהליך מציאת המחלקים.

יש דרך נוחה יותר ליצור טבלה של מספרים ראשוניים, הנקראת. המילה "מסננת" הקיימת בשם אינה מקרית, שכן הפעולות של שיטה זו מסייעות, כביכול, "לנפות" מספרים שלמים ויחידות גדולות דרך המסננת של ארטוסתנס על מנת להפריד בין פשוטים לבין מורכבים.

בואו נראה את המסננת של ארטוסתנס בפעולה בעת הידור טבלה של מספרים ראשוניים עד 50.

ראשית, רשום את המספרים 2, 3, 4, ..., 50 לפי הסדר.

המספר הראשון שנכתב, 2, הוא ראשוני. כעת, ממספר 2, אנו עוברים ימינה ברצף בשני מספרים ומצליבים את המספרים הללו עד שנגיע לסוף טבלת המספרים הנערכים. פעולה זו תצליב את כל המספרים שהם כפולות של שניים.

המספר הראשון אחרי 2 שאינו מחוצה הוא 3. המספר הזה הוא ראשוני. כעת, ממספר 3, אנו עוברים ימינה ברצף בשלושה מספרים (בהתחשב במספרים שכבר נמחקו) ונמחקו אותם. זה ימחק את כל המספרים שהם כפולות של שלוש.

המספר הראשון אחרי 3 שאינו מחוצה הוא 5. המספר הזה הוא ראשוני. כעת מהמספר 5 אנו עוברים ימינה באופן עקבי ב-5 מספרים (אנחנו לוקחים בחשבון גם את המספרים שנמחקו קודם לכן) ונמחקו אותם. פעולה זו תצליב את כל המספרים שהם כפולות של חמש.

לאחר מכן, אנו חוצים מספרים שהם כפולות של 7, ולאחר מכן כפולות של 11, וכן הלאה. התהליך מסתיים כאשר אין יותר מספרים להחתים. להלן הטבלה המלאה של מספרים ראשוניים עד 50, שהושגה באמצעות המסננת של ארוטוסטנס. כל המספרים שלא חוצים הם ראשוניים, וכל המספרים המוצלבים הם מורכבים.

בואו גם ננסח ונוכיח משפט שיזרז את תהליך ההרכבה של טבלת מספרים ראשוניים באמצעות המסננת של ארוטוסטנס.

מִשׁפָּט.

המחלק החיובי הקטן ביותר של מספר מורכב a השונה מאחד אינו חורג מ- , איפה הוא מ- a .

הוכחה.

הבה נסמן באות b את המחלק הקטן ביותר של מספר מורכב a השונה מאחד (המספר b הוא ראשוני, כדלקמן מהמשפט שהוכח ממש בתחילת הפסקה הקודמת). אז יש מספר שלם q כך ש-a=b·q (כאן q הוא מספר שלם חיובי, שנובע מכללי הכפל של מספרים שלמים), ו(עבור b>q מופר התנאי ש-b הוא המחלק הקטן ביותר של a , שכן q הוא גם מחלק של המספר a עקב השוויון a=q·b ). על ידי הכפלת שני הצדדים של אי השוויון בחיוב ובמספר שלם הגדול מאחד (מותר לנו לעשות זאת), נקבל , שממנו ו.

מה נותן לנו המשפט המוכח לגבי המסננת של ארטוסתנס?

ראשית, מחיקת מספרים מרוכבים שהם כפולות של מספר ראשוני b צריך להתחיל במספר השווה ל (זה נובע מאי השוויון). לדוגמה, מחיקת מספרים שהם כפולות של שניים צריכה להתחיל במספר 4, כפולות של שלוש במספר 9, כפולות של חמש עם המספר 25, וכן הלאה.

שנית, הידור של טבלה של מספרים ראשוניים עד למספר n באמצעות המסננת של Eratosthenes יכולה להיחשב הושלמה כאשר כל המספרים המרוכבים שהם כפולות של מספרים ראשוניים אינם עולים על . בדוגמה שלנו, n=50 (מאחר שאנחנו יוצרים טבלה של מספרים ראשוניים עד 50) ולכן, המסננת של ארוטוסטנס צריכה לחסל את כל המספרים המרוכבים שהם כפולות של המספרים הראשוניים 2, 3, 5 ו-7 שעושים זאת. לא יעלה על השורש האריתמטי של 50. כלומר, איננו צריכים עוד לחפש ולהצליב מספרים שהם כפולות של המספרים הראשוניים 11, 13, 17, 19, 23 וכן הלאה עד 47, מכיוון שהם כבר יוחקו ככפולות של מספרים ראשוניים קטנים יותר 2 , 3, 5 ו-7.

