נושא הממוצע החשבוני והממוצע הגיאומטרי כלול בתכנית המתמטיקה לכיתות ו'-ז'. מכיוון שהפסקה די קלה להבנה, היא עוברת במהירות, ועד סוף שנת הלימודים, התלמידים שכחו אותה. אבל יש צורך בידע בסטטיסטיקה בסיסית לעבור את מבחן המדינה המאוחדת, וגם עבור בחינות בינלאומיותישב. כן ועבור חיי היום - יוםחשיבה אנליטית מפותחת אף פעם לא מזיק.

כיצד לחשב את הממוצע האריתמטי והממוצע הגיאומטרי של מספרים

נניח שיש סדרה של מספרים: 11, 4 ו-3. הממוצע האריתמטי הוא סכום כל המספרים חלקי מספר המספרים הנתונים. כלומר, במקרה של המספרים 11, 4, 3, התשובה תהיה 6. איך משיגים 6?

פתרון: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

המכנה חייב להכיל מספר השווה למספר המספרים שצריך למצוא את הממוצע שלהם. הסכום מתחלק ב-3, מכיוון שיש שלושה איברים.

עכשיו אנחנו צריכים להבין את הממוצע הגיאומטרי. נניח שיש סדרה של מספרים: 4, 2 ו-8.

הממוצע הגיאומטרי של מספרים הוא המכפלה של כל המספרים הנתונים, הממוקמים מתחת לשורש בחזקת שווה למספר המספרים הנתונים. כלומר, במקרה של המספרים 4, 2 ו-8 התשובה תהיה 4. הנה איך התברר:

פתרון: ∛(4 × 2 × 8) = 4

בשתי האפשרויות קיבלנו תשובות שלמות, מכיוון שמספרים מיוחדים נלקחו לדוגמא. זה לא תמיד קורה. ברוב המקרים, יש לעגל את התשובה או להשאיר אותה בשורש. לדוגמה, עבור המספרים 11, 7 ו-20, הממוצע האריתמטי הוא ≈ 12.67, והממוצע הגיאומטרי הוא ∛1540. ולמספרים 6 ו-5, התשובות יהיו 5.5 ו-√30, בהתאמה.

האם יכול לקרות שהממוצע האריתמטי ישתווה לממוצע הגיאומטרי?

כמובן שזה יכול. אבל רק בשני מקרים. אם יש סדרת מספרים המורכבת רק מאחד או מאפסים. ראוי לציין גם שהתשובה אינה תלויה במספרם.

הוכחה עם יחידות: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (ממוצע אריתמטי).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(ממוצע גיאומטרי).

הוכחה עם אפסים: (0 + 0) / 2=0 (ממוצע אריתמטי).

√(0 × 0) = 0 (ממוצע גיאומטרי).

אין אפשרות אחרת ולא יכולה להיות.

ערך ממוצע- זהו אינדיקטור כללי המאפיין אוכלוסייה הומוגנית מבחינה איכותית לפי מאפיין כמותי מסוים. למשל, הגיל הממוצע של אנשים שהורשעו בגניבה.

בסטטיסטיקה שיפוטית, ערכים ממוצעים משמשים לאפיון:

זמן ממוצע לבחינת מקרים מקטגוריה זו;

גודל תביעה ממוצע;

מספר ממוצע של נאשמים לתיק;

נזק ממוצע;

עומס עבודה ממוצע של שופטים וכו'.

הממוצע הוא תמיד ערך בעל שם ובעל אותו מימד כמו המאפיין של יחידה בודדת באוכלוסייה. כל ערך ממוצע מאפיין את האוכלוסייה הנחקרת לפי כל מאפיין משתנה אחד, לכן מאחורי כל ערך ממוצע מסתתרת סדרה של התפלגות של יחידות של אוכלוסייה זו לפי המאפיין הנחקר. הבחירה בסוג הממוצע נקבעת על פי תוכן המחוון והנתונים הראשוניים לחישוב גודל ממוצע.

כל סוגי הממוצעים המשמשים ב מחקר סטטיסטי, מחולקים לשתי קטגוריות:

1) ממוצעי הספק;

2) ממוצעים מבניים.

