מתחילים לדבר על ערכים ממוצעים, לרוב הם זוכרים איך סיימו את בית הספר ונכנסו למוסד חינוכי. לאחר מכן, על פי התעודה, חושב הציון הממוצע: כל הציונים (גם טובים וגם לא טובים מאוד) סופרו, הכמות שהתקבלה חולקה במספרם. כך מחושב הסוג הפשוט ביותר של ממוצע, שנקרא ממוצע אריתמטי פשוט. בפועל משתמשים בסטטיסטיקה סוגים שוניםממוצעים: ממוצעים אריתמטיים, הרמוניים, גיאומטריים, ריבועיים, מבניים. נעשה שימוש כזה או אחר מסוגם בהתאם לאופי הנתונים ולמטרות המחקר.

ערך ממוצעהוא המדד הסטטיסטי הנפוץ ביותר, בעזרתו ניתן מאפיין הכללה של מכלול אותו סוג תופעות לפי אחד הסימנים המשתנים. הוא מציג את רמת התכונה ליחידת אוכלוסייה. בעזרת ערכים ממוצעים נערכת השוואה בין אגרגטים שונים לפי מאפיינים משתנים, ונלמדים דפוסי התפתחות של תופעות ותהליכים של החיים החברתיים.

בסטטיסטיקה משתמשים בשתי מחלקות של ממוצעים: כוח (אנליטי) ומבני. האחרונים משמשים לאפיון המבנה של סדרת הווריאציות ויידונו עוד בפרק. 8.

קבוצת אמצעי הכוח כוללת אריתמטי, הרמוני, גיאומטרי, ריבועי. ניתן לצמצם נוסחאות בודדות לחישובן לצורה המשותפת לכל ממוצעי ההספק, כלומר

כאשר m הוא המעריך של ממוצע החזק: עם m = 1 נקבל נוסחה לחישוב הממוצע האריתמטי, כאשר m = 0 - הממוצע הגיאומטרי, m = -1 - הממוצע ההרמוני, כאשר m = 2 - הממוצע הריבועי ;

x i - אפשרויות (ערכים שהתכונה לוקחת);

fi - תדרים.

התנאי העיקרי שבו ניתן להשתמש באמצעי חוק כוח בניתוח סטטיסטי הוא ההומוגניות של האוכלוסייה, אשר לא אמורה להכיל נתונים ראשוניים הנבדלים באופן חד בערכם הכמותי (בספרות הם נקראים תצפיות חריגות).

הבה נדגים את חשיבותו של מצב זה בדוגמה הבאה.

דוגמה 6.1. חשב את הממוצע שכרעובדי עסקים קטנים.

טבלה 6.1. שכר עובדים

מס' עמ' / עמ'	משכורת, תשפשף.	מס' עמ' / עמ'	משכורת, תשפשף.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

כדי לחשב את השכר הממוצע, יש צורך לסכם את השכר שנצבר לכל עובדי המפעל (כלומר למצוא את קרן השכר) ולחלק במספר העובדים:

ועכשיו בואו נוסיף לכללנו רק אדם אחד (מנהל המפעל הזה), אבל עם שכר של 50,000 רובל. במקרה זה, הממוצע המחושב יהיה שונה לחלוטין:

כפי שאתה יכול לראות, זה עולה על 7,000 רובל, וכו '. הוא גדול מכל ערכי התכונה, למעט תצפית אחת.

כדי שמקרים כאלה לא יתרחשו בפועל, והממוצע לא יאבד את משמעותו (בדוגמה 6.1 הוא כבר לא ממלא תפקיד של מאפיין הכללה של האוכלוסייה, מה שצריך להיות), בחישוב הממוצע, חריג, יש להוציא תצפיות חריגות מהניתוח ולאחר מכן כדי להפוך את האוכלוסייה להומוגנית, או לחלק את האוכלוסייה לקבוצות הומוגניות ולחשב את הערכים הממוצעים עבור כל קבוצה ולנתח לא את הממוצע הכולל, אלא את ממוצעי הקבוצה.

6.1. ממוצע אריתמטי ותכונותיו

הממוצע האריתמטי מחושב כערך פשוט או כערך משוקלל.

בחישוב השכר הממוצע לפי הטבלה של דוגמה 6.1, הוספנו את כל ערכי התכונה וחלקנו במספרם. אנו כותבים את מהלך החישובים שלנו בצורה של נוסחה לממוצע האריתמטי של פשוט

כאשר x i - אפשרויות (ערכים בודדים של התכונה);

n הוא מספר היחידות באוכלוסייה.

דוגמה 6.2. עכשיו בואו נקבץ את הנתונים שלנו מהטבלה בדוגמה 6.1 וכו'. הבה נבנה סדרת וריאציות נפרדת של התפלגות העובדים לפי רמת השכר. תוצאות הקיבוץ מוצגות בטבלה.

נכתוב את הביטוי לחישוב רמת השכר הממוצעת בצורה קומפקטית יותר:

בדוגמה 6.2, הנוסחה המשוקללת של הממוצע האריתמטי יושמה

כאשר f i - תדרים המראים כמה פעמים הערך של התכונה x i y מתרחשת יחידות של האוכלוסייה.

חישוב הממוצע המשוקלל האריתמטי מתבצע בצורה נוחה בטבלה, כפי שמוצג להלן (טבלה 6.3):

טבלה 6.3. חישוב הממוצע האריתמטי בסדרה בדידה

נתונים ראשוניים	אינדיקטור משוער
משכורת, לשפשף.	מספר עובדים, אנשים	קרן שכר, לשפשף.
x i	fi	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
סה"כ	20	132 080

יש לציין כי הממוצע האריתמטי הפשוט משמש במקרים בהם הנתונים אינם מקובצים או מקובצים, אך כל התדרים שווים זה לזה.

לעתים קרובות תוצאות התצפית מוצגות כסדרת התפלגות מרווחים (ראה טבלה בדוגמה 6.4). לאחר מכן, בעת חישוב הממוצע, נקודות האמצע של המרווחים נלקחות כ-x i. אם המרווחים הראשונים והאחרונים פתוחים (אין להם אחד מהגבולות), אז הם "סגורים" על תנאי, תוך שימוש בערך המרווח הסמוך כערכים של המרווח הנתון וכו'. הראשון נסגר על סמך הערך של השני, והאחרון - על הערך של הלפני אחרון.

דוגמה 6.3. על סמך תוצאות סקר מדגם של אחת מקבוצות האוכלוסייה, אנו מחשבים את גודל ההכנסה הממוצעת במזומן לנפש.

בטבלה לעיל, אמצע המרווח הראשון הוא 500. אכן, ערכו של המרווח השני הוא 1000 (2000-1000); אז הגבול התחתון של הראשון הוא 0 (1000-1000), והאמצע שלו הוא 500. אנחנו עושים את אותו הדבר עם המרווח האחרון. אנו לוקחים 25,000 כאמצעי: הערך של המרווח הלפני אחרון הוא 10,000 (20,000-10,000), ואז הגבול העליון שלו הוא 30,000 (20,000 + 10,000), והאמצעי, בהתאמה, הוא 25,000.

טבלה 6.4. חישוב הממוצע האריתמטי בסדרת המרווחים

הכנסה ממוצעת לנפש במזומן, שפשוף. לחודש	אוכלוסייה לסך הכל, % f i	נקודות אמצע מרווח x i	x i f i
עד 1,000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20,000 ומעלה	10,4	25 000	260 000
סה"כ	100,0	-	892 850

אז ההכנסה החודשית הממוצעת לנפש תהיה

עכשיו בואו נדבר על איך לספור ערך ממוצע .
בצורתה הקלאסית, התיאוריה הכללית של הסטטיסטיקה מציעה לנו גרסה אחת של הכללים לבחירת הערך הממוצע.
ראשית עליך להכין נוסחה לוגית נכונה לחישוב הערך הממוצע (LFS). לכל ערך ממוצע תמיד יש רק נוסחה לוגית אחת לחישוב שלו, כך שקשה לטעות כאן. אבל עליך לזכור תמיד שבמונה (זה מה שנמצא על השבר) נמצא סכום כל התופעות, ובמכנה (מה שנמצא בתחתית השבר) סה"כאלמנטים.

