גיאומטריה היא מדע רב-גוני. הוא מפתח היגיון, דמיון ואינטליגנציה. כמובן, בשל המורכבות שלו והמספר העצום של משפטים ואקסיומות, תלמידי בית הספר לא תמיד אוהבים את זה. בנוסף, יש צורך להוכיח כל הזמן את המסקנות שלך תוך שימוש בסטנדרטים וכללים מקובלים.

קשור ו זוויות אנכיותהוא מרכיב אינטגרלי של הגיאומטריה. אין ספק שתלמידי בית ספר רבים פשוט מעריצים אותם מהסיבה שהמאפיינים שלהם ברורים וקלים להוכחה.

היווצרות פינות

כל זווית נוצרת על ידי חיתוך שני קווים ישרים או ציור של שתי קרניים מנקודה אחת. אפשר לקרוא להם אות אחת או שלוש, שמציינות ברצף את הנקודות שבהן בנויה הזווית.

זוויות נמדדות במעלות וניתן (בהתאם לערכן) להיקרא אחרת. אז, יש זווית ישרה, חדה, קהה ונפרשת. כל אחד מהשמות מתאים למידת מידה מסוימת או למרווח שלה.

זווית חדה היא זווית שמידתה אינה עולה על 90 מעלות.

זווית קהה היא זווית גדולה מ-90 מעלות.

זווית נקראת ישר כאשר מידת המעלות שלה היא 90.

במקרה שבו הוא נוצר על ידי קו ישר רציף אחד ומידת המעלות שלו היא 180, זה נקרא מורחב.

זוויות שיש להן צלע משותפת, שהצד השני שלה ממשיך זו את זו, נקראות סמוכות. הם יכולים להיות חדים או בוטים. החיתוך של הקו יוצר זוויות סמוכות. המאפיינים שלהם הם כדלקמן:

1. הסכום של זוויות כאלה יהיה שווה ל-180 מעלות (יש משפט שמוכיח זאת). לכן, אפשר בקלות לחשב אחד מהם אם השני ידוע.
2. מהנקודה הראשונה עולה כי זוויות סמוכות אינן יכולות להיווצר על ידי שתי זוויות קהות או חדות.

הודות למאפיינים אלה, אתה תמיד יכול לחשב את מידת המעלות של זווית, בהינתן הערך של זווית אחרת או, על ידי לפחות, היחסים ביניהם.

זוויות אנכיות

זוויות שצלעותיהן הן המשכיות אחת של השנייה נקראות אנכיות. כל אחד מהזנים שלהם יכול לפעול כזוג כזה. זוויות אנכיות תמיד שוות זו לזו.

הם נוצרים כאשר קווים ישרים מצטלבים. יחד איתם, זוויות סמוכות נוכחות תמיד. זווית יכולה להיות צמודה בו זמנית עבור אחד ואנכית עבור אחר.

כאשר חוצים קו שרירותי, נחשבים גם כמה סוגים אחרים של זוויות. קו כזה נקרא קו דק, והוא יוצר זוויות מתאימות, חד-צדדיות וצולבות. הם שווים זה לזה. ניתן לראות אותם לאור המאפיינים שיש לזוויות אנכיות ולזוויות סמוכות.

לפיכך, נושא הזוויות נראה די פשוט ומובן. קל לזכור ולהוכיח את כל המאפיינים שלהם. פתרון בעיות אינו קשה כל עוד לזוויות יש ערך מספרי. מאוחר יותר, כאשר יתחיל לימוד החטא והקוס, תצטרך לשנן הרבה נוסחאות מורכבות, המסקנות וההשלכות שלהם. עד אז, אתה יכול פשוט ליהנות מחידות קלות שבהן אתה צריך למצוא זוויות סמוכות.

שתי זוויות נקראות סמוכות אם יש להן צד אחד משותף, והצלעות האחרות של זוויות אלו הן קרניים משלימות. באיור 20, זוויות AOB ו-BOC צמודות.