הקטגוריה הראשונה של ממוצעים כוללת: ממוצע אריתמטי, ממוצע הרמוני, ממוצע גיאומטרי ו שורש ממוצע ריבועים . הקטגוריה השנייה היא אופנהו חֲצִיוֹן. יתר על כן, לכל אחד מהסוגים המפורטים של ממוצעי הספק יכולים להיות שתי צורות: פָּשׁוּט ו מְשׁוּקלָל . טופס פשוטהערך הממוצע משמש לקבלת הערך הממוצע של המאפיין הנלמד, כאשר החישוב מתבצע באמצעות נתונים סטטיסטיים לא מקובצים, או כאשר כל אפשרות במצטבר מתרחשת פעם אחת בלבד. ממוצעים משוקללים הם ערכים שלוקחים בחשבון שלוריאנטים של ערכי תכונות עשויים להיות מספרים שונים, ולכן יש להכפיל כל גרסה בתדירות המתאימה. במילים אחרות, כל אפשרות "מושקללת" לפי התדירות שלה. תדירות נקראת משקל סטטיסטי.

ממוצע אריתמטי פשוט- הסוג הנפוץ ביותר של ממוצע. זה שווה לסכום הערכים האישיים של המאפיין חלקי מספר כוללהערכים האלה:

איפה x 1 ,x 2 , … ,x Nהם הערכים האישיים של המאפיין המשתנה (הווריאציות), ו-N הוא מספר היחידות באוכלוסייה.

ממוצע אריתמטי משוקללמשמש במקרים שבהם הנתונים מוצגים בצורה של סדרות הפצה או קבוצות. זה מחושב כסכום תוצרי האופציות והתדרים התואמים להן, חלקי סכום התדרים של כל האופציות:

איפה x i- משמעות אניהווריאציות של המאפיין; f i- תדירות אניהאפשרויות.

לפיכך, כל ערך וריאציה משוקלל לפי התדירות שלו, וזו הסיבה שהתדרים נקראים לפעמים משקלים סטטיסטיים.

תגובה.מתי אנחנו מדברים עללגבי הממוצע האריתמטי מבלי לציין את סוגו, הממוצע האריתמטי הוא פשוט.

טבלה 12.

פִּתָרוֹן.כדי לחשב, אנו משתמשים בנוסחת הממוצע האריתמטי המשוקלל:

כך, בממוצע ישנם שני נאשמים לכל תיק פלילי.

אם חישוב הערך הממוצע מתבצע באמצעות נתונים המקובצים בצורה של סדרת התפלגות מרווחים, תחילה עליך לקבוע את הערכים האמצעיים של כל מרווח x"i, ולאחר מכן לחשב את הערך הממוצע באמצעות הממוצע המשוקלל האריתמטי. נוסחה, שבה מוחלף x"i במקום xi.

דוגמא.נתונים על גילם של עבריינים שהורשעו בגניבה מוצגים בטבלה:

טבלה 13.

קבע את הגיל הממוצע של עבריינים שהורשעו בגניבה.

פִּתָרוֹן.על מנת לקבוע את הגיל הממוצע של פושעים על סמך סדרת וריאציות של מרווחים, יש צורך למצוא תחילה את ערכי האמצע של המרווחים. מאז ניתנת לנו סדרת מרווחים עם לפתוח קודםוהמרווחים האחרונים, אז הערכים של המרווחים הללו נלקחים בשווים לערכי המרווחים הסגורים הסמוכים. במקרה שלנו, הערכים של המרווח הראשון והאחרון שווים ל-10.

כעת אנו מוצאים את הגיל הממוצע של פושעים באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי המשוקלל:

לפיכך, הגיל הממוצע של עבריינים שהורשעו בגניבה הוא כ-27 שנים.

מתכוון הרמוני פשוט מייצג את ההדדיות של הממוצע האריתמטי של הערכים ההפוכים של המאפיין:

איפה 1/ x iהם הערכים ההפוכים של האפשרויות, ו-N הוא מספר היחידות באוכלוסיה.

דוגמא.כדי לקבוע את עומס העבודה השנתי הממוצע על שופטי בית משפט מחוזי בבחינת תיקים פליליים, נערך מחקר על עומס העבודה של 5 שופטים בבית משפט זה. הזמן הממוצע שהושקע בתיק פלילי אחד עבור כל אחד מהשופטים שנסקרו התברר כשווה (בימים): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. מצא את העלויות הממוצעות על אחד תיק פלילי ועומס העבודה השנתי הממוצע על שופטים של בית משפט מחוזי נתון בבחינת תיקים פליליים.

