הבה נשקול את הנושא של הפיכת ביטויים עם כוחות, אבל קודם נתעכב על מספר טרנספורמציות שניתן לבצע עם כל ביטוי, כולל עוצמה. נלמד כיצד לפתוח סוגריים, להוסיף מונחים דומים, לעבוד עם בסיסים ומעריכים ולהשתמש בתכונות של חזקות.

Yandex.RTB R-A-339285-1

מהם ביטויי כוח?

בקורסים בבית הספר, מעט אנשים משתמשים בביטוי " ביטויי כוח", אבל המונח הזה נמצא כל הזמן באוספים להכנה לבחינת המדינה המאוחדת. ברוב המקרים, ביטוי מציין ביטויים המכילים מעלות בערכים שלהם. זה מה שנשקף בהגדרה שלנו.

הגדרה 1

ביטוי כוחניהוא ביטוי המכיל כוחות.

הבה ניתן מספר דוגמאות לביטויי כוח, החל מהכוח עם אינדיקטור טבעיוכלה בתואר עם אקספוננט אמיתי.

ביטויי החזקה הפשוטים ביותר יכולים להיחשב בחזקות של מספר עם מעריך טבעי: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . וגם חזקות עם אפס מעריך: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. וחזקות עם חזקות שליליות: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

קצת יותר קשה לעבוד עם תואר שיש לו אקספוננטים רציונליים ואי-רציונליים: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 א 1 4 א 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

המחוון יכול להיות המשתנה 3 x - 54 - 7 3 x - 58 או הלוגריתם x 2 · l g x − 5 · x l g x.

עסקנו בשאלה מהם ביטויי כוח. עכשיו בואו נתחיל להמיר אותם.

סוגים עיקריים של טרנספורמציות של ביטויי כוח

קודם כל, נבחן את התמורות הזהות הבסיסיות של ביטויים שניתן לבצע עם ביטויי כוח.

דוגמה 1

חשב את הערך של ביטוי כוח 2 3 (4 2 - 12).

פִּתָרוֹן

אנו נבצע את כל השינויים בהתאם לסדר הפעולות. במקרה זה, נתחיל בביצוע הפעולות בסוגריים: נחליף את התואר בערך דיגיטלי ונחשב את ההפרש של שני מספרים. יש לנו 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

כל שעלינו לעשות הוא להחליף את התואר 2 3 המשמעות שלו 8 ולחשב את המוצר 8 4 = 32. הנה התשובה שלנו.

תשובה: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .

דוגמה 2

פשט את הביטוי בכוחות 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

פִּתָרוֹן

הביטוי שניתן לנו בהצהרת הבעיה מכיל מונחים דומים שאנו יכולים לתת: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

תשובה: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

דוגמה 3

הביעו את הביטוי בחזקות 9 - b 3 · π - 1 2 כמכפלה.

פִּתָרוֹן

בואו נדמיין את המספר 9 ככוח 3 2 והחל את נוסחת הכפל המקוצר:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

תשובה: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

כעת נעבור לניתוח של טרנספורמציות זהות שניתן ליישם ספציפית על ביטויי כוח.

עבודה עם בסיס ואקספונט

התואר בבסיס או במעריך יכול לכלול מספרים, משתנים וכמה ביטויים. לדוגמה, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7ו . קשה לעבוד עם רשומות כאלה. הרבה יותר קל להחליף את הביטוי בבסיס התואר או את הביטוי באקספוננט בביטוי שווה זהה.

טרנספורמציות של תואר ומעריך מתבצעות לפי הכללים המוכרים לנו בנפרד זה מזה. הדבר החשוב ביותר הוא שהטרנספורמציה מביאה לביטוי זהה לזה המקורי.

מטרת הטרנספורמציות היא לפשט את הביטוי המקורי או להשיג פתרון לבעיה. לדוגמה, בדוגמה שנתנו למעלה, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 אתה יכול לעקוב אחר השלבים כדי לעבור לתואר 4 , 1 1 , 3 . על ידי פתיחת הסוגריים, נוכל להציג מונחים דומים לבסיס הכוח (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)ולקבל ביטוי כוחני בצורה פשוטה יותר a 2 (x + 1).