לאחר הרכבת הנוסחה הלוגית, תוכלו להשתמש בכללים (למען נוחות ההבנה, נפשט ונפחית אותם):
1. אם המכנה של הנוסחה הלוגית מוצג בנתונים הראשוניים (נקבעים לפי תדירות), אזי החישוב מתבצע לפי נוסחת הממוצע האריתמטי המשוקלל.
2. אם המונה של הנוסחה הלוגית מוצג בנתונים הראשוניים, החישוב מתבצע לפי הנוסחה של הממוצע המשוקלל ההרמוני.
3. אם גם המונה וגם המכנה של נוסחה לוגית נמצאים בבעיה בבת אחת (זה קורה לעתים רחוקות), אז החישוב מתבצע באמצעות נוסחה זו או באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי הפשוט.
זהו רעיון קלאסי של בחירת הנוסחה הנכונה לחישוב הערך הממוצע. לאחר מכן, נציג את רצף הפעולות בפתרון בעיות לחישוב הערך הממוצע.

אלגוריתם לפתרון בעיות לחישוב הערך הממוצע

א. קבע את השיטה לחישוב הערך הממוצע - פשוט או משוקלל . אם הנתונים מוצגים בטבלה, אז אנחנו משתמשים בשיטה משוקללת, אם הנתונים מוצגים בספירה פשוטה אז אנחנו משתמשים בשיטת חישוב פשוטה.

ב. הגדר או סדר מוסכמות – איקס - אפשרות, ו - תדירות . וריאנט היא התופעה שעבורה רוצים למצוא את הערך הממוצע. שאר הנתונים בטבלה יהיו התדירות.

ב. אנו קובעים את הטופס לחישוב הערך הממוצע - אריתמטי או הרמוני . ההגדרה מתבצעת בעמודת התדירות. הצורה האריתמטית משמשת אם התדרים ניתנים במספר מפורש (בתנאי, אתה יכול להחליף את המילה חתיכות, את מספר האלמנטים "חתיכות" עבורם). הצורה ההרמונית משמשת אם התדרים ניתנים לא על ידי מספר מפורש, אלא על ידי אינדיקטור מורכב (המכפלה של הערך הממוצע והתדר).

הדבר הקשה ביותר הוא לנחש היכן וכמה ניתן, במיוחד עבור תלמיד חסר ניסיון בעניינים כאלה. במצב כזה, אתה יכול להשתמש באחת מהשיטות הבאות. למשימות מסוימות (כלכליות), ההצהרה שפותחה במהלך שנות התרגול (סעיף ב.1) מתאימה. במצבים אחרים, תצטרך להשתמש בסעיף ב.2.

ג.1 אם התדר נקבע ביחידות כספיות (ברובלים), אז הממוצע ההרמוני משמש לחישוב, הצהרה כזו נכונה תמיד אם התדר שזוהה נקבע בכסף, במצבים אחרים כלל זה אינו חל.

ב.2 השתמש בכללים לבחירת הערך הממוצע המצוין לעיל במאמר זה. אם התדירות ניתנת על ידי המכנה של הנוסחה הלוגית לחישוב הערך הממוצע, אזי אנו מחשבים לפי הצורה הממוצעת האריתמטית, אם התדירות ניתנת על ידי המונה של הנוסחה הלוגית לחישוב הערך הממוצע, אזי אנו מחשבים לפי ה- צורת ממוצע הרמונית.

שקול את הדוגמאות לשימוש באלגוריתם זה.

א. מאחר שהנתונים מוצגים בשורה, אנו משתמשים בשיטת חישוב פשוטה.

B.V. יש לנו רק נתונים על כמות הפנסיה, והם יהיו הגרסה שלנו - x. הנתונים מוצגים כמספר פשוט (12 אנשים), לצורך החישוב אנו משתמשים בממוצע האריתמטי הפשוט.

הפנסיה הממוצעת של פנסיונר היא 9208.3 רובל.

ב.מכיוון שנדרש למצוא את סכום התשלום הממוצע לילד, האפשרויות נמצאות בעמודה הראשונה, שם את הייעוד x, העמודה השנייה הופכת אוטומטית לתדירות f.

ג. התדירות (מספר הילדים) ניתנת על ידי מספר מפורש (אתה יכול להחליף את המילה חתיכות של ילדים, מנקודת המבט של השפה הרוסית, הביטוי לא נכון, אבל, למעשה, זה מאוד נוח check), כלומר הממוצע המשוקלל האריתמטי משמש לחישוב.

זה אופנתי לפתור את אותה בעיה לא בצורה נוסחתית, אלא בטבלה, כלומר להזין את כל הנתונים של חישובי ביניים בטבלה.

כתוצאה מכך, כל מה שצריך לעשות כעת הוא להפריד בין שני הסכומים בסדר הנכון.

התשלום הממוצע לילד לחודש היה 1,910 רובל.

א. מאחר שהנתונים מוצגים בטבלה, אנו משתמשים בטופס המשוקלל לחישוב.

ב. התדירות (עלות הפלט) נקבעת על ידי כמות מרומזת (התדר נקבעת ב רובל אלגוריתם פריט B1), כלומר הממוצע המשוקלל ההרמוני משמש לחישוב. באופן כללי, למעשה, עלות הייצור היא אינדיקטור מורכב, אשר מתקבל על ידי הכפלת העלות של יחידה של מוצר במספר מוצרים כאלה, זוהי המהות של הערך ההרמוני הממוצע.

על מנת שבעיה זו תיפתר באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי, יש צורך שבמקום עלות הייצור, יהיה מספר המוצרים עם העלות המתאימה.

שימו לב שהסכום במכנה, המתקבל לאחר חישובים 410 (120 + 80 + 210) הוא המספר הכולל של המוצרים המיוצרים.

עלות היחידה הממוצעת של מוצר הייתה 314.4 רובל.

א. מאחר שהנתונים מוצגים בטבלה, אנו משתמשים בטופס המשוקלל לחישוב.

ב.מכיוון שנדרש למצוא את עלות היחידה הממוצעת, האפשרויות נמצאות בעמודה הראשונה, שם את הייעוד x, העמודה השנייה הופכת אוטומטית לתדר f.

ב. התדירות (מספר הפערים הכולל) ניתנת במספר מרומז (הוא מכפלה של שני אינדיקטורים של מספר הפערים ומספר התלמידים עם מספר פערים כזה), כלומר הממוצע המשוקלל ההרמוני הוא משמש לחישוב. נשתמש בנקודה של האלגוריתם B2.

על מנת שבעיה זו תיפתר באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי, יש צורך שבמקום מספר כוללעוברים היה מספר התלמידים.

אנו מכינים נוסחה הגיונית לחישוב מספר המעבר הממוצע לתלמיד.

תדירות לפי מצב הבעיה סך כל המעברים. בנוסחה הלוגית, מחוון זה נמצא במונה, מה שאומר שאנו משתמשים בנוסחת הממוצע ההרמוני.

שימו לב שהסכום במכנה לאחר חישוב 31 (18+8+5) הוא סך התלמידים.

ממוצע ההיעדרויות לתלמיד הוא 13.8 ימים.