פִּתָרוֹן.כדי לקבוע את הזמן הממוצע שהושקע בתיק פלילי אחד, אנו משתמשים בנוסחת הממוצע ההרמוני:

כדי לפשט את החישובים, בדוגמה אנו לוקחים את מספר הימים בשנה להיות 365, כולל סופי שבוע (זה לא משפיע על מתודולוגיית החישוב, וכאשר מחשבים אינדיקטור דומה בפועל, יש צורך להחליף את מספר העובדים ימים בשנה מסוימת במקום 365 ימים). אז עומס העבודה השנתי הממוצע עבור שופטים של בית משפט מחוזי נתון בבחינת תיקים פליליים יהיה: 365 (ימים): 5.56 ≈ 65.6 (תיקים).

אם היינו משתמשים בנוסחת הממוצע האריתמטי הפשוטה כדי לקבוע את הזמן הממוצע שהושקע בתיק פלילי אחד, היינו מקבלים:

365 (ימים): 5.64 ≈ 64.7 (מקרים), כלומר. העומס הממוצע על השופטים התברר כפחות.

בואו נבדוק את תקפותה של גישה זו. לשם כך, נשתמש בנתונים על משך הזמן שהושקע בתיק פלילי אחד לכל שופט ונחשב את מספר התיקים הפליליים ששקלו כל אחד מהם בשנה.

אנחנו מקבלים בהתאם:

365 (ימים) : 6 ≈ 61 (מקרים), 365 (ימים) : 5.6 ≈ 65.2 (מקרים), 365 (ימים) : 6.3 ≈ 58 (מקרים),

365 (ימים) : 4.9 ≈ 74.5 (מקרים), 365 (ימים) : 5.4 ≈ 68 (מקרים).

כעת הבה נחשב את עומס העבודה השנתי הממוצע עבור שופטים של בית משפט מחוזי נתון כאשר בוחנים תיקים פליליים:

הָהֵן. העומס השנתי הממוצע זהה לשימוש בממוצע ההרמוני.

לפיכך, השימוש בממוצע האריתמטי במקרה זה אינו חוקי.

במקרים בהם הווריאציות של מאפיין והערכים הנפחיים שלהן (תוצר הווריאציות והתדר) ידועות, אך התדרים עצמם אינם ידועים, נעשה שימוש בנוסחה הממוצעת ההרמונית המשוקללת:

,

איפה x iהם הערכים של אפשרויות התכונה, ו-w i הם הערכים הנפחיים של האפשרויות ( w i = x i f i).

דוגמא.נתונים על מחיר יחידה מאותו סוג מוצר המיוצר על ידי מוסדות שונים של מערכת העונשין ועל היקף מכירותיה מובאים בטבלה 14.

טבלה 14

מצא את מחיר המכירה הממוצע של המוצר.

פִּתָרוֹן.בחישוב המחיר הממוצע, עלינו להשתמש ביחס בין כמות המכירות למספר היחידות שנמכרו. אנחנו לא יודעים את מספר היחידות שנמכרו, אבל אנחנו יודעים את כמות המכירות של הסחורה. לכן, כדי למצוא את המחיר הממוצע של סחורה שנמכרה, נשתמש בנוסחה הממוצע ההרמוני המשוקלל. אנחנו מקבלים

אם אתה משתמש בנוסחת הממוצע האריתמטי כאן, אתה יכול לקבל מחיר ממוצע שיהיה לא ריאלי:

ממוצע גיאומטרימחושב על ידי חילוץ השורש של תואר N מהמכפלה של כל הערכים של גרסאות התכונה:

,

איפה x 1 ,x 2 , … ,x N- ערכים בודדים של המאפיין (הווריאציות) המשתנים ו

נ- מספר היחידות באוכלוסייה.

סוג זה של ממוצע משמש לחישוב שיעורי הצמיחה הממוצעים של סדרות זמן.

ריבוע ממוצעמשמש לחישוב ממוצע סטיית ריבוע, המהווה אינדיקטור לווריאציה, ועליו נדון להלן.

כדי לקבוע את מבנה האוכלוסייה, נעשה שימוש באינדיקטורים ממוצעים מיוחדים, הכוללים חֲצִיוֹן ו אופנה , או מה שנקרא ממוצעים מבניים. אם הממוצע האריתמטי מחושב על סמך השימוש בכל הווריאציות של ערכי תכונות, אז החציון והמצב מאפיינים את הערך של הווריאציה שתופס מיקום ממוצע מסוים בסדרה המדורגת (המסודרת). ניתן לסדר את היחידות של אוכלוסייה סטטיסטית בסדר עולה או יורד של גרסאות של המאפיין הנחקר.

חציון (אני)- זהו הערך המתאים לאופציה הממוקמת באמצע הסדרה המדורגת. לפיכך, החציון הוא אותה גרסה של הסדרה המדורגת, שבשני הצדדים שלה בסדרה זו אמורה להיות מספר שווהיחידות האוכלוסייה.