שימוש במאפייני תואר

מאפייני סמכויות, הכתובים בצורה של שוויון, הם אחד הכלים העיקריים להפיכת ביטויים עם סמכויות. אנו מציגים כאן את העיקריים שבהם, תוך התחשבות בכך או בהם מספרים חיוביים כלשהם, ו רו ס- מספרים ממשיים שרירותיים:

הגדרה 2

• a r · a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (א · ב) r = a r · b r;
• (א: ב) r = a r: b r;
• (a r) s = a r · s .

במקרים בהם עסקינן במעריכים טבעיים, שלמים, חיוביים, ההגבלות על המספרים a ו-b יכולות להיות הרבה פחות נוקשות. כך, למשל, אם ניקח בחשבון את השוויון a m · a n = a m + n, איפה Mו נ – מספרים שלמים, אז זה יהיה נכון לכל ערכים של a, חיובי ושלילי, כמו גם עבור a = 0.

ניתן ליישם את המאפיינים של חזקות ללא הגבלות במקרים שבהם בסיסי החזקות חיוביים או מכילים משתנים, שטח ערכים מקובליםשהוא כזה שהבסיסים עליו מקבלים רק ערכים חיוביים. למעשה, בפנים מערכת של ביהסבמתמטיקה, המשימה של התלמיד היא לבחור תכונה מתאימה וליישם אותה בצורה נכונה.

בעת הכנה לכניסה לאוניברסיטאות, אתה עלול להיתקל בבעיות שבהן יישום לא מדויק של מאפיינים יוביל לצמצום ה-DL ולקשיים אחרים בפתרון. בחלק זה נבחן רק שני מקרים כאלה. מידע נוסף בנושא ניתן למצוא בנושא "המרת ביטויים באמצעות מאפיינים של כוחות".

דוגמה 4

דמיינו את הביטוי a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5בצורה של כוח עם בסיס א.

פִּתָרוֹן

ראשית, אנו משתמשים בתכונת האקספונציה וממירים את הגורם השני באמצעותה (א 2) - 3. לאחר מכן אנו משתמשים בתכונות של כפל וחלוקת כוחות עם אותו בסיס:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

תשובה: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

טרנספורמציה של ביטויי כוח לפי תכונת הכוחות יכולה להיעשות גם משמאל לימין וגם בכיוון ההפוך.

דוגמה 5

מצא את הערך של ביטוי העוצמה 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

פִּתָרוֹן

אם נחיל שוויון (א · ב) r = a r · b r, מימין לשמאל, נקבל מכפלה של הצורה 3 · 7 1 3 · 21 2 3 ולאחר מכן 21 1 3 · 21 2 3 . בואו נוסיף את המעריכים כאשר נכפיל איתם חזקה באותו נימוק: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

ישנה דרך נוספת לבצע את השינוי:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

תשובה: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

דוגמה 6

ניתן ביטוי כוחני a 1, 5 - a 0, 5 - 6, הזן משתנה חדש t = a 0.5.

פִּתָרוֹן

בואו נדמיין את התואר א 1, 5אֵיך a 0.5 3. שימוש בתכונה של מעלות למעלות (a r) s = a r · sמימין לשמאל ונקבל (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. אתה יכול בקלות להכניס משתנה חדש לביטוי המתקבל t = a 0.5: אנחנו מקבלים t 3 − t − 6.

תשובה: t 3 − t − 6 .

המרת שברים המכילים חזקות

בדרך כלל אנו עוסקים בשתי גרסאות של ביטויי עוצמה עם שברים: הביטוי מייצג שבר בעל חזקה או מכיל שבר כזה. כל הטרנספורמציות הבסיסיות של שברים חלות על ביטויים כאלה ללא הגבלות. ניתן לצמצם אותם, להביאם למכנה חדש, או לעבוד בנפרד עם המונה והמכנה. בואו נמחיש זאת בעזרת דוגמאות.

דוגמה 7

פשט את ביטוי העוצמה 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

פִּתָרוֹן

אנו עוסקים בשבר, אז נבצע טרנספורמציות הן במונה והן במכנה:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

הצב סימן מינוס לפני השבר כדי לשנות את הסימן של המכנה: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

תשובה: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

שברים המכילים חזקה מצטמצמים למכנה חדש באותו אופן כמו שברים רציונליים. לשם כך, עליך למצוא גורם נוסף ולהכפיל בו את המונה והמכנה של השבר. יש צורך לבחור גורם נוסף בצורה כזו שהוא לא ילך לאפס עבור כל ערכים של משתנים ממשתני ODZ עבור הביטוי המקורי.