נושא הממוצע האריתמטי והגיאומטרי כלול בתכנית המתמטיקה לכיתות ו'-ז'. מכיוון שהפסקה די פשוטה להבנה, היא עוברת במהירות, ועד סוף שנת הלימודים, התלמידים שוכחים אותה. אבל יש צורך בידע בסטטיסטיקה בסיסית עבור עובר את הבחינה, כמו גם עבור בחינות בינלאומיותישב. כן ועבור חיי היום - יוםחשיבה אנליטית מפותחת אף פעם לא מזיק.

כיצד לחשב את הממוצע האריתמטי והגיאומטרי של מספרים

נניח שיש סדרה של מספרים: 11, 4 ו-3. הממוצע האריתמטי הוא סכום כל המספרים חלקי מספר המספרים הנתונים. כלומר, במקרה של המספרים 11, 4, 3, התשובה תהיה 6. איך מתקבל 6?

פתרון: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

המכנה חייב להכיל מספר השווה למספר המספרים שיש למצוא את הממוצע שלהם. הסכום מתחלק ב-3, מכיוון שיש שלושה איברים.

כעת עלינו להתמודד עם הממוצע הגיאומטרי. נניח שיש סדרה של מספרים: 4, 2 ו-8.

הממוצע הגיאומטרי הוא המכפלה של כל המספרים הנתונים, שנמצא מתחת לשורש עם מעלה השווה למספר המספרים הנתונים. כלומר, במקרה של המספרים 4, 2 ו-8, התשובה היא 4. כך זה קרה :

פתרון: ∛(4 × 2 × 8) = 4

בשתי האפשרויות התקבלו תשובות שלמות, שכן מספרים מיוחדים נלקחו כדוגמה. זה לא תמיד המצב. ברוב המקרים, יש לעגל את התשובה או להשאיר אותה בשורש. לדוגמה, עבור המספרים 11, 7 ו-20, הממוצע האריתמטי הוא ≈ 12.67, והממוצע הגיאומטרי הוא ∛1540. ולמספרים 6 ו-5, התשובות, בהתאמה, יהיו 5.5 ו-√30.

האם יכול לקרות שהממוצע האריתמטי ישתווה לממוצע הגיאומטרי?

כמובן שזה יכול. אבל רק בשני מקרים. אם יש סדרת מספרים המורכבת רק מאחד או מאפסים. ראוי לציין גם שהתשובה אינה תלויה במספרם.

הוכחה עם יחידות: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (ממוצע אריתמטי).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (ממוצע גיאומטרי).

הוכחה עם אפסים: (0 + 0) / 2=0 (ממוצע אריתמטי).

√(0 × 0) = 0 (ממוצע גיאומטרי).

אין אפשרות אחרת ולא יכולה להיות.

למונח זה יש משמעויות אחרות, ראה המשמעות הממוצעת.

מְמוּצָע(במתמטיקה ובסטטיסטיקה) קבוצות של מספרים - סכום כל המספרים חלקי מספרם. זהו אחד המדדים הנפוצים ביותר של נטייה מרכזית.

הוא הוצע (יחד עם הממוצע הגיאומטרי והממוצע ההרמוני) על ידי הפיתגוראים.

מקרים מיוחדים של הממוצע האריתמטי הם הממוצע (של האוכלוסייה הכללית) וממוצע המדגם (של המדגמים).

מבוא

סמן את קבוצת הנתונים איקס = (איקס 1 , איקס 2 , …, איקס נ), אז ממוצע המדגם מסומן בדרך כלל בפס אופקי מעל המשתנה (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), מבוטא " איקסעם מקף").

האות היוונית μ משמשת לציון הממוצע האריתמטי של כל האוכלוסייה. עבור משתנה אקראי שעבורו מוגדר ערך ממוצע, μ הוא ממוצע הסתברותאו הציפייה המתמטית של משתנה מקרי. אם הסט איקסהוא אוסף של מספרים אקראיים עם ממוצע הסתברות μ, ואז עבור כל מדגם איקס אנימהאוסף הזה μ = E( איקס אני) היא הציפייה ממדגם זה.

בפועל, ההבדל בין μ ל-x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) הוא ש-μ הוא משתנה טיפוסי מכיוון שניתן לראות את המדגם ולא את כל האוכלוסייה. לכן, אם המדגם מיוצג באופן אקראי (מבחינת תורת ההסתברות), אז ניתן להתייחס ל-x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (אך לא μ) כמשתנה אקראי בעל התפלגות הסתברות על המדגם ( התפלגות ההסתברות של הממוצע).

שתי הכמויות הללו מחושבות באותו אופן:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

אם איקסהוא משתנה אקראי, ואז הציפייה המתמטית איקסיכול להיחשב כממוצע האריתמטי של הערכים במדידות חוזרות ונשנות של הכמות איקס. זהו ביטוי של החוק מספרים גדולים. לכן, ממוצע המדגם משמש להערכת התוחלת המתמטית הלא ידועה.

באלגברה יסודית, מוכח שהממוצע נ+ מספר 1 מעל הממוצע נמספרים אם ורק אם המספר החדש גדול מהממוצע הישן, פחות אם ורק אם המספר החדש קטן מהממוצע, ואינו משתנה אם ורק אם המספר החדש שווה לממוצע. יותר נ, ככל שההפרש בין הממוצע החדש והישן קטן יותר.

שים לב שיש עוד כמה "אמצעים" זמינים, כולל ממוצע חוק הכוח, ממוצע קולמוגורוב, ממוצע הרמוני, ממוצע אריתמטי-גיאומטרי ואמצעים משוקללים שונים (למשל, ממוצע משוקלל אריתמטי, ממוצע משוקלל גיאומטרי, ממוצע משוקלל הרמוני) .

דוגמאות

• עבור שלושה מספרים, עליך להוסיף אותם ולחלק ב-3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• עבור ארבעה מספרים, עליך להוסיף אותם ולחלק ב-4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

או קל יותר 5+5=10, 10:2. בגלל שהוספנו 2 מספרים, מה שאומר שכמה מספרים נוסיף, אנחנו מחלקים בהרבה.

משתנה מקרי מתמשך

עבור ערך מבוזר ברציפות f (x) (\displaystyle f(x)) הממוצע האריתמטי על המרווח [ a ; b ] (\displaystyle) מוגדר באמצעות אינטגרל מוגדר:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

כמה בעיות של שימוש בממוצע

חוסר חוסן

מאמר מרכזי: איתנות בסטטיסטיקה

למרות שהממוצע האריתמטי משמש לעתים קרובות כאמצעי או מגמה מרכזית, מושג זה אינו חל על סטטיסטיקה חזקה, כלומר הממוצע האריתמטי מושפע מאוד מ"סטיות גדולות". ראוי לציין כי עבור התפלגויות עם נטייה גדולה, הממוצע האריתמטי עשוי שלא להתאים למושג "ממוצע", ​​וערכי הממוצע מסטטיסטיקה איתנה (לדוגמה, החציון) עשויים לתאר טוב יותר את המגמה המרכזית.

הדוגמה הקלאסית היא חישוב ההכנסה הממוצעת. הממוצע האריתמטי יכול להתפרש בצורה לא נכונה כחציון, מה שיכול להוביל למסקנה שיש יותר אנשים עם יותר הכנסה ממה שיש באמת. הכנסה "ממוצעת" מתפרשת כך שההכנסה של רוב האנשים קרובה למספר הזה. הכנסה "ממוצעת" זו (במובן הממוצע האריתמטי) גבוהה מההכנסה של רוב האנשים, שכן הכנסה גבוהה עם סטייה גדולה מהממוצע גורמת לממוצע החשבוני להטות חזק (לעומת זאת, ההכנסה החציונית "מתנגדת" הטיה כזו). עם זאת, הכנסה "ממוצעת" זו אינה אומרת דבר על מספר האנשים הקרובים להכנסה החציונית (ולא אומרת דבר על מספר האנשים הקרובים להכנסה המודאלית). עם זאת, אם לוקחים בקלות ראש במושגים של "ממוצע" ו"רוב", אז ניתן להסיק באופן שגוי שלרוב האנשים יש הכנסה גבוהה ממה שהם בפועל. לדוגמה, דוח על ההכנסה הנטו ה"ממוצעת" במדינה, וושינגטון, המחושבת כממוצע האריתמטי של כל ההכנסות השנתיות נטו של התושבים, ייתן מספר גבוה באופן מפתיע בשל ביל גייטס. שקול את המדגם (1, 2, 2, 2, 3, 9). הממוצע האריתמטי הוא 3.17, אך חמישה מתוך ששת הערכים נמצאים מתחת לממוצע זה.

