ביטויים לוגריתמיים, פתרון דוגמאות. במאמר זה נשקול בעיות הקשורות לפתרון לוגריתמים. המשימות מעלות את שאלת מציאת ערך הביטוי. יש לציין כי מושג הלוגריתם משמש במשימות רבות וחשוב ביותר להבין את משמעותו. באשר ל-USE, הלוגריתם משמש בפתרון משוואות, בבעיות יישומיות וגם במשימות הקשורות לחקר פונקציות.

הנה דוגמאות להבנת עצם המשמעות של הלוגריתם:

זהות לוגריתמית בסיסית:

מאפיינים של לוגריתמים שעליכם לזכור תמיד:

*לוגריתם של המוצר שווה לסכוםהלוגריתמים של הגורמים.

* * *

*לוגריתם של המנה (שברים) שווה להפרשהלוגריתמים של הגורמים.

* * *

* הלוגריתם של התואר שווה למכפלת המעריך וללוגריתם הבסיס שלו.

* * *

*מעבר לבסיס חדש

* * *

נכסים נוספים:

* * *

חישוב הלוגריתמים קשור קשר הדוק לשימוש במאפיינים של מעריכים.

אנו מפרטים כמה מהם:

המהות של תכונה זו היא שכאשר מעבירים את המונה למכנה ולהיפך, סימן המעריך משתנה להיפך. לדוגמה:

תוצאה של נכס זה:

* * *

כאשר מעלים כוח לחזקה, הבסיס נשאר זהה, אבל המעריכים מוכפלים.

* * *

כפי שאתה יכול לראות, עצם הרעיון של הלוגריתם הוא פשוט. העיקר שיש צורך בתרגול טוב, שנותן מיומנות מסוימת. אין ספק שידע בנוסחאות הוא חובה. אם המיומנות בהמרת לוגריתמים יסודיים אינה נוצרת, אז כשפותרים משימות פשוטות, אפשר בקלות לטעות.

תרגל, פתרו תחילה את הדוגמאות הפשוטות ביותר מהקורס במתמטיקה, ואז עברו לדוגמאות מורכבות יותר. בעתיד, אני בהחלט אראה כיצד פותרים את הלוגריתמים ה"מכוערים", לא יהיו כאלה בבחינה, אבל הם מעניינים, אל תפספסו את זה!

זה הכל! בהצלחה לך!

בברכה, אלכסנדר קרוטיסקיך

נ.ב: אודה לך אם תספר על האתר ברשתות החברתיות.

הפרטיות שלך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא קרא את מדיניות הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם לזיהוי אדם מסויםאו קשר איתו.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר וליידע אותך לגבי הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח לך הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם תצטרף להגרלת פרס, לתחרות או תמריץ דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

חשיפה לצדדים שלישיים

איננו חושפים מידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במידת הצורך - בהתאם לחוק, לצו השיפוטי, בהליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות הציבור מאת סוכנויות ממשלתיותבשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או אינטרס ציבורי אחר.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים ליורש הצד השלישי הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם מפני גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

שמירה על פרטיותך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים לעובדים שלנו נוהלי פרטיות ואבטחה ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

הוראה

רשום את הנתון ביטוי לוגריתמי. אם הביטוי משתמש בלוגריתם של 10, הסימון שלו מתקצר ונראה כך: lg b הוא הלוגריתם העשרוני. אם ללוגריתם יש את המספר e כבסיס, אז הביטוי נכתב: ln b - לוגריתם טבעי. מובן שהתוצאה של כל היא החזקה אליה יש להעלות את מספר הבסיס כדי לקבל את המספר b.

כשמוצאים את הסכום של שתי פונקציות, אתה רק צריך להבדיל ביניהן אחת אחת, ולהוסיף את התוצאות: (u+v)" = u"+v";

כשמוצאים את הנגזרת של המכפלה של שתי פונקציות, יש צורך להכפיל את הנגזרת של הפונקציה הראשונה בשנייה ולהוסיף את הנגזרת של הפונקציה השנייה, כפול הפונקציה הראשונה: (u*v)" = u"* v+v"*u;

על מנת למצוא את הנגזרת של המנה של שתי פונקציות, יש צורך, ממכפלת הנגזרת של הדיבידנד כפול פונקציית המחלק, להחסיר את מכפלת הנגזרת של המחלק כפולה בפונקציית המחלק, ולחלק כל זה לפי פונקציית המחלק בריבוע. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

אם ניתן פונקציה מורכבת, אז יש צורך להכפיל את הנגזרת של תפקוד פנימיוהנגזרת של החיצוני. תן y=u(v(x)), ואז y"(x)=y"(u)*v"(x).