דוגמה 8

הפחת את השברים למכנה חדש: א) a + 1 a 0, 7 למכנה א, ב) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 למכנה x + 8 · y 1 2 .

פִּתָרוֹן

א) בואו נבחר גורם שיאפשר לנו לצמצם למכנה חדש. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,לכן, כגורם נוסף ניקח א 0, 3. טווח הערכים המותרים של המשתנה a כולל את קבוצת כל המספרים הממשיים החיוביים. תואר בתחום זה א 0, 3לא הולך לאפס.

בוא נכפיל את המונה והמכנה של שבר ב א 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

ב) נשים לב למכנה:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

נכפיל את הביטוי הזה ב-x 1 3 + 2 · y 1 6, נקבל את סכום הקוביות x 1 3 ו-2 · y 1 6, כלומר. x + 8 · y 1 2 . זה המכנה החדש שלנו שאליו אנחנו צריכים לצמצם את השבר המקורי.

כך מצאנו את הגורם הנוסף x 1 3 + 2 · y 1 6 . על טווח הערכים המותרים של משתנים איקסו yהביטוי x 1 3 + 2 y 1 6 אינו נעלם, לכן, נוכל להכפיל בו את המונה והמכנה של השבר:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

תשובה: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · י 1 2 .

דוגמה 9

צמצם את השבר: א) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, ב) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

פִּתָרוֹן

א) אנו משתמשים במכנה המשותף הגדול ביותר (GCD), שבאמצעותו נוכל לצמצם את המונה והמכנה. עבור המספרים 30 ו-45 זה 15. אנחנו יכולים גם לבצע הפחתה ב x0.5+1ועל x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

אנחנו מקבלים:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

ב) כאן נוכחותם של גורמים זהים אינה ברורה. תצטרך לבצע כמה טרנספורמציות כדי לקבל את אותם גורמים במונה ובמכנה. לשם כך, אנו מרחיבים את המכנה באמצעות נוסחת הפרש הריבועים:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

תשובה:א) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , ב) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

פעולות בסיסיות עם שברים כוללות המרת שברים למכנה חדש והקטנת שברים. שתי הפעולות מבוצעות בהתאם למספר כללים. בחיבור וחיסור שברים, ראשית מצטמצמים השברים למכנה משותף, ולאחר מכן מתבצעות פעולות (חיבור או חיסור) עם המונים. המכנה נשאר זהה. התוצאה של מעשינו היא שבר חדש, שהמונה שלו הוא מכפלת המונים, והמכנה הוא מכפלת המכנים.

דוגמה 10

בצע את השלבים x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

פִּתָרוֹן

נתחיל בהפחתת השברים שנמצאים בסוגריים. בואו נביא אותם למכנה משותף:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

בוא נחסר את המונים:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

כעת נכפיל את השברים:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

בואו נפחית בכוח x 1 2, נקבל 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

בנוסף, ניתן לפשט את ביטוי העוצמה במכנה באמצעות נוסחת הפרש הריבועים: ריבועים: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

תשובה: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

דוגמה 11

פשט את ביטוי חוק הכוח x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
פִּתָרוֹן

אנחנו יכולים להפחית את השבר ב (x 2, 7 + 1) 2. נקבל את השבר x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

בואו נמשיך לשנות את החזקות של x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. כעת אתה יכול להשתמש בתכונה של חלוקת כוחות עם אותם בסיסים: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

אנו עוברים מהמוצר האחרון לשבר x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

תשובה: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

ברוב המקרים, נוח יותר להעביר גורמים בעלי מעריכים שליליים מהמונה למכנה ובחזרה, תוך שינוי הסימן של המעריך. פעולה זו מאפשרת לך לפשט את ההחלטה הנוספת. בוא ניתן דוגמה: ניתן להחליף את ביטוי העוצמה (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 ב-x 3 · (x + 1) 0, 2.

המרת ביטויים עם שורשים וכוחות

בבעיות יש ביטויי עוצמה המכילים לא רק כוחות עם מעריכים שברים, אלא גם שורשים. רצוי לצמצם ביטויים כאלה רק לשורשים או רק לכוחות. עדיף ללכת לתארים מכיוון שקל יותר לעבוד איתם. מעבר זה עדיף במיוחד כאשר ה-ODZ של משתנים עבור הביטוי המקורי מאפשר לך להחליף את השורשים בכוחות ללא צורך לגשת למודולוס או לפצל את ה-ODZ למספר מרווחים.