סכום הזוויות הסמוכות הוא 180°

משפט 1. סכום הזוויות הסמוכות הוא 180°.

הוכחה. קרן OB (ראה איור 1) עוברת בין הצדדים של הזווית הנפרשת. בגלל זה ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

ממשפט 1 עולה שאם שתי זוויות שוות, אזי הזוויות הסמוכות שלהן שוות.

זוויות אנכיות שוות

שתי זוויות נקראות אנכיות אם הצדדים של זווית אחת הן קרניים משלימות של הצדדים של האחרת. הזוויות AOB ו-COD, BOD ו-AOC, שנוצרות במפגש של שני קווים ישרים, הן אנכיות (איור 2).

משפט 2. זוויות אנכיות שוות.

הוכחה. הבה ניקח בחשבון את הזוויות האנכיות AOB ו-COD (ראה איור 2). זווית BOD צמודה לכל אחת מהזוויות AOB ו-COD. לפי משפט 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

מכאן אנו מסיקים כי ∠ AOB = ∠ COD.

מסקנה 1. זווית הסמוכה לזווית ישרה היא זווית ישרה.

שקול שני קווים ישרים מצטלבים AC ו-BD (איור 3). הם יוצרים ארבע פינות. אם אחת מהן ישרה (זווית 1 באיור 3), אזי גם הזוויות הנותרות ישרות (זוויות 1 ו-2, 1 ו-4 סמוכות, זוויות 1 ו-3 אנכיות). במקרה זה, הם אומרים שהקווים הללו מצטלבים בזוויות ישרות ונקראים בניצב (או בניצב הדדי). הניצב של הקווים AC ו-BD מסומן באופן הבא: AC ⊥ BD.

חוצה מאונך לקטע הוא קו מאונך לקטע זה ועובר דרך נקודת האמצע שלו.

AN - מאונך לקו

ראה קו ישר a ונקודה A שאינה מונחת עליו (איור 4). נחבר את נקודה A עם קטע לנקודה H עם ישר a. הקטע AN נקרא מאונך שנמשך מנקודה A לישר a אם הקווים AN ו-a מאונכים. נקודה H נקראת בסיס הניצב.

ריבוע ציור

המשפט הבא נכון.

משפט 3. מכל נקודה שאינה שוכבת על קו, ניתן לצייר מאונך לישר זה, ויותר מכך, רק אחד.

כדי לצייר מאונך מנקודה לקו ישר בשרטוט, השתמש בריבוע ציור (איור 5).

תגובה. ניסוח המשפט מורכב בדרך כלל משני חלקים. חלק אחד מדבר על מה שניתן. חלק זה נקרא תנאי המשפט. החלק השני מדבר על מה שצריך להוכיח. חלק זה נקרא מסקנת המשפט. לדוגמה, התנאי של משפט 2 הוא שהזוויות אנכיות; מסקנה - זוויות אלו שוות.

כל משפט יכול להיות מבוטא בפירוט במילים כך שמצבו מתחיל במילה "אם" וסיומו במילה "אז". לדוגמה, משפט 2 יכול להיאמר בפירוט באופן הבא: "אם שתי זוויות אנכיות, אז הן שוות."

דוגמה 1.אחת מהזוויות הסמוכות היא 44°. למה השני שווה?

פִּתָרוֹן. הבה נסמן את מידת המעלות של זווית אחרת ב-x, אז לפי משפט 1.
44° + x = 180°.
בפתרון המשוואה שהתקבלה, נמצא ש-x = 136°. לכן, הזווית השנייה היא 136 מעלות.

דוגמה 2.תן לזווית COD באיור 21 להיות 45°. מהן הזוויות AOB ו-AOC?