כדי למצוא את החציון, תחילה עליך לקבוע אותו מספר סידוריבסדרה מדורגת לפי הנוסחה:

כאשר N הוא נפח הסדרה (מספר היחידות באוכלוסיה).

אם הסדרה מורכבת ממספר אי זוגי של איברים, אז החציון שווה לאפשרות עם המספר N Me. אם הסדרה מורכבת ממספר זוגי של איברים, אז החציון מוגדר כממוצע האריתמטי של שתי אפשרויות סמוכות הממוקמות באמצע.

דוגמא.בהינתן סדרה מדורגת 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. נפח הסדרה הוא N = 9, כלומר N Me = (9 + 1) / 2 = 5. לכן, Me = 6, כלומר . אפשרות חמישית. אם השורה ניתנת 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, כלומר. סדרה עם מספר זוגי של איברים (N = 8), ואז N Me = (8 + 1) / 2 = 4.5. המשמעות היא שהחציון שווה למחצית הסכום של האפשרויות הרביעית והחמישית, כלומר. אני = (9 + 11) / 2 = 10.

בסדרת וריאציות בדיד, החציון נקבע על פי התדרים המצטברים. תדירויות האופציה, החל מהראשונה, מסוכמות עד לחרוג מהמספר החציוני. הערך של האופציות האחרונות המסוכמות יהיה החציון.

דוגמא.מצא את המספר החציוני של נאשמים לכל תיק פלילי באמצעות הנתונים בטבלה 12.

פִּתָרוֹן.במקרה זה, הנפח של סדרת הווריאציות הוא N = 154, לכן, N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5. לאחר שסיכמנו את התדרים של האפשרויות הראשונה והשנייה, נקבל: 75 + 43 = 118, כלומר. עברנו את המספר החציוני. אז אני = 2.

בסדרת וריאציות מרווחים, ההתפלגות מציינת תחילה את המרווח שבו ימוקם החציון. הוא נקרא חֲצִיוֹן . זהו המרווח הראשון שהתדירות המצטברת שלו עולה על מחצית הנפח של סדרת וריאציות המרווחים. לאחר מכן ערך מספריהחציון נקבע על ידי הנוסחה:

איפה x אני- גבול תחתון של המרווח החציוני; i הוא הערך של המרווח החציוני; S Me-1- תדירות מצטברת של המרווח שלפני החציון; f אני- תדירות המרווח החציוני.

דוגמא.מצא את הגיל החציוני של עבריינים שהורשעו בגניבה על סמך הנתונים הסטטיסטיים המוצגים בטבלה 13.

פִּתָרוֹן.נתונים סטטיסטיים מוצגים על ידי סדרת וריאציות של מרווחים, כלומר אנו קובעים תחילה את המרווח החציוני. נפח האוכלוסייה הוא N = 162, לכן, המרווח החציוני הוא המרווח 18-28, מכיוון זהו המרווח הראשון שהתדירות המצטברת שלו (15 + 90 = 105) עולה על מחצית הנפח (162: 2 = 81) של סדרת וריאציות המרווחים. כעת אנו קובעים את הערך המספרי של החציון באמצעות הנוסחה לעיל:

לפיכך, מחצית מהמורשעים בגניבה הם מתחת לגיל 25.

אופנה (מו)הם קוראים לערך של מאפיין שנמצא לרוב ביחידות של אוכלוסייה. אופנה משמשת כדי לזהות את הערך של מאפיין שהוא הנפוץ ביותר. עבור סדרה בדידה, המצב יהיה האפשרות עם התדר הגבוה ביותר. לדוגמה, עבור הסדרות הבדידות המוצגות בטבלה 3 מו= 1, מכיוון שערך זה מתאים לתדר הגבוה ביותר - 75. כדי לקבוע את מצב סדרת המרווחים, קבע תחילה מוֹדָלִי מרווח (המרווח בעל התדירות הגבוהה ביותר). לאחר מכן, בתוך מרווח זה, נמצא הערך של התכונה, שיכול להיות מצב.

ערכו נמצא באמצעות הנוסחה:

איפה x מו- גבול תחתון של המרווח המודאלי; i הוא הערך של המרווח המודאלי; ו מו- תדירות המרווח המודאלי; f Mo-1- תדירות המרווח שלפני המודאלי; f Mo+1- תדירות המרווח שאחרי המודאלי.

דוגמא.מצא את גילם של הפושעים שהורשעו בגניבה, הנתונים עליהם מוצגים בטבלה 13.