דוגמה 12

הביעו את הביטוי x 1 9 · x · x 3 6 כחזקה.

פִּתָרוֹן

טווח ערכי משתנים מותרים איקסמוגדר על ידי שני אי שוויון x ≥ 0ו-x x 3 ≥ 0, שמגדירים את הסט [ 0 , + ∞) .

בסט הזה יש לנו את הזכות לעבור משורשים לכוחות:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

באמצעות מאפיינים של כוחות, אנו מפשטים את ביטוי העוצמה המתקבל.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

תשובה: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

המרת חזקות עם משתנים במעריך

טרנספורמציות אלה די קלות לביצוע אם משתמשים במאפייני התואר בצורה נכונה. לדוגמה, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

אנחנו יכולים להחליף במכפלה של חזקות, שהמעריכים שלהן הם סכום של משתנה כלשהו ומספר. בצד שמאל, ניתן לעשות זאת עם המונח הראשון והאחרון של הצד השמאלי של הביטוי:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

עכשיו בואו נחלק את שני הצדדים של השוויון ב 7 2 x. ביטוי זה עבור המשתנה x לוקח רק ערכים חיוביים:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

בואו נפחית שברים בחזקות, נקבל: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

לבסוף, יחס החזקות עם אותם מעריכים מוחלף בחזקות יחסים, וכתוצאה מכך מתקבלת המשוואה 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, שהיא שווה ערך ל-5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

הבה נציג משתנה חדש t = 5 7 x , שמצמצם את הפתרון למקור משוואה אקספוננציאליתלהחלטה משוואה ריבועית 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

המרת ביטויים בחזקות ולוגריתמים

ביטויים המכילים חזקות ולוגריתמים נמצאים גם בבעיות. דוגמה לביטויים כאלה היא: 1 4 1 - 5 · log 2 3 או log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. הטרנספורמציה של ביטויים כאלה מתבצעת באמצעות הגישות והמאפיינים של לוגריתמים שנדונו לעיל, עליהם דנו בפירוט בנושא "טרנספורמציה של ביטויים לוגריתמיים".

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

§ 1 הרעיון של פישוט ביטוי מילולי

בשיעור זה נכיר את המושג "מונחים דומים" ובאמצעות דוגמאות נלמד כיצד לבצע צמצום של מונחים דומים ובכך לפשט ביטויים מילוליים.

בואו לגלות את משמעות המושג "פישוט". המילה "פישוט" נגזרת מהמילה "לפשט". לפשט פירושו לעשות פשוט, פשוט יותר. לכן, לפשט ביטוי אות זה לקצר אותו, עם מספר מינימלי של פעולות.

שקול את הביטוי 9x + 4x. זהו ביטוי מילולי שהוא סכום. המונחים כאן מוצגים כמוצרים של מספר ואות. הגורם המספרי של מונחים כאלה נקרא מקדם. בביטוי זה, המקדמים יהיו המספרים 9 ו-4. שימו לב שהגורם המיוצג על ידי האות זהה בשני האיברים של סכום זה.

הבה נזכיר את החוק החלוקתי של הכפל:

כדי להכפיל סכום במספר, אתה יכול להכפיל כל איבר במספר הזה ולהוסיף את המוצרים המתקבלים.

IN השקפה כלליתנכתב באופן הבא: (a + b) ∙ c = ac + bc.

חוק זה נכון לשני הכיוונים ac + bc = (a + b) ∙ c

הבה נחיל את זה על הביטוי המילולי שלנו: סכום התוצרים של 9x ו-4x שווה למכפלה שהגורם הראשון שלו הוא שווה לסכום 9 ו-4, הגורם השני הוא x.

9 + 4 = 13, זה פי 13.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

במקום שלוש פעולות בביטוי, נותרה רק פעולה אחת - כפל. זה אומר שהפכנו את הביטוי המילולי שלנו לפשוט יותר, כלומר. פישט את זה.

§ 2 הפחתת מונחים דומים

המונחים 9x ו-4x נבדלים רק במקדמים שלהם - מונחים כאלה נקראים דומים. חלק האותיות של מונחים דומים זהה. מונחים דומים כוללים גם מספרים ומונחים שווים.