פִּתָרוֹן. זוויות COD ו- AOB הן אנכיות, לכן, לפי משפט 1.2 הן שוות, כלומר ∠ AOB = 45°. זווית AOC צמודה לזווית COD, כלומר לפי משפט 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

דוגמה 3.מצא זוויות סמוכות אם אחת מהן גדולה פי 3 מהשנייה.

פִּתָרוֹן. הבה נסמן את מידת המעלות של הזווית הקטנה יותר ב-x. אז מידת המעלות של הזווית הגדולה יותר תהיה פי 3. מכיוון שסכום הזוויות הסמוכות שווה ל-180° (משפט 1), אז x + 3x = 180°, ומכאן x = 45°.
המשמעות היא שהזוויות הסמוכות הן 45° ו- 135°.

דוגמה 4.הסכום של שתי זוויות אנכיות הוא 100°. מצא את הגודל של כל אחת מארבע הזוויות.

פִּתָרוֹן. תן לתמונה 2 לעמוד בתנאי הבעיה. הזוויות האנכיות COD עד AOB שוות (משפט 2), כלומר גם מדדי המעלות שלהן שוות. לכן, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (הסכום שלהם לפי התנאי הוא 100°). זווית BOD (גם זווית AOC) צמודה לזווית COD, ולכן, לפי משפט 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

איך למצוא זווית סמוכה?

מתמטיקה היא המדע המדויק העתיק ביותר, כלומר חובהלמד בבתי ספר, מכללות, מכונים ואוניברסיטאות. עם זאת, ידע בסיסי תמיד מונח בבית הספר. לפעמים, הילד מקבל משימות מורכבות למדי, אבל ההורים לא יכולים לעזור, כי הם פשוט שכחו כמה דברים מהמתמטיקה. למשל איך למצוא זווית סמוכה לפי גודל הזווית הראשית וכו'. הבעיה היא פשוטה, אך עלולה לגרום לקשיים בפתרון עקב בורות אילו זוויות נקראות סמוכות וכיצד למצוא אותן.

בואו נסתכל מקרוב על ההגדרה והמאפיינים של זוויות סמוכות, כמו גם כיצד לחשב אותן מהנתונים בבעיה.

הגדרה ומאפיינים של זוויות סמוכות

שתי קרניים הבוקעות מנקודה אחת יוצרות דמות הנקראת "זווית מישור". במקרה זה, נקודה זו נקראת קודקוד הזווית, והקרניים הן צלעותיה. אם ממשיכים את אחת הקרניים מעבר לנקודת ההתחלה בקו ישר, אז נוצרת זווית נוספת, שנקראת צמודה. לכל זווית במקרה זה יש שתי זוויות סמוכות, שכן צלעות הזווית שוות ערך. כלומר, תמיד יש זווית צמודה של 180 מעלות.

המאפיינים העיקריים של זוויות סמוכות כוללים

• לזוויות סמוכות יש קודקוד משותף וצד אחד;
• סכום הזוויות הסמוכות תמיד שווה ל-180 מעלות או למספר Pi אם החישוב מתבצע ברדיאנים;
• הסינוסים של זוויות סמוכות שווים תמיד;
• הקוסינוס והטנגנס של זוויות סמוכות שווים אך יש להם סימנים הפוכים.

כיצד למצוא זוויות סמוכות

בדרך כלל ניתנות שלוש וריאציות של בעיות כדי למצוא את גודל הזוויות הסמוכות

• הערך של הזווית הראשית ניתן;
• היחס בין הזווית הראשית והסמוכה ניתן;
• הערך של הזווית האנכית ניתן.

לכל גרסה של הבעיה יש פתרון משלה. בואו נסתכל עליהם.

הערך של הזווית הראשית ניתן

אם הבעיה מציינת את הערך של הזווית הראשית, אז מציאת הזווית הסמוכה היא פשוטה מאוד. כדי לעשות זאת, פשוט תחסיר את הערך של הזווית הראשית מ-180 מעלות, ותקבל את הערך של הזווית הסמוכה. פתרון זה מבוסס על תכונה של זווית סמוכה - סכום הזוויות הסמוכות תמיד שווה ל-180 מעלות.