האם המספר הזה ראשוני או מורכב?

חלק מהמשימות דורשות לברר אם מספר נתון הוא ראשוני או מרוכב. באופן כללי, משימה זו רחוקה מלהיות פשוטה, במיוחד עבור מספרים שכתיבתם מורכבת ממספר לא מבוטל של תווים. ברוב המקרים, אתה צריך לחפש דרך ספציפית לפתור את זה. עם זאת, ננסה לתת כיוון למסלול המחשבה למקרים פשוטים.

כמובן, אתה יכול לנסות להשתמש במבחני חלוקה כדי להוכיח שמספר נתון הוא מורכב. אם, למשל, מבחן חלוקה כלשהו מראה שמספר נתון מתחלק במספר שלם חיובי כלשהו הגדול מאחד, אז המספר המקורי הוא מורכב.

דוגמא.

הוכח ש-898,989,898,989,898,989 הוא מספר מורכב.

פִּתָרוֹן.

סכום הספרות של מספר זה הוא 9·8+9·9=9·17. מכיוון שהמספר השווה ל-9·17 מתחלק ב-9, אז בחלוקה ב-9 ניתן לומר שגם המספר המקורי מתחלק ב-9. לכן, זה מורכב.

חסרון משמעותי של גישה זו הוא שקריטריוני ההתחלקות אינם מאפשרים להוכיח את ראשוניותו של מספר. לכן, כאשר בודקים מספר כדי לראות אם הוא ראשוני או מורכב, עליך לפעול אחרת.

הגישה ההגיונית ביותר היא לנסות את כל המחלקים האפשריים של מספר נתון. אם אף אחד מהמחלקים האפשריים אינו מחלק אמיתי של מספר נתון, אז המספר הזה יהיה ראשוני, אחרת הוא יהיה מורכב. מהמשפטים שהוכחו בפסקה הקודמת, יוצא שיש לחפש מחלקים של מספר נתון a בין מספרים ראשוניים שאינם עולים על . לפיכך, ניתן לחלק מספר נתון a ברצף במספרים ראשוניים (שנלקחים בצורה נוחה מטבלת המספרים הראשוניים), תוך ניסיון למצוא את המחלק של המספר a. אם נמצא מחלק, אז המספר a מורכב. אם בין המספרים הראשוניים שאינם עולים על , אין מחלק של המספר a, אז המספר a הוא ראשוני.

דוגמא.

מספר 11 723 פשוט או מורכב?

פִּתָרוֹן.

בואו נגלה עד איזה מספר ראשוני יכולים להיות המחלקים של המספר 11,723. כדי לעשות זאת, בואו נבצע הערכה.

זה די ברור , מאז 200 2 =40,000, ו-11,723<40 000 (при необходимости смотрите статью השוואה של מספרים). לפיכך, הגורמים הראשוניים האפשריים של 11,723 הם פחות מ-200. זה כבר מקל על המשימה שלנו. אם לא היינו יודעים זאת, אז היינו צריכים לעבור על כל המספרים הראשוניים לא עד 200, אלא עד המספר 11,723.

אם תרצה, תוכל להעריך בצורה מדויקת יותר. מאז 108 2 = 11,664, ו- 109 2 = 11,881, אז 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . לפיכך, כל אחד מהמספרים הראשוניים הנמוכים מ-109 הוא פוטנציאל גורם ראשוני של המספר הנתון 11,723.

כעת נחלק את המספר 11,723 ברצף למספרים ראשוניים 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . אם המספר 11,723 מחולק באחד מהמספרים הראשוניים הכתובים, אז הוא יהיה מורכב. אם הוא אינו מתחלק באף אחד מהמספרים הראשוניים הכתובים, אז המספר המקורי הוא ראשוני.

לא נתאר את כל תהליך החלוקה המונוטוני והמונוטוני הזה. בוא נגיד מיד ש-11,723