באמצעות המתקבל לעיל, אתה יכול להבדיל כמעט כל פונקציה. אז בואו נסתכל על כמה דוגמאות:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *איקס));
יש גם משימות לחישוב הנגזרת בנקודה. תן את הפונקציה y=e^(x^2+6x+5), אתה צריך למצוא את הערך של הפונקציה בנקודה x=1.
1) מצא את הנגזרת של הפונקציה: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) חשב את הערך של הפונקציה ב נקודה נתונה y"(1)=8*e^0=8

סרטונים קשורים

עצה מועילה

למד את טבלת הנגזרות היסודיות. זה יחסוך הרבה זמן.

מקורות:

• נגזרת קבועה

אז מה ההבדל בין משוואה רציונליתמרציונלי? אם המשתנה הלא ידוע נמצא מתחת לסימן שורש ריבועי, אז המשוואה נחשבת לא רציונלית.

הוראה

השיטה העיקרית לפתרון משוואות כאלה היא השיטה של ​​העלאת שני הצדדים משוואותלתוך ריבוע. למרות זאת. זה טבעי, הצעד הראשון הוא להיפטר מהשלט. מבחינה טכנית, שיטה זו אינה קשה, אך לפעמים היא עלולה להוביל לצרות. לדוגמה, המשוואה v(2x-5)=v(4x-7). על ידי ריבוע שני הצדדים, אתה מקבל 2x-5=4x-7. משוואה כזו לא קשה לפתרון; x=1. אבל המספר 1 לא יינתן משוואות. למה? תחליף את היחידה במשוואה במקום בערך x. והצד הימני והשמאלי יכילו ביטויים לא הגיוניים, כלומר. ערך כזה אינו תקף לשורש ריבועי. לכן, 1 הוא שורש חיצוני, ולכן למשוואה זו אין שורשים.

כך, משוואה לא רציונליתנפתר בשיטה של ​​ריבוע שני חלקיו. ולאחר שפתרו את המשוואה, יש צורך לחתוך שורשים זרים. כדי לעשות זאת, החלף את השורשים שנמצאו במשוואה המקורית.

שקול עוד אחד.
2x+vx-3=0
כמובן שניתן לפתור את המשוואה הזו באמצעות אותה משוואה כמו הקודמת. תרכובות העברה משוואות, שאין להם שורש ריבועי, צד ימיןולאחר מכן השתמש בשיטת הריבוע. לפתור את המשוואה הרציונלית שהתקבלה ואת השורשים. אבל אחר, אלגנטי יותר. הזן משתנה חדש; vx=y. בהתאם, תקבל משוואה כמו 2y2+y-3=0. כלומר, הרגיל משוואה ריבועית. מצא את שורשיו; y1=1 ו-y2=-3/2. לאחר מכן, פתור שניים משוואות vx=1; vx \u003d -3/2. למשוואה השנייה אין שורשים, מהראשונה נמצא ש-x=1. אל תשכח את הצורך לבדוק את השורשים.

פתרון זהויות הוא די קל. זה דורש ביצוע טרנספורמציות זהות עד להשגת המטרה. כך, בעזרת פעולות החשבון הפשוטות ביותר, המשימה תיפתר.

אתה תצטרך

• - עיתון;
• - עט.

הוראה

הטרנספורמציות הפשוטות ביותר מסוג זה הן הכפלות מקוצרות אלגבריות (כגון ריבוע הסכום (הפרש), הפרש הריבועים, הסכום (הפרש), קוביית הסכום (הפרש)). בנוסף, יש הרבה נוסחאות טריגונומטריות, שהן בעצם אותן זהויות.

ואכן, ריבוע הסכום של שני איברים שווה לריבוע של הראשון פלוס פעמיים המכפלה של הראשון והשני פלוס הריבוע של השני, כלומר (a+b)^2= (a+b) )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

פשט את שניהם

עקרונות כלליים של פתרון

עיין בספר לימוד חשבון או מתמטיקה גבוהה יותר, שהוא אינטגרל מובהק. כידוע, הפתרון של אינטגרל מוגדר הוא פונקציה שהנגזרת שלה תיתן אינטגרנד. פונקציה זו נקראת אנטי נגזרת. לפי עיקרון זה בנויים האינטגרלים הבסיסיים.
קבע לפי צורת האינטגרנד איזה מבין אינטגרלי הטבלה מתאים במקרה זה. לא תמיד ניתן לקבוע זאת מיד. לעתים קרובות, הצורה הטבלאית הופכת בולטת רק לאחר מספר טרנספורמציות כדי לפשט את האינטגרנד.