אם ערך הזווית הראשית ניתן ברדיאנים והבעיה מצריכה מציאת הזווית הסמוכה ברדיאנים, אז יש צורך להחסיר את ערך הזווית הראשית מהמספר Pi, שכן הערך של הזווית המלאה הנפרשת של 180 מעלות שווה למספר Pi.

נתון היחס בין הזווית הראשית והסמוכה

הבעיה עשויה לתת את היחס בין הזוויות הראשיות והסמוכות במקום המעלות והרדיאנים של הזווית הראשית. במקרה זה, הפתרון ייראה כמו משוואת פרופורציה:

1. נסמן את הפרופורציה של הזווית הראשית כמשתנה "Y".
2. השבר הקשור לזווית הסמוכה מסומן כמשתנה "X".
3. מספר המעלות הנופלות על כל פרופורציה יסומן, למשל, ב"א".
4. הנוסחה הכללית תיראה כך - a*X+a*Y=180 או a*(X+Y)=180.
5. אנו מוצאים את הגורם המשותף של המשוואה "a" באמצעות הנוסחה a=180/(X+Y).
6. לאחר מכן נכפיל את הערך המתקבל של הגורם המשותף "a" בשבריר הזווית שצריך לקבוע.

כך נוכל למצוא את הערך של הזווית הסמוכה במעלות. עם זאת, אם אתה צריך למצוא ערך ברדיאנים, אתה פשוט צריך להמיר את המעלות לרדיאנים. לשם כך, הכפילו את הזווית במעלות ב-Pi וחלקו הכל ב-180 מעלות. הערך המתקבל יהיה ברדיאנים.

הערך של הזווית האנכית ניתן

אם הבעיה לא נותנת את ערך הזווית הראשית, אלא נתון ערך הזווית האנכית, אזי ניתן לחשב את הזווית הסמוכה באמצעות אותה נוסחה כמו בפסקה הראשונה, שבה ניתן ערך הזווית הראשית.

זווית אנכית היא זווית שמקורה מאותה נקודה כמו זו הראשית, אך מכוונת בדיוק לכיוון ההפוך. כך מתברר השתקפות מראה. המשמעות היא שהזווית האנכית שווה בגודלה לזו הראשית. בתורו, הזווית הסמוכה של הזווית האנכית שווה לזווית הסמוכה של הזווית הראשית. הודות לכך, ניתן לחשב את הזווית הסמוכה של הזווית הראשית. כדי לעשות זאת, פשוט הפחיתו את הערך האנכי מ-180 מעלות וקבלו את הערך של הזווית הסמוכה של הזווית הראשית במעלות.

אם הערך ניתן ברדיאנים, אז יש צורך להחסיר את הערך של הזווית האנכית מהמספר Pi, שכן הערך של הזווית המלאה הנפרשת של 180 מעלות שווה למספר Pi.

אתה יכול גם לקרוא את המאמרים השימושיים שלנו ו.

תחילת העבודה עם זוויות

תנו לנו שתי קרניים שרירותיות. בואו נשים אותם אחד על השני. לאחר מכן

הגדרה 1

לזווית נקרא שתי קרניים שמקורן זהה.

הגדרה 2

הנקודה שהיא תחילת הקרניים במסגרת הגדרה 3 נקראת קודקוד זווית זו.

נסמן את הזווית בשלוש הנקודות הבאות שלה: הקודקוד, נקודה על אחת הקרניים ונקודה על הקרן השנייה, וקודקוד הזווית נכתב באמצע ייעודה (איור 1).

הבה נקבע כעת מה גודל הזווית.

לשם כך, עלינו לבחור סוג של זווית "התייחסות", אותה ניקח כיחידה. לרוב, זווית זו היא הזווית השווה לחלק $\frac(1)(180)$ של הזווית הנפרשת. כמות זו נקראת תואר. לאחר בחירת זווית כזו, אנו משווים איתה את הזוויות, שצריך למצוא את ערכן.