לדוגמה, בביטוי 9a + 12 - 15 איברים דומים יהיו המספרים 12 ו-15, ובסכום המכפלה של 12 ו-6a, המספר 14 והמכפלה של 12 ו-6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6א) האיברים השווים המיוצגים על ידי המכפלה של 12 ו-6א.

חשוב לציין שמונחים שהמקדמים שלהם שווים, אבל גורמי האותיות שלהם שונים, אינם דומים, אם כי לפעמים כדאי להחיל עליהם את חוק הכפל החלוקתי, למשל, סכום המכפלות 5x ו-5y הוא שווה למכפלת המספר 5 והסכום של x ו-y

5x + 5y = 5(x + y).

בואו נפשט את הביטוי -9a + 15a - 4 + 10.

מונחים דומים במקרה זה הם מונחים -9a ו-15a, מכיוון שהם נבדלים רק במקדמים שלהם. מכפיל האותיות שלהם זהה, וגם המונחים -4 ו-10 דומים, מכיוון שהם מספרים. הוסף מונחים דומים:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

אנחנו מקבלים: 6a + 6.

על ידי פישוט הביטוי מצאנו סכומים של מונחים דומים; במתמטיקה זה נקרא הפחתה של מונחים דומים.

אם הוספת מונחים כאלה קשה, אתה יכול להמציא מילים עבורם ולהוסיף אובייקטים.

לדוגמה, שקול את הביטוי:

עבור כל אות ניקח חפץ משלנו: b-apple, c-pear, ואז נקבל: 2 תפוחים מינוס 5 אגסים פלוס 8 אגסים.

האם נוכל להחסיר אגסים מתפוחים? ברור שלא. אבל אנחנו יכולים להוסיף 8 אגסים למינוס 5 אגסים.

הבה נציג מונחים דומים -5 אגסים + 8 אגסים. למונחים דומים יש את אותו חלק האות, לכן כאשר מביאים איברים דומים מספיק להוסיף את המקדמים ולהוסיף את חלק האות לתוצאה:

(-5 + 8) אגסים - מקבלים 3 אגסים.

אם נחזור לביטוי המילולי שלנו, יש לנו -5 שניות + 8 שניות = 3 שניות. לפיכך, לאחר הבאת מונחים דומים, נקבל את הביטוי 2b + 3c.

אז, בשיעור זה התוודעת למושג "מונחים דומים" ולמדת כיצד לפשט ביטויי אותיות על ידי צמצום מונחים דומים.

רשימת ספרות משומשת:

1. מָתֵימָטִיקָה. כיתה ו': מערכי שיעור לספר הלימוד של I.I. זובארבה, א.ג. מורדקוביץ' // המחבר-מהדר L.A. טופילינה. מנמוסינה 2009.
2. מָתֵימָטִיקָה. כיתה ו': ספר לימוד לתלמידי מוסדות החינוך הכללי. I.I. Zubareva, A.G. מורדקוביץ' - מ': מנמוסינה, 2013.
3. מָתֵימָטִיקָה. כיתה ו': ספר לימוד למוסדות חינוך כללי/G.V. דורופייב, I.F. Sharygin, S.B. סובורוב ואחרים/עריכת G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; האקדמיה הרוסית למדעים, האקדמיה הרוסית לחינוך. מ.: "נאורות", 2010.
4. מָתֵימָטִיקָה. כיתה ו': לימוד למוסדות חינוך כלליים/נ.י.א. Vilenkin, V.I. ז'וחוב, א.ס. צ'סנוקוב, ש.י. שוורצבורד. – M.: Mnemosyne, 2013.
5. מָתֵימָטִיקָה. כיתה ו': ספר לימוד/G.K. Muravin, O.V. מוראווינה. – M.: Bustard, 2014.

תמונות בשימוש:

בתחילת השיעור נסקור את המאפיינים הבסיסיים של שורשים ריבועיים, ולאחר מכן נבחן כמה דוגמאות מורכבותכדי לפשט ביטויים המכילים שורשים מרובעים.

נושא:פוּנקצִיָה. נכסים שורש ריבועי

שיעור:שנה ופשט יותר ביטויים מורכביםעם שורשים

1. סקירת תכונות השורשים הריבועיים

הבה נחזור בקצרה על התיאוריה ונזכיר את התכונות הבסיסיות של שורשים ריבועיים.