רבית דרבית

מאמר מרכזי: רועי

אם מספרים לְהַכפִּיל, אבל לא לְקַפֵּל, עליך להשתמש בממוצע הגיאומטרי, לא בממוצע האריתמטי. לרוב, אירוע זה קורה בעת חישוב ההחזר על ההשקעה בפיננסים.

לדוגמה, אם המניות ירדו ב-10% בשנה הראשונה ועלו ב-30% בשנה השנייה, אז זה לא נכון לחשב את העלייה ה"ממוצעת" בשנתיים אלו כממוצע האריתמטי (-10% + 30%) / 2 = 10%; הממוצע הנכון במקרה זה ניתן על ידי קצב הגידול השנתי המורכב, ממנו הצמיחה השנתית היא רק כ-8.16653826392% ≈ 8.2%.

הסיבה לכך היא שלאחוזים יש נקודת התחלה חדשה בכל פעם: 30% הם 30% ממספר נמוך מהמחיר בתחילת השנה הראשונה:אם המניה התחילה ב-$30 וירדה ב-10%, היא שווה 27$ בתחילת השנה השנייה. אם המניה עולה ב-30%, היא שווה 35.1 דולר בסוף השנה השנייה. הממוצע האריתמטי של צמיחה זו הוא 10%, אך מכיוון שהמניה גדלה רק ב-5.1 דולר בשנתיים, עלייה ממוצעת של 8.2% נותנת תוצאה סופית של 35.1 דולר:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. אם נשתמש בממוצע באותו אופן ערך אריתמטי 10%, אנחנו לא מקבלים את הערך האמיתי: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

ריבית דריבית בסוף שנה 2: 90% * 130% = 117%, כלומר עלייה כוללת של 17%, והריבית הדריבית השנתית הממוצעת היא 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \בערך 108.2\%) , כלומר גידול שנתי ממוצע של 8.2%.

כיוונים

מאמר מרכזי: סטטיסטיקת יעדים

בעת חישוב הממוצע האריתמטי של משתנה כלשהו המשתנה באופן מחזורי (לדוגמה, פאזה או זווית), יש לנקוט זהירות מיוחדת. לדוגמה, הממוצע של 1° ו-359° יהיה 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. מספר זה אינו נכון משתי סיבות.

• ראשית, מדדים זוויתיים מוגדרים רק לטווח שבין 0° ל-360° (או מ-0 ל-2π כאשר נמדדים ברדיאנים). לפיכך, אותו זוג מספרים יכול להיכתב כ-(1° ו-1°) או כ-(1° ו-719°). הממוצעים של כל זוג יהיו שונים: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• שנית, במקרה זה, ערך של 0° (שווה ערך ל-360°) יהיה הממוצע הטוב ביותר מבחינה גיאומטרית, מכיוון שהמספרים סוטים פחות מ-0 מעלות מכל ערך אחר (לערך 0° יש את השונות הקטנה ביותר). לְהַשְׁווֹת:
  • המספר 1° סוטה מ-0° ב-1° בלבד;
  • המספר 1° חורג מהממוצע המחושב של 180° על 179°.

הערך הממוצע של משתנה מחזורי, המחושב לפי הנוסחה לעיל, יוסט באופן מלאכותי ביחס לממוצע האמיתי לאמצע הטווח המספרי. בגלל זה, הממוצע מחושב בצורה שונה, כלומר, המספר עם השונות הקטנה ביותר נבחר כערך הממוצע ( נקודה מרכזית). כמו כן, במקום לגרוע, נעשה שימוש במרחק מודולו (כלומר, מרחק היקפי). לדוגמה, המרחק המודולרי בין 1° ל-359° הוא 2°, לא 358° (במעגל בין 359° ל-360°==0° - מעלה אחת, בין 0° ל-1° - גם 1°, בסך הכל - 2 מעלות).

4.3. ערכים ממוצעים. מהות ומשמעות של ממוצעים

ערך ממוצעבסטטיסטיקה נקרא אינדיקטור מכליל, המאפיין את הרמה האופיינית של תופעה בתנאים ספציפיים של מקום וזמן, המשקף את גודלה של תכונה משתנה ליחידה של אוכלוסייה הומוגנית איכותית. בפרקטיקה הכלכלית, נעשה שימוש במגוון רחב של אינדיקטורים, המחושבים כממוצעים.

לדוגמה, אינדיקטור כללי להכנסה של עובדים חברת מניות משותפת(JSC) היא ההכנסה הממוצעת של עובד אחד, שנקבעת על פי היחס בין קופת השכר והתשלומים הסוציאליים לתקופה הנסקרת (שנה, רבעון, חודש) למספר העובדים ב-JSC.

חישוב הממוצע הוא טכניקת הכללה נפוצה אחת; המדד הממוצע משקף את הכללי האופייני (אופייני) לכל יחידות האוכלוסייה הנחקרת, ובמקביל הוא מתעלם מההבדלים בין יחידות בודדות. בכל תופעה והתפתחותה יש שילוב הִזדַמְנוּתו צוֹרֶך.בעת חישוב ממוצעים, עקב פעולת חוק המספרים הגדולים, האקראיות מבטלת זה את זה, מתאזנת, לכן ניתן להפשט מהתכונות הבלתי משמעותיות של התופעה, מהערכים הכמותיים של התכונה בכל ספציפית. מקרה. ביכולת ההפשטה מהאקראיות של ערכים בודדים, תנודות טמונה בערך המדעי של ממוצעים. תִמצוּתמאפיינים מצטברים.

כאשר יש צורך בהכללה, החישוב של מאפיינים כאלה מוביל להחלפה של ערכים בודדים רבים ושונים של התכונה בינונימדד המאפיין את מכלול התופעות, המאפשר לזהות את הדפוסים הטמונים בתופעות חברתיות המוניות, בלתי מורגשות בתופעות בודדות.

הממוצע משקף את הרמה האופיינית, האופיינית, האמיתית של התופעות הנחקרות, מאפיין את הרמות הללו ואת שינוייהן בזמן ובמרחב.

הממוצע הוא מאפיין סיכום של סדירות התהליך בתנאים שבהם הוא מתקדם.

4.4. סוגי ממוצעים ושיטות לחישובם

בחירת סוג הממוצע נקבעת על פי התוכן הכלכלי של אינדיקטור מסוים והנתונים הראשוניים. בכל מקרה, אחד מהערכים הממוצעים מוחל: חשבון, גארמוניק, גיאומטרי, ריבועי, מעוקבוכו ' הממוצעים הרשומים שייכים לכיתה כּוֹחַבינוני.

בנוסף לממוצעי חוק הכוח, בפרקטיקה הסטטיסטית, משתמשים בממוצעים מבניים, הנחשבים למוד ולחציון.

הבה נתעכב ביתר פירוט על אמצעי כוח.

ממוצע אריתמטי

הסוג הנפוץ ביותר של ממוצע הוא מְמוּצָע חֶשְׁבּוֹן.הוא משמש במקרים שבהם הנפח של תכונה משתנה עבור כלל האוכלוסייה הוא סכום ערכי התכונות של היחידות הבודדות שלה. תופעות חברתיות מאופיינות בתוספת (סיכום) של הנפחים של תכונה משתנה, זה קובע את היקף הממוצע האריתמטי ומסביר את שכיחותו כאינדיקטור מכליל, למשל: קרן השכר הכוללת היא סכום השכר של כלל העובדים , הקציר ברוטו הוא סכום התפוקה מכל שטח הזריעה.