ישנם 4 סוגי זוויות:

הגדרה 3

זווית נקראת חדה אם היא קטנה מ-$90^0$.

הגדרה 4

זווית נקראת קהה אם היא גדולה מ-$90^0$.

הגדרה 5

זווית נקראת מפותחת אם היא שווה ל-$180^0$.

הגדרה 6

זווית נקראת ישרה אם היא שווה ל-$90^0$.

בנוסף לסוגי הזוויות שתוארו לעיל, אנו יכולים להבחין בין סוגי זוויות זו ביחס לזו, כלומר זוויות אנכיות וסמוכות.

זוויות סמוכות

קחו בחשבון את הזווית ההפוכה $COB$. מהקודקוד שלו נשרטט קרן $OA$. קרן זו תפצל את המקורית לשתי זוויות. לאחר מכן

הגדרה 7

נכנה שתי זוויות סמוכות אם זוג אחד מהצלעות שלהן הוא זווית מפותחת, והזוג השני חופף (איור 2).

במקרה זה, הזוויות $COA$ ו-$BOA$ סמוכות.

משפט 1

סכום הזוויות הסמוכות הוא $180^0$.

הוכחה.

בואו נסתכל על איור 2.

בהגדרה 7, הזווית $COB$ בו תהיה שווה ל$180^0$. מכיוון שצמד הצלעות השני של זוויות סמוכות חופף, הקרן $OA$ תחלק את הזווית הנפרשת ב-2, לכן

$∠COA+∠BOA=180^0$

המשפט הוכח.

בואו נשקול לפתור את הבעיה באמצעות מושג זה.

דוגמה 1

מצא את הזווית $C$ מהאיור למטה

לפי הגדרה 7 אנו מוצאים שהזוויות $BDA$ ו-$ADC$ סמוכות. לכן, לפי משפט 1, אנו מקבלים

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

לפי המשפט על סכום הזוויות במשולש, יש לנו

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

תשובה: $40^0$.

זוויות אנכיות

שקול את הזוויות הפרושות $AOB$ ו-$MOC$. בואו ניישר את הקודקודים שלהם זה עם זה (כלומר, נשים את הנקודה $O"$ על הנקודה $O$) כך שאף צלעות של זוויות אלה לא יחפפו. אז

הגדרה 8

נכנה שתי זוויות אנכיות אם זוגות הצלעות שלהן הן זוויות פרושות והערכים שלהן עולים בקנה אחד (איור 3).

במקרה זה, הזוויות $MOA$ ו-$BOC$ אנכיות והזוויות $MOB$ ו-$AOC$ גם הן אנכיות.

משפט 2

זוויות אנכיות שוות זו לזו.

הוכחה.

בואו נסתכל על איור 3. בואו נוכיח, למשל, שהזווית $MOA$ שווה לזווית $BOC$.

שתי זוויות הממוקמות על אותו קו ישר ובעלות אותו קודקוד נקראות סמוכות.

אחרת, אם הסכום של שתי זוויות על קו ישר אחד שווה ל-180 מעלות ויש להן צד אחד משותף, אז אלו זוויות סמוכות.

זווית אחת צמודה + זווית אחת צמודה = 180 מעלות.

זוויות סמוכות הן שתי זוויות שבהן צלע אחת משותפת, ושתי הצלעות האחרות יוצרות בדרך כלל קו ישר.

הסכום של שתי זוויות סמוכות הוא תמיד 180 מעלות. לדוגמה, אם זווית אחת היא 60 מעלות, אז השנייה תהיה בהכרח שווה ל-120 מעלות (180-60).

זוויות AOC ו-BOC הן זוויות סמוכות מכיוון שכל התנאים למאפיינים של זוויות סמוכות מתקיימים:

1.OS - צד משותף של שתי פינות

2.AO - צד הפינה AOS, OB - צד הפינה BOS. יחדיו יוצרות הצדדים הללו קו ישר AOB.