פִּתָרוֹן.התדר הגבוה ביותר מתאים למרווח 18-28, לכן, המצב צריך להיות במרווח זה. ערכו נקבע על ידי הנוסחה לעיל:

לכן, המספר הגדול ביותרעבריינים שהורשעו בגניבה הם בני 24.

הערך הממוצע מספק מאפיין כללי של מכלול התופעה הנחקרת. עם זאת, שתי אוכלוסיות בעלות ערכים ממוצעים זהים עשויות להיות שונות זו מזו באופן משמעותי במידת התנודות (השונות) בערך המאפיין הנחקר. למשל, בבית משפט אחד הם מינו התאריכים הבאיםמאסר: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 שנים, ובעוד - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 שנים. בשני המקרים, הממוצע האריתמטי הוא 6.7 שנים. עם זאת, אוכלוסיות אלו שונות זו מזו באופן משמעותי בהתפשטות הערכים הפרטניים של תקופת המאסר שנקבעה ביחס לערך הממוצע.

ולבית המשפט הראשון, שבו הפריסה הזו גדולה למדי, תקופת המאסר הממוצעת אינה משקפת את כלל האוכלוסייה. לפיכך, אם הערכים האישיים של מאפיין שונים מעט זה מזה, אז הממוצע האריתמטי יהיה מאפיין אינדיקטיבי למדי של המאפיינים של אוכלוסייה נתונה. אחרת, הממוצע האריתמטי יהיה מאפיין לא אמין של אוכלוסייה זו והשימוש בו בפועל לא יהיה יעיל. לכן, יש צורך לקחת בחשבון את השונות בערכים של המאפיין הנלמד.

וָרִיאַצִיָה- אלו הם הבדלים בערכים של כל מאפיין בין יחידות שונות של אוכלוסייה נתונה באותה תקופה או נקודת זמן. המונח "וריאציה" הוא ממקור לטיני - variatio, שפירושו הבדל, שינוי, תנודה. זה נובע כתוצאה מהעובדה שהערכים האינדיבידואליים של מאפיין נוצרים בהשפעה משולבת של גורמים שונים (תנאים), המשולבים באופן שונה בכל מקרה לגופו. שונות מוחלטת ו אינדיקטורים יחסיים.

האינדיקטורים העיקריים לשונות כוללים את הדברים הבאים:

1) היקף השונות;

2) סטייה ליניארית ממוצעת;

3) פיזור;

4) סטיית תקן;

5) מקדם וריאציה.

בואו נסתכל בקצרה על כל אחד מהם.

טווח וריאציות R הוא המדד המוחלט הנגיש ביותר מבחינת קלות החישוב, המוגדר כהפרש בין הערכים הגדולים והקטנים ביותר של מאפיין עבור יחידות של אוכלוסייה נתונה:

טווח וריאציה (טווח תנודות) - אינדיקטור חשובאת השונות של השלט, אך היא מאפשרת לראות רק סטיות קיצוניות, מה שמגביל את היקף היישום שלו. כדי לאפיין בצורה מדויקת יותר את השונות של תכונה על סמך השונות שלה, משתמשים באינדיקטורים אחרים.

סטייה ליניארית ממוצעתמייצג את הממוצע האריתמטי של ערכים מוחלטיםסטיות של ערכים בודדים של מאפיין מהממוצע ונקבעת על ידי הנוסחאות:

1) ל נתונים לא מקובצים

2) ל סדרת וריאציות

עם זאת, המדד הנפוץ ביותר לשונות הוא פְּזִירָה . הוא מאפיין את מידת הפיזור של ערכי המאפיין הנלמד ביחס לערכו הממוצע. פיזור מוגדר כממוצע הסטיות בריבוע.

שונות פשוטהעבור נתונים לא מקובצים:

.

השונות משוקללתעבור סדרת הווריאציות:

תגובה.בפועל, עדיף להשתמש בנוסחאות הבאות לחישוב השונות:

לשונות פשוטה

.

לשונות משוקללת

סטיית תקןהוא השורש הריבועי של השונות:

סטיית התקן היא מדד לאמינות הממוצע. ככל שסטיית התקן קטנה יותר, האוכלוסייה הומוגנית יותר והממוצע האריתמטי משקף טוב יותר את כל האוכלוסייה.

מדדי הפיזור שנדונו לעיל (טווח שונות, פיזור, סטיית תקן) הם במונחים מוחלטים, לפיו לא תמיד ניתן לשפוט את מידת השונות של מאפיין. בחלק מהבעיות יש צורך להשתמש במדדי פיזור יחסי, אחד מהם הוא מקדם השונות.