כדי לחשב את הממוצע האריתמטי, עליך לחלק את הסכום של כל ערכי התכונה במספרם.

הממוצע האריתמטי מיושם בצורה ממוצע פשוט וממוצע משוקלל.הממוצע הפשוט משמש כצורה הראשונית, המגדירה.

ממוצע אריתמטי פשוטשווה לסכום הפשוט של הערכים האישיים של התכונה הממוצעת, חלקי המספר הכולל של ערכים אלה (הוא משמש במקרים שבהם יש ערכים בודדים לא מקובצים של התכונה):

איפה
- ערכים בודדים של המשתנה (אפשרויות); M - מספר יחידות אוכלוסייה.

מגבלות סיכום נוספות בנוסחאות לא יצוינו. למשל, נדרש למצוא את התפוקה הממוצעת של עובד אחד (מנעולן), אם ידוע כמה חלקים ייצר כל אחד מ-15 עובדים, כלומר. בהינתן מספר ערכים בודדים של התכונה, יחידות:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

הממוצע האריתמטי הפשוט מחושב על ידי הנוסחה (4.1), 1 pc.:

הממוצע של האפשרויות שחוזרות על עצמן מספר פעמים שונה, או שנאמר שיש להן משקל שונה, נקרא מְשׁוּקלָל.המשקולות הן מספר היחידות ב קבוצות שונותאגרגטים (אותן אפשרויות משולבות לקבוצה).

ממוצע משוקלל אריתמטי- ערכים מקובצים ממוצעים, - מחושב על ידי הנוסחה:

, (4.2)

איפה
- משקולות (תדירות החזרה על אותן תכונות);

- סכום התוצרים של גודל התכונות לפי התדרים שלהן;

- המספר הכולל של יחידות האוכלוסייה.

נמחיש את הטכניקה לחישוב הממוצע המשוקלל האריתמטי באמצעות הדוגמה שנדונה לעיל. לשם כך, אנו מקבצים את הנתונים הראשוניים וממקמים אותם בטבלה. 4.1.

טבלה 4.1

חלוקת עובדים לפיתוח חלקים

לפי הנוסחה (4.2), הממוצע המשוקלל האריתמטי שווה, חתיכות:

במקרים מסוימים, המשקולות יכולות להיות מיוצגות לא על ידי ערכים מוחלטים, אלא על ידי ערכים יחסיים (באחוזים או שברים של יחידה). אז הנוסחה עבור הממוצע המשוקלל האריתמטי תיראה כך:

איפה
- בפרט, כלומר. חלקה של כל תדר בסכום הכולל של כולם

אם התדרים נספרים בשברים (מקדמים), אז
= 1, והנוסחה עבור הממוצע המשוקלל אריתמטית היא:

חישוב הממוצע המשוקלל האריתמטי מתוך ממוצעי הקבוצה מבוצע על פי הנוסחה:

,

איפה ו-מספר יחידות בכל קבוצה.

תוצאות חישוב הממוצע האריתמטי של האמצעים הקבוצתיים מוצגות בטבלה. 4.2.

טבלה 4.2

התפלגות העובדים לפי משך שירות ממוצע

בדוגמה זו, האפשרויות אינן נתונים אישיים על משך השירות של עובדים בודדים, אלא ממוצעים עבור כל סדנה. מאזניים והם מספר העובדים בחנויות. מכאן שניסיון העבודה הממוצע של עובדים ברחבי המיזם יהיה שנים:

.

חישוב הממוצע האריתמטי בסדרת ההתפלגות

אם הערכים של התכונה הממוצעת ניתנים כמרווחים ("מ - עד"), כלומר. סדרת התפלגות מרווחים, אז בעת חישוב הערך הממוצע האריתמטי, נקודות האמצע של המרווחים הללו נלקחות כערכים של התכונות בקבוצות, וכתוצאה מכך נוצרת סדרה בדיד. שקול את הדוגמה הבאה (טבלה 4.3).

הבה נעבור מסדרת מרווחים לסדרה בדידה על ידי החלפת ערכי המרווחים בערכי הממוצע שלהם / (ממוצע פשוט

טבלה 4.3

התפלגות עובדי AO לפי גובה השכר החודשי

קבוצות עובדים עבור	מספר עובדים	אמצע המרווח
שכר, לשפשף.	פרס., ו	לשפשף., איקס
900 ומעלה

ערכי המרווחים הפתוחים (ראשון ואחרון) מושווים באופן מותנה למרווחים הסמוכים אליהם (שני ולפני אחרון).

בחישוב כזה של הממוצע, מותר אי דיוק מסוים, שכן ניתנת הנחה לגבי חלוקה אחידה של יחידות התכונה בתוך הקבוצה. עם זאת, השגיאה תהיה קטנה יותר, ככל שהמרווח צר יותר ויותר יחידות במרווח.

לאחר מציאת נקודות האמצע של המרווחים החישובים מתבצעים באותו אופן כמו בסדרה בדידה - האפשרויות מוכפלות בתדרים (משקלים) וסכום התוצרים מחולק בסכום התדרים (משקלים) , אלף רובל:

.

כך, רמה ממוצעתהשכר של עובדי חברת המניות הוא 729 רובל. לחודש.

חישוב הממוצע האריתמטי קשור לרוב בהוצאה רבה של זמן ועבודה. עם זאת, במקרים מסוימים, ניתן לפשט ולהקל את הליך חישוב הממוצע על ידי שימוש במאפייניו. הבה נציג (ללא הוכחה) כמה מאפיינים בסיסיים של הממוצע האריתמטי.

נכס 1. אם כל הערכים המאפיינים האישיים (כלומר. כל האפשרויות) להקטין או להגדיל אניפעמים, ואז הערך הממוצע של תכונה חדשה יקטן או יגדל בהתאם ב אניפַּעַם.

נכס 2. אם כל הווריאציות של התכונה הממוצעת מופחתותלתפור או להגדיל במספר A, ולאחר מכן בממוצע האריתמטילהקטין או להגדיל באופן משמעותי באותו מספר A.

נכס 3. אם משקלי כל האופציות הממוצעות מופחתות או להגדיל ל ל פעמים, הממוצע האריתמטי לא ישתנה.

בתור משקלים ממוצעים, במקום אינדיקטורים מוחלטים, אתה יכול להשתמש במשקלים ספציפיים בסך הכולל (מניות או אחוזים). זה מפשט את חישוב הממוצע.

כדי לפשט את חישובי הממוצע, הם הולכים בדרך של הפחתת ערכי האפשרויות והתדרים. הפשטות הגדולה ביותר מושגת כאשר אהערך של אחת מהאפשרויות המרכזיות עם התדירות הגבוהה ביותר נבחר כ- / - הערך של המרווח (עבור שורות עם אותם מרווחים). הערך של L נקרא המקור, ולכן שיטה זו של חישוב הממוצע נקראת "שיטת הספירה מאפס מותנה" או "שיטת הרגעים".

בואו נניח שכל האפשרויות איקסתחילה מופחת באותו מספר A, ולאחר מכן מופחת פנימה אניפַּעַם. אנו מקבלים סדרת הפצה וריאציונית חדשה של וריאציות חדשות .

לאחר מכן אפשרויות חדשותיבוא לידי ביטוי:

,

והממוצע האריתמטי החדש שלהם , -רגע הצו הראשון- נוסחה:

.

זה שווה לממוצע של האופציות המקוריות, תחילה מופחת ב א,ואז פנימה אניפַּעַם.

כדי לקבל את הממוצע האמיתי, אתה צריך רגע מהסדר הראשון M 1 , להכפיל ב אניותוסיף א:

.