3. ישנן שתי זוויות והסכום שלהן הוא 180 מעלות.

אם נזכור את קורס הגיאומטריה של בית הספר, נוכל לומר את הדברים הבאים לגבי זוויות סמוכות:

לזוויות סמוכות יש צד אחד משותף, ושתי הצלעות האחרות שייכות לאותו קו ישר, כלומר, הן נמצאות על אותו קו ישר. אם לפי האיור, אז הזוויות SOV ו-BOA הן זוויות סמוכות, שסכומן תמיד שווה ל-180, מכיוון שהן מחלקות זווית ישרה, וזווית ישרה שווה תמיד ל-180.



זוויות סמוכות הן מושג קל בגיאומטריה. זוויות סמוכות, זווית פלוס זווית, מסתכמות ב-180 מעלות.

שתי זוויות סמוכות יהיו זווית אחת פרושה.

יש עוד כמה נכסים. עם זוויות סמוכות, קל לפתור בעיות ומשפטים להוכיח.

זוויות סמוכות נוצרות על ידי ציור קרן מנקודה שרירותית על קו ישר. ואז מסתבר שנקודה שרירותית זו היא קודקוד הזווית, הקרן - צד משותףזוויות סמוכות, והקו הישר שממנו נמשכת הקרן - לפי שתי הצלעות הנותרות של הזוויות הסמוכות. זוויות סמוכות יכולות להיות זהות במקרה של ניצב, או שונות במקרה של קורה משופעת. קל להבין שסכום הזוויות הסמוכות שווה ל-180 מעלות או פשוט קו ישר. דרך נוספת להסביר זווית זו היא דוגמה פשוטה- בהתחלה הלכת בכיוון אחד בקו ישר, אחר כך שינית את דעתך, החלטת לחזור אחורה ולפנות 180 מעלות, יצאת לדרך באותו קו ישר בכיוון ההפוך.



אז מהי זווית סמוכה? הַגדָרָה:

שתי זוויות בעלות קודקוד משותף וצלע משותפת אחת נקראות סמוכות, ושתי הצלעות האחרות של זוויות אלו שוכנות על אותו קו ישר.



ושיעור וידאו קצר שמראה באופן הגיוני על זוויות סמוכות, זוויות אנכיות, ועוד על קווים מאונכים, שהם מקרה מיוחד של זוויות סמוכות ואנכיות

זוויות סמוכות הן זוויות שבהן צד אחד משותף, והשני הוא קו אחד.

זוויות סמוכות הן זוויות התלויות זו בזו. כלומר, אם הצלע המשותפת מסובבת מעט, אזי זווית אחת תקטן בכמה מעלות ובאופן אוטומטי הזווית השנייה תגדל באותו מספר מעלות. תכונה זו של זוויות סמוכות מאפשרת לפתור בעיות שונות בגיאומטריה ולבצע הוכחות למשפטים שונים.

הסכום הכולל של זוויות סמוכות הוא תמיד 180 מעלות.



מהקורס גיאומטריה (עד כמה שזכור לי בכיתה ו') נקראות שתי זוויות צמודות שבהן צלע אחת משותפת, והצלעות האחרות הן קרניים נוספות, סכום הזוויות הסמוכות הוא 180. כל אחת מהשתיים זוויות סמוכות משלימות את האחרת לזווית מורחבת. דוגמה לזוויות סמוכות:



זוויות סמוכות הן שתי זוויות בעלות קודקוד משותף, שאחת מצלעיהן משותפת, ושאר הצלעות מונחות על אותו קו ישר (לא חופפות). סכום הזוויות הסמוכות הוא מאה ושמונים מעלות. באופן כללי, קל מאוד למצוא את כל זה בגוגל או בספר לימוד גיאומטריה.