מקדם השונות- היחס בין סטיית התקן לממוצע האריתמטי, מבוטא באחוזים:

מקדם השונות משמש לא רק עבור הערכה השוואתיתוריאציות של מאפיינים שונים או אותו מאפיין באוכלוסיות שונות, אך גם לאפיין את ההומוגניות של האוכלוסייה. אוכלוסייה סטטיסטית נחשבת הומוגנית כמותית אם מקדם השונות אינו עולה על 33% (עבור התפלגויות קרובות להתפלגות הנורמלית).

דוגמא.קיימים הנתונים הבאים על תנאי המאסר של 50 מורשעים שניתנו לריצוי עונש שנגזר על ידי בית המשפט במוסד תיקון של מערכת העונשין: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. בניית סדרה של חלוקות לפי תנאי מאסר.

2. מצא את הממוצע, השונות וסטיית התקן.

3. חשב את מקדם השונות וקבל מסקנה לגבי ההומוגניות או ההטרוגניות של האוכלוסייה הנחקרת.

פִּתָרוֹן.כדי לבנות סדרת הפצה בדידה, יש צורך לקבוע אפשרויות ותדרים. האפשרות בבעיה זו היא תקופת המאסר, והתדירות היא מספר האפשרויות הבודדות. לאחר חישוב התדרים, אנו מקבלים את סדרת ההפצה הבדידה הבאה:

בואו נמצא את הממוצע והשונות. מכיוון שהנתונים הסטטיסטיים מיוצגים על ידי סדרת וריאציות בדיד, נשתמש בנוסחאות עבור הממוצע האריתמטי המשוקלל והפיזור כדי לחשב אותם. אנחנו מקבלים:

= = 4,1;

= 5,21.

כעת אנו מחשבים את סטיית התקן:

מציאת מקדם השונות:

כתוצאה מכך, האוכלוסייה הסטטיסטית היא הטרוגנית מבחינה כמותית.

ממוצע במתמטיקה ערך אריתמטימספרים (או פשוט הממוצע) הוא הסכום של כל המספרים בקבוצה נתונה חלקי מספרם. זהו המושג הכללי והנפוץ ביותר של ערך ממוצע. כפי שכבר הבנתם, כדי למצוא אתם צריכים לסכם את כל המספרים שניתנו לכם, ולחלק את התוצאה המתקבלת במספר האיברים.

מה הממוצע האריתמטי?

בואו נסתכל על דוגמה.

דוגמה 1. מספרים נתונים: 6, 7, 11. אתה צריך למצוא את הערך הממוצע שלהם.

פִּתָרוֹן.

ראשית, בואו נמצא את הסכום של כל המספרים הללו.

כעת חלקו את הסכום המתקבל במספר האיברים. מכיוון שיש לנו שלושה איברים, לכן נחלק בשלושה.

לכן, הממוצע של המספרים 6, 7 ו-11 הוא 8. למה 8? כן, כי הסכום של 6, 7 ו-11 יהיה זהה לשלוש שמיניות. ניתן לראות זאת בבירור באיור.

הממוצע הוא קצת כמו "ערב" סדרה של מספרים. כפי שאתה יכול לראות, ערימות העפרונות הפכו לאותה רמה.

בואו נסתכל על דוגמה נוספת כדי לגבש את הידע שנצבר.

דוגמה 2.מספרים נתונים: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. אתה צריך למצוא את הממוצע האריתמטי שלהם.

פִּתָרוֹן.

מצא את הסכום.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

מחלקים במספר האיברים (במקרה זה - 15).

לכן, הערך הממוצע של סדרת מספרים זו הוא 22.

עכשיו בואו נשקול מספרים שליליים. בואו נזכור איך לסכם אותם. לדוגמה, יש לך שני מספרים 1 ו-4. בואו נמצא את הסכום שלהם.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

בידיעה זו, בואו נסתכל על דוגמה נוספת.

דוגמה 3.מצא את הערך הממוצע של סדרת מספרים: 3, -7, 5, 13, -2.

פִּתָרוֹן.

מצא את סכום המספרים.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

מכיוון שיש 5 איברים, חלקו את הסכום המתקבל ב-5.

לכן, הממוצע האריתמטי של המספרים 3, -7, 5, 13, -2 הוא 2.4.

בתקופת ההתקדמות הטכנולוגית שלנו, הרבה יותר נוח להשתמש בו כדי למצוא את הערך הממוצע תוכנות מחשב. Microsoft Office Excel הוא אחד מהם. מציאת הממוצע באקסל היא מהירה וקלה. יתר על כן, תוכנית זו כלולה בחבילת התוכנה של Microsoft Office. בואו נסתכל על הוראה קצרה, הערך של שימוש בתוכנית זו.