השיטה הזאתחישוב הממוצע האריתמטי מסדרת הווריאציות נקרא "שיטת הרגעים".שיטה זו מיושמת בשורות עם מרווחים שווים.

חישוב הממוצע האריתמטי בשיטת המומנטים מומחש על ידי הנתונים בטבלה. 4.4.

טבלה 4.4

התפלגות מפעלים קטנים באזור לפי שווי נכסי ייצור קבועים (OPF) בשנת 2000

קבוצות של ארגונים לפי עלות OPF, אלף רובל	מספר מפעלים ו	מרווחי ביניים, איקס
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

מציאת הרגע של הצו הראשון

.

לאחר מכן, בהנחה A = 19 ולדעת את זה אני= 2, חשב איקס,אלף רובל.:

סוגי ערכים ממוצעים ושיטות לחישובם

בשלב עיבוד סטטיסטיניתן להגדיר מגוון בעיות מחקר, אשר לפתרון שלהן יש צורך לבחור את הממוצע המתאים. במקרה זה, יש צורך להיות מונחה על ידי הכלל הבא: הערכים המייצגים את המונה והמכנה של הממוצע חייבים להיות קשורים זה לזה באופן הגיוני.

• ממוצעי כוח;
• ממוצעים מבניים.

הבה נציג את הסימון הבא:

הערכים שעבורם מחושב הממוצע;

ממוצע, כאשר השורה למעלה מציינת כי ממוצע של ערכים בודדים מתבצע;

תדירות (חזרה על ערכי תכונה אינדיבידואלית).

אמצעים שונים נגזרים מנוסחת ממוצע הכוח הכללי:

(5.1)

עבור k = 1 - ממוצע אריתמטי; k = -1 - ממוצע הרמוני; k = 0 - ממוצע גיאומטרי; k = -2 - ריבוע ממוצע של שורש.

הממוצעים הם פשוטים או משוקללים. ממוצעים משוקלליםנקראות כמויות שלוקחות בחשבון שחלק מהווריאציות של ערכי התכונה עשויות להיות בעלות מספרים שונים, ולכן יש להכפיל כל גרסה במספר זה. במילים אחרות, ה"משקלים" הם מספרי יחידות האוכלוסייה בקבוצות שונות, כלומר. כל אפשרות "שוקלת" לפי התדירות שלה. התדר f נקרא משקל סטטיסטיאוֹ משקל ממוצע.

ממוצע אריתמטי- הסוג הנפוץ ביותר של מדיום. הוא משמש כאשר החישוב מתבצע על נתונים סטטיסטיים לא מקובצים, שם אתה רוצה לקבל את הסיכום הממוצע. הממוצע האריתמטי הוא ערך ממוצע כזה של תכונה, שעם קבלתו הנפח הכולל של התכונה באוכלוסיה נותר ללא שינוי.

נוסחת הממוצע האריתמטי ( פָּשׁוּט) יש את הטופס

כאשר n הוא גודל האוכלוסייה.

לדוגמה, השכר הממוצע של עובדי מיזם מחושב כממוצע האריתמטי:

המדדים הקובעים כאן הם השכר של כל עובד ומספר העובדים במפעל. בחישוב הממוצע, סכום השכר הכולל נותר זהה, אך התחלק, כביכול, שווה בשווה בין כל העובדים. לדוגמה, יש צורך לחשב את השכר הממוצע של עובדים בחברה קטנה בה מועסקים 8 אנשים:

בעת חישוב ממוצעים, ניתן לחזור על ערכים בודדים של התכונה שנקבעה בממוצע, כך שהממוצע מחושב באמצעות נתונים מקובצים. במקרה הזה אנחנו מדבריםלגבי השימוש ממוצע אריתמטי משוקלל, שנראה כמו

(5.3)

אז אנחנו צריכים לחשב את מחיר המניה הממוצע של חברה משותפת בבורסה. ידוע שעסקאות בוצעו תוך 5 ימים (5 עסקאות), מספר המניות שנמכרו בשער המכירה התחלק באופן הבא:

1 - 800 ac. - 1010 רובל

2 - 650 ac. - 990 לשפשף.

3 - 700 אק. - 1015 רובל.

4 - 550 ac. - 900 שפשוף.

5 - 850 אק. - 1150 רובל.

היחס הראשוני לקביעת מחיר המניה הממוצע הוא היחס בין כמות העסקאות הכוללת (OSS) למספר המניות שנמכרו (KPA).

5.1. מושג הממוצע

ערך ממוצע -זהו אינדיקטור מכליל המאפיין את הרמה האופיינית של התופעה. הוא מבטא את ערך התכונה, הקשור ליחידת האוכלוסייה.

הממוצע תמיד מכליל את הווריאציה הכמותית של התכונה, כלומר. בערכים ממוצעים מתבטלים הבדלים בודדים ביחידות האוכלוסייה עקב נסיבות אקראיות. בניגוד לממוצע, הערך המוחלט המאפיין את רמת התכונה של יחידה בודדת באוכלוסייה אינו מאפשר השוואה בין ערכי התכונה עבור יחידות השייכות לאוכלוסיות שונות. לכן, אם אתה צריך להשוות את רמות התגמול של עובדים בשני מפעלים, אז אתה לא יכול להשוות לפי תכונה נתונהשני עובדים מחברות שונות. ייתכן ששכר העובדים שנבחר להשוואה אינו אופייני למפעלים אלה. אם נשווה את היקף כספי השכר במפעלים הנבחנים, הרי שמספר העובדים לא נלקח בחשבון ולכן לא ניתן לקבוע היכן גובה השכר גבוה יותר. בסופו של דבר, ניתן להשוות רק ממוצעים, כלומר. כמה מרוויח עובד אחד בממוצע בכל חברה? לפיכך, יש צורך לחשב את הערך הממוצע כמאפיין הכללה של האוכלוסייה.

חישוב הממוצע הוא טכניקת הכללה נפוצה אחת; המדד הממוצע שולל את הכלל האופייני (אופייני) לכל יחידות האוכלוסייה הנחקרת, יחד עם זאת הוא מתעלם מההבדלים בין יחידות בודדות. בכל תופעה והתפתחותה יש שילוב של סיכוי והכרח. בעת חישוב ממוצעים, עקב פעולת חוק המספרים הגדולים, האקראיות מבטלת זה את זה, מתאזנת, לכן ניתן להפשט מהתכונות הבלתי משמעותיות של התופעה, מהערכים הכמותיים של התכונה בכל ספציפית. מקרה. ביכולת הפשטה מאקראיות של ערכים בודדים, תנודות, טמון הערך המדעי של ממוצעים כמאפיינים הכללים של אגרגטים.

כדי שהממוצע יהיה באמת מאפיין, יש לחשב אותו תוך התחשבות בעקרונות מסוימים.

בואו נתעכב על כמה עקרונות כללייםהשימוש בממוצעים.
1. יש לקבוע את הממוצע עבור אוכלוסיות המורכבות מיחידות הומוגניות מבחינה איכותית.
2. יש לחשב את הממוצע עבור אוכלוסייה המורכבת ממספיק מספר גדוליחידות.
3. יש לחשב את הממוצע לאוכלוסייה שיחידותיה במצב טבעי נורמלי.
4. יש לחשב את הממוצע תוך התחשבות בתוכן הכלכלי של המדד הנבדק.

5.2. סוגי ממוצעים ושיטות לחישובם

הבה נבחן כעת את סוגי הממוצעים, תכונות החישוב שלהם ותחומי היישום. ערכים ממוצעים מחולקים לשתי מחלקות גדולות: ממוצעי הספק, ממוצעים מבניים.

ל כוח אומרכוללים את הסוגים המפורסמים והנפוץ ביותר כמו ממוצע גיאומטרי, ממוצע אריתמטי וריבוע ממוצע.