מאפיינים של שורשים ריבועיים:

1. לכן,;

3. ;

4. .

2. דוגמאות לפישוט ביטויים עם שורשים

נעבור לדוגמאות לשימוש במאפיינים אלו.

דוגמה 1: פשט ביטוי .

פִּתָרוֹן. כדי לפשט, יש לחלק את המספר 120 לגורמים ראשוניים:

נחשוף את ריבוע הסכום באמצעות הנוסחה המתאימה:

דוגמה 2: פשט ביטוי .

פִּתָרוֹן. הבה ניקח בחשבון שביטוי זה אינו הגיוני עבור כל הערכים האפשריים של המשתנה, שכן ביטוי זה מכיל שורשים ריבועיים ושברים, מה שמוביל ל"צמצום" של טווח הערכים המותרים. ODZ: ().

נביא את הביטוי בסוגריים למכנה המשותף ונכתוב את המונה של השבר האחרון כהפרש הריבועים:

תשובה. בְּ.

דוגמה 3: פשט ביטוי .

פִּתָרוֹן. ניתן לראות שלתושבת המונה השנייה יש מראה לא נוח ויש לפשט אותה; בואו ננסה לחשב אותה בשיטת הקיבוץ.

כדי להיות מסוגלים לגזור גורם משותף, פישטנו את השורשים על ידי פירוקם. הבה נחליף את הביטוי המתקבל בשבר המקורי:

לאחר הפחתת השבר, אנו מיישמים את נוסחת הפרש הריבועים.

3. דוגמה להיפטרות מחוסר היגיון

דוגמה 4. השתחרר מחוסר היגיון (שורשים) במכנה: א); ב).

פִּתָרוֹן. א) כדי להיפטר מחוסר היגיון במכנה, משתמשים בשיטה הסטנדרטית של הכפלת המונה והמכנה של השבר בגורם המצומד למכנה (אותו ביטוי, אך עם הסימן ההפוך). זה נעשה כדי להשלים את המכנה של השבר להפרש הריבועים, מה שמאפשר לך להיפטר מהשורשים במכנה. בוא נעשה את זה במקרה שלנו:

ב) לבצע פעולות דומות:

4. דוגמה להוכחה וזיהוי של ריבוע שלם ברדיקל מורכב

דוגמה 5. הוכח שוויון .

הוכחה. נשתמש בהגדרה של שורש ריבועי, שממנה נובע שהריבוע של הביטוי הימני חייב להיות שווה לביטוי הרדיקלי:

. בוא נפתח את הסוגריים באמצעות הנוסחה של ריבוע הסכום:

, קיבלנו את השוויון הנכון.

מוּכָח.

דוגמה 6. פשט את הביטוי.

פִּתָרוֹן. ביטוי זה נקרא בדרך כלל רדיקל מורכב (שורש מתחת לשורש). בדוגמה זו, עליך להבין כיצד לבודד ריבוע שלם מהביטוי הרדיקלי. לשם כך, שימו לב שמבין שני האיברים, הוא מועמד לתפקיד המכפלה הכפולה בנוסחה להפרש בריבוע (הבדל, שכן יש מינוס). הבה נכתוב את זה בצורה של המוצר הבא: , אז 1 טוען שהוא אחד האיברים של ריבוע שלם, ו-1 טוען שהוא השני.

בואו נחליף את הביטוי הזה מתחת לשורש.

כל שפה יכולה לבטא את אותו מידע במילים שונותומהפכות. שפה מתמטית אינה יוצאת דופן. אבל אותו ביטוי יכול להיכתב באופן שווה בדרכים שונות. ובמצבים מסוימים, אחד הערכים פשוט יותר. בשיעור זה נדבר על פישוט ביטויים.

אנשים מתקשרים הלאה שפות שונותאיקס. עבורנו, השוואה חשובה היא הצמד "שפה רוסית - שפה מתמטית". ניתן להעביר את אותו מידע בשפות שונות. אבל, חוץ מזה, זה יכול להיות מבוטא בדרכים שונות בשפה אחת.

לדוגמא: "פטיה ידידה עם ואסיה", "וסיה ידידה עם פטיה", "פטיה ואסיה חברות". נאמר אחרת, אבל אותו דבר. מכל אחד מהביטויים הללו היינו מבינים על מה אנחנו מדברים.