שיטת החלפה משתנה

אם האינטגרנד הוא פונקציה טריגונומטרית, שהארגומנט שלו הוא פולינום כלשהו, ​​אז נסה להשתמש בשיטת החלפת המשתנה. לשם כך, החלף את הפולינום בארגומנט של האינטגרנד במשתנה חדש כלשהו. בהתבסס על היחס בין המשתנה החדש והישן, קבע את גבולות האינטגרציה החדשים. על ידי הבחנה של ביטוי זה, מצא דיפרנציאל חדש ב. כך תקבל הסוג החדשהאינטגרלי הקודם, קרוב או אפילו מקביל לכל טבלה.

פתרון אינטגרלים מהסוג השני

אם האינטגרל הוא אינטגרל מהסוג השני, הצורה הווקטורית של האינטגרנד, אז תצטרך להשתמש בכללים למעבר מאינטגרלים אלו לסקלרים. כלל אחד כזה הוא יחס אוסטרוגרדסקי-גאוס. חוק זה מאפשר לעבור מזרימת הרוטור של פונקציה וקטורית כלשהי לאינטגרל משולש על פני הסטייה של שדה וקטור נתון.

החלפת גבולות האינטגרציה

לאחר מציאת הנגזרת האנטי-נגזרת, יש צורך להחליף את גבולות האינטגרציה. ראשית, החלף את הערך של הגבול העליון בביטוי עבור האנטי-נגזרת. תקבל מספר כלשהו. לאחר מכן, הפחיתו מהמספר המתקבל מספר נוסף, הגבול התחתון המתקבל לנגזרת האנטי. אם אחד מגבולות האינטגרציה הוא אינסוף, אז החלפתו לתוך פונקציה אנטי-נגזרתיש צורך ללכת עד הקצה ולמצוא למה הביטוי נוטה.
אם האינטגרל הוא דו מימדי או תלת מימדי, אז תצטרכו לייצג את הגבולות הגיאומטריים של האינטגרל על מנת להבין כיצד לחשב את האינטגרל. ואכן, במקרה של, נניח, אינטגרל תלת מימדי, גבולות האינטגרציה יכולים להיות מישורים שלמים המגבילים את הנפח שיש לשלב.

היום נדבר על נוסחאות לוגריתםולתת הדגמה דוגמאות לפתרונות.

כשלעצמם, הם מרמזים על דפוסי פתרון לפי המאפיינים הבסיסיים של לוגריתמים. לפני החלת נוסחאות הלוגריתם על הפתרון, אנו זוכרים עבורך, ראשית את כל המאפיינים:

כעת, בהתבסס על הנוסחאות (המאפיינים), אנו מראים דוגמאות לפתרון לוגריתמים.

דוגמאות לפתרון לוגריתמים על בסיס נוסחאות.

לוֹגָרִיתְםמספר חיובי b בבסיס a (מסומן log a b) הוא המעריך שאליו יש להעלות את a כדי לקבל b, עם b > 0, a > 0 ו-1.

לפי ההגדרה log a b = x, שהוא שווה ערך ל- a x = b, אז log a a x = x.

לוגריתמים, דוגמאות:

log 2 8 = 3, כי 2 3 = 8

log 7 49 = 2 כי 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, כי 5 -1 = 1/5

לוגריתם עשרוניהוא לוגריתם רגיל, שבסיסו הוא 10. מסומן כ-lg.

log 10 100 = 2 כי 10 2 = 100

לוגריתם טבעי- גם לוגריתם הלוגריתם הרגיל, אבל עם הבסיס e (e \u003d 2.71828 ... - מספר אי רציונלי). מכונה ln.

רצוי לזכור את הנוסחאות או המאפיינים של לוגריתמים, כי נצטרך אותם מאוחר יותר בפתרון לוגריתמים, משוואות לוגריתמיותואי שוויון. בואו נעבור שוב על כל נוסחה עם דוגמאות.