כפי ש ממוצעים מבנייםמצב וחציון נחשבים.

הבה נתעכב על ממוצעי כוח. ממוצעי הספק, בהתאם להצגת הנתונים הראשוניים, יכולים להיות פשוטים ומשוקללים. ממוצע פשוטמחושב מנתונים לא מקובצים ויש לו את הצורה הכללית הבאה:

כאשר X i הוא הווריאציה (הערך) של התכונה הממוצעת;

n הוא מספר האפשרויות.

ממוצע משוקללמחושב לפי נתונים מקובצים ויש לו צורה כללית

,

כאשר X i הוא הווריאציה (הערך) של התכונה הממוצעת או הערך האמצעי של המרווח שבו הווריאציה נמדדת;
m הוא המעריך של הממוצע;
f i - תדירות המראה כמה פעמים הוא מתרחש ערך i-thסימן ממוצע.

ניתן כדוגמה את חישוב הגיל הממוצע של תלמידים בקבוצה של 20 אנשים:

אנו מחשבים את הגיל הממוצע באמצעות נוסחת הממוצע הפשוטה:

בואו נקבץ את נתוני המקור. אנו מקבלים את סדרת ההפצה הבאה:

כתוצאה מקיבוץ, אנו מקבלים מחוון חדש - תדירות, המציין את מספר התלמידים בגילאי X שנים. לפיכך, הגיל הממוצע של התלמידים בקבוצה יחושב באמצעות נוסחת הממוצע המשוקלל:

לנוסחאות כלליות לחישוב ממוצעים מעריכי יש מעריך (m). בהתאם לערך הנחוץ, נבדלים בין הסוגים הבאים של ממוצעי הספק:
ממוצע הרמוני אם m = -1;
ממוצע גיאומטרי אם m –> 0;
ממוצע אריתמטי אם m = 1;
שורש ממוצע ריבוע אם m = 2;
ממוצע מעוקב אם m = 3.

נוסחאות ממוצע העוצמה ניתנות בטבלה. 4.4.

אם נחשב את כל סוגי הממוצעים עבור אותם נתונים ראשוניים, הערכים שלהם לא יהיו זהים. כאן חל כלל העיקריות של הממוצעים: עם עלייה במעריך m, הערך הממוצע המתאים גם גדל:

בתרגול סטטיסטי, לעתים קרובות יותר מאשר סוגים אחרים של ממוצעים משוקללים, משתמשים בממוצעים משוקללים אריתמטיים והרמוניים.

טבלה 5.1

סוגי אמצעי כוח

סוג הכוח אֶמצַע	אינדקס מעלות (מ')	נוסחת חישוב
		פָּשׁוּט	מְשׁוּקלָל
הַרמוֹנִי	-1
גֵאוֹמֶטרִי	0
חֶשְׁבּוֹן	1
רִבּוּעִי	2
מְעוּקָב	3

לממוצע ההרמוני יש יותר מבנה מורכבמאשר הממוצע האריתמטי. הממוצע ההרמוני משמש לחישובים כאשר המשקלים אינם יחידות האוכלוסייה - נשאי התכונה, אלא תוצרי היחידות הללו וערכי התכונה (כלומר m = Xf). יש להשתמש בזמן ההשבתה ההרמוני הממוצע במקרים של קביעת, למשל, עלויות העבודה הממוצעות, זמן, חומרים ליחידת ייצור, לחלק עבור שני (שלושה, ארבעה וכו') מפעלים, עובדים העוסקים בייצור של אותו סוג של מוצר, אותו חלק, מוצר.

הדרישה העיקרית לנוסחה לחישוב הערך הממוצע היא שלכל שלבי החישוב תהיה הצדקה משמעותית של ממש; הערך הממוצע המתקבל צריך להחליף את הערכים האישיים של התכונה עבור כל אובייקט מבלי לשבור את הקשר בין אינדיקטורים בודדים לסיכום. במילים אחרות, יש לחשב את הערך הממוצע באופן שכאשר כל ערך בודד של המדד הממוצע מוחלף בערכו הממוצע, אינדיקטור סיכום סופי כלשהו, ​​המחובר בדרך זו או אחרת לממוצע, נשאר ללא שינוי. תוצאה זו נקראת קובעשכן אופי הקשר שלו עם ערכים בודדים קובע את הנוסחה הספציפית לחישוב הערך הממוצע. בואו נראה את הכלל הזה על הדוגמה של הממוצע הגיאומטרי.

נוסחת ממוצע גיאומטרי

משמש לרוב בעת חישוב הערך הממוצע של ערכים יחסיים בודדים של הדינמיקה.

הממוצע הגיאומטרי משמש אם ניתן רצף של ערכים יחסיים של הדינמיקה בשרשרת, המציין, למשל, עלייה בייצור בהשוואה לרמה של השנה הקודמת: i 1 , i 2 , i 3 , ... , אני נ . ברור כי היקף הייצור שנה שעברהנקבע על פי רמתו הראשונית (q 0) והצמיחה שלאחר מכן לאורך השנים:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

אם ניקח את q n כאינדיקטור מגדיר והחלפת הערכים האישיים של מדדי הדינמיקה בממוצעים, אנו מגיעים ליחס

מכאן

5.3. ממוצעים מבניים

סוג מיוחד של ממוצעים - ממוצעים מבניים - משמש ללימוד מבנה פנימיסדרת התפלגות של ערכים אופייניים, וכן להערכת הערך הממוצע (סוג חוק כוח), אם על פי הנתונים הסטטיסטיים הזמינים, לא ניתן לבצע את חישובו (לדוגמה, אם בדוגמה הנחשבת לא היו נתונים על שניהם היקף הייצור וכמות העלויות לפי קבוצות של מפעלים).

אינדיקטורים משמשים לרוב כממוצעים מבניים. אופנה -ערך התכונה שחוזרת על עצמה בתדירות הגבוהה ביותר - ו חציון -הערך של תכונה המחלקת את הרצף המסודר של ערכיה לשני חלקים שווים במספר. כתוצאה מכך, במחצית אחת מיחידות האוכלוסייה ערך התכונה אינו עולה על הרמה החציונית, ובמחצית השנייה אינו קטן ממנה.

אם לתכונה הנבדקת יש ערכים בדידים, אז אין קשיים מיוחדים בחישוב המצב והחציון. אם הנתונים על ערכי התכונה X מוצגים בצורה של מרווחים מסודרים של השינוי שלה (סדרת מרווחים), חישוב המצב והחציון הופך מסובך יותר. מכיוון שהערך החציוני מחלק את כל האוכלוסייה לשני חלקים שווים במספר, הוא מסתיים באחד מהמרווחים של התכונה X. באמצעות אינטרפולציה, הערך החציוני נמצא במרווח חציוני זה:

,

כאשר X Me הוא הגבול התחתון של המרווח החציוני;
h Me הוא ערכו;
(סכום מ') / 2 - מחצית ממספר התצפיות הכולל או מחצית מנפח המדד המשמש כשקלול בנוסחאות לחישוב הערך הממוצע (במונחים מוחלטים או יחסיים);
S Me-1 הוא סכום התצפיות (או נפח תכונת הניפוח) שנצברו לפני תחילת המרווח החציוני;
m Me הוא מספר התצפיות או נפח תכונת הניפוח במרווח החציוני (גם במונחים מוחלטים או יחסיים).

בדוגמה שלנו, ניתן לקבל אפילו שלושה ערכים חציוניים - בהתבסס על הסימנים של מספר הארגונים, נפח הייצור והסכום הכולל של עלויות הייצור:

לפיכך, עבור מחצית מהמפעלים, העלות של יחידת ייצור עולה על 125.19 אלף רובל, מחצית מנפח הייצור הכולל מיוצר עם רמת עלויות למוצר של יותר מ- 124.79 אלף רובל. ו -50% מהעלות הכוללת נוצר ברמת העלות של מוצר אחד מעל 125.07 אלף רובל. אנו גם מציינים שיש מגמת עלייה מסוימת במחיר, שכן Me 2 = 124.79 אלף רובל, והרמה הממוצעת היא 123.15 אלף רובל.