על מנת לחשב את הערך הממוצע של סדרת מספרים, עליך להשתמש בפונקציה AVERAGE. התחביר עבור פונקציה זו הוא:
= Average(argument1, argument2, ... argument255)
כאשר argument1, argument2, ... argument255 הם מספרים או הפניות לתאים (תאים מתייחסים לטווחים ומערכים).

כדי להבהיר יותר, בואו ננסה את הידע שצברנו.

1. הזן את המספרים 11, 12, 13, 14, 15, 16 בתאים C1 - C6.
2. בחר תא C7 על ידי לחיצה עליו. בתא זה נציג את הערך הממוצע.
3. לחץ על הכרטיסייה נוסחאות.
4. בחר עוד פונקציות > סטטיסטיקה כדי לפתוח
5. בחר ממוצע. לאחר מכן, תיבת דו-שיח אמורה להיפתח.
6. בחר וגרור את התאים C1-C6 לשם כדי להגדיר את הטווח בתיבת הדו-שיח.
7. אשר את הפעולות שלך עם כפתור "אישור".
8. אם עשית הכל נכון, אמורה להיות לך התשובה בתא C7 - 13.7. כאשר תלחץ על תא C7, הפונקציה (=Average(C1:C6)) תופיע בשורת הנוסחאות.

תכונה זו שימושית מאוד עבור הנהלת חשבונות, חשבוניות, או כאשר אתה רק צריך למצוא את הממוצע של סדרה ארוכה מאוד של מספרים. לכן, הוא משמש לעתים קרובות במשרדים וחברות גדולות. זה מאפשר לך לשמור על סדר ברישומים שלך ומאפשר לחשב משהו במהירות (למשל הכנסה חודשית ממוצעת). גם עם באמצעות אקסלאתה יכול למצוא את הערך הממוצע של הפונקציה.

הסוג הנפוץ ביותר של ממוצע הוא הממוצע האריתמטי.

ממוצע אריתמטי פשוט

ממוצע אריתמטי פשוט הוא המונח הממוצע, בקביעת הנפח הכולל של מאפיין זהבנתונים מתחלקים באופן שווה בין כל היחידות הנכללות באוכלוסייה הנתונה. לפיכך, התפוקה השנתית הממוצעת לעובד היא כמות התפוקה שהייתה מפיקה על ידי כל עובד אם כל נפח התפוקה היה מתחלק באופן שווה בין כל עובדי הארגון. הערך הממוצע האריתמטי מחושב באמצעות הנוסחה:

ממוצע אריתמטי פשוט- שווה ליחס בין סכום הערכים הבודדים של מאפיין למספר המאפיינים במצטבר

דוגמה 1 . צוות של 6 עובדים מקבל 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 אלף רובל לחודש.

מצא משכורת ממוצעת
פתרון: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 אלף רובל.

ממוצע אריתמטי משוקלל

אם נפח מערך הנתונים גדול ומייצג סדרת התפלגות, אזי הממוצע האריתמטי המשוקלל מחושב. כך נקבע המחיר הממוצע המשוקלל ליחידת ייצור: עלות הייצור הכוללת (סכום התוצרים של כמותה במחיר של יחידת ייצור) מחולקת בכמות הייצור הכוללת.

בואו נדמיין את זה בצורה של הנוסחה הבאה:

ממוצע אריתמטי משוקלל- שווה ליחס של (סכום התוצרים של הערך של תכונה לתדירות החזרה של תכונה זו) ל- (סכום התדרים של כל התכונות). הוא משמש כאשר מתרחשות גרסאות של האוכלוסייה הנחקרת. מספר לא שווה של פעמים.

דוגמה 2 . מצא את השכר הממוצע של עובדי הסדנאות לחודש

ניתן לקבל שכר ממוצע על ידי חלוקת השכר הכולל במספר העובדים הכולל:

תשובה: 3.35 אלף רובל.

ממוצע אריתמטי לסדרות מרווחים

בעת חישוב הממוצע האריתמטי עבור סדרת וריאציות מרווחים, קבע תחילה את הממוצע עבור כל מרווח כחצי הסכום של הגבול העליון והתחתון, ולאחר מכן את הממוצע של הסדרה כולה. במקרה של מרווחים פתוחים, ערך המרווח התחתון או העליון נקבע לפי גודל המרווחים הסמוכים להם.

ממוצעים המחושבים מסדרות מרווחים הם משוערים.