בואו נסתכל על המשפט הזה: "הילד פטיה והילד ואסיה הם חברים." אנחנו מבינים למה אנחנו מתכוונים אנחנו מדברים על. עם זאת, אנחנו לא אוהבים את הצליל של הביטוי הזה. אנחנו לא יכולים לפשט את זה, להגיד את אותו הדבר, אבל יותר פשוט? "ילד וילד" - אתה יכול לומר פעם אחת: "הבנים Petya ו- Vasya הם חברים."

"בנים"... האם לא ברור מהשמות שלהם שהם לא בנות? אנחנו מסירים את "הבנים": "פטיה ואסיה הם חברים". ואפשר להחליף את המילה "חברים" ב"חברים": "פטיה ואסיה הם חברים." כתוצאה מכך הוחלף הביטוי הראשון, הארוך והמכוער, באמירה מקבילה שקל יותר לומר אותה וקלה יותר להבנה. פישטנו את הביטוי הזה. לפשט פירושו לומר זאת בצורה פשוטה יותר, אך לא לאבד או לעוות את המשמעות.

בשפה מתמטית, בערך אותו דבר קורה. אפשר לומר אותו דבר, לכתוב אחרת. מה זה אומר לפשט ביטוי? זה אומר שלביטוי המקורי יש הרבה ביטויים מקבילים, כלומר כאלה שמשמעותם אותו דבר. ומכל המגוון הזה עלינו לבחור את הפשוט ביותר, לדעתנו, או המתאים ביותר למטרותינו הנוספות.

לדוגמה, שקול את הביטוי המספרי . זה יהיה שווה ערך ל.

זה יהיה שווה ערך גם לשני הראשונים: .

מסתבר שפישטנו את הביטויים שלנו ומצאנו את הביטוי המקביל הקצר ביותר.

ל ביטויים מספרייםאתה תמיד צריך לבצע את כל הפעולות ולקבל את הביטוי המקביל בצורה של מספר בודד.

הבה נסתכל על דוגמה לביטוי מילולי . ברור שזה יהיה פשוט יותר.

כאשר מפשטים ביטויים מילולייםיש צורך לבצע את כל הפעולות האפשריות.

האם תמיד יש צורך לפשט ביטוי? לא, לפעמים יהיה לנו נוח יותר לקבל כניסה שווה אבל ארוכה יותר.

דוגמא: אתה צריך להחסיר מספר ממספר.

אפשר לחשב, אבל אם המספר הראשון היה מיוצג בסימון המקביל שלו: , אז החישובים יהיו מיידיים: .

כלומר, ביטוי מפושט לא תמיד מועיל עבורנו לחישובים נוספים.

עם זאת, לעתים קרובות אנו עומדים בפני משימה שפשוט נשמעת כמו "לפשט את הביטוי".

פשט את הביטוי: .

פִּתָרוֹן

1) בצע את הפעולות בסוגריים הראשון והשני: .

2) בואו לחשב את המוצרים: .

ברור שלביטוי האחרון יש צורה פשוטה יותר מהראשונית. פישטנו את זה.

על מנת לפשט את הביטוי יש להחליפו בשווה (שווה).

כדי לקבוע את הביטוי המקביל אתה צריך:

1) לבצע את כל הפעולות האפשריות,

2) השתמש במאפיינים של חיבור, חיסור, כפל וחילוק כדי לפשט את החישובים.

תכונות חיבור וחיסור:

1. תכונה קומוטטיבית של חיבור: סידור מחדש של המונחים אינו משנה את הסכום.

2. תכונה קומבינטיבית של חיבור: על מנת להוסיף מספר שלישי לסכום של שני מספרים, ניתן להוסיף למספר הראשון את סכום המספר השני והשלישי.

3. התכונה של הפחתת סכום ממספר: כדי להחסיר סכום ממספר, ניתן להחסיר כל איבר בנפרד.

תכונות כפל וחילוק

1. תכונה קומוטטיבית של כפל: סידור מחדש של הגורמים אינו משנה את המכפלה.

2. תכונה קומבינטיבית: כדי להכפיל מספר במכפלה של שני מספרים, אפשר תחילה להכפיל אותו בגורם הראשון, ולאחר מכן להכפיל את המכפלה המתקבלת בגורם השני.

3. תכונה חלוקתית של כפל: כדי להכפיל מספר בסכום, צריך להכפיל אותו בכל איבר בנפרד.