כאשר מחשבים את הערך המודאלי של תכונה על פי נתוני סדרת המרווחים, יש לשים לב לעובדה שהמרווחים זהים, שכן מחוון התדירות של ערכי תכונה X תלוי בכך. סדרת מרווחים עם מרווחים שווים, ערך המצב נקבע כ

כאשר X Mo הוא הערך התחתון של המרווח המודאלי;
m Mo הוא מספר התצפיות או נפח תכונת הניפוח במרווח המודאלי (במונחים מוחלטים או יחסיים);
m Mo -1 - זהה למרווח שלפני המודאל;
m Mo+1 - זהה עבור המרווח שאחרי המודאל;
h הוא הערך של מרווח השינוי של התכונה בקבוצות.

לדוגמא שלנו, ניתן לחשב שלושה ערכים מודאליים על סמך סימני מספר הארגונים, נפח הייצור וכמות העלויות. בכל שלושת המקרים, המרווח המודאלי זהה, שכן עבור אותו מרווח הן מספר הארגונים, היקף הייצור והסכום הכולל של עלויות הייצור מתבררים כגדולים ביותר:

לפיכך, ארגונים עם רמת עלות של 126.75 אלף רובל נתקלים לרוב, מוצרים ברמת עלות של 126.69 אלף רובל מיוצרים לרוב, ולרוב עלויות הייצור מוסברות ברמת עלות של 123.73 אלף רובל.

5.4. מדדי וריאציה

התנאים הספציפיים שבהם כל אחד מהאובייקטים הנחקרים נמצא, כמו גם תכונות ההתפתחות שלהם (חברתיות, כלכליות וכו') מתבטאים ברמות המספריות המתאימות של אינדיקטורים סטטיסטיים. לכן, וָרִיאַצִיָה,הָהֵן. הפער בין הרמות של אותו אינדיקטור באובייקטים שונים הוא אובייקטיבי ועוזר להבין את מהות התופעה הנחקרת.

ישנן מספר דרכים למדוד שונות בסטטיסטיקה.

הפשוט ביותר הוא חישוב המחוון וריאציה של טווח H כהפרש בין הערכים המקסימליים (X max) והמינימום (X min) הנצפים של התכונה:

H=X מקסימום - X דקות .

עם זאת, טווח השונות מציג רק את הערכים הקיצוניים של התכונה. יכולת החזרה של ערכי ביניים אינה נלקחת בחשבון כאן.

מאפיינים מחמירים יותר הם אינדיקטורים לתנודה ביחס לרמה הממוצעת של התכונה. האינדיקטור הפשוט ביותר מסוג זה הוא סטייה לינארית מתכוונת L כממוצע האריתמטי של הסטיות המוחלטות של תכונה מרמתה הממוצעת:

עם החזרה על ערכים בודדים של X, נעשה שימוש בנוסחת הממוצע האריתמטי המשוקלל:

(תזכרי את זה סכום אלגבריהסטייה מהממוצע היא אפס.)

האינדיקטור של הסטייה הליניארית הממוצעת מצא יישום נרחב בפועל. בעזרתו, למשל, מנתחים את הרכב העובדים, את קצב הייצור, את אחידות אספקת החומרים ומפתחים מערכות של תמריצים חומריים. אבל, למרבה הצער, אינדיקטור זה מסבך חישובים מסוג הסתברותי, מקשה על יישום השיטות של סטטיסטיקה מתמטית. לכן, בסטטיסטיקה מחקר מדעיהמדד הנפוץ ביותר לשונות הוא פְּזִירָה.

שונות התכונה (ס 2) נקבעת על סמך ממוצע ההספק הריבועי:

.

מעריך s שווה ל נקרא בינוני סטיית תקן.

בתיאוריה הכללית של סטטיסטיקה, מחוון הפיזור הוא אומדן של מחוון תורת ההסתברות באותו שם ו(כסכום הסטיות בריבוע) אומדן הפיזור בסטטיסטיקה מתמטית, המאפשר שימוש בהוראות של דיסציפלינות תיאורטיות אלו לנתח תהליכים סוציו-אקונומיים.

אם השונות נאמדת ממספר קטן של תצפיות שנלקחו מאוכלוסיה כללית בלתי מוגבלת, אזי הערך הממוצע של התכונה נקבע בטעות מסוימת. נראה שהערך המחושב של הפיזור מוזז כלפי מטה. כדי לקבל אומדן חסר פניות, יש להכפיל את השונות המדגם המתקבלת מהנוסחאות לעיל ב-n / (n - 1). כתוצאה מכך, עם מספר קטן של תצפיות (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

בדרך כלל כבר ב-n > (15÷20) הפער בין האומדנים המוטים והבלתי מוטים הופך לחסר משמעות. מאותה סיבה, הטיה בדרך כלל אינה נלקחת בחשבון בנוסחה להוספת שונות.

אם נלקחות מספר מדגמים מהאוכלוסייה הכללית ובכל פעם נקבע הערך הממוצע של התכונה, אזי נוצרת הבעיה של הערכת השונות של הממוצעים. הערכת שונות ערך ממוצעיכול גם להתבסס על תצפית מדגם אחת בלבד לפי הנוסחה

,

כאשר n הוא גודל המדגם; s 2 היא השונות של התכונה המחושבת מנתוני המדגם.

ערך נקרא שגיאת דגימה מתכוונתוהוא מאפיין של הסטייה של ערך הממוצע המדגם של תכונה X מהערך הממוצע האמיתי שלה. אינדיקטור השגיאה הממוצע משמש להערכת מהימנות התוצאות של תצפית מדגם.

אינדיקטורים לפיזור יחסי.כדי לאפיין את מדד התנודות של התכונה הנחקרת, מדדי התנודות מחושבים במונחים יחסיים. הם מאפשרים לך להשוות את אופי הפיזור בהפצות שונות (יחידות שונות של תצפית על אותה תכונה בשתי אוכלוסיות, עם ערכים שוניםממוצעים, כאשר משווים אוכלוסיות הטרוגניות). חישוב האינדיקטורים של מדד הפיזור היחסי מתבצע כיחס אינדיקטור מוחלטפיזור לממוצע האריתמטי, כפול 100%.

1. מקדם תנודהמשקף את התנודה היחסית של הערכים הקיצוניים של התכונה סביב הממוצע

.

2. כיבוי ליניארי יחסית מאפיין את חלקו של הערך הממוצע של סימן הסטיות המוחלטות מהערך הממוצע

.

3. מקדם וריאציה:

הוא מדד השונות הנפוץ ביותר המשמש להערכת הטיפוסיות של ממוצעים.

בסטטיסטיקה, אוכלוסיות עם מקדם שונות גדול מ-30-35% נחשבות להטרוגניות.

לשיטה זו של הערכת שונות יש גם חסרון משמעותי. אכן, תנו, למשל, את אוכלוסיית העובדים הראשונית עם משך שירות ממוצע של 15 שנים, עם סטיית תקן s = 10 שנים, "התיישנו" בעוד 15 שנים. עכשיו = 30 שנה, וסטיית התקן היא עדיין 10. האוכלוסייה ההטרוגנית בעבר (10/15 × 100 = 66.7%), אם כן מתברר להיות הומוגניים למדי לאורך זמן (10/30 × 100 = 33.3%).

בויארסקי א.יה. מחקר תיאורטי על סטטיסטיקה: ש'. מַדָעִי הליכים. - מ.: סטטיסטיקה, 1974. עמ' 19–57.

קודם