דוגמה 3. קבע את הגיל הממוצע של תלמידי ערב.

ממוצעים המחושבים מסדרות מרווחים הם משוערים. מידת הקירוב שלהם תלויה במידה שבה ההתפלגות בפועל של יחידות האוכלוסייה בתוך המרווח מתקרבת להתפלגות אחידה.

בעת חישוב ממוצעים, לא רק אבסולוטי אלא גם ערכים יחסיים (תדירות) יכולים לשמש כמשקולות:

לממוצע האריתמטי יש מספר תכונות החושפות בצורה מלאה יותר את מהותו ומפשטות את החישובים:

1. מכפלת הממוצע בסכום התדרים שווה תמיד לסכום התוצרים של הווריאציה לפי תדרים, כלומר.

2. בינוני סכום אריתמטיכמויות משתנות שווה לסכום הממוצעים האריתמטיים של הכמויות הללו:

3. הסכום האלגברי של הסטיות של ערכים בודדים של מאפיין מהממוצע שווה לאפס:

4. סכום הסטיות בריבוע של אופציות מהממוצע קטן מסכום הסטיות בריבוע מכל ערך שרירותי אחר, כלומר.

ממוצע אריתמטי פשוט הוא המונח הממוצע, בקביעת הנפח הכולל של מאפיין נתון מִכלוֹלהנתונים מחולקים באופן שווה בין כל היחידות הנכללות באוכלוסייה זו. לפיכך, התפוקה השנתית הממוצעת לעובד היא כמות התפוקה שהייתה נופלת על כל עובד אם כל נפח התפוקה היה מתחלק באופן שווה בין כל עובדי הארגון. הערך הממוצע האריתמטי מחושב באמצעות הנוסחה:

ממוצע אריתמטי פשוט- שווה ליחס בין סכום הערכים הבודדים של מאפיין למספר המאפיינים במצטבר

דוגמה 1. צוות של 6 עובדים מקבל 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 אלף רובל לחודש.

מצא את השכר הממוצע פתרון: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 אלף רובל.

ממוצע אריתמטי משוקלל

אם נפח מערך הנתונים גדול ומייצג סדרת התפלגות, אזי הממוצע האריתמטי המשוקלל מחושב. כך נקבע המחיר הממוצע המשוקלל ליחידת ייצור: עלות הייצור הכוללת (סכום התוצרים של כמותה במחיר של יחידת ייצור) מחולקת בכמות הייצור הכוללת.

בואו נדמיין את זה בצורה של הנוסחה הבאה:

ממוצע אריתמטי משוקלל- שווה ליחס של (סכום התוצרים של הערך של תכונה לתדירות החזרה על תכונה זו) ל- (סכום התדרים של כל התכונות). הוא משמש כאשר וריאנטים של האוכלוסייה הנבדקת להתרחש מספר לא שווה של פעמים.

דוגמה 2. מצא את השכר הממוצע של עובדי הסדנאות לחודש

משכורת של עובד אחד אלף רובל; איקס	מספר העובדים F

ניתן לקבל שכר ממוצע על ידי חלוקת השכר הכולל במספר העובדים הכולל:

תשובה: 3.35 אלף רובל.

ממוצע אריתמטי לסדרות מרווחים

בעת חישוב הממוצע האריתמטי עבור סדרת וריאציות מרווחים, קבע תחילה את הממוצע עבור כל מרווח כחצי הסכום של הגבול העליון והתחתון, ולאחר מכן את הממוצע של הסדרה כולה. במקרה של מרווחים פתוחים, ערך המרווח התחתון או העליון נקבע לפי גודל המרווחים הסמוכים להם.

ממוצעים המחושבים מסדרות מרווחים הם משוערים.

דוגמה 3. קבעו את הגיל הממוצע של תלמידי ערב.

גיל בשנים!!x??	מספר תלמידים	ערך ממוצע של המרווח	תוצר של נקודת האמצע של המרווח (גיל) ומספר התלמידים
		(18 + 20) / 2 =19 18 במקרה זה, הגבול של המרווח התחתון. מחושב כ-20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 או יותר		(30 + 34) / 2 = 32

ממוצעים המחושבים מסדרות מרווחים הם משוערים. מידת הקירוב שלהם תלויה במידה שבה ההתפלגות בפועל של יחידות האוכלוסייה בתוך המרווח מתקרבת להתפלגות אחידה.

בעת חישוב ממוצעים, לא רק מוחלטים אלא גם ערכים יחסיים (תדירות) יכולים לשמש כמשקולות.