בואו נראה איך אנחנו באמת עושים חישובי נפש.

לחשב:

פִּתָרוֹן

1) בואו נדמיין איך

2) בואו נדמיין את הגורם הראשון כסכום של מונחי סיביות ונבצע את הכפל:

3) אתה יכול לדמיין איך ולבצע כפל:

4) החלף את הגורם הראשון בסכום שווה ערך:

ניתן להשתמש בחוק החלוקתי גם ב צד הפוך: .

בצע את השלבים הבאים:

1) 2)

פִּתָרוֹן

1) מטעמי נוחות, ניתן להשתמש בחוק החלוקתי, אך להשתמש בו בכיוון ההפוך - להוציא את הגורם המשותף מסוגריים.

2) בואו נוציא את הגורם המשותף מסוגריים

יש צורך לקנות לינוליאום למטבח ולמסדרון. פינת מטבח - , מסדרון - . ישנם שלושה סוגים של לינוליאום: עבור, ורובל עבור. כמה יעלה כל אחד? שלושה סוגיםלִינוֹלֵאוּם? (איור 1)

אורז. 1. איור להצהרת הבעיה

פִּתָרוֹן

שיטה 1. אתה יכול בנפרד לגלות כמה כסף ייקח לקנות לינוליאום למטבח, ולאחר מכן לשים אותו במסדרון ולהוסיף את המוצרים המתקבלים.

הערה 1

ניתן לכתוב פונקציה בוליאנית באמצעות ביטוי בוליאני ולאחר מכן ניתן להעביר אותה למעגל לוגי. יש צורך לפשט ביטויים לוגיים על מנת לקבל את המעגל הלוגי הפשוט ביותר (ולכן זול יותר) האפשרי. למעשה, פונקציה לוגית, ביטוי לוגי ומעגל לוגי הן שלוש שפות שונות המדברות על ישות אחת.

כדי לפשט ביטויים לוגיים השתמש חוקי לוגיקה אלגברה.

טרנספורמציות מסוימות דומות לטרנספורמציות של נוסחאות באלגברה קלאסית (הוצאת הגורם המשותף מסוגריים, שימוש בחוקים קומוטטיביים ושילוביים וכו'), בעוד שתמורות אחרות מבוססות על תכונות שאין לפעולות האלגברה הקלאסית (באמצעות התפלגות חוק לצירוף, דיני קליטה, הדבקה, כללי דה מורגן וכו').

חוקי האלגברה הלוגית מנוסחים עבור פעולות לוגיות בסיסיות - "NOT" - היפוך (שלילה), "AND" - צירוף (כפל לוגי) ו-"OR" - ניתוק (חיבור לוגי).

חוק השלילה הכפול אומר שפעולת ה"NOT" היא הפיכה: אם תחילו אותה פעמיים, אז בסופו של דבר הערך הלוגי לא ישתנה.

חוק האמצע הבלתי נכלל קובע שכל ביטוי לוגי הוא נכון או שקרי ("אין שלישי"). לכן, אם $A=1$, אז $\bar(A)=0$ (ולהיפך), מה שאומר שהצירוף של הכמויות האלה תמיד שווה לאפס, והניתוק תמיד שווה לאחד.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

בואו נפשט את הנוסחה הזו:

איור 3.

מכאן נובע ש$A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

תשובה:סטודנטים $B$, $C$ ו-$D$ משחקים שח, אבל תלמיד $A$ לא משחק.

בעת פישוט ביטויים לוגיים, אתה יכול לבצע את רצף הפעולות הבא:

1. החלף את כל הפעולות ה"לא בסיסיות" (שקילות, השלכה, OR בלעדי וכו') בביטויים שלהן באמצעות הפעולות הבסיסיות של היפוך, צירוף ופיזור.
2. הרחב היפוכים של ביטויים מורכבים לפי הכללים של דה מורגן באופן שפעולות שלילה נשארות רק עבור משתנים בודדים.
3. לאחר מכן פשט את הביטוי באמצעות סוגריים פותחים, הצבת גורמים משותפים מחוץ לסוגריים וחוקים אחרים של אלגברה לוגית.

דוגמה 2

כאן משתמשים בזה אחר זה בשלטון דה מורגן, החוק החלוקתי, חוק האמצע המודר, החוק הקומוטטיבי, חוק החזרה, שוב החוק הקומוטטיבי וחוק הקליטה.