• זהות לוגריתמית בסיסית
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• הלוגריתם של המכפלה שווה לסכום הלוגריתמים
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• הלוגריתם של המנה שווה להפרש הלוגריתמים
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 לוג 5 50 /9 לוג 5 2 = 9 לוג 5 50- לוג 5 2 = 9 לוג 5 25 = 9 2 = 81

• מאפייני המידה של מספר לוגריתמי ובסיס הלוגריתם

  מעריך הלוגריתם יומן מספרים a b m = mlog a b

  מעריך בסיס יומן לוגריתם a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  אם m = n, נקבל log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• מעבר לקרן חדשה
  log a b = log c b / log c a,

  אם c = b, נקבל log b b = 1

  ואז log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

כפי שאתה יכול לראות, נוסחאות הלוגריתם אינן מסובכות כפי שהן נראות. כעת, לאחר ששקלנו דוגמאות לפתרון לוגריתמים, נוכל לעבור למשוואות לוגריתמיות. נשקול דוגמאות לפתרון משוואות לוגריתמיות ביתר פירוט במאמר: "". אל תפספסו!

אם עדיין יש לכם שאלות לגבי הפתרון, כתבו אותן בתגובות למאמר.

הערה: החליט לקבל השכלה של כיתה אחרת ללמוד בחו"ל כאופציה.

1.1. קביעת התואר עבור מעריך מספר שלם

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N פעמים

1.2. תואר אפס.

בהגדרה, נהוג להניח שחזקת האפס של כל מספר שווה ל-1:

1.3. דרגה שלילית.

X-N = 1/XN

1.4. מעריך שבר, שורש.

X 1/N = השורש ה-N של X.

לדוגמה: X 1/2 = √X.

1.5. הנוסחה להוספת כוחות.

X (N+M) = X N * X M

1.6 נוסחה להפחתת מעלות.

X (N-M) = X N / X M

1.7. נוסחת כפל כוח.

XN*M = (XN)M

1.8. הנוסחה להעלאת שבר לחזקה.

(X/Y)N = XN/YN

2. מספר ה.

הערך של המספר e שווה לגבול הבא:

E = lim(1+1/N), כ-N → ∞.

עם דיוק של 17 ספרות, המספר e הוא 2.71828182845904512.

3. שוויון אוילר.

שוויון זה מקשר בין חמישה מספרים הממלאים תפקיד מיוחד במתמטיקה: 0, 1, המספר e, המספר pi, היחידה הדמיונית.

E(i*pi) + 1 = 0

4. פונקציה אקספוננציאלית exp (x)

exp(x) = e x

5. נגזרת של הפונקציה המעריכית

לפונקציה אקספוננציאלית יש תכונה יוצאת דופן: הנגזרת של פונקציה שווה לפונקציה המעריכית עצמה:

(exp(x))" = exp(x)

6. לוגריתם.

6.1. הגדרת פונקציית הלוגריתם

אם x = b y, אז הלוגריתם הוא הפונקציה

Y = Logb(x).

הלוגריתם מראה באיזו מידה יש ​​צורך להעלות מספר - הבסיס של הלוגריתם (ב) כדי לקבל מספר נתון (X). פונקציית הלוגריתם מוגדרת עבור X גדול מאפס.

לדוגמה: יומן 10 (100) = 2.

6.2. לוגריתם עשרוני

זה הלוגריתם לבסיס 10:

Y = יומן 10 (x) .

מסומן יומן (x): Log (x) = יומן 10 (x).

דוגמה לשימוש בלוגריתם עשרוני היא דציבל.

6.3. דֵצִיבֵּל

הפריט מודגש בדף נפרד דציבל

6.4. לוגריתם בינארי

זה הלוגריתם של בסיס 2:

Y = Log2(x).

מסומן ב-Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. לוגריתם טבעי

זה הלוגריתם לבסיס e:

Y = loge(x) .

מסומן ב-Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
הלוגריתם הטבעי הוא היפוך של הפונקציה המעריכית exp(X).

6.6. נקודות אופייניות

Loga(1) = 0
יומן a(a) = 1

6.7. הנוסחה ללוגריתם של המוצר

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. הנוסחה ללוגריתם של המנה

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. נוסחת לוגריתם כוח

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. נוסחה להמרה ללוגריתם עם בסיס שונה

יומן b (x) = (לוג א (x)) / יומן a (ב)

דוגמא:

יומן 2 (8) = יומן 10 (8) / יומן 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. נוסחאות שימושיות בחיים

לעתים קרובות יש בעיות של המרת נפח לשטח או אורך ו בעיה הפוכה- המרה של שטח לנפח. לדוגמא, לוחות נמכרים בקוביות (מטר מעוקב), ועלינו לחשב כמה שטח קיר ניתן למעטה בלוחות הכלולים בנפח מסוים, ראה חישוב הלוחות, כמה לוחות יש בקובייה. או, מידות הקיר ידועות, יש צורך לחשב את מספר הלבנים, ראה חישוב לבנים.

מותר להשתמש בחומרי האתר בתנאי שהוגדר קישור פעיל למקור.